Manual De R

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Freddy Hernández Barajas
Olga Cecilia Usuga Manco

Manual de R

Gracias a Dios por todo lo que me ha dado.

Índice general

Índice de cuadros

VII

Índice de figuras

IX

Prefacio

XIII

Sobre los autores

XVII

1. Introducción
1.1. Orígenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Descarga e instalación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. Apariencia del programa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2. Tipos de objetos
2.1. Vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1. ¿Cómo extraer elementos de un vector? . . . . . . .
2.2. Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1. ¿Cómo extraer elementos de una matriz? . . . . . .
2.3. Arreglos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1. ¿Cómo extraer elementos de un arreglo? . . . . . . .
2.4. Marco de datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1. ¿Cómo extraer elementos de un marco de datos? . .
2.4.2. ¿Cómo extraer subconjuntos de un marco de datos?
2.5. Listas
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.1. ¿Cómo extraer elementos de una lista? . . . . . . . .

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3. Guía de estilo
3.1. Nombres de los archivos . . . . .
3.2. Nombres de los objetos . . . . .
3.3. Longitud de una línea de código
3.4. Espacios . . . . . . . . . . . . .
3.5. Asignación . . . . . . . . . . . .
3.6. Punto y coma . . . . . . . . . .

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4. Funciones básicas de R
4.1. ¿Qué es una función de R?
4.2. Operadores de asignación

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iii

iv

Contents
4.3. Operaciones básicas . . . . . . .
4.4. Pruebas lógicas . . . . . . . . .
4.5. Operadores lógicos . . . . . . .
4.6. Funciones sobre vectores . . . .
4.7. Funciones matemáticas . . . . .
4.8. Función seq . . . . . . . . . . .
4.9. Función rep . . . . . . . . . . .
4.10. Funciones round, ceiling, floor
4.11. Funciones sort y rank . . . . .

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y trunc
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6. Creación de funciones en R
6.1. Función en R
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6.2. Partes de una función en R
. . . . . . . . . . . . . . . . . .

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53
53

7. Lectura de bases de datos
7.1. ¿En qué formato almacenar una base de datos? . . . .
7.1.1. Almacenamiento de información en Excel . . . .
7.1.2. Almacenamiento de información en bloc de notas
7.2. Función read.table . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3. Lectura de bases de datos en Excel . . . . . . . . . . .

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8. Tablas de frecuencia
8.1. Tabla de contingencia con table
. . . . . . . .
Ejemplo: tabla de frecuencia de una vía . . . . .
Ejemplo: tabla de frecuencia de dos vías . . . . .
8.2. Función prop.table . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo: tabla de frecuencia relativa de una vía .
Ejemplo: tabla de frecuencia relativa de dos vías
8.3. Función addmargins . . . . . . . . . . . . . . .
8.4. Función hist . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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9. Medidas de tendencia central
9.1. Media
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2. Mediana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3. Moda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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82
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84

10.Medidas de variabilidad
10.1. Rango . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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88

5. Instrucciones de control
5.1. Instrucción if . . . .
5.2. Instrucción if else .
5.3. Instrucción ifelse .
5.4. Instrucción for . . .
5.5. Instrucción while . .
5.6. Instrucción repeat .

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Contents

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10.2. Desviación estándar muestral (S) . . . . . . . . . . . . . . .
10.3. Varianza muestral (S 2 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.4. Coeficiente de variación (CV ) . . . . . . . . . . . . . . . . .

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93

11.Medidas de posición
11.1. Cuantiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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12.Medidas de correlación
12.1. Función cor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

97
97

13.Distribuciones discretas
13.1. Funciones disponibles para distribuciones discretas . . . . .
13.2. Distribuciones discretas generales . . . . . . . . . . . . . . .

103
103
109

14.Distribuciones continuas
14.1. Funciones disponibles para distribuciones continuas . . . . .
14.2. Distribuciones continuas generales . . . . . . . . . . . . . . .

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115
122

15.Verosimilitud
127
15.1. Función de verosimilitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
15.2. Función de log-verosimilitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
15.3. Método de máxima verosimilitud para estimar parámetros . 128
15.4. Método de máxima verosimilitud para estimar parámetros en
modelos de regresión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
16.Estudiando la normalidad
16.1. Consideraciones iniciales . .
16.2. Histograma y densidad . . .
16.3. Gráficos cuantil cuantil . . .
16.4. Pruebas de normalidad . . .

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17.Intervalos de confianza
17.1. Función t.test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.1.1. Intervalo de confianza bilateral para la media µ . . . .
17.1.2. Intervalo de confianza bilateral para la diferencia de medias (µ1 − µ2 ) de muestras independientes . . . . . . .
17.1.3. Intervalo de confianza bilateral para la diferencia de medias (µ1 − µ2 ) de muestras dependientes o pareadas .
17.1.4. Intervalo de confianza unilateral para la media µ . . .
17.2. Función Var.test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.2.1. Intervalo de confianza bilateral para la varianza σ 2 . .
17.3. Función var.test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.3.1. Intervalo de confianza bilateral para la razón de varianzas σ12 /σ22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.4. Función prop.test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.4.1. Intervalo de confianza bilateral para la proporción p .

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vi

Contents
17.4.2. Intervalo de confianza bilateral para la diferencia de proporciones p1 − p2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

18.Prueba de hipótesis
18.1. Prueba de hipótesis para µ de una población normal . . . . .
18.2. Prueba de hipótesis para µ con muestras grandes . . . . . .
18.3. Prueba de hipótesis para la proporción p . . . . . . . . . . .
18.3.1. Prueba de Wald . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.3.2. Prueba X2 de Pearson . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.3.3. Prueba binomial exacta . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.4. Prueba de hipótesis para la varianza σ 2 de una población normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.5. Prueba de hipótesis para el cociente de varianzas σ12 /σ22 . . .
18.6. Prueba de hipótesis para la diferencia de medias µ1 − µ2 con
varianzas iguales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.7. Prueba de hipótesis para la diferencia de medias µ1 − µ2 con
varianzas diferentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.8. Prueba de hipótesis para la diferencia de proporciones p1 − p2
18.9. Prueba de hipótesis para la diferencia de medias pareadas . .

173
173
175
176
176
178
179

19.Aproximación de integrales
19.1. Aproximación de Laplace unidimensional

197
197

. . . . . . . . . . .

181
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188
190
192
193

20.Curiosidades
201
20.1. ¿Cómo verificar si un paquete no está instalado para instalarlo
de forma automática? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
Bibliografía

203

Índice alfabético

205

Índice de cuadros

7.1. Ejemplo de una base de datos simple. . . . . . . . . . . . . .
7.2. Base de datos para practicar lectura. . . . . . . . . . . . . . .

63
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vii

Índice de figuras

1.1. Robert Gentleman (izquierda) y Ross Ihaka (derecha) creadores
de R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Página del Cran. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. Página de instalación para la primera ocasión. . . . . . . . . .
1.4. Página de descarga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5. Apariencia del acceso directo para ingresar a R. . . . . . . . .
1.6. Apariencia de R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2
3
3
3
4
5

4.1. Ilustración de una función, tomada de www.mathinsight.org.

28

6.1. Ilustración de una función, tomada de www.mathinsight.org .
6.2. Ilustración del punto medio entre dos puntos, tomada de
https://www.slideshare.net/bigpassy/midpoint-between-twopoints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54

7.1. Forma de almacenar los datos en Excel. . . .
7.2. Almacenamiento de los datos en bloc de notas
espaciadora . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3. Almacenamiento de los datos en bloc de notas
tabuladora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64

. . . . . . . . .
usando la barra
. . . . . . . . .
usando la barra
. . . . . . . . .

61

65
65

8.1. Ubicación de los puntos del ejemplo con límites en color azul.

78

10.1. Boxplot para el precio de los apartamentos dada la ubicación.

92

12.1. Diagrama de dispersión para precio versus área de los apartamentos usados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98
12.2. Matriz de coeficientes de correlación. . . . . . . . . . . . . . . 101
13.1. Función de masa de probabilidad para una Binomial(n =
18, p = 0.1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.2. Fotografía del cangrejo de herradura, tomada de
http://sccoastalresources.com/home/2016/6/21/a-night-ofhorseshoe-crab-tagging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.3. Función de masa de probabilidad para el número de satélites
por hembra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

105

110
111

ix

x

Índice de figuras
13.4. Función de distribución acumulada para el
por hembra. . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.5. Función de distribución acumulada para el
por hembra diferenciando por grupo. . . .

número de satélites
. . . . . . . . . . .
número de satélites
. . . . . . . . . . .

112
114

14.1. Función de densidad para una Beta(2, 5). . . . . . . . . . . .
14.2. Área sombreada para los ejemplos. . . . . . . . . . . . . . . .
14.3. Área sombreada para el ejemplo de los tornillos. . . . . . . .
14.4. Función de densidad f (x) para el peso de los cangrejos. . . .
14.5. Función acumulada F (x) para el peso de los cangrejos. . . . .
14.6. Función de densidad f (x) para el peso del cangrejo diferenciando por el color. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.7. Función de densidad f (x) para el peso del cangrejo diferenciando por el color y usando ggplot2. . . . . . . . . . . . . . . . .

116
119
121
123
124

15.1. Función de log-verosimilitud para el ejemplo sobre binomial. .
15.2. Gráfico de niveles para la función de log-verosimilitud para el
ejemplo sobre normal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.3. Gráfico cuantil cuantil normal y gamma para la muestra simulada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.4. Histograma para la muestra simulada con la densidad de una
Gamma(mu=4.308, sigma=0.6682). . . . . . . . . . . . . . . .

130

16.1. Densidad para 4 muestras de una N(0, 1) con diferente tamaño
de muestra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.2. Densidad para el peso corporal de hombres y mujeres. . . . .
16.3. Ejemplo de un QQplot. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.4. QQplot para 4 muestras de una N(0, 1) con diferente tamaño
de muestra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.5. QQplot para muestras generadas de poblaciones Poisson, Binomial Negativa, Gamma y Weibull. . . . . . . . . . . . . . . .
16.6. QQplot para el peso corporal de hombres y mujeres. . . . . .
16.7. QQplot con bandas de confianza para el peso corporal de hombres y mujeres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

125
126

132
136
140
147
149
150
151
153
155
156

17.1. QQplot e histograma para la altura de los hombres. . . . . .
17.2. QQplot e histograma para la altura de hombres y mujeres. . .
17.3. QQplot y densidad para Diferencias. . . . . . . . . . . . . . .

163
165
168

18.1. Representación del Valor-P para la prueba Wald. . . . . .
18.2. QQplot para los tiempos de cocción. . . . . . . . . . . . .
18.3. QQplot para las concentraciones de arsénico. . . . . . . .
18.4. Boxplot para los tiempos de cocción dado el tratamiento.
18.5. Boxplot para las concentaciones de arsénico dada la zona.
18.6. QQplot para las diferencias de peso. . . . . . . . . . . . .

178
184
186
189
191
194

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Índice de figuras
19.1. Perfil de la función f(x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

xi
198

Prefacio

Este libro fue creado con la intención de apoyar el aprendizaje del lenguaje de
programación R en estudiantes de pregrado, especialización, maestría e investigadores, que necesiten realizar análisis estadísticos. En este libro se explica de
una forma sencilla la utilidad de la principales funciones para realizar análisis
estadístico.
El presente material está en proceso de elaboración, si el lector desea tener
la última versión del libro recomendamos consultar la versión alojada en el
repositorio de GitHub diponible en el siguiente enlace: https://github.com/
fhernanb/Manual-de-R/blob/master/_book/Manual_de_R.pdf

Estructura del libro
El libro está estructurado de la siguiente manera.
En el capítulo 1 se presenta una breve introducción sobre el lenguaje de programación R; en el capítulo 2 se explican los tipos de objetos más comunes
en R; en el capítulo 3 se muestran las normas de estilo sugeridas para escribir
código en R; el capítulo 4 presenta las funciones básicas que todo usuario debe
conocer para usar con éxito R; el capítulo 6 trata sobre cómo crear funciones;
el capítulo 7 muestra como leer bases de datos desde R; en el capítulo 8 se
ilustra la forma para construir tablas de frecuencia; en el capítulo 9 se muestra
como obtener las diversas medidas de tendencial central para variables cuantitativas, el capítulo 10 muestra como calcular las medidas de variabilidad, en
el capítulo 11 se ilustra cómo usar las funciones para obtener medidas de posición; en el capítulo 12 se muestra como obtener medidas de correlación entre
pares de variables; en los capítulos 13 y 14 se tratan los temas de distribuciones discretas y continuas; en el capítulo 15 se aborda el tema de verosimilitud;
en el capítulo 19 se muestra el tema de aproximación de integrales.

xiii

xiv

Prefacio

Información del software y convenciones
Para realizar este libro se usaron los paquetes de R knitr (Xie, 2015) y bookdown (Xie, 2018), estos paquetes permiten construir todo el libro desde R y
sirven para incluir código que se ejecute de forma automática incluyendo las
salidas y gráficos.
En todo el libro se presentarán códigos que el lector puede copiar y pegar
en su consola de R para obtener los mismos resultados aquí presentados. Los
códigos se destacan en una caja de color beis (o beige) similar a la mostrada
a continuación.
4 + 6
a <- c(1, 5, 6)
5 * a
1:10
Los resultados o salidas obtenidos de cualquier código se destacan con dos
símbolos de númeral (##) al inicio de cada línea o renglón, esto quiere decir
que todo lo que inicie con ## son resultados obtenidos y el usuario NO los
debe copiar. Abajo se muestran los resultados obtenidos luego de correr el
código anterior.
## [1] 10
## [1]
##

[1]

5 25 30
1

2

3

4

5

6

7

8

9 10

Bloques informativos
En varias partes del libro usaremos bloques informativos para resaltar algún
aspecto importante. Abajo se encuentra un ejemplo de los bloques y su significado.
Nota aclaratoria.

Sugerencia.

Prefacio

xv

Advertencia.

Agradecimientos
Agradecemos enormemente a todos los estudiantes, profesores e investigadores
que han leído este libro y nos han retroalimentado con comentarios valiosos
para mejorar el documento.
Freddy Hernández Barajas
Olga Cecilia Usuga Manco

Sobre los autores

Freddy Hernández Barajas es profesor asistente de la Universidad Nacional de
Colombia adscrito a la Escuela de Estadística de la Facultad de Ciencias.
Olga Cecilia Usuga Manco es profesora asociada de la Universidad de Antioquia adscrita al Departamento de Ingeniería Industrial de la Facultad de
Ingeniería.

xvii

1
Introducción

1.1.

Orígenes

R es un lenguaje de programación usado para realizar procedimientos estadísticos y gráficos de alto nivel, este lenguaje fue creado en 1993 por los profesores
e investigadores Robert Gentleman y Ross Ihaka. Inicialmente el lenguaje se
usó para apoyar los cursos que tenían a su cargo los profesores, pero luego de
ver la utilidad de la herramienta desarrollada, decidieron colocar copias de R
en StatLib. A partir de 1995 el código fuente de R está disponible bajo licencia GNU GPL para sistemas operativos Windows, Macintosh y distribuciones
Unix/Linux. La comunidad de usuarios de R en el mundo es muy grande y los
usuarios cuentan con diferentes espacios para interactuar, a continuación una
lista no exhaustiva de los sitios más populares relacionados con R:
Rbloggers1 .
Comunidad hispana de R2 .
Nabble3 .
Foro en portugués4 .
Stackoverflow5 .
Cross Validated6 .
R-Help Mailing List7 .
Revolutions8 .
R-statistics blog9 .
RDataMining10 .
1 https://www.r-bloggers.com/
2 http://r-es.org/
3 http://r.789695.n4.nabble.com/
4 http://r-br.2285057.n4.nabble.com/
5 http://stackoverflow.com/questions/tagged/r
6 http://stats.stackexchange.com/questions/tagged/r
7 https://stat.ethz.ch/mailman/listinfo/r-help
8 http://blog.revolutionanalytics.com/
9 https://www.r-statistics.com/
10 https://rdatamining.wordpress.com/

1

2

1 Introducción

Figura 1.1: Robert Gentleman (izquierda) y Ross Ihaka (derecha) creadores
de R.

1.2.

Descarga e instalación

Para realizar la instalación de R usted debe visitar la página del CRAN (Comprehensive R Archive Network) disponible en este enlace11 . Una vez ingrese
a la página encontrará un cuadro similar al mostrado en la Figura 1.2 donde
aparecen los enlaces de la instalación para los sistemas operativos Linux, Mac
y Windows.
Supongamos que se desea instalar R en Windows, para esto se debe dar clic
sobre el hiperenlace Download R for Windows de la Figura 1.2. Una vez hecho
esto se abrirá una página con el contenido mostrado en la Figura 1.3. Una vez
ingrese a esa nueva página usted debe dar clic sobre el hiperenlace install R
for the first time como es señalado por la flecha roja en la Figura 1.3.
Luego de esto se abrirá otra página con un encabezado similar al mostrado en
la Figura 1.4, al momento de capturar la figura la versión actual de R era 3.2.5
pero seguramente en este momento usted tendrá disponible una versión actualizada. Una vez allí uste debe dar clic sobre Download R 3.2.5 for Windows
11 https://cran.r-project.org/

1.3 Descarga e instalación

3

Figura 1.2: Página del Cran.

Figura 1.3: Página de instalación para la primera ocasión.
como es señalado por la flecha verde. Luego de esto se descargará el instalador
R en el computador el cual deberá ser instalado con las opciones que vienen
por defecto.

Figura 1.4: Página de descarga.
Se recomienda observar el siguiente video didáctico de instalación de R disponible en este enlace12 para facilitar la tarea de instalación.
12 http://tinyurl.com/jd7b9ks

4

1.3.

1 Introducción

Apariencia del programa

Una vez que esté instalado R en su computador, usted podrá acceder a él por
la lista de programas o por medio del acceso directo que quedó en el escritorio,
en la Figura 1.5 se muestra la apariencia del acceso directo para ingresar a R.

Figura 1.5: Apariencia del acceso directo para ingresar a R.
Al abrir R aparecerá en la pantalla de su computador algo similar a lo que está
en la Figura 1.6. La ventana izquierda se llama consola y es donde se ingresan
las instrucciones, una vez que se construye un gráfico se activa otra ventana
llamada ventana gráfica. Cualquier usuario puede modificar la posición y tamaños de estas ventanas, puede cambiar el tipo y tamaño de las letras en la
consola, para hacer esto se deben explorar las opciones de editar en la barra
de herramientas.

1.3 Apariencia del programa

Figura 1.6: Apariencia de R.

5

2
Tipos de objetos

En R existen varios tipos de objectos que permiten que el usuario pueda almacenar la información para realizar procedimientos estadísticos y gráficos.
Los principales objetos en R son vectores, matrices, arreglos, marcos de datos
y listas. A continuación se presentan las características de estos objetos y la
forma para crearlos.

2.1.

Vectores

Los vectores vectores son arreglos ordenados en los cuales se puede almacenar
información de tipo numérico (variable cuantitativa), alfanumérico (variable
cualitativa) o lógico (TRUE o FALSE), pero no mezclas de éstos. La función de R
para crear un vector es c() y que significa concatenar; dentro de los paréntesis
de esta función se ubica la información a almacenar. Una vez construído el
vector se acostumbra a etiquetarlo con un nombre corto y representativo de
la información que almacena, la asignación se hace por medio del operador 
19
TRUE Superman
13
NA
Batman
NA
FALSE

20
TRUE
Batman

De la salida anterior vemos que el marco de datos tiene 3 variables (columnas)
cuyos nombres coinciden con los nombres de los vectores creados anteriormente, los números consecutivos al lado izquierdo son sólo de referencia y permiten
identificar la información para cada persona en la base de datos.

2.4.1.

¿Cómo extraer elementos de un marco de datos?

Para recuperar las variables (columnas) almacenadas en un marco de datos
se puede usar el operador $ o también corchetes []. A continuación algunos
ejemplos para entender el uso del operador $.

Ejemplo
Si queremos extraer la variable deporte del marco de datos mimarco usamos
el siguiente código.

14

2 Tipos de objetos

mimarco$deporte
## [1]

TRUE

# Se recomienda si el nombre es corto

TRUE

NA FALSE

TRUE

Otra forma de recuperar la variable deporte es indicando la columna donde
se encuentra la variable
mimarco[, 2]

# Se recomienda si recordamos su ubicacion

## [1]

TRUE

TRUE

NA FALSE

TRUE

Si queremos la edad de las personas que están en las posiciones 2 hasta 4
usamos el siguiente código.
mimarco[2:4, 1]
## [1] 19 13 NA

2.4.2.

¿Cómo extraer subconjuntos de un marco de datos?

Para extraer partes de un marco de datos se puede utilizar la función
subset(x, subset, select). El parámetro x sirve para indicar el marco
de datos original, el parámetro subset sirve para colocar la condición y el
parámetro select sirve para quedarnos sólo con algunas de las variables del
marco de datos. A continuación varios ejemplos de la función subset para ver
su utilidad.

Ejemplos
Si queremos el marco de datos mimarco sólo con las personas que SI practican
deporte usamos el siguiente código.
subset(mimarco, subset=deporte == TRUE)
##
edad deporte comic.fav
## 1
15
TRUE

## 2
19
TRUE Superman
## 5
20
TRUE
Batman
Si queremos el marco de datos mimarco sólo con las personas mayores o iguales
a 17 años usamos el siguiente código.

2.4 Marco de datos

15

subset(mimarco, subset=edad >= 17)
##
edad deporte comic.fav
## 2
19
TRUE Superman
## 5
20
TRUE
Batman
Si queremos el submarco con deporte y comic de las personas menores de 20
años usamos el siguiente código.
subset(mimarco, subset=edad < 20, select=c('deporte', 'comic.fav'))
##
deporte comic.fav
## 1
TRUE

## 2
TRUE Superman
## 3
NA
Batman
Si queremos el marco de datos mimarco sólo con las personas menores de 20
años y que SI practican deporte usamos el siguiente código.
subset(mimarco, subset=edad < 20 & deporte == TRUE)
##
edad deporte comic.fav
## 1
15
TRUE

## 2
19
TRUE Superman

Ejemplo
Leer la base de datos medidas del cuerpo disponible en este enlace https://
raw.githubusercontent.com/fhernanb/datos/master/medidas_cuerpo.
Extraer de esta base de datos una sub-base o subconjunto que contenga sólo
la edad, peso, altura y sexo de aquellos que miden más de 185 cm y pesan
más de 80 kg.
url <- 'https://raw.githubusercontent.com/fhernanb/datos/master/medidas_cuerpo'
dt1 <- read.table(url, header=T)
dim(dt1) # Para conocer la dimensión de la base original
## [1] 36

6

dt2 <- subset(x=dt1, subset=altura > 185 & peso > 80,
select=c('sexo', 'edad', 'peso', 'altura'))
dt2 # Para mostrar la base de datos final

16

2 Tipos de objetos

##
sexo edad peso altura
## 1 Hombre
43 87.3 188.0
## 6 Hombre
33 85.9 188.0
## 15 Hombre
30 98.2 190.5
Al almacenar la nueva base de datos en el objeto dt2 se puede manipular este
nuevo objeto para realizar los análisis de interés.

2.5.

Listas

Las listas son otro tipo de objeto muy usado para almacenar objetos de diferente tipo. La instrucción para crear una lista es list( ). A continuación
vamos a crear una lista que contiene tres objetos: un vector con 5 números
aleatorios llamado mivector, una matriz de dimensión 6 × 2 con los primeros doce números enteros positivos llamada matriz2 y el tercer objeto será
el marco de datos mimarco creado en el apartado anterior. Las instrucciones
para crear la lista requerida se muestran a continuación.
set.seed(12345)
mivector <- runif(n=5)
matriz2 <- matrix(data=1:12, ncol=6)
milista <- list(E1=mivector, E2=matriz2, E3=mimarco)
La función set.seed de la línea número 1 sirve para fijar la semilla de tal manera que los números aleatorios generados en la segunda línea con la función
runif sean siempre los mismos. En la última línea del código anterior se construye la lista, dentro de la función list se colocan los tres objetos mivector,
matriz2 y mimarco. Es posible colocarle un nombre especial a cada uno de
los elementos de la lista, en este ejemplo se colocaron los nombres E1, E2 y
E3 para cada uno de los tres elementos. Para observar lo que quedó almacenado en la lista se escribe milista en la consola y el resultado se muestra a
continuación.
milista
## $E1
## [1] 0.7209 0.8758 0.7610 0.8861 0.4565
##

2.5 Listas
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##

17

$E2
[1,]
[2,]

[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6]
1
3
5
7
9
11
2
4
6
8
10
12

$E3
edad deporte comic.fav
1
15
TRUE

2
19
TRUE Superman
3
13
NA
Batman
4
NA
FALSE

5
20
TRUE
Batman

2.5.1.

¿Cómo extraer elementos de una lista?

Para recuperar los elementos almacenadas en una lista se usa el operador $,
corchetes dobles [[]] o corchetes sencillos []. A continuación unos ejemplos
para entender cómo extraer elementos de una lista.

Ejemplos
Si queremos la matriz almacenada con el nombre de E2 dentro del objeto
milista se puede usar el siguiente código.
milista$E2
##
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6]
## [1,]
1
3
5
7
9
11
## [2,]
2
4
6
8
10
12
Es posible indicar la posición del objeto en lugar del nombre, para eso se usan
los corchetes dobles.
milista[[2]]
##
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6]
## [1,]
1
3
5
7
9
11
## [2,]
2
4
6
8
10
12
El resultado obtenido con milista$E2 y milista[[2]] es exactamente el
mismo. Vamos ahora a solicitar la posición 2 pero usando corchetes sencillos.

18

2 Tipos de objetos

milista[2]
## $E2
##
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6]
## [1,]
1
3
5
7
9
11
## [2,]
2
4
6
8
10
12
La apariencia de este último resultado es similar, no igual, al encontrado al
usar $ y [[]]. Para ver la diferencia vamos a pedir la clase a la que pertenecen
los tres últimos objetos usando la función class. A continuación el código
usado.
class(milista$E2)
## [1] "matrix"
class(milista[[2]])
## [1] "matrix"
class(milista[2])
## [1] "list"
De lo anterior se observa claramente que cuando usamos $ o [[]] el resultado
es el objeto almacenado, una matriz. Cuando usamos [] el resultado es una
lista cuyo contenido es el objeto almacendado.
Al manipular listas con $ y [[]] se obtienen los objetos ahí almacenados,
al manipular listas con [] se obtiene una lista.

EJERCICIOS
Use funciones o procedimientos (varias líneas) de R para responder cada una
de las siguientes preguntas.
1. Construya un vector con la primeras 20 letras MAYÚSCULAS usando la función LETTERS.

2.5 Listas
2. Construya una matriz de 10 × 10 con los primeros 100 números
positivos pares.
3. Construya una matriz identidad de dimension 3 × 3. Recuerde que
una matriz identidad tiene sólo unos en la diagonal principal y los
demás elementos son cero.
4. Construya una lista con los anteriores tres objetos creados.
5. Construya un marco de datos o data frame con las respuestas de 3
personas a las preguntas: (a) ¿Cuál es su edad en años? (b) ¿Tipo
de música que más le gusta? (c) ¿Tiene usted pareja sentimental
estable?
6. ¿Cuál es el error al correr el siguiente código? ¿A qué se debe?
edad <- c(15, 19, 13, NA, 20)
deporte <- c(TRUE, TRUE, NA, FALSE, TRUE)
comic.fav <- c(NA, 'Superman', 'Batman', NA, 'Batman')
matrix(edad, deporte, comic.fav)

19

3
Guía de estilo

Así como en el español existen reglas ortográficas, la escritura de códigos en
R también tiene unas reglas que se recomienda seguir para evitar confusiones.
Tener una buena guía de estilo es importante para que el código creado por
usted sea fácilmente entendido por sus lectores Wickham (2015). No existe
una única y mejor guía de estilo para escritura en R, sin embargo aquí vamos
a mostrar unas sugerencias basadas en la guía llamada Google’s R style guide1 .

3.1.

Nombres de los archivos

Se sugiere que el nombre usado para nombrar un archivo tenga sentido y que
termine con extensión .R. A continuación dos ejemplos de como nombrar mal
y bien un archivo.
Bien: hola.R
Mal: analisis_icfes.R

3.2.

Nombres de los objetos

Se recomienda no usar los símbolos _ y - dentro de los nombres de objetos.
Para las variables es preferible usar letras minúsculas y separar las palabras
con puntos (peso.maiz) o utilizar la notación camello iniciando en minúscula (pesoMaiz). Para las funciones se recomienda usar la notación camello
iniciando todas la palabras en mayúscula (PlotRes). Para los nombres de las
constantes se recomienda que inicien con la letra k (kPrecioBus). A continuación ejemplos de buenas y malas prácticas.
Para variables:
1 https://google.github.io/styleguide/Rguide.xml

21

22

3 Guía de estilo

Bien: avg.clicks
Aceptable: avgClicks
Mal: avg_Clicks
Para funciones:
Bien: CalculateAvgClicks
Mal: calculate_avg_clicks , calculateAvgClicks

3.3.

Longitud de una línea de código

Se recomienda que cada línea tenga como máximo 80 caracteres. Si una línea
es muy larga se debe cortar siempre por una coma.

3.4.

Espacios

Use espacios alrededor de todos los operadores binarios (=, +, -, <-, etc.).
Los espacios alrededor del símbolo “=” son opcionales cuando se usan para
ingresar valores dentro de una función. Así como en español, nunca coloque
espacio antes de una coma, pero siempre use espacio luego de una coma. A
continuación ejemplos de buenas y malas prácticas.
tab <- table(df[df$days < 0, 2])
tot <- sum(x[, 1])
tot <- sum(x[1, ])
tab <- table(df[df$days<0, 2])
tab <- table(df[df$days < 0,2])
tab <- table(df[df$days < 0 , 2])
tab<- table(df[df$days < 0, 2])
tab<-table(df[df$days < 0, 2])
tot <- sum(x[,1])
tot <- sum(x[1,])

#
#
#
#
#
#
#
#
#
#

Bien
Bien
Bien
Faltan espacios alrededor '<'
Falta espacio luego de coma
Sobra espacio antes de coma
Falta espacio antes de '<-'
Falta espacio alrededor de '<-'
Falta espacio luego de coma
Falta espacio luego de coma

Otra buena práctica es colocar espacio antes de un paréntesis excepto cuando
se llama una función.

3.4 Espacios

23

if (debug)
if(debug)
colMeans (x)

# Correcto
# Funciona pero no se recomienda
# Funciona pero no se recomienda

Espacios extras pueden ser usados si con esto se mejora la apariencia del
código, ver el ejemplo siguiente.
plot(x
y
ylim
xlab
ylab
main

=
=
=
=
=
=

x.coord,
data.mat[, MakeColName(metric, ptiles[1], "roiOpt")],
ylim,
"dates",
metric,
(paste(metric, " for 3 samples ", sep = "")))

No coloque espacios alrededor del código que esté dentro de paréntesis ( )
o corchetes [ ], la única excepción es luego de una coma, ver el ejemplo
siguiente.
if (condicion)
x[1, ]
if ( condicion )
x[1,]

#
#
#
#

Correcto
Correcto
Sobran espacios alrededor de condicion
Se necesita espacio luego de coma

Los signos de agrupación llaves { } se utilizan para agrupar bloques de código
y se recomienda que nunca una llave abierta { esté sola en una línea; una llave
cerrada } si debe ir sola en su propia línea. Se pueden omitir las llaves cuando
el bloque de instrucciones esté formado por una sola línea pero esa línea de
código NO debe ir en la misma línea de la condición. A continuación dos
ejemplos de lo que se recomienda.
if (is.null(ylim)) {
ylim <- c(0, 0.06)
}

# Correcto

if (is.null(ylim))
ylim <- c(0, 0.06)

# Correcto

if (is.null(ylim)) ylim <- c(0, 0.06)

# Aceptable

if (is.null(ylim))
{
ylim <- c(0, 0.06)

# No se recomienda

24

3 Guía de estilo

}
if (is.null(ylim)) {ylim <- c(0, 0.06)}
# Frente a la llave { no debe ir nada
# la llave de cierre } debe ir sola
La sentencia else debe ir siempre entre llaves } {, ver el siguiente ejemplo.
if (condition) {
one or more lines
} else {
one or more lines
}

if (condition) {
one or more lines
}
else {
one or more lines
}

if (condition)
one line
else
one line

3.5.

# Correcto

# Incorrecto

# Incorrecto

Asignación

Para realizar asignaciones se recomienda usar el símbolo <-, el símbolo de
igualdad = no se recomienda usarlo para asignaciones.

3.6 Punto y coma
x <- 5
x = 5

25

# Correcto
# No recomendado

Para una explicación más detallada sobre el símbolo de asignación se recomienda visitar este enlace2 .

3.6.

Punto y coma

No se recomienda colocar varias instrucciones separadas por ; en la misma
línea, aunque funciona dificulta la revisión del código.
n <- 100; y <- rnorm(n, mean=5); hist(y)

# No se recomienda

n <- 100
y <- rnorm(n, mean=5)
hist(y)

# Correcto

A pesar de la anterior advertencia es posible que en este libro usemos el ; en
algunas ocasiones, si lo hacemos es para ahorrar espacio en la presentación del
código.

2 http://www.win-vector.com/blog/2016/12/the-case-for-using-in-r/

4
Funciones básicas de R

En este capítulo se presentará lo que es una función y se mostrarán varias
funciones básicas que son útiles para realizar diversas tareas.

4.1.

¿Qué es una función de R?

En la Figura 4.1 se muestra una ilustración de lo que es una función o máquina
general. Hay unas entradas (inputs) que luego son procesadas dentro de la caja
para generar unas salidas (outputs). Un ejemplo de una función o máquina muy
común en nuestras casas es la licuadora. Si a una licuadora le ingresamos leche,
fresas, azúcar y hielo, el resultado será un delicioso jugo de fresa.
Las funciones en R se caracterizan por un nombre corto y que dé una idea
de lo que hace la función. Los elementos que pueden ingresar (inputs) a la
función se llaman parámetros y se ubican dentro de paréntesis, el cuerpo
de la función se ubica dentro de llaves y es ahí donde se procesan los inputs
para convertirlos en outputs, a continuación se muestra la estructura general
de una función.
nombre_de_funcion(parametro1, parametro2, ...) {
tareas internas
tareas internas
tareas internas
salida
}
Cuando usamos una función sólo debemos escribir bien el nombre e ingresar
correctamente los parámetros de la función, el cuerpo de la función ni lo vemos
ni lo debemos modificar. A continuación se presenta un ejemplo de cómo usar
la función mean para calcular un promedio.

27

28

4 Funciones básicas de R

Figura 4.1: Ilustración de una función, tomada de www.mathinsight.org.

notas <- c(4.0, 1.3, 3.8, 2.0)
mean(notas)
## [1] 2.775

# Notas de un estudiante

4.3 Operadores de asignación

4.2.

29

Operadores de asignación

En R se pueden hacer asignación de varias formas, a continuación se presentan
los operadores disponibles para tal fin.
<- este es el operador de asignación a izquierda, es el más usado y recomendado.
-> este es el operador de asignación a derecha, no es frecuente su uso.
= el símbolo igual sirve para hacer asignaciones pero NO se recomienda
usarlo.
<<- este es un operador de asignación global y sólo debe ser usado por
usuarios avanzados.

Ejemplo
Almacene los valores 5.3, 4.6 y 25 en los objetos a, b y age respectivamente,
use diferentes símbolos de asignación.
Para hacer lo solicitado se podría usar el siguiente código.
a <- 5.3 # Recomended
4.6 -> b # It is not usual
age = 25 # Not recomended

Aunque una asignación se puede hacer de tres formas diferentes, se recomienda sólo usar el símbolo <-.

4.3.

Operaciones básicas

En R se pueden hacer diversas operaciones usando operadores binarios. Este
tipo de operadores se denomina binarios porque actuan entre dos objetos, a
continuación el listado.
+
*
/

operador
operador
operador
operador

binario
binario
binario
binario

para
para
para
para

sumar.
restar.
multiplicar.
dividir.

30

4 Funciones básicas de R

ˆ operador binario para potencia.
%/ % operador binario para obtener el cociente en una división (número
entero).
% % operador binario para obtener el residuo en una división.
A continuación se presentan ejemplos de cómo usar las anteriores funciones.
6 + 4

# Para sumar dos números

## [1] 10
a <- c(1, 3, 2)
b <- c(2, 0, 1) # a y b de la misma dimensión
a + b # Para sumar los vectores a y b miembro a miembro
## [1] 3 3 3
a - b

# Para restar dos vectores a y b miembro a miembro

## [1] -1
a * b

3

1

# Para multiplicar

## [1] 2 0 2
a / b

# Para dividir

## [1] 0.5 Inf 2.0
a ^ b

# Para potencia

## [1] 1 1 2
7 %/% 3

# Para saber las veces que cabe 3 en 7

## [1] 2
7 %% 3
## [1] 1

# Para saber el residuo al dividir 7 entre 3

4.4 Pruebas lógicas

4.4.

31

Pruebas lógicas

En R se puede verificar si un objeto cumple una condición dada, a continuación
el listado de las pruebas usuales.
< para saber si un número es menor que otro.
> para saber si un número es mayor que otro.
== para saber si un número es igual que otro.
<= para saber si un número es menor o igual que otro.
>= para saber si un número es mayor o igual que otro.
A continuación se presentan ejemplos de cómo usar las anteriores funciones.
5 < 12

# ¿Será 5 menor que 12?

## [1] TRUE
#
x
y
x

Comparando objetos
<- 5
<- 20 / 4
== y # ¿Será x igual a y?

## [1] TRUE
#
a
b
a

Usando vectores
<- c(1, 3, 2)
<- c(2, 0, 1)
> b # Comparación término a término

## [1] FALSE
a == b

TRUE

TRUE

# Comparación de igualdad término a término

## [1] FALSE FALSE FALSE

Ejemplo
Crear un vector con los números de 1 a 17 y extrater los números que son
mayores o iguales a 12.
Primero se crear el vector x con los elementos del 1 al 17. La prueba lógica x >=

32

4 Funciones básicas de R

12 se usa para evaluar la condición, el resultado es un vector de 17 posiciones
con valores de TRUE o FALSE dependiendo de si la condición se cumple o no.
Este vector lógico se coloca dentro de x[ ] para que al evaluar x[x >= 12]
sólo aparezcan los valores del vector original que SI cumplen la condición. El
código necesario se muestra a continuación.
x <- 1:17 # Se crea el vector
x[x >= 12] # Se solicitan los valores que cumplen la condición
## [1] 12 13 14 15 16 17

Ejemplo
Retome el marco de datos mimarco construído en la sección 2.4 y use una
prueba lógica para extraer la información de las personas que tienen una edad
superior o igual a 15 años.
Inicialmente vamos a construir nuevamente el objeto mimarco de la sección
2.4 usando el siguiente código.
mimarco <- data.frame(edad = c(15, 19, 13, NA, 20),
deporte = c(TRUE, TRUE, NA, FALSE, TRUE),
comic.fav = c(NA, 'Superman', 'Batman',
NA, 'Batman'))
mimarco
##
##
##
##
##
##

1
2
3
4
5

# Para ver el contenido de mimarco

edad deporte comic.fav
15
TRUE

19
TRUE Superman
13
NA
Batman

NA
FALSE
20
TRUE
Batman

Para extraer de mimarco la información de las personas que tienen una
edad superior o igual a 15 años se coloca dentro de corchetes la condición
mimarco$edad >= 15, esto servirá para chequear cuáles de las edades del vector mimarco$ead cumplen la condición. El resultado de evaluar mimarco$edad
>= 15 será un vector lógico (TRUE o FALSE), que al ser colocado dentro de
mimarco[,], entregará la información de las personas que cumplen la condición. A continuación el código para extraer la información solicitada.

4.5 Operadores lógicos

33

mimarco[mimarco$edad >= 15, ]
##
##
##
##
##

edad deporte comic.fav
15
TRUE

19
TRUE Superman
NA
NA

20
TRUE
Batman

1
2
NA
5

De la salida anterior se observa que 4 personas de las 5 cumplean la condición.
Note que la condición mimarco$edad >= 15 se debe ubicar antes de la coma
para obtener todos individuos que cumplen con la condición.

4.5.

Operadores lógicos

En R están disponibles los operadores lógicos negación, conjunción y disyunción. A continuación el listado de los operadores entre los elementos x e y.
!x # Negación de x
x & y # Conjunción entre x e y
x && y
x | y # Disyunción entre x e y
x || y
xor(x, y)
A continuación se presentan ejemplos de cómo usar el símbolo de negación !.
ans <- c(TRUE, FALSE, TRUE)
!ans # Negando las respuestas almacenadas en ans
## [1] FALSE

TRUE FALSE

x <- c(5, 1.5, 2, 3, 2)
!(x < 2.5) # Negando los resultados de una prueba
## [1]

TRUE FALSE FALSE

TRUE FALSE

A continuación se presentan ejemplos de cómo aplicar la conjunción & y &&.

34

4 Funciones básicas de R

x <- c(5, 1.5, 2)
y <- c(4, 6, 3)
x < 4

# ¿Serán los elementos de x menores que 4?

## [1] FALSE
y > 5

# Se construyen dos vectores para la prueba

TRUE

TRUE

# ¿Serán los elementos de y mayores que 5?

## [1] FALSE

TRUE FALSE

x < 4 & y > 5
## [1] FALSE

# Conjunción entre las pruebas anteriores.
TRUE FALSE

x < 4 && y > 5

# Conjunción vectorial

## [1] FALSE
Note las diferencias entre los dos últimos ejemplos, cuando se usa & se hace
una prueba término a término y el resultado es un vector, cuando se usa &&
se aplica la conjunción al vector de resultados obtenido con &.

Ejemplo
Retome el marco de datos mimarco construído en la sección 2.4 y use una
prueba lógica para extraer la información de las personas que tienen una edad
superior o igual a 15 años y que practican deporte.
Aquí interesa extraer la información de los individuos que cumplen dos condiciones simultáneamente, aquellos con edad ≥ 15 y que SI practiquen deporte.
El código necesario para obtener la información solicitada es el siguiente.
mimarco[mimarco$edad >= 15 & mimarco$deporte == TRUE, ]
##
edad deporte comic.fav
## 1
15
TRUE

## 2
19
TRUE Superman
## 5
20
TRUE
Batman
De la anterior salida se observa que sólo 3 de las 5 personas cumplen ambas
condiciones.

4.6 Funciones sobre vectores

35

La función with es útil porque nos permite realizar algún procedimiento en
relación de un objeto, escribiendo menos y de una forma más natural.
Una forma alternativa para escribir lo anterior usando la función with es la
siguiente.
with(mimarco, mimarco[edad >= 15 & deporte == TRUE, ])
##
edad deporte comic.fav
## 1
15
TRUE

## 2
19
TRUE Superman
## 5
20
TRUE
Batman
Al usar with sólo se tuvo que escribir el objeto mimarco dos veces. Cuando hay
muchas condiciones o cuando el objeto tiene un nombre largo es aconsejable
usar with.

4.6.

Funciones sobre vectores

En R podemos destacar las siguientes funciones básicas sobre vectores numéricos.
min: para obtener el mínimo de un vector.
max: para obtener el máximo de un vector.
length: para determinar la longitud de un vector.
range: para obtener el rango de valores de un vector, entrega el mínimo y
máximo.
sum: entrega la suma de todos los elementos del vector.
prod: multiplica todos los elementos del vector.
which.min: nos entrega la posición en donde está el valor mínimo del vector.
which.max: nos da la posición del valor máximo del vector.
rev: invierte un vector.

Ejemplo
Construir en vector llamado myvec con los siguientes elementos: 5, 3, 2, 1, 2,
0, NA, 0, 9, 6. Luego aplicar todas las funciones anteriores para verificar el
funcionamiento de las mismas.

36

4 Funciones básicas de R

myvec <- c(5, 3, 2, 1, 2, 0, NA, 0, 9, 6)
myvec
##

[1]

5

min(myvec)

3

2

1

2

0 NA

0

9

6

# Opss, no aparece el mínimo que es Cero.

## [1] NA
min(myvec, na.rm=TRUE)

# Usamos na.rm = TRUE para remover el NA

## [1] 0
max(myvec, na.rm=T)

# Para obtener el valor máximo

## [1] 9
range(myvec, na.rm=T)

# Genera min y max simultáneamente

## [1] 0 9
sum(myvec, na.rm=T)

# La suma de los valores internos

## [1] 28
prod(myvec, na.rm=T)

# El productor de los valores internos

## [1] 0
which.min(myvec)

# Posición del valor mínimo 0 en el vector

## [1] 6
which.max(myvec)

# Posición del valor máximo 9 en el vector

## [1] 9
De las dos últimas líneas podemos destacar lo siguiente:

4.7 Funciones matemáticas

37

1. NO es necesario usar na.rm = TRUE para remover el NA dentro
de las funciones which.min ni which.max.
2. El valor mínimo 0 aparece en las posiciones 6 y 8 pero la función
which.min sólo entrega la posición del primer valor mínimo dentro
del vector.

4.7.

Funciones matemáticas

Otras funciones básicas muy utilizadas en estadística son: sin, cos, tan,
asin, acos, atan, atan2, log, logb, log10, exp, sqrt, abs. A
continuación algunos ejemplos de las anteriores funciones.
Ejemplos de medidas trigonométricas
angulos <- c(0, pi/2, pi)
sin(angulos)
## [1] 0.000e+00 1.000e+00 1.225e-16
tan(angulos)
## [1]

0.000e+00

1.633e+16 -1.225e-16

Ejemplos de logaritmos
log(100)
## [1] 4.605
log10(100)
## [1] 2
logb(125, base=5)
## [1] 3
Ejemplos de exponencial

38

4 Funciones básicas de R

exp(1)
## [1] 2.718
exp(2)
## [1] 7.389
exp(1:3)
## [1]

2.718

7.389 20.086

Ejemplos de raices
sqrt(49)

# Raiz cuadrada de 49

## [1] 7
27 ^ (1/3)

# Raiz cúbica de 27

## [1] 3
Ejemplos de valor absoluto
abs(2.5)
## [1] 2.5
abs(-3.6)
## [1] 3.6

4.8.

Función seq

En R podemos crear secuencias de números de una forma sencilla usando la
función seq, la estructura de esta función es:

4.8 Función seq

39

seq(from=1, to=1, by, length.out)
Los argumentos de esta función son:
from: valor de inicio de la secuencia.
to: valor de fin de la secuencia, no siempre se alcanza.
by: incremento de la secuencia.
length.out: longitud deseado de la secuencia.

Ejemplo
Construya las siguientes tres secuencias usando la función seq.
Once valores igualmente espaciados desde 0 hasta 1.
Una secuencia de dos en dos comenzando en 1.
Una secuencia desde 1 con un salto de π y sin pasar del número 9.
El código necesario para obtener las secuencias se muestra a continuación.
seq(from=0, to=1, length.out = 11)
##

[1] 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

seq(from=1, to=9, by=2)

# matches 'end'

## [1] 1 3 5 7 9
seq(from=1, to=9, by=pi) # stays below 'end'
## [1] 1.000 4.142 7.283
En R existe el operador binario : que sirve para construir secuencias de uno
en uno fácilmente.
Revise los siguientes ejemplos para entender el funcionamiento del operador
:.
2:8
## [1] 2 3 4 5 6 7 8

40

4 Funciones básicas de R

3:-5
## [1]
pi:6

3

2

1

0 -1 -2 -3 -4 -5

# real sequence

## [1] 3.142 4.142 5.142
6:pi

# integer sequence

## [1] 6 5 4

4.9.

Función rep

En R podemos crear repeticiones usando la función rep, la estructura de esta
función es:
rep(x, times=1, length.out=NA, each=1)
Los argumentos de esta función son:
x: vector con los elementos a repetir.
times: número de veces que el vector x se debe repetir.
length.out: longitud deseada para el vector resultante.
each: número de veces que cada elemento de x se debe repetir.

Ejemplo
Construya las siguientes repeticiones usando la función rep, no lo haga ingresando número por número.
1
1
1
1

2
1
1
1

3
2
2
2

4
2
3
2

1
3
3
3

234
344
4
344

La clave para construir una repetición es descrubir la semilla o elemento que
se repite. Las instrucciones para obtener las repeticiones anteriores se muestra
a continuación.

4.10 Función rep

41

rep(x=1:4, times=2)
## [1] 1 2 3 4 1 2 3 4
rep(x=1:4, times=c(2,2,2,2))
## [1] 1 1 2 2 3 3 4 4
rep(x=1:4, times=c(2,1,2,1))
## [1] 1 1 2 3 3 4
rep(x=1:4, each=2)
## [1] 1 1 2 2 3 3 4 4

Ejemplo
La función rep es muy versátil, observe los siguientes 4 ejemplos y saque una
conclusión de cada uno de ellos.
rep(x=1:4, each=2)
## [1] 1 1 2 2 3 3 4 4
rep(x=1:4, each=2, len=4)

# first 4 only.

## [1] 1 1 2 2
rep(x=1:4, each=2, len=10)
##

[1] 1 1 2 2 3 3 4 4 1 1

rep(x=1:4, each=2, times=3)
##

# 8 integers plus two recycled 1's.

# length 24, 3 complete replications

[1] 1 1 2 2 3 3 4 4 1 1 2 2 3 3 4 4 1 1 2 2 3 3 4 4

42

4 Funciones básicas de R

4.10. Funciones round, ceiling, floor y trunc
Existen 4 funciones útiles para modificar u obtener información de un número,
estas funciones son round, ceiling, floor y trunc.
round(x, digits): sirve para redondear un número según los dígitos indicados.
ceiling(x): entrega el mínimo entero mayor o igual que x.
floor(x): entrega el máximo entero menor o igual que x.
trunc(x): entrega la parte entera de un número x.

Ejemplo
Aplique las funciones round, ceiling, floor y trunc a un valor positivo y a
un valor negativo para inspeccionar los resultados.
A continuación el código de prueba para un número positivo cualquiera.
x <- 5.34896 # Número positivo elegido
round(x, digits=3)
## [1] 5.349
ceiling(x)
## [1] 6
floor(x)
## [1] 5
trunc(x)
## [1] 5
A continuación las pruebas con un número negativo cualquiera.
x <- -4.26589 # Número negativo elegido
round(x, digits=3)
## [1] -4.266

4.11 Funciones sort y rank

43

ceiling(x)
## [1] -4
floor(x)
## [1] -5
trunc(x)
## [1] -4

4.11. Funciones sort y rank
Las funciones sort y rank son útiles para ordenar los elementos de un vector
o para saber las posiciones que ocuarían los elementos de un vector al ser
ordenado. La estructura de las dos funciones es la siguiente.
sort(x, decreasing = FALSE)
rank(x)
En el parámetro x se ingresa el vector y el parámetro decreasing sirva para
indicar si el ordenamiento es de menor a mayor (por defecto es este) o de
mayor a menor.

Ejemplo
Considere el vector x que tiene los siguientes elementos: 2, 3, 6, 4, 9 y 5.
Ordene el vector de menor a mayor, de mayor a menor y por último encuentre
la posición que ocupan los elementos de x si se ordenaran de menor a mayor.
x <- c(2, 3, 6, 4, 9, 5)
sort(x)
## [1] 2 3 4 5 6 9

44

4 Funciones básicas de R

sort(x, decreasing=TRUE)
## [1] 9 6 5 4 3 2
rank(x)
## [1] 1 2 5 3 6 4

EJERCICIOS
Use funciones o procedimientos (varias líneas) de R para responder cada una
de las siguientes preguntas.
1. ¿Qué cantidad de dinero sobra al repartir 10000$ entre 3 personas?
2. ¿Es el número 4560 divisible por 3?
3. Construya un vector con los números enteros del 2 al 87. ¿Cuáles
de esos números son divisibles por 7?
4. Construya dos vectores, el primero con los números enteros desde 7
hasta 3, el segundo vector con los primeros cinco números positivos
divisibles por 5. Sea A la condición de ser par en el primer vector.
Sea B la condición de ser mayor que 10 en el segundo vector. ¿En
cuál de las 5 posiciones se cumple A y B simultáneamente?
5. Consulte el siguiente enlace sobre una anéctoda de Gauss cuando
tenía 10 años de edad http://tinyurl.com/hk2l8h2. Use R para
obtener el resultado de la suma solicitada por el profesor del niño
Gauss.
6. Construya un vector con los siguientes elementos: 1, -4, 5, 9, -4.
Escriba un procedimiento para extraer las posiciones donde está
el valor mínimo en el vector.
7. Calcular 8!
∑i=7
8. Evaluar la siguiente suma i=3 ei
√
∏i=10
9. Evaluar la siguiente productoria i=1 log i
10. Construya un vector cualquiera e inviertalo, es decir, que el primer
elemento quede de último, el segundo de penúltimo y así sucesivamente. Compare su resultado con el de la función rev.
11. Create the vector: 1, 2, 3, . . . , 19, 20.
12. Create the vector: 20, 19, . . . , 2, 1.
13. Create the vector: 1, −2, 3, −4, 5, −6, . . . , 19, −20.
14. Create the vector: 0.13 , 0.21 , 0.16 , 0.24 , ..., 0.136 , 0.234 .

4.11 Funciones sort y rank
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.

45
(

)
i

∑100
∑25
i
Calculate the following: i=10 (i3 + 4i2 ) and i=1 2i + 3i2 .
Read the data set available in: http://tinyurl.com/hcusrdc
Use a code to obtain the number of variables of the data set.
Use a code to obtain the number of countries in the data set.
Which is the country with the higher population?
Which is the country with the lowest literacy rate?
¿Qué valor de verdad tiene la siguiente afirmación? “Los resultados
de la función floor y trunc son siempre los mismos”.

En R hay unas bases de datos incluídas, una de ellas es la base de datos
llamada mtcars. Para conocer las variables que están en mtcars usted puede
escribir en la consola ?mtcars o también help(mtcars). De la base mtcars
obtenga bases de datos que cumplan las siguientes condiciones.
22. Autos que tengan un rendimiento menor a 18 millas por galón de
combustible.
23. Autos que tengan 4 cilindros.
24. Autos que pesen más de 2500 libras y tengan transmisión manual.

5
Instrucciones de control

En R se disponen de varias instrucciones de control para facilitar los procedimientos que un usuario debe realizar. A continuación se explican esas
instrucciones de control.

5.1.

Instrucción if

Esta instrucción sirve para realizar un conjunto de operaciones si se cumple
cierta condición. A continuación se muestra la estructura básica de uso.
if (condicion) {
operación 1
operación 2
...
operación final
}

Ejemplo
Una secretaria recibe la información del salario básico semanal de un empleado
y las horas trabajadas durante la semana por ese empleado. El salario básico
es la remuneración por 40 horas de labor por semana, las horas extra son
pagadas a ciencuenta mil pesos. Escriba el procedimiento en R que debe usar
la secretaria para calcular el salario semanal de un empleado que trabajó 45
horas y tiene salario básico de un millon de pesos.
El código para calcular el salario final del empleado es el siguiente:
sal <- 1 # Salario básico por semana
hlab <- 45
# Horas laboradas por semana

47

48

5 Instrucciones de control

if(hlab > 40) {
hext <- hlab - 40
salext <- hext * 0.05
sal <- sal + salext
}
sal

# Salario semanal

## [1] 1.25

5.2.

Instrucción if else

Esta instrucción sirve para realizar un conjunto de operaciones cuando NO
se cumple cierta condición evaluada por un if. A continuación se muestra la
estructura básica de uso.
if (condicion) {
operación 1
operación 2
...
operación final
}
else {
operación 1
operación 2
...
operación final
}

5.3.

Instrucción ifelse

Se recomienda usar la instrucción ifelse cuando hay una sola instrucción
para el caso if y para el caso else. A continuación se muestra la estructura
básica de uso.

5.4 Instrucción for

49

ifelse(condición, operación SI cumple, operación NO cumple)

Ejemplo
Suponga que usted recibe un vector de números enteros, escriba un procedimiento que diga si cada elemento del vector es par o impar.
x <- c(5, 3, 2, 8, -4, 1)
ifelse(x %% 2 == 0, 'Es par', 'Es impar')
## [1] "Es impar" "Es impar" "Es par"
## [5] "Es par"
"Es impar"

5.4.

"Es par"

Instrucción for

La instrucción for es muy útil para repetir un procedimiento cierta cantidad
de veces. A continuación se muestra la estructura básica de uso.
for (i in secuencia) {
operación 1
operación 2
...
operación final
}

Ejemplo
Escriba un procedimiento para crear 10 muestras de tamaño 100 de una distribución uniforme entre uno y tres. Para cada una de las muestra, se debe
contar el número de elementos de la muestra que fueron mayores o iguales a
2.5.
nrep <- 10
n <- 100

# Número de repeticiones
# Tamaño de la muestra

50

5 Instrucciones de control

conteo <- numeric(nrep)

# Vector para almacenar el conteo

for (i in 1:nrep) {
x <- runif(n=n, min=1, max=3)
conteo[i] <- sum(x >= 2.5)
}
conteo
##

# Para obtener el conteo

[1] 24 37 28 26 30 18 29 23 19 19

5.5.

Instrucción while

La instrucción while es muy útil para repetir un procedimiento siempre que
se cumple una condición. A continuación se muestra la estructura básica de
uso.
while (condición) {
operación 1
operación 2
...
operación final
}

Ejemplo
Suponga que se lanza una moneda en la cual el resultado es cara o sello. Escribir un procedimiento que simule lanzamientos hasta que el número de caras
obtenidas sea 5. El procedimiento debe entregar el historial de lanzamientos.
Para simular el lanzamiento de una moneda se puede usar la función sample
y definiendo el vector resultados con size=1 para simular un lanzamiento,
a continuación el código y tres pruebas ilustrativas.
resultados <- c('Cara', 'Sello')
sample(x=resultados, size=1) # Prueba 1
## [1] "Cara"

5.6 Instrucción repeat

51

Una vez seamos capaces de simular un lanzamiento podemos escribir el procedimiento para generar tantos lanzamientos hasta que se cumpla la condición.
El código mostrado abajo permite hacer lo solicitado.
num.lanza <- 0
num.caras <- 0
historial <- NULL

# Contador de lanzamientos
# Contados de caras obtenidas
# Vector vacío para almacenar

while (num.caras < 5) {
res <- sample(x=resultados, size=1)
num.lanza <- num.lanza + 1
historial[num.lanza] <- res
if (res == 'Cara') {
num.caras <- num.caras + 1
}
}
historial
## [1] "Cara" "Sello" "Sello" "Sello" "Cara"
## [7] "Sello" "Cara" "Sello" "Sello" "Cara"
## [13] "Cara"

"Sello"
"Sello"

num.lanza
## [1] 13
La instrucción for se usa cuando sabemos el número de veces que se debe
repetir el procedimiento, mientras que la instrucción while se usa cuando
debemos repetir un procedimiento cuando se cumpla una condición.

5.6.

Instrucción repeat

La instrucción while es muy útil para repetir un procedimiento siempre que
se cumple una condición. A continuación se muestra la estructura básica de
uso.
repeat {
operación 1

52

5 Instrucciones de control
operación 2
...
operación final
if (condición) break

}

Ejemplo
Escribir un procedimiento para ir aumentando de uno en uno el valor de x
hasta que x sea igual a siete El procedimiento debe imprimir por pantalla la
secuencia de valores de x.
x <- 3

# Valor de inicio

repeat {
print(x)
x <- x + 1
if (x == 8) {
break
}
}
##
##
##
##
##

[1]
[1]
[1]
[1]
[1]

3
4
5
6
7

La instrucción break sirve para salir de un procedimiento iterativo.

6
Creación de funciones en R

En este capítulo se explica cómo crear funciones en R para realizar tareas
específicas.

6.1.

Función en R

Una función es un conjunto de instrucciones que convierten las entradas (inputs) en resultados (outputs) deseados. En la Figura 6.1 se muestra una ilustración de lo que es una función o máquina general.

6.2.

Partes de una función en R

Las partes de una función son:
Entradas: o llamadas también argumentos, sirven para ingresar información necesaria para realizar el procedimiento de la función. Los argumentos
pueden estar vacíos y a la espera de que el usuario ingrese valores, o pueden tener valores por defecto, esto significa que si el usuario no ingresa una
valor al función usará el valor por defecto. Una función puede tener o no
argumentos de entrada, en los ejemplos se mostrarán estos casos.
Cuerpo: el cuerpo de la función está formado por un conjunto de instrucciones que transforman las entradas en las salidas deseadas. Si el cuerpo de la
función está formado por varias instrucciones éstas deben ir entre llaves.
Salidas: son los resultados de la función. Toda función debe tener al menos un
resultado, si una función no genera un resultado entonces no sirve para nada.
Si una función entrega varios tipos de objetos se acostumbra a organizarlos
en una lista que puede manejar los diferentes tipos de objetos.

53

54

6 Creación de funciones en R

Figura 6.1: Ilustración de una función, tomada de www.mathinsight.org

nombre_de_funcion <- function(par1, par2, ...) {
cuerpo
cuerpo
cuerpo
cuerpo
return(resultado)
}
A continuación se mostrarán varios ejemplos sencillos para que el lector aprenda a construir funciones.

6.2 Partes de una función en R

55

Ejemplo
Construir una función que reciba dos números y que entregue la suma de estos
números.
Lo primero es elegir un nombre apropiado para la función, aquí se usó el
nombre suma porque así se tiene una idea clara de lo que hace la función. La
función suma recibe dos parámetros, x representa el primer valor ingresado
mientras que y representa el segundo. El cuerpo de la función está formado por
dos líneas, en la primera se crea el objeto resultado en el cual se almanacena
el valor de la suma, en la segunda línea se le indica a R que queremos que
retorne el valor de la suma almacenada en el objeto resultado. A continuación
se muestra el código para crear la función solicitada.
suma <- function(x, y) {
resultado <- x + y
return(resultado)
}
Para usar la función creada sólo se debe ejecutar, vamos a obtener la suma de
los valores 4 y 6 usando la función suma, a continuación el código necesario.
suma(x=4, y=6)
## [1] 10
Para funciones simples como la anterior es posible escribirlas en forma más
compacta. Es posible reducir el cuerpo de la función de 2 líneas a sólo una
línea solicitándole a R que retorne directamente la suma sin almacenarla en
ningún objeto. A continuación la función suma modificada.
suma <- function(x, y) {
return(x + y)
}
suma(x=4, y=6)

# Probando la función

## [1] 10
Debido a que la función suma tiene un cuerpo muy reducido es posible escribirla en forma más compacta, en una sola línea. A continuación se muestra el
código para reescribir la función.

56

6 Creación de funciones en R

suma <- function(x, y) x + y
suma(x=4, y=6)

# Probando la función

## [1] 10

Ejemplo
Construir una función que genere números aleatorios entre cero y uno hasta
que la suma de éstos números supere por primera vez el valor de 3. La función
debe entregar la cantidad de números aleatorios generados para que se cumpla
la condición.
Vamos a llamar la función solicitada con el nombre fun1, esta función NO
necesita ningún parámetro de entrada. El valor de 3 que está en la condición
puede ir dentro del cuerpo y por eso no se necesitan parámetros para esta
función. En el cuerpo de la función se genera un vector con un número aleatorio
y luego se chequea si la suma de sus elementos es menor de 3, si se cumple que
la suma es menor que 3 se siguen generando números que se almacenan en el
vector num. Una vez que la suma exceda el valor de 3 NO se ingresa al while
y se pide la longitud del vector o el valor de veces solicitado. A continuación
el código de la función.
fun1 <- function() {
num <- runif(1)
veces <- 1
while (sum(num) < 3) {
veces <- veces + 1
num[veces] <- runif(1)
}
return(veces)
}
fun1()

# primera prueba

## [1] 8

Ejemplo
Construir una función que, dado un número entero positivo (cota) ingresado
por el usuario, genere números aleatorios entre cero y uno hasta que la suma

6.2 Partes de una función en R

57

de los números generados exceda por primera vez la cota. La función debe entregar un vector con los números aleatorios, la suma y la cantidad de números
aleatorios. Si el usuario no ingresa el valor de la cota, se debe asumir igual a
1.
La función aquí solicitada es similar a la construída en el ejemplo anterior. La
función fun2 tiene un sólo parámetro con el valor por defecto, si el usuario
no ingresa valor a este parámetro, se asumirá el valor de uno. El cuerpo de
la función es similar al anterior. Como la función debe entregar un vector y
dos números, se construye la lista resultado que almacena los tres objetos
solicitados. A continuación el código para función solicitada.
fun2 <- function(cota=1) {
num <- runif(1)
while (sum(num) < cota) {
num <- c(num, runif(1))
}
resultado <- list(vector=num,
suma=sum(num),
cantidad=length(num))
return(resultado)
}
Probando la función con cota de uno.
fun2()
##
##
##
##
##
##
##
##

$vector
[1] 0.7704 0.6568
$suma
[1] 1.427
$cantidad
[1] 2

Probando la función con cota de tres.
fun2(cota=3)
##
##
##
##
##

$vector
[1] 0.5174 0.7786 0.6926 0.8071 0.2143
$suma
[1] 3.01

58

6 Creación de funciones en R

##
## $cantidad
## [1] 5

Ejemplo
Construya una función que reciba dos números de la recta real y que entregue el punto médio de estos números. El resultado debe ser un mensaje por
pantalla.
El punto médio entre dos valores es la suma de los números divido entre dos.
La función cat sirve para concatenar objetos y presentarlos por pantalla. A
continuación el código para la función requerida.
medio <- function(a, b) {
medio <- (a + b) / 2
cat("El punto medio de los valores",
a, "y", b,
"ingresados es", medio)
}
medio(a=-3, b=-1)

# Probando la función

## El punto medio de los valores -3 y -1 ingresados es -2
La función cat es muy útil para presentar resultados por pantalla. Consulte
la ayuda de la función para ver otros ejemplos.

EJERCICIOS
Construir funciones en R que realicen lo solicitado.
1. Construya una función que reciba dos números reales a y b, la función debe decir cuál es el mayor de ellos.
2. Escriba una función llamada media que calcule la media muestral
de un vector numérico x ingresado a la función. A continuación la
fórmula para calcular la media muestral.

6.2 Partes de una función en R

59
∑n
x̄ =

i=1

xi

n

Nota: no puede usar la función mean( ).
3. Construya una función que encuentre las raíces de una ecuación de
segundo grado. El usuario debe suministrar los coeficientes a, b y c
de la ecuación ax2 + bx + c = 0 y la función debe entregar las raíces.
4. Escribir una función que calcule la velocidad de un proyectil dado
que el usuario ingresa la distancia recorrida en Km y el tiempo
necesario en minutos. Expresar el resultado se debe entregar en
metros/segundo, recuerde que
velocidad =

espacio
tiempo

5. Escribir una función que reciba dos valores a y b y que los intercambie. Es
decir, si ingresa a = 4 y b = 9 que la función entregue a = 9 y b = 4.
6. Construya una función a la cual le ingrese el salario por hora y el
número de horas trabajadas durante una semana por un trabajador.
La función debe calcular el salario neto.
7. Construya una función llamada precio que calcule el precio total de
sacar A fotocopias y B impresiones, sabiendo que los precios son 50
y 100 pesos para A y B respectivamente si el cliente es un estudiante,
y de 75 y 150 para A y B si el cliente es un profesor. La función
debe tener dos argumentos cuantitativos (A y B) y el argumento
lógico estudiante que por defecto tenga el valor de TRUE. Use la
estructura mostrada abajo.
precio <- function(A, B, estudiante=TRUE) {
...
...
...
return(precio.total)
}
8. Construya una función llamada salario que le ingrese el salario
por hora y el número de horas trabajadas durante una semana por
un trabajador. La función debe calcular el salario neto semanal,
teniendo en cuenta que si el número de horas trabajadas durante
la semana es mayor de 48, esas horas de demás se consideran horas

60

6 Creación de funciones en R
extras y tienen un 35 % de recargo. Imprima el salario neto. Use la
estructura mostrada abajo.

salario <- function(num.horas, valor.hora) {
...
...
...
return(salario.neto)
}
9. Construya una función llamada nota que calcule la nota obtenida
por un alumno en una evaluación de tres puntos cuya ponderación
o importancia son 20 %, 30 % y 50 % para los puntos I, II y III respectivamente. Adicionalmente la función debe generar un mensaje
sobre si el estudiante aprobó la evaluación o no. El usuario debe
ingresar las notas individuales de los tres puntos y la función debe
entregar la nota final de la evaluación. Use la estructura mostrada
abajo.
nota <- function(p1, p2, p3) {
...
...
...
}
10. Escriba una función llamada minimo que permita obtener el valor
mínimo de un vector numérico. No puede usar ninguna de las funciones básicas de R como which.min(), which.max(), order(), min(
), max( ), sort( ) u order( ). Use la estructura mostrada abajo.
minimo <- function(x) {
...
...
return(minimo)
}
11. Construya una función que calcule las coordenadas del punto medio
M entre dos puntos A y B. Vea la Figura 6.2 para una ilustración.
¿Cuáles cree usted que deben ser los parámetros de entrada de la
función?

6.2 Partes de una función en R

61

Figura 6.2: Ilustración del punto medio entre dos puntos, tomada de
https://www.slideshare.net/bigpassy/midpoint-between-two-points

7
Lectura de bases de datos

En este capítulo se mostrará cómo leer una base de datos externa hacia R.

7.1.

¿En qué formato almacenar una base de datos?

Usualmente los archivos con la información para ser leídos por R se pueden
almacenar en formato:
plano con extensión .txt o,
Excel con extensión .csv.
En las secciones siguientes se mostrará cómo almacenar datos en los dos formatos para ser leídos en R. En el Cuadro 7.1 se presenta una base de datos
pequeña, tres observaciones y tres variables, que nos servirá como ejemplo
para mostrar cómo se debe almacenar la información.

7.1.1.

Almacenamiento de información en Excel

Para almacenar la información del Cuadro 7.1 en Excel, abrimos un archivo
nuevo archivo de Excel y copiamos la información tal como se muestra en la
Figura 7.1. Se debe iniciar en la parte superior izquierda, no se deben dejar
filas vacías, no se debe colorear, no se deben colocar bordes ni nada, se ingresa
la información sin embellecer el contenido. Por último se guarda el archivo en
Cuadro 7.1: Ejemplo de una base de datos simple.
Edad Fuma

Pais

35 TRUE Colombia
46 TRUE Francia
23 FALSE Malta

63

64

7 Lectura de bases de datos

la carpeta deseada y al momento de nombrar el archivo se debe modificar la
opción tipo de archivo a csv (delimitado por comas).

Figura 7.1: Forma de almacenar los datos en Excel.
Recuerde que el archivo de Excel se debe guardar con extensión .csv.

7.1.2.

Almacenamiento de información en bloc de notas

Para almacenar la información del Cuadro 7.1 en bloc de notas, abrimos un
archivo nuevo de bloc de notas y copiamos la información tal como se muestra
en la Figura 7.2. Se copian los nombres de las variables o los datos separados
por un espacio obtenido con la tecla tabuladora, cada línea se finaliza con un
enter. Se recomienda al guardar el archivo que el cursor al inicio de una línea
vacía, en la Figura 7.2 se señala la posición del cursor con la flecha roja, a
pesar de que no éxiste línea número 5, el curso debe quedar al inicio de esa
línea número 5.
Es posible mejorar la apariencia de la información almacenada en el bloc de
notas si, en lugar de usar espacios con la barra espaciadora, se colocan los
espacios con la barra tabuladora, así la información se ve más organizada y
se puede chequear fácilmente la información ingresada. En la Figura 7.3 se
muestra la información para el ejemplo, claramente se nota la organización de
la información.

7.2 ¿En qué formato almacenar una base de datos?

65

Figura 7.2: Almacenamiento de los datos en bloc de notas usando la barra
espaciadora

Figura 7.3: Almacenamiento de los datos en bloc de notas usando la barra
tabuladora

Una buena práctica es usar la barra tabuladora para separar, eso permite
que la información se vea ordenada.

66

7.2.

7 Lectura de bases de datos

Función read.table

La función read.table se puede usar para leer bases de datos hacia R. La
estructura de la función con los parámetros más comunes de uso es la siguiente.
read.table(file, header, sep, dec)
Los argumentos de la función read.table son:
file: nombre o ruta donde están alojados los datos. Puede ser un url o una
dirección del computador. Es también posible usar file.choose() para que
se abra un ventana y adjuntar el archivo deseado manualmente.
header: valor lógico, se usa TRUE si la primera línea de la base de datos tiene
los nombres de las variables, caso contrario se usa FALSE.
sep: tipo de separación interna para los datos dentro del archivo. Los valores
usuales para este parámetros son:
• sep=',' si el archivo tiene extensión .csv.
• sep='' si el archivo es bloc de notas con espacios por la barra espaciadora.
• sep='\t' si el archivo es bloc de notas con espacios por la barra tabuladora.
dec: símbolo con el cual están indicados los decimales.

Ejemplo
Crear la base de datos del Cuadro 7.1 en Excel y bloc de notas para practicar
la lectura de base de datos desde R.
Lo primero que se debe hacer para realizar lo solicitado es construir tres
archivos (uno de Excel y dos bloc de notas) igual a los mostrados en las
figuras 7.1, 7.2 y 7.3, vamos a suponer que los nombres para cada uno de ellos
son base1.csv, base2.txt y base3.txt respectivamente.
Para Excel
Para leer el archivo de Excel llamado base1.csv podemos usar el siguiente
código.
datos <- read.table(file='C:/Users/Hernandez/Desktop/base1.csv',
header=TRUE, sep=',')
datos

7.2 Función read.table

67

La dirección file='C:/Users/Hernandez/Desktop/base1.csv' le indica a R
en qué lugar del computador debe buscar el archivo, note que se debe usar el
símbolo / para que sea un dirección válida. Substituya la dirección del código
anterior con la dirección donde se encuentra su archivo para que pueda leer
la base de datos.
Si no se conoce la ubicación del archivo a leer o si la dirección es muy extensa,
se puede usar file.choose() para que se abra una ventana y así adjuntar
manualmente el archivo. A continuación se muestra el código para hacerlo de
esta manera.
datos <- read.table(file.choose(), header=TRUE, sep=',')
datos

Para bloc de notas con barra espaciadora
Para leer el archivo de Excel llamado base2.txt podemos usar el siguiente
código.
datos <- read.table(file='C:/Users/Hernandez/Desktop/base2.txt',
header=TRUE, sep='')
datos

Para bloc de notas con barra tabuladora
Para leer el archivo de Excel llamado base3.txt podemos usar el siguiente
código.
datos <- read.table(file='C:/Users/Hernandez/Desktop/base3.txt',
header=TRUE, sep='\t')
datos
El usuario puede usar indiferentemente file='C:/Users/bla/bla' o
file.choose() para ingresar el archivo, con la práctica se aprende a decidir cuando conviene una u otra forma.

Un error frecuente es escribir la dirección o ubicación del archivo usando \,
lo correcto es usar /.

68

7 Lectura de bases de datos

Ejemplo
Leer la base de datos sobre apartamentos usados en la ciudad de Medellín que está disponible en la página web cuya url es: https://raw.
githubusercontent.com/fhernanb/datos/master/aptos2015
Para leer la base de datos desde una url usamos el siguiente código.
enlace <- 'https://raw.githubusercontent.com/fhernanb/datos/master/aptos2015'
datos <- read.table(file=enlace, header=TRUE)
La base de datos ingresada queda en el marco de datos llamado datos y ya
está disponible para usarla.

7.3.

Lectura de bases de datos en Excel

Algunas veces los datos están disponibles en un archivo estándar de Excel, y
dentro de cada archivo hojas con la información a utilizar. En estos casos se
recomienda usar el paquete readxl (Wickham and Bryan, 2018) y en particular la función readxl. A continuación un ejemplo de cómo proceder en estos
casos.

Ejemplo
En este enlace1 está disponible un archivo de Excel llamado BD_Excel.xlxs,
una vez se ha abierto la página donde está alojado el archivo, se debe descargar
y guardar en alguna carpeta. El archivo contiene dos bases de datos muy
pequeñas, en la primera hoja llamada Hijos está la información de un grupo
de niños y en la segunda hoja llamada Padres está la información de los
padres. ¿Cómo se pueden leer las dos bases de datos?
Lo primero que se debe hacer es instalar el paquete readxl, la instalación
de cualquier paquete en un computador se hace una sola vez y éste quedará
instalado para ser usado las veces que se requiera. La función para instalar un
paquete cualquiera es install.packages, a continuación se muestra el código
necesario para instalar el paquete readxl.
1 https://github.com/fhernanb/datos/blob/master/BD_Excel.xlsx

7.3 Lectura de bases de datos en Excel

69

install.packages("readxl")
Una vez instalado el paquete es necesario cargarlo, la función para cargar el
paquete en la sesión actual de R es library. La instrucción para cargar el
paquete es la siguiente:
library(readxl)

La instalación de un paquete con install.packages se hace sólo una vez
y no más. Cargar el paquete con library en la sesión actual se debe hacer
siempre que se vaya a usar el paquete.
Luego de haber cargado el paquete readxl se puede usar la función read_xl
para leer la información contenida en las hojas. A continuación el código para
crear la base de datos hijos contenida en el archivo BD_Excel.xlsx.
hijos <- read_excel(file.choose(), sheet='Hijos')
as.data.frame(hijos) # Para ver el contenido
##
##
##
##
##
##
##

1
2
3
4
5
6

Edad Grado
ComicFav
8
2
Superman
6
1
Batman
9
3
Batman
10
5 Bob Esponja
8
4
Batman
9
4 Bob Esponja

A continuación el código para crear la base de datos padres contenida en el
archivo BD_Excel.xlsx.
padres <- read_excel('BD_Excel.xlsx', sheet='Padres')
as.data.frame(padres) # Para ver el contenido
##
##
##
##
##

1
2
3
4

Edad
EstCivil NumHijos
45
Soltero
1
50
Casado
0
35
Casado
3
65 Divorciado
1

La función read_excel tiene otros parámetros adicionales útiles para leer
bases de datos, se recomienda consultar la ayuda de la función escribiendo en
la consola help(read_excel).

70

7 Lectura de bases de datos

Cuadro 7.2: Base de datos para practicar lectura.
Fuma Pasatiempo

Num_hermanos

Mesada

Si
Si
No
No
Si

Lectura
NA
Correr
Correr
TV

0
2
4
NA
3

4500
2600
1000
3990
2570

No
Si
NA
Si

TV
Correr
Correr
Lectura

1
1
0
2

2371
1389
4589
NA

EJERCICIOS
Realice los siguiente ejercicios propuestos.
1. En el Cuadro 7.2 se presenta una base de datos sencilla. Almacene
la información del cuadro en dos archivos diferentes, en Excel y en
bloc de notas. Lea los dos archivos con la función read.table y
compare los resultados obtenidos con la del Cuadro 7.2 fuente.
2. En la url https://raw.githubusercontent.com/fhernanb/
datos/master/medidas_cuerpo están disponibles los datos sobre
medidas corporales para un grupo de estudiante de la universidad,
use la función read.table para leer la base de datos.

8
Tablas de frecuencia

Las tablas de frecuencia son muy utilizadas en estadística y R permite crear
tablas de una forma sencilla. En este capítulo se explican las principales funciones para la elaboración de tablas.

8.1.

Tabla de contingencia con table

La función table sirve para construir tablas de frecuencia de una vía, a continuación la estrctura de la función.
table(..., exclude, useNA)
Los parámetros de la función son:
... espacio para ubicar los nombres de los objetos (variables o vectores)
para los cuales se quiere construir la tabla.
exclude: vector con los niveles a remover de la tabla. Si exclude=NULL
implica que se desean ver los NA, lo que equivale a useNA = 'always'.
useNA: instrucción de lo que se desea con los NA. Hay tres posibles valores
para este parámetro: 'no' si no se desean usar, 'ifany' y 'always' si se
desean incluir.

Ejemplo: tabla de frecuencia de una vía
Considere el vector fuma mostrado a continuación y construya una tabla de
frecuencias absolutas para los niveles de la variable frecuencia de fumar.
fuma <- c('Frecuente', 'Nunca', 'A veces', 'A veces', 'A veces',
'Nunca', 'Frecuente', NA, 'Frecuente', NA, 'hola',
'Nunca', 'Hola', 'Frecuente', 'Nunca')

71

72

8 Tablas de frecuencia

A continuación se muestra el código para crear la tabla de frecuencias para la
variable fuma.
table(fuma)
## fuma
##
A veces Frecuente
##
3
4

hola
1

Hola
1

Nunca
4

De la tabla anterior vemos que NO aparece el conteo de los NA, para obtenerlo
usamos lo siguiente.
table(fuma, useNA='always')
## fuma
##
A veces Frecuente
##
3
4
##

##
2

hola
1

Hola
1

Nunca
4

Vemos que hay dos niveles errados en la tabla anterior, Hola y hola. Para
construir la tabla sin esos niveles errados usamos lo siguiente.
table(fuma, exclude=c('Hola', 'hola'))
## fuma
##
A veces Frecuente
##
3
4

Nunca
4


2

Por último construyamos la tabla sin los niveles errados y los NA, a esta última
tabla la llamaremos tabla1 para luego poder usarla. Las instrucciones para
hacer esto son las siguientes.
tabla1 <- table(fuma, exclude=c('Hola', 'hola', NA))
tabla1
## fuma
##
A veces Frecuente
##
3
4

Nunca
4

Al crear una tabla con la instrucción table(var1, var2), la variable 1
quedará por filas mientras que la variable 2 estará en las columnas.

8.2 Función prop.table

73

Ejemplo: tabla de frecuencia de dos vías
Considere otro vector sexo mostrado a continuación y construya una tabla de
frecuencias absolutas para ver cómo se relaciona el sexo con fumar del ejemplo
anterior.
sexo <- c('Hombre', 'Hombre', 'Hombre', NA, 'Mujer',
'Casa', 'Mujer', 'Mujer', 'Mujer', 'Hombre', 'Mujer',
'Hombre', NA, 'Mujer', 'Mujer')
Para construir la tabla solicitada usamos el siguiente código.
table(sexo, fuma)
##
fuma
## sexo
A veces Frecuente hola Hola Nunca
##
Casa
0
0
0
0
1
##
Hombre
1
1
0
0
2
##
Mujer
1
3
1
0
1
De la tabla anterior vemos que aparecen niveles errados en fuma y en sexo,
para retirarlos usamos el siguiente código incluyendo en el parámetro exclude
un vector con los niveles que NO deseamos en la tabla.
tabla2 <- table(sexo, fuma, exclude=c('Hola', 'hola', 'Casa', NA))
tabla2
##
fuma
## sexo
A veces Frecuente Nunca
##
Hombre
1
1
2
##
Mujer
1
3
1

8.2.

Función prop.table

La función prop.table se utiliza para crear tablas de frecuencia relativa a
partir de tablas de frecuencia absoluta, la estructura de la función se muestra
a continuación.
prop.table(x, margin=NULL)

74

8 Tablas de frecuencia

x: tabla de frecuencia.
margin: valor de 1 si se desean proporciones por filas, 2 si se desean por
columnas, NULL si se desean frecuencias globales.

Ejemplo: tabla de frecuencia relativa de una vía
Obtener la tabla de frencuencia relativa para la tabla1.
Para obtener la tabla solicitada se usa el siguiente código.
prop.table(x=tabla1)
## fuma
##
A veces Frecuente
##
0.2727
0.3636

Nunca
0.3636

Ejemplo: tabla de frecuencia relativa de dos vías
Obtener la tabla de frencuencia relativa para la tabla2.
Si se desea la tabla de frecuencias relativas global se usa el siguiente código.
El resultado se almacena en el objeto tabla3 para ser usado luego.
tabla3 <- prop.table(x=tabla2)
tabla3
##
fuma
## sexo
A veces Frecuente Nunca
##
Hombre 0.1111
0.1111 0.2222
##
Mujer
0.1111
0.3333 0.1111
Si se desea la tabla de frecuencias relativas marginal por columnas se usa el
siguiente código.
tabla4 <- prop.table(x=tabla2, margin=2)
tabla4
##
fuma
## sexo
A veces Frecuente Nunca
##
Hombre 0.5000
0.2500 0.6667
##
Mujer
0.5000
0.7500 0.3333

8.4 Función addmargins

8.3.

75

Función addmargins

Esta función se puede utilizar para agregar los totales por filas o por columnas
a una tabla de frecuencia absoluta o relativa. La estructura de la función es
la siguiente.
addmargins(A, margin)
A: tabla de frecuencia.
margin: valor de 1 si se desean proporciones por columnas, 2 si se desean
por filas, NULL si se desean frecuencias globales.

Ejemplo
Obtener las tablas tabla3 y tabla4 con los totales margines global y por
columnas respectivamente.
Para hacer lo solicitado usamos las siguientes instrucciones.
addmargins(tabla3)
##
fuma
## sexo
A veces Frecuente Nunca
Sum
##
Hombre 0.1111
0.1111 0.2222 0.4444
##
Mujer
0.1111
0.3333 0.1111 0.5556
##
Sum
0.2222
0.4444 0.3333 1.0000
addmargins(tabla4, margin=1)
##
fuma
## sexo
A veces Frecuente Nunca
##
Hombre 0.5000
0.2500 0.6667
##
Mujer
0.5000
0.7500 0.3333
##
Sum
1.0000
1.0000 1.0000
Note que los valores de 1 y 2 en el parámetro margin de las funciones
prop.table y addmargins significan lo contrario.

76

8.4.

8 Tablas de frecuencia

Función hist

Construir tablas de frecuencias para variables cuantitativas es necesario en
muchos procedimientos estadísticos, la función hist sirve para obtener este
tipo de tablas. La estructura de la función es la siguiente.
hist(x, breaks='Sturges', include.lowest=TRUE, right=TRUE,
plot=FALSE)
Los parámetros de la función son:
x: vector numérico.
breaks: vector con los límites de los intervalos. Si no se especifica se usar la
regla de Sturges para definir el número de intervalos y el ancho.
include.lowest: valor lógico, si TRUE una observación xi que coincida con
un límite de intervalo será ubicada en el intervalo izquierdo, si FALSE será
incluída en el intervalo a la derecha.
right: valor lógico, si TRUE los intervalos serán cerrados a derecha de la
forma (liminf , limsup ], si es FALSE serán abiertos a derecha.
plot: valor lógico, si FALSE sólo se obtiene la tabla de frecuencias mientras
que con TRUE se obtiene la representación gráfica llamada histograma.

Ejemplo
Genere 200 observaciones aleatorias de una distribución normal con media
µ = 170 y desviación σ = 5, luego construya una tabla de frecuencias para
la muestra obtenida usando (a) la regla de Sturges y (b) tres intervalos con
límites 150, 170, 180 y 190.
Primero se construye el vector x con las observaciones de la distribución normal por medio de la función rnorm y se especifica la media y desviación solicitada. Luego se aplica la función hist con el parámetro breaks='Sturges',
a continuación el código utilizado.
x <- rnorm(n=200, mean=170, sd=5)
res1 <- hist(x=x, breaks='Sturges', plot=FALSE)
res1
## $breaks
## [1] 155 160 165 170 175 180 185
##

8.4 Función hist
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##

$counts
[1] 4 31 61 70 26

77
8

$density
[1] 0.004 0.031 0.061 0.070 0.026 0.008
$mids
[1] 157.5 162.5 167.5 172.5 177.5 182.5
$xname
[1] "x"
$equidist
[1] TRUE
attr(,"class")
[1] "histogram"

El objeto res1 es una lista donde se encuentra la información de la tabla de
frecuencias para x. Esa lista tiene en el elemento breaks los límites inferior
y superior de los intervalos y en el elemento counts están las frecuencias de
cada uno de los intervalos.
Para obtener las frecuencias de tres intervalos con límites 150, 170, 180 y 190
se especifica en el parámetros breaks los límites. El código para obtener la
segunda tabla de frecuencias se muestra a continuación.
res2 <- hist(x=x, plot=FALSE,
breaks=c(150, 170, 180, 190))
res2
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##

$breaks
[1] 150 170 180 190
$counts
[1] 96 96

8

$density
[1] 0.024 0.048 0.004
$mids
[1] 160 175 185
$xname
[1] "x"

78
##
##
##
##
##

8 Tablas de frecuencia
$equidist
[1] FALSE
attr(,"class")
[1] "histogram"

Ejemplo
Construya el vector x con los siguientes elementos: 1.0, 1.2, 1.3, 2.0, 2.5, 2.7,
3.0 y 3.4. Obtenga varias tablas de frecuencia con la función hist variando
los parámetros include.lowest y right. Use como límite de los intervalos
los valores 1, 2, 3 y 4.
Lo primero que debemos hacer es crear el vector x solicitado así:
x <- c(1.1, 1.2, 1.3, 2.0, 2.0, 2.5, 2.7, 3.0, 3.4)
En la Figura 8.1 se muestran los 9 puntos y con color azul se representan los
límites de los intervalos.

1

2

3

4

Valores de x
Figura 8.1: Ubicación de los puntos del ejemplo con límites en color azul.

8.4 Función hist

79

A continuación se presenta el código para obtener la tabla de frecuencia usando
rigth=TRUE, los resultados se almacenan en el objeto res3 y se solicitan sólo
los dos primeros elementos que corresponden a los límites y frecuencias.
res3 <- hist(x, breaks=c(1, 2, 3, 4), right=TRUE, plot=FALSE)
res3[1:2]
##
##
##
##
##

$breaks
[1] 1 2 3 4
$counts
[1] 5 3 1

Ahora vamos a repetir la tabla pero usando rigth=FALSE para ver la diferencia,
en res4 están los resultados.
res4 <- hist(x, breaks=c(1, 2, 3, 4), right=FALSE, plot=FALSE)
res4[1:2]
##
##
##
##
##

$breaks
[1] 1 2 3 4
$counts
[1] 3 4 2

Al comparar los últimos dos resultados vemos que la primera frecuencia es 5
cuando right=TRUE porque los intervalos se consideran cerrados a la derecha.
Ahora vamos a construir una tabla de frecuencia usando FALSE para los parámetros include.lowest y right.
res5 <- hist(x, breaks=c(1, 2, 3, 4),
include.lowest=FALSE, right=FALSE,
plot=FALSE)
res5[1:2]
##
##
##
##
##

$breaks
[1] 1 2 3 4
$counts
[1] 3 4 2

De este último resultado se ve claramente el efecto de los parámetros
include.lowest y right en la construcción de tablas de frecuencia.

80

8 Tablas de frecuencia

EJERCICIOS
Use funciones o procedimientos (varias líneas) de R para responder cada una
de las siguientes preguntas.
En el Cuadro 7.2 se presenta una base de datos sencilla. Lea la base de datos
usando la funcion read.table y construya lo que se solicita a continuación.
1. Construya una tabla de frecuencia absoluta para la variable pasatiempo.
2. Construya una tabla de frecuencia relativa para la variable fuma.
3. Construya una tabla de frecuencia relativa para las variables pasatiempo y fuma.
4. ¿Qué porcentaje de de los que no fuman tienen como pasatiempo
la lectura.
5. ¿Qué porcentaje de los que corren no fuman?

9
Medidas de tendencia central

En este capítulo se mostrará cómo obtener las diferentes medidas de tendencia
central con R.
Para ilustrar el uso de las funciones se utilizará una base de datos llamada
medidas del cuerpo, esta base de datos cuenta con 6 variables registradas
a un grupo de 36 estudiantes de la universidad. Las variables son:
1.
2.
3.
4.
5.
6.

edad del estudiante (años),
peso del estudiante (kilogramos),
altura del estudiante (centímetros),
sexo del estudiante (Hombre, Mujer),
muneca: perímetro de la muñeca derecha (centímetros),
biceps: perímetro del biceps derecho (centímetros).

A continuación se presenta el código para definir la url donde están los datos,
para cargar la base de datos en R y para mostrar por pantalla un encabezado
(usando head) de la base de datos.
url <- 'https://raw.githubusercontent.com/fhernanb/datos/master/medidas_cuerpo'
datos <- read.table(file=url, header=T)
head(datos) # Para ver el encabezado de la base de datos
##
##
##
##
##
##
##

1
2
3
4
5
6

edad
43
65
45
37
55
33

peso altura
sexo muneca biceps
87.3 188.0 Hombre
12.2
35.8
80.0 174.0 Hombre
12.0
35.0
82.3 176.5 Hombre
11.2
38.5
73.6 180.3 Hombre
11.2
32.2
74.1 167.6 Hombre
11.8
32.9
85.9 188.0 Hombre
12.4
38.5

81

82

9.1.

9 Medidas de tendencia central

Media

Para calcular la media de una variable cuantitativa se usa la función mean. Los
argumentos básicos de la función mean son dos y se muestran a continuación.
mean(x, na.rm = FALSE)
En el parámetro x se indica la variable de interés para la cual se quiere calcular
la media, el parámetro na.rm es un valor lógico que en caso de ser TRUE,
significa que se deben remover las observaciones con NA, el valor por defecto
para este parámetro es FALSE.

Ejemplo
Suponga que queremos obtener la altura media del grupo de estudiantes.
Para encontrar la media general se usa la función mean sobre el vector númerico
datos$altura.
mean(x=datos$altura)
## [1] 171.6
Del anterior resultado podemos decir que la estatura media o promedio de los
estudiantes es 171.5556 centímetros.

Ejemplo
Suponga que ahora queremos la altura media pero diferenciando por sexo.
Para hacer esto se debe primero dividir o partir el vector de altura según los
niveles de la variable sexo, esto se consigue por medio de la función split y
el resultado será una lista con tantos elementos como niveles tenga la variable
sexo. Luego a cada uno de los elementos de la lista se le aplica la función mean
con la ayuda de sapply o tapply. A continuación el código completo para
obtener las alturas medias para hombres y mujeres.
sapply(split(x=datos$altura, f=datos$sexo), mean)
## Hombre
## 179.1

Mujer
164.0

9.2 Mediana

83

El resultado es un vector con dos elementos, vemos que la altura media para hombres es 179.0778 centímetros y que para las mujeres es de 164.0333
centímetros.
¿Qué sucede si se usa tapply en lugar de sapply? Substituya en el código
anterior la función sapply por tapply y observe la diferencia entre los resultados.

Ejemplo
Suponga que se tiene el vector edad con las edades de siete personas y supóngase que para el individuo cinco no se tiene información de su edad, eso
significa que el vector tendrá un NA en la quinta posición.
¿Cuál será la edad promedio del grupo de personas?
edad <- c(18, 23, 26, 32, NA, 32, 29)
mean(x=edad)
## [1] NA
Al correr el código anterior se obtiene un error y es debido al símbolo NA en
la quinta posición. Para calcular la media sólo con los datos de los cuales se
tiene información, se incluye el argumento na.rm = TRUE para que R remueva
los NA. El código correcto a usar en este caso es:
mean(x=edad, na.rm=TRUE)
## [1] 26.67
De este último resultado se obtiene que la edad promedio de los individuos es
26.67 años.

9.2.

Mediana

Para calcular la mediana de una variable cantitativa se usa la función median.
Los argumentos básicos de la función median son dos y se muestran a continuación.
median(x, na.rm = FALSE)

84

9 Medidas de tendencia central

En el parámetro x se indica la variable de interés para la cual se quiere calcular
la mediana, el parámetro na.rm es un valor lógico que en caso de ser TRUE,
significa que se deben remover las observaciones con NA, el valor por defecto
para este parámetro es FALSE.

Ejemplo
Calcular la edad mediana para los estudiantes de la base de datos.
Para obtener la mediana usamos el siguiente código:
median(x=datos$edad)
## [1] 28
y obtenemos que la mitad de los estudiantes tienen edades mayores o iguales
a 28 años.
El resultado anterior se pudo haber obtenido con la función quantile e indicando que se desea el cuantil 50 así:
quantile(x=datos$edad, probs=0.5)
## 50%
## 28

9.3.

Moda

La moda de una variable cuantitativa corresponde a valor o valores que más
se repiten, una forma sencilla de encontrar la moda es construir una tabla de
frecuencias y observar los valores con mayor frecuencia.

Ejemplo
Calcular la moda para la variable edad de la base de datos de estudiantes.
Se construye la tabla con la función table y se crea el objeto tabla para
almacenarla.

9.3 Moda

85

tabla <- table(datos$edad)
tabla
##
## 19 20 21 22 23 24 25 26 28 29 30 32 33 35 37 40 43 45
## 1 1 1 3 2 1 5 3 2 1 2 1 1 2 3 1 2 1
## 51 55 65
## 1 1 1
Al mirar con detalle la tabla anterior se observa que el valor que más se repite
es la edad de 25 años en 5 ocasiones. Si la tabla hubiese sido mayor, la inspección visual nos podría tomar unos segundos o hasta minutos y podríamos
equivocarnos, por esa razón es mejor ordenar los resultados de la tabla.
Para observar los valores con mayor frecuencia de la tabla se puede ordenar
la tabla usando la función sort de la siguiente manera:
sort(tabla, decreasing=TRUE)
##
## 25 22 26 37 23 28 30 35 43 19 20 21 24 29 32 33 40 45
## 5 3 3 3 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1
## 51 55 65
## 1 1 1
De esta manera se ve fácilmente que la variable edad es unimodal con valor
de 25 años.

10
Medidas de variabilidad

En este capítulo se mostrará cómo obtener las diferentes medidas de variabilidad con R.
Para ilustrar el uso de las funciones se utilizará la base de datos llamada
aptos2015, esta base de datos cuenta con 11 variables registradas a apartamentos usados en la ciudad de Medellín. Las variables de la base de datos
son:
1. precio: precio de venta del apartamento (millones de pesos),
2. mt2: área del apartamento (m2 ),
3. ubicacion: lugar de ubicación del aparamentos en la ciudad (cualitativa),
4. estrato: nivel socioeconómico donde está el apartamento (2 a 6),
5. alcobas: número de alcobas del apartamento,
6. banos: número de baños del apartamento,
7. balcon: si el apartamento tiene balcón (si o no),
8. parqueadero: si el apartamento tiene parqueadero (si o no),
9. administracion: valor mensual del servicio de administración (millones de pesos),
10. avaluo: valor del apartamento en escrituras (millones de pesos),
11. terminado: si el apartamento se encuentra terminado (si o no).
A continuación se presenta el código para definir la url donde están los datos,
para cargar la base de datos en R y para mostrar por pantalla un encabezado
(usando head) de la base de datos.
url <- 'https://raw.githubusercontent.com/fhernanb/datos/master/aptos2015'
datos <- read.table(file=url, header=T)
head(datos) # Para ver el encabezado de la base de datos
##
##
##
##
##
##

1
2
3
4
5

precio
79
93
100
123
135

mt2 ubicacion estrato alcobas banos balcon
43.16
norte
3
3
1
si
56.92
norte
2
2
1
si
66.40
norte
3
2
2
no
61.85
norte
2
3
2
si
89.80
norte
4
3
2
si
87

88
##
##
##
##
##
##
##
##

10 Medidas de variabilidad
6
1
2
3
4
5
6

140 71.00
norte
3
3
2
parqueadero administracion avaluo terminado
si
0.050 14.92
no
si
0.069 27.00
si
no
0.000 15.74
no
si
0.130 27.00
no
no
0.000 39.57
si
si
0.120 31.15
si

no

10.1. Rango
Para calcular el rango de una variable cuantitativa se usa la función range.
Los argumentos básicos de la función range son dos y se muestran abajo.
range(x, na.rm = FALSE)
En el parámetro x se indica la variable de interés para la cual se quiere calcular
el rango, el parámetro na.rm es un valor lógico que en caso de ser TRUE,
significa que se deben remover las observaciones con NA, el valor por defecto
para este parámetro es FALSE.
La función range entrega el valor mínimo y máximo de la variable ingresada y
el valor de rango se puede obtener restando del valor máximo el valor mínimo.

Ejemplo
Suponga que queremos obtener el rango para la variable precio de los apartamentos.
Para obtener el rango usamos el siguiente código.
range(datos$precio)
## [1]

25 1700

max(datos$precio) - min(datos$precio)
## [1] 1675

10.2 Desviación estándar muestral (S)

89

Del resultado anterior podemos ver que los precios de todos los apartamentos
van desde 25 hasta 1700 millones de pesos, es decir, el rango de la variable
precio es 1675 millones de pesos.

Ejemplo
Suponga que queremos obtener nuevamente el rango para la variable precio
de los apartamentos pero diferenciando por el estrato.
Primero vamos a crear una función auxiliar llamada myrange que calculará
el rango directamente (max − min). Luego vamos a partir la información de
los precios por cada estrato usando split, la partición se almacenará en la
lista precios. Finalmente se aplicará la función myrange a la lista precios
para obtener los rangos del precio por estrato socioeconómico. El código para
realizar esto se muestra a continuación.
myrange <- function(x) max(x) - min(x)
precios <- split(datos$precio, f=datos$estrato)
sapply(precios, myrange)
##
##

2
103

3
225

4
5
6
610 1325 1560

De los resultados podemos ver claramente que a medida que aumenta de estrato el rango (variabilidad) del precio de los apartamentos aumenta. Apartamentos de estrato bajo tienden a tener precios similares mientras que los precios
de venta para apartamentos de estratos altos tienden a ser muy diferentes
entre si.

10.2. Desviación estándar muestral (S)
Para calcular la desviación muestral de una variable cuantitativa se usa la
función sd. Los argumentos básicos de la función sd son dos y se muestran
abajo.
sd(x, na.rm = FALSE)
En el parámetro x se indica la variable de interés para la cual se quiere calcular
la desviación estándar muestral, el parámetro na.rm es un valor lógico que en

90

10 Medidas de variabilidad

caso de ser TRUE, significa que se deben remover las observaciones con NA, el
valor por defecto para este parámetro es FALSE.

Ejemplo
Suponga que queremos obtener la desviación estándar muestral para la variable precio de los apartamentos.
Para obtener la desviación solicitada usamos el siguiente código:
sd(x=datos$precio)
## [1] 247.6

Ejemplo
Calcular la desviación estándar poblacional (σ) para el siguiente conjunto
de 5 observaciones: 12, 25, 32, 15, 26.
Recordemos que las expresiones matemáticas para obtener S y σ son muy
similares, la diferencia está en el denominador, para S el denominador es
n − 1 mientras que para σ es n. Teniendo esto en cuenta podemos calcular
la desviación poblacional apoyándonos en la función sd, para esto podemos
construir una función llamada Sigma que calcule la desviación poblacional, a
continuación el código necesario.
Sigma <- function(x) {
n <- length(x)
sd(x) * (n-1) / n
}
Ahora para obtener la desviación estándar poblacional de los datos usamos
el siguiente código.
y <- c(12, 25, 32, 15, 26)
Sigma(y)
## [1] 6.621

10.3 Varianza muestral (S 2 )

91

10.3. Varianza muestral (S 2 )
Para calcular la varianza muestral de una variable cuantitativa se usa la función var. Los argumentos básicos de la función var son dos y se muestran
abajo.
var(x, na.rm = FALSE)
En el parámetro x se indica la variable de interés para la cual se quiere calcular
la varianza muestral, el parámetro na.rm es un valor lógico que en caso de
ser TRUE, significa que se deben remover las observaciones con NA, el valor por
defecto para este parámetro es FALSE.

Ejemplo
Suponga que queremos determinar cuál región en la ciudad presenta mayor
varianza en los precios de los apartamentos.
Para realizar esto debemos usar en conjunto la función split, sapply y var
ya que se quiere la varianza de una variable (precio) dado los valores de otra
variable (ubicacion). El código para obtener las varianzas es el siguiente.
precios <- split(datos$precio, f=datos$ubicacion)
sapply(precios, var)
##
##
##
##
##
##

aburra sur belen guayabal
4169
2528
laureles
norte
25351
1009
poblado
84497

centro
2588
occidente
3596

De los resultados anteriores se nota que los apartamentos ubicados en el Poblado tienen la mayor variabilidad en el precio, este resultado se confirma al
dibujar un boxplot para la variable precio dada la ubicación, en la Figura 10.1
se muestra el boxplot y se ve claramente la dispersión de los precios en el Poblado. El código usado para generar la Figura 10.1 se presenta a continuación.
with(datos, boxplot(precio ~ ubicacion, ylab='Precio (millones)'))

10 Medidas de variabilidad

1000
500
0

Precio (millones)

1500

92

aburra sur

belen guayabal

centro

laureles

norte

occidente

poblado

Figura 10.1: Boxplot para el precio de los apartamentos dada la ubicación.

Ejemplo
¿Son los resultados de la función var los mismos que los resultados de la
función sd elevados al cuadrado?
La respuesta es NO. La función sd se aplica sólo a vectores mientras que la
función var de puede aplicar tanto a vectores como a marcos de datos. Al
ser aplicada a marcos de datos numéricos se obtiene una matriz en que la
diagonal representa las varianzas de las de cada una de las variables mientras
que arriba y abajo de la diagonal se encuentran las covarianzas entre pares de
variables.
Por ejemplo, si aplicamos la función var al marco de datos sólo con las variables precio, área y avaluo se obtiene una matriz de dimensión 3 × 3, a
continuación el código usado.
var(datos[, c('precio', 'mt2', 'avaluo')])
##
precio
mt2 avaluo
## precio 61313 15874 33056
## mt2
15874 5579
9508
## avaluo 33056 9508 28589
Del anterior resultado se observa la matriz de varianzas y covarianzas de dimensión 3 × 3.

10.4 Coeficiente de variación (CV )

93

10.4. Coeficiente de variación (CV )
El coeficiente de variación se define como CV = s/x̄ y es muy sencillo de
obtenerlo, la función CV mostrada abajo permite calcularlo.
CV <- function(x, na.rm = FALSE) {
sd(x, na.rm=na.rm) / mean(x, na.rm=na.rm)
}

Ejemplo
Calcular el CV para el vector w definido a continuación.
w <- c(5, -3, NA, 8, 8, 7)
Vemos que el vector w tiene 6 observaciones y la tercera de ellas es un NA.
Lo correcto aquí es usar la función CV definida antes pero indicándole que
remueva los valores faltantes, para eso se usa el siguiente código.
CV(x=w, na.rm=T)
## [1] 0.9274

11
Medidas de posición

En este capítulo se mostrará cómo obtener las diferentes medidas de posición
con R.
Para ilustrar el uso de las funciones se utilizará una base de datos llamada
medidas del cuerpo, esta base de datos cuenta con 6 variables registradas
a un grupo de 36 estudiantes de la universidad. Las variables son:
1.
2.
3.
4.
5.
6.

edad del estudiante (años),
peso del estudiante (kilogramos),
altura del estudiante (centímetros),
sexo del estudiante (Hombre, Mujer),
muneca: perímetro de la muñeca derecha (centímetros),
biceps: perímetro del biceps derecho (centímetros).

A continuación se presenta el código para definir la url donde están los datos,
para cargar la base de datos en R y para mostrar por pantalla un encabezado
(usando head) de la base de datos.
url <- 'https://raw.githubusercontent.com/fhernanb/datos/master/medidas_cuerpo'
datos <- read.table(file=url, header=T)
head(datos) # Para ver el encabezado de la base de datos
##
##
##
##
##
##
##

1
2
3
4
5
6

edad
43
65
45
37
55
33

peso altura
sexo muneca biceps
87.3 188.0 Hombre
12.2
35.8
80.0 174.0 Hombre
12.0
35.0
82.3 176.5 Hombre
11.2
38.5
73.6 180.3 Hombre
11.2
32.2
74.1 167.6 Hombre
11.8
32.9
85.9 188.0 Hombre
12.4
38.5

95

96

11 Medidas de posición

11.1. Cuantiles
Para obtener cualquier cuantil (cuartiles, deciles y percentiles) se usa la función quantile. Los argumentos básicos de la función quantile son tres y se
muestran a continuación.
quantile(x, probs, na.rm = FALSE)
En el parámetro x se indica la variable de interés para la cual se quieren
calcular los cuantiles, el parámetro probs sirve para definir los cuantiles de
interés y el parámetro na.rm es un valor lógico que en caso de ser TRUE,
significa que se deben remover las observaciones con NA, el valor por defecto
para este parámetro es FALSE.

Ejemplo
Suponga que queremos obtener el percentil 5, la mediana y el decil 8 pa la
altura del grupo de estudiantes.
Se solicita el percentil 5, la mediana que es el percentil 50 y el decil 8 que
corresponde al percentil 80, por lo tanto es necesario indicarle a la función
quantile que calcule los cuantiles para las ubicaciones 0.05, 0.5 y 0.8, el
código para obtener las tres medidas solicitadas es el siguiente.
quantile(x=datos$altura, probs=c(0.05, 0.5, 0.8))
##
5%
50%
80%
## 155.2 172.7 180.3

12
Medidas de correlación

En este capítulo se mostrará cómo obtener el coeficiente de correlación lineal
para variables cuantitativas.

12.1. Función cor
La función cor permite calcular el coeficiente de correlación de Pearson, Kendall o Spearman para dos variables cuantitativas. La estructura de la función
es la siguiente.
cor(x, y, use="everything",
method=c("pearson", "kendall", "spearman"))
Los parámetos de la función son:
x, y: vectores cuantitativos.
use: parámetro que indica lo que se debe hacer cuando se presenten registros
NA en alguno de los vectores. Las diferentes posibilidades son: everything,
all.obs, complete.obs, na.or.complete y pairwise.complete.obs, el
valor por defecto es everything.
method: tipo de coeficiente de correlación a calcular, por defecto es pearson,
otros valores posibles son kendall y spearman.

Ejemplo
Calcular el coeficiente de correlación de Pearson para las variables área y
precio de la base de datos sobre apartamentos usados.
Lo primero que se debe hacer es cargar la base de datos usando la url apropiada. Luego de esto se usa la función cor sobre las variables de interés. A
continuación se muestra el código necesario.

97

98

12 Medidas de correlación

url <- 'https://raw.githubusercontent.com/fhernanb/datos/master/aptos2015'
datos <- read.table(file=url, header=T)
cor(x=datos$mt2, y=datos$precio)
## [1] 0.8583
Del resultado anterior vemos que existe una correlación de 0.8583 entre las
dos variables, eso significa que apartamentos de mayor área tienden a tener
precios de venta más alto. Este resultado se ilustra en la Figura 12.1, se nota
claramente que la nube de puntos tiene un pendiente positiva y por eso el
signo del coeficiente de correlación.
A continuación el código para generar la Figura 12.1.

Precio del apartamento (millones COP)

with(datos, plot(x=mt2, y=precio, pch=20, col='blue',
xlab='Área del apartamento', las=1,
ylab='Precio del apartamento (millones COP)'))

1500

1000

500

0
100

200

300

400

500

Área del apartamento

Figura 12.1: Diagrama de dispersión para precio versus área de los apartamentos usados.

Ejemplo
Para las mismas variables del ejemplo anterior calcular los coeficientes de
correlación Kendall y Spearman.

12.1 Función cor

99

A continuación el código para obtener lo solicitado.
cor(x=datos$mt2, y=datos$precio, method='pearson')
## [1] 0.8583
cor(x=datos$mt2, y=datos$precio, method='kendall')
## [1] 0.6911
cor(x=datos$mt2, y=datos$precio, method='spearman')
## [1] 0.8603

Ejemplo
Para la base de datos de apartamentos usados, ¿cuáles de las variables cuantitativas tienen mayor correlación?
Lo primero que debemos hacer es determinar cuáles son las cuantitativas de
la base de datos. Para obtener información de las variables que están almacenadas en el marco de datos llamado datos usamos la función str que muestra
la estructura interna de objeto.
str(datos)
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##

'data.frame':
694 obs. of 11 variables:
$ precio
: num 79 93 100 123 135 140 145 160 160 175 ...
$ mt2
: num 43.2 56.9 66.4 61.9 89.8 ...
$ ubicacion
: Factor w/ 7 levels "aburra sur","belen guayabal",..: 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 ...
$ estrato
: int 3 2 3 2 4 3 3 3 4 4 ...
$ alcobas
: int 3 2 2 3 3 3 2 3 4 3 ...
$ banos
: int 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 ...
$ balcon
: Factor w/ 2 levels "no","si": 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 ...
$ parqueadero : Factor w/ 2 levels "no","si": 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 ...
$ administracion: num 0.05 0.069 0 0.13 0 0.12 0.14 0.127 0 0.123 ...
$ avaluo
: num 14.9 27 15.7 27 39.6 ...
$ terminado
: Factor w/ 2 levels "no","si": 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 ...

Del anterior resultado vemos que las variables precio, mt2, alcobas, banos,
administracion y avaluo son las variables cuantitativas, las restantes son cualitativas (nominal u ordinal). Las posiciones de las variables cuantitativas en

100

12 Medidas de correlación

el objeto datos son 1, 2, 5, 6, 9, 10, así podemos construir un marco de datos
sólo con la información cuantitativa, a continuación el código usado.
datos.cuanti <- datos[, c(1, 2, 5, 6, 9, 10)]
# La siguiente instrucción para editar los nombres de la variables
colnames(datos.cuanti) <- c('Precio', 'Área', 'Alcobas',
'Baños', 'Admon', 'Avaluo')
M <- round(cor(datos.cuanti), digits=2)
M
##
##
##
##
##
##
##

Precio
Área
Alcobas
Baños
Admon
Avaluo

Precio
1.00
0.86
0.19
0.63
0.75
0.79

Área Alcobas Baños Admon Avaluo
0.86
0.19 0.63 0.75
0.79
1.00
0.31 0.67 0.77
0.75
0.31
1.00 0.35 0.16
0.15
0.67
0.35 1.00 0.55
0.53
0.77
0.16 0.55 1.00
0.70
0.75
0.15 0.53 0.70
1.00

El anterior resultado representa la matriz de correlaciones entre las variables
cuantitativas, se observa que la mayor correlación es entre las variables precio
y área del apartamento.
Es posible representar gráficamente la matriz de correlaciones M por medio de
la función corrplot del paquete corrplot (Wei and Simko, 2017), a continuación el código para obtener su representación gráfica.
library('corrplot')

# Para cargar el paquete corrplot

## corrplot 0.84 loaded
corrplot.mixed(M)
En la Figura 12.2 se muestra la matriz con los coeficientes de correlación. En la
diagonal de la Figura 12.2 están las variables, por encima están unos círculos
de colores, entre más intensidad del color, ya sea azul o rojo, mayor es la
correlación, colores ténues significan correlación baja; el tamaño de los círculos
está asociado al valor absoluto de correlación. Por debajo de la diagonal se
observan los valores exactos de correlación en colores.
La función corrplot es muy versátil, se pueden obtener diferentes representaciones gráficas de la matriz de correlaciones, para conocer las diferentes posibilidades recomendamos consultar este enlace: https://cran.r-project.
org/web/packages/corrplot/vignettes/corrplot-intro.html.

12.1 Función cor

101
1

Precio

0.8
0.6

0.86
0.19

Área

0.4
0.2

0.31 Alcobas

0

0.63

0.67

0.35 Baños

0.75

0.77

0.16

-0.2
-0.4

0.55 Admon
-0.6

0.79

0.75

0.15

0.53

0.7

Avaluo

-0.8
-1

Figura 12.2: Matriz de coeficientes de correlación.

Ejemplo
Construya dos vectores hipotéticos con el gasto y ahorro de un grupo de 7
familias, incluya dos NA. Calcule el coeficiente de correlación entre ahorro y
gasto, use el parámetro use para manejar los NA.
A continuación se presenta el código para crear los objetos ahorro y gasto con
datos ficticios. Observe que en el primer caso donde se calcula la correlación no
es posible obtener un resultado debido a que por defecto use='everything'
y por lo tanto usa todas las observaciones incluyendo los NA. En el segundo caso si se obtiene un valor para la correlación debido a que se usó
use='complete.obs'.
gasto <- c(170, 230, 120, 156, 256, NA, 352)
ahorro <- c(45, 30, NA, 35, 15, 65, 15)
cor(gasto, ahorro)
## [1] NA
cor(gasto, ahorro, use='complete.obs')
## [1] -0.8465

102

12 Medidas de correlación

EJERCICIOS
Use funciones o procedimientos (varias líneas) de R para responder cada una
de las siguientes preguntas.
1. Para cada uno de los estratos socioeconómicos, calcular el coeficiente de correlación lineal de Pearson para las variables precio y área
de la base de datos de los apartamentos usados.
2. Calcular los coeficientes de correlación Pearson, Kendall y Spearman para las variables cuantitativas de la base de datos sobre medidas del cuerpo explicada en el Capítulo 9. La url con la información
es la siguiente: https://raw.githubusercontent.com/fhernanb/
datos/master/medidas_cuerpo
3. Represente gráficamente las matrices de correlación obtenidas en el
ejercicio anterior.

13
Distribuciones discretas

En este capítulo se mostrarán las funciones de R para distribuciones discretas.

13.1. Funciones disponibles para distribuciones discretas
Para cada distribución discreta se tienen 4 funciones, a continuación el listado
de funciones y su utilidad.
dxxx(x,
pxxx(q,
qxxx(p,
rxxx(n,

...)
...)
...)
...)

#
#
#
#

Función de masa de probabilidad, f(x)
Función de distribución acumulada hasta q, F(x)
Cuantil para el cual P(X <= q) = p
Generador de números aleatorios.

En el lugar de las letras xxx se de debe colocar el nombre de la distribución en
R, a continuación el listado de nombres disponibles para las 6 distribuciones
discretas básicas.
binom
geo
nbinom
hyper
pois
multinom

#
#
#
#
#
#

Binomial
Geométrica
Binomial negativa
Hipergeométrica
Poisson
Multinomial

Combinando las funciones y los nombres se tiene un total de 24 funciones,
por ejemplo, para obtener la función de masa de probabilidad f (x) de una
binomial se usa la función dbinom( ) y para obtener la función acumulada
F (x) de una Poisson se usa la función ppois( ).

103

104

13 Distribuciones discretas

Ejemplo binomial
Suponga que un grupo de agentes de tránsito sale a una vía principal para
revisar el estado de los buses de transporte intermunicipal. De datos históricos
se sabe que un 10 % de los buses generan una mayor cantidad de humo de la
permitida. En cada jornada los agentes revisan siempre 18 buses, asuma que
el estado de un bus es independiente del estado de los otros buses.
1) Calcular la probabilidad de que se encuentren exactamente 2 buses
que generan una mayor cantidad de humo de la permitida.
Aquí se tiene una distribucion Binomial(n = 18, p = 0.1) y se desea calcular
P (X = 2). Para obtener esta probabilidad se usa la siguiente instrucción.
dbinom(x=2, size=18, prob=0.10)
## [1] 0.2835
Así P (X = 2) = 0.2835.
2) Calcular la probabilidad de que el número de buses que sobrepasan
el límite de generación de gases sea al menos 4.
En este caso interesa calcular P (X ≥ 4), para obtener esta probabilidad se
usa la siguiente instrucción.
sum(dbinom(x=4:18, size=18, prob=0.10))
## [1] 0.0982
Así P (X ≥ 4) = 0.0982
3) Calcular la probabilidad de que tres o menos buses emitan gases
por encima de lo permitido en la norma.
En este caso interesa P (X ≤ 3) lo cual es F (x = 3), por lo tanto, la instrucción
para obtener esta probabilidad es
pbinom(q=3, size=18, prob=0.10)
## [1] 0.9018
Así P (X ≤ 3) = F (x = 3) = 0.9018
4) Dibujar la función de masa de probabilidad.

13.1 Funciones disponibles para distribuciones discretas

105

Para dibujar la función de masa de probabilidad para una Binomial(n =
18, p = 0.1) se usa el siguiente código.
x <- 0:18 # Soporte (dominio) de la variable
Probabilidad <- dbinom(x=x, size=18, prob=0.1)
plot(x=x, y=Probabilidad,
type='h', las=1, lwd=6)

0.30
0.25

Probabilidad

0.20
0.15
0.10
0.05
0.00
0

5

10

15

x

Figura 13.1: Función de masa de probabilidad para una Binomial(n =
18, p = 0.1).
En la Figura 13.1 se muestra la función de masa de probabilidad para la
Binomial(n = 18, p = 0.1), de esta figura se observa claramente que la mayor
parte de la probabilidad está concentrada para valores pequeños de X debido
a que la probabilidad de éxito individual es p = 0.10. Valores de X ≥ 7 tienen
una probabilidad muy pequeña y es por eso que las longitudes de sus barras
son muy cortas.
5) Generar con 100 de una distribución Binomial(n = 18, p = 0.1)
y luego calcular las frecuencias muestrales y compararlas con las
probabilidades teóricas.
La muestra aleatoria se obtiene con la función rbinom y los resultados se

106

13 Distribuciones discretas

almacenan en el objeto m, por último se construye la tabla de frecuencias
relativas, a continuación el código usado.
m <- rbinom(n=100, size=18, prob=0.1)
m # Para ver lo que hay dentro de m
##
##
##
##

[1]
[26]
[51]
[76]

4
1
1
5

1
2
1
1

3
4
1
5

4
1
3
0

2
3
1
1

3
2
2
2

prop.table(table(m))

1
2
4
1

0
3
4
4

3
2
7
1

2
2
2
1

1
3
4
2

4
2
0
1

1
3
1
2

1
0
2
0

1
2
1
2

3
2
1
2

0
2
2
3

5
1
3
3

0
1
2
0

3
3
1
1

5
1
3
1

3
1
1
3

2
1
1
2

3
1
2
3

1
1
3
0

# Tabla de frecuencia relativa

## m
##
0
1
2
3
4
5
7
## 0.09 0.34 0.24 0.20 0.08 0.04 0.01
A pesar de ser una muestra aleatoria de sólo 100 observaciones, se observa
que las frecuencias relativas obtenidas son muy cercanas a las mostradas en
la Figura 13.1.

Ejemplo geométrica
En una línea de producción de bombillos se sabe que sólo el 1 % de los bombillos son defectuosos. Una máquina automática toma un bombillo y lo prueba,
si el bombillo enciende, se siguen probando los bombillos hasta que se encuentre un bombillo defectuoso, ahí se para la línea de producción y se toman los
correctivos necesarios para mejorar el proceso.
1) Calcular la probabilidad de que se necesiten probar 125 bombillos
para encontrar el primer bombillo defectuoso.
En la distribución geométrica, la variable X representa el número de fracasos
antes de encontrar el único éxito, por lo tanto, en este caso el interés es calcular
P (X = 124). La instrucción para obtener esta probabiliad es la siguiente.
dgeom(x=124, prob=0.01)
## [1] 0.002876
2) Calcular P (X ≤ 8).

13.1 Funciones disponibles para distribuciones discretas

107

En este caso interesa P (X ≤ 50) lo que equivale a F (8), la instrucción para
obtener la probabilidad es la siguiente.
pgeom(q=50, prob=0.01)
## [1] 0.401
3) Encontrar el cuantil q tal que P (X ≤ q) = 0.40.
En este caso interesa encontrar el cuantil q que cumpla la condición de que
hasta q esté el 40 % de las observaciones, por esa razón se usa la función qgeom
como se muestra a continuación.
qgeom(p=0.4, prob=0.01)
## [1] 50
Note que las funciones pxxx y qxxx están relacionadas, pxxx entrega la
probabilidad hasta el cuantil q mientras qxxx entrega el cuantil en el que se
acumula p probabilidad.

Ejemplo binomial negativa
Una familia desea tener hijos hasta conseguir 2 niñas, la probabilidad individual de obtener una niña es 0.5 y se supone que todos los nacimientos son
individuales, es decir, un sólo bebé.
1) Calcular la probabilidad de que se necesiten 4 hijos, es decir, 4
nacimientos para consguir las dos niñas.
En este problema se tiene una distribución binomial negativa con r = 2 niñas,
los éxitos deseados por la familia. La variable X representa los fracasos, es
decir los niños, hasta que se obtienen los éxitos r = 2 deseados.
En este caso lo que interesa es P (familia tenga 4), en otras palabras interesa
P (X = 2), la instrucción para calcular la probabilidad es la siguiente.
dnbinom(x=2, size=2, prob=0.5)
## [1] 0.1875
2) Calcular P (familia tenga al menos 4 hijos).

108

13 Distribuciones discretas

Aquí interesa calcular P (X ≥ 2) = P (X = 2) + P (X = 3) + . . ., como esta
probabilidad va hasta infinito, se debe usar el complemento así:
P (X ≥ 2) = 1 − [P (X = 0) + P (X = 1)]
y para obtener la probabilidad solicitada se puede usar la función dnbinom de
la siguiente manera.
1 - sum(dnbinom(x=0:1, size=2, prob=0.5))
## [1] 0.5
Otra forma para obtener la probabilidad solicitada es por medio de la función
pnbinom de la siguiente manera.
1 - pnbinom(q=1, size=2, prob=0.5)
## [1] 0.5

Ejemplo hipergeométrica
Un lote de partes para ensamblar en una empresa está formado por 100 elementos del proveedor A y 200 elementos del proveedor B. Se selecciona una
muestra de 4 partes al azar sin reemplazo de las 300 para una revisión de
calidad.
1) Calcular la probabilidad de que todas las 4 partes de la muestra
sean del proveedor A.
Aquí se tiene una situación que se puede modelar por medio de una distribución hipergeométrica con m = 100 éxitos en la población, n = 200 fracasos en
la población y k = 4 el tamaño de la muestra. El objetivo es calcular P (X = 4),
para obtener esta probabilidad se usa la siguiente instrucción.
dhyper(x=4, m=100, k=4, n=200)
## [1] 0.01185
2) Calcular la probabilidad de que dos o más de las partes sean del
proveedor A.
Aquí interesa P (X ≥ 2), la instrucción para obtener esta probabilidad es.

13.2 Distribuciones discretas generales

109

sum(dhyper(x=2:4, m=100, k=4, n=200))
## [1] 0.4074

Ejemplo Poisson
En una editorial se asume que todo libro de 250 páginas tiene en promedio 50
errores.
1) Encuentre la probabilidad de que en una página cualquiera no se
encuentren errores.
Este es un problema de distribución Poisson con tasa promedio de éxitos dada
por:
λ=

50

0.2 errores
errores
=
libro
pagina

El objetivo es calcular P (X = 0), para obtener esta probabilidad de usa la
siguiente instrucción.
dpois(x=0, lambda=0.2)
## [1] 0.8187
Así P (X = 0) = 0.8187.

13.2. Distribuciones discretas generales
En la práctica nos podemos encontramos con variables aleatorias discretas que
no se ajustan a una de las distribuciones mostradas anteriormente, en esos
casos, es posible manejar ese tipo de variables por medio de unas funciones
básicas de R como se muestra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo
El cangrejo de herradura hembra se caracteriza porque su caparazón se adhieren los machos de la misma especie, en la Figura 13.2 se muestra una fotografía
de este cangrejo. Los investigadores están interesado en determinar cual es el

110

13 Distribuciones discretas

patrón de variación del número de machos sobre cada hembra, para esto, se
recolectó una muestra de hembras a las cuales se les observó el color, la condición de la espina, el peso en kilogramos, el ancho del caparazón en centímetros
y el número de satélites o machos sobre el caparazón, la base de datos está
disponible en el siguiente enlace1 .

Figura 13.2: Fotografía del cangrejo de herradura, tomada de
http://sccoastalresources.com/home/2016/6/21/a-night-of-horseshoe-crabtagging
1) Encontrar la distribución de probabilidad para la variable Sa que
corresponde al número de machos sobre el caparazón de cada hembra.
Primero se debe leer la base de datos usando la url suministrada y luego se
construye la tabla de frecuencia relativa y se almacena en el objeto t1.
url <- 'https://raw.githubusercontent.com/fhernanb/datos/master/crab'
crab <- read.table(file=url, header=T)
t1 <- prop.table(table(crab$Sa))
t1
1 https://raw.githubusercontent.com/fhernanb/datos/master/crab

13.2 Distribuciones discretas generales

111

##
##
0
1
2
3
4
5
## 0.35838 0.09249 0.05202 0.10983 0.10983 0.08671
##
6
7
8
9
10
11
## 0.07514 0.02312 0.03468 0.01734 0.01734 0.00578
##
12
14
15
## 0.00578 0.00578 0.00578
La anterior tabla de frecuencias relativas se puede representar gráficamente
usando el siguiente código.
plot(t1, las=1, lwd=5, xlab='Número de satélites',
ylab='Proporción')

0.35
0.30

Proporción

0.25
0.20
0.15
0.10
0.05
0.00
0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

14

15

Número de satélites

Figura 13.3: Función de masa de probabilidad para el número de satélites
por hembra.
2) Sea X la variable número de satélites por hembra, construir la función F (x).
Para construir F (x) se utiliza la función ecdf o empirical cumulative density
function, a esta función le debe ingresar el vector con la información de la
variable cuantitativa, a continuación del código usado. En la Figura 13.4 se

112

13 Distribuciones discretas

muestra la función de distribución acumulada para para el número de satélites
por hembra.
F <- ecdf(crab$Sa)
plot(F, las=1, main='')

1.0

0.8

Fn(x)

0.6

0.4

0.2

0.0
0

5

10

15

x

Figura 13.4: Función de distribución acumulada para el número de satélites
por hembra.
3) Calcular P (X ≤ 9).
Para obtener esta probabilidad se usa el objeto F que es en realidad una
función, a continuación la instrucción usada.
F(9)
## [1] 0.9595
Así P (X ≤ 9) = 0.9595.
4) Calcular P (X > 4).
Para obtener esta probabilidad se usa el hecho de que P (X > 4) = 1 − P (X ≤
4), así la instrucción a usar es.

13.2 Distribuciones discretas generales

113

1 - F(4)
## [1] 0.2775
Por lo tanto P (X > 4) = 0.2775.
5) Suponga que el grupo 1 está formado por las hembras cuyo ancho
de caparazón es menor o igual al ancho mediano, el grupo 2 está
formado por las demás hembras. ¿Será F (x) diferente para los dos
grupos?
Para realizar esto vamos a particionar el vector Sa en los dos grupos de acuerdo
a la nueva variable grupo creada como se muestra a continuacion.
grupo <- ifelse(crab$Wt <= median(crab$Wt), 'Grupo 1', 'Grupo 2')
x <- split(x=crab$Sa, f=grupo)
El objeto x es una lista y para acceder a los vectores allí almacenados usamos
dos corchetes [[]], uno dentro del otro. Luego para calcular F (x) para los
dos grupos se procede así:
F1 <- ecdf(x[[1]])
F2 <- ecdf(x[[2]])
Para obtener las dos F (x) en la misma figura se usa el código siguiente.
plot(F1, col='blue', main='', las=1)
plot(F2, col='red', add=T)
legend('bottomright', legend=c('Grupo 1', 'Grupo 2'),
col=c('blue', 'red'), lwd=1)
En la Figura 13.5 se muestran las dos F (x), en color azul para el grupo 1 y en
color rojo para el grupo 2. Se observa claramente que las curvas son diferentes
antes de x = 9. El hecho de que la curva azul esté por encima de la roja
para valores menores de 9, es decir, F1 (x) ≥ F2 (x), indica que las hembras del
grupo 1 tienden a tener menos satélites que las del grupo 2, esto es coherente
ya que las del grupo 2 son más grandes en su caparazón.

114

13 Distribuciones discretas

1.0

0.8

Fn(x)

0.6

0.4

0.2
Grupo 1
Grupo 2

0.0
0

5

10

15

x

Figura 13.5: Función de distribución acumulada para el número de satélites
por hembra diferenciando por grupo.

14
Distribuciones continuas

En este capítulo se mostrarán las funciones de R para distribuciones continuas.

14.1. Funciones disponibles para distribuciones continuas
Para cada distribución continua se tienen 4 funciones, a continuación el listado
de las funciones y su utilidad.
dxxx(x,
pxxx(q,
qxxx(p,
rxxx(n,

...)
...)
...)
...)

#
#
#
#

Función de densidad de probabilidad, f(x)
Función de distribución acumulada hasta q, F(x)
Cuantil para el cual P(X <= q) = p
Generador de números aleatorios.

En el lugar de las letras xxx se de debe colocar el nombre de la distribución en
R, a continuación el listado de nombres disponibles para las 11 distribuciones
continuas básicas.
beta
cauchy
chisq
exp
f
gamma
lnorm
norm
t
unif
weibull

#
#
#
#
#
#
#
#
#
#
#

Beta
Cauchy
Chi-cuadrada
Exponencial
F
Gama
log-normal
normal
t-student
Uniforme
Weibull

Combinando las funciones y los nombres se tiene un total de 44 funciones,
por ejemplo, para obtener la función de densidad de probabilidad f (x) de una
115

116

14 Distribuciones continuas

normal se usa la función dnorm( ) y para obtener la función acumulada F (x)
de una Beta se usa la función pbeta( ).

Ejemplo beta
Considere que una variable aleatoria X se distribuye beta con parámetros
a = 2 y b = 5.
1) Dibuje la densidad de la distribución.
La función dbeta sirve para obtener la altura de la curva de una distribución beta y combinándola con la función curve se puede dibujar la densidad
solicitada. En la Figura 14.1 se presenta la densidad, observe que para la
combinación de parámetros a = 2 y b = 5 la distribución es sesgada a la
derecha.
curve(dbeta(x, shape1=2, shape2=5), lwd=3, las=1,
ylab='Densidad')

2.5

Densidad

2.0
1.5
1.0
0.5
0.0
0.0

0.2

0.4

0.6
x

Figura 14.1: Función de densidad para una Beta(2, 5).
2) Calcular P (0.3 ≤ X ≤ 0.7).

0.8

1.0

14.1 Funciones disponibles para distribuciones continuas

117

Para obtener la probabilidad o área bajo la densidad se puede usar la función
integrate, los límites de la integral se ingresan por medio de los parámetros
lower y upper. Si la función a integrar tiene parámetros adicionales como en
este caso, éstos parámetros se ingresan luego de los límites de la integral. A
continuación el código necesario para obtener la probabiliad solicitada.
integrate(f=dbeta, lower=0.3, upper=0.7,
shape1=2, shape2=5)
## 0.4092 with absolute error < 4.5e-15
Otra forma de obtener la probabilidad solicitada es restando de F (xmax ) la
probabilidad F (xmin ). Las probabilidades acumuladas hasta un valor dado se
obtienen con la función pbeta, a continuación el código necesario.
pbeta(q=0.7, shape1=2, shape2=5) - pbeta(q=0.3, shape1=2, shape2=5)
## [1] 0.4092
De ambas formas se obtiene que P (0.3 ≤ X ≤ 0.7) = 0.4092.
Recuerde que para distribuciones continuas
P (a < X < b) = P (a ≤ X < b) = P (a < X ≤ b) = P (a ≤ X ≤ b)

Ejemplo normal estándar
Suponga que la variable aleatoria Z se distribuye normal estándar, es decir,
Z ∼ N (0, 1).
1) Calcular P (Z < 1.45).
Para calcular la probabilidad acumulada hasta un punto dado se usa la función
pnorm y se evalúa en el cuantil indicado, a continuación el código usado.
pnorm(q=1.45)
## [1] 0.9265
En la Figura 14.2 se muestra el área sombreada correspondiente a P (Z <
1.45).
2) Calcular P (Z > −0.37).

118

14 Distribuciones continuas

Para calcular la probabilidad solicitada se usa nuevamente la función pnorm
evaluada en el cuantil dado. Como el evento de interés es Z > −0.37, la
probabilidad solicitada se obtiene como 1 - pnorm(q=-0.37), esto debido a
que por defecto las probabilidades entregadas por la función pxxx son siempre
a izquierda. A continuación el código usado.
1 - pnorm(q=-0.37)
## [1] 0.6443
En la Figura 14.2 se muestra el área sombreada correspondiente a P (Z >
−0.37).
Otra forma para obtener la probabilidad solicitada sin hacer la resta es usar el
parámetro lower.tail para indicar que interesa la probabilidad a la derecha
del cuantil dado, a continuación un código alternativo para obtener la misma
probabilidad.
pnorm(q=-0.37, lower.tail=FALSE)
## [1] 0.6443
3) Calcular P (−1.56 < Z < 2.58).
Para calcular la probabilidad solicitada se obtiene la probabilidad acumulada
hasta 2.58 y de ella se resta lo acumulado hasta -1.56, a continuación el código
usado.
pnorm(q=2.58) - pnorm(-1.56)
## [1] 0.9357
En la Figura 14.2 se muestra el área sombreada correspondiente a P (−1.56 <
Z < 2.58).
4) Calcular el cuantil q para el cual se cumple que P (Z < q) = 0.95.
Para calcular el cuantil en el cual se cumple que P (Z < q) = 0.95 se usa la
función qnorm, a continuación el código usado.
qnorm(p=0.95)
## [1] 1.645

14.1 Funciones disponibles para distribuciones continuas

119

En la Figura 14.2 se muestra el área sombreada correspondiente a P (Z < q) =
0.95.

0.4

0.4

0.3

0.3

0.2

0.2

0.1

0.1

0.0

0.0
-4

-2

0

2

4

-4

0

2

Z

P(-1.56 < Z < 2.58)

P(Z -0.37)

Densidad

Densidad

P(Z < 1.45)

-4

Z

-2

0

2

4

Z

Figura 14.2: Área sombreada para los ejemplos.

El parámetro lower.tail es muy útil para indicar si estamos trabajando
una cola a izquierda o una cola a derecha.

120

14 Distribuciones continuas

Ejemplo normal general
Considere un proceso de elaboración de tornillos en una empresa y suponga
que el diámetro de los tornillos sigue una distribución normal con media de
10 mm y varianza de 4 mm2 .
1) Un tornillo se considera que cumple las especificaciones si su diámetro está entre 9 y 11 mm. ¿Qué porcentaje de los tornillos cumplen
las especificaciones?
Como se solicita probabilidad se debe usar pnorm indicando que la media es
µ = 10 y la desviación de la distribución es σ = 2. A continuación el código
usado.
pnorm(q=11, mean=10, sd=2) - pnorm(q=9, mean=10, sd=2)
## [1] 0.3829
2) Un tornillo con un diámetro mayor a 11 mm se puede reprocesar y
recuperar. ¿Cuál es el porcentaje de reprocesos en la empresa?
Como se solicita una probabilidad a derecha se usa lower.tail=FALSE dentro
de la función pnorm. A continuación el código usado.
pnorm(q=11, mean=10, sd=2, lower.tail=FALSE)
## [1] 0.3085
3) El 5 % de los tornillos más delgados no se pueden reprocesar y por
lo tanto son desperdicio. ¿Qué diámetro debe tener un tornillo para
ser clasificado como desperdicio?
Aquí interesa encontrar el cuantil tal que P (Diametro < q) = 0.05, por lo
tanto se usa la función qnorm. A continuación el código usado.
qnorm(p=0.05, mean=10, sd=2)
## [1] 6.71
4) El 10 % de los tornillos más gruesos son considerados como sobredimensionados. ¿cuál es el diámetro mínimo de un tornillo para que
sea considerado como sobredimensionado?

14.2 Funciones disponibles para distribuciones continuas

121

Aquí interesa encontrar el cuantil tal que P (Diametro > q) = 0.10, por lo
tanto se usa la función qnorm pero incluyendo lower.tail=FALSE por ser una
cola a derecha. A continuación el código usado.
qnorm(p=0.10, mean=10, sd=2, lower.tail=FALSE)
## [1] 12.56
En la Figura 14.3 se muestran las áreas sombreadas para cada de las anteriores
preguntas.

0.20

0.20

0.15

0.15

0.10

0.10

0.05

0.05

0.00

0.00
4

6

8

10

12

14

16

4

8

10

12

14

16

Diámetro

P(Diámetro < q) = 5%

P(Diámetro > q) = 10%

0.20

0.20

0.15

0.15

0.10

0.10

0.05

0.05

0.00

0.00
4

6

Diámetro

Densidad

Densidad

P(Diámetro > 11)

Densidad

Densidad

P(9 < Diámetro < 11)

6

8

10

12

Diámetro

14

16

4

6

8

10

12

Diámetro

Figura 14.3: Área sombreada para el ejemplo de los tornillos.

14

16

122

14 Distribuciones continuas

14.2. Distribuciones continuas generales
En la práctica nos podemos encontramos con variables aleatorias continuas
que no se ajustan a una de las distribuciones mostradas anteriormente, en esos
casos, es posible manejar ese tipo de variables por medio de unas funciones
básicas de R como se muestra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo
En este ejemplo se retomará la base de datos crab sobre el cangrejo de herradura hembra presentado en el capítulo anterior. La base de datos crab
contiene las siguientes variables: el color del caparazón, la condición de la espina, el peso en kilogramos, el ancho del caparazón en centímetros y el número
de satélites o machos sobre el caparazón, la base de datos está disponible en
el siguiente enlace1 .
1) Sea X la variable peso del cangrejo, dibuje la densidad para X.
Para obtener la densidad muestral de un vector cuantitativo se usa la función
density, y para dibujar la densidad se usa la función plot aplicada a un
objeto obtenido con density, a continuación el código necesario para dibujar
la densidad.
url <- 'https://raw.githubusercontent.com/fhernanb/datos/master/crab'
crab <- read.table(file=url, header=T)
plot(density(crab$W), main='', lwd=5, las=1,
xlab='Peso (Kg)', ylab='Densidad')
En la Figura 14.4 se muestra la densidad para la variable peso de los cangrejos,
esta densidad es bastante simétrica y el intervalo de mayor densidad está entre
22 y 30 kilogramos.
2) Dibujar F (x) para el peso del cangrejo.
Para dibujar la función F (x) se usa la función ecdf y se almacena el resultado
en el objeto F, luego se dibuja la función deseada usando plot. A continuación
el código utilizado. En la Figura 14.5 se presenta el dibujo para F (x).
1 https://raw.githubusercontent.com/fhernanb/datos/master/crab

14.2 Distribuciones continuas generales

123

Densidad

0.15
0.10
0.05
0.00
20

25

30

35

Peso (Kg)

Figura 14.4: Función de densidad f (x) para el peso de los cangrejos.

F <- ecdf(crab$W)
plot(F, main='', xlab='Peso (Kg)', ylab='F(x)', cex=0.5, las=1)
3) Calcular la probabilidad de que un cangrejo hembra tenga un peso
inferior o igual a 28 kilogramos.
Para obtener P (X ≤ 28) se evalua en la función F (x) el cuantil 28 así.
F(28)
## [1] 0.7919
Por lo tanto P (X ≤ 28) = 0.7919.
4) Dibujar la función de densidad para el peso de los cangrejos hembra
diferenciando por el color del caparazón.
Como son 4 los colores de los caparazones se deben construir 4 funciones de
densidad. Usando la función split se puede partir el vector de peso de los

124

14 Distribuciones continuas

1.0

F(x)

0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
20

25

30

35

Peso (Kg)

Figura 14.5: Función acumulada F (x) para el peso de los cangrejos.
cangrejos según su color. Luego se construyen las cuatro densidades usando la
función density aplicada a cada uno de los pesos, a continuación el código.
pesos
f1  µmujeres .

17.1.3.

Intervalo de confianza bilateral para la diferencia de
medias (µ1 − µ2 ) de muestras dependientes o pareadas

Para construir intervalos de confianza bilaterales para la diferencia de medias
de muestras dependientes a partir de la función t.test es necesario definir 4
argumentos:
x: vector numérico con la información de la muestra 1,
y: vector numérico con la información de la muestra 2, paired=TRUE indica
que el intervalo de confianza se hará para muestras dependientes o pareadas.
conf.level: nivel de confianza.

Ejemplo
Los desórdenes musculoesqueléticos del cuello y hombro son comunes entre
empleados de oficina que realizan tareas repetitivas mediante pantallas de
visualización. Se reportaron los datos de un estudio para determinar si condiciones de trabajo más variadas habrían tenido algún impacto en el movimiento
del brazo. Los datos que siguen se obtuvieron de una muestra de n = 16 sujetos.
Cada observación es la cantidad de tiempo, expresada como una proporción
de tiempo total observado, durante el cual la elevación del brazo fue de menos
de 30 grados. Las dos mediciones de cada sujeto se obtuvieron con una separación de 18 meses. Durante este período, las condiciones de trabajo cambiaron
y se permitió que los sujetos realizaran una variedad más amplia de tareas.
¿Sugieren los datos que el tiempo promedio verdadero durante el cual la elevación es de menos de 30 grados luego del cambio difiere de lo que era antes?
Calcular un intervalo de confianza del 95 % para responder la pregunta.
Sujeto

1

Antes
81
Después
78
Diferencia 3

2

3

4

5

6

7

87
91
-4

86
78
8

82
78
4

90
84
6

86 96
67 92
19 4

8
73
70
3

17.1 Función t.test
Sujeto

167
9

10

11

Antes
74 75 72
Después
58 62 70
Diferencia 16 13 2

12

13

80 66
58 66
22 0

14

15

16

72 56
60 65
12 -9

82
73
9

Para construir el intervalo de confianza primero se crean dos vectores con los
datos y se nombran Antes y Despues, luego se calcula la diferencia y se aloja
en el vector Diferencia, como sigue a continuación:
<- c(81, 87, 86, 82, 90,
74, 75, 72, 80, 66,
Despues <- c(78, 91, 78, 78, 84,
58, 62, 70, 58, 66,
Diferencia <- Antes - Despues
Antes

86,
72,
67,
60,

96,
56,
92,
65,

73,
82)
70,
73)

En seguida se analiza la normalidad de la variable Diferencia de los cambios
en las condiciones de trabajo, a partir de un qqplot y una densidad.
par(mfrow=c(1,2))
require(car)
qqPlot(Diferencia, pch=19, main='QQplot para Diferencias', las=1,
xlab='Cuantiles teóricos', ylab='Cuantiles muestrales')
## [1] 15 12
plot(density(Diferencia), main='Densidad para Diferencias', las=1,
xlab='Diferencia de tiempo', ylab='Densidad')
De la Figura 17.3 se observa que la diferencia de los tiempos sigue una distribución normal, debido a que en el QQplot se observa un patron lineal y la
densidad muestra una forma cercana a la simétrica.
Luego de chequear la normalidad de la variable Diferencia se usa la función t.test para construir el intervalo. A continuación se muestra el código
utilizado.
t.test(x=Antes, y=Despues, paired=TRUE, conf.level=0.95)$conf.int
## [1] 2.362 11.138
## attr(,"conf.level")
## [1] 0.95

168

17 Intervalos de confianza
Densidad para Diferencias

12

20

0.05
0.04

15
Densidad

Cuantiles muestrales

QQplot para Diferencias

10
5
0

0.03
0.02
0.01

-5
15

-10
-2

0.00
-1

0

1

2

-20

-10

Cuantiles teóricos

0

10

20

30

Diferencia de tiempo

Figura 17.3: QQplot y densidad para Diferencias.
A partir del resultado obtenido se puede concluir con un nivel de confianza
del 95 %, que el tiempo promedio verdadero durante el cual la elevación es de
menos de 30 grados luego del cambio difiere de lo que era antes del mismo.
Como el intervalo de confianza es 2.362 < µD < 11.138, esto indica que
µantes − µdespues > 0 y por lo tanto µantes > µdespues .

17.1.4.

Intervalo de confianza unilateral para la media µ

Para construir intervalos de confianza unilaterales se usa el argumento
alternative = 'less' o alternative='greater', a continuación un ejemplo.

Ejemplo
Simule una muestra aleatoria de una N (18, 3) y calcule un intervalo de confianza unilateral superior del 90 % para la media
x <- rnorm(50, mean = 18, sd =3)
t.test(x, alternative = "greater", conf.level = 0.90)$conf.int
## [1] 17 Inf
## attr(,"conf.level")
## [1] 0.9
En el resultado anterior se muestra el intervalo de confianza unilateral.

17.3 Función Var.test

169

17.2. Función Var.test
Para construir intervalos de confianza para la varianza se usa la función
Var.test del paquete usefultools (Hernandez, 2018) disponible en el repositorio GitHub1 .
Para instalar el paquete usefultools desde GitHub se debe copiar el siguiente
código en la consola de R:
if (!require('devtools')) install.packages('devtools')
devtools::install_github('fhernanb/usefultools', force=TRUE)
Una vez instalado usefultools se puede usar la función Var.test.

17.2.1.

Intervalo de confianza bilateral para la varianza σ 2

Para calcular intervalos de confianza bilaterales para la varianza σ 2 a partir
de la función Var.test es necesario definir 2 argumentos:
x: vector numérico con la información de la muestra,
conf.level: nivel de confianza.

Ejemplo
Considerando la información del ejemplo de Intervalos de confianza bilaterales
para la media, construir un intervalo de confianza del 98 % para la varianza
de la altura de los estudiantes hombres.
require(usefultools) # Para cargar el paquete
res <- Var.test(x=hombres$altura, conf.level=0.98)
res$conf.int
## [1] 21.08 109.93
## attr(,"conf.level")
## [1] 0.98
El intervalo de confianza del 98 % indica que la varianza de la estatura de los
estudiantes hombres se encuentra entre 21.08 y 109.93 cm2 .
1 https://github.com/

170

17 Intervalos de confianza

17.3. Función var.test
La función var.test se usa para calcular intervalos de confianza para la razón
de varianzas. La función y sus argumentos son los siguientes:
var.test(x, y, ratio=1, conf.level=0.95,
alternative=c("two.sided", "less", "greater"))

17.3.1.

Intervalo de confianza bilateral para la razón de varianzas σ12 /σ22

Para calcular intervalos de confianza bilaterales para la razón de varianzas a
partir de la función var.test es necesario definir 3 argumentos:
x: vector numérico con la información de la muestra 1,
y: vector numérico con la información de la muestra 2,
conf.level: nivel de confianza.

Ejemplo
Usando la información del ejemplo de diferencia de medias para muestras
independientes se quiere obtener un intervalo de confianza del 95 % para la
razón de las varianzas de las alturas de los estudiantes hombres y mujeres.
var.test(x=hombres$altura, y=mujeres$altura,
conf.level=0.95)$conf.int
## [1] 0.2327 1.6633
## attr(,"conf.level")
## [1] 0.95
El intervalo de confianza del 95 % indica que la razón de varianzas se encuentra
entre 0.2327 y 1.6633. Puesto que el intervalo de confianza incluye el 1 se
concluye que las varianzas de las alturas de los hombres y las mujeres son
iguales.
¿Notó que las funciones Var.test y var.test son diferentes?
Var.test sirve para construir IC para σ 2 .

17.4 Función prop.test

171

var.test sirve para construir IC para σ12 /σ22 .

17.4. Función prop.test
La función prop.test se usa para calcular intervalos de confianza para la
porporción y diferencia de proporciones. La función y sus argumentos son los
siguientes:
prop.test(x, n, p=NULL,
alternative=c("two.sided", "less", "greater"),
conf.level=0.95, correct=TRUE)

17.4.1.

Intervalo de confianza bilateral para la proporción p

Para calcular intervalos de confianza bilaterales para la proporción a partir de
la función prop.test es necesario definir 3 argumentos: x considera el conteo
de éxitos, n indica el número de eventos o de forma equivalente corresponde
a la longitud de la variable que se quiere analizar, y conf.level corresponde
al nivel de confianza.

Ejemplo
El gerente de una estación de televisión debe determinar en la ciudad qué
porcentaje de casas tienen más de un televisor. Una muestra aleatoria de 500
casas revela que 275 tienen dos o más televisores. ¿Cuál es el intervalo de
confianza del 90 % para estimar la proporción de todas las casas que tienen
dos o más televisores?
prop.test(x=275, n=500, conf.level=0.90)$conf.int
## [1] 0.5122 0.5872
## attr(,"conf.level")
## [1] 0.9
A partir del resultado obtenido se puede concluir, con un nivel de confianza

172

17 Intervalos de confianza

del 90 %, que la proporción p de casas que tienen dos o más televisores se
encuentra entre 0.5122 y 0.5872.

17.4.2.

Intervalo de confianza bilateral para la diferencia de
proporciones p1 − p2

Para construir intervalos de confianza bilaterales para la proporción a partir
de la función prop.test es necesario definir 3 argumentos:
x: vector con el conteo de éxitos de las dos muestras,
n: vector con el número de ensayos,
conf.level: nivel de confianza.

Ejemplo
Se quiere determinar si un cambio en el método de fabricación de una piezas
ha sido efectivo o no. Para esta comparación se tomaron 2 muestras, una
antes y otra después del cambio en el proceso y los resultados obtenidos son
los siguientes.
Num piezas

Antes

Defectuosas 75
Analizadas 1500

Después
80
2000

Construir un intervalo de confianza del 90 % para decidir si el cambio tuvo
efecto positivo o no.
prop.test(x=c(75, 80), n=c(1500, 2000), conf.level=0.90)$conf.int
## [1] -0.002315 0.022315
## attr(,"conf.level")
## [1] 0.9
A partir del resultado obtenido se puede concluir, con un nivel de confianza
del 90 %, que la diferencia de proporción de defectos (p1 − p2 ) se encuentra
entre -0.002315 y 0.022315. Como el cero está dentro del intervalo se concluye
que el cambio en el método de fabricación no ha disminuído el porcentaje de
defectos.

18
Prueba de hipótesis

En este capítulo se muestran las funciones que hay disponibles en R para
realizar prueba de hipótesis para:
1.
2.
3.
4.

la media µ,
la proporción p,
la varianza σ 2 ,
la diferencia de medias µ1 − µ2 para muestras independientes y
dependientes (o pareadas),
5. la diferencia de proporciones p1 − p2 , y
6. la razón de varianzas σ12 /σ22 .

18.1. Prueba de hipótesis para µ de una población normal
Para realizar este tipo de prueba se puede usar la función t.test que tiene
la siguiente estructura.
t.test(x, y = NULL,
alternative = c("two.sided", "less", "greater"),
mu = 0, paired = FALSE, var.equal = FALSE,
conf.level = 0.95, ...)
Los argumentos a definir dentro de t.test para hacer la prueba son:
x: vector numérico con los datos.
alternative: tipo de hipótesis alterna. Los valores disponibles son
"two.sided" cuando la hipótesis alterna es ̸=, "less" para el caso < y
"greater" para >.
mu: valor de referencia de la prueba.
conf.level: nivel de confianza para reportar el intervalo de confianza asociado (opcional).
173

174

18 Prueba de hipótesis

Ejemplo
Para verificar si el proceso de llenado de bolsas de café con 500 gramos está
operando correctamente se toman aleatoriamente muestras de tamaño diez
cada cuatro horas. Una muestra de bolsas está compuesta por las siguientes
observaciones: 502, 501, 497, 491, 496, 501, 502, 500, 489, 490.
¿Está el proceso llenando bolsas conforme lo dice la envoltura? Use un nivel
de significancia del 5 %.
Solución
Lo primero es explorar si la muestra proviene de una distribución normal, para
eso ingresamos los datos y aplicamos la prueba Anderson-Darling por medio
de la función ad.test disponible en el paquete nortest (Gross and Ligges,
2015) como se muestra a continuación.
contenido <- c(510, 492, 494, 498, 492,
496, 502, 491, 507, 496)
require(nortest) # Se debe haber instalado antes nortest
ad.test(contenido)
##
## Anderson-Darling normality test
##
## data: contenido
## A = 0.49, p-value = 0.2
Como el valor-P de la prueba Anderson-Darling es 20 % y mayor que el nivel
de significancia del 5 %, se puede asumir que la muestra proviene de una
población normal.
Luego de haber explorado la normalidad retornamos al problema de interés
que se puede resumir así:
H0 : µ = 500
H1 : µ ̸= 500

gr
gr

La prueba de hipótesis se puede realizar usando la función t.test por medio
del siguiente código.
t.test(contenido, alternative='two.sided',
conf.level=0.95, mu=500)
##
##

One Sample t-test

18.2 Prueba de hipótesis para µ con muestras grandes
##
##
##
##
##
##
##
##
##

175

data: contenido
t = -1.1, df = 9, p-value = 0.3
alternative hypothesis: true mean is not equal to 500
95 percent confidence interval:
493.1 502.5
sample estimates:
mean of x
497.8

Como el valor-P es 30 % y mayor que el nivel de significancia 5 %, no se rechaza
la hipótesis nula, es decir, las evidencias no son suficientes para afirmar que
el proceso de llenando no está cumpliendo con lo impreso en la envoltura.

18.2. Prueba de hipótesis para µ con muestras grandes
Ejemplo
Se afirma que los automóviles recorren en promedio más de 20000 kilómetros
por año pero usted cree que el promedio es en realidad menor. Para probar
tal afirmación se pide a una muestra de 100 propietarios de automóviles seleccionada de manera aleatoria que lleven un registro de los kilómetros que
recorren.
¿Estaría usted de acuerdo con la afirmación si la muestra aleatoria indicara un
promedio de 19500 kilómetros y una desviación estándar de 3900 kilómetros?
Utilice un valor P en su conclusión y use una significancia del 3 %.
Solución
En este problema interesa:
H0 : µ ≥ 20000 km
H1 : µ < 20000 km
Para este tipo de pruebas no hay una función de R que haga los cálculos, por
esta razón uno mismo debe escribir una líneas de código para obtener los resultados deseados, a continuación las instrucciones para calcular el estadístico
y su valor-P.
xbarra <- 19500
desvia <- 3900
n <- 100

# Datos del problema
# Datos del problema
# Datos del problema

176

18 Prueba de hipótesis

mu <- 20000

# Media de referencia

est <- (xbarra - mu) / (desvia / sqrt(n))
est # Para obtener el valor del estadístico
## [1] -1.282
pnorm(est)

# Para obtener el valor-P

## [1] 0.09991
Como el valor-P es mayor que el nivel de significancia 3 %, no hay evidencias
suficientes para pensar que ha disminuido el recorrido anual promedio de los
autos.

18.3. Prueba de hipótesis para la proporción p
Existen varias pruebas para estudiar la propoción p de una distribución binomial, a continuación el listado de las más comunes.
1. Prueba de Wald1 ,
2. Prueba X2 de Pearson2 ,
3. Prueba binomial exacta3 .

18.3.1.

Prueba de Wald

Esta prueba se recomienda usar cuando se tiene un tamaño de muestra n
suficientemente grande para poder usar la distribución normal para aproximar
la distribución binomial.
En esta prueba el estadístico está dado por
p̂ − p0
z=√

,

p0 (1−p0 )
n

donde p̂ es la proporción muestral calculada como el cociente entre el número
1 https://en.wikipedia.org/wiki/Wald_test
2 https://en.wikipedia.org/wiki/Pearson%27s_chi-squared_test#Fairness_of_dice
3 https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_test

18.3 Prueba de hipótesis para la proporción p

177

de éxitos x observados en los n ensayos y p0 es el valor de referencia de las
hipótesis. El estadístico z tiene distribución N (0, 1) cuando n → ∞.
Para realizar esta prueba en R no hay una función y debemos escribir la líneas
de código para obtener el estadístico y el valor-P de la prueba. A continuación
se muestra un ejemplo de cómo proceder para aplicar la prueba de Wald.

Ejemplo
Un fabricante de un quitamanchas afirma que su producto quita 90 % de todas
las manchas. Para poner a prueba esta afirmación se toman 200 camisetas
manchadas de las cuales a solo 174 les desapareció la mancha. Pruebe la
afirmación del fabricante a un nivel α = 0.05.
Solución
En este problema interesa probar lo siguiente:
H0 : p = 0.90
H1 : p < 0.90
Del anterior conjunto de hipótesis se observa que el valor de referencia de
la prueba es p0 = 0.90. De la información inicial se tiene que de las n =
200 pruebas se observó que en x = 174 la mancha desapareció, con esta
información se puede calcular el estadístico z así:
z <- (174/200 - 0.90) / sqrt(0.90 * (1 - 0.90) / 200)
z # Para obtener el valor del estadístico
## [1] -1.414
Para obtener el valor-P de la prueba debemos tener en cuenta el sentido en la
hipótesis alternativa H1 : p < 0.90, por esa razón el valor-P será P (Z < z) y
para obtenerlo usamos el siguiente código
pnorm(q=z, lower.tail=TRUE)

# Para obtener el valor-P

## [1] 0.07865
El valor-P obtenido se puede representar gráficamente en la Figura 18.1.
Como el valor-P obtenido fue mayor que el nivel de significancia α = 0.05 se
concluye que no hay evidencias suficientes para rechazar la hipótesis nula.

178

18 Prueba de hipótesis

0.0786

-1.414

-4

-2

0

2

4

Z

Figura 18.1: Representación del Valor-P para la prueba Wald.

18.3.2.

Prueba X2 de Pearson

Para realizar la prueba X2 de Pearson se usa la función prop.test que tiene
la siguiente estructura.
prop.test(x, n, p = NULL,
alternative = c("two.sided", "less", "greater"),
conf.level = 0.95, correct = TRUE)
Los argumentos a definir dentro de prop.test para hacer la prueba son:
x: número de éxitos en la muestra.
n: número de observaciones en la muestra.
alternative: tipo de hipótesis alterna. Los valores disponibles son
"two.sided" cuando la alterna es ̸=, "less" para el caso < y "greater"
para >.
p: valor de referencia de la prueba.
correct: valor lógico para indicar si se usa la corrección de Yates.
conf.level: nivel de confianza para reportar el intervalo de confianza asociado (opcional).

18.3 Prueba de hipótesis para la proporción p

179

Ejemplo
Un fabricante de un quitamanchas afirma que su producto quita 90 % de todas
las manchas. Para poner a prueba esta afirmación se toman 200 camisetas
manchadas de las cuales a solo 174 les desapareció la mancha. Pruebe la
afirmación del fabricante a un nivel α = 0.05.
Solución
En este problema interesa probar lo siguiente:
H0 : p = 0.90
H1 : p < 0.90
La forma de usar la función prop.test para realizar la prueba se muestra a
continuación.
prop.test(x=174, n=200, p=0.9, alternative='less',
conf.level=0.95, correct=FALSE)
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##

1-sample proportions test without continuity
correction
data: 174 out of 200, null probability 0.9
X-squared = 2, df = 1, p-value = 0.08
alternative hypothesis: true p is less than 0.9
95 percent confidence interval:
0.0000 0.9042
sample estimates:
p
0.87

Como el valor-P (con valor de 0.07865 pero repotado en la salida como 0.08)
es mayor que α no se rechaza la hipótesis nula y se concluye que no hay
evidencias suficientes para rechazar la hipótesis nula.

18.3.3.

Prueba binomial exacta

Para realizar la prueba binomial exacta se usa la función binom.test que
tiene la siguiente estructura.
binom.test(x, n, p = 0.5,
alternative = c("two.sided", "less", "greater"),
conf.level = 0.95)

180

18 Prueba de hipótesis

Los argumentos a definir dentro de binom.test para hacer la prueba son:
x: número de éxitos en la muestra.
n: número de observaciones en la muestra.
alternative: tipo de hipótesis alterna. Los valores disponibles son
"two.sided" cuando la alterna es ̸=, "less" para el caso < y "greater"
para >.
p: valor de referencia de la prueba.
conf.level: nivel de confianza para reportar el intervalo de confianza asociado (opcional).

Ejemplo
Un asadero de pollos asegura que 90 % de sus órdenes se entregan en menos
de 10 minutos. En una muestra de 20 órdenes, 17 se entregaron dentro de ese
lapso. ¿Puede concluirse en el nivel de significancia 0.05, que menos de 90 %
de las órdenes se entregan en menos de 10 minutos?
Solución
En este problema interesa probar lo siguiente:
H0 : p = 0.90
H1 : p < 0.90
La forma de usar la función binom.test para realizar la prueba se muestra a
continuación.
binom.test(x=17, n=20, p=0.9, alternative="less")
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##

Exact binomial test
data: 17 and 20
number of successes = 17, number of trials = 20,
p-value = 0.3
alternative hypothesis: true probability of success is less than 0.9
95 percent confidence interval:
0.0000 0.9578
sample estimates:
probability of success
0.85

Como el valor-P (reportado como 0.3 pero con valor de 0.3231) es mayor que α
no se rechaza la hipótesis nula y se concluye que no hay evidencias suficientes
para rechazar la hipótesis nula.

18.4 Prueba de hipótesis para la varianza σ 2 de una población normal

181

18.4. Prueba de hipótesis para la varianza σ 2 de una población normal
Para realizar este tipo de prueba se usa la función Var.test del paquete usefultools (Hernandez, 2018) disponible en el repositorio GitHub4 . La función
Var.test tiene la siguiente estructura.
Var.test(x, alternative = "two.sided",
null.value = 1, conf.level = 0.95)
Los argumentos a definir dentro de Var.test para hacer la prueba son:
x: vector numérico con los datos.
alternative: tipo de hipótesis alterna. Los valores disponibles son
"two.sided" cuando la alterna es ̸=, "less" para el caso < y "greater"
para >.
null.value: valor de referencia de la prueba.
conf.level: nivel de confianza para reportar el intervalo de confianza asociado (opcional).
Para instalar el paquete usefultools desde GitHub se debe copiar el siguiente
código en la consola de R:
if (!require('devtools')) install.packages('devtools')
devtools::install_github('fhernanb/usefultools', force=TRUE)

Ejemplo
Para verificar si el proceso de llenado de bolsas de café está operando con
la variabilidad permitida se toman aleatoriamente muestras de tamaño diez
cada cuatro horas. Una muestra de bolsas está compuesta por las siguientes
observaciones: 502, 501, 497, 491, 496, 501, 502, 500, 489, 490. El proceso
de llenado está bajo control si presenta un varianza de 40 o menos. ¿Está
el proceso llenando bolsas conforme lo dice la envoltura? Use un nivel de
significancia del 5 %.
Solución
En un ejemplo anterior se comprobó que la muestra proviene de una población
normal así que se puede proceder con la prueba de hipótesis sobre σ 2 .
4 https://github.com/

182

18 Prueba de hipótesis

En este ejemplo nos interesa estudiar el siguiente conjunto de hipótesis
H0 : σ 2 ≤ 40
H1 : σ 2 > 40
La prueba de hipótesis se puede realizar usando la función Var.test por medio
del siguiente código.
contenido <- c(510, 492, 494, 498, 492,
496, 502, 491, 507, 496)
require(usefultools) # Ya debe estar instalado
Var.test(x=contenido, alternative='greater',
null.value=40, conf.level=0.95)
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##

X-squared test for variance
data: varx = 42.8444444444444 and nx = 10
X-squared = 9.6, df = 9, p-value = 0.4
alternative hypothesis: true is greater than 40
95 percent confidence interval:
0 116
sample estimates:
variance of x
42.84

Como el valor-P es mayor que el nivel de significancia 5 %, no se rechaza la
hipótesis nula, es decir, las evidencias no son suficientes para afirmar que la
varianza del proceso de llenado es mayor que 40 unidades.

18.5. Prueba de hipótesis para el cociente de varianzas
σ12 /σ22
Para realizar este tipo de prueba se puede usar la función var.test que tiene
la siguiente estructura.
var.test(x, y, ratio = 1,
alternative = c("two.sided", "less", "greater"),
conf.level = 0.95, ...)

18.5 Prueba de hipótesis para el cociente de varianzas σ12 /σ22

183

Los argumentos a definir dentro de var.test para hacer la prueba son:
x: vector numérico con la información de la muestra 1,
y: vector numérico con la información de la muestra 2,
ratio: valor de referencia de la prueba.
alternative: tipo de hipótesis alterna. Los valores disponibles son
"two.sided" cuando la hipótesis alterna es ̸=, "less" para el caso < y
"greater" para >.
conf.level: nivel de confianza para reportar el intervalo de confianza asociado (opcional).

Ejemplo
Se realiza un estudio para comparar dos tratamientos que se aplicarán a frijoles
crudos con el objetivo de reducir el tiempo de cocción. El tratamiento T1 es
a base de bicarbonato de sodio, el T2 es a base de cloruro de sodio o sal
común. La variable respuesta es el tiempo de cocción en minutos. Los datos se
muestran abajo. ¿Son las varianzas de los tiempos iguales o diferentes? Usar
α = 0.05.
T1: 76, 85, 74, 78, 82, 75, 82.
T2: 57, 67, 55, 64, 61, 63, 63.
Solución
En este problema interesa probar si las varianzas poblacionales son iguales o
no, por esta razón el cociente de σT2 1 /σT2 2 se iguala al valor de 1 que será el
valor de referencia de la prueba.
H0 : σT2 1 /σT2 2 = 1
H1 : σT2 1 /σT2 2 ̸= 1
Para ingresar los datos se hace lo siguiente:
T1 <- c(76, 85, 74,78, 82, 75, 82)
T2 <- c(57, 67, 55, 64, 61, 63, 63)
Primero se debe explorar si las muestras provienen de una población normal
y para esto se construyen los QQplot que se muestran en la Figura 18.2, a
continuación el código para generar la Figura 18.2.
q1 <- qqnorm(T1, plot.it=FALSE)
q2 <- qqnorm(T2, plot.it=FALSE)
plot(range(q1$x, q2$x), range(q1$y, q2$y), type="n", las=1,

184

18 Prueba de hipótesis

xlab='Theoretical Quantiles', ylab='Sample Quantiles')
points(q1, pch=19)
points(q2, col="red", pch=19)
qqline(T1, lty='dashed')
qqline(T2, col="red", lty="dashed")
legend('topleft', legend=c('T1', 'T2'), bty='n',
col=c('black', 'red'), pch=19)

Sample Quantiles

85
80

T1
T2

75
70
65
60
55
-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

Theoretical Quantiles
Figura 18.2: QQplot para los tiempos de cocción.
De la Figura 18.2 se observa que los puntos están bastante alineados lo cual
nos lleva a pensar que las muestras si provienen de una población normal, para
estar más seguros se aplicará una prueba formal para estudiar la normalidad.
A continuación el código para aplicar la prueba de normalidad KolmogorovSmirnov a cada una de las muestras.

18.5 Prueba de hipótesis para el cociente de varianzas σ12 /σ22

185

require(nortest) # Se debe tener instalado
lillie.test(T1)$p.value
## [1] 0.5205
lillie.test(T2)$p.value
## [1] 0.3953
Del QQplot mostrado en la Figura 18.2 y las pruebas de normalidad se observa
que se puede asumir que las poblaciones son normales.
La función var.test se puede usar para probar H0 , a continuación el código
para realizar la prueba.
var.test(T1, T2, ratio=1, alternative="two.sided",
conf.level=0.95)
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##

F test to compare two variances
data: T1 and T2
F = 1, num df = 6, denom df = 6, p-value = 1
alternative hypothesis: true ratio of variances is not equal to 1
95 percent confidence interval:
0.1737 5.8839
sample estimates:
ratio of variances
1.011

Como el valor-P es 0.9897 (reportado como 1 en la salida anterior), muy
superior al nivel α de significancia 5 %, se puede concluir que las varianzas
son similares.

Ejemplo
El arsénico en agua potable es un posible riesgo para la salud. Un artículo
reciente reportó concentraciones de arsénico en agua potable en partes por
billón (ppb) para diez comunidades urbanas y diez comunidades rurales. Los
datos son los siguientes:
Urbana: 3, 7, 25, 10, 15, 6, 12, 25, 15, 7
Rural: 48, 44, 40, 38, 33, 21, 20, 12, 1, 18

186

18 Prueba de hipótesis

Solución
¿Son las varianzas de las concentraciones iguales o diferentes? Usar α = 0.05.
En este problema interesa probar:
2
2
H0 : σ U
rb /σRur = 1
2
2
H1 : σU rb /σRur
̸= 1

Para ingresar los datos se hace lo siguiente:
urb <- c(3, 7, 25, 10, 15, 6, 12, 25, 15, 7)
rur <- c(48, 44, 40, 38, 33, 21, 20, 12, 1, 18)

Sample Quantiles

Primero se debe explorar si las muestras provienen de una población normal,
para esto se construyen los QQplot mostrados en la Figura 18.3.

Urbana
Rural

40
30
20
10
0
-1.5

-0.5 0.0

0.5

1.0

1.5

Theoretical Quantiles
Figura 18.3: QQplot para las concentraciones de arsénico.
A continuación el código para aplicar la prueba de normalidad KolmogorovSmirnov, a continuación el código usado.

18.6 Prueba de hipótesis para el cociente de varianzas σ12 /σ22

187

require(nortest) # Se debe tener instalado
lillie.test(urb)$p.value
## [1] 0.5522
lillie.test(rur)$p.value
## [1] 0.625
Del QQplot mostrado en la Figura 18.3 y las pruebas de normalidad se observa
que se pueden asumir poblaciones normales.
La función var.test se puede usar para probar H0 , a continuación el código
para realizar la prueba.
var.test(urb, rur, ratio=1, alternative="two.sided",
conf.level=0.95)
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##

F test to compare two variances
data: urb and rur
F = 0.25, num df = 9, denom df = 9, p-value =
0.05
alternative hypothesis: true ratio of variances is not equal to 1
95 percent confidence interval:
0.06144 0.99582
sample estimates:
ratio of variances
0.2473

Como el valor-P es 0.0494 (reportado como 0.05 en la salida anterior) y es
menor que el nivel de significancia α = 0.05, se puede concluir que las varianzas
no son iguales.
¿Notó que las funciones Var.test y var.test son diferentes?
Var.test sirve para prueba de hipótesis sobre σ 2 .
var.test sirve para prueba de hipótesis sobre σ12 /σ22 .

188

18 Prueba de hipótesis

18.6. Prueba de hipótesis para la diferencia de medias
µ1 − µ2 con varianzas iguales
Para realizar este tipo de prueba se puede usar la función t.test que tiene
la siguiente estructura.
t.test(x, y = NULL,
alternative = c("two.sided", "less", "greater"),
mu = 0, paired = FALSE, var.equal = FALSE,
conf.level = 0.95, ...)
Los argumentos a definir dentro de t.test para hacer la prueba son:
x: vector numérico con la información de la muestra 1,
y: vector numérico con la información de la muestra 2,
alternative: tipo de hipótesis alterna. Los valores disponibles son
"two.sided" cuando la alterna es ̸=, "less" para el caso < y "greater"
para >.
mu: valor de referencia de la prueba.
var.equal=TRUE: indica que las varianzas son desconocidas pero iguales.
conf.level: nivel de confianza para reportar el intervalo de confianza asociado (opcional).

Ejemplo
Retomando el ejemplo de los fríjoles, ¿existen diferencias entre los tiempos de
cocción de los fríjoles con T1 y T2? Usar un nivel de significancia del 5 %.
Primero se construirá un boxplot comparativo para los tiempos de cocción
diferenciando por el tratamiento que recibieron. Abajo el código para obtener
en este caso el boxplot. En la Figura 18.4 se muestra el boxplot, de esta figura
se observa que las cajas de los boxplot no se traslapan, esto es un indicio de
que las medias poblacionales, µ1 y µ2 , son diferentes, se observa también que
el boxplot para el tratamiento T1 está por encima del T2.
datos <- data.frame(tiempo=c(T1, T2), trat=rep(1:2, each=7))
boxplot(tiempo ~ trat, data=datos, las=1,
xlab='Tratamiento', ylab='Tiempo (min)')
En este problema interesa estudiar el siguiente conjunto de hipótesis.

18.6 Prueba de hipótesis para la diferencia de medias µ1 −µ2 con varianzas iguales 189

85
Tiempo (min)

80
75
70
65
60
55
1

2
Tratamiento

Figura 18.4: Boxplot para los tiempos de cocción dado el tratamiento.

H0 : µ 1 − µ 2 = 0
H1 : µ1 − µ2 ̸= 0
El código para realizar la prueba es el siguiente:
t.test(x=T1, y=T2, alternative="two.sided", mu=0,
paired=FALSE, var.equal=TRUE, conf.level=0.97)
##
##
##
##
##
##
##
##

Two Sample t-test
data: T1 and T2
t = 7.8, df = 12, p-value = 5e-06
alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
97 percent confidence interval:
11.95 22.91

190

18 Prueba de hipótesis

## sample estimates:
## mean of x mean of y
##
78.86
61.43
De la prueba se obtiene un valor-P muy pequeño, por lo tanto, podemos
concluir que si hay diferencias significativas entre los tiempos promedios de
cocción con T1 y T2, resultado que ya se sospechaba al observar la Figura
18.4.
Si el objetivo fuese elegir el tratamiento que minimice los tiempos de cocción
se recomendaría el tratamiento T2, remojo de fríjoles en agua con sal.

18.7. Prueba de hipótesis para la diferencia de medias
µ1 − µ2 con varianzas diferentes
Ejemplo
Retomando el ejemplo de la concentración de arsénico en el agua, ¿existen
diferencias entre las concentraciones de arsénico de la zona urbana y rural?
Usar un nivel de significancia del 5 %.
Primero se construirá un boxplot comparativo para las concentraciones de
arsénico diferenciando por la zona donde se tomaron las muestras. Abajo el
código para obtener en este caso el boxplot. En la Figura 18.5 se muestra el
boxplot, de esta figura se observa que las cajas de los boxplot no se traslapan,
esto es un indicio de que las medias poblacionales, µ1 y µ2 , son diferentes, se
observa también que el boxplot para la zona rural está por encima del de la
zona urbana.
datos <- data.frame(Concentracion=c(urb, rur),
Zona=rep(c('Urbana', 'Rural'), each=10))
boxplot(Concentracion ~ Zona, data=datos, las=1,
xlab='Zona', ylab='Concentración arsénico (ppb)')
En este problema interesa estudiar el siguiente conjunto de hipótesis.
H0 : µ 1 − µ 2 = 0
H1 : µ1 − µ2 ̸= 0
El código para realizar la prueba es el siguiente:

Concentración arsénico (ppb)

18.7 Prueba de hipótesis para la diferencia de medias µ1 −µ2 con varianzas diferentes 191

40
30
20
10
0
Rural

Urbana
Zona

Figura 18.5: Boxplot para las concentaciones de arsénico dada la zona.

t.test(x=urb, y=rur, alternative="two.sided", mu=0,
paired=FALSE, var.equal=FALSE, conf.level=0.95)
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##

Welch Two Sample t-test
data: urb and rur
t = -2.8, df = 13, p-value = 0.02
alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
95 percent confidence interval:
-26.694 -3.306
sample estimates:
mean of x mean of y
12.5
27.5

De la prueba se obtiene un valor-P pequeño, por lo tanto, podemos concluir
que si hay diferencias significativas entre las concentraciones de arsénico del

192

18 Prueba de hipótesis

agua entre las dos zonas, resultado que ya se sospechaba al observar la Figura
18.5. La zona que presenta mayor concentración media de arsénico en el agua
es la rural.
Para todas las pruebas se incluyó un intervalo de confianza, revise si la
conclusión obtenida con el IC coincide con la obtenida con PH.

18.8. Prueba de hipótesis para la diferencia de proporciones p1 − p2
Para realizar pruebas de hipótesis para la proporción se usa la función
prop.test y es necesario definir los siguientes argumentos:
x: vector con el conteo de éxitos de las dos muestras,
n: vector con el número de ensayos de las dos muestras,
alternative: tipo de hipótesis alterna. Los valores disponibles son
"two.sided" cuando la alterna es ̸=, "less" para el caso < y "greater"
para >.
p: valor de referencia de la prueba.
conf.level: nivel de confianza para reportar el intervalo de confianza asociado (opcional).

Ejemplo
Se quiere determinar si un cambio en el método de fabricación de una piezas
ha sido efectivo o no. Para esta comparación se tomaron 2 muestras, una
antes y otra después del cambio en el proceso y los resultados obtenidos son
los siguientes.
Num piezas

Antes

Defectuosas 75
Analizadas 1500

Después
80
2000

Realizar una prueba de hipótesis con un nivel de significancia del 10 %.
En este problema interesa estudiar el siguiente conjunto de hipótesis.
H0 : pantes − pdespues = 0

18.9 Prueba de hipótesis para la diferencia de medias pareadas

193

H1 : pantes − pdespues > 0
Para realizar la prueba se usa la función prop.test como se muestra a continuación.
prop.test(x=c(75, 80), n=c(1500, 2000),
alternative='greater', conf.level=0.90)
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##

2-sample test for equality of proportions with
continuity correction
data: c(75, 80) out of c(1500, 2000)
X-squared = 1.8, df = 1, p-value = 0.09
alternative hypothesis: greater
90 percent confidence interval:
0.0002765 1.0000000
sample estimates:
prop 1 prop 2
0.05
0.04

Del reporte anterior se observa que el Valor-P es 9 %, por lo tanto no hay
evidencias suficientes para pensar que el porcentaje de defectuosos después
del cambio ha disminuído.

18.9. Prueba de hipótesis para la diferencia de medias
pareadas
Ejemplo
Diez individuos participaron de programa para perder peso corporal por medio
de una dieta. Los voluntarios fueron pesados antes y después de haber participado del programa y los datos en libras aparecen abajo. ¿Hay evidencia que
soporte la afirmación de la dieta disminuye el peso medio de los participantes?
Usar nivel de significancia del 5 %.
Sujeto

001 002 003 004 005 006 007 008 009 010

Antes
195 213 247 201 187 210 215 246 294 310
Después 187 195 221 190 175 197 199 221 278 285

194

18 Prueba de hipótesis

Primero se debe explorar si las diferencias de peso (antes-después) provienen
de una población normal, para esto se construye el QQplot mostrado en la
Figura 18.6. De la figura no se observa un alejamiento serio de la recta de
referencia, por lo tanto se puede asumir que las diferencias se distribuyen en
forma aproximadamente normal.

25
20
15
10

Sample Quantiles

antes <- c(195, 213, 247, 201, 187, 210, 215, 246, 294, 310)
despu <- c(187, 195, 221, 190, 175, 197, 199, 221, 278, 285)
dif <- antes - despu
qqnorm(dif, pch=19, main='')
qqline(dif)

-1.5

-0.5

0.5

1.5

Theoretical Quantiles
Figura 18.6: QQplot para las diferencias de peso.
Se puede aplicar la prueba de normalidad Kolmogorov-Smirnov para estudiar
si las diferencias dif provienen de una población normal, esto se puede realizar
por medio del siguiente código.
require(nortest)
lillie.test(dif)
##

18.9 Prueba de hipótesis para la diferencia de medias pareadas

195

## Lilliefors (Kolmogorov-Smirnov) normality test
##
## data: dif
## D = 0.19, p-value = 0.4
De la salida anterior se observa que el valor-P de la prueba es grande por lo
tanto se puede asumir que las diferencias se distribuyen en forma aproximadamente normal.
En este problema interesa estudiar el siguiente conjunto de hipótesis.
H0 : µantes − µdespues = 0
H1 : µantes − µdespues > 0
El código para realizar la prueba es el siguiente:
t.test(x=antes, y=despu, alternative="greater", mu=0,
paired=TRUE, conf.level=0.95)
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##

Paired t-test
data: antes and despu
t = 8.4, df = 9, p-value = 8e-06
alternative hypothesis: true difference in means is greater than 0
95 percent confidence interval:
13.28
Inf
sample estimates:
mean of the differences
17

De la prueba se obtiene un valor-P pequeño, por lo tanto, podemos concluir
que el peso µantes es mayor que µdespues , en otras palabras, la dieta si ayudó
a disminuir el peso corporal.

19
Aproximación de integrales

En este capítulo se mostrará cómo aproximar integrales en una y varias dimensiones.

19.1. Aproximación de Laplace unidimensional
Esta aproximación es útil para obtener el valor de una integral usando la
expansión de Taylor para una función f (x) unimodal en ℜ, en otras palabras
∫ ∞
lo que interesa es:
I=
f (x)d(x)
−∞

Al hacer una expansión de Taylor de segundo orden para log(f (x)) en su moda
x0 el resultado es:
log(f )′′ (x0 )
log(f )′ (x0 )
(x − x0 ) +
(x − x0 )2
log(f (x)) ≈ log(f (x0 )) +
1!
2!
El segundo término de la suma se anula porque log(f )′ (x0 ) = 0 por ser x0 el
valor donde está el máximo de log(f (x)). La expresión anterior se simplifica
en:
log(f )′′ (x0 )
log(f (x)) ≈ log(f (x0 )) +
(x − x0 )2
2!
al aislar f (x) se tiene que
( c
)
f (x) ≈ f (x0 ) exp − (x − x0 )2
(19.1)
2
2

d
donde c = − dx
2 log(f (x))

.
x=x0

La expresión 19.1 se puede reescribir de manera que aparezca el núcleo de la
función de densidad de la distribución normal con media x0 y varianza 1/c, a
continuación la expresión
(
√
)2 )
(
2π/c
1 x − x0
√
exp −
f (x) ≈ f (x0 ) √
2 1/ c
2π/c
197

198

19 Aproximación de integrales

Así al calcular la integral de f (x) en ℜ se tiene que:
∫ ∞
√
I=
f (x)d(x) = f (x0 ) 2π/c

(19.2)

−∞

Ejemplo
)
(
Calcular la integral de f (x) = exp −(x − 1.5)2 en ℜ utilizando la aproximación de Laplace.
Primero vamos a dibujar la función f (x) para ver en dónde está su moda x0 .

f(x)

fun <- function(x) exp(-(x-1.5)^2)
curve(fun, from=-5, to=5, ylab='f(x)', las=1)

1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
-4

-2

0

2

4

x
Figura 19.1: Perfil de la función f(x).
Visualmente se nota que la moda está cerca del valor 1.5 y para determinar numéricamente el valor de la moda x0 se usa la función optimize, los resultados
se almacenan en el objeto res. El valor de la moda corresponde al elemento
maximum del objeto res.
res <- optimize(fun, interval=c(-10, 10), maximum=TRUE)
res

19.1 Aproximación de Laplace unidimensional
##
##
##
##
##

199

$maximum
[1] 1.5
$objective
[1] 1

Para determinar el valor de c de la expresión 19.2 se utiliza el siguiente código.
require("numDeriv")
constant <- - as.numeric(hessian(fun, res$maximum))
Para obtener la aproximación de la integral se usa la expresión 19.2 y para tener un punto de comparación se evalua la integral usando la función
integrate, a continuación el código.
fun(res$maximum) * sqrt(2*pi/constant)
## [1] 1.772
integrate(fun, -Inf, Inf)

# Para comparar

## 1.772 with absolute error < 1.5e-06
De los anteriores resultados vemos que la aproximación es buena.

20
Curiosidades

En este capítulo se mostrarán algunos procedimientos de R para solucionar
problemas frecuentes.

20.1. ¿Cómo verificar si un paquete no está instalado
para instalarlo de forma automática?
Muchas veces compartimos código de R con otros colegas y si ellos no tienen
instalados ciertos paquetes el código no funcionará. Para evitar ese problema
podemos colocar al inicio del código unas líneas que chequeen si ciertos paquetes están instalados o no, si están instalados, se cargan esos paquetes y
caso contrario, el código instala los paquetes y luego los carga, todo de forma
automática sin que el usuario tenga que identificar los paquetes que le faltan.

Ejemplo
El código mostrado abajo revisa si los paquetes knitr, png y markdown están
instalados e instala los ausentes y luego carga todos los paquetes que estén en
el vector packages.
packages <- c("knitr", "png", "markdown")
package.check <- lapply(packages, FUN = function(x) {
if (!require(x, character.only = TRUE)) {
install.packages(x, dependencies = TRUE)
library(x, character.only = TRUE)
}
})

201

Bibliografía

Akaike, H. (1974). A new look at the statistical model identification. IEEE
Transactions on Automatic Control, 19(6):716–723.
Akaike, H. (1983). Information measures and model selection. Bulletin of the
International Statistical Institute, 50:277–290.
Gross, J. and Ligges, U. (2015). nortest: Tests for Normality. R package
version 1.0-4.
Hernandez, F. (2018). usefultools: Useful tools for data analysis. R package
version 0.0.0.9000.
Hernández, F. & Correa, J. (2018). Gráficos con R. Universidad Nacional de
Colombia, Medellín, Colombia, primera edition. ISBN xxx-xxxxxxxxx.
Schwarz, G. (1978). Estimating the dimension of a model. Annals of Statistics,
6(2):461–464.
Wei, T. and Simko, V. (2017). corrplot: Visualization of a Correlation Matrix.
R package version 0.84.
Wickham, H. (2015). R Packages. O’Reilly Media, Inc.
Wickham, H. and Bryan, J. (2018). readxl: Read Excel Files. R package
version 1.1.0.
Wickham, H., Chang, W., Henry, L., Pedersen, T. L., Takahashi, K., Wilke, C., and Woo, K. (2018). ggplot2: Create Elegant Data Visualisations Using the Grammar of Graphics. http://ggplot2.tidyverse.org,
https://github.com/tidyverse/ggplot2.
Xie, Y. (2015). Dynamic Documents with R and knitr. Chapman and
Hall/CRC, Boca Raton, Florida, 2nd edition. ISBN 978-1498716963.
Xie, Y. (2018). bookdown: Authoring Books and Technical Documents with R
Markdown. R package version 0.7.

203

Índice alfabético

.csv, 63
.txt, 63
addmargins, 75
array, 11
arreglo, 11
asignación, 29
bloc de notas, 64
ceiling, 42
coeficiente de variación, 93
cor, 97
correlación, 97
corrplot, 100
cuantiles, 96
cuartiles, 96
data.frame, 13
deciles, 96
desviación, 89
distribucionecs discretas, 103
else, 48
Excel, 63
fitdistr, 134
floor, 42
for, 49
función, 27, 53
function, 27

lectura de bases de datos, 63
legth, 35
list, 16
lista, 16
marco de datos, 13
matrices, 9
max, 35
mean, 82
media, 82
median, 83
mediana, 83
min, 35
moda, 84
nlminb, 132
objetos, 7
operaciones básicas, 29
operadores lógicos, 33
optimize, 130
ordenar, 43
partes de función, 53
percentiles, 96
posición, 43
prod, 35
prop.table, 73
prueba de hipótesis, 173
pruebas lógicas, 31

hist, 76

qqline, 149
qqnorm, 149
QQplot, 149
quantile, 96

if, 47
ifelse, 48

range, 35, 88
rango, 88

gamlss, 137
guía de estilo, 21

205

206
rank, 43
read.table, 66
readxl, 68
rep, 40
repeat, 51
repeticiones, 40
round, 42
sd, 89
secuencias, 38
seq, 38
sort, 43
subset, 14
sum, 35
tablas de frecuencia, 71
table, 71
trunc, 42
var, 91
varianza, 91
vector, 7
which.max, 35
which.min, 35
while, 50
with, 34

Índice alfabético



---

Source Exif Data:

File Type                       : PDF
File Type Extension             : pdf
MIME Type                       : application/pdf
PDF Version                     : 1.5
Linearized                      : No
Page Mode                       : UseOutlines
Page Count                      : 224
Creator                         : LaTeX with hyperref package
Title                           : Manual de R
Producer                        : XeTeX 0.99996
Create Date                     : 2018:08:31 11:08:16-05:00

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