MATLAB Manual
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MATLAB L. Maria Pimentel Herrera UNI - CEPS Contenido Introducción Entorno de trabajo de matlab Path de matlab Workspace browser y array editor Formatos de salida Guardar variables y estados de una sesión Guardar sesión y copiar salidas Líneas de comentarios Help Medida de tiempos y de esfuerzo de cálculo Operaciones con números reales Operaciones aritméticas Constantes matemáticas Referencia de funciones Operaciones con Matrices y Vectores Definición de variables Definición de matrices desde teclado Tipos de matrices Matrices especiales Operaciones de Matrices Funciones matemáticas elementales Operaciones elemento a elemento Generador de vectores Comandos relacionados con tamaño de datos Cambiar elementos en una matriz Crear submatrices de una matriz Concatenación de vectores y matrices Números y matrices asociados a A Operadores relacionales Operadores lógicos Variables lógicas Ejercicios Polinomios Ejercicios Álgebra Lineal Matriz de logaritmos y exponenciales Análisis de matriz Valores propios y valores singulares 5 6 7 7 8 9 9 10 10 15 17 17 19 20 21 21 21 22 25 29 33 35 36 36 37 37 40 43 47 47 48 49 52 54 55 55 56 57 Análisis de datos Operaciones básicas Estadística Descriptiva Derivadas e integrales Ejercicio Programación Ordenes de gestión de archivos Bifurcaciones y bucles Sentencia if Sentencia switch Sentencia for Sentencia break Sentencia continue Aplicación Funciones Funciones de usuario propias Función que devuelve una sola variable Función que devuelve múltiples variables Función que utiliza otra función Gráficos Gráficos 2D Gráficos Estadísticos Gráficos 3D Superficies de revolución Gráficos de funciones complejas Gráficas en movimiento 59 59 60 61 62 63 64 64 65 69 70 73 73 73 74 77 77 77 78 79 79 88 96 102 102 102 Introducción MatLab significa MATrix LABoratory. Es un programa para hacer computación numérica. Fue diseñado para manipular matrices y ploteo de datos. Ahora incluye funciones para: analizar datos, procesar señales, optimizar funciones. Contiene funciones para los gráficos 2-Dy 3-D con su respectiva animación. Matlab permite leer y escribir archivos .MAT, .TXT, etc. Tiene interfaces con otros lenguajes. Permite la computación simbólica con el Maple. Áreas de aplicación • Ingeniería eléctrica y mecánica • Informática • Matemáticas • Ingeniería aeroespacial y automotriz • Ingeniería química y biomédica • Economía y finanzas Matlab Trabaja números escalares (reales y complejos), con caracteres y otras estructuras de datos. Tiene un lenguaje de programación propio. Permite un rápido prototipeo de aplicaciones científicas. Pero puede ser más lento que C/C++ o Fortran. Dispone de código básico y toolboxes. UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Centro de Extensión y Proyección Social Entorno de trabajo de matlab El entorno de trabajo de MATLAB es muy gráfico e i ntuitivo, similar al de ot ras aplicaciones profesionales de Windows. Las componentes más importantes del entorno de trabajo de MATLAB son las siguientes: 1. El Escritorio de Matlab (Matlab Desktop), que es la ventana o contenedor de máximo nivel en la que se pueden situar (to dock) las demás componentes. 2. Las componentes individuales, orientadas a tareas concretas, entre las que se puede citar: a. La ventana de comandos (Command Window), b. La ventana histórica de comandos (Command History), c. El espacio de trabajo (Workspace), d. La plataforma de lanzamiento (Launch Pad), e. El directorio actual (Current Directory), f. La ventana de ayuda (Help) g. El editor de ficheros y depurador de errores (Editor&Debugger), h. El editor de vectores y matrices (Array Editor). i. 6| La ventana que permite estudiar cómo se emplea el tiempo de ejecución (Profiler). L. Maria Pimentel Herrera UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Centro de Extensión y Proyección Social Path de matlab establecer el camino de búsqueda (search path) MATLAB puede l lamar a una g ran variedad de f unciones, tanto propias como programadas por los usuarios. Puede incluso haber funciones distintas con el mismo nombre. Interesa saber cuáles son las reglas que determinan qué función o qué fichero *.m es el que se va a ejecutar cuando su nombre aparezca en una línea de comandos del programa. Esto queda determinado por el camino de búsqueda (search path) que el programa utiliza cuando encuentra el nombre de una función. El search path de MATLAB es una lista de directorios que se puede ver y modificar a partir de la línea de comandos, o utilizando el cuadro de diálogo Set Path, del menú File. El comando path hace que se escriba el search path de MATLAB (el resultado depende de en qué directorio esté instalado MATLAB): >> path Workspace browser y array editor El espacio de t rabajo de MATLAB (Workspace) es el conjunto de v ariables y de funciones de usuario que en un d eterminado momento están definidas en la memoria del programa o de l a función que se está ejecutando. Para obtener información sobre el Workspace desde la línea de co mandos se pueden utilizar los comandos who y whos. El segundo proporciona una información más detallada que el primero. >>x=9 x= 9 >>y=15 y= 15 >>whos Name x y Size 1x1 1x1 Bytes 8 8 Class double array double array Grand total is 2 elements using 16 bytes La ventana Workspace constituye un entorno gráfico para ver las variables definidas en el espacio de trabajo. Se activa con el comando View/Workspace. La ventana Workspace cuando se abre desde un determinado programa. Haciendo doble clic por ejemplo sobre la matriz BARS aparece una nueva ventana (o pestaña, si la ventana ya existía) del Array Editor, en l a que se muestran y pueden se r modificados los elementos de dicha matriz. L. Maria Pimentel Herrera |7 UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Centro de Extensión y Proyección Social Formatos de salida Respecto a l os formatos numéricos con que MATLAB muestra los resultados (recuérdese que siempre calcula con doble precisión, es decir con unas 16 cifras decimales equivalentes), y son las siguientes: short coma fija con 4 decimales (defecto) long coma fija con 15 decimales hex cifras hexadecimales bank números con dos cifras decimales short e notación científica con 4 decimales short g notación científica o decimal, dependiendo del valor long e notación científica con 15 decimales long g notación científica o decimal, dependiendo del valor rational expresa los números racionales como cocientes de enteros Estos formatos se pueden cambiar también desde la línea de comandos anteponiendo la palabra format. Por ejemplo, para ver las matrices en formato long habrá que ejecutar el comando: >>format long >>1/3 ans = 0.33333333333333 >>format % Vuelve al formato estándar que es el de 4 cifras decimales >> m=17/3; >> c=9/1974; Comando format short Representación de m Representación de c 5.6667 format short e 5.6667e+000 8| format long 5.666666666666667 format long e 5.666666666666667e+000 format hex 4016aaaaaaaaaaab format bank 5.67 format rat 17/3 L. Maria Pimentel Herrera UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Centro de Extensión y Proyección Social Guardar variables y estados de una sesión Comandos save y load En muchas ocasiones puede resultar interesante interrumpir el trabajo con MATLAB y poderlo recuperar más tarde en el mismo punto en el que se dejó (con las mismas variables definidas, con los mismos resultados intermedios, etc.). Hay que tener en cuenta que al salir del programa todo el contenido de la memoria se borra automáticamente. Para guardar el estado de una sesión de trabajo existe el comando save. Si se teclea: >> save antes de abandonar el programa, se crea en el directorio actual un fichero binario llamado matlab.mat (o matlab) con el estado de la sesión (excepto los gráficos, que por ocupar mucha memoria hay que guardar aparte). Dicho estado puede recuperarse la siguiente vez que se arranque el programa con el comando: >> load Esta es la forma más básica de los comandos save y load. Se pueden guardar también matrices y vectores de forma selectiva y en f icheros con nombre especificado por el usuario. Por ejemplo, el comando (sin comas entre los nombres de variables): >> save filename A x y guarda las variables A, x e y en un f ichero binario llamado filename.mat (o filename). Para recuperarlas en otra sesión basta teclear: >> load filename Si no se indica ninguna variable, se guardan todas las variables creadas en esa sesión. Guardar sesión y copiar salidas Comando diary Los comandos save y load crean ficheros binarios o ASCII con el estado de la sesión. Existe otra forma más sencilla de almacenar en un fichero un texto que describa lo que el programa va haciendo (la entrada y salida de los comandos utilizados). Esto se hace con el comando diary en la forma siguiente: >> diary filename.txt ... L. Maria Pimentel Herrera |9 UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Centro de Extensión y Proyección Social >> diary off ... >> diary on ... El comando diary off suspende la ejecución de diary y diary on la reanuda. El simple comando diary pasa de on a off y viceversa. Para poder acceder al fichero filename.txt con Notepad o Word es necesario que diary esté en off. Si en el comando diary no se incluye el nombre del fichero se utiliza por defecto un fichero llamado diary (sin extensión). Líneas de comentarios El carácter tanto por ciento (%) indica comienzo de comentario. Cuando aparece en una línea de comandos, el programa supone que todo lo que va desde ese carácter hasta el fin de la línea es un comentario. Otra forma de comentar bloques de sentencias (similar a la utilizada en C/C++ con /* y */) es encerrar las líneas que se desea inutilizar entre los caracteres %{ y %}. Los bloques comentados pueden incluirse dentro de otros bloques comentados más amplios (bloques anidados). Help! Este comando nos permite solicitar ayuda sobre cualquier comando o función que se encuentre instalada en Matlab. Escribiendo help en la línea de comando, el programa devuelve un listado de todas las librerías instaladas. Entonces: >>help HELP topics: 10 | matlab\general - General purpose commands. matlab\ops - Operators and special characters. matlab\lang - Programming language constructs. matlab\elmat - Elementary matrices and matrix manipulation. matlab\randfun - Random matrices and random streams. matlab\elfun - Elementary math functions. matlab\specfun - Specialized math functions. matlab\matfun - Matrix functions - numerical linear algebra. matlab\datafun - Data analysis and Fourier transforms. matlab\polyfun - Interpolation and polynomials. L. Maria Pimentel Herrera UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Centro de Extensión y Proyección Social matlab\funfun - Function functions and ODE solvers. matlab\sparfun - Sparse matrices. matlab\scribe - Annotation and Plot Editing. matlab\graph2d - Two dimensional graphs. matlab\graph3d - Three dimensional graphs. …….. • clic en matlab\general te mostrará General purpose commands. MATLAB Version 7.8 (R2009a) 15-Jan-2009 General information. syntax - Help on MATLAB command syntax. demo - Run demonstrations. ver - MATLAB, Simulink and toolbox version information. version - MATLAB version information. verLessThan - Compare version of toolbox to specified version string. Managing the workspace. who - List current variables. whos - List current variables, long form. clear - Clear variables and functions from memory. onCleanup - Specify cleanup work to be done on function completion. pack - Consolidate workspace memory. load - Load workspace variables from disk. save - Save workspace variables to disk. saveas - Save Figure or model to desired output format. memory - Help for memory limitations. recycle - Set option to move deleted files to recycle folder. quit - Quit MATLAB session. exit - Exit from MATLAB. Managing commands and functions. what - List MATLAB-specific files in directory. type - List M-file. open - Open files by extension. which - Locate functions and files. L. Maria Pimentel Herrera | 11 UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Centro de Extensión y Proyección Social pcode - Create pre-parsed pseudo-code file (P-file). mex - Compile MEX-function. inmem - List functions in memory. namelengthmax - Maximum length of MATLAB function or variable name. Managing the search path. path - Get/set search path. addpath - Add directory to search path. rmpath - Remove directory from search path. rehash - Refresh function and file system caches. import - Import packages into the current scope. finfo - Identify file type against standard file handlers on path. genpath - Generate recursive toolbox path. savepath - Save the current MATLAB path in the pathdef.m file. Managing the java search path. javaaddpath - Add directories to the dynamic java path. javaclasspath - Get and set java path. javarmpath - Remove directory from dynamic java path. Controlling the command window. echo - Echo commands in M-files. more - Control paged output in command window. diary - Save text of MATLAB session. format - Set output format. beep - Produce beep sound. desktop - Start and query the MATLAB Desktop. preferences - Bring up MATLAB user settable preferences dialog. Operating system commands. 12 | cd - Change current working directory. copyfile - Copy file or directory. movefile - Move file or directory. delete - Delete file or graphics object. pwd - Show (print) current working directory. L. Maria Pimentel Herrera UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Centro de Extensión y Proyección Social dir - List directory. ls - List directory. fileattrib - Set or get attributes of files and directories. isdir - True if argument is a directory. mkdir - Make new directory. rmdir - Remove directory. getenv - Get environment variable. ! - Execute operating system command (see PUNCT). dos - Execute DOS command and return result. unix - Execute UNIX command and return result. system - Execute system command and return result. perl - Execute Perl command and return the result. computer - Computer type. isunix - True for the UNIX version of MATLAB. ispc - True for the PC (Windows) version of MATLAB. Debugging. debug - List debugging commands. Tools to locate dependent functions of an M-file. depfun - Locate dependent functions of an M-file or P-file. depdir - Locate dependent directories of an M-file or P-file. Loading and calling shared libraries. calllib - Call a function in an external library. libpointer - Creates a pointer object for use with external libraries. libstruct - Creates a structure pointer for use with external libraries. libisloaded - True if the specified shared library is loaded. loadlibrary - Load a shared library into MATLAB. libfunctions - Return information on functions in an external library. libfunctionsview - View the functions in an external library. unloadlibrary - Unload a shared library loaded with LOADLIBRARY. java - Using Java from within MATLAB. usejava - True if the specified Java feature is supported in MATLAB. L. Maria Pimentel Herrera | 13 UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Centro de Extensión y Proyección Social Controlling multithreading setting. maxNumCompThreads - Controls the maximum number of computational threads. See also lang, datatypes, iofun, graphics, ops, strfun, timefun, matfun, demos, graphics, datafun, uitools, doc, punct, arith. Para pedir mas detalles sobre las funciones que pertenecen a una l ibrería dada, ingresamos help seguido del nombre de la librería. Por ejemplo: >>help stats La librería stats agrupa diferentes rutinas útiles en probabilidad y estadística. Al final de l a ayuda nos remite a al gunos temas relacionados para que podam os continuar la búsqueda, si es que no terminamos de encontrar lo que buscábamos. Si quisiéramos ver con mas detalle de algún algún ítem de la lista, basta con escribir help <ítem>. >>help fliplr Ante cualquier duda sobre el help escribe: >>help help 14 | L. Maria Pimentel Herrera UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Centro de Extensión y Proyección Social Hay otro modo de ayuda, un poco mas cómodo, que se puede acceder desde el menú desplegable Help. El contenido es el mismo que el de la línea de comandos, solo que disponemos de un pequeño navegador. >>demos Medida de tiempos y de esfuerzo de cálculo MATLAB dispone de funciones que permiten calcular el tiempo empleado en l as operaciones matemáticas realizadas. Algunas de estas funciones son las siguientes: cputime devuelve el tiempo de C PU (con precisión de centésimas de segundo) desdeque el programa arrancó. Llamando antes y después de realizar una oper ación y restando los valores devueltos, se puede saber el tiempo de CPU empleado en esa operación. Este tiempo sigue corriendo aunque MATLAB esté inactivo. etime(t2, t1) tiempo transcurrido entre los vectores t1 y t2 (¡atención al orden!), obtenidos como respuesta al comando clock. tic ops toc imprime el tiempo en segundos requerido por ops. El comando tic pone el reloj a cero y toc obtiene el tiempo transcurrido. A modo de ejemplo, el siguiente código mide de varias formas el tiempo necesario para resolver un sistema de 1000 ecuaciones con 1000 incógnitas. Téngase en cuenta que los tiempos pequeños (del orden de las décimas o centésimas de segundo), no se pueden medir con gran precisión. L. Maria Pimentel Herrera | 15 UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Centro de Extensión y Proyección Social >> n=1000; A=rand(n); b=rand(n,1); x=zeros(n,1); >> tiempoIni=clock; x=A\b; tiempo=etime(clock, tiempoIni) >> time=cputime; x=A\b; time=cputime-time >> tic; x=A\b; toc donde se han puest o varias sentencias en la misma línea para que se ejecuten todas sin tiempos muertos al pulsar intro. Esto es especialmente importante en la línea de comandos en la que se quiere medir los tiempos. Todas las sentencias de cálculos matriciales van seguidas de punto y coma (;) con objeto de ev itar la impresión de resultados. Conviene ejecutar dos o tres veces cada sentencia para obtener tiempos óptimos, ya que la primera vez que se ejecutan se emplea un cierto tiempo en cargar las funciones a memoria. Nota: Un punto y coma al final de una sentencia hace que no se vea el resultado de la operación. Esto es muy importante, porque Matlab tiene la costumbre de ir mostrando todos los resultados obtenidos. El punto y coma nos permite filtrar los resultados parciales y en todo caso solo mostrar aquellos que sean de nuestro interés. 16 | L. Maria Pimentel Herrera UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Centro de Extensión y Proyección Social Operaciones con números reales Los cálculos que no se asignan a una variable en concreto se asignan a la variable de respuesta por defecto que es ans (del inglés, answer): >>2+3 ans = 5 Sin embargo, si el cálculo se asigna a una variable, el resultado queda guardado en ella: >>x=2+3 x= 5 Para conocer el valor de una variable, basta teclear su nombre: >>x x= 5 Si se añade un punto y coma (;) al final de la instrucción, la máquina no muestra la respuesta... >>y=5*4; ... pero no por ello deja de realizarse el cálculo. >>y y= 20 Operaciones aritméticas Las operaciones se evalúan por orden de prioridad: primero las potencias, después las multiplicaciones y divisiones y, finalmente, las sumas y restas. Las operaciones de igual prioridad se evalúan de izquierda a derecha. Prioridad Operador 1 ^ Exponente 78^2 2 / División derecha 29/23 2 \ División izquierda 29\23 3 * Multiplicación 17*28 4 + Adición 15.3+19.5 4 - Sustracción 15.3-19.5 L. Maria Pimentel Herrera Significado Ejemplo Resultado | 17 UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Centro de Extensión y Proyección Social >>2/4*3 ans = 1.5000 >>2/(4*3) ans = 0.1667 Se pueden utilizar las funciones matemáticas habituales. Así, por ejemplo, la función coseno, >>cos(pi) % pi es una variable con valor predeterminado 3.14159... ans = -1 o la función exponencial >>exp(1) % Función exponencial evaluada en 1, es decir, el número e ans = 2.7183 Además de l a variable pi , MATLAB tiene otras variables con valor predeterminado; éste se pierde si se les asigna otro valor distinto. Por ejemplo: >>eps % Épsilon de la máquina. Obsérvese que MATLAB trabaja en doble precisión ans = 2.2204e-016 pero... >>eps=7 eps = 7 Otro ejemplo de función matemática: la raíz cuadrada; como puede verse, trabajar con complejos no da ni ngún tipo de pr oblema. La uni dad imaginaria se representa en MATLAB como i o j, variables con dicho valor como predeterminado: >>sqrt(-4) ans = 0+ 2.0000i El usuario puede controlar el número de deci males con que aparece en pant alla el valor de las variables, sin olvidar que ello no está relacionado con la precisión con la que se hacen los cálculos, sino con el aspecto con que éstos se muestran: >>1/3 ans = 18 | L. Maria Pimentel Herrera UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Centro de Extensión y Proyección Social 0.3333 Para conocer las variables que se han usado hasta el momento: >>who Your variables are: ans eps x y o, si se quiere más información (obsérvese que todas las variables son arrays): >>whos Name Size Bytes Class ans 1x1 8 double array eps 1x1 8 double array x 1x1 8 double array y 1x1 8 double array Grand total is 4 elements using 32 bytes Para deshacerse de una variable >>clear y >>who Your variables are: ans eps x Constantes matemáticas Variable Valor eps Número más pequeño tal que, cuando se le suma 1, crea un número en coma flotante en el computador mayor que 1. pi Relación entre la circunferencia del círculo a su diámetro intmax Mayor valor de tipo entero especificado. intmin Menor valor de tipo entero especificado. inf Infinito. NaN Magnitud no numérica. iyj i=j=√-1, unidad imaginaria. realmin El número real positivo más pequeño que es utilizable. relamas El número real positivo más grande que es utilizable. L. Maria Pimentel Herrera | 19 UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Centro de Extensión y Proyección Social Referencia de funciones Escritorios y el Desarrollo para el Medio Ambiente De inicio, ventana de comandos, ayuda, edición y depuración, tuning, otras funciones generales Importación y exportación de datos General y de bajo nivel / S de archivos, además de formatos de archivo específicos, como de audio, hoja de cálculo, HDF, imágenes Matemáticas Matrices y matrices, álgebra lineal, otras áreas de las matemáticas Análisis de datos Datos básicos de las operaciones, estadística descriptiva, covarianza y correlación, filtrado y convolución, derivadas numéricas e integrales, transformadas de Fourier, análisis de series temporales De Programación y tipos de datos La evaluación de funciones de expresión, el control del programa, la función de asas, programación orientada a objetos, el manejo de errores, los operadores, tipos de datos, fechas y horas, los temporizadores Programación orientada a objetos Funciones para trabajar con clases y objetos Gráficos Parcelas de la Línea, anotar los gráficos, gráficos especializados, las imágenes, la impresión, Handle Graphics La visualización en 3-D De superficie y las parcelas de malla, control de vista, la iluminación y la transparencia, la visualización de volúmenes GUI para el Desarrollo GUÍA, la programación de interfaces gráficas de usuario Interfaces externos Interfaces con librariess compartida, Java,. NET, COM y ActiveX, servicios Web y los dispositivos de puerto serie, y C y Fortran rutinas 20 | L. Maria Pimentel Herrera UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Centro de Extensión y Proyección Social Operaciones con Matrices y Vectores Definición de variables No es necesario definir variables. Las variables mejoran la legibilidad del procedimiento y facilitan las correcciones y modificaciones. En matlab las variables deben seguir las siguientes reglas: • No pueden comenzar con un número. • Puede tener números en la estructura del nombre de la variable. • Las mayúsculas y minúsculas se diferencian en el nombre de las variables. • Los nombres de las variables no pueden tener los siguientes símbolos: “+”, “-“, “*”, “/”, “.”, “,”, “;”, “^”, “~”, “&”, “|”, “\”. Definición de matrices desde teclado Para introducir una matriz: • Se separan los números con espacio o comas. • Se separan las columnas con punto y coma. • Se agrupa toda la matriz entre corchetes. Vectores fila >> x=[1,2,3,5,7,11,13]; → [ …. …. …. …. …. …. …. ] >> x2=[1 2 3 5 7 11 13]; → [ …. …. …. …. …. …. …. ] >>a(5)=7; → [ …. …. …. …. …. ] Vectores columna >> X=[1;2;3;5;7;11;13] X= …. …. …. …. …. …. …. L. Maria Pimentel Herrera | 21 UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Centro de Extensión y Proyección Social …. Matriz >> A = [16 3 2 13; 5 10 11 8; 9 6 7 12; 4 15 14 1] A= .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... >> M = [1 2 3 456 7 8 9] M= .... .... .... .... .... .... .... .... .... Tipos de matrices Matriz diagonal diag(v) genera una matriz diagonal con el vector v como diagonal. diag(A) crea un vector con los elementos de la diagonal principal. >> T=[17 25 29]; >> S=diag(T) S= .... .... .... .... .... .... .... .... .... >> diag(A) ans = .... .... .... .... 22 | L. Maria Pimentel Herrera UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Centro de Extensión y Proyección Social Matriz simétrica diagonal constante toeplitz(v) define una m atriz simétrica de diagonal constante con v como primera fila y primera columna. >> v=[1 2 3]; toeplitz(v) ans= .... .... .... .... .... .... .... .... .... Matriz diagonal constante toeplitz(w, v) define una matriz no simétrica de diagonal constante con w como primera columna y v como primera fila. >> w=[1 2 3 4]; v=[1 5 7 8]; toeplitz(w,v) ans= .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... Matriz de unos ones(n) genera una matriz de n × n con todos los valores iguales a uno. ones(n,m) genera una matriz de n × m con todos los valores iguales a uno. >> unos=ones(3,4) unos= .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... Matriz nula zeros(n) genera una matriz de n × n con todos los valores iguales a cero. Zeros(m,n) crea una matriz mxn, todos ceros. >> ceros=zeros(2,5) ceros= .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... L. Maria Pimentel Herrera | 23 UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Centro de Extensión y Proyección Social Matriz identidad eye(n) genera una matriz identidad de n × n. eye(m,n) crea la matriz identidad de orden mxn con unos en la diagonal y ceros en los demás elementos. >> ident=eyes(3) ident= .... .... .... .... .... .... .... .... .... Matriz aleatoria uniforme rand(n) genera una matriz de n × n con elementos de valor aleatorio entre 0 y 1 (distribución uniforme). >> aleatorio=rand(2,3); aleatorio= ................ ................ ................ ................ ................ ................ Matriz aleatoria normal randn(n) genera una matriz de n × n cu yos elementos siguen una distribución normal (media 0 y varianza 1). >> normal=randn(2); normal= ............... ............... ............... ............... >> n1=randn(3,2) n1= ............... ............... ............... ............... ............... ............... Nota ones(m, n), zeros(m, n), rand(m, n) generan matrices de m × n. ones(size(A)), zeros(size(A)), eye(size(A)) generan matrices de la misma forma que A. Muchos problemas lineales implican el manejo de matrices de gran tamaño, en las que se da l a circunstancia que l a mayor parte de l os elementos son nulos. Esto implica, 24 | L. Maria Pimentel Herrera UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Centro de Extensión y Proyección Social eventualmente, el almacenamiento de num erosos ceros y operaciones inútiles. Para resolver este problema, MATLAB dispone de una f unción (sparse) que permite prescindir de l as cantidades nulas, almacenando la posición (fila y columna) de l os elementos no nulos. Un ejemplo elemental se construye con la matriz unidad: >> clear >> I=eye(1000); >> whos Name Size Bytes Class I 1000x1000 8000000 double array Grand total is 1000000 elements using 8000000 bytes Observamos que el almacenamiento de I consume aproximadamente 8 Mb. Determinamos una expresión sparse de I: >> I=eye(1000); >> S=sparse(I); >> whos Name Size Bytes Class I 1000x1000 8000000 double array S 1000x1000 16004 sparse array Grand total is 1001000 elements using 8016004 bytes Matrices especiales Matriz Transpuesta A’ El caracter ' (apóstrofe) denota la transpuesta de l a matriz. Transponer significa intercambiar filas por columnas. Si tenemos la matriz A y llamamos B = A', B es la transpuesta de la matriz A. >> A=[5 9 11; 6 8 10]; C=A' C= …… …… …… …… …… …… Matriz Simétrica Es una matriz cuadrada que cumple la condición: A=AT. >> M=[2 3 17; 3 -6 1; 17 1 7], Mt=M' M= L. Maria Pimentel Herrera | 25 UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Centro de Extensión y Proyección Social .... .... .... .... .... .... .... .... .... Mt= .... .... .... .... .... .... .... .... .... Matriz Antisimétrica Es una matriz cuadrada que cumple la condición: A=-AT, siendo ceros los elementos de la diagonal principal y sus demás elementos son de la forma aij=aji. >> B=[0 1 -4; -1 0 -3; 4 3 0], Ba=-B' B= .... .... .... .... .... .... .... .... .... Ba= .... .... .... .... .... .... .... .... .... Matriz de indices no nulos Devuelve los índices de los elementos de la matriz A, que no son ceros, en forma vertical. >> B=[0 1 -4; -1 0 -3; 4 3 0]; ind=find(B) ind= 2.00 3.00 4.00 6.00 7.00 8.00 >> ind2=find(B>0) Ind2 = 3.00 4.00 6.00 26 | L. Maria Pimentel Herrera UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Centro de Extensión y Proyección Social >> [f,c,v]=find(B>0); fila=f',columna=c',verdad=v' fila = 3.00 1.00 3.00 2.00 2.00 columna = 1.00 verdad = 1 1 1 Matriz Idempotente Es una matriz cuadrada que cumple la condición: A=A2. >> V=[-1 2 4; 1 -2 -4; -1 2 4], Vi=V^2 V= .... .... .... .... .... .... .... .... .... Vi= .... .... .... .... .... .... .... .... .... Matriz Periódica Es una matriz cuadrada que cumple la condición: A=Ak+1 entonces A es periódica y k∈Z+. El periodo es igual a k. >> P=[1/3 2; 1/9 2/3], Pp=P^2 P= ............... ............... ............... ............... Pp= ............... ............... ............... ............... Matriz Nilpotente Es una matriz cuadrada que cumple la condición: Ap=0, donde p∈Z. A es nilpotente para p. >> N=[1 1 3; 5 2 6; -2 -1 -3], Ni=N^3 N= L. Maria Pimentel Herrera | 27 UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Centro de Extensión y Proyección Social .... .... .... .... .... .... .... .... .... Ni= .... .... .... .... .... .... .... .... .... Matriz Hilbert hilb(N) es una matriz de N por N con elementos 1/(i+j-1). >> format rat ; hilb(3) ans = 1 1/2 1/3 1/2 1/3 1/4 1/3 1/4 1/5 Matriz Hermitiana Es una matriz cuadrada y compleja, que es igual a la transpuesta de su conjugada. Los elementos de su diagonal principal son números reales.. >> H=[1 3+i i; 3-i 3 1-i; -i 1+i 2], Ht=conj(H), He=transpose(Ht) H= .... .... .... .... .... .... .... .... .... Ht= .... .... .... .... .... .... .... .... .... He= .... .... .... .... .... .... .... .... .... Matriz Inversa inv(A) 28 | A-1 si A es cuadrada e invertible, se cumple A-1*A=A*A-1=I. L. Maria Pimentel Herrera UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Centro de Extensión y Proyección Social >> A=[1 1 1; 1 2 3; 1 3 4]; format rat; S1=inv(A) S1= .... .... .... .... .... .... .... .... .... Matriz Seudoinversa pinv(A) pseudoinversa de A , si X = pinv(A) produce una matriz X condimensiones de A’, se cumple A*X*A = A, X*A*X = X y A*X y X*A son matrices hermitianas. >> K=magic(4); K1=det(K), K2=pinv(K) K1= … K2= ............... ............... ............... ............... ............... ............... ............... ............... ............... ............... ............... ............... ............... ............... ............... ............... Matriz Ortogonal Una matriz cuadrada es ortogonal si se cumple A-1= AT, es equivalente a A*AT =I . >> a=sqrt(2); M=[1/a 0 -1/a; 1/a 0 1/a; 0 1 0], L=M*M' M= .... .... .... .... .... .... .... .... .... L= .... .... .... .... .... .... .... .... .... Operaciones de Matrices Sumando y Restando Matrices Las operaciones suma (+) y resta (-) son definidas para las matrices siempre y cuando éstas tengan la misma dimensión. Es decir, si A y B son matrices 3 x 3, entonces A + B se puede calcular. L. Maria Pimentel Herrera | 29 UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Centro de Extensión y Proyección Social Las operaciones suma y resta también están definidas si uno de los operadores es un escalar, es decir, una matriz 1 x 1. >> A= [4 2 0 1; -2 3 6 5; 2 1 8 1]; >> B= [3 17 8 5; -7 12 15 10; 23 19 0 -25]; >> A+B ans= .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... >> f=[2 4 6]; c=[1; 2; 3]; >>S1= f+c' S1= .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... >>S2=f+25 S2= .... .... .... .... >>S3=c-17 S3= .... .... .... .... Multiplicando Matrices La operación de m ultiplicación de m atrices está definida siempre que el número de columnas de la primera matriz sea igual al número de filas de la segunda matriz. A*B da la matriz resultante del producto AB (si dicha operación es posible). 30 | L. Maria Pimentel Herrera UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Centro de Extensión y Proyección Social A. * B da el producto elemento por elemento (si size(A) = size(B), es decir, si tienen el mismo tamaño) >> A*B ans= .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... Producto de una matriz por un vector El producto de una matriz y un vector es un caso especial del producto matriz-matriz y naturalmente, un escalar como pi, puede multiplicar, ó ser multiplicado por, cualquier matriz. >> 7*A ans= .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... >> X*B ans= .... .... .... .... Dividiendo Matrices En división de matrices, si A es una matriz cuadrada no-singular, entonces A\B y B/A corresponden a la multiplicación izquierda y derecha de B por el inverso de A, esto es, inv(A) * B y B * inv(A) respectivamente. El resultado es obtenido directamente sin la computación del inverso. >> A=[0 1;1 0]; B=[1 2;3 4]; X=A\B X= 3 4 1 2 L. Maria Pimentel Herrera | 31 UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Centro de Extensión y Proyección Social >> Y=B/A Y= 2 1 4 3 X = A\B es una solución a A * X = B, es igual a inv(A) * B si existe inv(A): la barra inversa es la división por la izquierda. X = B/A es una solución a X * A = B A\B es definido cuando B tiene la misma cantidad de filas que A. Si A es cuadrada, el método usado es la Eliminación Gaussiana. El resultado es una matriz X con las mismas dimensiones que B. Si A no es cuadrada, se factoriza utilizando la ortogonalización de H ouseholder con pivoteo de columnas. Los factores son usados para resolver sistemas de ecuaciones sub-determinados y sobre -determinados. El resultado es una matriz X m-por-n donde m es el número de columnas de A y n es el número de columnas de B. Cada columna de X tiene, al menos, k componentes diferentes de cero, donde k es el rango efectivo de A. B/A esta definido en términos de A\B por B/A = (A' \B') '. Ejemplo: resolver el sistema: 2a+3b+c=6 4a+b+2c=7 6a+b+7c=4 >>A=[2 3 1; 4 1 2; 6 1 7]; >>B=[6; 7; 4] >>X=A\B x= ..... ..... ..... Exponentes con Matrices La expresión A^n eleva A a la n-ésima potencia y está definido si A es una matriz cuadrada y n un escalar. 32 | L. Maria Pimentel Herrera UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Centro de Extensión y Proyección Social >>p1=A^2 p1 = .... .... .... .... .... .... .... .... .... Funciones Matriciales Trascendentales y Elementales MATLAB considera expresiones como exp(A) y sqrt(A) como operaciones de arreglos, definidas en los elementos individuales de A. También puede ca lcular funciones trascendentales de matrices, como la matriz exponencial y la matriz logarítmica. Estas operaciones especiales están definidas solamente para matrices cuadradas. >>sqrt(A) ans = .... .... .... .... .... .... .... .... .... >>exp(A) ans = .... .... .... .... .... .... .... .... .... Funciones matemáticas elementales Trigonométricas sin(x) Función seno cos(x) Función coseno tan(x) Función tangente asin(x) Inversa del seno acos(x) Inversa del coseno atan(x) Inversa de la tangente atan2(x,y) sinh(x) Inversa de la tangente de los cuatro cuadrantes Función seno hiperbólico L. Maria Pimentel Herrera | 33 UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Centro de Extensión y Proyección Social cosh(x) Función coseno hiperbólico tanh(x) Función tangente hiperbólica asin(x) Inversa del seno hiperbólico acosh(x) Inversa del coseno hiperbólico atanh(x) Inversa de la tangente hiperbólica También hay funciones para ángulos en sexagesimales. Exponencial exp(x) Exponencial ex. log(x) Logaritmo natural. log10(x) Logaritmo decimal. log2(x) Logaritmo en base 2. sqrt(x) Raíz cuadrada. abs(x) Valor absoluto o magnitud de un número complejo. real(x) Parte real de un número complejo. imag(x) Parte imaginaria de un número complejo. angle(x) Ángulo de un número complejo. Complejo conj(x) Conjugado complejo Redondeo y resto ceil(x) Redondeo hacia más infinito. fix(x) Redondeo hacia cero. floor(x) 34 | Redondeo hacia menos infinito. round(x) Redondea hacia el entero más próximo. rem(x,y) Resto después de la división. mod(x,y) Módulo después de la división. L. Maria Pimentel Herrera UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Centro de Extensión y Proyección Social Operaciones elemento a elemento Matlab define algunas operaciones que serán realizadas elemento a elemento. Ya vimos anteriormente que la operación A*B realizaba el producto matricial. Pero ¿que pasa si queremos que cada elemento de A quede multiplicado por cada elemento de B (suponiendo que tienen las mismas dimensiones)? Existe otro operador para tales fines: Definimos las matrices a y b: >>A = [1 2 3 ; 4 5 6; 7 8 9]; B= [9 8 7 ; 6 5 4; 3 2 1]; >>C1=A.*B C1= .... .... .... .... .... .... .... .... .... Como se ve, si anteponemos un punto al operador, la operación se realiza elemento a elemento. La división (/) y la potencia (^) también permiten esta utilización. >>C2=A./B C2= .... .... .... .... .... .... .... .... .... >>C3=A.\B C3= .... .... .... .... .... .... .... .... .... >>C4=B.^A C4= .... .... .... .... .... .... .... .... .... Otras operaciones pueden ser consultadas en la librería ops. L. Maria Pimentel Herrera | 35 UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Centro de Extensión y Proyección Social Generador de vectores Para generar un v ector cuyos elementos sean números crecientes o decrecientes en un intervalo regular existe el operador : (dos puntos). • El uso más sencillo de este operador sería:: >>d = 1:4 d= 1 • 2 3 4 Especificar un intervalo determinado, escribimos: : : >>e = 1:0.5:4 d= 1.0000 1.5000 2.0000 2.5000 3.0000 3.5000 4.0000 • Si el rango es decreciente, sólo escribimos el intervalo negativo. >>f = 4:-0.5:1 f= 4.0000 3.5000 3.0000 2.5000 2.0000 1.5000 1.0000 Genera un vector con n valores entre x1 y x2 igualmente espaciados. linspace(x1,x2,n) >>g = linspace(0,20,7) g= 0 10/3 20/3 10 40/3 50/3 20 >>h = linspace(0,pi,5) h= 0 0.7854 1.5708 2.3562 3.1416 Comandos relacionados con tamaño de datos length() 36 | se aplica solo a vectores. Devuelve el largo del vector (es igual para filas y columnas). L. Maria Pimentel Herrera UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Centro de Extensión y Proyección Social >>length(g) ans= ...... size() se aplica tanto a vectores como matrices. Devuelve un vector de dos elementos: cantidad de filas y cantidad de columnas. >>size(A) ans= ...... ...... Cambiar elementos en una matriz A dada A(3, 2) = 7 coloca un 7 en el elemento (3, 2). A(3,:) = v sustituye los valores de la tercera fila por los de v= [2; 4; 5]. A(:, 2) = w sustituye los valores de la segunda columna por los de w= 2:4. El símbolo de los dos puntos : significa todo (todas las columnas o todas las filas). A([2 3],:) = A([3 2],:) intercambia las filas 2 y 3 de A. Crear submatrices de una matriz A de m × n • Matlab utiliza los paréntesis para acceder a elementos de la matriz. • Los subíndices empiezan en 1, por lo tanto el primer elemento es a(1,1) • Nota: Matlab no admite el cero como índice de vectores ni matrices !!!! A(i, j) muestra el elemento (i, j) de la matriz A (escalar = matriz de 1 × 1). A(i, :) muestra la fila i-ésima de A (como vector de fila). A(:, j) muestra la columna j-ésima de A (como vector de columna). A(2: 4,3: 7) muestra las filas de la 2 a la 4 y las columnas de la 3 a la 7 (en forma de matriz de 3 × 5). A([2 4],:) muestra las filas 2 y 4 y todas las columnas (en forma de matriz de 2 × n). A(:) muestra una sola columna larga formada a partir de las columnas de A (matriz de mn × 1). triu(A) coloca ceros en todos los elementos por debajo de la diagonal (triangular superior). tril(A) coloca ceros en todos lo elementos por encima de la diagonal (triangular inferior). L. Maria Pimentel Herrera | 37 UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Centro de Extensión y Proyección Social >> a=rand(4,5); >> a(3,5)=56.8 • Se pueden utilizar vectores para definir índices >> a(2:3,1:4)=zeros(2,4); o bien: a(2:3,1:4)=0; • Se pueden utilizar vectores para definir índices >> a([2,3],[2,4])=ones(2,2); o bien: a([2,3],[2,4])=1; • 38 | El operador ':' se utiliza para indicar "todos los elementos" L. Maria Pimentel Herrera UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Centro de Extensión y Proyección Social Triangular inferior >>tril(M) ans = .... .... .... .... .... .... .... .... .... >>tril(M,-1) ans = .... .... .... .... .... .... .... .... .... Triangular superior >>triu(M) ans = .... .... .... .... .... .... .... .... .... >>triu(M,1) ans = .... .... .... .... .... .... .... .... .... L. Maria Pimentel Herrera | 39 UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Centro de Extensión y Proyección Social Concatenación de vectores y matrices Supongamos que queremos formar una matriz con diferentes vectores y/o matrices de dimensiones compatibles, o queremos unir dos vectores para formar uno mas largo. >>v = [1 2 3]; w=[4 5 6]; Podemos concatenarlos de varias maneras... Si los unimos uno a continuación del otro: • >>y = [v w] y= 1 2 3 4 5 6 Notar que al separar v y w por un espacio estamos diciendo que ambos pertenecen a la misma fila, por lo que es entendible el resultado obtenido. Si por el contrario, interponemos un punto y coma entre ambos: • >>y2 = [v ; w] Y2 = 1 2 3 4 5 6 Matlab coloca cada vector en una fila diferente. Función cat cat(d,M,N) concatena matrices con una dimensión especificada. >>M=[2 3; 1 9]; N=[8 4; 5 7]; MN=cat(1,M,N) MN = 2 3 1 9 8 4 5 7 >>NM= cat(2,B,C,B) NM = 35 1 14 16 35 1 3 32 18 11 3 32 >> A=magic(6) A= 40 | L. Maria Pimentel Herrera UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Centro de Extensión y Proyección Social 35 1 6 26 19 24 3 32 7 21 23 25 31 9 2 22 27 20 8 28 33 17 10 15 30 5 34 12 14 16 4 36 29 13 18 11 >> B=A(1:2,1:2); C=A(5:6,5:6); cat(1,B,C) ans = 35 1 3 32 14 16 18 11 >> cat(2,B,C) ans = 35 1 14 16 3 32 18 11 Función horzcat concatena matrices horizontalmente. >> A = magic(5); A(4:5,:) = [] A= 17 24 1 8 15 23 5 7 14 16 4 6 13 20 22 >> B = magic(3)*17 B= 136 17 102 51 85 119 68 153 34 >> C = horzcat(A, B) C= 17 24 1 8 23 5 7 14 L. Maria Pimentel Herrera 15 136 17 102 16 85 119 51 | 41 UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Centro de Extensión y Proyección Social 4 6 13 20 22 68 153 34 Función vertcat concatena matrices verticalmente. >> A = magic(5); A(:, 4:5) = [] A= 17 24 1 23 5 7 4 6 13 10 12 19 11 18 25 >> B = magic(3)*7 B= 56 7 42 21 35 49 28 63 14 >> C = vertcat(A,B) C= 17 24 1 23 5 7 4 6 13 10 12 19 11 18 25 56 7 42 21 35 49 28 63 14 Función repmat crea una nuev a matriz de co pias, m veces verticalmente y n v eces horizontalmente. repmat(A,m,n) >> K = repmat([1 2; 3 4],2,3) 42 | L. Maria Pimentel Herrera UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Centro de Extensión y Proyección Social K= 1 2 1 2 1 2 3 4 3 4 3 4 1 2 1 2 1 2 3 4 3 4 3 4 Función blkdiag crea una nueva matriz de bloque diagonal a partir de matrices existentes, los demás elementos de la matriz son ceros. >> A=7;B=[9 8; 2 5];C=pascal(3);D=[1 7 12]; blkdiag(A,B,C,D) ans = 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 9 8 0 0 0 0 0 0 0 2 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 2 3 0 0 0 0 0 0 1 3 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 7 12 Números y matrices asociados a A Determinante det(A) es el determinante (si A es una matriz cuadrada). >> A=[3 2 1; 4 3 0; 7 9 15]; det(A) ans = 30 >> det(magic(4)) ans = 0 Rango rank(A) es el rango (número de pivotes = dimensión del espacio de filas y del espacio de columnas). >> rank(A) L. Maria Pimentel Herrera | 43 UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Centro de Extensión y Proyección Social ans = 3 >> rank(magic(4)) ans = 3 Orden size(A) es el par de números [m n]. >> size(A) ans = 3 3 Traza trace(A) es la traza = suma de l os elementos de la diagonal = suma de autovalores. >> trace(A) ans = 21 >> trace(magic(4)) ans = 34 Producto Escalar El producto interior (producto escalar ó pr oducto punto) se consigue de l a siguiente manera: x' * y asumiendo que x y y son vectores columnas. Note que y' * x produce el mismo resultado. >> X=[1, 2, 3, 5]; >> Y=[4, 7, -8, 3]; >> X’*Y ans= ……. dot(u,v) calcula el producto escalar de dos vectores u y v. >> u=[-7 17 5]; v=[-2 3 4]; dot(u,v) 44 | L. Maria Pimentel Herrera UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Centro de Extensión y Proyección Social ans = 85 Producto Vectorial crossl(u,v) calcula el producto vectorial de dos vectores u y v en R3. >> u=[1 7 5]; v=[2 3 8]; cross(u,v), cross(v,u) ans = 41 2 -11 ans = -41 -2 11 Norma norm(A,p) calcula la norma de A, donde p puede ser 1, 2 o inf. Si p= 1, calcula la suma de l os valores absolutos de todos los elementos de A por columna su equivalentes es max(sum(abs(A))). Si p= 2, norma Euclidiana si es un vector, opción por defecto, su equivalente es max(svd(A)). Si p= inf, calcula el máximo valor absoluto de sus elementos, su equivalente es max(sum(abs(A'))). >> v=[3 4 5]; norm(v,1) ans = 12 >> norm(v,2), norm(v) ans = 7.0711 ans = 7.0711 >> norm(v,inf) ans = 5 >> norm(v,-inf) ans = 3 L. Maria Pimentel Herrera | 45 UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Centro de Extensión y Proyección Social >> N=[8 5; 1 7]; norm(N) ans = 10.8035 Base ortogonal para el espacio nulo null(A) es una matriz cuyas columnas n - r forman una base ortogonal para el espacio nulo de A. >> A = [1 2 1 2 3 1 2 3]; 3 Z = null(A); A*Z ans = 1.0e-015 * 0.2220 0.2220 0.2220 0.2220 0.2220 0.2220 >> Z'*Z ans = 1.0000 -0.0000 -0.0000 1.0000 Base ortogonal para el espacio de columnas B=orth(A) es una matriz cuyas columnas r forman una base ortogonal para el espacio de columnas de A, se cumple B’*B=eye(rank(A)). >> A=[3 2 1; 4 3 0; 7 9 15]; B=orth(A) B= -0.1548 -0.4852 -0.8606 46 | -0.1622 -0.8468 0.5066 -0.9745 0.0524 0.2180 L. Maria Pimentel Herrera UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Centro de Extensión y Proyección Social Operadores relacionales < menor que <= menor igual a > mayor que >= mayor igual a == igual a ~= distinto a Operadores lógicos & Conjunción, devuelve el valor de 1 en ca da posición, donde l os elementos de ambas matrices no son ceros, 0 para los otros casos. | Disyunción, devuelve el valor de 1 en cada posición, donde los elementos de por lo menos de una m atriz no e s nula, 0 en o tros casos. ~ Negación, complementa cada elemento de la matriz de entrada. xor Disyunción exclusiva, devuelve el valor de 1, en ca da posición donde los elementos de ambas matrices son diferentes, 0 para los otros casos. Inputs and or not xor A B A&B A|B ~A xor(A,B) 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 >> A=3*ones(2), B=eye(2)*3 A= 3 3 3 3 B= 3 0 L. Maria Pimentel Herrera | 47 UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Centro de Extensión y Proyección Social 0 3 >> A&B ans = 1 0 0 1 >> A|B ans = 1 1 1 1 >> ~B ans = 0 1 1 0 >> xor(A,B) ans = 0 1 1 0 Variables lógicas También existen variables lógicas que toman los valores 0 (falso) o 1 (verdadero) >>v=[-7 3 17]; >>abs(v)>=2 % Vector lógico cuyas coordenadas valen 1 si la % coordenada correspondiente de v es >= 2 y 0 si no lo es ans = 011 >>vector=v(abs(v)>=2) % Vector formado por la coordenadas de v que % verifican la desigualdad vector = 23 >>v2=[23 3 12] v2 = 23 3 12 48 | L. Maria Pimentel Herrera UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Centro de Extensión y Proyección Social >>logica=v==v2 % Asignación de un valor lógico (el doble signo igual % es el igual lógico) logica = 010 >>logic2=v~=v2 % Distinto (~ es el operador de negación) logic2 = 101 Ejercicios 1. Crear los siguientes vectores: a. X=[3 7 π e12] b. Y=[0 0.1π 0.2π 0.3π 0.4π 0.5π 0.6π 0.7π 0.8π 0.9π π] 7 6 5 c. K= 2 4 16 9 3 1 2. Crear un vector Z de cuatro números complejos. 3. Listar el tercer elemento del vector. 4. Listar los 5 primeros elementos del vector Y. 5. Listar los 5 últimos elementos del vector Y. 6. Listar los elementos de posiciones impares del vector Y. 7. Listar los elementos de posiciones 2, 4, 5 y 7 del vector Y. 8. Crear los vectores M=[5 4 3 2 1] y C=[17 9 8 25 12]. 9. Fusionar los vectores M y C en un vector J. 10. Obtener la transpuesta del vector K. 11. Obtener la transpuesta del vector Z. 12. Crear las siguientes matrices: 4 3 2 1 5 6 7 8 a. R= L. Maria Pimentel Herrera | 49 UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Centro de Extensión y Proyección Social 1 1 2 2 3 3 4 4 b. S= 13. Sumar las matrices R y S. 14. Multiplicar las matrices R y S. 15. Multiplicar R con la transpuesta de S. 16. Multiplicar R y S componente a componente. 17. Eleve 3 a cada elemento de R. 18. Obtener la inversa de cada elemento de R. 19. Hallar la matriz inversa de K. 20. E = eye(4); E(2, 1) = -3 crea una matriz de eliminación elemental de 4 × 4. E*A resta 3 veces la fila 1 de la fila 2 de A. 21. B = [A b] crea una matriz aumentada con b como columna adicional. 22. E = eye(3); P = E([2 1 3],:) genera una matriz de permutación. 23. Nótese que triu(A) + tril(A) - diag(diag(A)) es igual a A. 24. Sea E=[-1 2 4; 1 -2 -4; -1 2 4], expresar la matriz F con las columnas de izquierda a derecha de la matriz E. .... .... .... .... .... .... .... .... .... 25. Expresar E como la suma de una matriz simétrica y una antisimétrica SIMÉTRICA ANTISIMÉTRICA .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... 26. Determinar si E es idempotente. 27. Sea A=[-3 -6 2; 2 4 -1; 2 3 0], expresar la matriz A con las filas de arriba abajo. 50 | L. Maria Pimentel Herrera UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Centro de Extensión y Proyección Social .... .... .... .... .... .... .... .... .... 28. Determinar si la matriz A es involuta .... .... .... .... .... .... .... .... .... 29. Hallar el rango de la matriz A ……………. 30. Hallar el determinante de la matriz A …………… 31. Hallar la inversa de la matriz A .... .... .... .... .... .... .... .... .... 32. Sea C=[1 1 3; 5 2 6; -2 -1 -3], determinar si la matriz C es nilpotente. .... .... .... .... .... .... .... .... .... 33. Hallar el determinante de la matriz C …………… 34. Hallar el rango de la matriz C ……………. 35. Resolver el sistema: 2a+3b+c=6 4a+b+2c=7 6a+b+7c=4 Mediante la función inv. 36. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones. 2x + 0y + 5z = 100 3x + 5y + 9z = 251 1x + 5y + 7z = 301 L. Maria Pimentel Herrera | 51 UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Centro de Extensión y Proyección Social Polinomios conv Producto de polinomios. deconv División de polinomios. poly Polinomio con raíces especificado. polyder Polinomio derivados polyeig Polinomial problema de valores propios polyfit Ajuste de la curva polinómica polyint Integrar polinomio analíticamente polyval Evaluación Polynomial. polyvalm Matriz de evaluación polinomio residue Convertir entre la expansión de l as fracciones parciales y polinomio de coeficientes roots Raíces del polinomio. >>p=[1 0 2 0 3] % Polinomio x^4+2*x^2+3 p= 10203 >>q=[2 1 0] % Polinomio 2*x^2+x q= 210 >>polyval(p,-1) % Evaluación del polinomio x^4+2x^2+3 en x=-1 ans = 6 >>pro=conv(p,q) % Producto de los polinomios p y q pro = 2142630 >>deconv(pro,p) % Cociente entre pro y p; obviamente el resultado es q ans = 210 >>roots(pro) % Raíces del polinomio pro ans = 0 52 | L. Maria Pimentel Herrera UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Centro de Extensión y Proyección Social 0.6050+1.1688i 0.6050-1.1688i -0.6050+1.1688i -0.6050-1.1688i -0.5000 >>poly([i -i 1/2 pi]) % Polinomio mónico que tiene por raíces a los % números i, -i, 0.5 y pi ans = -3.6416 2.5708 -3.6416 1.5708 >> A=[4,2;3,3]; p=poly(A) p= 1 -7 6 El resultado son los coeficientes del polinomio característico ordenado de acuerdo a las potencias decrecientes de la variable, es decir: λ P(λ) = λ2 –7+6 Otra forma de calcular el polinomio característico es usando el comando: vpa(polynsym(p)), donde “ n” indica el número de cifras decimales con que se quiere obtener los coeficientes del polinomio. >> vpa(poly2sym(p)) ans = x^2-7.*x+6 Expresa el polinomio característico en la variable x. Sean p(x)=3x2+6x+9 y q(x)=x2+2x) >> px=[3 6 9], qx=[1 2 0] > polyder(px,qx) ans = 12 36 42 18 >> conv(px,qx) ans = 3 12 21 18 0 >> prod=conv(px,qx) prod = 3 12 21 18 0 >> deconv(prod,px) L. Maria Pimentel Herrera | 53 UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Centro de Extensión y Proyección Social ans = 1 2 0 >> polyder(prod) ans = 12 36 42 18 >>polyint(qx) ans = 1/3 1 0 0 Ejercicios 37. Definir los siguientes polinomios: p(x)=3*x^4+5*x^3+2*x^2+8*x+6 y q(x)=6*x^4+2*x^3+x^2+7*x+8 y hallar a. El valor del polinomio p(-1) y q(-3) p(-1)= q(-3)= b. r(x) es el producto de los polinomios p(x) y q(x) r(x)= c. d(x) es el cociente de los polinomios p(x) y q(x) d(x)= d. las soluciones de los polinomios p(x) y q(x) p(x) x1= x2= x3= x4= x2= x3= x4= q(x)= x1= 38. Hallar las soluciones de los polinomios a. f(s)=s4 + 3s3 – 15s2 – 2s + 9 s1= s2= s3= s4= s2= s3= s4= b. g(s)=s4 + 1 s1= c. h(x)=x3 + 5x2 – 2 x1= 54 | x2= x3= L. Maria Pimentel Herrera UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Centro de Extensión y Proyección Social Álgebra Lineal Matriz de logaritmos y exponenciales expm Matriz exponencial. logm Logaritmo Matrix. sqrtm Raíz matriz cuadrada. >> A = [1 1 0; 0 0 2; 0 0 -1 ] A= 1 1 0 0 0 2 0 0 -1 >> Y=expm(A) Y= 2.7183 1.7183 1.0862 0 1.0000 1.2642 0 0 0.3679 >> logm(Y) % A=logm(Y) ans = 1.0000 1.0000 0.0000 0 0 2.0000 0 0 -1.0000 >> X=[10 7; 15 22] X= 10 7 15 22 >> Y=sqrtm(X) Y= 2.8347 0.9575 2.0518 4.4761 >> Y*Y % X=Y*Y L. Maria Pimentel Herrera | 55 UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Centro de Extensión y Proyección Social ans = 10.0000 7.0000 15.0000 22.0000 Análisis de matriz cond Número de condición con respecto a la inversión. condeig Número de condición con respecto a los valores propios. det Determinante de la matriz. norm Vector y matriz de las normas. normest 2-estimación de la norma. null Espacio nulo. orth Rango de espacio de la matriz. rank Rango de la matriz. rcond Matriz de estimación de número de condición de reciprocidad. rref Reducción de forma escalonada por fila. subspace Ángulo entre dos subespacios. trace Suma de los elementos de la diagonal. >> A=magic(3); A= >> trace(A) 8 3 4 ans= ……. 1 5 9 6 7 2 >>rank(A) ans= ……. >>detA) ans= ……. B= >>norm(A) ans= ……. >> B=magic(4); 56 | 16 2 5 11 9 7 4 14 3 13 10 8 6 12 15 1 L. Maria Pimentel Herrera UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Centro de Extensión y Proyección Social >> rank(B) ans = 3 >> rref(B) ans = 1 0 0 1 0 1 0 3 0 0 1 -3 0 0 0 0 >> c=sqrt(2); C=[1/c 0 -1/c; 1/c 0 1/c; 0 1 0], OR=orth(C) C= 0.7071 0 -0.7071 0.7071 0 0.7071 0 1.0000 0 OR = -0.7071 0 0.7071 -0.7071 0 -0.7071 0 -1.0000 0 >> OR'*OR ans = 1.0000 0 0.0000 0 1.0000 0 0.0000 0 1.0000 Valores propios y valores singulares balance Diagonal de escala para mejorar la precisión de valores propios cdf2rdf Cambio de forma diagonal complejo para bloquear real forma diagonal eig Valores y vectores propios eigs Valores propios más grande y vectores propios de la matriz gsvd Generalizada descomposición de valor singular hess Hessenberg forma de matriz de L. Maria Pimentel Herrera | 57 UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Centro de Extensión y Proyección Social ordeig Valores propios de las matrices de quasitriangular ordgz Reordenar valores propios en QZ factorización ordschur Reordenar valores propios en la factorización Schur poly Polinomio con raíces especificado polyeig Polynomial problema de valores propios rsf2csf Cambio de forma real de Schur para formar complejos de Schur schur Descomposición de Schur sqrtm Raíz matriz cuadrada ss2tf Cambio de estado de los parámetros de filtro de espacio para la transferencia de forma función de svd Descomposición del valor singular vds Encuentre los valores singulares y de vectores P(λ)=det(A-λI) donde A es una matriz cuadrada, I es la matriz identidad y λ es un parámetro. Al desarrollar det(A-λI) obtenemos el polinomio característico. >>A=[5 4 2; 4 5 2; 2 2 2]; >> p=poly(A) p= 1 Al resolver -12 21 -10 det(A-λI)=0 obtenemos los valores propios o característicos del polinomio, y (A-λI)v=0 obtenemos los vectores propios asociados a los valores propios. En Matlab tenemos eig, si [V,D]=eig(A) produce una matriz diagonal D de los valores propios y una matriz V de columnas que corresponden a los vectores propios. De tal forma que se cumpla: AV=VD. >> [V,D]=eig(A) V= -601/1157 503/941 2/3 112/1181 -2107/2850 2/3 383/451 1/3 1514/3697 D= 58 | 1 0 0 0 1 0 0 0 10 L. Maria Pimentel Herrera UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Centro de Extensión y Proyección Social Análisis de datos Operaciones básicas prod Producto de elementos de la matriz. sum Suma de los elementos de la matriz. cumprod Producto acumulado. cumsum Suma acumulada. sort Ordenar elementos de la matriz en or den ascendente o descendente. sortrows Ordenar filas en orden ascendente. >>x=[15 2 -7 5 6 3 4 1 8 9 21 17.5]; >>sum(x) % suma de los elementos de un vector. ans = 84.50 >>cumsum(x) % devuelve el vector suma acumulativa de los elementos de un vector. % producto de los elementos de un vector .x = Columns 1 through 7 15.00 17.00 10.00 15.00 21.00 46.00 67.00 84.50 24.00 28.00 Columns 8 through 12 29.00 37.00 >>x=[15 3 4 1 8 9]; >> cumprod(x) % devuelve el vector producto acumulativo de los elementos de un vector. ans = 15.00 45.00 >> [y,l]=sort(x) 180.00 180.00 1440.00 12960.00 % ordena de menor a mayor los elementos de un vector x. y= 1.00 3.00 4.00 8.00 9.00 15.00 l= 4.00 2.00 3.00 L. Maria Pimentel Herrera 5.00 6.00 1.00 5 6 8 9 15 | 59 UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Centro de Extensión y Proyección Social Estadística Descriptiva Puede utilizar las funciones de MATLAB siguiente para calcular las estadísticas descriptivas para los datos. Nota: Para la matriz de datos, estadísticas descriptivas para cada columna se calculan de forma independiente. corrcoef los coeficientes de correlación cov covarianza. max mayor valor. mean promedio o valor medio. median mediana. min menor valor. mode los valores más frecuentes en la matriz. std desviación estándar. var varianza. >> x=[15 2 -7 5 6 3 4 1 8 9 21 17.5]; >>[xm,im]=max(x) % máximo elemento de un vector. Devuelve el valor máximo xm y la posición que ocupa im. xm = 21 im = 11 >>[xmi,mi]=min(x) % mínimo elemento de un vector. Devuelve el valor mínimo xmi y la posición que ocupa mi. xmi = -7 mi = 3 >> mean(x) % valor medio de los elementos de un vector. ans = 169/24 >> std(x) 60 | % desviación típica. L. Maria Pimentel Herrera UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Centro de Extensión y Proyección Social ans = 644/83 Nota: en realidad estas funciones se pueden aplicar también a matrices, pero en este caso se aplican por separado a cada columna de la matriz, dando como valor de retorno un vector resultante de aplicar la función a cada columna de la matriz considerada como vector. Si estas funciones se quieren aplicar a las filas de la matriz basta aplicar dichas funciones a la matriz transpuesta. Derivadas e integrales cumtrapz Acumulativa de integración numérica trapezoidal del2 Integral laplaciano diff Las diferencias y aproximar los derivados gradient Gradiente numérico int Integral polyder Polinomio derivados polyint Integrar polinomio analíticamente trapz La integración numérica trapezoidal >>f='sin(x)' % Función sin(x) definida mediante una cadena de caracteres f= sin(x) , >>diff(f) ans = % calcular derivadas cos(x) >>diff(f,2) % Derivada segunda de f ans = -sin(x) >>int('log(x)') % Primitiva de la función logaritmo ans = x*log(x)-x L. Maria Pimentel Herrera | 61 UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Centro de Extensión y Proyección Social >>diff('x*log(x)-x') % Comprobación ans = log(x) Ejercicios Las notas obtenidas por 10 alumnos en Física 1 y Física 2 son: F1 F2 11 13 9 11 13 15 10 12 8 10 12 14 10 12 15 9 10 12 Completar el cuadro F1 F2 Máxima nota Mínima nota Acumulado (suma) Media aritmética Desviación estándar Varianza Covarianza 62 | L. Maria Pimentel Herrera 9 16 UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Centro de Extensión y Proyección Social Programación MATLAB es una aplicación que se puede pr ogramar muy fácilmente. Se comenzará viendo las bifurcaciones y bucles, y la lectura y escritura interactiva de variables, que son los elementos básicos de cualquier programa de una cierta complejidad. Es posible hacer una colección de comandos y agruparlos en un archivo de tipo texto y de extensión m (.m) llamado archivo-m. Estos archivos pueden ser scripts o funciones. El script es un archivo-m que contiene una se rie de co mandos que se ejecutarán al ejecutar dicho archivo en MatLab. La función, es un archivo-m que permite la entrada y salida de argumentos además de la ejecución de comandos. Para crear un archivo-m se usa cualquier editor de textos, asegurándose de al macenar dicho archivo con la extensión (.m). Para crear un archivo-M escogemos New del menú File y seleccionamos M-file. Una vez guardado este archivo-M en el disco, Matlab ejecutará las órdenes en dicho archivo simplemente escribiendo su nombre (sin extensión) en l a ventana de comandos de Matlab. Guardar el archivo con el nombre ejemplo.m Defina o agregue la ruta donde esta guardando sus archivos: >> path(path,'C:\Documents and Settings\Mary\Escritorio\matlab\CEPSUNI2010') Ejecute el programa de la línea de comando de la ventana Command Window: L. Maria Pimentel Herrera | 63 UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Centro de Extensión y Proyección Social >> ejemplo Inicio cálculos La traza vale: 34.000000 Ordenes de gestión de archivos what devuelve un listado de todos los archivos-M del directorio actual. dir lista todos los archivos en el directorio o carpeta actual. ls contenido de la carpeta, igual a dir. type test visualiza el archivo-M test.m en la ventana de comando. delete test elimina el archivo-M test.m. cd path cambia al directorio o carpeta dada por path. chdir path lo mismo que cd path. cd muestra el directorio o carpeta de trabajo presente. chdir lo mismo que cd. pwd lo mismo que cd. which test visualiza el camino del directorio de test.m. Bifurcaciones y bucles MATLAB posee un l enguaje de pr ogramación que –como cualquier otro lenguaje– dispone de sentencias para realizar bifurcaciones y bucles. Las bifurcaciones permiten realizar una u otra operación según se cumpla o no una determinada condición. Ejemplos gráficos de bifurcaciones. 64 | L. Maria Pimentel Herrera UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Centro de Extensión y Proyección Social Los bucles permiten repetir las mismas o análogas operaciones sobre datos distintos. Mientras que en C /C++/ Java el "cuerpo" de estas sentencias se determinaba mediante llaves {...}, en MATLAB se utiliza la palabra end con análoga finalidad. Existen también algunas otras diferencias de sintaxis. Bucles con control al principio y al final. La Figura muestra dos posibles formas de bucle, con el control situado al principio o al final del mismo. Si el control está situado al comienzo del bucle es posible que las sentencias no se ejecuten ninguna vez, por no haberse cumplido la condición cuando se llega al bucle por primera vez. Sin embargo, si la condición está al final del bucle las sentencias se ejecutarán por lo menos una vez, aunque la condición no se cumpla. Muchos lenguajes de programación disponen de bucles con control al principio (for y while en C /C++/Java) y al final (do … while en C/C++/Java). En MATLAB no hay bucles con control al final del bucle, es decir, no existe construcción análoga a do ... while. Sentencia if En su forma más simple, la sentencia if se escribe en la forma siguiente: if condicion sentencias end Existe también la bifurcación múltiple, en l a que pueden concatenarse tantas condiciones como se desee, y que tiene la forma: if condicion1 bloque1 elseif condicion2 bloque2 elseif condicion3 bloque3 else % opción por defecto para cuando no se cumplan las condiciones 1,2,3 bloque4 end donde la opción por defecto else puede ser omitida: si no está presente no se hace nada en caso de que no se cumpla ninguna de las condiciones que se han chequeado. Una observación muy importante: la condición del if puede ser una condición matricial, del tipo A= = B, donde A y B son matrices del mismo tamaño. Para que se considere que la condición se cumple, es necesario que sean iguales dos a dos todos los elementos de las matrices A y B (aij=bij, 1≤i≤m, 1≤j≤n). Basta que haya dos elementos aij y bij diferentes para que las matrices ya no sean iguales, y por tanto las sentencias L. Maria Pimentel Herrera | 65 UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Centro de Extensión y Proyección Social del if no se ejecuten. Análogamente, una condición en la forma A∼=B exige que todos los elementos sean diferentes dos a dos (aij≠bij, 1≤i≤m, 1≤j≤n). Bastaría que hubiera dos elementos aij y bij iguales para que la condición no se cumpliese. En resumen: if A==B exige que todos los elementos sean iguales dos a dos if A~=B exige que todos los elementos sean diferentes dos a dos como se ha di cho, MATLAB dispone de funciones especiales para ayudar en el chequeo de co ndiciones matriciales. Por ejemplo, la función isequal(A, B) devuelve un uno si las dos matrices son idénticas y un cero en caso de que difieran en algo. Ejemplo 1. Dados dos números a y b si a es mayor que b entonces intercambiar los valores. if a > b tmp=a; a=b; b=tmp; end prog01.m >> a=16; b=-7; Si a es mayor que b entonces intercambia el valor de las variables. >> prog01 >> a a= -7 >> b b= 16 Ejemplo 2. Si el número dado es 7 entonces lo cambia por cero, en caso contrario lo cambia a 1. >>n=17; if n==17 n=0 else n=1 end; prog02.m >>prog02 n= 0 66 | Donde el 0 proviene de entrar al primer if, y el 1, de entrar al else del segundo if. L. Maria Pimentel Herrera UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Centro de Extensión y Proyección Social >>n=7 >>prog02 n= 1 Ejemplo 3. Si el número dado es diferente de cero entonces lo cambia por uno, en caso contrario lo cambia a 3. if m~=0 m=1 else m=3 end; prog03.m >>m=9 >>prog03 m= Donde el 1proviene de entrar al primer if, y el 3, de entrar al else del segundo if. 1 >>m=0 >>prog03 m= 3 Ejemplo 4. Si nota es mayor o i gual a 13 i mprimir aprobado en ca so contrario desaprobado. if nota>=13 fprintf('aprobado\n') else fprintf('desaprobado\n') end; prog04.m >>nota=11 >>prog04 desaprobado >>nota=15 >>prog04 aprobado Ejemplo 5. Imprimir una matriz magic de orden: n si el resto de dividir entre 2 es diferente de cero, L. Maria Pimentel Herrera | 67 UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Centro de Extensión y Proyección Social n-2 si el resto de dividir entre 3 es diferente de cero, n-1 en otro caso. if rem(n,2) ~= 0 M = magic(n) elseif rem(n,3) ~= 0 M = magic(n-2) else M = magic(n-1) end prog05.m >>n=7 >>prog05 >>n=8 >>prog05 >>n=6 >>prog05 Sentencia switch La sentencia switch realiza una función análoga a un conjunto de if...elseif concatenados. Su forma general es la siguiente: switch switch_expresion case case_expr1,bloque1 case {case_expr2, case_expr3, case_expr4,...} bloque2 ... otherwise, % opción por defecto bloque3 end 68 | L. Maria Pimentel Herrera UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Centro de Extensión y Proyección Social Al principio se evalúa la switch_expresion, cuyo resultado debe ser un número escalar o una ca dena de ca racteres. Este resultado se compara con las case_expr, y se ejecuta el bloque de se ntencias que corresponda con ese resultado. Si ninguno es igual a sw itch_expresion se ejecutan las sentencias correspondientes a ot herwise. Según puede v erse en el ejemplo anterior, es posible agrupar varias condiciones dentro de unas llaves (constituyendo lo que se llama un cell array o vector de celdas); basta la igualdad con cualquier elemento del cell array para que se ejecute ese bloque de sentencias. La “igualdad” debe entenderse en el sentido del operador de igualdad (==) para escalares y la función strcmp() para cadenas de caracteres). MATLAB sólo se ejecuta uno de los bloques relacionado con un case. Ejemplo 6. Ingrese un valor del 1 al 4, para cada caso imprima un mensaje; en caso contrario imprimir ninguna de las anteriores s=7; switch(s) case 1, resp='windows' case 2, resp='matlab' case 3, resp='octave' case 4, resp='linux' otherwise, resp='Ninguna de las anteriores' end prog06.m >>prog06 resp = Ninguna de las anteriores Sentencia for La sentencia for repite un co njunto de se ntencias un número predeterminado de veces. La siguiente construcción ejecuta sentencias con valores de i de 1 a n, variando de uno en uno. for i=1:n sentencias end o bien, for i=vectorValores sentencias end donde vectorValores es un vector con los distintos valores que tomará la variable i. L. Maria Pimentel Herrera | 69 UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Centro de Extensión y Proyección Social Ejemplo 7 Imprime valores del 1 al 9. for i=1:9 i prog07.m end >>prog07 Ejemplo 8 Imprime la matriz magic de orden 3 al 7 for i=3:7 magic(i) prog08.m end >>prog08 En el siguiente ejemplo se presenta el caso más general para la variable del bucle (valor_inicial: incremento: valor_final); el bucle se ejecuta por primera vez con i= n, y luego i se va reduciendo de 0. 2 en 0 .2 hasta que llega a ser menor que 1, en cuyo caso el bucle se termina: for i=n:-0.2:1 sentencias end Ejemplo 9. for i=k:-0.2:1 i prog09.m end 70 | L. Maria Pimentel Herrera UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Centro de Extensión y Proyección Social >>k=4 >>prog09 En el siguiente ejemplo se presenta una es tructura correspondiente a dos bucles anidados. La variable j es la que varía más rápidamente (por cada valor de i, j toma todos sus posibles valores): for i=1:m for j=1:n sentencias end end Ejemplo 10. m=4; n=5; for i=1:m prog10.m for j=1:n A(i,j)=i+j; end end A >>prog10 Una última forma de interés del bucle for es la siguiente (A es una matriz): for i=A sentencias end en la que la variable i es un vector que va tomando en cada iteración el valor de una de las columnas de A. Cuando se introducen interactivamente en la línea de comandos, los bucles for se ejecutan sólo después de introducir la sentencia end que los completa. Ejemplo 11. for i=A fprintf('mi valor es: %f\n',i) prog11.m end >>prog11 L. Maria Pimentel Herrera | 71 UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Centro de Extensión y Proyección Social • Elimine la fila de fprintf y escriba i, explique que hace el programa. >>prog11 Sentencia while La estructura del bucle while es muy similar a la de C/C++/Java. Su sintaxis es la siguiente: while condicion sentencias end donde condicion puede se r una ex presión vectorial o m atricial. Las sentencias se siguen ejecutando mientras haya elementos distintos de cero en condicion, es decir, mientras haya algún o algunos elementos true. El bucle se termina cuando todos los elementos de condicion son false (es decir, cero). Ejemplo 12. p=5; while p fprintf('mi valor es: %f\n',p) Prog12.m end >>prog12 Ejemplo 13. p=5; while p>0 fprintf('mi valor es: %f\n',p); Prog13.m p=p-1; end >>prog13 72 | L. Maria Pimentel Herrera UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Centro de Extensión y Proyección Social Sentencia break La sentencia break hace que se termine la ejecución del bucle for y/o while más interno de los que comprenden a dicha sentencia. Sentencia continue La sentencia continue hace que se pase inmediatamente a l a siguiente iteración del bucle for o while, saltando todas las sentencias que hay entre el continue y el fin del bucle en la iteración actual. Aplicación 1. Calcular la suma de los n primeros términos de la sucesión 1, 2x, 3x^2, 4x^3, ... n=input('¿Cuántos términos quieres sumar? '); x=input('Dame el valor del numero x '); suma=1; for i=2:n suma=suma+i*x^(i-1); end disp('El valor pedido es') disp(suma) 2. Escribir un número natural en una base dada (menor que diez). n=input('Dame el número que quieres cambiar de base '); base=input('¿En qué base quieres expresarlo? '); i=1; while n>0 c(i)=rem(n,base); n=fix(n/base); % Parte entera de n/base i=i+1; L. Maria Pimentel Herrera | 73 UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Centro de Extensión y Proyección Social end disp('La expresión en la base dada es:') i=i-1; disp(c(i:-1:1)) 3. Decidir si un número natural es primo. n=input('Número natural que deseas saber si es primo '); i=2; primo=1; while i<=sqrt(n) if rem(n,i)==0 % Resto de dividir n entre i primo=0; break end i=i+1; end if primo disp('El número dado es primo.') else disp('El número dado no es primo.') disp('De hecho, es divisible por:') disp(i) end Funciones También pueden pr ogramarse funciones. La p rimera instrucción de un fichero que contenga una función de nombre fun debe ser: function [argumentos de salida]=fun(argumentos de entrada) Es conveniente que el fichero que contenga la función se llame como ella; así, la función anterior debería guardarse en el fichero fun.m; por ejemplo, si se desea programar una función que calcule, mediante el algoritmo de E uclides, el máximo común divisor de dos números naturales, basta escribir un fichero euclides.m cuyo contenido sea: 74 | L. Maria Pimentel Herrera UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Centro de Extensión y Proyección Social function m=euclides(a,b) % Cálculo del máximo común divisor de dos números naturales % mediante el algoritmo de Euclides if a0 c=rem(a,b); a=b; b=c; end m=a; Si, una vez escrito el fichero anterior, en el espacio de trabajo o en un programa se escribe la instrucción mcd=euclides(33,121) en la variable mcd se almacenará el valor 11. Las variables de una función son siempre locales. Por tanto, aunque en el seno de la función se modifiquen los argumentos de entrada, el valor de las variables correspondientes queda inalterado. Por ejemplo, en la función euclides.m se modifica el valor de los argumentos de entrada, pero, sin embargo: >>x=15; >>mcd=euclides(x,3); >>x x= 15 Si se pretende que las modificaciones de un argumento de entrada afecten a la variable correspondiente, deberá situarse dicho argumento, además, en la lista de argumentos de salida. • Calcular el promedio de los elementos de un vector y dibujar dicho vector. % Calcula el promedio de los elementos de un vector % y dibuja dicho vector % Sintaxis: promedio(x) donde x es el vector a promediar L. Maria Pimentel Herrera | 75 UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Centro de Extensión y Proyección Social function p = promedio(x) n=length(x); p=0; for i=1:n p=p+x(i); end p=p/n; plot(x); Para ejecutar la función, se hace el llamado en l a línea de co mandos incluyendo el parámetro. La función promedio usa por parámetro un v ector. Este vector debe ser definido previamente. >>A=[1 2 4 3 7 5 6 1 2 0 8 5]; >>promedio(A) ans = 3.6667 MatLab despliega las imágenes en una ventana de figuras. Al observar el contenido de dicha ventana luego de ejecutar la función promedio, se tiene: 76 | L. Maria Pimentel Herrera UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Centro de Extensión y Proyección Social Funciones de usuario propias Función que devuelve una sola variable Consideremos un archivo M de función para la siguiente ecuación: f ( x) = 2 x 3 + 7 x 2 + 3x − 1 …(α) x 2 − 3 x + 5e − x Suponiendo que el archivo M se guarda como fun, su guión sería el siguiente: function y=fun(x) y=(2*x.^3+7*x.^2+3*x-1)./(x.^2-3*x+5*exp(-x)); Usemos el comando fun aplicado para el valor de x=5 >> fun(5) y= 43.7526 Si el argumento es una matriz, por ejemplo: >> fun([4 7; 2 -2]) ans = 61.3455 37.4582 -37.0280 0.1065 Función que devuelve múltiples variables Una función puede devolver más de una variable. Supongamos una función que evalúa la media y la desviación estándar de una serie de datos. Para devolver las dos variables utilizamos un vector en el miembro izquierdo del enunciado de la función; por ejemplo, function [media, dvstd]=media_ds(x) n = length(x); media = sum(x)/n; dvstd = sqrt(sum(x.^2)/n - media.^2); L. Maria Pimentel Herrera | 77 UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Centro de Extensión y Proyección Social Para utilizar esta function, el miembro derecho del enunciado de llamada también debe ser un vector. >> x=[1 5 3 4 6 5 8 9 2 4]; >> [m, d] = media_ds(x) Produce m= 4.7000 d= 2.3685 Función que utiliza otra función El argumento de una función puede ser el nombre de otra función. Ejm supongamos una función que evalúa la media ponderada de una función en tres puntos como f av = f (a ) + 2 f (b) + f (c) 4 Donde f(x) es la función que se nombrará en el argumento. Realizar el guión fav que calcula la función anterior. function mp = fav(nomf,a,b,c) mp = (feval(nomf,a) + 2*feval(nomf,b)+feval(nomf,c))/4; En el guión anterior, nomf (una variable de cadena) es el nombre de la función f(x). Si f(x) es la función seno, nomf será ‘sin’. feval (nomf,x) es un comando de Matlab que evalúa la función llamada nomf para el argumentos. Por ejemplo, y=fevcal(´sin’,x) equivale a y=sin(x). Evaluar la ecuación para la función (α) con a=1, b=2 y c=3. >> A = fav(‘fun’, 1,2,3) Produce A= 89.8976 78 | L. Maria Pimentel Herrera UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Centro de Extensión y Proyección Social Gráficos Matlab permite crear gráficos de varios tipos, que se utilizan para: – visualizar el contenido de las variables – crear imágenes/películas/VR/GIS – generar interfaces de usuario Graficar: suponga que desea graficar un conjunto de punto de datos, (xi,yi), i=1,2,…n. Es necesario preparar x y y en forma de arreglo idéntica, es decir, convertirlos en arreglos de fila o de columna de la misma longitud. Los datos se grafican con plot. Gráficos 2D • 2 y=x , -10 ≤ x ≤ 10 >> x=-10:10; >> y=x.^2; >> plot (x,y) >> xlabel(‘x’); ylabel(‘y’); • y=seno(x), -π ≤ x ≤ π >> x=…………………; >> y=…………………; >> plot (x,y) >> xlabel(‘x’); ylabel(‘y’); • y=sen(x)exp(-0.4x), 0 ≤ x ≤ 10 >> x=0:0.05:10; >> y=sin(x).*exp(-0.4*x); >> plot (x,y) >> xlabel(‘x’); ylabel(‘y’); L. Maria Pimentel Herrera | 79 UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Centro de Extensión y Proyección Social Funciones para gráficos etiqueta sobre el eje X de la gráfica actual >> xlabel('texto') etiqueta sobre el eje Y de la gráfica actual >> ylabel('texto') título en la cabecera de la gráfica actual >> title('texto') texto en el lugar especificado por las coordenadas >> text(x,y, 'texto') texto, el lugar lo indicamos después con el mouse >> gtext('texto') dibujar una rejilla >> grid fija valores máximo y mínimo de los ejes >> axis( [xmin xmax ymin ymax] ) fija que la escala en los ejes sea igual >> axis equal fija que la gráfica sea un cuadrado >> axis square desactiva axis equal y axis square >> axis normal abre una ventana de gráfico >> hold on borra lo que hay en la ventana de gráfico >> hold off Tipos de colores de líneas Tipos de línea Símbolo Continua Guiones Punteada Guiones y punto -: -. El tipo de l ínea por omisión es el continuo. Si desea graficar con un mismo tipo de línea en particular especifique la marca de línea después de las coordenadas; por ejemplo, plot(x,y,’—‘) Se dispone los siguientes colores: Color de línea Símbolo rojo amarillo magenta turquesa verde azul blanco negro r y m c g b w k Utilice el símbolo del color igual que los tipos de línea en el argumento de pl ot; por ejemplo, plot(x,y,’g’) También es posible combinar marcas y colores: marcas + de color verde. 80 | plot(x,y,’+g’) grafica los datos con L. Maria Pimentel Herrera UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Centro de Extensión y Proyección Social Borrados de gráficas clf borra todo lo que haya en la ventana de gráficos. cla borra las curvas graficadas y redibuja los ejes Retícula Se puede agregar una retícula a la gráfica con grid on. Por otro lado, grid off elimina la retícula. El empleo de grid por sí solo activa y desactiva la retícula alternadamente. El siguiente guión es un ejemplo del empleo de gris on: >> u=-pi:pi/8:pi; >> h=sin(u)+cos(u); >> plot(u,h) >> grid >> xlabel('x'); ylabel('y') Graficación únicamente con marcas Los datos pueden graficarse sólo con marcar sin estar conectados por líneas. Tipos de marca Punto Más Estrella Círculo Marca x • Símbolo . + * o x y=x3, -100 ≤ x ≤ 100 >> x=-10:10; >> y=x.^3+1; >> plot (x,y,’*’) >> xlabel(‘x’); ylabel(‘y’); • y=coseno(x), -2π ≤ x ≤ 2π >> x=…………………; >> y=…………………; >> plot (x,y,’.’) >> xlabel(‘x’); ylabel(‘y’); L. Maria Pimentel Herrera | 81 UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Centro de Extensión y Proyección Social • y=sen(x)exp(-0.4x), 0 ≤ x ≤ 10 >> x=(0:0.4:10)’; >> y=sin(x).*exp(-0.4*x); >> plot(x,y,’+’) >> xlabel(‘x’); ylabel(‘y’) • z=coseno(p)+iseno(2p)exp(-0.05p)+0.01p >> p=0: 0.05: 8*pi; >> z=(cos(p) + i*sin (2*p)).*exp(-0.05*p)+0.01*p; >> plot(real(z), imag(z),’g’) >> xlabel(‘Re(z)’); ylabel(‘Im(z)’) • Grafica de la campana de gauss >>x=linspace(-3,3,500); y=exp(-x.^2); z=2*exp(-x.^2); >>plot(x,y,'-',x,z,'--') % Dibujamos dos funciones >>title('Campanas de Gauss') >>xlabel('Eje de Abscisas') % Etiqueta el eje horizontal >>ylabel('Eje de Ordenadas') % Etiqueta el eje vertical >>legend('exp(-x^2)', '2*exp(-x^2)') % Leyenda 82 | L. Maria Pimentel Herrera UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Centro de Extensión y Proyección Social Gráficas polares Podemos graficar una función en coordenadas polares con polar. >> t=0:.05:pi+.01; >> b=sin(3*t).*exp(-0.3*t); >> polar(t,y) >> title('Gráfica polar') >> polar(t,b,'+c') >> polar(t,b,'+r') >> polar(t,b,':r') >> polar(t,b,'or') Limpiar la memoria Clear Dos gráficos en uno También pueden dibujarse funciones. Así: >>fplot('sin(x)',[0 2*pi]) % Dibuja la función seno en el intervalo [0,2*pi] >>hold on % Mantiene en la ventana gráfica los dibujos anteriores >>fplot('cos(x)',[0 2*pi]) % Dibuja sobre la gráfica anterior la función cos(x) >>hold off % Con esto olvida los dibujos % anteriores y dibuja en una ventana nueva >>fplot('x^2*sin(1/x)',[-0.05 0.05]) % Dibuja la función x^2*sin(1/x) L. Maria Pimentel Herrera | 83 UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Centro de Extensión y Proyección Social Grafica de función >>ezplot('exp(x)') % Dibuja la función exponencial en un intervalo adecuado a la función Grafica de paramétrica >>ezplot('sin(t)','cos(t)',[0 pi]) Grafica de función implícita >>ezplot('x^2 - y^2 - 1') También permite dibujar superficies. La forma más sencilla es mediante el comando ezsurf, >>ezsurf('sin(x*y)',[-2 2 -2 2]) 84 | L. Maria Pimentel Herrera UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Centro de Extensión y Proyección Social Polígonos Para dibujar polígonos podemos usar la función plot pero teniendo en cuenta que el último punto de a mbos vectores deben coincidir para que la gráfica quede cerrada. Pero si lo que queremos es que quede coloreado todo el interior del polígono debemos usar mejor la función fill, tiene tres argumentos, los dos vectores que forman los puntos y un tercer argumento para indicar el color. >> x=[-2 0 2 0 -2]; y=[4 8 4 0 4]; >> plot(x,y) % dibuja el polígono, 'r' indica el color rojo >> fill(x,y,'r') % Gráficos con el mismo eje La función plot nos permite otras opciones como superponer gráficas sobre los mismos ejes: >> x=[-2 -1 0 1 2 3]; y=[4 1 0 1 4 9]; z=[6 5 3 7 5 2]; >> plot(x,y,x,z) Múltiples graficas Una ventana gráfica se puede dividir en m particiones horizontales y en n verticales, de modo que cada subventana tiene sus propios ejes, y para hacer esto vamos a usar subplot (m,n,p) donde p indica la subdivisión que se convierte en activa. >> x=1:360; y1=sind(x); y2=cosd(x); y3=exp(x); y4=exp(-x); >> subplot (2,2,1), plot (x,y1), title ('seno') >> subplot (2,2,2), plot (x,y2), title ('coseno') >> subplot (2,2,3), plot (x,y3), title ('exponencial') >> subplot (2,2,4), plot (x,y4), title ('-exponencial') L. Maria Pimentel Herrera | 85 UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Centro de Extensión y Proyección Social Para volver al modo por defecto basta escribir: subplot (1,1,1). Otras propiedades gráficas También se pueden e specificar otras propiedades gráficas de l a línea mediante parejas de nombre de propiedad y valor. Estas propiedades se asignarán a todas las líneas del gráfico. Algunas de las propiedades más habituales son: • LineWidth: Especifica el grosor de la línea en píxeles. • MarkerEdgeColor: Especifica el color del borde del marcador. • MarkerFaceColor: Especifica el color del interior del marcador. • MarkerSize: Especifica el tamaño del marcador. >> x = 0:0.5:20; >> y = exp(0.1*x); >> y1 = y.*sin(x); >> y2 = y.*cos(x); % Las propiedades especificadas afectan a todas las líneas >> plot (x, y1, ':ks', x, y2, '-bo', 'LineWidth', 2, 'MarkerEdgeColor', 'r', 'MarkerFaceColor', 'w', 'MarkerSize', 7) Gráfico de función a trozos Gráfico de la función seno en dos tramos [0, 3π/8] y [5π/8, π] >> X = [linspace(0,pi*3/8,20); linspace(pi*5/8, pi, 20)]; >> Y = sin(X); >> plot(X,Y) %Hay que tener en cuenta que se imprime por columnas 86 | L. Maria Pimentel Herrera UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Centro de Extensión y Proyección Social >> plot(X’,Y’) % Ahora sí % Es equivalente a: plot(X(1, :), Y(1, :), X(2, :), Y(2, :)) • Graficar la función x2 si x<0 si 0 ≤ x < 1 f ( x) = 1 − x + 2 si 1≤ x >> x=linspace(-2,3,3000); >> y=(x.^2).*(x<0)+1.*((0<=x)&(x<1))+(-x+2).*(1<=x); >> plot(x,y,'.'),grid on,title('Función definida a trozos') Campo vectorial 2D Dibujar los vectores velocidad sobre la curva >> ezplot('cos(t)','sin(t)',[0 2*pi]) >> hold on >> t=linspace(0,2*pi,20); >> quiver(cos(t),sin(t),-sin(t),cos(t)),axis square Cambios de coordenadas polares-cartesianas Hay dos comandos que permiten hacer cambios de coordenadas. Si queremos cambiar de coordenadas polares a coordenadas cartesianas hay que ut ilizar el comando >> [x,y]=pol2cart(theta,r); L. Maria Pimentel Herrera | 87 UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Centro de Extensión y Proyección Social Esto es, suponiendo que los puntos en co ordenadas polares estén previamente almacenados en las variables theta y r. Los puntos ahora obtenidos se podrán dibujar utilizando el comando plot. Para hacer el cambio de coordenadas cartesianas a coordenadas polares, habrá que utilizar >> [theta,r]=cart2pol(x,y); Otros comandos relacionados con las gráficas son los siguientes: Gráficos Estadísticos Gráfico de sectores >> x = [1 1 2 3 5 8]; >> pie(x); Gráfico de sectores con elementos resaltado >> x = [1 1 2 3 5 8]; >> ex = [0 1 0 0 1 0]; >> pie(x, ex); 88 | L. Maria Pimentel Herrera UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Centro de Extensión y Proyección Social Ejercicio Realizar un grafico de sectores en el cual se resalte el sector de Inca Kola y se indique la leyenda por color del sector correspondiente. Gaseosa Coca Cola Guarana Inca Kola Kola Real Pepsi Otros Total Preferencia 13 9 15 5 8 3 53 >> g=[13 9 15 5 8 3]; >> gg=[0 0 1 0 0 0]; >> pie(g, gg); >> legend('Coca Cola', 'Guarana','Inca Kola','Kola Real','Pepsi','Otros') Gráfico de sectores tridimensional >> x = [1 1 2 3 5 8]; >> ex = [0 0 0 1 0 0]; >> pie3(x, ex); Histograma Para generar histogramas se utiliza el comando hist. Por ejemplo, generamos 1000 números aleatorios siguiendo la normal N(0; 1) >> x = randn(1,10000); >> hist(x); Histograma de 50 barras >> x = randn(1,10000); L. Maria Pimentel Herrera | 89 UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Centro de Extensión y Proyección Social >> hist(x, 50); Ejercicio Con los siguientes datos construya un histograma 1 3 7 5 2 2 3 4 4 4 3 5 5 6 7 6 5 6 4 4 >> f = [1 3 7 5 2 2 3 4 4 4 3 5 5 6 7 6 5 6 4 4]; >> hist(f ,15); Diagrama de pareto El diagrama de Pareto que produce MatLab constará de barras cuyas alturas son el número de alumnos, ordenadas en forma decreciente y sobre las barras, un po lígono con las frecuencias acumuladas del número de alumnos. Deporte No. Además, en el porcentajes. eje vertical derecho aparece una esca la de De un grupo de alumnos se encontró las siguientes preferencias: Futbol 30 Básquet 25 Tennis 17 Voley 9 Total 81 >> x=[30 25 17 9]; >> pareto(x),ylabel('Número de alumnos') Gráfico de barras Existen varias posibilidades para representar diagramas de barras. Supongamos que queremos representar los siguientes datos en un diagrama de barras: Introducimos los datos en un vector >>x=[10 2 3 5 18 20 15 ]; 90 | L. Maria Pimentel Herrera UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Centro de Extensión y Proyección Social Y ahora usamos los comandos bar, barh, bar3 y bar3h para generar los gráficos. (Usando el comando subplot podemos conseguir que aparezcan todos en la misma figura.) >> subplot(2,2,1),bar(x),title('Barras Verticales') >> subplot(2,2,2),barh(x),title('Barras Horizontales') >> subplot(2,2,3),bar3(x),title('Barras Verticales 3D') >> subplot(2,2,4),bar3h(x),title('Barras Horizontales 3D') Rotar Hay que observar que las gráficas 3D se pueden modificar utilizando el comando rotate3d Ejercicio Realizar un grafico de barras de Días transcurridos vs el número de reclamos resueltos. Dias 1 2 3 4 5 6 7 8 N° de reclamos 4 5 7 11 15 9 7 3 >> x = [1 2 3 4 5 6 7 8]; >> y = [4 5 7 11 15 9 7 3]; >> subplot(2,2,1),bar(x,y,'r'),title('Barras Verticales') >> subplot(2,2,2),barh(x,y,'g'),title('Barras Horizontales') >> subplot(2,2,3),bar3(x,y,'m'),title('Barras Verticales 3D') >> subplot(2,2,4),bar3h(x,y,'c'),title('Barras Horizontales 3D') L. Maria Pimentel Herrera | 91 UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Centro de Extensión y Proyección Social Grupos de barras >> subplot(1,1,1) >> x = 0.5:0.5:4; >> y = 1./x; >> Y = [y' fliplr(y)']; %en 2D dimensiones >> bar(x, Y) %en 3D dimensiones >> bar3(x, Y,'group') Ejercicio De tres salones de clase, se encuesto la preferencia por los colores, según la tabla realizar un grafico de barras Color r v az n m f am Clase 1 (32) 3 5 7 6 5 4 2 Clase 2 (40) 9 7 5 3 8 2 6 Clase 3 (35) 7 3 5 4 7 5 3 >> X= [1 2 3 4 5 6 7]; >> c1 = [3 5 7 6 5 4 2]; >> c2 = [9 7 5 3 8 2 6]; >> c3 = [7 3 5 4 7 6 3]; >> Y = [c1' c2' c3']; >> bar(X,Y); >> title('Preferencia de color'); >> xlabel('1.Rojo 2.Verde 3.Azul 4.Negro 5.Fucsia 6.Turquesa 7.Amarillo'); >> ylabel('nro. de alumnos'); >> legend('Clase 1 (32)','Clase 2 (40)','Clase 3 (35)'); Barras apiladas >> x = 0.5:0.5:4; >> y = 1./x; >> Y = [y' fliplr(y)']; 92 | L. Maria Pimentel Herrera UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Centro de Extensión y Proyección Social %en 2D dimensiones >> bar(x, Y, 'stacked') >> colormap([1 1 0;0 1 0]) %en 3D dimensiones >> bar3(x, Y, 'stacked') >> colormap([1 0 0;0 0 1]) Ejercicio De cuatro distritos, se encuesto la preferencia por las frutas, según la tabla realizar un grafico de barras apiladas. Distrito Pera Papaya Fresa Manzana Durazno A (145) 30 15 45 25 30 B (120) 5 20 25 30 40 C (100) 22 28 15 15 20 D (110) 10 13 20 40 27 >> X = 1:5; >> d1 = [30 15 45 25 30]; >> d2 = [5 20 25 30 40]; >> d3 = [22 28 15 15 20]; >> d4 = [10 13 20 40 27]; >> Y = [d1' d2' d3' d4']; >> bar(X, Y, 'stacked'); >> bar3(X, Y, 0.5,'stacked'); % 2D % 3D >> title('Barras apiladas'); >> colormap([1 0 0;0 1 0;0 0 1;0 1 1]) >> legend('A','B','C','D'); >> ylabel('Nro. de personas'); >> xlabel('1.Pera 2.Papaya 3.Fresa 4.Manzana 5.Durazno'); Gráfico de dispersión Las formas más habituales de esta función son: L. Maria Pimentel Herrera | 93 UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Centro de Extensión y Proyección Social scatter(x, y) scatter(x, y, size) scatter(x, y, size, color) Hace un gráfico de dispersión con las coordenadas de x e y. Los vectores deben ser del mismo tamaño. También se puede especificar el tamaño de los puntos y su color. Tanto el tamaño como el color se pueden e specificar para todos los puntos en conjunto o para cada punto individualmente. Para lo primero basta con especificar con un escalar el tamaño y con un vector de 1x3 el color (en RGB). Para lo segundo hay que proporcionar para el tamaño de los puntos un vector (de igual longitud que x e y) y para el color, o bien, un vector de índices (que harán referencia al colormap), o bien, una matriz de length(x)x3 con los colores (en RGB). %Puntos distribuidos aleatoriamente con distribución normal en 2D >> x = randn(1,100); >> y = randn(1,100); %..con puntos de color aleatorio usando el colormap >> scatter(x, y, 100, rand(1, 100)) Gráfico utilizando dos ejes verticales distintos plotyy(X1,Y1,X2,Y2) plotyy(X1,Y1,X2,Y2,'function1','function2') Realiza un gráfico utilizando dos ejes verticales distintos, uno para la serie Y1 (eje de la izquierda) y otro para la serie Y2 (eje de la derecha). Esta función es útil cuando se desean visualizar dos series con distinta escala y/o unidades en un mismo gráfico, por ejemplo en gráficos de temperatura y pluviometría. Se pueden especificar los nombres de función con que se quiere mostrar el gráfico. Se puede usar cualquier función que acepte llamadas del tipo function(x, y). Gráfico con dos ejes verticales con distinta escala >> x = 1:12; 94 | L. Maria Pimentel Herrera UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Centro de Extensión y Proyección Social >> pluv = sin(linspace(pi/2,pi+3*pi/2,12))*100+100; >> temp = sin(linspace(0, pi, 12))*40; >> plotyy(x, pluv, x, temp) Gráfico con dos ejes verticales usando distintas funciones para dibujarlo >> plotyy(x, pluv, x, temp, 'bar', 'plot') Gráfico Apilado area(X,Y) Esta función genera un gráfico apilado, útil para mostrar las contribuciones de distintas componentes de un todo. Si X e Y son vectores el resultado es igual a plot excepto que se rellena el área bajo la curva. Si Y es una matriz, la función acumula los distintos valores de las columnas de Y. X debe ser monótona. Creamos una columna creciente, otra constante y otra que varia con el seno >> x = 1:10; >> Y = [linspace(1,5,10)' ones(10, 1) 1+sin(0.5:0.5:5)']; >> area(x, Y) >> colormap summer Ejemplo de Análisis Numérico Dibujo del conjunto de Mandelbrot para la ecuación L. Maria Pimentel Herrera | 95 UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Centro de Extensión y Proyección Social obtenido con mandel(120). function mandel(n) x=linspace(-2.5,0.6,n); y=linspace(-1.2,1.2,n); [X,Y] = meshgrid(x,y); C = complex(X,Y); Zmax = 1e6; itemax = 50; Z=C; for k=1:itemax Z = Z.^2 + C; end % la orden spy dibuja los elementos no nulos de % una matriz. Suele usarse para matrices ‘‘huecas" spy( Z < Zmax); 3-D Gráficos de línea También podemos crear gráficas en 3 dimensiones, se trata de extender la orden de plot (2-D) a plot3 (3-D) donde el formato será igual pero los datos estarán en tripletes: >> x=-720:720; y=sind(x); z=cosd(x); >> plot3(x,y,z) 96 | L. Maria Pimentel Herrera UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Centro de Extensión y Proyección Social Si queremos representar un polígono en 3 dimensiones lo haremos con la función fill3 de forma similar a fill pero ahora con 4 argumentos, siendo el cuarto el que indica el color. >> x=[-2 0 2 0 -2]; >> y=[4 8 4 0 4]; >> z=[3 5 10 5 3]; %dibuja en 3-D, 'g' indica el color verde >> fill3(x,y,z,'g') Superficie de malla La orden [X,Y]=meshgrid(x,y) crea una matriz X cuyas filas son copias del vector x y una matriz Y cuyas columnas son copias del vector y. Para generar la gráfica de malla se usa la orden mesh(X,Y,Z), mesh acepta un argumento opcional para controlar los colores. También puede tomar una matriz simple como argumento: mesh(Z). >> x=-10:0.5:10; y=-10:0.5:10; >> [X,Y]=meshgrid(x,y); % crea matrices para hacer la malla >> Z=sin(sqrt(X.^2+Y.^2))./sqrt(X.^2+Y.^2+0.1); >> mesh(X,Y,Z) % dibuja la gráfica Hubiera dado igual si hubiéramos escrito: >> [X,Y] = meshgrid (-10:0.5:10); >> Z = sin (sqrt (X .^2 + Y .^ 2)) ./ sqrt (X .^ 2 + Y .^ 2 + 0.1); >> mesh (X,Y,Z) L. Maria Pimentel Herrera | 97 UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Centro de Extensión y Proyección Social Gráfica de superficie Es similar a l a gráfica de malla, pero aquí se rellenan los espacios entre líneas. La orden que usamos es surf con los mismos argumentos que para mesh. >> surf (X,Y,Z) Las gráficas de contorno en 2 -D y 3 -D se generan usando respectivamente las funciones contour y contour3. >> contour (X,Y,Z) % dibuja las líneas de contorno La función pcolor transforma la altura a un conjunto de colores. >> pcolor (X,Y,Z) Manipulación de gráficos • fija el ángulo de visión especificando el azimut y la elevación: >> view(az,el) • coloca su vista en un vector de coordenada cartesiana (x,y,z) en el espacio 3-D: >> view([x,y,z]) • almacena en az y el los valores del azimut y de l a elevación de l a vista actual: >> [az,el]=view • añade etiquetas de altura a los gráficos de contorno • añade una barra de color vertical mostrando las transformaciones >> clabel(C,h) >> colorbar >> surf(X,Y,Z) >> view(10,70) >> colorbar % añade la barra de color a la figura actual >> surf(X,Y,Z) >> view([10,-12,2]) >> surf (X,Y,Z) >> [az,el] = view az = -37.5000 el = 30 >> [C,h] = contour (X,Y,Z); 98 | L. Maria Pimentel Herrera UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Centro de Extensión y Proyección Social >> clabel (C,h) Comprensión de los mapas de color La sentencia colormap (M) instala al matriz M como el mapa de color a utilizar por la figura actual. >> surf (X,Y,Z) >> colormap (pink) >> colormap (hot) >> colormap (summer) creamos una matriz de colores >> M = [0 0 0; 1 0 0; 0 1 0; 0 0 1; 1 1 0]; >> colormap (M) Campo vectorial 3D Dibujar los vectores velocidad sobre la hélice L. Maria Pimentel Herrera | 99 UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Centro de Extensión y Proyección Social >> t=linspace(0,8*pi,20); >> quiver3(sin(t),cos(t),t,cos(t),-sin(t),1,1.5); >> hold on >> t=linspace(0,8*pi,2000); >> plot3(sin(t),cos(t),t,'r'); >> grid on; >> hold off; Superficie Dibujar la grafica de la función de diferentes formas para -2 ≤ x ≤ 2, -2 ≤ y ≤ 2 >> [x,y]=meshgrid(-2:.5:2); >> z=exp(-x.^2-y.^2); >> subplot(2,2,1); plot3(x,y,z); >> subplot(2,2,2); mesh(x,y,z); >> subplot(2,2,3); surf(x,y,z); >> subplot(2,2,4); surf(x,y,z),shading flat; Ejes. Las longitudes de los ejes coordenados también se pueden modificar con el comando >>axes([xmin xmax ymin ymax zmin zmax]) Vectores Normales a una superficie Dibujar los vectores normales a la superficie de una esfera siguiendo los siguientes pasos: Dibujar una esfera utilizando >> sphere,axis square,title('ESFERA') luego guarde la información en tres variables >> [x,y,z]=sphere(n); Utilizar el comando >> surfnorm(x,y,z) 100 | L. Maria Pimentel Herrera UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Centro de Extensión y Proyección Social Este comando también se puede utilizar para dibujar los vectores normales en superficies de funciones de la forma z = f(x; y). Para dibujar las normales en el sentido opuesto habrá que poner surfnorm(x',y',z'). • Dibujar un paraboloide de revolución y sus vectores normales, utilizar como generatriz la función: r (t ) = t , con t ∈ [0,2] >> t=linspace(0,2,20); >> r=sqrt(t); cylinder(r); >> [x y z]=cylinder(r); >> surfnorm(x,y,z) Curvas de nivel Dada una función z = f(x; y), las curvas sobre el plano XY , determinadas por f(x; y) = k, donde k es una constante se llaman curvas de nivel. Hay varias formas de obtenerlas usando MatLab. z = x2 + y 2 Dibujar las curvas de nivel y etiquetarlas. >> [x,y]=meshgrid(-2:.1:2); >> z=x.^2+y.^2; 2D >> contour(x,y,z,10) % curvas de nivel >> cs=contour(x,y,z,15); >> clabel(cs) 3D >> contour3(x,y,z,10) >> cs=contour3(x,y,z,15); >> clabel(cs) L. Maria Pimentel Herrera | 101 UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Centro de Extensión y Proyección Social Superficies de revolución El comando >>makevase hace aparecer una ventana interactiva que permite dibujar gráficas de superficies de revolución en las que la generatriz es una poligonal cuyos vértices se señalan con el mouse sobre el propio dibujo. Gráficos de funciones complejas El comando cplxmap permite representar gráficas de funciones complejas de variable compleja en el siguiente sentido: Sea la función compleja de variable compleja El comando cplxmap(z,f(z)) dibuja una gráfica tridimensional en la que el eje X es la parte real de la variable, es decir, Real(z); el eje Y es la parte imaginaria de la variable, es decir, Im(z) y el eje Z es la parte real de la imagen de la función, es decir, Re(f(z)). La variable z va a pertenecer siempre al dominio constituido por el disco unidad centrado en el origen y las coordenadas de los puntos deben estar en forma polar. Esto se consigue utilizando previamente el comando cplxgrid(n), donde n es el número entero positivo. Ejemplo : la gráfica de la función f(z) = z3 >>z=cplxgrid(25); >>cplxmap(z,z.^3) Gráficas en movimiento Entre las múltiples posibilidades del programa MatLab está la de producir gráficas en movimiento. Se trata de pequeños programas, llamados “movies”, que elaboran una película" fotograma a fotograma. Estos fotogramas, una vez visualizados, producen la sensación de movimiento. • 102 | Dibujar la gráfica de la curva y =λsin(x) para varios valores de λ contenidos en el intervalo [-1;1]. L. Maria Pimentel Herrera UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Centro de Extensión y Proyección Social function cuerda % movie cuerda x=linspace(0,2*pi,1000); n=50; % n numero de fotogramas El núcleo del programa lo constituyen el conjunto de comandos for j = 1:n t=(2*pi/49)*(j-1); y=sin(t)*sin(x); plot(x,y,'*'),axis([0 2*pi -1.2 1.2]) F(j) = getframe; end En programación se denomina un bucle, esto es, un conjunto de instrucciones, en este caso, comandos gráficos que se ejecutan varias veces, dependiendo del valor de j. A medida que j varía de 1 a 50, t varía, de 0 a 2π y, por tanto, λ = sin(t) varía entre -1 y 1. Para cada valor de j se realiza un g ráfico/fotograma que se almacena con la instrucción F(j) = getframe;. Por último, el comando movie(F,2) permite visualizar la película el número de veces que se le indique. >>movie(F,2) • 2D Función elipse en movimiento function elipse n=30; x=linspace(0,2*pi,200); for j = 1:n t=(pi/29)*(j-1); plot(cos(x),sin(t)*sin(x),'rs'), axis([-1 1 -1 1]); F(j)=getframe; end movie(F,5) L. Maria Pimentel Herrera | 103 UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Centro de Extensión y Proyección Social • 2D colores en movimiento function colores n=30; for j = 1:n x=rand(10); imagesc(x) F(j) = getframe; end movie(F,5) • 3D membrana en movimiento function membrana [x,y]=meshgrid(-1:.1:1); n=20; for j = 1:n t=(2*pi/19)*(j-1); z=2*sin(t)*exp(-x.^2-y.^2); surf(x,y,z),axis([-1 1 -1 1 -2 2]) F(j) = getframe; end movie(F,6) • Función 3D de picos en movimiento function picos [x,y,z]=peaks; n=20; for j = 1:n t=(2*pi/19)*(j-1); z1=sin(t)*z; surf(x,y,z1),axis([-3 3 -3 3 -5 5]) F(j) = getframe; end >> movie(F,3) 104 | L. Maria Pimentel Herrera MATLAB Primera edición digital Noviembre, 2012 Lima - Perú © L. Maria Pimentel Herrera PROYECTO LIBRO DIGITAL PLD 0618 Editor: Víctor López Guzmán http://www.guzlop-editoras.com/ guzlopster@gmail.com guzlopnano@gmail.com facebook.com/guzlop twitter.com/guzlopster 731 2457 - 999 921 348 Lima - Perú
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