Eschgfaeller Mabbs Algoritmi
User Manual: Eschgfaeller-mabbs-algoritmi
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ALGORITMI E STRUTTURE DI DATI
Insiemi
La notazione matematica
L’assioma della scelta
L’insieme delle parti
Numeri complessi
2
3
4
Le funzioni
Le funzioni
Uguaglianza di funzioni
Composizione di funzioni
Associatività
La funzione identica
L’immagine
Funzioni iniettive
Funzioni suriettive
Iniettività categoriale
Suriettività categoriale
Funzioni biiettive
Spazi di funzioni
Proprietà funtoriali
2
3
3
3
3
3
3
4
4
4
4
4
4
Algebra lineare
Equazioni lineari in una incognita
Sistemi astratti
Due sistemi lineari in due incognite
Esempi
La forma generale della regola
di Cramer
Determinanti
L’algoritmo di eliminazione di Gauß
Sistemi con più di una soluzione
L’insieme delle soluzioni di un
sistema lineare
6
7
7
8
8
8
9
10
10
Trigonometria
Trigonometria oggi
Un problema di geodesia
Il triangolo
Il triangolo rettangolo
Triple pitagoree
Le funzioni trigonometriche
La dimostrazione indiana
Il triangolo isolatero
Angoli sul cerchio
Il teorema del coseno
Il grafico della funzione seno
La periodicità di seno e coseno
Altre proprietà di seno e coseno
e
11
11
12
12
12
12
13
13
13
14
14
14
14
14
Geometria
Grafica al calcolatore e geometria
Distanze in
Il prodotto scalare
Ortogonalità
Coordinate polari nel piano
Coordinate cilindriche nello spazio
Coordinate polari nello spazio
Rotazioni nel piano
Disuguaglianze fondamentali
Il segno del prodotto scalare
Ellissi
Iperboli
Rette e segmenti
Equazione di una retta
Proiezione su una retta
Riflessione in un punto
Riflessione in una retta
9 gennaio 2005
a.a. 2004/05
11
15
15
15
21
21
21
21
24
24
29
29
30
30
30
36
36
Numeri complessi in R
I numeri complessi
La formula di Euler
Il campo dei numeri complessi
La formula di de Moivre
Parte reale e parte immaginaria
Radici di un polinomio
Radici -esime dell’unità
Radici di un numero complesso
Perturbazione dei coefficienti
I cammini delle radici
Il teorema di Rouché
Continuità delle radici
Vettori e matrici con R
22
23
23
24
24
24
25
25
25
36
37
37
37
Programmazione in R
R
Le funzioni d’aiuto
Installazione di R
Il libro di Crawley
Programmare in R
Programmi autonomi
Nomi in R
Assegnamento
Successioni
Angoli espressi in gradi
I commenti
Funzioni in R
expression ed eval
ifelse
NA
if ... else
identical
Operazioni insiemistiche
dimnames
for, while e repeat
Abbreviazioni
Options e print(x,n)
any e all
Ordinamento
La libreria
16
16
16
16
17
17
17
17
18
18
18
22
29
32
32
33
33
33
33
40
45
45
46
46
46
Grafica con R
Figure di Lissajous
La grafica di R
plot e lines
Il comando postscript
points
symbols e rect
Grafici di funzioni
Curve parametrizzate nel piano
Octobrina elegans
Octobrinidae I
Octobrinidae II
abline
Parabrinidae
Rotazioni
Testi matematici
Curve di livello
Una collana
"!$#%"
"!
"! &
! #%
"! &
Il foglio di Cartesio
La chiocciola di Pascal
La lemniscata
Una curva trascendente
La funzione polygon
Il file figure
Tratteggi
Una modifica in Postscript
Parallele
Come nasce una forma
Indice
18
19
19
19
22
22
26
26
26
27
27
28
28
28
29
31
31
32
33
33
33
34
34
34
34
34
34
35
35
35
36
38
38
outer
Creazione di matrici
Matrici in R
Esempi per le operazioni matriciali
Piccoli operatori
Indici vettoriali
v[v%%p ' 0]
Assegnazione vettoriale
Indici matriciali
L’opzione drop
rbind e cbind
Sistemi lineari con R
length e dim
det (determinante) e traccia
Matrici diagonali
abs (valore assoluto) e sign
Autovalori
Matrici simmetriche
eigen (autovalori e autovettori)
Matrici reali
I cerchi di Gershgorin
32
38
39
39
39
40
40
41
41
41
41
42
42
42
42
42
42
43
43
43
43
Analisi
I numeri binomiali
La formula di Stirling
Funzioni iperboliche
Derivazione simbolica
La derivata
La funzione esponenziale
Esempi per l’uso di D
La serie di Taylor
20
21
28
44
44
44
45
45
La professione del matematico
Che cos’è la matematica?
La professione
Dall’università all’azienda
Geometria applicata
La matematica in azienda
La statistica matematica
La matematica degli ingegneri
Matematica e chimica
La dinamica dei fluidi
Geomatematica
Malattie tropicali
La matematica del futuro
1
2
2
5
5
5
5
5
5
5
5
18
Varia
Il re dei matematici
Le basi di Gröbner
Il sito CRAN di Ferrara
Il crivello di Eratostene
6
6
30
40
Strumenti
L’alfabeto greco
1
Esercizi per gli scritti
Esercizi 1-13
Esercizi 14-17
Esercizi 18-22
Esercizi 23-27
Esercizi 28-43
Esercizi 44-53
Esercizi 54-58
Esercizi 59-66
Esercizi 67-76
10
15
18
22
25
30
34
38
43
Corso di laurea in matematica
Anno accademico 2004/05
Che cos’è la matematica?
Dividiamo questa domanda in due sottodomande, cercando di indicare prima i
costituenti elementari della matematica, poi come la matematica deve essere usata.
I componenti elementari del ragionamento matematico sono enunciati della forma ipotesi implica tesi; in questo senso la matematica non conosce affermazioni
assolute, ma soltanto proposizioni che si compongono ogni volta di un preciso elenco delle ipotesi che vengono fatte, e poi di una altrettanto precisa specificazione
dell’enunciato che secondo quella proposizione ne consegue. A questo punto non è
detto che la proposizione sia valida, bisogna ancora dimostrarla, e ciò significa,
nella matematica, dimostrare che la tesi segue dalle ipotesi unite agli assiomi e ai
risultati già ottenuti e alle regole logiche che dobbiamo applicare. Gli assiomi sono enunciati che vengono messi all’inizio di una teoria, senza dimostrazione; ogni
altro enunciato deve essere invece dimostrato.
È importante che bisogna sempre dimostrare una proposizione - che è sempre
nella forma ipotesi implica tesi! - nella sua interezza, cioè che si tratta di dimostrare la validità dell’implicazione e non la validità della tesi. L’enunciato A
implica B può essere vero, anche se B non e vero. Ad esempio in logica si impara
che, se l’ipotesi A è falsa, allora la proposizione A implica B è sempre vera. Quindi l’affermazione se 3 è uguale a 3.1, allora io mi chiamo Piero è sempre vera,
indipendentemente da come mi chiamo io. Nella pratica matematica ciò significa
che da una premessa errata si può, con un po’ di pazienza, dedurre qualunque
cosa.
La validità si riferisce quindi sempre a tutta la proposizione A implica B.
Mentre il matematico puro cerca soprattutto di arricchire l’edificio delle teorie
matematiche con nuovi concetti o con dimostrazioni, talvolta assai difficili, di teoremi, il matematico applicato deve anche saper usare la matematica. Nelle scienze
naturali e sociali, le quali pongono problemi molto complessi, uno dei compiti più
importanti è spesso la separazione degli elementi essenziali di un fenomeno dagli
aspetti marginali. In queste scienze le informazioni disponibili sono quasi sempre
incomplete, cosicché possiamo ogni volta descrivere soltanto una piccola parte della realtà. Anche quando disponiamo di conoscenze dettagliate, queste si presentano
in grande quantità, sono complesse e multiformi e richiedono concetti ordinatori
per poterle interpretare. Ciò significa che bisogna estrarre e semplificare.
Un modello matematico di un fenomeno ha soprattutto lo scopo di permettere di
comprendere meglio quel fenomeno, quindi di metterne in evidenza cause e effetti
e comportamenti quantitativi, di individuarne i tratti essenziali e i meccanismi
fondamentali. In un certo senso la matematica consiste di tautologie, e nel modello
matematico si tenta di evidenziare le tautologie contenute nel fenomeno studiato.
La teoria cerca di comprendere i processi e legami funzionali di un campo del
sapere.
La mente umana pensa in modelli. Anche quando non facciamo matematica
della natura, cerchiamo di comprendere la natura mediante immagini semplificate. La teoria inizia già nell’istante in cui cominciamo a porci la domanda quali
siano gli aspetti essenziali di un oggetto o di un fenomeno. La matematica non è
dunque altro che un modo sistematico e controllato di eseguire questi processi di
astrazione e semplificazione costantemente attivi nel nostro intelletto.
Il modello matematico, una volta concepito, se sviluppato correttamente, si mostra poi di una esattezza naturale che spesso impressiona l’utente finale che è tentato di adottare gli enunciati matematici come se essi corrispondessero precisamente ai fenomeni modellati. Ma ciò non è affatto vero: La precisione del modello
matematico è soltanto una precisione interna, tautologica, e la semplificazione,
quindi verità approssimata e parziale, che sta all’inizio del modello, si conserva,
e più avanza lo sviluppo matematico, maggiore è il pericolo che iterando più volte
l’errore, questo sia cresciuto in misura tale da richiedere un’interpretazione estremamente prudente dei risultati matematici. Proprie le teorie più avanzate, più
belle quindi per il matematico puro, sono spesso quelle più lontane dalla realtà.
Questo automatismo della matematica può essere però anche fonte di nuovi punti
di vista e svelare connessioni nascoste.
Un modello matematico è perciò solo un ausilio per la riflessione, per controllare
il contenuto e la consistenza logica di un pensiero o di una ricerca. In altre parole,
modelli sono strumenti intellettuali e non si possono da essi aspettare descrizioni
perfette della realtà. Essi non forniscono risposte complete, ma indicano piuttosto
quali siano le domande che bisogna porre.
L’astrattezza intrinseca della matematica comporta da un lato che essa rimanga
sempre diversa dalla realtà, offre però dall’altro lato la possibilità di generalizzare
i risultati ottenuti nelle ricerche in un particolare campo applicativo o anche uno
strumento della matematica pura a problemi apparentemente completamente diversi, se questi hanno proprietà formali in comune con il primo campo.
Numero 1
In questo numero
1
Che cos’è la matematica?
L’alfabeto greco
La professione
Dall’università all’azienda
La notazione matematica
Le funzioni
Uguaglianza di funzioni
Composizione di funzioni
Associatività
La funzione identica
L’immagine
Funzioni iniettive
L’assioma della scelta
Funzioni suriettive
Iniettività categoriale
Suriettività categoriale
Funzioni biiettive
Spazi di funzioni
Proprietà funtoriali
L’insieme delle parti
Geometria applicata
La matematica in azienda
La statistica matematica
La matematica degli ingegneri
Matematica e chimica
La dinamica dei fluidi
Geomatematica
Malattie tropicali
2
3
4
5
L’alfabeto greco
alfa
beta
gamma
delta
epsilon
zeta
eta
theta
iota
kappa
lambda
mi
ni
xi
omikron
pi
rho
sigma
tau
ypsilon
fi
chi
psi
omega
"$
&(
,*.
305 ,1
79
=;
!
#%
')
-/+
426
:8<
>
0 1
Sono 24 lettere. La sigma minuscola ha due forme: alla fine della parola si scrive , altrimenti
. In matematica si usa solo la .
Mikros (
) significa piccolo, megas
) grande, quindi la omikron è la o piccola
(
e la omega la o grande.
Le lettere greche vengono usate molto spes-
0
$?CDEF1
$? @.BA?1
H JLG KNM I è
I
B
un’abbreviazione per la somma M KPO M@Q O M?R O M
S G KVM I per il prodotto M K M Q M R M , mentre WYXZ èG
e ITJU
G
so nella matematica, ad esempio
un oggetto con due indici, per uno dei quali abbiamo usato una lettera greca.
ALGORITMI E STRUTTURE DI DATI
La professione
\ In genere lavoro in un team con ingegneri, biologi o bancari. Lavoro autonomo o in team nella programmazione
(chi conosce il C e il Perl può realizzare
le costruzioni e tecniche astratte matematiche imparate nel corso di laurea in
modo creativo e utile per l’azienda).
\ Il matematico deve essere in grado di
comprendere e analizzare i problemi
che si pongono nella prassi aziendale,
di tradurli nel linguaggio formale della matematica e di risolverli, spesso con
l’aiuto di tecniche e mezzi informatici.
\ Matematica finanziaria e attuariale
(calcolo delle probabilità, statistica, serie temporali, previsione dei valori di
borsa, calcolo dei rischi e delle tariffe).
\ Matematica aziendale (ottimizzazione,
statistica, teoria dei grafi). Il matematico può lavorare nei reparti di ricerca
operativa in grandi ditte, nello sviluppo di software aziendale, nel controllo
della produzione, nel servizio statistico,
nelle banche, nelle assicurazioni, nella
pubblica amministrazione.
\ Matematica industriale (equazioni differenziali, fisica matematica, ma anche statistica, serie temporali, ottimizzazione e controllo automatico, analisi
numerica).
\ Elaborazione delle immagini (applicazioni nell’industria, nella medicina,
nella robotica). Geometria (discreta e
differenziale) computazionale, grafica
al calcolatore).
\ Informatica teorica: algebra, strutture
ordinate, funzioni booleane (metodi
classici di semplificazione, diagrammi
di decisione, proprietà matematichestrutturali), linguaggi formali, automi.
Algoritmi. Analisi formale dei concetti.
\ Bioinformatica (confronto di sequenze,
studio dell’espressione genica, reti metaboliche). Statistica multivariata di
dati clinici di grandi dimensioni.
\ Possibilità di posizioni anche superiori (industria farmaceutica, ramo
attuariale-statistico).
Dall’università all’azienda
b Per inserirsi e crescere aziendalmente
nel modo migliore, è importante capire sin dall’inizio che cosa le imprese vogliono dai laureati appena assunti.
b Allenarsi al lavoro in team vuol
dire l’opposto che vedersi con i
propri simili: vuol dire sviluppare
l’interdisciplinarità, la capacità di farsi
capire da chi ha una cultura e un
gergo differenti, di trovare soluzioni
a problemi che toccano tutti in modo
diverso.
b L’università spinge invece ad aggregarsi per omogeneità, a verificare di sapere
tutti esattamente le stesse cose.
Purtroppo l’università abitua spesso a
un rapporto passivo, spersonalizzato,
burocratico e disincentiva l’iniziativa
individuale, la capacità di costruirsi
sentieri e schemi propri.
Gian Battista Rosa (ed.): Dall’università all’azienda.
ACTL 2002, 350p. Euro 30.
Numero 1
a.a. 2004/05
2
La notazione matematica
Le funzioni
Matematica e linguaggi di programmazione
hanno in comune la quasi perfetta precisione e allo stesso tempo la grande complessità
degli enunciati. È necessario quindi definire attentamente gli oggetti con cui si vuole
lavorare e le operazioni che si vogliono effettuare. Spesso questi oggetti e queste operazioni vengono utilizzati più volte nello stesso ragionamento o in una teoria. È quindi
necessario introdurre abbreviazioni e, siccome talvolta le stesse operazioni possono
essere effettuate su oggetti diversi, variabili. Ci limitiamo qui ad alcuni dei più comuni
concetti insiemistici.
L’insieme che consiste degli elementi viene
denotato con
.
è l’insieme di
tutti gli
che godono della proprietà
o che comunquepossono
essere descritti
dall’espressione
. Se
è elemento
di
. Il
un insieme , allora si scrive
simbolo significa uguale per definizione.
Alcuni insiemi di numeri:
Il concetto singolo più importante della matematica è certamente quello di funzione.
Mediante funzioni possiamo trasformare informazioni da una forma all’altra, possiamo
semplificare informazioni complesse o immergere informazioni in contesti più generali. Una funzione del tempo può essere studiata per scoprire proprietà di periodicità,
funzioni complicate possono essere decomposte in funzioni più semplici. Se per esempio sappiamo che il prodotto di due funzioni
continue è ancora continuo e se accettiamo
per certo che la funzione che manda un numero reale in se stesso è continua, possiamo immediatamente concludere che
la funzione che manda un numero reale in D è
anch’essa continua.
Il concetto di funzione in matematica è
molto generale. Una funzione (o applicazione) è definita da tre componenti: un insieme su cui la funzione è definita (il dominio della funzione), un insieme 2 (il codominio) di valori possibili (ogni valore della funzione deve essere un elemento di 2 ,
ma non necessariamente ogni elemento di
2 è valore della funzione), e un sottoinsieme \]I^ _372 (il grafico della funzione)
; che deve avere la proprietà che per ogni
2 tale che
` * esiste esattamente un 8
98
\ .
La tripla ab
<2c&\ si chiama allora una funzione da in 2 e si scrive anche
?
ad e d)fg
2 oppure i)h fg2 . Per ogni
con
2 per cui
` a * si denota quell’unico 8
98
\ .
Se a può essere espressa mediante una
`
,
formula, per a si scrive anche a j k6a
"
!
$# &% '
"
)*' )+% ),# # &% &'
.
.0/
!
"
.
e
!
Gli elementi di si chiamano numeri natu(
rali, quelli di numeri interi, gli elementi
(
di numeri razionali. L’insieme dei numeri
reali viene definito nei corsi di analisi ed è
denotato con 1 .
Molto importante e versatile è il concetto di prodotto cartesiano di insiemi: dati
due insiemi ed 2 , con 432 si denota
l’insieme delle coppie (ordinate) di elementi
che si possono formare prendendo come prima componente un elemento di e come
seconda un elemento di 2 :
53627
98
:;
<8
20
j kA>B >3; C .
formare l’insieme
a
#
%
t"
'
tu
volte
1:D è quindi il piano reale, 1,E lo spazio
tridimensionale. In statistica una tabella di
F righe ed G colonne di numeri può essere
considerata come una collezione di F punti
nello spazio 1:H .
Quando un insieme è contenuto in un
insieme 2 (ciò significa, per definizione, che
ogni elemento di è anche elemento di
- si scrive JIK2 . Cosı̀ abbiamo
! 2 ), allora
(
I
I
I71 . Due insiemi si chiamano
uguali se hanno gli stessi elementi. Ciò si
può formulare anche cosı̀:
'
%
v
%
#
u v
In questo caso w
# &% &' &t e per
2 possiamo
prendere ad esempio l’insieme
"
2x
# &% &' 9t .
Nell’analisi di una variabile reale si studiano funzioni definite su un intervallo di 1
a valori reali. Il grafo di queste funzioni è un
sottoinsieme di 1:D e può quindi essere rappresentato nel piano.
LM2 se e solo se 5IN2 e 2OIP .
L’unione QORTS di due insiemi Q e S è
l’insieme di tutti gli elementi che appartengono ad almeno uno dei due insiemi, mentre l’intersezione QVUWS è l’insieme dei loro elementi comuni, ciò degli elementi che
appartengono sia ad Q che a S .
Come
" in aritmetica è utile avere un numero , cosı̀ nell’insiemistica si introduce
un insieme vuoto apparentemente artificiale definito dalla proprietà di non avere alcun elemento. Esso viene denotato con X ed
è sottoinsieme di ogni altro insieme: XYIT
per ogni insieme (infatti ogni elemento di
X , cioè nessuno, appartiene a ).
Z0[
è un’abbreviazione per se e solo se.
j kWl9m n '
u
o l9m n
otzy${ l
Funzioni di questa forma, rappresentabili
come somme (finite o infinite) di funzioni trigonometriche, vengono studiate nell’analisi
armonica (o analisi di Fourier).
ALGORITMI E STRUTTURE DI DATI
Numero 1
a.a. 2004/05
Uguaglianza di funzioni
Associatività
Quand’è che due funzioni sono uguali?
Per definizione una funzione è una tripla.
Due triple di oggetti matematici
e sono uguali, se coincidono in
ogni componente, cioè se
e . Perciò due funzioni
! "#
$ "
e
sono
uguali se e solo se % & ' e
"#()" . Le prime due condizioni significano che le due funzioni hanno lo stesso dominio e lo stesso codominio che a questo punto
possiamo chiamare e ; analizziamo la
terza condizione, cioè "*+," . Ciò significa che, per -/.0 e 12./ si ha -3415.0"
se e solo se -617.8" e quindi 19 -
se e solo se 1#: - . In altre parole, la terza condizione è equivalente a -;: -
per ogni -9.0 .
Due funzioni e sono perciò uguali se
e solo se hanno lo stesso dominio e lo stesso codominio
e se inoltre -&< -
per ogni -9.0 .
Assumiamo che siano date tre funzioni
b
@a BC , dc
@BHG e Gf
@e BHg . Allora possiamo
formare prima D7I+ e comporre il risultato
con h ottenendo cosı̀ iJ= :h;I6 DjI! , oppure
comporre con h7IMD , ottenendo la funzione
i = kh5I3D Il . Dimostriamo che si ottiene
in entrambi i casi la stessa funzione. In primo luogo im ed i hanno lo stesso dominio
e lo stesso codominio g . Dobbiamo dimostrare che i -*=? A@!BC e DE=?F@BHG sono due funzioni, si può definire la funzione composta
DJIKL= A@B>G ponendo
D+I(3 -M= ND3 -O
per ogni -/./ . La funzione composta trasforma quindi prima - in 6- e applica poi
la D ad 3 - . Questa operazione è molto importante, sia per costruire nuove funzioni
da funzioni note, sia per studiare funzioni complicate decomponendole in funzioni
più semplici, rappresentando cioè la funzione complicata come composizione di funzioni più semplici.
Si usano allora spesso diagrammi commutativi: Un diagramma di funzioni
L’immagine
i -?:h#I+oDJI( -?
:h64oDJI5-OL)h6 Dp6-O4
i -?kh7I5D 3I(3 -?
kh7I5D p6-OL)h6 Dp6-O4
e quindi im -Ji - . Abbiamo cosı̀ ottenuto la legge di associatività per la composizone di funzioni:
h&I+oDJI(?kh&IqD lI5
Possiamo perciò tralasciare le parentesi e
scrivere semplicemente hImDI per una composizione di tre funzioni. In un diagramma commutativo la legge di associatività
ci permette di percorrere il diagramma seguendo le frecce, il risultato dipenderà solo dall’inizio e dalla fine del cammino. Verificare questa regola nell’ultimo diagramma
in basso a sinistra!
La legge di associatività corrisponde alla
commutatività del diagramma
D
G
si chiama commutativo, se P QD I7 . Siccome P e D/I2 hanno, per definizione, lo
stesso dominio e lo stesso codominio G ,
l’uguaglianza significa che P -*RD3 -O
per ogni -9.0 . Esempi:
UV
-3-
S
UV
UV
S
-
W
-
G
P
G
S
In analisi si dimostra che la composizione
di funzioni continue è continua; quindi se
UV
UV
]O^ _
-+[C\ e
sono consappiamo che
tinue, possiamo dedurre che anche la funU V ]O^ _
zione
[`\
è continua.
1&:3 -}
Una funzione 2= w@BC è detta iniettiva, se
trasforma elementi distinti di in elementi
distinti di ; quindi la funzione è iniettiva se e solo se l’uguaglianza 3 -6+~6-
implica - )- .
Proposizione 3.1. Sia f)
. Allora la funzione 2= w@BH è iniettiva se e solo se esiste
una funzione D = @BE tale che DIF)spt u .
Dimostrazione: (1) sia iniettiva. L’idea
della costruzione di D è di mandare ogni 19.
ypz*z
(unico per la inietti in quell’ -n.,
ypz*z
,
vità di ) per cui 103 - . Se
abbiamo già finito. Cosa facciamo però, in caso generale, con quegli 12.0 che non apparypz*z
? A questo scopo scegliamo
tengono ad
un elemento qualsiasi -*.9 (ciò è possibile
) e mandiamo tutti
perché per ipotesi
ypz*z
!} in - .
gli elementi di {m18.H |j1H.
In altre parole
-
se 1&:3 -
altrimenti
= ){3 --(| -9.0 /}
yz*z
j}
.
(2) Molto più semplice, ma in un certo senso anche più interessante è la seconda direzione della dimostrazione, perché dà un
primo saggio dell’efficacia di questo modo
astratto di ragionare. Assumiamo che esista
una funzione D)=+ @BC tale che DLI&,
spt u . Per dimostrare che allora è iniettiva,
prendiamo due elementi -6 e - di per cui
3 -j?:3 - .
Ma, per ipotesi, D3 -O- per ogni -8.
, e quindi - ND3 - O?ND3 -O?N- .
L’assioma della scelta
La funzione identica
Per ogni insieme
tica (o identità) spt
esiste la funzione idenUV
-8=j w@BE . Per
uv=
ogni funzione H=; w@BC
gramma commutativo
abbiamo un dia-
spt u
h
r
S
]O^ _
con
Funzioni iniettive
#&= ){ 1j- K| 1F.AM10.
g
-/./
e
S
S
esiste
è quindi un sottoinsieme di e consiste di quegli 19.w che sono immagine sotto
di qualche elemento di .
In verità, in un diagramma commutativo
non useremo il cerchietto per denotare la
composizione, ma daremo dei nuovi nomi a
tutte le frecce; che nel diagramma che segue
P
NDI segue proprio dalla commutatività.
-1
-#[>\
n{m12./~|
ypz*z
h
h&I5D
UV
L=n{6-(| -/./ 0}
In verità avremmo dovuto definire D mediante un grafo. È però chiaro che basta porre
D&kM4 22 con ~) 9 , dove
D
D
X YZ
D+I5
SCT2S
VU
ypz*z
D1?
g
P
sia un’applicazione. Allora l’imè l’insieme
E=l w@BH
magine di
3
st x
Quando si sviluppa assiomaticamente la teoria degli insiemi, si scopre che un enunciato che per molti versi sembrerebbe naturale,
non può essere dedotto dagli altri assiomi.
È quindi necessario aggiungerlo al sistema
degli assiomi insiemistici. Questo enunciato
prende il nome di assioma della scelta e può
essere formulato in questo modo:
Sia
un insieme e per ogni 1E.` sia dato un insieme non vuoto Y in modo tale che
per 1H
gli insiemi Y ed non abbiano
elementi in comune. Allora esiste un insieme
contenuto nell’unione degli Y tale che per
ogni 1,. l’intersezione <E Y possieda
esattamente un elemento.
ALGORITMI E STRUTTURE DI DATI
Numero 1
a.a. 2004/05
4
Funzioni suriettive
Suriettività categoriale
Proprietà funtoriali
è detta suriettiva
Una funzione
se ogni elemento di
è immagine di qual.
che elemento di , cioè se
Proposizione 4.3. La funzione
è suriettiva se e solo se per ogni insieme e
e
ogni coppia di funzioni
l’uguaglianza
im.
plica
Proposizione 4.5. Siano date funzioni
Proposizione 4.1. La funzione
è suriettiva se e solo se esiste una funzione
tale che .
Dimostrazione: (1) sia suriettiva. Sta
volta la costruzione di non è affatto elementare e richiede l’assioma della scelta.
Per ogni "! definiamo
#%$ '&)(*+-,./!10243 %(*,5.67
8 9 per ogni
# $:
Siccome la è suriettiva,
8 ? non
%
#
$
>
#
=
;!< . Inoltre ed per @
hanno elementi in comune, come è evidente
dalla definizione. Per l’assioma della scelta
esiste un insieme
contenuto nell’unione
(e quindi contenuto in
degli
perché
per ogni ) tale che
per ogni
possiel’intersezione
da esattamente un elemento.
Quest’ultima condizione significa però
per ogni
esiste esattamente un
tale che
.
Perciò la tripla
è una funzione ben definita.
Dobbiamo però dimostrare che
, cioè che
per ogni
.
Ma
è proprio scelto in modo tale che
!
Riassumiamo la dimostrazione di questa
prima parte: L’idea intuitiva è semplicemente che per ogni
scegliamo un
tale che
(un tale
esiste sempre per l’ipotesi della suriettività
della ). Poi formiamo
. Ma senza l’assioma della scelta non riusciamo a dimostrare che in questo modo
abbiamo veramente definito un insieme .
A
#>$
# $CD <0
AE ># $
!
(*+-,./!2 A
*( ).
%( (*).I.6
"!2
F( G+H"+-A".
%( (*.I.J:
, $ !L
7
B0C
,!
!K
z .
(2) Se viceversa esiste una funzione
tale che
e
,
allora è iniettiva e suriettiva, quindi biiettiva, per le prop. 3.1 e 4.1. Abbiamo quindi
il seguente risultato.
Y{
Z]^ [ O/Z
5
Z
ZJom [ /ZO
Proposizione 4.4. La funzione
è biiettiva se e solo se esiste una funzione
t.c.
e
.
è allora univocamente determinata.
Z
Spazi di funzioni
l
l [
5 l
Per insiemi
ed
definiamo
come
l’insieme di tutte le funzioni
. Un
o un suo sottoininsieme della forma
sieme si chiama uno spazio di funzioni. Sia
una funzione.
X)
l [
Per ogni insieme T ed ogni funzione
| (1)
! | X} possiamo
formare la composizione
~( . MX | !Cn} , ottenendo cosı̀ una
funzione j~)}\5} .
(2) Per ogni insieme l ed ogni funzione
U~ !xl possiamo formare
la composizione
(U.m yUm~ n'! 1l [ ,[ ottenendo cosı̀ una
l l .
funzione
o può essere identificato con n _ 5 .
{ T
} ~ O}
~
} 5{ o}
( OkZ . ~ ~ kZ ~
Dimostrazione: Sia | !X2} .
Allora ( /WZ . ~ ( | .61( /WZ . | /s(hZs | .s
j~(hZ] | .sj~(hZi~( | .I. .
e
.
sia un insieme. Come prima abbiamo applicazioni
e
. Allora
Proposizione 4.6. Siano date funzioni
5{ l sia
~ un insieme.~ Abbial 5 l [ e Jl { l . Al( OkZ . ~ KZ ~ o ~
Dimostrazione: Sia UX!lJ .
~
Allora ( /WZ . (U).sUG6( kWZ .G1(UG%5. WZO
~Z (Uno5.sKZ ~ ( ~ (U.I. .
una funProposizione 4.7. Sia
e
.
mo applicazioni
lora
zione. Allora:
~ % }\5}
T.
~ 5l 5 l [
è suriettiva <
per ogni insieme l .
è iniettiva
per ogni insieme
è iniettiva
è iniettiva
Dimostrazione: Ciò non è altro che una riformulazione delle prop. 4.2 e 4.3.
L’insieme delle parti
L’insieme delle parti di un insieme
è definito come l’insieme di tutti i sottoinsiemi
stesso e
di . Ne fanno parte almeno
l’insieme vuoto che sappiamo essere sottoinsieme di ogni insieme. Se
è vuoto e
quindi coincide con , l’insieme delle parti
ha un solo elemento ed è uguale a
; se
possiede esattamente un elemento,
e non ci sono sottoinsiemi di
diversi da
e , quindi l’insieme delle parti è uguale all’insieme
e possiede due elemenè un insieme finito con
ti. In genere, se
elementi, l’insieme delle parti consiste di
elementi. L’insieme delle parti di
si denota con
.
9
9
&9+N27
Q(*X.
9
&9 7 8
e9
r
(*X.
&9)7
&cb)7 &9+&cb)7j7
&cb+qj7 &9+&cb)7 + &jqj7)+ &cb+q7i7
&cb+ q +Nri7 &9+&cb)7 + &jqj7)+ &r 7
&cb+qj7 +v&cb+Nr 7)+&iqi+-ri7)+&cb+qi+ri7i7
Una funzione booleana di variabili è una
funzione o&cb+qj7 x&cb+qj7 o, equivalentemente, una funzione 1^(*X. &cb+ q7 ,
dove è un insieme con elementi.
Il numero delle funzioni
booleane è esor` funzioni
bitante. Esistono r
booleane di
variabili, quindi 65536 funzioni booleane
9
con 4 argomenti, più di 4 miliardi con 5 argomenti, più di 18 miliardi di miliardi con
6 argomenti (ogni volta che si aggiunge una
variabile il numero delle funzioni booleane è
il quadrato di quello precedente).
Le funzioni booleane appaiono, sotto vesti
distinte, nella matematica pura, nello sviluppo di circuiti elettronici, nella ricerca medica. Su Google con boolean gene expression
cancer filetype:pdf si trovano 900 files.
ALGORITMI E STRUTTURE DI DATI
Numero 1
a.a. 2004/05
5
Geometria applicata
La matematica degli ingegneri
La dinamica dei fluidi
La geometria viene utilizzata in molti campi della tecnologia moderna: nella tomografia computerizzata, nella pianificazione di
edifici, nella creazione di animazioni per
film e pubblicità, nell’analisi dei movimenti
di robot e satelliti.
La matematica è di grande aiuto nella
grafica al calcolatore; conoscere le operazioni fondamentali della geometria (traslazioni, rotazioni, riflessioni, coordinate baricentriche, i vari tipi di proiezioni) permette di creare facilmente programmi di grafica con caratteristiche che talvolta mancano
anche nei programmi di grandi produttori
quando non sono stati sviluppati da matematici.
A livello più avanzato la geometria studia le varie rappresentazioni di curve, superficie e varietà geometriche di dimensione superiore, mediante rappresentazioni
parametriche oppure sistemi di equazioni.
Si impara allora come passare da una
rappresentazione parametrica a un sistema di equazioni che descrive la stessa varietà e viceversa; si studiano le funzioni che
trasformano una varietà in un’altra.
Nella statistica medica i dati sono spesso
punti in spazi di alta dimensione (se in una
analisi di prove di sangue con la spettrometria di massa vengono rilevate le concentrazioni di 80 molecole,
ogni prova corrisponde a un punto di
). Se adesso vogliamo
suddividere i pazienti in gruppi caratteristici (sani e malati nel caso più semplice)
abbiamo bisogno di metodi geometrici per
definire validi criteri di separazione.
Problemi ingegneristici hanno quasi sempre una forte componente matematica: dalla teoria dei materiali all’elaborazione dei
segnali, dall’interpretazione di misurazioni al controllo di qualità, da modelli per
il corpo umano e i suoi movimenti (ad
esempio nell’industria automobilistica, ma
anche nell’industria tessile - in sartoria!)
all’analisi strutturale di edifici e ponti, dai
modelli matematici per i processi fisici e
chimici in un altoforno all’ottimizzazione
dell’illuminazione in impianti industriali,
dallo studio dell’erosione nel letto di un
fiume ai problemi inversi della geofisica
(importanti per esempio anche nell’analisi
strutturale di monumenti e edifici), dappertutto si utilizza la matematica.
Potremmo elencare tanti altri campi di
applicazione: la geometria dei movimenti
(cinematica) in robotica e nella costruzione
di macchine, teoria dei sistemi e controllo
ottimale nell’automazione, modellazione di
reazioni chimiche nella chimica industriale,
ottimizzazione strutturale di componenti di
macchine o della composizione di punte per
trapani da dentista, microstruttura di metalli, costruzione di autoveicoli, treni ed aerei, ottimizzazione di orari ferroviari, pianificazione urbanistica, telecomunicazioni.
Uno dei campi più classici e allo stesso tempo
più attuali della fisica matematica è la dinamica dei fluidi e dei gas. Essa richiede un ricco bagaglio di tecniche matematiche, soprattutto dall’analisi (equazioni differenziali parziali) e dalla geometria differenziale (calcolo
tensoriale), oltre a solide conoscenze in meccanica dei continui e termodinamica (densità
e viscosità e altre caratteristiche di un fluido o di un gas dipendono dalla temperatura e viceversa – un gas si scalda se viene
compresso). È una disciplina molto vasta con
tantissime applicazioni: costruzione di macchine (iniettori, turbine, ventilatori, pompe),
ale di aerei, eliche di aerei e di navi, ruote a
vento, modelli per nuovi materiali, flussi in
medi porosi, raffreddamento di vetri, produzione di fibre plastiche, serbatoi di olio, ottimizzazione del caffè espresso, studio della formazione di vortici e turbolenze, combustione, detonazioni, modelli per il movimento di animali (pesci, serpenti, uccelli), modelli aerodinamici per la meteorologia (circolazioni e turbolenze atmosferiche, moto dei
venti attorno a grandi catene di montagne,
uragani, convezione termica nell’atmosfera)
e l’agricoltura (moto dell’aria in piantagioni
o foreste), aerodinamica di edifici, pianificazione di esperimenti aerodinamici e idrodinamici (costruzione di canali aerodinamici),
previsione delle interazioni con l’aria di treni ad alta velocità, stima delle esposizioni al
vento di un ponte. In medicina la fluidodinamica del sangue è un campo importante ma
ancora piuttosto difficile (prevenzione di aneurismi e patologie circolatorie).
La matematica in azienda
La matematica aziendale comprende
da un lato la ricerca operativa, cioè
l’ottimizzazione delle risorse di un’azienda
o di un ente, una disciplina che si è evoluta
dall’ottimizzazione lineare a metodi sempre più avanzati (ottimizzazione quadratica,
convessa, dinamica, geometria dei numeri
e ottimizzazione intera, topologia algebrica, programmazione logica), e dall’altro,
soprattutto in campo bancario, la moderna sofisticata matematica finanziaria
che deriva dalla matematica attuariale,
ma utilizza strumenti matematici molto
complicati.
Processi stocastici e serie temporali oltre
che in matematica finanziaria hanno molte
altre applicazioni in economia: osservazioni
del carico elettrico della rete ENEL, cambiamenti demografici, andamento di mercati e borse.
La statistica matematica
Lo statistico che lavora in un’azienda,
nell’amministrazione pubblica o nella ricerca clinica, deve comprendere i compiti che
gli vengono posti e deve essere in grado
di interagire con i committenti. Nonostante ciò la statistica è di sua natura una disciplina matematica che si basa sul calcolo
delle probabilità e richiede conoscenze tecniche in altri campi della matematica come
analisi reale e complessa, analisi armonica, calcolo combinatorio (ad esempio per la
pianificazione di esperimenti).
Corso di laurea in matematica
Matematica e chimica
Il ruolo della matematica in chimica è in rapida crescita, essa viene applicata ad esempio nel disegno razionale di farmaci, nella
selezione e sintesi di nuovi materiali, come
guida nella ricerca di nuovi catalizzatori,
nello sviluppo di algoritmi per la dinamica
molecolare, nella risoluzione di problemi di
ottimizzazione di conformazioni, per la comprensione del ripiegamento delle proteine,
nello studio del trasporto di sostanze attraverso le membrane esterne ed interne della cellula (fondamentale per la farmacologia), nell’analisi del complicato avvolgimento delle molecole di DNA, nello studio della
struttura di cristalli e quasicristalli, nella
chimica quantistica.
La geometria e la topologia possono contribuire alla comprensione della struttura
tridimensionale delle molecole, la teoria dei
grafi permette non solo la visualizzazione
dei legami chimici, ma può essere applicata
alla rappresentazione di reazioni chimiche
oppure nell’organizzazione di banche dati di
molecole o della letteratura chimica; il calcolo combinatorio e la teoria dei gruppi intervengono nella chimica combinatoria, una
tecnica sempre più utilizzata dall’industria
farmaceutica. Il matematico può lavorare
nello sviluppo di algoritmi per la trasformazione di Fourier per le applicazioni nella
spettroscopia molecolare oppure nella chimica quantistica computazionale.
Equazioni differenziali parziali, analisi armonica, processi stocastici, statistica,
analisi numerica, teoria combinatoria dei
gruppi finiti, teoria dei grafi, quasiordini,
teoria dei numeri (generazione di numeri
casuali), geometria computazionale e grafica al calcolatore nella modellistica molecolare (computer aided molecular design e
computer aided drug design): sono poche le
discipline matematiche che non hanno interessanti applicazioni in chimica.
Corso di Algoritmi e strutture di dati
Geomatematica
Questo è un campo nuovo, molto bello e difficile della matematica. Funzioni speciali della geofisica matematica, funzioni armoniche
sulla sfera, operatori pseudodifferenziali della geodesia matematica, metodi di approssimazione multivariata, splines, wavelets, metodi degli elementi finiti nella geodesia, determinazione del campo gravitazionale della
Terra, analisi delle deformazioni della superficie terrestre, effetti della rifrazione atmosferica, determinazione del campo magnetico
della Terra mediante l’analisi di dati trasmessi da satelliti, sono solo alcuni dei temi
di questa interessante disciplina.
Malattie tropicali
È tipico per la natura viva che essa pone
dei problemi che difficilmente possono essere
perfettamente modellati con i metodi matematici classici sviluppati in genere per la fisica o l’ingegneria. Ciò da un lato vale naturalmente anche per le malattie tropicali come malaria, bilharziosi, filariosi, leishmaniosi, dall’altro lato queste malattie colpiscono ogni anno centinaia di milioni di persone, sono trascurate dalle ditte farmaceutiche
(i pazienti non possono pagare) e richiedono quindi interventi ecologici o politici molto
impegnativi. Alla pianificazione di questi interventi anche i modelli matematici possono
contribuire e sicuramente la medicina tropicale è attraente per il suo fascino e per il lato
umano.
Docente: Josef Eschgfäller
Corso di laurea in matematica
Anno accademico 2004/05
Il re dei matematici
Numero 2
In questo numero
Carl Friedrich Gauß (1777-1855) è considerato il re dei matematici. La lettera ß alla fine del nome è una s tedesca antica; il nome
(talvolta scritto Gauss) si pronuncia gaos, simile a caos, ma con la g invece della c e con
la o molto breve e legata alla a in modo che le
due vocali formino un dittongo. Nessun altro
matematico ha creato tanti concetti profondi
ancora oggi importanti nelle discipline matematiche più avanzate (teoria dei numeri, geometria differenziale e geodesia matematica,
teoria degli errori e statistica, analisi complessa). Il ritratto lo mostra a ventisei anni.
È stato forse il primo a concepire le geometrie non euclidee, ha dato una
semplice interpretazione dei numeri complessi come punti del piano reale
con l’addizione vettoriale e la moltiplicazione
!"$#%& '(*)+"
e ha dimostrato il teorema fondamentale dell’algebra (che afferma che
ogni polinomio con coefficienti complessi possiede, nell’ambito dei numeri complessi, una radice), ha introdotto la distribuzione gaussiana del
calcolo delle probabilità, ha conseguito importanti scoperte nella teoria
dell’elettromagnetismo; è stato direttore dell’osservatorio astronomico di
Gottinga.
L’algoritmo di eliminazione era noto nel 1759 a Lagrange (1736-1813) e
già 2000 anni fa in Cina; Gauß lo ha usato nel suo lavoro sui moti celesti
del 1809, in cui descrisse il metodo dei minimi quadrati, una tecnica di
approssimazione ancora oggi universalmente utilizzata.
Le basi di Gröbner
Se si prova ad imitare l’algoritmo di eliminazione nella soluzione di sistemi polinomiali di grado maggiore di uno, ad esempio di
,(-.0/21&-3 /24(-6587(3:9<;
- . /23 . />-?/A@ B3:9C,
=
si incontrano molte difficoltà (provare). Il
problema è stato risolto solo nel 1965 con
l’introduzione delle basi di Gröbner (Wolfgang Gröbner, 1899-1980, era un matematico austriaco)
e dell’algoritmo di
Buchberger (Bruno Buchberger, nato 1942), molto più
profondo e complicato dell’algoritmo
di eliminazione nel
caso lineare. Sistemi di equazioni polinomiali appaiono
in molti campi delWolfgang Gröbner
la matematica con
numerose applicazioni in ingegneria e statistica. Per questa ragione la geometria algebrica computazionale (compresa la geometria algebrica reale, importantissima
e molto difficile) è oggi un campo estremamente attivo della matematica, intera-
gendo con la teoria dell’ottimizzazione, la
teoria dei poliedri convessi, la crittografia, le equazioni differenziali parziali, la
fisica teorica e, se ci si fida, la matematica
finanziaria.
Bruno Buchberger nel 1987 ha fondato
il RISC (Research Institute for Symbolic
Computation, www.risc.uni-linz.ac.at/),
che ha sede nel castello di Hagenberg a 25
km da Linz e di cui è stato direttore fino
al 2003.
Il RISC è un istituto dell’università di
Linz e ospita circa 70 collaboratori, tra
cui molti studenti. Le attività, iniziate
con la geometria algebrica algoritmica
nell’intento di sfruttare le possibilità offerte dall’algoritmo di Buchberger, sono molto varie, ma hanno tutte in qualche modo
da fare con
la risoluzione di equazioni e disequazioni, talvolta
in senso molto lato confinando con la
logica computazionale, la
Il castello di Hagenberg
dimostrazione automatica di teoremi, l’inteligenza
artificiale, la robotica e la chimica industriale.
6
7
8
9
10
Il re dei matematici
Le basi di Gröbner
Equazioni lineari in una incognita
Sistemi astratti
Due equazioni lineari in due incognite
Esempi
La forma generale della regola
di Cramer
Determinanti
L’algoritmo di eliminazione di Gauß
Sistemi con più di una soluzione
L’insieme delle soluzioni di un
sistema lineare
Esercizi 1-13
-F9
- 6- 9
<9 B D
D-69 E E
D G la soluzione è unica e data da D .
Per H
-
Equazioni lineari in una incognita
E D E
Siano dati numeri reali e . Cercare di risolvere l’equazione
nell’incognita significa
.
cercare tutti i numeri reali per i quali
Dimostrazione: È chiaro che le seguenti equazioni sono equivalenti, cioè se soddisfa una di
esse, allora le soddisfa tutte:
-69
-D 9 E
D -69 E
D D
E
D
È evidente che nel nostro ragionamento solo le
proprietà algebriche formali dei numeri reali sono state usate e che rimane quindi valido, cosı̀
come le considerazioni successive, se lavoriamo
con numeri razionali o numeri complessi o altri insiemi di numeri con quelle corrispondenti
proprietà. Si vede comunque anche che abbiamo
avuto bisogno di poter dividere per un numero
, e quindi il risultato non è vero nell’ambito
dei numeri naturali o interi.
Un insieme, su cui sono date due operazioni
di addizione e di moltiplicazione che soddisfano
le familiari regole di calcolo e in cui si può sempre dividere per un elemento
, in matematica
si chiama un campo. Quindi l’algoritmo di eliminazione di Gauß rimane valido per sistemi di
equazioni lineari i cui coefficienti appartengono
a un campo qualsiasi.
Elenchiamo le regole che devono valere in un
campo; verranno stabilite e studiate più dettagliatamente negli altri corsi.
9IB
G
9K
D E /F/ B?99 D / E
/3 " ?4 3-@ @ 4 .!.!."4 3 $="$A ' # @ BC !!! *!$+
coincidono.
Dimostrazione. Per dimostrare l’uguaglianza tra i due insiemi, dobbiamo dimostrare che ogni elemento del primo insieme è anche elemento del secondo, e che ogni elemento del
secondo insieme è elemento del primo.
Sia quindi un elemento fissato di X
(1)
'
' !!!! * $ . È chiaro che allora anche
Sia
3 ' G:4 3D@ @C E4 !. ."."4 3 $F"$ G
"@!
$ C
(2) Sia viceversa
3 ' G:4 3 @ @ E4 .!."."4 3 $ $ G
"@C!
!$ C
FH Ma se sostituia @C FH' !!!" #!$ 'FI nella .prima
equazione,
Dobbiamo dimostrare che
mo
vediamo che
3 'G .
Qui possiamo adesso applicare la nostra ipotesi che
3 F< . Essa implica ' .
3 <
Attenzione: Il ragionamento non vale più, se non sappiamo
!
che
@
Nota 7.4. Nel seguito avremo
oppure, più in generale,
. Nel primo caso scriveremo gli elementi di
nella forma
, cosicché denoterà la prima coordinata
di un elemento e non l’elemento stesso.
Gli elementi di
saranno scritti nella forma
,
gli elementi di
nella forma
. Questo
passaggio da una notazione all’altra è frequente e diventerà
presto familiare.
)J - 2KL
)J
)M
Q #RS #T! Q @ * R @ # T @ . Risolvere il sistema lineare
significa trovare tutte le coppie
di numeri reali che soddisfano entrambe le equazioni. Per poter applicare il teorema 7.3 introduciamo le funzioni
definite da
denotiamo l’insieme
e
7
/ !!"! P
J
E #KN PO
Q X
%' * @ W . La-
cosicché l’insieme delle soluzioni cercate coincide con
.
sciamo come esercizio il caso molto facile che
Assumiamo quindi che
e definiamo la funzione
Q <
Q " @Y(Q @
M
Per il teorema 7.3 abbiamo
) ' # @ BG ) ' # B
M
B
<
perché è @ che sicuramente appare con un coefficiente
esteso l’equazione
M diventa
Q Q @ 4 Q !R @ K (Q "T @);Q @Q S (Q @ R* "KZ4 QL@ T! X
in
M . Scritta per
cioè
[Q " R Z@ (Q @ RS S\K7 Q " T )@ ;Q @ T! ,
e quindi le soluzioni del sistema originale coincidono con le soluzioni del sistema
Q " 5R 4UR K7T
[Q Z@ (Q @ RS S\K7
R @ ]Q
Il numero Q
Q " T )@ ;Q @ T!
@ R si chiama il determinante del sistema; lasciamo
^
< ,
ancora come esercizio il caso che il determinante si annulli; se è invece
allora la seconda equazione significa che
K7 Q !" TR @);Q @ T!R*
Q )@ ;Q @
.
Se per numeri reali
`` Q b
T!
`
7K `` Q @ TR @
`` Q R
` Q @ @
``
``
Q #R" #T #_
poniamo
`` Q R
`` a
T _
`` _ R*T
`` Q , possiamo scrivere
``
``
Vediamo che anche il numeratore ha la forma di un determinante; infatti si
ottiene dal denominatore sostituendo per la seconda colonna la colonna che
costituisce il lato destro del sistema.
A questo punto possiamo calcolare anche . Ricordando che
, otteniamo
T! RS Q " TR @);Q @ T!RS
!
T
R
S
!
K
=
Q @);Q @
Q
Q
Q "R @ T! ;Q @ RS T! R* Q "T @ 4cRS Q @ T!
Q >Q "R @Y(QL@ RS !
Q R @ T R R Q RST !@ R @ "RT R T RS@
Q >Q @);Q @
Q @Y(QL@
<
Q /
`` T! bRS ``
` T R `
``` Q @ R @ ```
`` QL@ R @ ``
A
< , il sistema possiede
Quindi nel caso che il determinante del sistema sia
un’unica soluzione data da
`` T! bR* ``
`` Q bT! ``
`` T @ R @ ``
`
`
` bRS ` K7 `` Q @ dTRS@ ``
`` Q R ``
`` Q R ``
` Q @ @ `
` Q @ @ `
Si osservi che il numeratore di si ottiene anch’esso dal determinante del
sistema, sostituendo stavolta la prima colonna con il lato destro del sistema. Questo risultato è molto importante per l’algebra lineare e può essere
generalizzato a più dimensioni; è noto come regola di Cramer.
ALGORITMI E STRUTTURE DI DATI
Numero 2
a.a. 2004/05
Esempi
Determinanti
Risolviamo con la regola di Cramer il sistema
Conosciamo già i determinanti
Il determinante del sistema è
, quindi
!
"
#
%$
* +
G +
* /
G /
*=H!G5H
3 +
3 /
3 H
* +
G +
*K/LG5/
*KHLG5H
*=MNG-M
3 J
+
IK+
3 /
I /
3 H
I H
3 M
I M
G5/
* +
5G H
9
&'
&'(
$
Esercizio. Perché non si può applicare la regola di Cramer al
sistema
&'
&'
9
*.+0/ /
* /5/ /
11 1
11 1
*.+02 2
* /52 2
3 +
3 /
* 2./ /
66 6
1 1 1
* 2.2 2
3 2
Anche in questo caso più generale si può definire il determinante del sistema, un numero che viene denotato con
8:9
* ;+ /
* /-/
6 66
=
* 2>+"*=2./
6 66
6 66
* 0+ 2
* /52
6 66
*=2,2
e si dimostrerà nel corso di Geometria I che questo determi@
se e solo se il sistema possiede un’unica soluzione
nante è ?
che in tal caso è data da
3 A
*.+;/
+
3 /
* /-/
3 2
+
3 +
3 /
*=2>+
3 2
/
* 2./
* 5+ +
*=/<+
6 6 6
8
6 6 6
8
66 6
66 6
*.+02
* /52
66 6
* 2,2
66 6
66 6
* 0+ 2
*=/52
66 6
*=2,2
...
* -+ +
* +0/
*=/4+A*=/5/
2
,B
*=27+"*=2,/
6 6 6
8
G<+
* / 5G H
G-M
G +
*OM G5/
G5H
I /
3 H
3 M
G<+
*=H
G /
I H
I M
3 "
+
IK+
3 /
I /
3 MLIM
3 +
3 /
3 +
3 H
3 M
I +
I H
I M
3 "
+
IK+
3 /
I /
3 H
I H
DF
Lemma 8.3. Un determinante
regola
.
* +"G<+
* /
G /
* H
G H
3 +
3 /
3 H
G5/
* +
5G H
9
può essere calcolato anche secondo la
G + *=/
=
* H
3 /
3 H
S3 + *=/LG5/
=
* HLG5H
3 /
3 H
Dimostrazione. Le due espansioni si distinguono in
Sia dato un sistema di ) equazioni lineari in ) incognite (quindi
il numero delle equazioni è uguale al numero delle incognite):
3 /
3 +
3 H
DP
La forma generale della regola di Cramer
* 5+ +
* /<+
* / G<+
5G H
3 H
Lemma 8.2. Se in un determinante
scambiamo tra di loro due righe
R
o due colonne, il determinante si moltiplica con
.
&'
* 27+ +
* + G / * / G + .
Dimostrazione. Immediata.
Eppure non è difficile trovare “tutte” le soluzioni. Perché ho
messo “tutte” tra virgolette? E perché è anche (quasi) facile trovare tutte le soluzioni di
*,+-+ +
* /4+ +
e cosı̀ via. Si noti l’alternanza dei segni. I determinanti hanno molte proprietà importanti che verranno studiate nel corso di Geometria. Qui ci
PD
PDQ
limiteremo a determinanti
e
, per i quali dimostriamo alcune
D
) , se riformulate in
semplici regole, valide anche per determinanti )
modo naturale.
&'
3 /
G5/
* + 5G H
G-M
G +
* H G5/
G M
Esercizio. Risolvere da soli
*.+"G<+
G /
: * /
Definizione 8.1. Per induzione definiamo i determinanti di ordine superiore:
diverso da , per cui
EDF
8
e
* / G +
G H
3 +
3 H
G + * /
* H
=
3 /
3 H
G +
*=H
5G /
3 +
3 /
G /
T3 + * /
=
* H!G5H
* / G + 3 H
G + * / 3 H
* / G5H 3 +
*=HG + 3 / *=HOG / 3 +
G + *=H 3 / T3 + * / G-H 3 + *KHG /
che però, come vediamo, danno lo stesso risultato.
Lemma 8.4. Se si scambiano due righe o due colonne in una matrice
R
il determinante si moltiplica per
.
UD&
,
Dimostrazione. Ciò, per il lemma 8.2, è evidente per lo scambio della
seconda e della terza colonna e, per il lemma 8.3, anche per lo scambio
della seconda e della terza riga. Se invece scambiamo la prima e la seconda
colonna, otteniamo il determinante
G +
* +
G /
* /
G5HL*=H
3 +
3 /
3 H
* /
G4+
* H
9
3 /
3 H
*.+ G /
G H
3 /
3 H
S3 + G /
G H
* /
* H
uguale, come si vede subito, al determinante originale moltiplicato per
Gli altri casi seguono adesso applicando le regole già dimostrate.
R
.
Lemma 8.5. Se in un determinante appaiono due righe o due colonne
uguali, allora il determinante è uguale a .
DQ
Dimostrazione. Ciò per un determinante
è ovvio, e se ad esempio
DV
)
sono uguali le ultime due colonne, l’enunciato segue (usando il caso
DV
dalla formula di espansione anche per i determinanti
, e poi dal caso
TDF
D
anche per i determinanti
ecc.
Esempio. Verificare con calcoli a mano che
6 66
6 66
3 +
3 /
6 66
3 2
* +
* /
* H
* +
* /
* H
3 +
3 /
3 H
.
* +"G<+
* /
G /
* H
G H
*.+
* /
* H
e che
è quindi un quoziente il cui numeratore si ottiene dal determinante del sistema, sostituendo la C -esima colonna con il lato
destro del sistema.
3 +
3 /
3 H
.
* +"G<+
* /
G /
* H
G H
3 +
3 /
3 H
L’ultima uguaglianza è un caso speciale di un’altra proprietà fondamentale dei determinanti.
ALGORITMI E STRUTTURE DI DATI
L’algoritmo di eliminazione di Gauß
La teoria dei determinanti e la regola di Cramer hanno una
grandissima importanza teorica, ma non possono essere utilizzate se non per sistemi in due o al massimo tre incognite. Inoltre
la regola di Cramer si applica solo al caso di un sistema quadratico. Esiste invece un metodo molto efficiente (anche nel calcolo
a mano) per la risoluzione di sistemi di equazioni lineari, che
viene detto algoritmo di eliminazione di Gauß e che consiste
nella sistematica applicazione del teorema 7.3.
Esempio 9.1. Consideriamo il sistema
!"#
$!"&%
&%5+,-).0/21 !
Le indichiamo alla destra delle equazioni corrispondenti. Con la
notazione che abbiamo introdotto nell’osservazione 7.2 poniamo
&61 78 #
Per il teorema 7.3 allora
+9:35)* # 35)*&% ;/<=+>?6 ;5)@ # ;5)@&%$3/
A
&6
perché il coefficiente con cui
appare in
è diverso da . Es&6 ;
plicitamente
equivale a
+B /C85+ D8$ /E F
F
cioè a
G ;
.
Se chiamiamo due sistemi equivalenti quando hanno le stesse
soluzioni, possiamo dire che il sistema originale è equivalente
al sistema
!" #
$!"&%
G $! &6
&6
Nell’ultima equazione la variabile in
è sparita, è stata eli #
minata. Ripetiamo questa operazione sostituendo la funzione
con
H 1 3 # &%
H
#
3
Ciò è possibile perché in
la
appare con un coefficiente I
.
H 3
Esplicitamente
significa
J8$ +B 4 /E! F
cioè
$G K LM
.
Perciò il sistema originale ha le stesse soluzioni come il sistema
$!N&%
G $! = 6
$G K $MH
&O1 P&6MQ GH
&6
Adesso formiamo
che può sostituire sia la
H
H &O ;
che la . Possiamo togliere la .
è equivalente a
5+B G A/R G5+S G K /<= F : G F +SM/
,
cioè a
35
.
9
Otteniamo cosı̀ il sistema
$!
&%
G $! T&6
$!5&O
che è ancora equivalente a quello originale. Ma adesso vedia
mo che nell’ultima equazione è stata eliminata anche la ed è
rimasta solo la che possiamo cosı̀ calcolare direttamente:
5
$
35U K
,
&6$3
, otteniamo
poi, usando
:!
;5 5 G
,
G
In analogia a quanto abbiamo fatto a pagina 7 per il sistema
'(
)* #
&%
le funzioni
ed
sono definite da
+,-).0/21 3 4
# +,-).0/21
Numero 2
a.a. 2004/05
&% ;
e infine dal
VL7 ! W $35 G
.
Nella pratica si userà uno schema in cui vengono scritti,
nell’ordine indicato dall’ordine delle variabili, solo i coefficienti. Nell’esempio appena trattato i conti verrebbero disposti nel
modo seguente:
X
3
Y#
M
3
Y&%
[ Z #
G
X 6
\
G K
MYH ] # Z &%
3
^
5X O = 6 4 G[H Z
L’asterisco indica ogni volta l’equazione cancellata in quel punto; l’uncino a destra di un’equazione significa che questa equazione è stata cancellata. Nei conti a mano spesso si preferirà
forse cancellare la riga con un tratto orizzontale piuttosto di
usare l’uncino.
Come si vede, nell’algoritmo cerchiamo prima di ottenere un
sistema equivalente all’originale in cui tutti i coefficienti tran_
, poi, usando
ne al massimo uno nella prima colonna sono
le equazioni rimaste, applichiamo lo stesso procedimento alla
seconda colonna (non modificando più però quella riga a cui
L
nella prima coloncorrisponde quell’eventuale coefficiente I
na), ecc. È chiaro che il procedimento termina sempre: alle `
]
!
equazioni iniziali si aggiungono prima `
, poi `
, poi
`
, ecc.
L’insieme delle soluzioni rimane sempre lo stesso; le equazioni cancellate naturalmente sono superflue e non vengono più
usate. Quindi, se il sistema non ha soluzioni o più di una soluzione, riusciamo a scoprire anche questo.
Esempio 9.2. Consideriamo il sistema
-2 G # a% ba6W
-E # ba%7 a6W!
-2 # a%M a6W3c
Applichiamo il nostro schema:
MG
\
#
c
&%
\
G\MG
MGd 6 ; Z 8
#
\
G\MG
MdH ; % Z 8
#
Md O ; 6 Z H
3
3
3
Il sistema dato è quindi equivalente al sistema
-E # ba%74a6 ;
[#7G % G 6 =M
$;
In particolare siamo arrivati alla contraddizione
di il sistema non ha soluzione.
$LM
, quin-
ALGORITMI E STRUTTURE DI DATI
Numero 2
a.a. 2004/05
Sistemi con più di una soluzione
Esercizi per i compiti scritti
Consideriamo il sistema
1.
2.
!
$ %
&
) *+, .! - /0 %
) 12 %23 .& $ 42, .* - 1
3
:7
9
'
2
9
C?
D?
'
'
9BA
9BA
9BA
ea
> . Calcolare
_
> . Calcolare
Z ;[ \ b
6c
a ea
c<
F?`
A.
considerate come
.
3Z d[\
& Z % i_
Z j[ \ % Z _
>
> ea
>
> .
e f gh
c(
Calcolare a
.
Siano
4.
Risolvere con la regola di Cramer il sistema
+
5.
possiamo risolvere
6.
+
e vediamo che l’insieme delle soluzioni è una retta nello spazio >
rappresentazione parametrica
@?
_
>
M3 '
< 2=
9 #
9
'
#
(+= '
9
9
'
'
' 9
6;(
Siano
XZ ;[ \ %
/5
67
'6/78
Per ogni valore 9 di
KZ [ \] * ^ % 372 Z
3.
3
3
Stavolta non abbiamo una contraddizione, ma un’ultima equazione
superflua, quindi siamo rimasti con due equazioni per tre incognite:
+
Sia
funzioni >
Usiamo di nuovo il nostro schema di calcolo:
"#
"
('
'"(
10
Calcolare il determinante
k l=l
k
k
$
k
k
$
k
k
k
k
k
k
k
Calcolare il determinante
k l=$
k
k $l
k
k
$
k
k
k
k
k
k
k
&
con la
Risolvere i sistemi con l’algoritmo di Gauß usando lo schema.
7.
' 9
' 9
! i%m
& * =
.!n %
i&mD*28
C!< % 7D&: D*
7C!W % i&mD*2;#
9
?EF?
C?
&
I?
9BAHG 9BAHG 9BABA(JK> che è una
Per ogni numero reale 9 si ottiene un punto
soluzione del nostro sistema, e viceversa ogni soluzione è di questa forma.
8.
! i%: &
* =
! D%: &
*
.!n %
i&m7I*+8
C! %
D&I*+8
L’insieme delle soluzioni di un sistema lineare
Negli esempi visti finora abbiamo trovato sistemi che non avevano soluzioni,
oppure un’unica soluzione (descriventi cioè un unico punto nello spazio),
oppure, nell’ultimo esempio, una retta di soluzioni.
Ciò vale per ogni sistema di equazioni lineari: l’insieme delle soluzioni è
sempre o vuoto (nessuna soluzione), oppure un solo punto, oppure una retta,
oppure un piano, oppure uno spazio affine tridimensionale ecc., e viceversa
ogni insieme di questa forma può essere descritto da un sistema di equazioni lineari. La dimostrazione di questo teorema e la definizione precisa del
concetto di spazio affine verranno date nel corso di Geometria I.
Nonostante l’efficienza dell’algoritmo di eliminazione che permette la risoluzione abbastanza agevole di sistemi lineari non troppo grandi (con un
52%-&(+
A /PO QR @12 ARST 58QR ?12 AUST
I
M
N
1
I
e quindi ,
. Possiamo perciò applicare la
regola di Cramer e otteniamo
Calcoliamo l’errore V>1W che si commette approssimando la distanza V sulla sfera
1=< ;
terrestre tra due punti mediante la lun;
ghezza del segmento di retta che si ottie ?/ ;;; %'9&)%-(*&>(+ 52%'&)(+< ;;; /
ne utilizzando la trigonometria piana:
/ %'&)(*9>%'&)52(+%' &)(+
V=1X
50 km
0.13 m
mentre per possiamo, se calcoliamo pri1m
100 km
ma , usare direttamente la relazione @/
500 km
128 m
+%'&(. .
1000 km
1029 m
Trigonometria oggi
Un problema di geodesia
Grafica al calcolatore e geometria
Il triangolo
Il triangolo rettangolo
Triple pitagoroee
Le funzioni trigonometriche
La dimostrazione indiana
Il triangolo isolatero
Angoli sul cerchio
Il teorema del coseno
Il grafico della funzione seno
La periodicità di seno e coseno
Altre proprietà di seno e coseno
e
Distanze in
Il prodotto scalare
Ortogonalità
Esercizi 14-17
YBZ-[]\_^a`cb_YBZ_[][]d\ YBZ-[]e_YB`
f=g
Grafica al calcolatore e geometria
La grafica al calcolatore e le discipline affini come la geometria computazionale e
l’elaborazione delle immagini si basano sulla
matematica. È importante separare gli algoritmi dalla loro realizzazione mediante un linguaggio di programmazione. È importante separare la rappresentazione matematica delle figure nello spazio dalle immagini che creiamo sullo
schermo di un calcolatore.
Il matematico è molto avvantaggiato in questo. Già semplici nozioni di trigonometria e di
geometria affine e algebra lineare possono rendere facili o immediate costruzioni e formule di
trasformazione (e quindi gli algoritmi che da esse derivano) che senza questi strumenti matematici risulterebbero difficoltose o non verrebbero nemmeno scoperte.
La geometria proiettiva, apparentemente una
vecchia teoria astratta e filosofica, diventa di
sorpresa una tecnica molto utile per trasformare compiti di proiezione in semplici calcoli.
I concetti dell’analisi e della geometria differenziale portano all’introduzione
e allo studio delle curve e superficie di Bézier, largamente
utilizzate nei programmi di
disegno al calcolatore (CAD,
computer aided design).
Molte figure possono essere descritte mediante equazioni algebriche; per questa ragione la
geometria algebrica assume notevole importanza nella grafica al calcolatore moderna. Curve e
superficie possono essere date in forme parametrica oppure mediante un sistema di equazioni;
le basi di Gröbner forniscono uno strumento per
passare una rappresentazione all’altra.
La topologia generale, una disciplina tra la
geometria, l’analisi e l’algebra, è la base della
morfologia matematica, mentre la topologia algebrica e la geometria algebrica reale possiedono applicazioni naturali in robotica.
ion
lm
hMikj
pq i T
r
H. Pottmann/J. Wallner: Computational line geometry.
Springer 1999.
W. Böhm/H. Prautzsch: Geometric concepts for geometric
design. Peters 1994.
iks
ALGORITMI E STRUTTURE DI DATI
Il triangolo
Numero 3
a.a. 2004/05
Il triangolo rettangolo
Le funzioni trigonometriche
Il triangolo
Consideriamo la seguente figura,
/. 0% . sia
B
12
rettangolo, ad esempio
B
B
B’
c
A
P’
C’
P
1
C
In questa figura i segmenti
e
sono
paralleli. Nella geometria elementare si dimostra che le proporzioni del triangolo più
sono uguali alle proporziopiccolo
ni del triangolo grande
. Cio significa
che, se
denota la lunghezza del segmento
, allora
c
a
Se il valore comune di queste tre frazioni
viene denotato con , abbiamo quindi
A
b
C
Il lato più lungo è quello opposto all’angolo retto,
cioè
, e si chiama ipotenusa, i due altri lati
sono più brevi e sono detti cateti.
La somma dei tre angoli
di un triangolo
è sempre uguale a
:
5" #6 0%
"$#$ 0% .
7!'78(
23'24(
9;: =
< :
Teorema di Pitagora: Dato un triangolo ret,
e
tangolo e posto
come nella figura, si ha
Una relazione analoga vale anche per le altezze:
Dati tre punti
cone
l’angolo tra i denotiamo
segmenti
:
B
>)? .
Dimostrazione: Pag. 13.
Il teorema di Pitagora implica che l’ipotenusa è
veramente più lunga di ciascuno dei due cateti
(perché
). La relazione
può
essere anche usata per il calcolo di uno dei lati di
un triangolo rettangolo dagli altri due:
9BA<C
> IH
9 JH
< IH
A
90?@7;=:
>D?
9E?F7G
9&?7J ?
9BA<
Una tripla pitagorea è una tripla
di nu. La
meri naturali positivi tali che
tripla pitagorea si chiama primitiva, se
e
sono relativamente primi tra di loro. Diamo una
tavola delle prime triple pitagoree primitive in
ordine crescente di .
L
>
>
M N
N "$OP" L
#P" MN "$QN
QRO O
O$ SLUOENR
"TO .
"5O M ML Q
. "
O6# MVNRNUL
"TW6N SWEN"
L6"6LR
WRW
WNULN W NL
M"5WR
#
Q
* +
*
+
Si può dimostrare ed è chiaro intuitivamente che, dati due triangoli con gli stessi angoli, essi possono essere sovrapposti in maniera tale che si ottenga una figura simile alla
nostra.
Ogni triangolo può essere considerato
(talvolta anche in più modi - quando?) come
unione di due triangoli rettangoli.
XYCGO
P
9 A<
<
<
>
>
9,
9
e da ciò anche
9
>
<
9
>
<
9
9
>
<
>
<
Questi rapporti sono perciò funzioni
che vengono dette fundell’angolo
zioni trigonometriche e denotate come
segue:
9
^4_ ` Y
:
cDdU^ G:
e3f ` g:
cDd e h:
<
9
>ba$a5a seno di
> $a a5a coseno di
> ^3_ `
> Dc d6^
9
^4_ `
< e Dc f d ` e
9
<
cDdU^
e3f ` VM N % cDd e MVN %
Esercizio. Calcolare
,
.
^4_ ` UM N % , cDdU^ VM N % ,
Esercizio. I valori delle funzioni trigonometriche si trovano in tabelle oppure
possono essere calcolati con la calcolatrice tascabile oppure con una semplice istruzione in quasi tutti i linguaggi
di programmazione. Ricavare in uno di
questi modi i necessari valori per calcolare la distanza e l’altezza nella
seguente figura:
i
9
d
Per
non esistono invece soluzioni
dell’equazione
,-,
C
Le formule per i triangoli rettangoli sono
particolarmente semplici; conviene quindi
studiare separatamente i triangoli
e
.
>
Gli arabi possedevano già nel 972 tavole simili a
questa.
B
A
C
9B)<5)>
9 ? 7;< ?
> ?K < ?
> ?K 9 ?
Triple pitagoree
b
in cui
sono come prima i lati del
triangolo rettangolo più grande e
e sono i lati del triangolo più piccolo,
che è ancora rettangolo. Le proporzioni
nella figura dipendono solo dall’angolo
, si ha cioè
C
Evidentemente
.
Con e indichiamo gli altri due angoli
come nella figura; spesso serve solo la grandezza assoluta degli angoli, allora si lasciano via le punte di freccia.
]
a’
b’
A
Ciò implica che un triangolo può avere al massimo un angolo retto (se ce ne fossero due, il terzo
dovrebbe essere zero e non avremmo più un triangolo).
c’
a
90Z[7G
>)Z
a
j)k %
l
100 m
C;
interi
. La dimostrazione di questo
teorema (detto ultimo teorema di Fermat) è stata
molto difficile; per circa tre secoli i matematici
l’avevano cercata invano e solo intorno al 1995
Andrew Wiles ci è riuscito, utilizzando strumenti
molto avanzati della geometria algebrica.
Pierre de Fermat (circa 1607-1665) sostenne di conoscere una dimostrazione
del teorema che poi portò il suo nome,
ma non è mai stata trovata e si dubita
molto che sia esistita.
ALGORITMI E STRUTTURE DI DATI
Numero 3
a.a. 2004/05
La dimostrazione indiana
Angoli sul cerchio
In una fonte indiana del dodicesimo secolo si
trova il seguente disegno, con una sola parola
in sanscrito: guarda!
Siccome le lunghezze assolute non sono importanti,
possiamo assumere che l’ipotenusa del triangolo rettangolo considerato sia di lunghezza 1 e studiare le funzioni trigonometriche sulla circonferenza di raggio 1.
Questo ci permette inoltre di estendere la definizione
delle funzioni trigonometriche a valori arbitrari di ? ,
non necessariamente sottoposti, come finora, alla condizione ' ? !@ ' ) . Definiamo prima 67 8 ? e 9.; 6 ? per
ogni ? con 'BA"?A 5 *' ) come nelle seguenti figure:
MONP
?
D>E.G C
a
a
9.; 6 ?
67 8 ?
c
Da esso si deduce immediatamente il teorema
di Pitagora:
Il nostro triangolo rettangolo abbia i lati
con . Allora l’area del quadrato grande è uguale a quella del quadrato
piccolo più quattro volte l’area del triangolo,
quindi
,
J KL
H
'
$
mUnpo q.r_s
?
?
! ! .
mg&. s
Esercizio: Disegnare la figura nel caso che
"# e convincersi che la dimostrazione rimane ancora valida.
J KL
?
H
9.; 6 ?
67 8 ?
$
'
t>u Qvxw y{z| }~l
D>E.G C
?
9.; 6 ? '
6F7 8 ? '
. v wpgz l
?
9.; 6 ?
'
67 8 ? $
Il triangolo isolatero
ZU[]\ P_^
9.; 6 ? $
67 8 ?
'
9.; 6 ? '
67 8 ?Y '
cioè
J KL
C
DFE.G CIH
9.; 6
? Y!'
67 8 ?!
Y '
` a&bdcegf!h>ijlk
DFE.G C
1
QBR SUTV W X
b-a
13
?
DFE.G C
Consideriamo adesso un triangolo isolatero di
lato 1. In esso anche gli angoli devono essere
tutti uguali, quindi, dovendo essere la somma
degli angoli $&%(' ) , ogni angolo è uguale a *(' ) .
9.; 6
? Y!'
6F7 8 ? '
Definiamo poi ogni volta
/.- )
= 8 *' )
3 5
$
<>= 8 ' )
43 5
0
5
5
6F7 8 ?
9.; 6 ?
quando 9.; 6 ? ' risp. 67
data a pag. 12, quando '
9.; < ?
9.; 6 ?
67 8 ?
8
? ' . Si vede subito che questa definizione coincide con quella
? ]@ ' ) .
$
9.; < ? quando entrambi i valori sono definiti.
Se ? è infine un numero reale qualsiasi (non necessariamente compreso tra ' e 5 *') ),
<>5 = *(') ? < con 'A]@
=:
n
v t !
2&465w o $ o , quindi per reat tenle e tendente ad infinito (in questo caso
o
v
de a 0 ) 2&465I si comporta come o $ e tende quindi
valide per ogni numero complesso , vediamo che
ad esempio
:
:
=
fortemente ad infinito.
B=
C&=
D&=
E=
F&=
;
9
9
G # < < IH
J KL5/M N G # < < H #PO G #Q Q H
analogo si definiscono l’inversa RTSU2&2&4T5 della
zione viene denotata con R6S/2&5/M N . In
#PO modo
funzione biiettiva J K 2&4T5 G 0PV H
G #Q Q H e l’inversa RTS/2WRTN della funzione biiettiva
J K WUR6N */# < < , #POX*U#ZY Y , .
Come si vede dalla figura e come sarà dimostrato rigorosamente nel corso di Analisi,
la funzione seno è iniettiva sull’intervallo chiuso
e assume su questo intervallo tutti i valori possibili per il seno, cioè tutti i valori tra -1 e 1. Possiamo quindi
definire una funzione biiettiva
. L’inversa di questa fun-
arcsin, arccos e arctan
Queste funzioni, definite a sinistra, sono determinate dalle seguenti relazioni:
RTSU2&5/M Nxy {z}| 5/M N Xx
#'Q m+xim Q # < m m <
per
e
RTSU2&2&4T5axj 1z}| 2&4T5 ~x
#'Q m+xim Q 0ym m+V
per
e
1
RTSU2WURTN"xy z}| WUR6N ~x
#Y x Y # < m m <
per
e
ALGORITMI E STRUTTURE DI DATI
Numero 3
a.a. 2004/05
Distanze in
La distanza tra due punti
e del piano reale si calcola
secondo il teorema di Pitagora come
"! #$% .
! e viceversa la
La distanza del punto dall’origine è quindi
distanza di e è proprio la lunghezza del vettore & .
9 :<; =
' (*),+-(. /
' 0),+10.,/
9
0?
86
567
0)324(*)
0)
>
Ortogonalità
La formula fondamentale
c 3 c i -j kl g
nmo
mWp
qm [e
e
e j kl j kl ghsT
m%tre
Tuedv
g %T
mxwpe
c L] c c 3omo c m c 3] c m i
i mo m i i m i
rimane valida anche se
e
sono uno un multiplo
per
, però entrambi
dell’altro, ad esempio
(ciò implica
). In questo caso infatti il triangolo
determinato da , e è degenerato, ma è naturale assegnare all’angolo tra e il valore (per cui
)
se
e invece il valore
(cosicché
) se
.
e
Inoltre
. Dimostrare queste relazioni
e concludere da soli, stando attenti ai segni.
Quindi se i due vettori sono diversi da zero (ciò implica
che anche
e
), allora essi sono ortogonali
(cioè
oppure
) se e solo se
,
.
cioè se e solo se
Siccome infine
per ogni , è naturale includere anche il vettore tra i vettori ortogonali ad .
Raccogliendo tutto possiamo perciò dire:
q e
r
M
q e
q e
gSzyev c c gb a{ ev
3c c[e
3]e |e
e
@A@
B C,D
EGF C D
D
0.
IH
JK#L G H
M ! ! N
! !
H H,
per cui
! ! .
H
Se adesso &#
H è un altro punto, la distanza tra e sarà uguale alla
lunghezza di OP , quindi
"! # "! P .
H H
Per ogni QSRT possiamo definire lunghezze e distanze in IU nello stesso modo.
Per *V*VV* "WXU poniamo
Y ![Z*Z*UZ! ,
U
e se P\ *V*V*V* è un altro punto, la distanza tra e è la lunghezza di
U
OP , cioè
![ZZ*Z! .
U U
Formule del tutto analoghe si hanno nello spazio tridimensionale
. Calcoliamo
di un vettore
utilizzando la figura a
prima la lunghezza
destra, dalla quale si vede che
vettori
c LDue
] c [e .
ed
di
Il prodotto scalare
XU
Siano come sopra
e
due punti di
. Calcoliamo la lunghezza
della somma dei due vettori; questo è anche in statistica
il punto di partenza per la definizione del coefficiente di correlazione che, nonostante il nome prometta molto di più, non è altro che un mezzo per confrontare
e
!
L] !
! ^ U
_`
!
^U
L’espressione _` _
_ ! _ _^ `U _ ! _^ U` _ !ba _^ U` _ _
!ba ^ U _ _
_`
_ si chiama il prodotto scalare dei vettori
sono ortogonali se e solo se
}
a lo g a
~
mentre la distanza (cioè l’arco) sul cerchio tra ~ e
(nell’ipotesi ergPwS ) è uguale ad g .
14. Dalla figura si vede che la lunghezza della corda
,
(cioè del segmento di retta) tra e è uguale a
g
r
~
a ol a
è probabilmente la più
antica funzione trigonometrica e venne tabulata già da
Ipparco da Nikaia (Nicea) nel secondo secolo prima di
Cristo (tavola delle corde). Già i babilonesi possedevano
però una rudimentale trigonometria, di cui erano molto
orgogliosi.
O}
Calcolare la differenza
, che corrisponde all’errore
che si commette usando al posto di per misurare la
distanza tra i punti e sulla sfera terrestre, che possiede un raggio medio di 6371 km, per
1 km, 10 km, 50 km, 100 km, 500 km, 1000 km.
~
}"
ed . Esso è di
c L c Y M
3 Y N ![ZZ*Z*! U U
La seconda è più diffusa della prima, comporta però il pericolo di confusione
con la coppia #L d che proprio nella statistica multidimensionale appare spesso
contemporaneamente.
Sostituendo con otteniamo
! a c L c .
I due punti ed formano insieme all’origine
e un triangolo
(eventualmente
degenerato) i cui lati hanno le lunghezze , e f[ . Assumiamo che il
triangolo non sia degenerato e sia g l’angolo opposto al lato di lunghezza 4h .
Per il teorema del coseno abbiamo
&P ! a i -j kl g , da cui c 3 c i -j kl g .
}
lo N
, come si calcola ?
] ! ] .
15. ] !
TX] "]
j
k
l
j
k
]
l
16.
sT* O a e j kl H ! 8= =! !
Leggendo più attentamente il testo della
$ #% & ==!!
guida si osserva che le funzioni di R hanno spesso argomenti opzionali determina &&0? @BA=0!
ti dal loro nome; ciò è tipico dei linguaggi
in qualche modo derivati dal Lisp e verrà
ancora trattato con più dettaglio.
Per uscire da un file informativo chiamato con basta premere il tasto . Da
1
5
con l’indicazione degli argomenti, seguito
da un’esposizione sull’uso.
16
17
18
R
Le funzioni d’aiuto
Installazione di R
Il libro di Crawley
Programmare in R
Programmi autonomi
Nomi in R
Assegnamento
Successioni
Angoli espressi in gradi
Figure di Lissajous
I commenti
La matematica del futuro
Esercizi 18-22
Installazione di R
Per l’uso e l’installazione di R sotto Windows
possiamo dare solo informazioni molto vaghe.
Il sito a cui rivolgersi è, per ogni sistema operativo,
www.r-project.org/
dove, per copiare il programma, si sceglie CRAN
e poi uno dei siti depositori; quello che funziona
meglio è forse cran.r-mirror.de. Nella voce FAQ
esiste invece una guida per Windows.
L’installazione sotto Linux è molto semplice.
Si ritira il file .rpm adatto per la propria versione di Linux e poi lo si installa, diventando
,
con
##
$)DCE$F &# ) $C G$C 4 % ( )
A questo punto, tornati utenti normali, basta
battere H dalla tastiera e il programma parte.
viene consigliato di lanciare
I0% &Sotto
; 6 %BWindows
=$ oppure
J
H
di creare un shortcut a
questo file.
Il libro di Crawley
One of the objectives of statistical analysis is to
distil a long and complicated set of data into
a small number of meaningful descriptive statistics. Many of the modern computer statistics
packages, however, do exactly the opposite of this.
They generate literally pages of output from the
most meagre sets of data. This copious output
has several major shortcomings: it is open to uncritical acceptance; it can lead to over interpretation of data; and it encourages the bad habit
of data trawling (dredging through the output
looking for significant results without any prior
notion of a testable hypothesis).
S-Plus, on the other hand, tells you nothing
unless you explicitly ask for it ... The computing
is presented in S-Plus, but all the examples will
also work in the freeware program R, which can
be downloaded from the web, free of charge, anywhere in the world ... S-Plus encourages good
habits of data exploration by providing a superb
range of graphical facilities.
La statistica, in fondo, si sviluppa attorno a
questa domanda: What do we mean when we say
that a result is significant?
M. Crawley: Statistical computing. Wiley 2004.
& www.bio.ic.ac.uk/research/mjcraw/crawley.htm
ALGORITMI E STRUTTURE DI DATI
Programmare in R
Benché si tratti di un linguaggio ad alto livello, gli ideatori di R preferiscono presentare R come linguaggio con cui lavorare in
linea e non mediante l’esecuzione di programmi scritti su files. Oggigiorno ciò non
è perfettamente comprensibile ed è comunque possibile scrivere programmi e farli eseguire nel modo familiare ai programmatori
con la tecnica che adesso descriviamo.
Prima creiamo una nuova cartella (directory) in cui vogliamo svolgere un determinato lavoro.
Poi in questa cartella creiamo il file
.Rprofile che contiene solo queste righe:
!!"
Le istruzioni contenute in .Rprofile vengono, come vedremo nel prossimo numero,
eseguite alla partenza di R.
Adesso creiamo un file prove in cui scriviamo (per il momento) tutto il resto del
programma, ad esempio
## !%$
$! &%'$(!$!"
)*)%+-,.%/0.
La funzione cosı̀ definita corrisponde
alla
25
funzione matematica 1 23 4
, mentre !
è la funzione elementare di visualizzazione
(un po’ complicata anch’essa come tutte le
funzioni di input/output di R) che qui visualizza 687*9: per 9<;= .
.%/0. è il carattere di invio che,
nell’output, fa in modo che dopo la visualizzazione il programma torni su una
nuova riga.
Per eseguire il programma battiamo R
dalla tastiera e poi, una volta in R, diamo
il comando
Vediamo cosı̀ che 3K;=ML N OP=P= , se calcolato
sulle prime 6 cifre dopo il punto decimale,
perché in verità 3 è un numero trascendente, cioè non è radice di un polinomio a coefficienti interi, e quindi sicuramente non è
razionale.
Per scrivere il programma dobbiamo usare
un editor che crea soltanto files in formato testo puro o impostare questa modalità
nell’editor che vogliamo usare.
Programmi più grandi verranno scritti su
più files, ad esempio prove, funzioni, grafica. In tal caso possiamo o modificare la funzione principale nel file .Rprofile,
!#
> ! !
Q !
SR !"
Bisogna stare un po’ attenti all’ordine in cui
le inclusioni vengono effettuate; infatti un
altro punto debole di R, che deriva dalla filosofia di voler costringere l’utente a programmare sul terminale, è che le funzioni possono essere ridefinite, possibilità che
compromette notevolmente la trasparenza
dei programmi se il programmatore non è
abituato ad organizzare bene il proprio lavoro. Esempio:
Cancelliamo tutto il contenuto del file
prove, scrivendo poi
TUVW$
'$"
!)*) D -,.%/!&.
Se eseguiamo il programma con > vieD
ne visualizzato ' . Ciò è comodo nel lavoro
sul terminale, ma piuttosto problematico
quando si vogliono creare programmi più
consistenti o librerie di funzioni.
cioè 3 40H , come possiamo verificare aggiungendo la riga
!&%$! & ' G -,. /&.
a prove. Cosı̀ possiamo continuare a lavorare, rimanendo in R, ma scrivendo il programma e le sue modifiche in prove, usando il terminale solo per ripetere il comando
! (a questo scopo in ambiente Linux è
sufficiente premere il tasto I che utilizza la
storia dei comandi dati in precedenza che si
trova nel file nascosto .Rhistory nella nostra
stessa cartella).
Forse non tutti conoscono il valore del numero 3 ; esso è uguale ad 3J , quindi lo possiamo visualizzare aggiungendo
!&%$! & B -,.%/!&.
al nostro programma, cioè al file prove.
Programmi autonomi
Dal punto di vista della filosofia Unix, la
tecnica di programmazione che abbiamo
usato nell’articolo precedente, ha un neo
importante. Infatti il programmatore Unix
è abituato che tutti i programmi possono essere combinati tra di loro, cioè che possono
essere eseguiti da un altro programma e che
si possono scambiare dati. La nostra tecnica non crea però files eseguibili autonomamente perché richiede l’esecuzione dal terminale di R.
Praticamente tutti gli altri linguaggi interpretati permettono, sotto Unix, la creazione di programmi eseguibili semplicemente mettendo nella prima riga del file il
comando
X8Y !
che fa in modo che il resto del file venga eseguito dall’interprete indicato. Per un programma in R dovremmo quindi scrivere
X8Y[Z Z\ Z]Z
17
Per ragioni misteriose questa possibilità per
R non è mai stata realizzata.
Si può ovviare a questo problema scrivendo nella prima riga
Z Z!\ Z!] '' ^^_
Benché funzioni (almeno in ambiente Unix
o Linux), non è molto soddisfacente, anche
perché in ogni esecuzione R viene caricato
con molte delle sue librerie e quindi l’avvio
è lento; i tipici programmi Unix si caricano
in genere solo con quanto è necessario per
poter partire.
Nomi in R
Nomi (detti anche identificatori) in R consistono in una lettera (` 'a'Q ) seguita da una
o più caratteri che possono essere lettere, cifre o punti. Quindi
!
DE
$ @*ECC
sono nomi ammissibili, mentre non lo sono
DE
@*C F
E D
,
, _ . In R (come in C o in Perl)
bisogna distinguere tra minuscole e maiuscole.
Bisogna anche evitare i nomi riservati di
R. Purtroppo in R anche alcuni caratteri singoli sono riservati:
TUVW$
$(!$"
!>
che, in accordo con la sua definizione, carica
il file prove ed esegue le istruzioni in esso
contenute. Viene visualizzato il risultato:
?&@A? B!CDB!EFG
Numero 4
a.a. 2004/05
b
c
de
g
f
inoltre ci sono parecchi nomi che consistono
di due lettere, ad esempio h e . Questa
scelta sicuramente non è ottimale. Ad eseme possiamo usare per il tempo e nempio non
meno per le funzioni.
Assegnamento
L’assegnamento di un valore (spesso rappresentato da un’espressione) a una variabile $
avviene mediante l’istruzione
$#!
Esiste anche la forma tradizionale (leggermente più generale)
$i^'j!
sicuramente meno leggibile. Per saperne di
più usare k ^'U .
Più istruzioni sulla stessa riga devono essere separate da un punto e virgola, mentre
il punto e virgola alla fine di una riga è (a
differenza dal C) facoltativo:
$ B?lnm $($_+ l ) m ,. /&. l
!)%$_ m Z +>,.%/0. l
con output
B? +
EF
ALGORITMI E STRUTTURE DI DATI
Successioni
mediatamente applicare a una successioper ottenere la successione
ne
. In C allo stesso scopo bisogna
lavorare con un ciclo, ad esempio un
,e
riflettere sulla struttura di dati che si vogliono utilizzare; in Lisp e Perl si può usare la funzione
che, data una funzione ,
trasforma la successione nella successione
. In R è tutto molto più
semplice e automatico:
! #"%$% !&(') * &,+ - ./#-0- 1
! $ '2+ 354764784 94;:.
<' $ )>! + #" 4+?;!=@& . ? .
<
KX3A6M8M9D:
KDK S8KLSE%K S BD3S6N3S:D3S Y
8 SV9 SVD:>SV%E SVMV>S V%Y>SV
8 SV%8>SBM9 S73Z9LS8%9 S :9 SVM9 SB
con output
3A9CBD3ED6:
'
!
F'
Anche le operazioni algebriche vengono eseguite su tutti gli elementi di una successione; possiamo ad esempio moltiplicare una
successione con un numero oppure anche
due successioni tra di loro. Esempi:
! $ '2+ 354764784 94;:.5G < $ '+764 354;847:47E .5G
' )>+H!I < 4?7@& ?J.5G
' )>+H!(0 < 4?7@& ?J.5G
' )>+H!I 3K4?7@&L? .5G
' )>+ 3K0! 4?7@&L? .5G
con output
8%8DEMBN33
6%6DBM6#KD8#K
33M36C38C39N3:
3KD6#KD8#KM9KD:#K
nn
\
\^] T_ \^] `_
a
T R #O P b '
come visto a pagina 13.
Si osservi qui che la successione è stata
creata utilizzando l’operatore , il cui nome
viene da concatenate e che unisce una sequenza di valori in un unico oggetto.
per dettagli.
m
Successioni possono essere valori di una
funzioni. Creiamo ad esempio una funzione
per la risoluzione del problema geodetico visto in precedenza. Questa funzione
restituisce una successione i cui compoe
sono e come a pagina
nenti
11. A differenza dal C l’indice delle successioni parte da . Per il di pagina 11 usia, perché è una parola
mo la variabile
riservata.
Siccome vogliamo poter indicare gli angoli in gradi, definiamo prima tre funzioni che
corrispondono alle funzioni trigonometriche
e
per angoli espressi in gradi.
L’argomento va quindi moltiplicato con
c#d e e f g hJi g
T jkl
m #* n3#Y#K
' & O ) * " 3Y#K $ K SHK 3#V#9 :86 B6:3B B#9 8G
mMo !&p * &(*Z) *q & P ) *'r P P
m &q s *%*& " *' ) *M*&Dq " *S
t O $% !&(') * &,+ - .%/ ' O + -0' & O ) * " 3Y#K .#1
u*& !&(') * &,+ - .%/ O *&L+ -0' & O ) * " 3Y#K .#1
v & $%
$% !&(') * &,+ - .%/) &L+ -0' & O ) * " 3Y#K .#1
mMw R s P " *Aq P #" P O * % q*& 33S
m [ s * &q s * <P &q & *& " *' ) *M*&Cq #" *S
[ P #" P $M !&(') * &,+R O#P 4 s 4R P ) .
/#) &
v & + .5Gx) &R ) v & +HR ) .5G
- $ R O#s#P 0)#$ &R P ) sn + ) & s# I#P) #&$R P ) .5G P
y $ -0) & s GU'2+ -4 y .1
! $ [ P #" P +78Y4;E64 9 V .5Gz- $ ! {;3|G y $ ! {6#|G
' )>+ -4 y 4?7@&L? .5G
La base del triangolo era di } k mm, gli angoli di approssimativamente ~ ` e ( gradi.
L’output è
3#8>SVBBK Y6:>SB :68#K
e corrisponde abbastanza bene alle misure
reali.
Un operatore molto utile per generare successioni di valori equidistanti è la funzione
. Il risultato di
O#P#Q + 4HR=.
Useremo da ora in avanti per le funzioni
sempre nomi che iniziano con una maiuscola, ricordandoci che sono riservati i nomi
.
t4W 4 o 454 v
è la successione
4 I 354 I64SSS
che è continuata fino a quando non si supeR
ra . Il passo di progressione è quindi T se
non viene impostato come terzo argomento:
O#P#Q + H4 R 4 .
restituisce la successione
4 I 4 I6 4SS S
R
+ K>47:.5GU' >) +H! 4?;@& ? .5G
+ K>4764 K S 8.5GU' ) +H! 4?7@& ? .5G
+78 SV47B.2GU' )>+H!L4?7@& ?J.5G
+78 SV47:47K S6.5GW' )>+H! 4?;@& ? .5G
anch’essa continuata fino a quando l’ultimo
valore non supera . Esempi:
! $ O#P#Q
! $ O#P#Q
! $ O#P#Q
! $ O#P#Q
Corso di laurea in matematica
°
m
Se una riga contiene, al di fuori di una
stringa, il carattere , tutto il resto della riga è considerato un commento, compreso il
carattere stesso.
Molti altri linguaggi interpretati (Perl, Python, la shell di Unix) usano questo simbolo
per i commenti. In C una funzione analoga è
svolta dalla sequenza .
Angoli espressi in gradi
[ P " P
18
I commenti
Otteniamo
Uno dei punti forti di R è che molte funzioni sono definite direttamente per successioni finite di valori. Ciò significa che se
definiamo una funzione in R per la fun, la possiamo imzione matematica
O#P#Q
Numero 4
a.a. 2004/05
Figure di Lissajous
Illustreremo nel prossimo numero le capacità grafiche di R. Provare intanto questo
esempio che dovrebbe far apparire una figura di Lissajous, cioè una curva con una
rappresentazione parametrica tipicamente
della forma
per
.
H c#d eZ e f g CZ
- $ O#P#Q +7K476 0 *24 s P & q#)#r $ 3KKK .
) '+7354 3 .
ms #s$ )N* O ) %s q * ' S
(s )>) + ys )P 4 &s ) 4 - 4 R 4 y R .
$= s $= s $=
s *&' P )O + O *+H&& +76Y04)- y.54 PO *& +7V 0#. - ..
ms t s *#' ' $P 6 < s )$=P ;2S
" P< S + . mA O '* P " ss q *' S
Corso di Algoritmi e strutture di dati
La matematica del futuro
The main scientific challenges of the twentyfirst century may no longer be divided into
the classical disciplines of mathematics, informatics, physics, chemistry, biology, etc. For
example, theoretical biology is currently in
the phase of formulating laws of nature in
terms of mathematical statements; quantum
chemistry has already become an important
research field in applied mathematics; physics needs more and more input from computer science and mathematics, including logic
and informatics; and, outside of the natural
sciences, financial mathematics has developed highly reliable tools for economic market
and stock analysis. But how will researchers
be motivated to do interdisciplinary research
in a university environment, given the current system in which academic careers (typically) advance based upon a record of publication in a single field?
www.wpi.ac.at/
And the missing ingredient in facing those
problems ... is mathematics.
D. Donoho: High-dimensional data analysis
- the curses and blessings of dimensionality.
Internet 2000, 32p.
Esercizi per gli scritti
18.
19.
;`T ~` #T
`T ~` T ~ ``
Qual’è la ragione per cui nella seconda
riga del prodotto riappare il secondo fattore?
T ` ~
}
kT#l
`(T` `
=
~=T
l T` ¡¢ ` ¡¢
T~ ¡¢
21.
T T = ` `
k`
~} ~`
k `
22. La traccia hJ£¤ di una matrice ¤ è la
somma degli elementi nella sua diagonale principale. Una matrice `¦¥§`
L¨ª
b«© § ¤ può (in parte) essere con¬
siderata come elemento
¨ © b«( di .
Possiamo quindi formare il prodotto sca ¬ .
lare ®¤W¯Z® di due matrici `U¥%` in
J
h
£
¤
¯
Dimostrare
che ®¤W¯®
di ¯ , ,dove
cioè
¯ denota la matrice trasposta
la matrice che si ottiene da ¯ scambian-
20.
do righe e colonne.
±³²µ´
Docente: Josef Eschgfäller
Corso di laurea in matematica
3
Numero 5
In questo numero
R possiede ricche capacità grafiche,
però anche molti comandi per la
grafica che è difficile imparare con
tutte le loro opzioni. Da un lato si
può usare l’aiuto in linea (provare
8
9
10
13
11
12
14
,
,
,
,
,
), dall’altro lato
però è utile una certa disciplina
15
16
18
17
nell’impiegare una serie scelta e
ben composta di comandi che si
padroneggia. Cercheremo anche noi
19
20
23
25
21
22
24
di fare cosı̀, ad esempio utilizzando
in genere solo per
il comando
predisporre la finestra grafica su
cui successivamente le immagini verranno create con comandi separati,
anche se molte figure potrebbero essere ottenute con un unico comando
complicato.
separati dalle
In particolare useremo sistematicamente comandi
istruzioni di disegno. Infatti il comando
permette una perfetta impostazione dei parametri grafici (colore, spessore delle linee, disposizione
degli assi, caratteristiche dei testi che appaiono nelle figure, dimensioni
varie, possibilità di linee tratteggiate in vari modi), quindi nonostante
la molteplicità delle opzioni andrebbe studiato bene, ma il suo utilizzo
risulta più trasparente se viene usato in modo esplicito al di fuori degli
altri comandi. La figura nell’inserto è spiegata a pagina 22.
2
Anno accademico 2004/05
La grafica di R
1
4
5
6
"! # $"! #%
$& !# '"& (
#
#
plot e lines
)+*-,/.
Diamo solo le varianti essenziali di questi
comandi. In particolare useremo
solo
per predisporre la finestra grafica, non per
il disegno stesso. Per far apparire la figura
in una finestra sotto Linux in alcune versioni di R bisogna prima chiamare il dis, ma non sembra
positivo grafico con
più necessario nelle versioni più recenti.
Per terminare il lavoro del dispositivo grafico si usa
.
richiede (nell’uso che ne facciamo)
come primi argomenti l’indicazione dei limiti per le coordinate
ed , entrambi
. Se vogliamo disegnare
nella forma
il coseno, possiamo ad esempio impostare
l’intervallo per con
e l’intervallo per con
.
I comandi di base per impostare la finestra grafica sono allora i seguenti:
0+1-1"243
19
7
> 7A V? )HJHM
?
> IH*-ATD P7*7ATD
.7P9)+69JESLGS
)+*-,/.
spesso utile per imporre che le coordinate ed vengano utilizzate nella stessa
farebbe in modo che le coorscala (
dinate appaiono in scala doppia rispetto
e
riguardano
alle coordinate );
le scritte che appaiono ai lati del diagramma; infine
indica che
viene
usato solo per l’impostazione e non per disegnare una figura.
A questo punto, far apparire nella finestra il grafico del coseno. è sufficiente inserire la riga
)+*-,9. 57698:;,/<-< 2=3
*7FG+67V2UI CL@9,HV2UI+3-3
@2BAC;DE3 > ?
l’operazione a cui corresponde
> ? FFGHGH7. 7. I-P-JHJH@@2L2LK-KHM71"NC=)O1-F3 CBM7N)OFH3 Infatti,
Hscritta
* FG+67V matematicamente
può essere dein questo modo: Se sono dad;> eOf-g-g-g7f>hji e
ti due vettori >cb
e
h
, allora *7FG+67V2UI CUP+3
k
?
b
;
d
?
f
g
g
g
T
f
?
i
unisce il punto d;> eOf?"e9i con dU>l"f?Ol7i ,
)+FGH*7IH.7,/.I-*-JHAT2LDH@FGHJE2L.7K-S7I M7SONCUCL)OP7FGH*-F.7A/CBDHP M7JENC;)O.7S-P9FHSO)+3"C 69QRJEFSLG7G.7SOP-C J+@2BKH1"C41-3
il punto d;> l f? l i con dU>m"f?Om7i , ..., e
honpeOffunzione,
?Ohonpe9i concond;> hq*7FTfG+?O67hjV2Ui I. C;Quindi
se r
AHV)HJ+1"CLA9I767V/J-W7X-Y7Z/[ C;<-\HAT]O6:^)+*-,9.7J9_-`9aH[O3 èdU>una
otte
<
U
2
+
I
7
3
3
niamo un’approssimazione poligonale del57698:;,/<-< 2=3
la funzione r che, in una figura normale,
per s sufficientemente grande (ad esemSe eseguiamo il programma, vedremo per
pio maggiore di t-uHu+u ) sembrerà una rapun istante lampeggiare la finestra grafica
presentazione perfetta della funzione.
che però si chiude subito. Per poterla guarutilizzare la stessa funzione
dare, inseriamo *-,7@-A/.H,/\241-3 nella penulti*diamo
HFPossiamo
G+67V per
aggiungere alla figura (che vema riga; il parametro 1 indica che il pronell’inserto a destra) le rette ?vbwt
gramma aspetta che clicchiamo una volta
e ?jbyxt . Per fare ciò uniamo con una retsull’immagine, prima di chiuderla. Vediata i punti d=x{z+|}f/t7i e dUzH|}f9t e con una semo allora un quadrato nella finestra che
conda retta i punti d=x{z+|}f-x~t-i e d;zH|f-xt7i :
è stato disegnato a causa dell’indicazione
<-\HA9AT]OI76H6V/:^)+J9W7*-X-,9YH.7J9Z/[_-`9aHsignifica
[ nel comando
+
)
*
/
,
.
.
che gli assi delle
*7*7FFG+G+6H6HVV2L2L@@2B2BK7K7M7M7NN)O)OFFCLCLM7M7NN)O)OF7F733CLCL@@2=2BKH1"1C41-CBKH3-1-3 3-3
coordinate non vengono mostrati; A7VT)HJ+1 è
20
21
22
La grafica di R
plot e lines
Il comando postscript
I numeri binomiali
La formula di Stirling
Coordinate polari nel piano
Coordinate cilindriche nello spazio
Coordinate polari nello spazio
Rotazioni nel piano
Numeri complessi in R
Funzioni in R
points
symbols e rect
Esercizi 23-27
Il comando postscript
Per far apparire questa figura sullo schermo
usiamo quindi
+))+FGHA9A9.7\\I-22B]+JH*/7A7@57F92LJ-JHK- M7@N2U:;)O FCCB CBDHM7CU-J N)OECUOFHS4PH3"3-6-3 Qo*-*-FG7,/.7P7S/JH3 @2BKH1C=1-3
)+*7A7,/.V)H2LJ+FGH1.7CBI A9I7CL67FGHV9.7J9W7P X-C;.7Y7P9Z9)+[69C;<-JE\HSLGA/]+SO6CUI7:^)+*-*7A/DH,/.7JEJ9S-_-SO`-CBa7P7[O*-AT3 DHJ"S-SOC
I-*7J+FTG+V96769 V2U2BIK7M7CL@9N)O,7VF2BCLI+M7N3-)O3 FCL*-6TGH9.-HJ+1T-7+3
*7*7FTFTG+G+6767VV2L2L@@2B2BK-K-M7M7NN)E)EFFCBCBM7M7NN)E)EF7F73"3"CLCL@@242LKH1"1"C=1-CBKH3-173 3-3
57*-,H698@9A/:;.H,/<-,/\ < 2=2=1-3 3
Se vogliamo invece conservare l’immagine in
un file in formato PostScript, possiamo usare
il comando
come nella seguente sequenza di istruzioni, dove abbiamo anche tolto
l’istruzione interattiva
:
)+,7V/.+V-@T\+FT)7.
-* ,H@9A/.H,/\ 2=1-3
)+,H+VT.+F/59V-.9@T+\OJ7F)7M.: 2SC;+:-67:;TF/)O/HV-.7HJ-1/ -K7:; @-,7C V96TG+, :^)OV+SOC
+)+,/AT)+\+6/F/\HHJE,TG7ST.HV)+A-*-6HJ9@-W7F9X-A-Y7*OZ9S9[3"CBQ ,TG+69<+F9*-69J-W7X-Y7Z/[ C
)+)+FGHA9A9.7\\I-22B]+JH*/7A7@57F92LJ-JHK- M7@N2U:;)O FCCB CBDHM7CU-J N)OECUOFHS4PH3"3-6-3 Qo*-*-FG7,/.7P7S/JH3 @2BKH1C=1-3
)+*7,/A7.V)H2LJ+FGH1.7CBI A9I7CL67FGHV9.7J9W7P X-C;.7Y7P9Z9)+[69C;<-JE\HSLGA/]+SO6CUI7:^)+*-*7A/DH,/.7JEJ9S-_-SO`-CBa7P7[O*-AT3 DHJ"S-SOC
I-*7J+FTG+V96967 V2U2BIK7M7CL@9N)O,7VF2BCLI+M7N3-)O3 FCL*-6TGH9.-HJ+1T-7+3
*7*7FTFTG+G+6767VV2L2L@@2B2BK-K-M7M7NN)E)EFFCBCBM7M7NN)E)EF7F73"3"CLCL@@242LKH1"1"C=1-CBKH3-173 3-3
57698:;,/<-< 2=3
Abbiamo aggiunto, nei due comandi )+A/\ ,
le specifiche di alcuni parametri grafici:
]+A7F/J+@2U CUCU CU+3 per azzerare i margini della
figura (la F viene da inches, pollici, l’unità di
misura utilizzata da R), DH7JES4P76-*7*-,/"S per usare
uno sfondo (background) giallo, e */H5-J- :; per
dimezzare lo spessore delle linee (linewidth).
questo caso non bisogna dimenticare
fine.
576/Anche
8:U,/<-<2=in3 alla
ALGORITMI E STRUTTURE DI DATI
I numeri binomiali
Situazione 20.1.
to con elementi.
,
un insieme fini-
il nu-
.
Definizione 20.4. Per !"" denotiamo con
#%$ "&'!)( l’insieme di quei sottoinsiemi di
che possiedono esattamente ! elementi:
#%$ "&*!)(+,.-/01 2!43
Esempio 20.5. Sia 56,878&:94&*;4&=<>&:?)3 .
Quindi @A? . Quanti sottoinsiemi con
esattamente 9 elementi possiede ?
Questi sottoinsiemi sono ,87)&:9)3 , ,878&*;83 ,
,878&=F si chiamano coe
Nota 20.3. Se
tali che
), allora
sono sottoinsiemi di
(cioè
e
efficienti binomiali o numeri binomiali. La
definizione naturalmente non dipende da
, ma solo da .
E
Osservazione 20.7.
F 7 perché è l’unico sottoinsieme di
E con elementi.
F 7 perché è l’unico sottoinsieme
E
con
7)F G
E % 7 E
E
! F
! F !MH7 F
per 7OIZ!IZ . Questa formula vale però
anche per !PJ :
!V " G7 abbiamo
[]\>\>Infatti
^`^`__ba .7pere anche
[\ a sinistra
[]\\Ba
a destra \ ^Y_ba
S 27L7 ; per !/cU G9 abbiamo sia a
Proposizione 20.8.
%IJ!IJ
.
E
H! F
E
!F
-J
Dimostrazione. Ogni sottoinsieme
determina univocamente il suo complemene viceversa. Se
ha elementi,
to
ne ha
. Abbiamo quindi una bie
.
iezione tra
LKM
!
KN
%# H$ " &*!B! ( %# $ " &:H!B(
E
Corollario 20.9.
HO7 F G .
E
Osservazione 20.10.
!>F per ! PJ .
Dimostrazione. non può possedere sottoinsiemi con più di elementi, perché si ha
sempre 4I. per -J .
Nota 20.11. Q sia un elemento esterno che
non appartiene ad . Allora R, QC3 possiede S 7 elementi. Sia !" con 7@I! IJ .
Siccome ogni sottoinsieme di è anche
un sottoinsieme di T, QC3 , i sottoinsiemi di
UV, QC3 con ! elementi sono o sottoinsiemi
con ! elementi di , oppure consistono di Q
e di altri !THV7 elementi appartenenti ad .
E D7 9
E 9C; F
E 9?F
< F
Dimostrazione. Nota 20.11.
e
Il teorema 20.12 è equivalente al triangolo di Pascal:
f
e
e
g g e
e h i h e
ekj 'e l 'e l j e
emi e'j f l e'j i e
e
e
e
$on /p*( \ q \ E n \wv r p r
rCsut ! F
n
per ogni &*pVx . Questa formula è più in
Teorema 20.13. Teorema binomiale:
generale valida in ogni anello commutativo
con unità.
Dimostrazione. Non richiesta, ma facile.
Corsi di Geometria o Analisi.
Definizione 20.14. Poniamo
uy z 7|{C9N{D{C{ $ WH7D(=
per c 7
)y z 7
uy
si pronuncia n fattoriali; si parla anche
del fattoriale di .
Dalla definizione segue direttamente
l’equazione funzionale
$ % J7C(:yB uy $ X J7D(
E
uy
Teorema 20.15.
! F !4y $ VH!)(:y
per XI! IJ .
!
Dimostrazione. Facile per induzione su ,
fissato . Non richiesta.
Nota 20.16. La formula del teorema 20.15
è molto importante nella teoria, ma, un po’
simile a come accade per il determinante,
può essere utilizzata solo per numeri molto
piccoli.
Infatti per calcolare
E 9
< F
con il teore-
9 )y e9 C7 )y} ~8y ,
due numeri giganteschi, e formare
F !MH7DF
per ogni c ed ogni !"c 7 .
20
Non è difficile giustificare questa regola
(esercizio 23).
destra che a sinistra.
perché i sottoinsiemi con un ele-
Ad esempio
per cui
elementi.
mento corrispondono univocamente agli elementi di , e di questi ce ne sono
proprio .
per
%# $ W, QC3B&'!)( è uguale a
#X$ "&*!)(YW,CJ, QC3 . #X$ "&*! HO7C(:3
Vediamo cosı̀ che
Definizione 20.2. Denotiamo con
mero degli elementi di .
In particolare
.
Numero 5
a.a. 2004/05
!
E % J!@HO7
! F
si chiamano binomiali superiori. Anche qui
sia sopra che sotto stanno numeri. Infatti
E
^
!F
Basta leggere il numeratore all’indietro nella definizione. Nonostante ciò, i binomiali
superiori hanno interessanti interpretazioni
combinatoriche.
Nota 20.18. Per calcolare fattoriali e binomiali molto grandi al calcolatore conviene
utilizzare il logaritmo. Siccome
)y47 e Yy) $ H7D(*y per c 7
abbiamo
ByB e
$
uy4 H7D(*yC
per cG7
da cui si deduce facilmente un algoritmo.
Quando si usa il logaritmo, si può anche
usare il teorema 20.15 per calcolare i numeri
binomiali:
E
!F
uyBH
!4y4H
IAI7D
$ HO!)(:y
uy
Quando questi numeri, ad esempio
per
, servono spesso, conviene
creare una tabella.
C* D>)
'C* ' D )
: DCD>)
C: D >8
In R comunque tutte queste funzioni sono
già comprese:
uy
[o\r a uy
[ C\r *a '8 D> gj
Sorprendentemente con C*'8 D> g non
i
otteniamo,
come magari ci aspetteremmo, lo
stesso risultato come con
, cioè
(perché si potrebbe pensare che semplicemente l’argomento venga arrotondato, essendo il fattoriale definito per argomenti che
sono numeri naturali); viene invece restitui.
to il misterioso valore
La ragione è molto profonda; infatti la funzione fattoriale
è la restrizione
eCe>iDge Dg
ad
\ uy4z)NH4O
della funzione gamma
¡ z)¢K $ H£¤('H4¢
¡¤$¥ (
una delle più importanti funzioni della matematica e della statistica.
è quindi definito per ogni numero complesso che non
sia il negativo di un numero naturale, cioè
per ogni
con
. Il
fattoriale è legato alla funzione gamma dalla
relazione
¥ ¢
¥
¥.
¦ ,C>&DH7)&DH94&D§D§C§'3
'©D© uy 4 '©D¤¡ © $ % J7C(
Provare ¨
e ¨
in R.
ALGORITMI E STRUTTURE DI DATI
Numero 5
a.a. 2004/05
La formula di Stirling
Coordinate polari (o sferiche) nello spazio
Teorema 21.1. Il valore di
Un punto aDbdc egfhfi3j dello spazio
tridimensionale può anche essere rappresentato come nella figura seguente:
e
è sempre compreso tra
* m
$
Dimostrazione. Non richiesta. Richiede i potenti
strumenti dell’analisi complessa.
+
l no&('V)
" *
$
Avendo
+
, si vede che
46587:9 ;=<
>658;? @A<
FE
5BDC
sU
{|6
{y6
(*)
, mentre l’angolo < è univocadove
mente determinato se chiediamo 1HG6658;? @A<
ZM6Z
Questa rappresentazione è quella che
si usa nelle coordinate geografiche di
un punto della terra o della sfera celeste:
|b
longitudine,
latitudine.
W
Consideriamo
l’applicazione ¡ ) da W
in
che consiste nel ruotare un punto
¢ £ ¢ ¢ per l’angolo fissato < in
senso antiorario. È chiaro che ¡ ) V¤ ¢ A
¤S¡ ) ¢ per ogni ¤{¥6W e dal disegno si
vede che anche
E ¦
E
¦
¡ ) ¢
g¡ ) ¢ ¡ )
¦
¥ W . Una rotazione è
per ¢
quindi
¬ ©
°
§ %
] *
®¯±°
,
\
_$ &('V)
La rappresentazione è univoca per quei punti per
cui K `
/ 21K 1L , quindi per tutti i punti che non si
trovano sull’asse Z .
che in caso di simmetrie può avere
una forma analitica molto più semplice della .
> 4
8c egfhfi3j}be
h
i ad esempio diventa cosı̀ =cVsf|f(yujBbRs , una
funzione di una sola variabile notevolmente più semplice. Altre volte una
funzione dipende solo dalla direzione
e quindi non da s ; in questo caso è
una funzione di sole due variabili e anche questa è una importante semplificazione. Nello stesso modo si usano le
coordinate cilindriche e le coordinate
polari piane.
.
¨
E
¡ ) ¢ T ¢ ¡ ) V ¢ ¡ ) V
Ma
Cfr. esercizio 24.
Quindi
E ¢
¡ ) ¢ g
¢ ² 7:; ? 9L@¶;< < ³
²7:µ 9L;;? < @A<
¢
¢
¸² ¢ 7:;? 9L@¶;< < E µ ¢ 7:;9L? @A; << ³
Se per una matrice
¹
®
la base canonica di W
E
¢ ¢ ¢
perciò
<
¡ ) V ² :7; ? 9 @A;S<´
³
¡ ) V ²7:µ 9 ;;S? < @¶< ³
¡ ) · è il vettore magico di ¡ ) V !
ª
«
Sia
$
.
Rotazioni nel piano
^
+
yb
Anche in questo caso la corrispondenza non è biiettiva, perché non solo per
aBbcVff( j la rappresentazione è valida per sb e valori arbitrari di
un’applicazione lineare.
% [
.
fw~4yBbt_vxw
=c sf(|fyuj b
8c sFt_vxw|Ht_vxw8yfsTw~`|Ht_vxwyAfsTw~>yuj
con
Si vede che, se 0
/ 213 1 , allora
t_vxw yBbw~
Molte funzioni della matematica e della fisica presentano simmetrie. A una
funzione b8cVegfhfiKj definita su M
(per semplicità, ma spesso bisognerà
studiare bene il più adatto dominio di
definizione) possiamo associare la funzione XbO=cVsf|f(yFj definita da
ezb{sut_vxw|}t_vxwy
h}b{suw~M|Ht_vxwy
i4b{suw~`y
# &(' )
.
rXbOsut_vxwy
bOx y
quindi
un punto del piano reale.
,
% !
X
,
Coordinate polari nel piano
Sia
y , ma anche per ogni altro punb cVf(f j dell’asse i bisogna porre
ybYxK e quindi t_vxwybO e w~>yBb
se iO oppure yb x e quindi
tovxw ybD e w~>yb se i , e
allora ogni | va bene. Quindi su tutta
l’asse i le coordinate polari non sono
e
to
univocamente determinate.
Spesso al posto di y si usa
^
% k
.qp n
|
21
²½¼
º ¾» ³ ¥W
definiamo
¹ ¢
²
. Allora
¢ E ¢
½(º ¢ E ¾ » ¢ ³
vediamo che possiamo prendere
¹
² :7; ? 9L@¶;< <
;? @¶<
:7 µ 9 ;S<
³
.
Notiamo anche che le colonne di
proprio ¡ ) V e ¡ ) V .
¹
sono
³
ALGORITMI E STRUTTURE DI DATI
a.a. 2004/05
Numeri complessi in R
points
Un numero complesso è un punto
del piano reale. Secondo questa definizione,
i numeri complessi non sono nuovi come oggetti. Definiremo però nel prossimo numero
le due operazioni, addizione e moltiplicazione, per i numeri complessi, di cui abbiamo
già parlato a pagina 6.
Per stavolta usiamo i numeri complessi solo come la forma più comoda per rappresentare punti del piano in R. In matematica il
viene anche
numero complesso
, ad esemscritto nella forma
. In modo quasi identico
pio
vengono rappresentati i numeri complessi in
R, mentre però in matematica per
si
scrive
, in R bisogna scrivere
. Anche da solo non è ammesso, dobbiamo scrivere ; R stesso nell’output utilizza
.
Si può usare per il numero complesso
(nell’output
). La parte reale si ottiene
con
, la parte immaginaria con
.
Molte funzioni grafiche in R sono definite
per successioni di punti. Siccome in statistica accade spesso che si hanno due serie di
misurazioni, ad esempio
e
, molte di queste funzioni
possono essere usate nella forma
.
Una coppia di misurazioni (cioè di vettori)
è però equivalente a una successione
di punti del piano, cioè a un elemento di
. Questa dualità è onnipresente nella
statistica multivariata. In R dovremmo allora scrivere
che ci costringe a una rappresentazione un
po’ difficoltosa.
Le stesse funzioni grafiche operano correttamente se diamo i punti come una
successione di numeri complessi, possiamo cioè usarle ad esempio nella forma
. Non dimenticare
l’operatore .
$
#%$
()+*-,.
&
& " &$
! "#%$
& "#%$
/01*-,.
'
1243 3 3 657
2 3 3 34 5
89*:6;-<6;= = =>.
?A@CB 5ED B 5
2 2 343 3 5 5
5
FBHG
89*>I *:J#;<# . ;= = =;KI *:01;-<0L.;=4= =-.
89*>I *>M%"4N4$ ;>O P#%$ ;>M4$ ;K#?&4"4Q4$4. .
I
R )%SI TJ$VUW8%X YJI?ZJ$%[?Y*:9; S\%] ]$ ;
S) U#;>I%[4^ [S)SJ$U%_4`.
a 8I [S[ ^ [*cbd
$ Ye:.f<0 g[4^4f *cb1;KI $?SI%^4)4fU%S\ ] ]$ ;
\ h h U%i9;K$ YJI T)fU%j9; 8] UI%[ ^4[S)+;cg] UI%[ ^4[S)S$.k
l S\8$ I%\WUm8%X YJIZ$%[?Y*-:6;<6;>I [S%YJ$ I )%U%j4` nop9;
a bJS\: S9< *c0U\#$;>\4U0f f \S$U ]j4.` qrn4bop1\S1;c0*-^\s4S4h ]4U4U%S&1)?= b1O.*-&6q ;!. .
b^4[Z9*:6;-<6; Z4<bJ)%ULt>Y tL;:4^ \?gULt tJ;<^ \?gULt4tJ;
\f bU%S4:4<6;-\%:4)fU4\4f f4$ ; 8 S\0)9=Fb^4[Z4UI%[%S%YJ$ I%).k
u [f?Zf I?SJ$ b4ZWUW8 X YJI?Z$ [?Y* 8$ ^ )+;-^ \%S4]6;-\ ^%ZJ.
a bJ[4f?Zf IS$ b4Z9*8$%^ )+;s$h%Z%TU4^ \S4]9;cT)4$]%T4Z4U4\ ^%Z9;
TJ[S$,4[Y4Z\ ^%U j4` n4op1;-[?Y)8J$%^ )%U%j` n4op9;
bJ\?b)S4Ut?f b)4I4$%\ ^Jt.%k
u X4Y4Z$VU8%X YJI?ZJ$%[?Y *:6;Kf $ 0 g1;Z$ b[%Ut>b tJ;
a bJI [4[ $ Y4^ Z[Sf+) * (U)+#;>*:JI%[4.^ ;K[/01S)*-SJ:$.U%;cbJ_4`6I?T;KUf I%f \ $ 04^ g1\ U; Z4# <. bJ)%U%Z$ bJ[+;
I [ ^%UI%[4^ [S)+; g] UI%[4^ [S)SJ$ ;>I%)%:4Uf I%\ ^4\.k
()%Z Z\?Y][ ^4$vUW8 X YJI?Z$ [?Y*:6;>^ \S4]6;>\ ^Z9;
a SI )4[ I?Z9^ [* S() )+U*:#.;>I%;[4/01^ [*S:). SJ; ($U%)+_4*`:J..?"4^ \S]6;K/01*-:.?"4\ ^%Z9;
I [ ^%UI%[4^ [S)SJ$ ;cg[Sh4)S4UI [ ^ [S).k
Da questi esempi si dovrebbero poter dedurre le regole più importanti per la definizione
di funzioni in R. Parametri predefiniti sono
,
assegnati con . Le funzioni
e
verranno discusse adesso.
U
bJ[4$ Y4Zf f<%0 g[ ^4f
b[$ Y4Zf * b X Y4Z$+;rbJI TUf4$ 0 g[ ^4[+;
Z<b)%U%ZJ$ b[%ULtKb tJ;wI%[ ^ UI%[ ^ [%S)+;
g] UI%[ ^4[S)S$+;7I%)%: Uf I%\ ^ \ U# .
Usiamo qui la seguente convenzione: In primo luogo gli argomenti possibili nelle funzioni di R sono in genere talmente tanti, che i prototipi che indichiamo corrispondono soltanto a un formato scelto per
semplicità e funzionalità. R permette inoltre argomenti riconoscibili per nome, che
quindi non devono necessariamente seguirsi nell’ordine indicato. Quando nel nostro
prototipo appaiono due segni di uguaglianza, ciò significa che l’ultimo valore è il valore predefinito in R. Analizziamo in dettaglio
i parametri.
b X YZ$ sono le coordinate dei punti, che
possono
dati sia come elementi :6;<
B 5xD essere
B 5 oppure
di
mediante un vettore di
numeri complessi.
è il simbolo con cui il punto viene rappresentato. Questo simbolo può essere una lettera oppure un numero tra 1
e 25. Le forme che corrispondono a questi
numeri sono elencate nella prima figura a
pagina 19.
può omesso oppure scelto tra
e
. Se viene omesso, assume il valore predefinito
, che sta per point e indica che
nel punto indicato viene disegnata la figura
desiderata.
fa in modo che i punti vengano uniti con linee (in questo caso
è superfluo), mentre l’interessante opzione
(per both) implica che vengano disegnati sia
i simboli che le linee congiungenti.
è il colore in cui il simbolo (o il suo
bordo quando è riempibile) viene disegnato.
Se manca, viene usato il colore di disegno
attualmente impostato.
è il colore di riempimento per
i simboli con i numeri da 21 a 25. I colori
possono essere indicati per nome (ad esem,
un elenco dei nomi
pio
disponibili lo si ottiene, almeno sotto Linux,
con il comando
) oppure in formato
RGB, ad esempio
per il rosso.
è la scala. È normalmente impostata ad 1, per avere un formato più grande
si può aumentare la scala, ad esempio con
.
La figura a pagina 19 che rappresenta i
simboli e i numeri a cui corrispondono è stata ottenuta con questi comandi:
f $ 04g[ ^ [
Z$ bJ[
t>g t
t>b t
bJ[4$ Y4Zf f<0 gJ[ ^4f
Corso di laurea in matematica
22
symbols e rect
Per disegnare punti e simboli in R si pose
. Il
sono usare le funzioni
primo comando ha il formato
t ^Jt
t ^Jt
bJI?T
R )SI TL$
Nella funzione
dell’ultimo paragrafo
che perabbiamo usato la funzione
mette di disegnare simboli più complessi di
. È una
quelli che si ottengono con
funzione che si usa poco però e anche noi la
utilizziamo solo per disegnare cerchi il cui
raggio (in pollici, come tutte le misure di R)
possono essere assegnati. Cerchi si possono
anche ottenere con
, dove però invece
del raggio si può indicare solo la scala relativa impostando il parametro
(o
in
).
Anche rettangoli si possono disegnare sia
con
che con
; siccome esiste
però una funzione apposita
in R, possiamo adattarla definendo una nostra funzione
. Usiamo anche qui il plurale perché tutte queste figure permettono
di disegnare serie di figure.
f%<0 g[ ^f
b[$ Y4Zf
b[$ Y4Zf
u X Y4ZJ$
f<0 gJ[ ^4f
b[4$?Y4Zf
()Z Z\Y]4[ ^4$
I%) :
f4I%\ ^ \
S)4IZ
L’immagine è stata ottenuta con
u [4f?Zf IS$ b4Z9*?t= = {?bLf%{ N N P h$ f I TL$6=FbJftL;K#+= |+;#+= N.
l S\8$ I \+*>I *&9;K#+= |. ;>I *&6;#+= N. .
()Z Z\?Y]4[ ^4$ *-&6;K#+= |6;K#+= N+;KI%[ ^ [S)S$ULt y4| |4I I4I It.
b4X Y4Z$UI *&1=-#" &1=-#%$+;&1= Q%"4&1= M4$ ;#+=-#?" &= O4$4.
^4\Z[%U &= Q O+qw^4\Z$U%S)?b1*-^ \%Z[+;-M.
8a [S *cbd$ Yb X4Y4Z$4.
()Z Z\Y]4[ ^4$+*cb1;-^ \%Z$ ;-^ \%Z$ ;>I%[4^ [S)SJ$ULtyghgz Q?g+t.
RI )?)Y4SZ I TJS[ $+U*>bI%"6)?Y4*-Z4^4S\Z[+[%;-"4^ ^4\%Z\Z[4[4&1 *-= & !6";>I%#%[ $4^4.4[.S{ N+)Sq $%ULt>g4S[%s%Y t.
R )SI TJ$+*>I%)?Y4Z4S[+;-^ \%Z[4&1=N O+;
I%[ ^ [%S)S$Uty & &4|gO8t.%k
h)= [8489*K.
t>g+t
I%[ ^4[S)
I%[ ^4[S)S$
Funzioni in R
S)4I?Z
Numero 5
tS)%hLt t] S) )?Y tL;e= = =;
I%[4^ [Sf *.
t y%8 84& &4& &Lt
f I%\4^ \
f I%\ ^4\%U4N9= z
u [f?Zf I?SJ$ b4Z9* t = = {?bJf {#| P4f4$ 0 g[ ^$6=FbJftL;-N+;-N.
l^ S\%Z\8[%U$ II%\6*-&6*-^ ;-\NZ.[6qr;-bJ^ \\S9Z[6*cg;>]4I%UL[S%tYLy4z $ \I%I%)%| U%z i4\J(%}4t%pJ. .
8[%S *>$$?Y~#+-#%. a U$%P#q:4U &1= N O *K#?" z.q
<4U#+= Q P &1= O4 * { z.qrb[4$ YZf *:6;-<6;cbJI TU$4.q
Z)%:%Z9*:9;< " &1=N+;>$ ;>a I )%: U &1=O.k
8[%S *>$$?Y~#|9 N4 O . U$%P#|+q
:4U &1= N O *K#?" z.q<4U &1=-#q
bJ[4$ Y4Zf+*:6;<6; bJI TU$+;cg] ULtS)%hLt. q
Z)%:%Z9*:9;< " &1=N+;>$ ;>I )%: U &1=O.k
h4)%= [8 81*K.
Per ottenere l’output su una finestra grafiprima di
ca è sufficiente inserire
.
^ [4I%\Z[S9*K# .
h4)=[8 89*K.
\9Fg è lo stesso come f%)%9*-\+;cgL. .
Corso di Algoritmi e strutture di dati
Il semplice ma potente
nella forma
8[S
di R viene usato
8 [S *:$ Yf XJI4I%)4f f $ [?Y).m$4f?Z S%X,$%[?Y)
S)?b*:6;cYL. è la successione I *:9;= = =;-:. con Y
ripetizioni di : .
Esercizi per gli scritti
23. Giustificare la regola della nota 20.16.
9??
K4L
24. Per un vettore
del piano il
che si ottiene da
vettore
per rotazione di 90 gradi in senso antiorario si chiama il vettore magico di
. Usare le matrici di rotazione per ottenere da .
25. Usando le matrici di rotazione dimo.
strare che
%V 6 V %H4
26. Se è il vettore magico di , allora
è il vettore magico di .
Usare2 l’esercizio 25! Riflettere sul caso
.
27. Scrivere una funzione per disegnare
rettangoli in cui il primo argomento
corrisponde al vettore dei centri.
C
Docente: Josef Eschgfäller
Corso di laurea in matematica
Abbiamo già detto che un numero
complesso è un punto
del piano reale e che secondo questa definizione i numeri complessi
non sono nuovi come oggetti. Definiamo però adesso per i numeri
complessi due operazioni, addizione e moltiplicazione.
scalare reale
del piano.
%$&(' )$&*"+$,
-(' .0/1"234.5$&"-!
con il vettore
Q4
25
(3) Più in generale abbiamo
L’addizione è l’addizione vettoriale
nel piano, la moltiplicazione è invece motivata nel modo seguente.
76(8/)9
;:;<
6(=?> 9 $@ 6A= 9CB >
L’equazione
non ha soimplica
luzioni reali (perché
e
). Ci chiediamo allora se è possibile aggiungere ai numeri reali altri numeri,
numeri immaginari, tra cui un numero ( appunto perché immaginario) che soddisfa l’equazione
D D
D 6 E/)9
Naturalmente vorremmo che le
usuali leggi aritmetiche siano conservate anche con i nuovi numeri.
Con la nostra definizione tutto funziona bene:
Chiamiamo il punto
del
piano , poniamo cioè
> #9#
3 >
e identifichiamo il numero reale
con il numero complesso
- ciò
significa geometricamente che consideriamo la retta reale come sottoinsieme del piano nel solito modo,
identificandola con l’asse delle .
34"H4*A:A< . Allora:
(1) 3 > JI4K.L , dove a
Siano
sinistra il prodotto è il nuovo prodotto per i numeri complessi. Infatti, secondo la nostra definizione,
23
Infatti
D 6 F > #9GRIN > #9G
F > I > /,9 IS9T#9PI > $ > IN9G
F/)9T > +E/)9
34"#U 3 > $V > 4"W
X)$Y"T > #9GUX)$&"-D
e quindi anche * UXZ$YLD , e
)$Y"-D[-Z$&LD[
V.O$&.LD\$Y"-\D\$,"2LD 6
V.0/]"-5$V.5$&"2!*D
Osserviamo bene quest’ultima formula. Il risultato è in accordo con
la nostra definizione per la moltiplicazione di numeri complessi,
ma è stato raggiunto eseguendo il
calcolo secondo le regole algebriche
usuali, a cui abbiamo aggiunto la
nuova legge
.
D*6 /)9
/
$
(4) E infatti per le operazioni
e
definite all’inizio valgono le stesse leggi algebriche come per i numeri reali (cfr. pagina 6), perché,
come si verifica adesso facilmente, l’insieme dei numeri complessi
con queste operazioni è un anello
commutativo in cui il numero reale
è l’elemento neutro per la
moltiplicazione. Quest’ultima affermazione segue dal punto (1).
Vedremo a pagina 24 che i numeri complessi formano in verità un
campo, cioè che ogni numero complesso diverso da zero possiede un
inverso per la moltiplicazione.
9^F9T >
3 > MIN
Il campo dei numeri complessi
F.0/ > I-! > I#O$,.
viene denotato con _ . In pratica
F..
,_ @ - è ugua- $"2D , e siccome "-D+aDb" , si può anle ad PI2Q , cioè al prodotto dello che scrivere 3*"#+Vc$&Dd" .
Numero 6
In questo numero
24
D 6 E/)9
(2)
e !"# .
D
D+' F > #9G
Anno accademico 2004/05
I numeri complessi
Siano
Allora
I numeri complessi
La formula di Euler
Il campo dei numeri complessi
La formula di de Moivre
Parte reale e parte immaginaria
Disuguaglianze fondamentali
Il segno del prodotto scalare
Poligoni con R
Radici di un polinomio
Radici -esime dell’unità
Radici di un numero complesso
Esercizi 28-43
e
La formula di Euler
f4gihOj k1lnm4o-pSq!r[pbs tMqLu
per q]v`w . Adesso la possiamo riscrivere nella
forma
f4gih)kxm4o-pNq^y`zWpbs tMq
Abbiamo introdotto già a pagina 21 la notazione
(formula di Euler). Questa notazione, per il momento puramente simbolica (perché solo nei corsi di Analisi si potrà dimostrare che si tratta
veramente di una potenza), non è solo molto comoda, come vedremo adesso, ma anche estremamente importante nella teoria.
Dal teorema di addizione per le funzioni trigonometriche si deduce immediatamente che
f4g|{}hS~.H3k;fgh2f4g}
q3rd(v^w
kyz
per
(esercizio 33). Si vede che nel campo complesso il teorema di addizione assume
una forma molto più semplice.
possiamo anche più in generale
Per
definire
fJj kfSf4gn
Allora
f ~`k;f+2f4
per ogni r*Ev; . La funzione esponenziale è
quindi un omomorfismo
lnrWyUuQSlnrT u
Leonhard Euler (1707-1783), matematico
svizzero-tedesco, passò gran parte della sua
vita a Pietroburgo e a Berlino. È stato uno
dei più prolifici matematici di tutti i tempi;
la sua opera riempie 88 volumi. Non era solo
un geniale analista, ma ha inventato anche la
teoria dei grafi, anticipando un campo della
matematica discreta oggi molto studiato per le
numerose applicazioni (ad esempio in ricerca
operativa e in informatica). Ha lavorato su
quasi tutti i campi della matematica pura e
applicata del suo tempo.
C. Boyer. Storia della matematica. Mondadori.
U. Bottazzini. Il flauto di Hilbert. Utet 1990.
C. Berge. The theory of graphs. Dover 2001.
R. Diestel. Graph theory. Springer 1997.
ALGORITMI E STRUTTURE DI DATI
Numero 6
a.a. 2004/05
24
Il campo dei numeri complessi
Parte reale e parte immaginaria
Il segno del prodotto scalare
Definizione 24.4.
(con
reali come sempre) sia un numero complesso.
Definiamo allora
Nota 24.10. Nella disuguaglianza di
Cauchy-Schwarz anche a sinistra dobbiamo
mettere il segno di valore assoluto, perché il
prodotto scalare può essere negativo.
Infatti il segno del prodotto scalare ha una
importantissima interpretazione geometrica: Siano come finora
e
due punti di
, entrambi
diversi da . Come nella dimostrazione della disuguaglianza di Cauchy-Schwarz sia
l’angolo che i due vettori formano in un piano comune (un tale piano esiste sempre ed
è univocamente determinato se i due vettori
non sono paralleli). Sappiamo che
Abbiamo visto a pagina 21 che ogni punto
di
può essere scritto nella forma
!
dove #"%$ è univocamente determinato ed
'& . Abbiamo anche visto che
() )*+ -,
Se /.0$ , anche è univocamente determinato se chiediamo $213'465*7 oppure, come
il matematico preferisce dire, univocamente
determinato modulo 5*7 .
_% ,`P
Re
Im
T 6
T Q
Re si chiama la parte reale di , Im
parte immaginaria.
Osservazione 24.5. Sia
anch’essa già anticipata a pagina 21, con
ed come sopra.
Sia adesso anche < &
. Allora
89>=0?89;@>:BA!= C
8D9E=F
come segue dal teorema di addizione visto
ha quindi la
a pagina 24. Il prodotto
stessa lunghezza di ed un angolo aumentato di
rispetto a . Ciò significa che la
è la stessa cosa comoltiplicazione con
me una rotazione per l’angolo in senso antiorario.
Prendiamo adesso un numero complesso arbitrario. Lo possiamo rappresentare nella forma
con
. Per il
prodotto
otteniamo evidentemente
e quindi vediamo che la moltiplicazione con un numero complesso consiste
sempre di una rotazione combinata con un
allungamento (o accorciamento se
).
<
8D9E=
G
<
G IHJ89>=
H?89;@>:BA!= CG
HK"L$
G M
) G ) 43N
Definizione 24.1. Sia /O ,QP R&'S con
& . Allora 3T UWV P si chiama il
numero complesso coniugato a .
Geometricamente si ottiene mediante
rispetto all’asse reale. È
riflessione di
chiaro che
.
0
0 ,RP
0 , ) ) .
Lemma 24.2. Sia
. Allora
Dimostrazione. Immediata. Perché è anche un caso speciale dell’esercizio 30?
0.X$
Nota 24.3. Ogni numero complesso
possiede un inverso rispetto alla moltiplicazione, infatti
Y
ZN
per cui possiamo porre
N
o, equivalentemente,
[&#S
la
. Allora
a-b
,5
ced V
5P
Possiamo quindi scrivere ogni numero
complesso nella forma
0*89;:
!
[&#S . Allora
) Re )B1f) ) e ) Im )g1f) ) .
Dimostrazione. Infatti, con 0 ,RP ,
h Re i hkjlh mnh*jo m!p2qsr m!p t3uvpwjxh i h .
particolare
}! }"`$fw*v'"6$
e
Nello stesso modo per Im .
Osservazione 24.7. Per un numero complesso la parte reale e la parte immaginaria
di non sono altro che le coordinate di come punto di
. È quindi chiaro che, se è
se e
un altro numero complesso, si ha
solo se e coincidono sia nelle parti reali
che nelle parti immaginarie.
Usare questa osservazione nella dimostrazione degli esercizi 41 e 42.
y y
y
z;F{*D|J|D|D ^
^ . Allora
wg{*J|D|D|D ^
)~}! }?)g1) )~) )
e
Questa è una delle disuguaglianze più importanti di tutta la matematica e prende
il nome di disuguaglianza di CauchySchwarz.
Dimostrazione. Possiamo ricondurre questa fondamentale disuguaglianza al caso
. Infatti i due vettori stanno su un
piano e il prodotto scalare si esprime mediante l’angolo che essi formano in questo
piano (pagina 15):
] 5
}! }) )~) );*
e siccome )*F) 13N abbiamo
)~}! }?)) )~) )~)e*v-)B1Z) )~) )
N [V P
R
,
, P
>SF , DY è quindi un campo. Come in ogni
campo anche in S l’inverso è univocamente
Proposizione 24.9. Siano ancora
e
. Allora
punti di
determinato.
Questa seconda disuguaglianza fondamentale è detta disuguaglianza triangolare.
La formula di de Moivre
0?89:\&/S
] "QN
Sia
. Per
allora, secondo
le formule viste precedentemente, abbiamo
*^/0*^89^B:
Abraham de Moivre (1667-1754) era un matematico francese emigrato giovane in Inghilterra. Ha scritto un famoso trattato sul
calcolo delle probabilità (Doctrines of chances, 1718).
zF{*D|J|D|D ^ % g{*D|D|J|D ^
^
) , )B1Z) ) , ) )
due
Dimostrazione. Ciò è una facile conseguenza della formula
) , ) ) ) , ) !) , 5v} !}
per il prodotto scalare vista a pagina 15 e
della disuguaglianza di Cauchy-Schwarz:
) , !)
per cui anche
1
) ) , ) ) , v5 }} 1
) ) ) ) v5 ) )~) )J
) ) , , ) !) ,
) , )B1Z) ) , ) )
}! }-3$fw3$
^
Fissiamo adesso . Allora i vettori %&
per i quali 0$ sono esattamente i vettori ortogonali ad . Essi formano l’iperpiano
ortogonale ad (una retta ortogonale ad in
, un piano ortogonale ad in ). Come si
vede dalle figure a pagina 13 per Q il
coseno di è uguale ad N , e se, partendo da
wZ , avviciniamo all’iperpiano ortogonale di , il coseno diventa sempre più piccolo,
rimanendo però positivo fino a quando non
tocchiamo l’iperpiano ortogonale. Se passa
invece dall’altra parte dell’iperpiano, il coseno di diventa negativo.
Avendo
e
però lo stesso segno,
otteniamo il seguente enunciato geometrico,
importante anche in molte applicazioni, ad
esempio nella teoria dell’ottimizzazione:
Disuguaglianze fondamentali
Teorema 24.8. Siano
due punti di
}! }-) )~) !)e
Per ipotesi ) )(U$ e ) )I$ . Ciò implica
che }! } e *v hanno lo stesso segno; in
Osservazione 24.6. Sia
lF{?D|D|D|J ^
^
M { J|D|J|D ^
$
}! } *v
{ J|D|D|D ^
%
^
} !}'L$
Mxg{?D|J|D|J ^
e
Teorema 24.11. Siano
due punti di
, entrambi
se e solo
diversi da zero. Allora
se si trova dalla stessa parte dell’iperpiano
ortogonale ad come stesso.
Poligoni con R
La semplicità delle seguenti costruzioni è
impressionante - ma richiede la nostra matematica! Esaminare bene ogni singola riga
del programma e variarlo.
J*J* JF DD*J¡D¢J?v£E?*?¤ ¥v£¦B¤ ¥B£;§
¨ ¡©*J¡B ¥B£e¥g¤£ª§g¤ e¥B£¥g¤ ¥B£e¥J§D§
«D¡¢JD¬JBe¥B£e¥¥B£e¥B¤eª£>v¤£B¤
D¬J*®k ¯JD¬J¬D°g§
*¡e¬°J±D®J§M²³¡?¡´ ?JD¡£
¡¢JD¬®?µDD¶·;¸v¤eJ¹? ¤eJ¹?µD§
*D¬J¢**® e¡¢D¬JJ§¶?¥D¹DDFe¡¢D¬JJ§
¬J *JB>*D¬J¢J*?§
º J®DJ >?Dµ*§¶*¥DD¹DD >?µ?§
*D¬J¢*D® º JJ¹ *J¬J¢J?*
*¡DD¬®k *±k§
¬J *JB>*D¬J¢J**JD§
*D¬J¢*»J±J®D¸£J¹ *J¬J¢J?JDD¶D¸F£
*¡DD¬®k ¢DD §
¬J *JB>*D¬J¢J*»*J±J§
*¡e¬°J±D®J§
JD?®*¥B£¼D¶*¥D¹DD·ve¸£DB¤;¸£DB¤;¸£D§
½ * ¾k D* ¤;¸£ªB¤
D¬J*®k ©*J¢J ?¤DD¬DD®k ±g§
±J»£©D© §
Si ottiene la figura a pagina 25.
ALGORITMI E STRUTTURE DI DATI
Radici di un polinomio
Radici di un numero complesso
un polinomio con coefficienti complessi,
. Allora esistono numeri
e
!
"
"
" , univocamente detercomplessi
minati, tali che
$#%'& ( ) #%'& *(
Teorema 25.1. Siano
Questa uguaglianza è intesa come uguaglianza di polinomi, cioè sviluppando il prodotto a destra si ottiene un polinomio con gli
stessi coefficienti di e quindi proprio .
per ogni e
È chiaro anche che
si può dimostrare che ogni radice di , cioè
ogni per cui
, è uno degli
.
+# -, (
+# (
/,
.
Dimostrazione. Non richiesta. Esistono
molte dimostrazioni, le più semplici utilizzano ancora l’analisi complessa.
Il teorema 25.1 si chiama il teorema fondamentale dell’algebra.
In R le radici di un polinomio possono essere ottenute con la funzione
che
prende come argomento il vettore dei coefficienti di elencati iniziando con il coefficiente costante. Per arrotondare i risultati
usiamo la funzione
, il cui secondo argomento è il numero di cifre decimali a cui
si vuole arrotondare. Esempio:
021 3 465)1 187
5)1:9 ;)<
5)= <)> ? >8@6021 3646521 187BAC? AED FEG HIFEJ FEG HIFLK M M
05!>N;7BA%521:9 ;) ?>PFEQ)M M
con output R S2K >TRG)K6>UQ6S R)>V6S R)> . Infatti
W &YX2Z\[2I]^&_X)I`\ a
$#%b&Yc ( #%d&_e ( #%'&_f ( #%Z f ( .
h i
j k ]:lnm
fissato. Consideriamo il nu-
j
(che naturalmente dipende da ). Dalla formula di de Moivre segue che elevato alla -esima potenza, è uguale a . È anche
chiaro che
#j , ( $
# j ( , ,
per ogni . o . Consideriamo
adesso i nu ] " " " j p- .
meri j j
,
Dalla formula di Euler vediamo che gli j
,
j
si trovano c)tutti
sul
cerchio
unitario,
con
q
eW
ruotato di (cioè di gradi) rispetto ad
j , p- . Essi formano in altre parole (almeno
e ) i vertici del poligono regolare con
per Yr
vertici iscritto
al cerchio unitario con pri
mo vertice uguale ad . Ciò implica che gli
j , per . " " " &U sono tutti distinti
& un insieme di
tra di loro e costituiscono
radici del polinomio
, mentre per altri . i valori si ripetono. Dal teorema fonda & dell’algebra segue
mentale
j , che ogni radice
di
& è uno degli e che
$#%^&T ( #%s& j ( #%s& j ] ( #Os& j *p- (
] " " " j p- si chiamano le
I numeri j j
-esime radici dell’unità.
Corso di laurea in matematica
un numero reale non negativo
Siano t r
. Nei corsi di Analisi si impara
_
T
ed
esiste un unico numero u r tale v che
che
numero con
u t . Denotiamo
t.
x
questo
Sia adesso w
un numero complesso
k
z
m
y
diverso da . Allora w
con t {
e
| ~} . Cerchiamo le radici t -esime
di w , cioè
w . Una radice
le radici del polinomio
la troviamo subito; infatti la formula di de
Moivre implica che
v y
^ t k m
w
soddisfa l’equazione
. Se
è un numero complesso tale che
allora anche
adesso
,
# ( t
Però noi conosciamo i per cui
; sono le -esime radici dell’unità. Quindi ciascuno dei numeri
v y
t k m
] j
` j ]
" ""
*p U j
&
è una radice di
w . D’altra parte la moltiplicazione di un numero complesso con
j , corrisponde
un
e W alla rotazione di per
e
angolo di .
gradi e, siccome w
, tutti gli , sono diquindi anche
stinti tra di loro. Dal teorema fondamentale
dell’algebra segue che
Radici g -esime dell’unità
Sia
mero
Numero 6
a.a. 2004/05
¶
& $#%b& 6( #Od& *(
w
complesso che soddisfa
e che ogni numero
w è uno degli -, .
l’equazione
\e2f :
Troviamo con R le quarte radici di
52=6<)> ? >6@8021 364 5)1 187BAL?PAEG)K8GV>PFORIFERIFORIFLKM M
0)52>N;7BAO5)1:9 ;)? >PFEQ)MM
30.
+w
:w d
#
&TO w
(
P8 w $
31. Usiamo il simbolo per indicare l’ortogonalità tra due vettori.
wd w dw } f .
f si chiama l’asse immagiL’insieme }
f
nario, gli elementi di } , cioè i numeri
complessi con parte reale uguale a zero,
si chiamano puramente immaginari.
e sono quindi ortogonali se e solo se
è puramente immaginario.
w
w
w
32. w!
w! w .
Nella seconda parte non ripetere i conti!
k6mE¡£¢I¤*¥P¦k6m%¢)k6m£¥
¨§ ~} .
per ogni
k ©¤+ªk ©Z)k ª .
34.
35. Calcolare f .
36. Calcolare c« [2f .
e« f
37. Calcolare ¬ &Yc2f .
fE
38. Calcolare .
eX)f) W fO]/®2f%`& ¬ fza-U6 !fO .
39. Calcolare
e¯&YfB W f%]« ¬ fO°
40. Calcolare
X^& W f fO± .
e2b ¬ ²6³2´ `/'&_e ²6³2´ .
41. ²6³2´
}
Dimostrare questa formula per
(seno e coseno possono essere definiti
anche su e l’equazione rimane valida,
33.
ma ciò non può essere dimostrato qui)
usando la formula di de Moivre e confrontando le parti reali e immaginarie.
K %Q J6SRz2K6>TG Rz2K:S!K % Q J>
G2K %Q J G Rz2K6>Rz2K8G2K % Q J>
42.
Fare un disegno con riga e compasso e verificare il risultato. Cfr. esercizio 43.
Esercizi per gli scritti
Per vettori
si denota
talvolta con
non solo la
pla, ma anche la matrice le cui colonne sono i vettori
nell’ordine indicato.
In particolare possiamo formare la matrice
per due numeri complessi e , con.
siderati come punti di
Siano
e
numeri
complessi con
.
#w (
w :w d & P8 # w ( f .
Quindi
L’output è
# "! " " " " "2 ( }
!
"
"
"
25
²6³2´ X2b W ²6³)´ /b&Yc) ²6³)´ `/\X ²6³)´
Questo era l’esercizio 16. Dimostrarlo
adesso con il metodo dell’esercizio 41.
È solo un piccolo esempio di quanto il
passaggio per i numeri complessi possa
semplificare anche questioni che apparentemente riguardano soltanto i numeri reali.
a¯w w
f & µ& f
IaB& w
43. Siano un numero complesso diverso da
e
. Allora le altre radici di
sono
.
w
]
}
w iP f i~} f
f
28. Il vettore magico di w è w .
# (
29. Calcolare :w d e P8 w in termini
.
di
Corso di Algoritmi e strutture di dati
.
·¸¹
Docente: Josef Eschgfäller
Corso di laurea in matematica
Grafici di funzioni
Il grafico di una funzione (di R
o definita da noi) si ottiene, come a
pagina 19 il grafico del coseno, con
la riga
adattando i parametri di ambiente (dimensioni degli intervalli per l’ascissa e per l’ordinata,
colori, linee ausiliarie) secondo
le necessità. Ricordiamo che il
parametro
deve essere un vettore di valori reali che matematicamente siano ad esempio
;
congiunge i
punti
con segmenti di rette. Se i punti
di
sono sufficientemente vicini,
avremo l’impressione di una curva
continua. In genere, se la funzione non oscilla troppo, è sufficiente
, definendo
una risoluzione di
.
Mentre la notazione per vettori
"!$#&%('('('(%)!+*-, ..
"! # %0/$"! # ,1,2%&'('('(%"! * %0/$"! * ,1,
.6.7-8 19:;:.<6= > =@?7
3 ' 354
IKJ LDM7NOG H
L G H
G
I
P
QSRL
I
A
U
T
W
Q
V
XTUQWV YTUQWV I
Q
I+TZQWV\[]T^XTUQWV1_YTUQWVWV XJ`LDMNaG b
YcJI L7M-NaGdb
Xe[KXTZQWV
Yf[KYTUQWV
Notiamo subito che il grafico di una funzione reale ghJ+LDMNaG b definita su un intervallo è un caso speciale di curva parametrizzata che può essere rappresentato
nella forma
Anno accademico 2004/05
Numero 7
In questo numero
e matrici in R non è particolarmente felice, per figure piane possiamo usare con grande vantaggio la rappresentazione complessa.
Per un grafico di funzioni possiamo
scrivere
26
La comodità della forma complessa sta soprattutto nel fatto che possiamo cosı̀ facilmente eseguire operazioni geometriche, le quali nel
piano, come vedremo in questo numero, sono tutte esprimibili mediante operazioni algebriche con numeri complessi. Per spostare il grafico di 1 verso l’alto è sufficiente
29
.A .B @ 7C5?D.
.A&?D7B-B @ DC5?D
per girarlo di E-3F è sufficiente
.A&?DC.B 7C5?D -
e cosı̀ via.
Curve parametrizzate nel piano
Una curva parametrizzata in
è un’ap, dove è un interplicazione
vallo (aperto o chiuso, finito o infinito, ma
più spesso finito e chiuso) di . Normalmente si chiede che la sia almeno continua o anche che sia due volte differenziabile con derivate continue. Lo studio delle curve continue rientra nel campo della
topologia e riguarda in primo luogo proprietà di deformabilità di oggetti geometrici (ci sono applicazioni in robotica, ad
esempio la questione, se i bracci di un robot possano o no passare in modo continuo
da una posizione a un’altra, può essere formulata e trattata con gli strumenti della
topologia), lo studio delle curve e superficie differenziabili fa parte della geometria
differenziale.
Quando è uguale a 2, si parla di curve piane. In questo caso, per ogni
abbiamo un punto
del piano, le cui
ed
dipendono da e
coordinate
sono, appunto, legate alla dalla relazio. In questo modo
ne
sono definite due funzioni
e
che a loro volta determinano
la . Spesso si scrive allora
Xi[jQ
Yf[kg5TUQWV
R si presta particolarmente bene per
la rappresentazione di curve piane parametrizzate, perché, una volta definito
l’intervallo che si vuole usare e che deve
essere rappresentato come successione finita di punti, è sufficiente l’istruzione
l
m0no&p0q7r^s-r l(tDu^v r l(t0t
nel programma per ottenere la curva. Abbiamo osservato a pagina 17 che il nome
in R è riservato (viene utilizzata per formare la trasposta di una matrice), ma lo
possiamo utilizzare per le variabili locali
all’interno di una funzione (naturalmente
solo se non abbiamo contemporaneamente
bisogno della trasposta).
Anche per le curve parametrizzate useremo la notazione complessa, quindi matematicamente
l
I+TZQWVw[KXTUQWV5xyYTUQWVWz
e nel disegno della curva in R useremo
l’istruzione
m0no&p0q7r^s-r l(t){|v r l(t|}0~ n t
ma anche, se la I è rappresentata diretn
tamente in R come funzione | a valori
complessi, istruzioni della forma
m0no&p0q7r | nDr l(t|t
27
28
30
Grafici di funzioni
Curve parametrizzate nel piano
Octobrina elegans
Octobrinidae I
Octobrinidae II
abline
Funzioni iperboliche
Parabrinidae
Rotazioni
expression ed eval
Testi matematici
Ellissi
Iperboli
Rette e segmenti
Equazione di una retta
Proiezione su una retta
Il sito CRAN di Ferrara
Esercizi 44-53
Octobrina elegans
Rappresentiamo il grafico della funzione
j W X
xyX b
a cui in R diamo il nome 0)l :
0|)la} q|no.1r o} s lt)n1)r oK~ { s r^s} ts t)
nell’intervallo Md_0 .
Octobrina elegans
mediante le istruzioni
2m|2q l1sq n r 0|l r || m| )l n o&r 0¡£ £q( u uW~0t
§ l rU2n 2¤ -r vm|p|lm|u m0|s)t¥u¢ m| u"l lp1 sv-v||u"2¦ ¡Z o(t n u p t1¨(¢ t
l0m n o&q1p0p1©-qDrr l20{0 0u l u r l(v||t1¦}0~ ¡ ¦(n t~|t
l0p|p1®s l ¡Z r ||0|r t¢¡Zª0n u 0 l no(«p0m|p1¤0 o¬q& uU 2q t
Per vedere la figura sullo schermo bisogna elim| r
minare la prima riga e inserire l ~|t pri0p1®¡Z | r t .
ma di
Il programma contiene una sola nuova istrup|s l , che viene usata per aggiungere testi
zione, l
a una figura. Il primo parametro indica il punto a cui si riferisce la posizione del testo; se il
2q è uguale a 4, il testo viene inseriparametro
to alla destra del punto di riferimento. Quando
questo parametro manca, il testo viene centrato
p1s l per le altre possibilità.
nel punto. Vedere ¯ l
Per ottenere una scritta piccola abbiamo mos (nella terza ridificato il parametro grafico
p1s è un’abbreviazione perp|character
expanga);
sion; l’abbiamo già incontrata a pagina 22.
ALGORITMI E STRUTTURE DI DATI
Octobrinidae I
Numero 7
a.a. 2004/05
Octobrinidae II
27
Il grafico dell’octobrina è cosı̀ elegante
perché presenta una simmetria non perfetta.
Se a prima vista la curva può sembrare simmetrica, guardando più attentamente vediamo invece che le due metà si distinguono nel
segno; infatti la funzione è una funzione dispari - una funzione si chiama dispari, se
perché il seno è una funzione dispari e il
quadrato una funzione
pari; d’altra parte il
Octobrina geminata
Octobrina turrita
riduce l’ampiezza
della curva quando diventa più grande e
fattore smorzante
attenua cosı̀ la differenza tra le due parti.
Combinando la funzione ad altre funzioni elementari abbiamo ottenuto i grafici su
questa pagina che corrispondono
"!alle se-
guenti funzioni di , con
Octobrina montuosa
Octobrina tortuosa
O. geminata
O. montuosa
O. voraginosa
O. irregularis
O. divisa
Octobrina voraginosa
Octobrina repentina
O. pulcherrima
O. sellulata
O. munita
O. modulata
O. turrita
Octobrina irregularis
Octobrina solitaria
O. tortuosa
O. repentina
O. solitaria
O. sinuosa
O. assurgens
Octobrina divisa
Octobrina sinuosa
O. simplex
O. laboriosa
O. tranquilla
:
#
# %$'&(
# %) &(* +
# #
# % #
# #
$'&,
#
-$'&,
# %$'&(
# %
# /.0(21
324 526 # # 7(
# # 8 -
# /.90,1
.0(21
# .90,1 : $'&,
# .90,1 :
Il quadro delle figure nella seconda colonna
è stato ottenuto con il seguente programma
in R:
Octobrina pulcherrima
Octobrina assurgens
Octobrina sellulata
Octobrina simplex
Octobrina munita
Octobrina laboriosa
Octobrina modulata
Octobrina tranquilla
;=???@,n?H2X nEgXYeRT<X[C?B?]?B:G,M'G(H:_WS G(M'KWS:\
]AH9I(MAOQYf,n'H:x,yACED,BEF,G(H9I(L:l?zAG?G(HED(LQDJ\?\
D,M'^'DUQ[@?`'x?gAsRTfAH2X9SEyACED,BEF,G(H9I(L{D'zAGAG(HED,LJSWX#P(BAO:_Ag(\
]AH9I(MAOQ6gAfAH:x,yACED,BEF,G(H9I(L:l(B:G?D'z(B,O'LQDJ\A\
D,M'^'DUQ[@?`'x?gA Source Exif Data:
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