MATLAB Manual

L. Maria Pimentel Herrera

UNI - CEPS

M A T L A B

Contenido

Introducción 5

Entorno de trabajo de matlab 6

Path de matlab 7

Workspace browser y array editor 7

Formatos de salida 8

Guardar variables y estados de una sesión 9

Guardar sesión y copiar salidas 9

Líneas de comentarios 10

Help 10

Medida de tiempos y de esfuerzo de cálculo 15

Operaciones con números reales 17

Operaciones aritméticas 17

Constantes matemáticas 19

Referencia de funciones 20

Operaciones con Matrices y Vectores 21

Definición de variables 21

Definición de matrices desde teclado 21

Tipos de matrices 22

Matrices especiales 25

Operaciones de Matrices 29

Funciones matemáticas elementales 33

Operaciones elemento a elemento 35

Generador de vectores 36

Comandos relacionados con tamaño de datos 36

Cambiar elementos en una matriz 37

Crear submatrices de una matriz 37

Concatenación de vectores y matrices 40

Números y matrices asociados a A 43

Operadores relacionales 47

Operadores lógicos 47

Variables lógicas 48

Ejercicios 49

Polinomios 52

Ejercicios 54

Álgebra Lineal 55

Matriz de logaritmos y exponenciales 55

Análisis de matriz 56

Valores propios y valores singulares 57

Análisis de datos 59

Operaciones básicas 59

Estadística Descriptiva 60

Derivadas e integrales 61

Ejercicio 62

Programación 63

Ordenes de gestión de archivos 64

Bifurcaciones y bucles 64

Sentencia if 65

Sentencia switch 69

Sentencia for 70

Sentencia break 73

Sentencia continue 73

Aplicación 73

Funciones 74

Funciones de usuario propias 77

Función que devuelve una sola variable 77

Función que devuelve múltiples variables 77

Función que utiliza otra función 78

Gráficos 79

Gráficos 2D 79

Gráficos Estadísticos 88

Gráficos 3D 96

Superficies de revolución 102

Gráficos de funciones complejas 102

Gráficas en movimiento 102

Introducción

MatLab significa MATrix LABoratory.

Es un programa para hacer computación numérica.

Fue diseñado para manipular matrices y ploteo de datos.

Ahora incluye funciones para: analizar datos, procesar señales, optimizar

funciones.

Contiene funciones para los gráficos 2-Dy 3-D con su respectiva animación.

Matlab permite leer y escribir archivos .MAT, .TXT, etc.

Tiene interfaces con otros lenguajes.

Permite la computación simbólica con el Maple.

Áreas de aplicación

• Ingeniería eléctrica y mecánica

• Informática

• Matemáticas

• Ingeniería aeroespacial y automotriz

• Ingeniería química y biomédica

• Economía y finanzas

Matlab

 Trabaja números escalares (reales y complejos), con caracteres y otras

estructuras de datos.

 Tiene un lenguaje de programación propio.

 Permite un rápido prototipeo de aplicaciones científicas.

 Pero puede ser más lento que C/C++ o Fortran.

 Dispone de código básico y toolboxes.

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Entorno de trabajo de matlab

El entorno de trabajo de MATLAB es muy gráfico e i ntuitivo, similar al de ot ras

aplicaciones profesionales de Windows.

Las componentes más importantes del entorno de trabajo de MATLAB son las

siguientes:

1. El Escritorio de Matlab (Matlab Desktop), que es la ventana o contenedor de

máximo nivel en la que se pueden situar (to dock) las demás componentes.

2. Las componentes individuales, orientadas a tareas concretas, entre las que se

puede citar:

a. La ventana de comandos (Command Window),

b. La ventana histórica de comandos (Command History),

c. El espacio de trabajo (Workspace),

d. La plataforma de lanzamiento (Launch Pad),

e. El directorio actual (Current Directory),

f. La ventana de ayuda (Help)

g. El editor de ficheros y depurador de errores (Editor&Debugger),

h. El editor de vectores y matrices (Array Editor).

i. La ventana que permite estudiar cómo se emplea el tiempo de ejecución

(Profiler).

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Path de matlab

establecer el camino de búsqueda (search path)

MATLAB puede l lamar a una g ran variedad de f unciones, tanto propias como

programadas por los usuarios. Puede incluso haber funciones distintas con el

mismo nombre. Interesa saber cuáles son las reglas que determinan qué función o

qué fichero *.m es el que se va a ejecutar cuando su nombre aparezca en una línea de

comandos del programa. Esto queda determinado por el camino de búsqueda (search

path) que el programa utiliza cuando encuentra el nombre de una función.

El search path de MATLAB es una lista de directorios que se puede ver y modificar a

partir de la línea de comandos, o utilizando el cuadro de diálogo Set Path, del menú

File. El comando path hace que se escriba el search path de MATLAB (el resultado

depende de en qué directorio esté instalado MATLAB):

>> path

Workspace browser y array editor

El espacio de t rabajo de MATLAB (Workspace) es el conjunto de v ariables y de

funciones de usuario que en un d eterminado momento están definidas en la memoria

del programa o de la función que se está ejecutando. Para obtener información sobre

el Workspace desde la línea de co mandos se pueden utilizar los comandos who y

whos. El segundo proporciona una información más detallada que el primero.

>>x=9

x=

9

>>y=15

y=

15

>>whos

Name Size Bytes Class

x 1x1 8 double array

y 1x1 8 double array

Grand total is 2 elements using 16 bytes

La ventana Workspace constituye un entorno gráfico para ver las variables definidas

en el espacio de trabajo. Se activa con el comando View/Workspace. La ventana

Workspace cuando se abre desde un determinado programa. Haciendo doble clic por

ejemplo sobre la matriz BARS aparece una nueva ventana (o pestaña, si la ventana ya

existía) del Array Editor, en l a que se muestran y pueden se r modificados los

elementos de dicha matriz.

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Formatos de salida

Respecto a l os formatos numéricos con que MATLAB muestra los resultados

(recuérdese que siempre calcula con doble precisión, es decir con unas 16 cifras

decimales equivalentes), y son las siguientes:

short coma fija con 4 decimales (defecto)

long coma fija con 15 decimales

hex cifras hexadecimales

bank números con dos cifras decimales

short e notación científica con 4 decimales

short g notación científica o decimal, dependiendo del valor

long e notación científica con 15 decimales

long g notación científica o decimal, dependiendo del valor

rational expresa los números racionales como cocientes de enteros

Estos formatos se pueden cambiar también desde la línea de comandos anteponiendo

la palabra format. Por ejemplo, para ver las matrices en formato long habrá que

ejecutar el comando:

>>format long

>>1/3

ans =

0.33333333333333

>>format % Vuelve al formato estándar que es el de 4 cifras decimales

>> m=17/3;

>> c=9/1974;

Comando

Representación de m

Representación de c

format short

5.6667

format short e

5.6667e+000

format long

5.666666666666667

format long e

5.666666666666667e+000

format hex

4016aaaaaaaaaaab

format bank

5.67

format rat

17/3

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Guardar variables y estados de una sesión

Comandos save y load

En muchas ocasiones puede resultar interesante interrumpir el trabajo con

MATLAB y poderlo recuperar más tarde en el mismo punto en el que se dejó

(con las mismas variables definidas, con los mismos resultados intermedios,

etc.). Hay que tener en cuenta que al salir del programa todo el contenido de la

memoria se borra automáticamente.

Para guardar el estado de una sesión de trabajo existe el comando save. Si se

teclea:

>> save

antes de abandonar el programa, se crea en el directorio actual un fichero

binario llamado matlab.mat (o matlab) con el estado de la sesión (excepto los

gráficos, que por ocupar mucha memoria hay que guardar aparte). Dicho

estado puede recuperarse la siguiente vez que se arranque el programa con el

comando:

>> load

Esta es la forma más básica de los comandos save y load. Se pueden guardar

también matrices y vectores de forma selectiva y en f icheros con nombre

especificado por el usuario. Por ejemplo, el comando (sin comas entre los

nombres de variables):

>> save filename A x y

guarda las variables A, x e y en un f ichero binario llamado filename.mat (o

filename). Para recuperarlas

en otra sesión basta teclear:

>> load filename

Si no se indica ninguna variable, se guardan todas las variables creadas en esa

sesión.

Guardar sesión y copiar salidas

Comando diary

Los comandos save y load crean ficheros binarios o ASCII con el estado de la sesión.

Existe otra forma más sencilla de almacenar en un fichero un texto que describa lo que

el programa va haciendo (la entrada y salida de los comandos utilizados). Esto se

hace con el comando diary en la forma siguiente:

>> diary filename.txt

...

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>> diary off

...

>> diary on

...

El comando diary off suspende la ejecución de diary y diary on la reanuda. El simple

comando diary pasa de on a off y viceversa. Para poder acceder al fichero

filename.txt con Notepad o Word es necesario que diary esté en off. Si en el

comando diary no se incluye el nombre del fichero se utiliza por defecto un fichero

llamado diary (sin extensión).

Líneas de comentarios

El carácter tanto por ciento (%) indica comienzo de comentario. Cuando aparece en

una línea de comandos, el programa supone que todo lo que va desde ese carácter

hasta el fin de la línea es un comentario.

Otra forma de comentar bloques de sentencias (similar a la utilizada en C/C++ con /* y

*/) es encerrar las líneas que se desea inutilizar entre los caracteres %{ y %}. Los

bloques comentados pueden incluirse dentro de otros bloques comentados más

amplios (bloques anidados).

Help!

Este comando nos permite solicitar ayuda sobre cualquier comando o función que se

encuentre instalada en Matlab.

Escribiendo help en la línea de comando, el programa devuelve un listado de todas las

librerías instaladas. Entonces:

>>help

HELP topics:

matlab\general - General purpose commands.

matlab\ops - Operators and special characters.

matlab\lang - Programming language constructs.

matlab\elmat - Elementary matrices and matrix manipulation.

matlab\randfun - Random matrices and random streams.

matlab\elfun - Elementary math functions.

matlab\specfun - Specialized math functions.

matlab\matfun - Matrix functions - numerical linear algebra.

matlab\datafun - Data analysis and Fourier transforms.

matlab\polyfun - Interpolation and polynomials.

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matlab\funfun - Function functions and ODE solvers.

matlab\sparfun - Sparse matrices.

matlab\scribe - Annotation and Plot Editing.

matlab\graph2d - Two dimensional graphs.

matlab\graph3d - Three dimensional graphs.

……..

• clic en matlab\general te mostrará

General purpose commands.

MATLAB Version 7.8 (R2009a) 15-Jan-2009

General information.

syntax - Help on MATLAB command syntax.

demo - Run demonstrations.

ver - MATLAB, Simulink and toolbox version information.

version - MATLAB version information.

verLessThan - Compare version of toolbox to specified version string.

Managing the workspace.

who - List current variables.

whos - List current variables, long form.

clear - Clear variables and functions from memory.

onCleanup - Specify cleanup work to be done on function completion.

pack - Consolidate workspace memory.

load - Load workspace variables from disk.

save - Save workspace variables to disk.

saveas - Save Figure or model to desired output format.

memory - Help for memory limitations.

recycle - Set option to move deleted files to recycle folder.

quit - Quit MATLAB session.

exit - Exit from MATLAB.

Managing commands and functions.

what - List MATLAB-specific files in directory.

type - List M-file.

open - Open files by extension.

which - Locate functions and files.

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pcode - Create pre-parsed pseudo-code file (P-file).

mex - Compile MEX-function.

inmem - List functions in memory.

namelengthmax - Maximum length of MATLAB function or variable name.

Managing the search path.

path - Get/set search path.

addpath - Add directory to search path.

rmpath - Remove directory from search path.

rehash - Refresh function and file system caches.

import - Import packages into the current scope.

finfo - Identify file type against standard file handlers on path.

genpath - Generate recursive toolbox path.

savepath - Save the current MATLAB path in the pathdef.m file.

Managing the java search path.

javaaddpath - Add directories to the dynamic java path.

javaclasspath - Get and set java path.

javarmpath - Remove directory from dynamic java path.

Controlling the command window.

echo - Echo commands in M-files.

more - Control paged output in command window.

diary - Save text of MATLAB session.

format - Set output format.

beep - Produce beep sound.

desktop - Start and query the MATLAB Desktop.

preferences - Bring up MATLAB user settable preferences dialog.

Operating system commands.

cd - Change current working directory.

copyfile - Copy file or directory.

movefile - Move file or directory.

delete - Delete file or graphics object.

pwd - Show (print) current working directory.

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dir - List directory.

ls - List directory.

fileattrib - Set or get attributes of files and directories.

isdir - True if argument is a directory.

mkdir - Make new directory.

rmdir - Remove directory.

getenv - Get environment variable.

! - Execute operating system command (see PUNCT).

dos - Execute DOS command and return result.

unix - Execute UNIX command and return result.

system - Execute system command and return result.

perl - Execute Perl command and return the result.

computer - Computer type.

isunix - True for the UNIX version of MATLAB.

ispc - True for the PC (Windows) version of MATLAB.

Debugging.

debug - List debugging commands.

Tools to locate dependent functions of an M-file.

depfun - Locate dependent functions of an M-file or P-file.

depdir - Locate dependent directories of an M-file or P-file.

Loading and calling shared libraries.

calllib - Call a function in an external library.

libpointer - Creates a pointer object for use with external libraries.

libstruct - Creates a structure pointer for use with external libraries.

libisloaded - True if the specified shared library is loaded.

loadlibrary - Load a shared library into MATLAB.

libfunctions - Return information on functions in an external library.

libfunctionsview - View the functions in an external library.

unloadlibrary - Unload a shared library loaded with LOADLIBRARY.

java - Using Java from within MATLAB.

usejava - True if the specified Java feature is supported in MATLAB.

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14 | L. Maria Pimentel Herrera

Controlling multithreading setting.

maxNumCompThreads - Controls the maximum number of computational threads.

See also lang, datatypes, iofun, graphics, ops, strfun, timefun,

matfun, demos, graphics, datafun, uitools, doc, punct, arith.

Para pedir mas detalles sobre las funciones que pertenecen a una l ibrería dada,

ingresamos help seguido del nombre de la librería. Por ejemplo:

>>help stats

La librería stats agrupa diferentes rutinas útiles en probabilidad y estadística.

Al final de l a ayuda nos remite a al gunos temas relacionados para que podam os

continuar la búsqueda, si es que no terminamos de encontrar lo que buscábamos.

Si quisiéramos ver con mas detalle de algún algún ítem de la lista, basta con escribir

help <ítem>.

>>help fliplr

Ante cualquier duda sobre el help escribe:

>>help help

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Hay otro modo de ayuda, un poco mas cómodo, que se puede acceder desde el menú

desplegable Help. El contenido es el mismo que el de la línea de comandos, solo que

disponemos de un pequeño navegador.

>>demos

Medida de tiempos y de esfuerzo de cálculo

MATLAB dispone de funciones que permiten calcular el tiempo empleado en l as

operaciones matemáticas realizadas. Algunas de estas funciones son las siguientes:

cputime devuelve el tiempo de C PU (con precisión de centésimas de

segundo) desdeque el programa arrancó. Llamando antes y

después de realizar una oper ación y restando los valores

devueltos, se puede saber el tiempo de CPU empleado en esa

operación. Este tiempo sigue corriendo aunque MATLAB esté

inactivo.

etime(t2, t1) tiempo transcurrido entre los vectores t1 y t2 (¡atención al orden!),

obtenidos como respuesta al comando clock.

tic ops toc imprime el tiempo en segundos requerido por ops. El comando tic

pone el reloj a cero y toc obtiene el tiempo transcurrido.

A modo de ejemplo, el siguiente código mide de varias formas el tiempo necesario

para resolver un sistema de 1000 ecuaciones con 1000 incógnitas. Téngase en cuenta

que los tiempos pequeños (del orden de las décimas o centésimas de segundo), no se

pueden medir con gran precisión.

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>> n=1000; A=rand(n); b=rand(n,1); x=zeros(n,1);

>> tiempoIni=clock; x=A\b; tiempo=etime(clock, tiempoIni)

>> time=cputime; x=A\b; time=cputime-time

>> tic; x=A\b; toc

donde se han puest o

varias sentencias en

la misma línea para

que se ejecuten todas

sin tiempos muertos

al pulsar intro. Esto

es especialmente

importante en la línea

de comandos en la

que se quiere medir

los tiempos. Todas

las sentencias de

cálculos matriciales

van seguidas de

punto y coma (;) con

objeto de ev itar la

impresión de

resultados. Conviene ejecutar dos o tres veces cada sentencia para obtener tiempos

óptimos, ya que la primera vez que se ejecutan se emplea un cierto tiempo en cargar

las funciones a memoria.

Nota: Un punto y coma al final de una sentencia hace que no se vea el

resultado de la operación. Esto es muy importante, porque Matlab tiene

la costumbre de ir mostrando todos los resultados obtenidos. El punto y

coma nos permite filtrar los resultados parciales y en todo caso solo

mostrar aquellos que sean de nuestro interés.

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Operaciones con números reales

Los cálculos que no se asignan a una variable en concreto se asignan a la variable de

respuesta por defecto que es ans (del inglés, answer):

>>2+3

ans =

5

Sin embargo, si el cálculo se asigna a una variable, el resultado queda guardado en

ella:

>>x=2+3

x =

5

Para conocer el valor de una variable, basta teclear su nombre:

>>x

x =

5

Si se añade un punto y coma (;) al final de la instrucción, la máquina no muestra la

respuesta...

>>y=5*4;

... pero no por ello deja de realizarse el cálculo.

>>y

y =

20

Operaciones aritméticas

Las operaciones se evalúan por orden de prioridad: primero las potencias, después las

multiplicaciones y divisiones y, finalmente, las sumas y restas. Las operaciones de

igual prioridad se evalúan de izquierda a derecha.

Prioridad

Operador

Significado

Ejemplo

Resultado

1

^

Exponente

78^2

2

/

División derecha

29/23

2

\

División izquierda

29\23

3 * Multiplicación 17*28

4 + Adición 15.3+19.5

4

-

Sustracción

15.3-19.5

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>>2/4*3

ans =

1.5000

>>2/(4*3)

ans =

0.1667

Se pueden utilizar las funciones matemáticas habituales. Así, por ejemplo, la función

coseno,

>>cos(pi) % pi es una variable con valor predeterminado 3.14159...

ans =

-1

o la función exponencial

>>exp(1) % Función exponencial evaluada en 1, es decir, el número e

ans =

2.7183

Además de la variable pi , MATLAB tiene otras variables con valor predeterminado;

éste se pierde si se les asigna otro valor distinto. Por ejemplo:

>>eps % Épsilon de la máquina. Obsérvese que MATLAB trabaja en doble precisión

ans =

2.2204e-016

pero...

>>eps=7

eps =

7

Otro ejemplo de función matemática: la raíz cuadrada; como puede verse, trabajar con

complejos no da ni ngún tipo de pr oblema. La uni dad imaginaria se representa en

MATLAB como i o j, variables con dicho valor como predeterminado:

>>sqrt(-4)

ans =

0+ 2.0000i

El usuario puede controlar el número de deci males con que aparece en pant alla el

valor de las variables, sin olvidar que ello no está relacionado con la precisión con la

que se hacen los cálculos, sino con el aspecto con que éstos se muestran:

>>1/3

ans =

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0.3333

Para conocer las variables que se han usado hasta el momento:

>>who

Your variables are:

ans eps x y

o, si se quiere más información (obsérvese que todas las variables son arrays):

>>whos

Name Size Bytes Class

ans 1x1 8 double array

eps 1x1 8 double array

x 1x1 8 double array

y 1x1 8 double array

Grand total is 4 elements using 32 bytes

Para deshacerse de una variable

>>clear y

>>who

Your variables are:

ans eps x

Constantes matemáticas

Variable

Valor

eps

Número más pequeño tal que, cuando se le suma 1, crea un

número en coma flotante en el computador mayor que 1.

pi

Relación entre la circunferencia del círculo a su diámetro

intmax

Mayor valor de tipo entero especificado.

intmin

Menor valor de tipo entero especificado.

inf

Infinito.

NaN

Magnitud no numérica.

i y j

i=j=√-1, unidad imaginaria.

realmin El número real positivo más pequeño que es utilizable.

relamas

El número real positivo más grande que es utilizable.

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Referencia de funciones

Escritorios y el Desarrollo

para el Medio Ambiente

De inicio, ventana de comandos, ayuda, edición y

depuración, tuning, otras funciones generales

Importación y exportación

de datos

General y de bajo nivel / S de archivos, además de

formatos de archivo específicos, como de audio,

hoja de cálculo, HDF, imágenes

Matemáticas

Matrices y matrices, álgebra lineal, otras áreas de

las matemáticas

Análisis de datos

Datos básicos de las operaciones, estadística

descriptiva, covarianza y correlación, filtrado y

convolución, derivadas numéricas e integrales,

transformadas de Fourier, análisis de series

temporales

De Programación y tipos de

datos

La evaluación de funciones de expresión, el control

del programa, la función de asas, programación

orientada a objetos, el manejo de errores, los

operadores, tipos de datos, fechas y horas, los

temporizadores

Programación orientada a

objetos

Funciones para trabajar con clases y objetos

Gráficos

Parcelas de la Línea, anotar los gráficos, gráficos

especializados, las imágenes, la impresión, Handle

Graphics

La visualización en 3-D

De superficie y las parcelas de malla, control de

vista, la iluminación y la transparencia, la

visualización de volúmenes

GUI para el Desarrollo

GUÍA, la programación de interfaces gráficas de

usuario

Interfaces externos

Interfaces con librariess compartida, Java,. NET,

COM y ActiveX, servicios Web y los dispositivos de

puerto serie, y C y Fortran rutinas

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L. Maria Pimentel Herrera | 21

Operaciones con Matrices y Vectores

Definición de variables

No es necesario definir variables.

Las variables mejoran la legibilidad del procedimiento y facilitan las correcciones y

modificaciones.

En matlab las variables deben seguir las siguientes reglas:

• No pueden comenzar con un número.

• Puede tener números en la estructura del nombre de la variable.

• Las mayúsculas y minúsculas se diferencian en el nombre de las variables.

• Los nombres de las variables no pueden tener los siguientes símbolos: “+”,

“-“, “*”, “/”, “.”, “,”, “;”, “^”, “~”, “&”, “|”, “\”.

Definición de matrices desde teclado

Para introducir una matriz:

• Se separan los números con espacio o comas.

• Se separan las columnas con punto y coma.

• Se agrupa toda la matriz entre corchetes.

Vectores fila

>> x=[1,2,3,5,7,11,13]; → [ …. …. …. …. …. …. …. ]

>> x2=[1 2 3 5 7 11 13]; → [ …. …. …. …. …. …. …. ]

>>a(5)=7; → [ …. …. …. …. …. ]

Vectores columna

>> X=[1;2;3;5;7;11;13]

X =

….

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22 | L. Maria Pimentel Herrera

….

Matriz

>> A = [16 3 2 13; 5 10 11 8; 9 6 7 12; 4 15 14 1]

A =

................

>> M = [1 2 3

4 5 6

7 8 9]

M=

............

Tipos de matrices

Matriz diagonal

diag(v) genera una matriz diagonal con el vector v como diagonal.

diag(A) crea un vector con los elementos de la diagonal principal.

>> T=[17 25 29];

>> S=diag(T)

S=

............

>> diag(A)

ans =

....

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Matriz simétrica diagonal constante

toeplitz(v) define una m atriz simétrica de diagonal constante con v como

primera fila y primera columna.

>> v=[1 2 3]; toeplitz(v)

ans=

............

Matriz diagonal constante

toeplitz(w, v) define una matriz no simétrica de diagonal constante con w como

primera columna y v como primera fila.

>> w=[1 2 3 4]; v=[1 5 7 8]; toeplitz(w,v)

ans=

................

Matriz de unos

ones(n) genera una matriz de n × n con todos los valores iguales a uno.

ones(n,m) genera una matriz de n × m con todos los valores iguales a uno.

>> unos=ones(3,4)

unos=

................

Matriz nula

zeros(n) genera una matriz de n × n con todos los valores iguales a cero.

Zeros(m,n) crea una matriz mxn, todos ceros.

>> ceros=zeros(2,5)

ceros=

....................

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24 | L. Maria Pimentel Herrera

Matriz identidad

eye(n) genera una matriz identidad de n × n.

eye(m,n) crea la matriz identidad de orden mxn con unos en la diagonal y

ceros en los demás elementos.

>> ident=eyes(3)

ident=

............

Matriz aleatoria uniforme

rand(n) genera una matriz de n × n con elementos de valor aleatorio entre

0 y 1 (distribución uniforme).

>> aleatorio=rand(2,3);

aleatorio=

................................................

Matriz aleatoria normal

randn(n) genera una matriz de n × n cu yos elementos siguen una

distribución normal (media 0 y varianza 1).

>> normal=randn(2);

normal=

..............................

>> n1=randn(3,2)

n1=

..............................

Nota

ones(m, n), zeros(m, n), rand(m, n) generan matrices de m × n.

ones(size(A)), zeros(size(A)), eye(size(A)) generan matrices de la misma forma

que A.

Muchos problemas lineales implican el manejo de matrices de gran tamaño, en las que

se da la circunstancia que la mayor parte de los elementos son nulos. Esto implica,

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L. Maria Pimentel Herrera | 25

eventualmente, el almacenamiento de num erosos ceros y operaciones inútiles. Para

resolver este problema, MATLAB dispone de una f unción (sparse) que permite

prescindir de l as cantidades nulas, almacenando la posición (fila y columna) de l os

elementos no nulos. Un ejemplo elemental se construye con la matriz unidad:

>> clear

>> I=eye(1000);

>> whos

Name Size Bytes Class

I 1000x1000 8000000 double array

Grand total is 1000000 elements using 8000000 bytes

Observamos que el almacenamiento de I consume aproximadamente 8 Mb.

Determinamos una expresión sparse de I:

>> I=eye(1000);

>> S=sparse(I);

>> whos

Name Size Bytes Class

I 1000x1000 8000000 double array

S 1000x1000 16004 sparse array

Grand total is 1001000 elements using 8016004 bytes

Matrices especiales

Matriz Transpuesta

A’ El caracter ' (apóstrofe) denota la transpuesta de l a matriz.

Transponer significa intercambiar filas por columnas. Si tenemos

la matriz A y llamamos B = A', B es la transpuesta de la matriz A.

>> A=[5 9 11; 6 8 10]; C=A'

C=

…… ……

Matriz Simétrica

Es una matriz cuadrada que cumple la condición: A=AT.

>> M=[2 3 17; 3 -6 1; 17 1 7], Mt=M'

M=

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............

Mt=

............

Matriz Antisimétrica

Es una matriz cuadrada que cumple la condición: A=-AT, siendo

ceros los elementos de la diagonal principal y sus demás

elementos son de la forma aij=aji.

>> B=[0 1 -4; -1 0 -3; 4 3 0], Ba=-B'

B=

............

Ba=

............

Matriz de indices no nulos

Devuelve los índices de los elementos de la matriz A, que no son

ceros, en forma vertical.

>> B=[0 1 -4; -1 0 -3; 4 3 0]; ind=find(B)

ind=

2.00

3.00

4.00

6.00

7.00

8.00

>> ind2=find(B>0)

Ind2 =

3.00

4.00

6.00

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L. Maria Pimentel Herrera | 27

>> [f,c,v]=find(B>0); fila=f',columna=c',verdad=v'

fila =

3.00 1.00 3.00

columna =

1.00 2.00 2.00

verdad =

1 1 1

Matriz Idempotente

Es una matriz cuadrada que cumple la condición: A=A2.

>> V=[-1 2 4; 1 -2 -4; -1 2 4], Vi=V^2

V=

............

Vi=

............

Matriz Periódica

Es una matriz cuadrada que cumple la condición: A=Ak+1 entonces

A es periódica y k∈Z+. El periodo es igual a k.

>> P=[1/3 2; 1/9 2/3], Pp=P^2

P=

..............................

Pp=

..............................

Matriz Nilpotente

Es una matriz cuadrada que cumple la condición: Ap=0, donde

p∈Z. A es nilpotente para p.

>> N=[1 1 3; 5 2 6; -2 -1 -3], Ni=N^3

N=

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28 | L. Maria Pimentel Herrera

............

Ni=

............

Matriz Hilbert

hilb(N) es una matriz de N por N con elementos 1/(i+j-1).

>> format rat ; hilb(3)

ans =

1 1/2 1/3

1/2 1/3 1/4

1/3 1/4 1/5

Matriz Hermitiana

Es una matriz cuadrada y compleja, que es igual a la transpuesta

de su conjugada. Los elementos de su diagonal principal son

números reales..

>> H=[1 3+i i; 3-i 3 1-i; -i 1+i 2], Ht=conj(H), He=transpose(Ht)

H=

............

Ht=

............

He=

............

Matriz Inversa

inv(A) A-1 si A es cuadrada e invertible, se cumple A-1*A=A*A-1=I.

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L. Maria Pimentel Herrera | 29

>> A=[1 1 1; 1 2 3; 1 3 4]; format rat; S1=inv(A)

S1=

............

Matriz Seudoinversa

pinv(A) pseudoinversa de A , si X = pinv(A) produce una matriz X

condimensiones de A’, se cumple A*X*A = A, X*A*X = X y

A*X y X*A son matrices hermitianas.

>> K=magic(4); K1=det(K), K2=pinv(K)

K1=

…

K2=

............................................................

Matriz Ortogonal

Una matriz cuadrada es ortogonal si se cumple A-1= AT, es

equivalente a A*AT =I .

>> a=sqrt(2); M=[1/a 0 -1/a; 1/a 0 1/a; 0 1 0], L=M*M'

M=

............

L=

............

Operaciones de Matrices

Sumando y Restando Matrices

Las operaciones suma (+) y resta (-) son definidas para las matrices siempre y cuando

éstas tengan la misma dimensión. Es decir, si A y B son matrices 3 x 3, entonces A +

B se puede calcular.

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30 | L. Maria Pimentel Herrera

Las operaciones suma y resta también están definidas si uno de los operadores es un

escalar, es decir, una matriz 1 x 1.

>> A= [4 2 0 1; -2 3 6 5; 2 1 8 1];

>> B= [3 17 8 5; -7 12 15 10; 23 19 0 -25];

>> A+B

ans=

................

>> f=[2 4 6]; c=[1; 2; 3];

>>S1= f+c'

S1=

................

>>S2=f+25

S2=

................

>>S3=c-17

S3=

................

Multiplicando Matrices

La operación de m ultiplicación de m atrices está definida siempre que el número de

columnas de la primera matriz sea igual al número de filas de la segunda matriz.

A * B da la matriz resultante del producto AB

(si dicha operación es posible).

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L. Maria Pimentel Herrera | 31

A. * B da el producto elemento por elemento

(si size(A) = size(B), es decir, si tienen el mismo tamaño)

>> A*B

ans=

................

Producto de una matriz por un vector

El producto de una matriz y un vector es un caso especial del producto matriz-matriz y

naturalmente, un escalar como pi, puede multiplicar, ó ser multiplicado por, cualquier

matriz.

>> 7*A

ans=

................

>> X*B

ans=

....

Dividiendo Matrices

En división de matrices, si A es una matriz cuadrada no-singular, entonces A\B y B/A

corresponden a la multiplicación izquierda y derecha de B por el inverso de A, esto es,

inv(A) * B y B * inv(A) respectivamente. El resultado es obtenido directamente sin la

computación del inverso.

>> A=[0 1;1 0]; B=[1 2;3 4]; X=A\B

X =

3 4

1 2

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32 | L. Maria Pimentel Herrera

>> Y=B/A

Y =

2 1

4 3

 X = A\B es una solución a A * X = B,

es igual a inv(A) * B si existe inv(A): la barra inversa es la división por

la izquierda.

 X = B/A es una solución a X * A = B

A\B es definido cuando B tiene la misma cantidad de filas que A. Si A es cuadrada, el

método usado es la Eliminación Gaussiana. El resultado es una matriz X con las

mismas dimensiones que B.

Si A no es cuadrada, se factoriza utilizando la ortogonalización de Householder con

pivoteo de columnas.

Los factores son usados para resolver sistemas de ecuaciones sub-determinados y

sobre -determinados. El resultado es una matriz X m-por-n donde m es el número de

columnas de A y n es el número de columnas de B. Cada columna de X tiene, al

menos, k componentes diferentes de cero, donde k es el rango efectivo de A.

B/A esta definido en términos de A\B por B/A = (A' \B') '.

Ejemplo: resolver el sistema:

2 a + 3 b + c = 6

4 a + b + 2 c = 7

6 a + b + 7 c = 4

>>A=[2 3 1; 4 1 2; 6 1 7];

>>B=[6; 7; 4]

>>X=A\B

x=

.....

Exponentes con Matrices

La expresión A^n eleva A a la n-ésima potencia y está definido si A es una matriz

cuadrada y n un escalar.

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>>p1=A^2

p1 =

............

Funciones Matriciales Trascendentales y Elementales

MATLAB considera expresiones como exp(A) y sqrt(A) como operaciones de arreglos,

definidas en los elementos individuales de A. También puede ca lcular funciones

trascendentales de matrices, como la matriz exponencial y la matriz logarítmica. Estas

operaciones especiales están definidas solamente para matrices cuadradas.

>>sqrt(A)

ans =

............

>>exp(A)

ans =

............

Funciones matemáticas elementales

Trigonométricas

sin(x)

Función seno

cos(x)

Función coseno

tan(x) Función tangente

asin(x) Inversa del seno

acos(x)

Inversa del coseno

atan(x)

Inversa de la tangente

atan2(x,y) Inversa de la tangente de los cuatro cuadrantes

sinh(x)

Función seno hiperbólico

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34 | L. Maria Pimentel Herrera

cosh(x)

Función coseno hiperbólico

tanh(x)

Función tangente hiperbólica

asin(x)

Inversa del seno hiperbólico

acosh(x) Inversa del coseno hiperbólico

atanh(x)

Inversa de la tangente hiperbólica

También hay funciones para ángulos en sexagesimales.

Exponencial

exp(x)

Exponencial ex.

log(x)

Logaritmo natural.

log10(x)

Logaritmo decimal.

log2(x)

Logaritmo en base 2.

sqrt(x)

Raíz cuadrada.

Complejo

abs(x)

Valor absoluto o magnitud de un número complejo.

real(x)

Parte real de un número complejo.

imag(x)

Parte imaginaria de un número complejo.

angle(x)

Ángulo de un número complejo.

conj(x)

Conjugado complejo

Redondeo y resto

ceil(x)

Redondeo hacia más infinito.

fix(x)

Redondeo hacia cero.

floor(x)

Redondeo hacia menos infinito.

round(x)

Redondea hacia el entero más próximo.

rem(x,y)

Resto después de la división.

mod(x,y) Módulo después de la división.

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L. Maria Pimentel Herrera | 35

Operaciones elemento a elemento

Matlab define algunas operaciones que serán realizadas elemento a elemento.

Ya vimos anteriormente que la operación A*B realizaba el producto matricial.

Pero ¿que pasa si queremos que cada elemento de A quede multiplicado por cada

elemento de B (suponiendo que tienen las mismas dimensiones)?

Existe otro operador para tales fines:

Definimos las matrices a y b:

>>A = [1 2 3 ; 4 5 6; 7 8 9]; B= [9 8 7 ; 6 5 4; 3 2 1];

>>C1=A.*B

C1=

............

Como se ve, si anteponemos un punto al operador, la operación se

realiza elemento a elemento. La división (/) y la potencia (^) también

permiten esta utilización.

>>C2=A./B

C2=

............

>>C3=A.\B

C3=

............

>>C4=B.^A

C4=

............

Otras operaciones pueden ser consultadas en la librería ops.

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36 | L. Maria Pimentel Herrera

Generador de vectores

 Para generar un v ector cuyos elementos sean números crecientes o

decrecientes en un intervalo regular existe el operador : (dos puntos).

• El uso más sencillo de este operador sería:

<Mínimo>:<Máximo>

>>d = 1:4

d =

1 2 3 4

• Especificar un intervalo determinado, escribimos:

<Mínimo>:<Intervalo>:<Máximo>

>>e = 1:0.5:4

d =

1.0000 1.5000 2.0000 2.5000 3.0000 3.5000 4.0000

• Si el rango es decreciente, sólo escribimos el intervalo negativo.

>>f = 4:-0.5:1

f =

4.0000 3.5000 3.0000 2.5000 2.0000 1.5000 1.0000

 Genera un vector con n valores entre x1 y x2 igualmente espaciados.

linspace(x1,x2,n)

>>g = linspace(0,20,7)

g=

0 10/3 20/3 10 40/3 50/3 20

>>h = linspace(0,pi,5)

h=

0 0.7854 1.5708 2.3562 3.1416

Comandos relacionados con tamaño de datos

length() se aplica solo a vectores. Devuelve el largo del vector (es igual para

filas y columnas).

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L. Maria Pimentel Herrera | 37

>>length(g)

ans=

......

size() se aplica tanto a vectores como matrices. Devuelve un vector de dos

elementos: cantidad de filas y cantidad de columnas.

>>size(A)

ans=

...... ......

Cambiar elementos en una matriz A dada

A(3, 2) = 7 coloca un 7 en el elemento (3, 2).

A(3,:) = v sustituye los valores de la tercera fila por los de v= [2; 4; 5].

A(:, 2) = w sustituye los valores de la segunda columna por los de w=

2:4.

El símbolo de los dos puntos : significa todo (todas las

columnas o todas las filas).

A([2 3],:) = A([3 2],:) intercambia las filas 2 y 3 de A.

Crear submatrices de una matriz A de m × n

• Matlab utiliza los paréntesis para acceder a elementos de la matriz.

• Los subíndices empiezan en 1, por lo tanto el primer elemento es a(1,1)

• Nota: Matlab no admite el cero como índice de vectores ni matrices !!!!

A(i, j) muestra el elemento (i, j) de la matriz A (escalar = matriz de 1 × 1).

A(i, :) muestra la fila i-ésima de A (como vector de fila).

A(:, j) muestra la columna j-ésima de A (como vector de columna).

A(2: 4,3: 7) muestra las filas de la 2 a la 4 y las columnas de la 3 a la 7

(en forma de matriz de 3 × 5).

A([2 4],:) muestra las filas 2 y 4 y todas las columnas

(en forma de matriz de 2 × n).

A(:) muestra una sola columna larga formada a partir de las columnas de

A (matriz de mn × 1).

triu(A) coloca ceros en todos los elementos por debajo de la diagonal

(triangular superior).

tril(A) coloca ceros en todos lo elementos por encima de la diagonal

(triangular inferior).

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38 | L. Maria Pimentel Herrera

>> a=rand(4,5);

>> a(3,5)=56.8

• Se pueden utilizar vectores para definir índices

>> a(2:3,1:4)=zeros(2,4);

o bien: a(2:3,1:4)=0;

• Se pueden utilizar vectores para definir índices

>> a([2,3],[2,4])=ones(2,2);

o bien: a([2,3],[2,4])=1;

• El operador ':' se utiliza para indicar "todos los elementos"

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L. Maria Pimentel Herrera | 39

Triangular inferior

>>tril(M)

ans =

............

>>tril(M,-1)

ans =

............

Triangular superior

>>triu(M)

ans =

............

>>triu(M,1)

ans =

............

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40 | L. Maria Pimentel Herrera

Concatenación de vectores y matrices

Supongamos que queremos formar una matriz con diferentes vectores y/o matrices de

dimensiones compatibles, o queremos unir dos vectores para formar uno mas largo.

>>v = [1 2 3]; w=[4 5 6];

Podemos concatenarlos de varias maneras...

• Si los unimos uno a continuación del otro:

>>y = [v w]

y =

1 2 3 4 5 6

Notar que al separar v y w por un espacio estamos diciendo que ambos

pertenecen a la misma fila, por lo que es entendible el resultado

obtenido.

• Si por el contrario, interponemos un punto y coma entre ambos:

>>y2 = [v ; w]

Y2 =

1 2 3

4 5 6

Matlab coloca cada vector en una fila diferente.

Función cat

cat(d,M,N) concatena matrices con una dimensión especificada.

>>M=[2 3; 1 9]; N=[8 4; 5 7]; MN=cat(1,M,N)

MN =

2 3

1 9

8 4

5 7

>>NM= cat(2,B,C,B)

NM =

35 1 14 16 35 1

3 32 18 11 3 32

>> A=magic(6)

A =

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L. Maria Pimentel Herrera | 41

35 1 6 26 19 24

3 32 7 21 23 25

31 9 2 22 27 20

8 28 33 17 10 15

30 5 34 12 14 16

4 36 29 13 18 11

>> B=A(1:2,1:2); C=A(5:6,5:6); cat(1,B,C)

ans =

35 1

3 32

14 16

18 11

>> cat(2,B,C)

ans =

35 1 14 16

3 32 18 11

Función horzcat

concatena matrices horizontalmente.

>> A = magic(5); A(4:5,:) = []

A =

17 24 1 8 15

23 5 7 14 16

4 6 13 20 22

>> B = magic(3)*17

B =

136 17 102

51 85 119

68 153 34

>> C = horzcat(A, B)

C =

17 24 1 8 15 136 17 102

23 5 7 14 16 51 85 119

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42 | L. Maria Pimentel Herrera

4 6 13 20 22 68 153 34

Función vertcat

concatena matrices verticalmente.

>> A = magic(5); A(:, 4:5) = []

A =

17 24 1

23 5 7

4 6 13

10 12 19

11 18 25

>> B = magic(3)*7

B =

56 7 42

21 35 49

28 63 14

>> C = vertcat(A,B)

C =

17 24 1

23 5 7

4 6 13

10 12 19

11 18 25

56 7 42

21 35 49

28 63 14

Función repmat

crea una nuev a matriz de co pias, m veces verticalmente y n v eces

horizontalmente.

repmat(A,m,n)

>> K = repmat([1 2; 3 4],2,3)

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L. Maria Pimentel Herrera | 43

K =

1 2 1 2 1 2

3 4 3 4 3 4

1 2 1 2 1 2

3 4 3 4 3 4

Función blkdiag

crea una nueva matriz de bloque diagonal a partir de matrices

existentes, los demás elementos de la matriz son ceros.

>> A=7;B=[9 8; 2 5];C=pascal(3);D=[1 7 12]; blkdiag(A,B,C,D)

ans =

7 0 0 0 0 0 0 0 0

0 9 8 0 0 0 0 0 0

0 2 5 0 0 0 0 0 0

0 0 0 1 1 1 0 0 0

0 0 0 1 2 3 0 0 0

0 0 0 1 3 6 0 0 0

0 0 0 0 0 0 1 7 12

Números y matrices asociados a A

Determinante

det(A) es el determinante (si A es una matriz cuadrada).

>> A=[3 2 1; 4 3 0; 7 9 15]; det(A)

ans =

30

>> det(magic(4))

ans =

0

Rango

rank(A) es el rango (número de pivotes = dimensión del espacio de filas y

del espacio de columnas).

>> rank(A)

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44 | L. Maria Pimentel Herrera

ans =

3

>> rank(magic(4))

ans =

3

Orden

size(A) es el par de números [m n].

>> size(A)

ans =

3 3

Traza

trace(A) es la traza = suma de l os elementos de la diagonal = suma de

autovalores.

>> trace(A)

ans =

21

>> trace(magic(4))

ans =

34

Producto Escalar

El producto interior (producto escalar ó pr oducto punto) se consigue de la siguiente

manera: x' * y asumiendo que x y y son vectores columnas. Note que y' * x

produce el mismo resultado.

>> X=[1, 2, 3, 5];

>> Y=[4, 7, -8, 3];

>> X’*Y

ans=

…….

dot(u,v) calcula el producto escalar de dos vectores u y v.

>> u=[-7 17 5]; v=[-2 3 4]; dot(u,v)

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L. Maria Pimentel Herrera | 45

ans =

85

Producto Vectorial

crossl(u,v) calcula el producto vectorial de dos vectores u y v en R3.

>> u=[1 7 5]; v=[2 3 8]; cross(u,v), cross(v,u)

ans =

41 2 -11

ans =

-41 -2 11

Norma

norm(A,p) calcula la norma de A, donde p puede ser 1, 2 o inf.

Si p=1, calcula la suma de l os valores absolutos de todos los

elementos de A por columna su equivalentes es

max(sum(abs(A))).

Si p=2, norma Euclidiana si es un vector, opción por defecto, su

equivalente es max(svd(A)).

Si p=inf, calcula el máximo valor absoluto de sus elementos, su

equivalente es max(sum(abs(A'))).

>> v=[3 4 5]; norm(v,1)

ans =

12

>> norm(v,2), norm(v)

ans =

7.0711

ans =

7.0711

>> norm(v,inf)

ans =

5

>> norm(v,-inf)

ans =

3

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46 | L. Maria Pimentel Herrera

>> N=[8 5; 1 7]; norm(N)

ans =

10.8035

Base ortogonal para el espacio nulo

null(A) es una matriz cuyas columnas n - r forman una base ortogonal para

el espacio nulo de A.

>> A = [1 2 3

1 2 3

1 2 3];

Z = null(A);

A*Z

ans =

1.0e-015 *

0.2220 0.2220

>> Z'*Z

ans =

1.0000 -0.0000

-0.0000 1.0000

Base ortogonal para el espacio de columnas

B=orth(A) es una matriz cuyas columnas r forman una base ortogonal para el

espacio de columnas de A, se cumple B’*B=eye(rank(A)).

>> A=[3 2 1; 4 3 0; 7 9 15]; B=orth(A)

B =

-0.1548 -0.4852 -0.8606

-0.1622 -0.8468 0.5066

-0.9745 0.2180 0.0524

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L. Maria Pimentel Herrera | 47

Operadores relacionales

< menor que

<= menor igual a

> mayor que

>= mayor igual a

== igual a

~= distinto a

Operadores lógicos

& Conjunción, devuelve el valor de 1 en ca da posición, donde l os

elementos de ambas matrices no son ceros, 0 para los otros casos.

| Disyunción, devuelve el valor de 1 en cada posición, donde los

elementos de por lo menos de una m atriz no e s nula, 0 en o tros

casos.

~ Negación, complementa cada elemento de la matriz de entrada.

xor Disyunción exclusiva, devuelve el valor de 1, en ca da posición

donde los elementos de ambas matrices son diferentes, 0 para los

otros casos.

Inputs

and

or

not

xor

A

B

A & B

A | B

~A

xor(A,B)

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

>> A=3*ones(2), B=eye(2)*3

A =

3 3

B =

3 0

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48 | L. Maria Pimentel Herrera

0 3

>> A&B

ans =

1 0

0 1

>> A|B

ans =

1 1

>> ~B

ans =

0 1

1 0

>> xor(A,B)

ans =

0 1

1 0

Variables lógicas

También existen variables lógicas que toman los valores 0 (falso) o 1 (verdadero)

>>v=[-7 3 17];

>>abs(v)>=2 % Vector lógico cuyas coordenadas valen 1 si la

% coordenada correspondiente de v es >= 2 y 0 si no lo es

ans =

0 1 1

>>vector=v(abs(v)>=2) % Vector formado por la coordenadas de v que

% verifican la desigualdad

vector =

2 3

>>v2=[23 3 12]

v2 =

23 3 12

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L. Maria Pimentel Herrera | 49

>>logica=v==v2 % Asignación de un valor lógico (el doble signo igual

% es el igual lógico)

logica =

0 1 0

>>logic2=v~=v2 % Distinto (~ es el operador de negación)

logic2 =

1 0 1

Ejercicios

1. Crear los siguientes vectores:

a. X=[3 7 π e12]

b. Y=[0 0.1π 0.2π 0.3π 0.4π 0.5π 0.6π 0.7π 0.8π 0.9π π]

c. K=













139

1642

567

2. Crear un vector Z de cuatro números complejos.

3. Listar el tercer elemento del vector.

4. Listar los 5 primeros elementos del vector Y.

5. Listar los 5 últimos elementos del vector Y.

6. Listar los elementos de posiciones impares del vector Y.

7. Listar los elementos de posiciones 2, 4, 5 y 7 del vector Y.

8. Crear los vectores M=[5 4 3 2 1] y C=[17 9 8 25 12].

9. Fusionar los vectores M y C en un vector J.

10. Obtener la transpuesta del vector K.

11. Obtener la transpuesta del vector Z.

12. Crear las siguientes matrices:

a. R= 











8765

1234

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b. S=













4433

2211

13. Sumar las matrices R y S.

14. Multiplicar las matrices R y S.

15. Multiplicar R con la transpuesta de S.

16. Multiplicar R y S componente a componente.

17. Eleve 3 a cada elemento de R.

18. Obtener la inversa de cada elemento de R.

19. Hallar la matriz inversa de K.

20. E = eye(4); E(2, 1) = -3 crea una matriz de eliminación elemental de 4 × 4. E*A

resta 3 veces la fila 1 de la fila 2 de A.

21. B = [A b] crea una matriz aumentada con b como columna adicional.

22. E = eye(3); P = E([2 1 3],:) genera una matriz de permutación.

23. Nótese que triu(A) + tril(A) - diag(diag(A)) es igual a A.

24. Sea E=[-1 2 4; 1 -2 -4; -1 2 4], expresar la matriz F con las columnas de

izquierda a derecha de la matriz E.

............

25. Expresar E como la suma de una matriz simétrica y una antisimétrica

SIMÉTRICA ANTISIMÉTRICA

............

26. Determinar si E es idempotente.

27. Sea A=[-3 -6 2; 2 4 -1; 2 3 0], expresar la matriz A con las filas de arriba abajo.

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L. Maria Pimentel Herrera | 51

............

28. Determinar si la matriz A es involuta

............

29. Hallar el rango de la matriz A …………….

30. Hallar el determinante de la matriz A ……………

31. Hallar la inversa de la matriz A

............

32. Sea C=[1 1 3; 5 2 6; -2 -1 -3], determinar si la matriz C es nilpotente.

............

33. Hallar el determinante de la matriz C ……………

34. Hallar el rango de la matriz C …………….

35. Resolver el sistema:

2 a + 3 b + c = 6

4 a + b + 2 c = 7

6 a + b + 7 c = 4

Mediante la función inv.

36. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones.

2x + 0y + 5z = 100

3x + 5y + 9z = 251

1x + 5y + 7z = 301

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Polinomios

conv Producto de polinomios.

deconv División de polinomios.

poly Polinomio con raíces especificado.

polyder Polinomio derivados

polyeig Polinomial problema de valores propios

polyfit Ajuste de la curva polinómica

polyint Integrar polinomio analíticamente

polyval Evaluación Polynomial.

polyvalm Matriz de evaluación polinomio

residue Convertir entre la expansión de l as fracciones parciales y

polinomio de coeficientes

roots Raíces del polinomio.

>>p=[1 0 2 0 3] % Polinomio x^4+2*x^2+3

p =

1 0 2 0 3

>>q=[2 1 0] % Polinomio 2*x^2+x

q =

2 1 0

>>polyval(p,-1) % Evaluación del polinomio x^4+2x^2+3 en x=-1

ans =

6

>>pro=conv(p,q) % Producto de los polinomios p y q

pro =

2 1 4 2 6 3 0

>>deconv(pro,p) % Cociente entre pro y p; obviamente el resultado es q

ans =

2 1 0

>>roots(pro) % Raíces del polinomio pro

ans =

0

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L. Maria Pimentel Herrera | 53

0.6050+1.1688i

0.6050-1.1688i

-0.6050+1.1688i

-0.6050-1.1688i

-0.5000

>>poly([i -i 1/2 pi]) % Polinomio mónico que tiene por raíces a los

% números i, -i, 0.5 y pi

ans =

-3.6416 2.5708 -3.6416 1.5708

>> A=[4,2;3,3]; p=poly(A)

p =

1 -7 6

El resultado son los coeficientes del polinomio característico ordenado de acuerdo a

las potencias decrecientes de la variable, es decir: λ

P(λ) = λ2 –7+6

Otra forma de calcular el polinomio característico es usando el comando:

vpa(polynsym(p)), donde “ n” indica el número de cifras decimales con que se quiere

obtener los coeficientes del polinomio.

>> vpa(poly2sym(p))

ans =

x^2-7.*x+6

Expresa el polinomio característico en la variable x.

Sean p(x)=3x2+6x+9 y q(x)=x2+2x)

>> px=[3 6 9], qx=[1 2 0]

> polyder(px,qx)

ans =

12 36 42 18

>> conv(px,qx)

ans =

3 12 21 18 0

>> prod=conv(px,qx)

prod =

3 12 21 18 0

>> deconv(prod,px)

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54 | L. Maria Pimentel Herrera

ans =

1 2 0

>> polyder(prod)

ans =

12 36 42 18

>>polyint(qx)

ans =

1/3 1 0 0

Ejercicios

37. Definir los siguientes polinomios: p(x)=3*x^4+5*x^3+2*x^2+8*x+6 y

q(x)=6*x^4+2*x^3+x^2+7*x+8 y hallar

a. El valor del polinomio p(-1) y q(-3)

p(-1)=

q(-3)=

b. r(x) es el producto de los polinomios p(x) y q(x)

r(x)=

c. d(x) es el cociente de los polinomios p(x) y q(x)

d(x)=

d. las soluciones de los polinomios p(x) y q(x)

p(x)

x1= x2= x3= x4=

q(x)=

x1= x2= x3= x4=

38. Hallar las soluciones de los polinomios

a. f(s)=s4 + 3s3 – 15s2 – 2s + 9

s1= s2= s3= s4=

b. g(s)=s4 + 1

s1= s2= s3= s4=

c. h(x)=x3 + 5x2 – 2

x1= x2= x3=

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Álgebra Lineal

Matriz de logaritmos y exponenciales

expm Matriz exponencial.

logm Logaritmo Matrix.

sqrtm Raíz matriz cuadrada.

>> A = [1 1 0; 0 0 2; 0 0 -1 ]

A =

1 1 0

0 0 2

0 0 -1

>> Y=expm(A)

Y =

2.7183 1.7183 1.0862

0 1.0000 1.2642

0 0 0.3679

>> logm(Y) % A=logm(Y)

ans =

1.0000 1.0000 0.0000

0 0 2.0000

0 0 -1.0000

>> X=[10 7; 15 22]

X =

10 7

15 22

>> Y=sqrtm(X)

Y =

2.8347 0.9575

2.0518 4.4761

>> Y*Y % X=Y*Y

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56 | L. Maria Pimentel Herrera

ans =

10.0000 7.0000

15.0000 22.0000

Análisis de matriz

cond Número de condición con respecto a la inversión.

condeig Número de condición con respecto a los valores propios.

det Determinante de la matriz.

norm Vector y matriz de las normas.

normest 2-estimación de la norma.

null Espacio nulo.

orth Rango de espacio de la matriz.

rank Rango de la matriz.

rcond Matriz de estimación de número de condición de reciprocidad.

rref Reducción de forma escalonada por fila.

subspace Ángulo entre dos subespacios.

trace Suma de los elementos de la diagonal.

>> A=magic(3);

>> trace(A)

ans=

…….

>>rank(A)

ans=

…….

>>detA)

ans=

…….

>>norm(A)

ans=

…….

>> B=magic(4);

A =

8 1 6

3 5 7

4 9 2

B =

16 2 3 13

5 11 10 8

9 7 6 12

4 14 15 1

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L. Maria Pimentel Herrera | 57

>> rank(B)

ans =

3

>> rref(B)

ans =

1 0 0 1

0 1 0 3

0 0 1 -3

0 0 0 0

>> c=sqrt(2); C=[1/c 0 -1/c; 1/c 0 1/c; 0 1 0], OR=orth(C)

C =

0.7071 0 -0.7071

0.7071 0 0.7071

0 1.0000 0

OR =

-0.7071 0 0.7071

-0.7071 0 -0.7071

0 -1.0000 0

>> OR'*OR

ans =

1.0000 0 0.0000

0 1.0000 0

0.0000 0 1.0000

Valores propios y valores singulares

balance Diagonal de escala para mejorar la precisión de valores propios

cdf2rdf Cambio de forma diagonal complejo para bloquear real forma

diagonal

eig Valores y vectores propios

eigs Valores propios más grande y vectores propios de la matriz

gsvd Generalizada descomposición de valor singular

hess Hessenberg forma de matriz de

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58 | L. Maria Pimentel Herrera

ordeig Valores propios de las matrices de quasitriangular

ordgz Reordenar valores propios en QZ factorización

ordschur Reordenar valores propios en la factorización Schur

poly Polinomio con raíces especificado

polyeig Polynomial problema de valores propios

rsf2csf Cambio de forma real de Schur para formar complejos de Schur

schur Descomposición de Schur

sqrtm Raíz matriz cuadrada

ss2tf Cambio de estado de los parámetros de filtro de espacio para la

transferencia de forma función de

svd Descomposición del valor singular

vds Encuentre los valores singulares y de vectores

P(λ)=det(A-λI) donde A es una matriz cuadrada, I es la matriz identidad y λ es un

parámetro. Al desarrollar det(A-λI) obtenemos el polinomio característico.

>>A=[5 4 2; 4 5 2; 2 2 2];

>> p=poly(A)

p =

1 -12 21 -10

Al resolver det(A-λI)=0 obtenemos los valores propios o característicos del polinomio, y

(A-λI)v=0 obtenemos los vectores propios asociados a los valores propios.

En Matlab tenemos eig, si [V,D]=eig(A) produce una matriz diagonal D de los valores

propios y una matriz V de columnas que corresponden a los vectores propios. De tal

forma que se cumpla: AV=VD.

>> [V,D]=eig(A)

V =

-601/1157 503/941 2/3

112/1181 -2107/2850 2/3

383/451 1514/3697 1/3

D =

1 0 0

0 1 0

0 0 10

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L. Maria Pimentel Herrera | 59

Análisis de datos

Operaciones básicas

prod Producto de elementos de la matriz.

sum Suma de los elementos de la matriz.

cumprod Producto acumulado.

cumsum Suma acumulada.

sort Ordenar elementos de la matriz en or den ascendente o

descendente.

sortrows Ordenar filas en orden ascendente.

>>x=[15 2 -7 5 6 3 4 1 8 9 21 17.5];

>>sum(x) % suma de los elementos de un vector.

ans =

84.50

>>cumsum(x) % devuelve el vector suma acumulativa de los elementos de un vector.

% producto de los elementos de un vector

.x =

Columns 1 through 7

15.00 17.00 10.00 15.00 21.00 24.00 28.00

Columns 8 through 12

29.00 37.00 46.00 67.00 84.50

>>x=[15 3 4 1 8 9];

>> cumprod(x) % devuelve el vector producto acumulativo de los elementos de un vector.

ans =

15.00 45.00 180.00 180.00 1440.00 12960.00

>> [y,l]=sort(x) % ordena de menor a mayor los elementos de un vector x.

y =

1.00 3.00 4.00 8.00 9.00 15.00

l =

4.00 2.00 3.00 5.00 6.00 1.00 5 6 8 9 15

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60 | L. Maria Pimentel Herrera

Estadística Descriptiva

Puede utilizar las funciones de MATLAB siguiente para calcular las estadísticas

descriptivas para los datos.

Nota: Para la matriz de datos, estadísticas descriptivas para cada columna se calculan

de forma independiente.

corrcoef los coeficientes de correlación

cov covarianza.

max mayor valor.

mean promedio o valor medio.

median mediana.

min menor valor.

mode los valores más frecuentes en la matriz.

std desviación estándar.

var varianza.

>> x=[15 2 -7 5 6 3 4 1 8 9 21 17.5];

>>[xm,im]=max(x)

% máximo elemento de un vector. Devuelve el valor máximo xm y la posición que ocupa im.

xm =

21

im =

11

>>[xmi,mi]=min(x)

% mínimo elemento de un vector. Devuelve el valor mínimo xmi y la posición que ocupa mi.

xmi =

-7

mi =

3

>> mean(x) % valor medio de los elementos de un vector.

ans =

169/24

>> std(x) % desviación típica.

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L. Maria Pimentel Herrera | 61

ans =

644/83

Nota: en realidad estas funciones se pueden aplicar también a matrices, pero

en este caso se aplican por separado a cada columna de la matriz, dando

como valor de retorno un vector resultante de aplicar la función a cada columna

de la matriz considerada como vector. Si estas funciones se quieren aplicar a

las filas de la matriz basta aplicar dichas funciones a la matriz transpuesta.

Derivadas e integrales

cumtrapz Acumulativa de integración numérica trapezoidal

del2 Integral laplaciano

diff Las diferencias y aproximar los derivados

gradient Gradiente numérico

int Integral

polyder Polinomio derivados

polyint Integrar polinomio analíticamente

trapz La integración numérica trapezoidal

>>f='sin(x)' % Función sin(x) definida mediante una cadena de caracteres

f =

sin(x)

, >>diff(f) % calcular derivadas

ans =

cos(x)

>>diff(f,2) % Derivada segunda de f

ans =

-sin(x)

>>int('log(x)') % Primitiva de la función logaritmo

ans =

x*log(x)-x

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62 | L. Maria Pimentel Herrera

>>diff('x*log(x)-x') % Comprobación

ans =

log(x)

Ejercicios

Las notas obtenidas por 10 alumnos en Física 1 y Física 2 son:

F 1

11

9

13

10

8

12

10

15

10

9

F 2

13

11

15

12

10

14

12

9

12

16

Completar el cuadro

F 1

F 2

Máxima nota

Mínima nota

Acumulado (suma)

Media aritmética

Desviación estándar

Varianza

Covarianza

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L. Maria Pimentel Herrera | 63

Programación

MATLAB es una aplicación que se puede pr ogramar muy fácilmente. Se comenzará

viendo las bifurcaciones y bucles, y la lectura y escritura interactiva de variables, que

son los elementos básicos de cualquier programa de una cierta complejidad.

Es posible hacer una colección de comandos y agruparlos en un archivo de tipo texto y

de extensión m (.m) llamado archivo-m. Estos archivos pueden ser scripts o funciones.

El script es un archivo-m que contiene una serie de comandos que se ejecutarán al

ejecutar dicho archivo en MatLab. La función, es un archivo-m que permite la entrada y

salida de argumentos además de la ejecución de comandos. Para crear un archivo-m

se usa cualquier editor de textos, asegurándose de al macenar dicho archivo con la

extensión (.m).

Para crear un archivo-M escogemos New del menú File y seleccionamos M-file. Una

vez guardado este archivo-M en el disco, Matlab ejecutará las órdenes en dicho

archivo simplemente escribiendo su nombre (sin extensión) en l a ventana de

comandos de Matlab.

Guardar el archivo con el nombre ejemplo.m

Defina o agregue la ruta donde esta guardando sus archivos:

>> path(path,'C:\Documents and Settings\Mary\Escritorio\matlab\CEPSUNI2010')

Ejecute el programa de la línea de comando de la ventana Command Window:

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64 | L. Maria Pimentel Herrera

>> ejemplo

Inicio cálculos

La traza vale: 34.000000

Ordenes de gestión de archivos

what devuelve un listado de todos los archivos-M del directorio actual.

dir lista todos los archivos en el directorio o carpeta actual.

ls contenido de la carpeta, igual a dir.

type test visualiza el archivo-M test.m en la ventana de comando.

delete test elimina el archivo-M test.m.

cd path cambia al directorio o carpeta dada por path.

chdir path lo mismo que cd path.

cd muestra el directorio o carpeta de trabajo presente.

chdir lo mismo que cd.

pwd lo mismo que cd.

which test visualiza el camino del directorio de test.m.

Bifurcaciones y bucles

MATLAB posee un l enguaje de pr ogramación que –como cualquier otro lenguaje–

dispone de sentencias para realizar bifurcaciones y bucles. Las bifurcaciones permiten

realizar una u otra operación según se cumpla o no una determinada condición.

Ejemplos gráficos de bifurcaciones.

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L. Maria Pimentel Herrera | 65

Los bucles permiten repetir las mismas o análogas operaciones sobre datos distintos.

Mientras que en C /C++/ Java el "cuerpo" de estas sentencias se determinaba

mediante llaves {...}, en MATLAB se utiliza la palabra end con análoga finalidad.

Existen también algunas otras diferencias de sintaxis.

Bucles con control al principio y al final.

La Figura muestra dos posibles formas de bucle, con el control situado al principio o al

final del mismo. Si el control está situado al comienzo del bucle es posible que las

sentencias no se ejecuten ninguna vez, por no haberse cumplido la condición cuando

se llega al bucle por primera vez. Sin embargo, si la condición está al final del bucle las

sentencias se ejecutarán por lo menos una vez, aunque la condición no se cumpla.

Muchos lenguajes de programación disponen de bucles con control al principio (for y

while en C /C++/Java) y al final (do … while en C/C++/Java). En MATLAB no hay

bucles con control al final del bucle, es decir, no existe construcción análoga a do ...

while.

Sentencia if

En su forma más simple, la sentencia if se escribe en la forma siguiente:

if condicion sentencias

end

Existe también la bifurcación múltiple, en l a que pueden concatenarse tantas

condiciones como se desee, y que tiene la forma:

if condicion1 bloque1

elseif condicion2 bloque2

elseif condicion3 bloque3

else % opción por defecto para cuando no se cumplan las condiciones 1,2,3

bloque4

end

donde la opción por defecto else puede ser omitida: si no está presente no se hace

nada en caso de que no se cumpla ninguna de las condiciones que se han chequeado.

Una observación muy importante: la condición del if puede ser una condición matricial,

del tipo A==B, donde A y B son matrices del mismo tamaño. Para que se considere

que la condición se cumple, es necesario que sean iguales dos a dos todos los

elementos de las matrices A y B (aij=bij, 1≤i≤m, 1≤j≤n). Basta que haya dos elementos

aij y bij diferentes para que las matrices ya no sean iguales, y por tanto las sentencias

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66 | L. Maria Pimentel Herrera

del if no se ejecuten. Análogamente, una condición en la forma A∼=B exige que todos

los elementos sean diferentes dos a dos (aij≠bij, 1≤i≤m, 1≤j≤n). Bastaría que hubiera

dos elementos aij y bij iguales para que la condición no se cumpliese. En resumen:

if A==B exige que todos los elementos sean iguales dos a dos if A~=B exige que todos

los elementos sean diferentes dos a dos como se ha di cho, MATLAB dispone de

funciones especiales para ayudar en el chequeo de co ndiciones matriciales. Por

ejemplo, la función isequal(A, B) devuelve un uno si las dos matrices son idénticas y

un cero en caso de que difieran en algo.

Ejemplo 1. Dados dos números a y b si a es mayor que b entonces intercambiar los

valores.

if a > b

tmp=a;

a=b;

b=tmp;

end

>> a=16; b=-7;

>> prog01

>> a

a =

-7

>> b

b =

16

Ejemplo 2. Si el número dado es 7 entonces lo cambia por cero, en caso contrario

lo cambia a 1.

>>n=17;

if n==17

n=0

else

n=1

end;

>>prog02

n =

0

prog02.m

Donde el 0 proviene de entrar al

primer if, y el 1, de entrar al else

del segundo if.

prog01.m

Si a es mayor que b entonces

intercambia el valor de las

variables.

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L. Maria Pimentel Herrera | 67

>>n=7

>>prog02

n =

1

Ejemplo 3. Si el número dado es diferente de cero entonces lo cambia por uno, en

caso contrario lo cambia a 3.

if m~=0

m=1

else

m=3

end;

>>m=9

>>prog03

m =

1

>>m=0

>>prog03

m =

3

Ejemplo 4. Si nota es mayor o i gual a 13 i mprimir aprobado en ca so contrario

desaprobado.

if nota>=13

fprintf('aprobado\n')

else

fprintf('desaprobado\n')

end;

>>nota=11

>>prog04

desaprobado

>>nota=15

>>prog04

aprobado

Ejemplo 5. Imprimir una matriz magic de orden:

n si el resto de dividir entre 2 es diferente de cero,

prog03.m

Donde el 1proviene de entrar al

primer if, y el 3, de entrar al else

del segundo if.

prog04.m

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68 | L. Maria Pimentel Herrera

n-2 si el resto de dividir entre 3 es diferente de cero,

n-1 en otro caso.

if rem(n,2) ~= 0

M = magic(n)

elseif rem(n,3) ~= 0

M = magic(n-2)

else

M = magic(n-1)

end

>>n=7

>>prog05

>>n=8

>>prog05

>>n=6

>>prog05

Sentencia switch

La sentencia switch realiza una función análoga a un conjunto de if...elseif

concatenados. Su forma general es la siguiente:

switch switch_expresion

case case_expr1,bloque1

case {case_expr2, case_expr3, case_expr4,...}

bloque2 ...

otherwise, % opción por defecto

bloque3

end

prog05.m

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L. Maria Pimentel Herrera | 69

Al principio se evalúa la switch_expresion, cuyo resultado debe ser un número escalar

o una ca dena de ca racteres. Este resultado se compara con las case_expr, y se

ejecuta el bloque de se ntencias que corresponda con ese resultado. Si ninguno es

igual a sw itch_expresion se ejecutan las sentencias correspondientes a ot herwise.

Según puede v erse en el ejemplo anterior, es posible agrupar varias condiciones

dentro de unas llaves (constituyendo lo que se llama un cell array o vector de celdas);

basta la igualdad con cualquier elemento del cell array para que se ejecute ese bloque

de sentencias. La “igualdad” debe entenderse en el sentido del operador de igualdad

(==) para escalares y la función strcmp() para cadenas de caracteres). MATLAB sólo

se ejecuta uno de los bloques relacionado con un case.

Ejemplo 6. Ingrese un valor del 1 al 4, para cada caso imprima un mensaje; en

caso contrario imprimir ninguna de las anteriores

s=7;

switch(s)

case 1,

resp='windows'

case 2,

resp='matlab'

case 3,

resp='octave'

case 4,

resp='linux'

otherwise,

resp='Ninguna de las anteriores'

end

>>prog06

resp =

Ninguna de las anteriores

Sentencia for

La sentencia for repite un co njunto de se ntencias un número predeterminado de

veces. La siguiente construcción ejecuta sentencias con valores de i de 1 a n, variando

de uno en uno.

for i=1:n sentencias

end

o bien,

for i=vectorValores sentencias

end

donde vectorValores es un vector con los distintos valores que tomará la variable i.

prog06.m

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Ejemplo 7 Imprime valores del 1 al 9.

for i=1:9

i

end

>>prog07

Ejemplo 8 Imprime la matriz magic de orden 3 al 7

for i=3:7

magic(i)

end

>>prog08

En el siguiente ejemplo se presenta el caso más general para la variable del bucle

(valor_inicial: incremento: valor_final); el bucle se ejecuta por primera vez con i=n, y

luego i se va reduciendo de 0. 2 en 0.2 hasta que llega a ser menor que 1, en cuyo

caso el bucle se termina:

for i=n:-0.2:1 sentencias

end

Ejemplo 9.

for i=k:-0.2:1

i

end

prog07.m

prog08.m

prog09.m

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>>k=4

>>prog09

En el siguiente ejemplo se presenta una es tructura correspondiente a dos bucles

anidados. La variable j es la que varía más rápidamente (por cada valor de i, j toma

todos sus posibles valores):

for i=1:m for j=1:n

sentencias

end end

Ejemplo 10.

m=4; n=5;

for i=1:m

for j=1:n

A(i,j)=i+j;

end

A

>>prog10

Una última forma de interés del bucle for es la siguiente (A es una matriz):

for i=A sentencias

end

en la que la variable i es un vector que va tomando en cada iteración el valor de una

de las columnas de A.

Cuando se introducen interactivamente en la línea de comandos, los bucles for se

ejecutan sólo después de introducir la sentencia end que los completa.

Ejemplo 11.

for i=A

fprintf('mi valor es: %f\n',i)

end

>>prog11

prog11.m

prog10.m

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• Elimine la fila de fprintf y escriba i, explique que hace el programa.

>>prog11

Sentencia while

La estructura del bucle while es muy similar a la de C/C++/Java. Su sintaxis es la

end

donde condicion puede se r una ex presión vectorial o m atricial. Las sentencias se

siguen ejecutando mientras haya elementos distintos de cero en condicion, es decir,

mientras haya algún o algunos elementos true. El bucle se termina cuando todos los

elementos de condicion son false (es decir, cero).

Ejemplo 12.

p=5;

while p

fprintf('mi valor es: %f\n',p)

end

>>prog12

Ejemplo 13.

p=5;

while p>0

fprintf('mi valor es: %f\n',p);

p=p-1;

end

>>prog13

Prog12.m

Prog13.m

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Sentencia break

La sentencia break hace que se termine la ejecución del bucle for y/o while más

interno de los que comprenden a dicha sentencia.

Sentencia continue

La sentencia continue hace que se pase inmediatamente a la siguiente iteración del

bucle for o while, saltando todas las sentencias que hay entre el continue y el fin del

bucle en la iteración actual.

Aplicación

1. Calcular la suma de los n primeros términos de la sucesión 1, 2x, 3x^2, 4x^3, ...

n=input('¿Cuántos términos quieres sumar? ');

x=input('Dame el valor del numero x ');

suma=1;

for i=2:n

suma=suma+i*x^(i-1);

end

disp('El valor pedido es')

disp(suma)

2. Escribir un número natural en una base dada (menor que diez).

n=input('Dame el número que quieres cambiar de base ');

base=input('¿En qué base quieres expresarlo? ');

i=1;

while n>0

c(i)=rem(n,base);

n=fix(n/base); % Parte entera de n/base

i=i+1;

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end

disp('La expresión en la base dada es:')

i=i-1;

disp(c(i:-1:1))

3. Decidir si un número natural es primo.

n=input('Número natural que deseas saber si es primo ');

i=2;

primo=1;

while i<=sqrt(n)

if rem(n,i)==0 % Resto de dividir n entre i

primo=0;

break

end

i=i+1;

end

if primo

disp('El número dado es primo.')

else

disp('El número dado no es primo.')

disp('De hecho, es divisible por:')

disp(i)

end

Funciones

También pueden pr ogramarse funciones. La p rimera instrucción de un fichero que

contenga una función de nombre fun debe ser:

function [argumentos de salida]=fun(argumentos de entrada)

Es conveniente que el fichero que contenga la función se llame como ella; así, la

función anterior debería guardarse en el fichero fun.m; por ejemplo, si se desea

programar una función que calcule, mediante el algoritmo de E uclides, el máximo

común divisor de dos números naturales, basta escribir un fichero euclides.m cuyo

contenido sea:

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function m=euclides(a,b)

% Cálculo del máximo común divisor de dos números naturales

% mediante el algoritmo de Euclides

if a<b

c=b;

b=a;

a=c;

end

while b>0

c=rem(a,b);

a=b;

b=c;

end

m=a;

Si, una vez escrito el fichero anterior, en el espacio de trabajo o en un programa se

escribe la instrucción

mcd=euclides(33,121)

en la variable mcd se almacenará el valor 11.

Las variables de una función son siempre locales. Por tanto, aunque en el seno de la

función se modifiquen los argumentos de entrada, el valor de las variables

correspondientes queda inalterado. Por ejemplo, en la función euclides.m se modifica

el valor de los argumentos de entrada, pero, sin embargo:

>>x=15;

>>mcd=euclides(x,3);

>>x

x =

15

Si se pretende que las modificaciones de un argumento de entrada afecten a la

variable correspondiente, deberá situarse dicho argumento, además, en la lista de

argumentos de salida.

• Calcular el promedio de los elementos de un vector y dibujar dicho vector.

% Calcula el promedio de los elementos de un vector

% y dibuja dicho vector

% Sintaxis: promedio(x) donde x es el vector a promediar

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function p = promedio(x)

n=length(x);

p=0;

for i=1:n

p=p+x(i);

end

p=p/n;

plot(x);

Para ejecutar la función, se hace el llamado en la línea de co mandos incluyendo el

parámetro. La función promedio usa por parámetro un v ector. Este vector debe ser

definido previamente.

>>A=[1 2 4 3 7 5 6 1 2 0 8 5];

>>promedio(A)

ans =

3.6667

MatLab despliega las imágenes en una ventana de figuras. Al observar el contenido de

dicha ventana luego de ejecutar la función promedio, se tiene:

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Funciones de usuario propias

Función que devuelve una sola variable

Consideremos un archivo M de función para la siguiente ecuación:

x

exx

xxx

xf

−

+−

−++

=53

1372

)(

2

23

…(α)

Suponiendo que el archivo M se guarda como fun, su guión sería el siguiente:

function y=fun(x)

y=(2*x.^3+7*x.^2+3*x-1)./(x.^2-3*x+5*exp(-x));

Usemos el comando fun aplicado para el valor de x=5

>> fun(5)

y =

43.7526

Si el argumento es una matriz, por ejemplo:

>> fun([4 7; 2 -2])

ans =

61.3455 37.4582

-37.0280 0.1065

Función que devuelve múltiples variables

Una función puede devolver más de una variable. Supongamos una función que

evalúa la media y la desviación estándar de una serie de datos. Para devolver las dos

variables utilizamos un vector en el miembro izquierdo del enunciado de la función; por

ejemplo,

function [media, dvstd]=media_ds(x)

n = length(x);

media = sum(x)/n;

dvstd = sqrt(sum(x.^2)/n - media.^2);

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Para utilizar esta function, el miembro derecho del enunciado de llamada también debe

ser un vector.

>> x=[1 5 3 4 6 5 8 9 2 4];

>> [m, d] = media_ds(x)

Produce

m =

4.7000

d =

2.3685

Función que utiliza otra función

El argumento de una función puede ser el nombre de otra función.

Ejm supongamos una función que evalúa la media ponderada de una función en tres

puntos como

4

)()(2)( cfbfaf

fav

++

=

Donde f(x) es la función que se nombrará en el argumento. Realizar el guión fav que

calcula la función anterior.

function mp = fav(nomf,a,b,c)

mp = (feval(nomf,a) + 2*feval(nomf,b)+feval(nomf,c))/4;

En el guión anterior, nomf (una variable de cadena) es el nombre de la función f(x).

Si f(x) es la función seno, nomf será ‘sin’.

feval (nomf,x) es un comando de Matlab que evalúa la función llamada nomf para el

argumentos.

Por ejemplo, y=fevcal(´sin’,x) equivale a y=sin(x).

Evaluar la ecuación para la función (α) con a=1, b=2 y c=3.

>> A = fav(‘fun’, 1,2,3)

Produce

A =

89.8976

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Gráficos

Matlab permite crear gráficos de varios tipos, que se utilizan para:

– visualizar el contenido de las variables

– crear imágenes/películas/VR/GIS

– generar interfaces de usuario

Graficar: suponga que desea graficar un conjunto de punto de datos, (xi,yi), i=1,2,…n.

Es necesario preparar x y y en forma de arreglo idéntica, es decir, convertirlos en

arreglos de fila o de columna de la misma longitud. Los datos se grafican con plot.

Gráficos 2D

• y=x2, -10 ≤ x ≤ 10

>> x=-10:10;

>> y=x.^2;

>> plot (x,y)

>> xlabel(‘x’); ylabel(‘y’);

• y=seno(x), -π ≤ x ≤ π

>> x=…………………;

>> y=…………………;

>> plot (x,y)

>> xlabel(‘x’); ylabel(‘y’);

• y=sen(x)exp(-0.4x), 0 ≤ x ≤ 10

>> x=0:0.05:10;

>> y=sin(x).*exp(-0.4*x);

>> plot (x,y)

>> xlabel(‘x’); ylabel(‘y’);

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Funciones para gráficos

etiqueta sobre el eje X de la gráfica actual >> xlabel('texto')

etiqueta sobre el eje Y de la gráfica actual >> ylabel('texto')

título en la cabecera de la gráfica actual >> title('texto')

texto en el lugar especificado por las coordenadas >> text(x,y, 'texto')

texto, el lugar lo indicamos después con el mouse >> gtext('texto')

dibujar una rejilla >> grid

fija valores máximo y mínimo de los ejes >> axis( [xmin xmax ymin ymax] )

fija que la escala en los ejes sea igual >> axis equal

fija que la gráfica sea un cuadrado >> axis square

desactiva axis equal y axis square >> axis normal

abre una ventana de gráfico >> hold on

borra lo que hay en la ventana de gráfico >> hold off

Tipos de colores de líneas

Tipos de línea

Símbolo

Continua

Guiones

Punteada

Guiones y punto

-

--

:

-.

El tipo de l ínea por omisión es el continuo. Si desea graficar con un mismo tipo de

línea en particular especifique la marca de línea después de las coordenadas; por

ejemplo, plot(x,y,’—‘)

Se dispone los siguientes colores:

Color de línea

Símbolo

rojo

amarillo

magenta

turquesa

verde

azul

blanco

negro

r

y

m

c

g

b

w

k

Utilice el símbolo del color igual que los tipos de línea en el argumento de pl ot; por

ejemplo, plot(x,y,’g’)

También es posible combinar marcas y colores: plot(x,y,’+g’) grafica los datos con

marcas + de color verde.

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Borrados de gráficas

clf borra todo lo que haya en la ventana de gráficos.

cla borra las curvas graficadas y redibuja los ejes

Retícula

Se puede agregar una retícula a la gráfica con grid on. Por otro lado, grid off elimina la

retícula. El empleo de grid por sí solo activa y desactiva la retícula alternadamente. El

siguiente guión es un ejemplo del empleo de gris on:

>> u=-pi:pi/8:pi;

>> h=sin(u)+cos(u);

>> plot(u,h)

>> grid

>> xlabel('x'); ylabel('y')

Graficación únicamente con marcas

Los datos pueden graficarse sólo con marcar sin estar conectados por líneas.

Tipos de marca Símbolo

Punto

Más

Estrella

Círculo

Marca x

.

+

*

o

x

• y=x3, -100 ≤ x ≤ 100

>> x=-10:10;

>> y=x.^3+1;

>> plot (x,y,’*’)

>> xlabel(‘x’); ylabel(‘y’);

• y=coseno(x), -2π ≤ x ≤ 2π

>> x=…………………;

>> y=…………………;

>> plot (x,y,’.’)

>> xlabel(‘x’); ylabel(‘y’);

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82 | L. Maria Pimentel Herrera

• y=sen(x)exp(-0.4x), 0 ≤ x ≤ 10

>> x=(0:0.4:10)’;

>> y=sin(x).*exp(-0.4*x);

>> plot(x,y,’+’)

>> xlabel(‘x’); ylabel(‘y’)

• z=coseno(p)+iseno(2p)exp(-0.05p)+0.01p

>> p=0: 0.05: 8*pi;

>> z=(cos(p) + i*sin (2*p)).*exp(-0.05*p)+0.01*p;

>> plot(real(z), imag(z),’g’)

>> xlabel(‘Re(z)’); ylabel(‘Im(z)’)

• Grafica de la campana de gauss

>>x=linspace(-3,3,500); y=exp(-x.^2); z=2*exp(-x.^2);

>>plot(x,y,'-',x,z,'--') % Dibujamos dos funciones

>>title('Campanas de Gauss')

>>xlabel('Eje de Abscisas') % Etiqueta el eje horizontal

>>ylabel('Eje de Ordenadas') % Etiqueta el eje vertical

>>legend('exp(-x^2)', '2*exp(-x^2)') % Leyenda

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Gráficas polares

Podemos graficar una función en coordenadas polares con polar.

>> t=0:.05:pi+.01;

>> b=sin(3*t).*exp(-0.3*t);

>> polar(t,y)

>> title('Gráfica polar')

>> polar(t,b,'+c')

>> polar(t,b,'+r')

>> polar(t,b,':r')

>> polar(t,b,'or')

Limpiar la memoria

Clear

Dos gráficos en uno

También pueden dibujarse funciones. Así:

>>fplot('sin(x)',[0 2*pi])

% Dibuja la función seno en el intervalo [0,2*pi]

>>hold on

% Mantiene en la ventana gráfica los dibujos anteriores

>>fplot('cos(x)',[0 2*pi])

% Dibuja sobre la gráfica anterior la función cos(x)

>>hold off % Con esto olvida los dibujos

% anteriores y dibuja en una ventana nueva

>>fplot('x^2*sin(1/x)',[-0.05 0.05])

% Dibuja la función x^2*sin(1/x)

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Grafica de función

>>ezplot('exp(x)')

% Dibuja la función exponencial en un intervalo adecuado a la función

Grafica de paramétrica

>>ezplot('sin(t)','cos(t)',[0 pi])

Grafica de función implícita

>>ezplot('x^2 - y^2 - 1')

También permite dibujar superficies. La forma más

sencilla es mediante el comando ezsurf,

>>ezsurf('sin(x*y)',[-2 2 -2 2])

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Polígonos

Para dibujar polígonos podemos usar la función plot pero teniendo en cuenta que el

último punto de a mbos vectores deben coincidir para que la gráfica quede cerrada.

Pero si lo que queremos es que quede coloreado todo el interior del polígono debemos

usar mejor la función fill, tiene tres argumentos,

los dos vectores que forman los puntos y un

tercer argumento para indicar el color.

>> x=[-2 0 2 0 -2]; y=[4 8 4 0 4];

>> plot(x,y)

% dibuja el polígono, 'r' indica el color rojo

>> fill(x,y,'r') %

Gráficos con el mismo eje

La función plot nos permite otras opciones como superponer gráficas sobre los

mismos ejes:

>> x=[-2 -1 0 1 2 3]; y=[4 1 0 1 4 9]; z=[6 5 3 7 5 2];

>> plot(x,y,x,z)

Múltiples graficas

Una ventana gráfica se puede dividir en m particiones horizontales y en n verticales,

de modo que cada subventana tiene sus propios ejes, y para hacer esto vamos a usar

subplot (m,n,p) donde p indica la subdivisión que se convierte en activa.

>> x=1:360; y1=sind(x); y2=cosd(x); y3=exp(x); y4=exp(-x);

>> subplot (2,2,1), plot (x,y1), title ('seno')

>> subplot (2,2,2), plot (x,y2), title ('coseno')

>> subplot (2,2,3), plot (x,y3), title ('exponencial')

>> subplot (2,2,4), plot (x,y4), title ('-exponencial')

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Para volver al modo por defecto basta escribir: subplot (1,1,1).

Otras propiedades gráficas

También se pueden e specificar otras propiedades gráficas de l a línea mediante

parejas de nombre de propiedad y valor. Estas propiedades se asignarán a todas las

líneas del gráfico. Algunas de las propiedades más habituales son:

• LineWidth: Especifica el grosor de la línea en píxeles.

• MarkerEdgeColor: Especifica el color del borde del marcador.

• MarkerFaceColor: Especifica el color del interior del marcador.

• MarkerSize: Especifica el tamaño del marcador.

>> x = 0:0.5:20;

>> y = exp(0.1*x);

>> y1 = y.*sin(x);

>> y2 = y.*cos(x);

% Las propiedades especificadas afectan a todas las líneas

>> plot (x, y1, ':ks', x, y2, '-bo', 'LineWidth', 2, 'MarkerEdgeColor', 'r',

'MarkerFaceColor', 'w', 'MarkerSize', 7)

Gráfico de función a trozos

Gráfico de la función seno en dos tramos [0, 3π/8] y [5π/8, π]

>> X = [linspace(0,pi*3/8,20); linspace(pi*5/8, pi, 20)];

>> Y = sin(X);

>> plot(X,Y) %Hay que tener en cuenta que se imprime por columnas

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>> plot(X’,Y’) % Ahora sí

% Es equivalente a: plot(X(1, :), Y(1, :), X(2, :), Y(2, :))

• Graficar la función











≤+−

<≤

<

=

xsix

xsi

x

xf

12

101

0

)(

2

>> x=linspace(-2,3,3000);

>> y=(x.^2).*(x<0)+1.*((0<=x)&(x<1))+(-x+2).*(1<=x);

>> plot(x,y,'.'),grid on,title('Función definida a trozos')

Campo vectorial 2D

Dibujar los vectores velocidad sobre la curva

>> ezplot('cos(t)','sin(t)',[0 2*pi])

>> hold on

>> t=linspace(0,2*pi,20);

>> quiver(cos(t),sin(t),-sin(t),cos(t)),axis square

Cambios de coordenadas polares-cartesianas

Hay dos comandos que permiten hacer cambios de coordenadas. Si queremos

cambiar de coordenadas polares a coordenadas cartesianas hay que ut ilizar el

comando

>> [x,y]=pol2cart(theta,r);

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Esto es, suponiendo que los puntos en co ordenadas polares estén previamente

almacenados en las variables theta y r. Los puntos ahora obtenidos se podrán dibujar

utilizando el comando plot.

Para hacer el cambio de coordenadas cartesianas a coordenadas polares, habrá que

utilizar

>> [theta,r]=cart2pol(x,y);

Otros comandos relacionados con las gráficas son los siguientes:

Gráficos Estadísticos

Gráfico de sectores

>> x = [1 1 2 3 5 8];

>> pie(x);

Gráfico de sectores con elementos resaltado

>> x = [1 1 2 3 5 8];

>> ex = [0 1 0 0 1 0];

>> pie(x, ex);

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Ejercicio

Realizar un grafico de sectores en el cual se resalte el sector de Inca Kola y se indique

la leyenda por color del sector correspondiente.

Gaseosa

Coca Cola

Guarana

Inca Kola

Kola Real

Pepsi

Otros

Total

Preferencia

13

9

15

5

8

3

53

>> g=[13 9 15 5 8 3];

>> gg=[0 0 1 0 0 0];

>> pie(g, gg);

>> legend('Coca Cola', 'Guarana','Inca Kola','Kola Real','Pepsi','Otros')

Gráfico de sectores tridimensional

>> x = [1 1 2 3 5 8];

>> ex = [0 0 0 1 0 0];

>> pie3(x, ex);

Histograma

Para generar histogramas se utiliza el comando hist. Por ejemplo, generamos 1000

números aleatorios siguiendo la normal N(0; 1)

>> x = randn(1,10000);

>> hist(x);

Histograma de 50 barras

>> x = randn(1,10000);

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>> hist(x, 50);

Ejercicio

Con los siguientes datos construya un histograma

1

3

7

5

2

3

4

3

5

6

7

6

5

6

4

>> f = [1 3 7 5 2 2 3 4 4 4 3 5 5 6 7 6 5 6 4 4];

>> hist(f ,15);

Diagrama de pareto

El diagrama de Pareto que produce MatLab constará de barras cuyas

alturas son el número de alumnos, ordenadas en forma decreciente y

sobre las barras, un po lígono con las frecuencias acumuladas del

número de alumnos.

Además, en el eje vertical derecho aparece una esca la de

porcentajes.

De un grupo de alumnos se encontró las siguientes preferencias:

>> x=[30 25 17 9];

>> pareto(x),ylabel('Número de alumnos')

Gráfico de barras

Existen varias posibilidades para representar diagramas de barras. Supongamos que

queremos representar los siguientes datos en un diagrama de barras:

Introducimos los datos en un vector

>>x=[10 2 3 5 18 20 15 ];

Deporte

No.

Futbol

30

Básquet

25

Tennis

17

Voley

9

Total

81

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Y ahora usamos los comandos bar, barh, bar3 y bar3h para generar los gráficos.

(Usando el comando subplot podemos conseguir que aparezcan todos en la misma

figura.)

>> subplot(2,2,1),bar(x),title('Barras Verticales')

>> subplot(2,2,2),barh(x),title('Barras Horizontales')

>> subplot(2,2,3),bar3(x),title('Barras Verticales 3D')

>> subplot(2,2,4),bar3h(x),title('Barras Horizontales 3D')

Rotar

Hay que observar que las gráficas 3D se pueden modificar utilizando el comando

rotate3d

Ejercicio

Realizar un grafico de barras de Días transcurridos vs el número de reclamos

resueltos.

Dias

1

2

3

4

5

6

7

8

N° de reclamos

4

5

7

11

15

9

7

3

>> x = [1 2 3 4 5 6 7 8];

>> y = [4 5 7 11 15 9 7 3];

>> subplot(2,2,1),bar(x,y,'r'),title('Barras Verticales')

>> subplot(2,2,2),barh(x,y,'g'),title('Barras Horizontales')

>> subplot(2,2,3),bar3(x,y,'m'),title('Barras Verticales 3D')

>> subplot(2,2,4),bar3h(x,y,'c'),title('Barras Horizontales 3D')

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Grupos de barras

>> subplot(1,1,1)

>> x = 0.5:0.5:4;

>> y = 1./x;

>> Y = [y' fliplr(y)'];

%en 2D dimensiones

>> bar(x, Y)

%en 3D dimensiones

>> bar3(x, Y,'group')

Ejercicio

De tres salones de clase, se encuesto la preferencia por

los colores, según la tabla realizar un grafico de barras

Color

r

v

az

n

m

f

am

Clase 1 (32)

3

5

7

6

5

4

2

Clase 2 (40)

9

7

5

3

8

2

6

Clase 3 (35)

7

3

5

4

7

5

3

>> X= [1 2 3 4 5 6 7];

>> c1 = [3 5 7 6 5 4 2];

>> c2 = [9 7 5 3 8 2 6];

>> c3 = [7 3 5 4 7 6 3];

>> Y = [c1' c2' c3'];

>> bar(X,Y);

>> title('Preferencia de color');

>> xlabel('1.Rojo 2.Verde 3.Azul 4.Negro 5.Fucsia 6.Turquesa 7.Amarillo');

>> ylabel('nro. de alumnos');

>> legend('Clase 1 (32)','Clase 2 (40)','Clase 3 (35)');

Barras apiladas

>> x = 0.5:0.5:4;

>> y = 1./x;

>> Y = [y' fliplr(y)'];

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%en 2D dimensiones

>> bar(x, Y, 'stacked')

>> colormap([1 1 0;0 1 0])

%en 3D dimensiones

>> bar3(x, Y, 'stacked')

>> colormap([1 0 0;0 0 1])

Ejercicio

De cuatro distritos, se encuesto la preferencia por las frutas, según la tabla realizar un

grafico de barras apiladas.

>> X = 1:5;

>> d1 = [30 15 45 25 30];

>> d2 = [5 20 25 30 40];

>> d3 = [22 28 15 15 20];

>> d4 = [10 13 20 40 27];

>> Y = [d1' d2' d3' d4'];

>> bar(X, Y, 'stacked'); % 2D

>> bar3(X, Y, 0.5,'stacked'); % 3D

>> title('Barras apiladas');

>> colormap([1 0 0;0 1 0;0 0 1;0 1 1])

>> legend('A','B','C','D');

>> ylabel('Nro. de personas');

>> xlabel('1.Pera 2.Papaya 3.Fresa 4.Manzana 5.Durazno');

Gráfico de dispersión

Las formas más habituales de esta función son:

Distrito

Pera

Papaya

Fresa

Manzana

Durazno

A (145)

30

15

45

25

30

B (120)

5

20

25

30

40

C (100)

22

28

15

20

D (110)

10

13

20

40

27

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scatter(x, y)

scatter(x, y, size)

scatter(x, y, size, color)

Hace un gráfico de dispersión con las coordenadas de x e y. Los vectores deben ser

del mismo tamaño. También se puede especificar el tamaño de los puntos y su color.

Tanto el tamaño como el color se pueden e specificar para todos los puntos en

conjunto o para cada punto individualmente. Para lo primero basta con especificar con

un escalar el tamaño y con un vector de 1x3 el color (en RGB). Para lo segundo hay

que proporcionar para el tamaño de los puntos un vector (de igual longitud que x e y) y

para el color, o bien, un vector de índices (que harán referencia al colormap), o bien,

una matriz de length(x)x3 con los colores (en RGB).

%Puntos distribuidos aleatoriamente con distribución normal en 2D

>> x = randn(1,100);

>> y = randn(1,100);

%..con puntos de color aleatorio usando el colormap

>> scatter(x, y, 100, rand(1, 100))

Gráfico utilizando dos ejes verticales distintos

plotyy(X1,Y1,X2,Y2)

plotyy(X1,Y1,X2,Y2,'function1','function2')

Realiza un gráfico utilizando dos ejes verticales distintos, uno para la serie Y1 (eje de

la izquierda) y otro para la serie Y2 (eje de la derecha). Esta función es útil cuando se

desean visualizar dos series con distinta escala y/o unidades en un mismo gráfico, por

ejemplo en gráficos de temperatura y pluviometría. Se pueden especificar los nombres

de función con que se quiere mostrar el gráfico. Se puede usar cualquier función que

acepte llamadas del tipo function(x, y).

Gráfico con dos ejes verticales con distinta escala

>> x = 1:12;

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>> pluv = sin(linspace(pi/2,pi+3*pi/2,12))*100+100;

>> temp = sin(linspace(0, pi, 12))*40;

>> plotyy(x, pluv, x, temp)

Gráfico con dos ejes verticales usando distintas funciones para dibujarlo

>> plotyy(x, pluv, x, temp, 'bar', 'plot')

Gráfico Apilado

area(X,Y)

Esta función genera un gráfico apilado, útil para mostrar las contribuciones de distintas

componentes de un todo. Si X e Y son vectores el resultado es igual a plot excepto

que se rellena el área bajo la curva. Si Y es una matriz, la función acumula los distintos

valores de las columnas de Y. X debe ser monótona.

Creamos una columna creciente, otra constante y otra que varia con el seno

>> x = 1:10;

>> Y = [linspace(1,5,10)' ones(10, 1) 1+sin(0.5:0.5:5)'];

>> area(x, Y)

>> colormap summer

Ejemplo de Análisis Numérico

Dibujo del conjunto de Mandelbrot para la ecuación

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obtenido con mandel(120).

function mandel(n)

x=linspace(-2.5,0.6,n);

y=linspace(-1.2,1.2,n);

[X,Y] = meshgrid(x,y);

C = complex(X,Y);

Zmax = 1e6; itemax = 50;

Z=C;

for k=1:itemax

Z = Z.^2 + C;

end

% la orden spy dibuja los elementos no nulos de

% una matriz. Suele usarse para matrices ‘‘huecas"

spy( Z < Zmax);

3-D

Gráficos de línea

También podemos crear gráficas en 3

dimensiones, se trata de extender la orden de plot

(2-D) a plot3 (3-D) donde el formato será igual pero

los datos estarán en tripletes:

>> x=-720:720; y=sind(x); z=cosd(x);

>> plot3(x,y,z)

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Si queremos representar un polígono en 3 dimensiones lo haremos con la función fill3

de forma similar a fill pero ahora con 4 argumentos, siendo el cuarto el que indica el

color.

>> x=[-2 0 2 0 -2];

>> y=[4 8 4 0 4];

>> z=[3 5 10 5 3];

%dibuja en 3-D, 'g' indica el color verde

>> fill3(x,y,z,'g')

Superficie de malla

La orden [X,Y]=meshgrid(x,y) crea una matriz X cuyas filas son copias del vector x y

una matriz Y cuyas columnas son copias del vector y. Para generar la gráfica de malla

se usa la orden mesh(X,Y,Z), mesh acepta un argumento opcional para controlar los

colores. También puede tomar una matriz simple como argumento: mesh(Z).

>> x=-10:0.5:10; y=-10:0.5:10;

>> [X,Y]=meshgrid(x,y); % crea matrices para hacer la malla

>> Z=sin(sqrt(X.^2+Y.^2))./sqrt(X.^2+Y.^2+0.1);

>> mesh(X,Y,Z) % dibuja la gráfica

Hubiera dado igual si hubiéramos escrito:

>> [X,Y] = meshgrid (-10:0.5:10);

>> Z = sin (sqrt (X .^2 + Y .^ 2)) ./ sqrt (X .^ 2 + Y .^ 2 + 0.1);

>> mesh (X,Y,Z)

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Gráfica de superficie

Es similar a l a gráfica de malla, pero aquí se rellenan los espacios entre líneas. La

orden que usamos es surf con los mismos argumentos que para mesh.

>> surf (X,Y,Z)

Las gráficas de contorno en 2 -D y 3 -D se generan usando respectivamente las

funciones contour y contour3.

>> contour (X,Y,Z) % dibuja las líneas de contorno

La función pcolor transforma la altura a un conjunto de colores.

>> pcolor (X,Y,Z)

Manipulación de gráficos

• fija el ángulo de visión especificando el azimut y la elevación:

>> view(az,el)

• coloca su vista en un vector de coordenada cartesiana (x,y,z) en el espacio

3-D: >> view([x,y,z])

• almacena en az y el los valores del azimut y de l a elevación de l a vista

actual: >> [az,el]=view

• añade etiquetas de altura a los gráficos de contorno >> clabel(C,h)

• añade una barra de color vertical mostrando las transformaciones

>> colorbar

>> surf(X,Y,Z)

>> view(10,70)

>> colorbar % añade la barra de color a la figura actual

>> surf(X,Y,Z)

>> view([10,-12,2])

>> surf (X,Y,Z)

>> [az,el] = view

az =

-37.5000

el =

30

>> [C,h] = contour (X,Y,Z);

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L. Maria Pimentel Herrera | 99

>> clabel (C,h)

Comprensión de los mapas de color

La sentencia colormap (M) instala al matriz M como el mapa de color a utilizar por la

figura actual.

>> surf (X,Y,Z)

>> colormap (pink)

>> colormap (hot)

>> colormap (summer)

creamos una matriz de colores

>> M = [0 0 0; 1 0 0; 0 1 0; 0 0 1; 1 1 0];

>> colormap (M)

Campo vectorial 3D

Dibujar los vectores velocidad sobre la hélice

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>> t=linspace(0,8*pi,20);

>> quiver3(sin(t),cos(t),t,cos(t),-sin(t),1,1.5);

>> hold on

>> t=linspace(0,8*pi,2000);

>> plot3(sin(t),cos(t),t,'r');

>> grid on;

>> hold off;

Superficie

Dibujar la grafica de la función de diferentes formas

para -2 ≤ x ≤ 2, -2 ≤ y ≤ 2

>> [x,y]=meshgrid(-2:.5:2);

>> z=exp(-x.^2-y.^2);

>> subplot(2,2,1); plot3(x,y,z);

>> subplot(2,2,2); mesh(x,y,z);

>> subplot(2,2,3); surf(x,y,z);

>> subplot(2,2,4); surf(x,y,z),shading flat;

Ejes. Las longitudes de los ejes coordenados también se pueden modificar con el

comando

>>axes([xmin xmax ymin ymax zmin zmax])

Vectores Normales a una superficie

Dibujar los vectores normales a la superficie de una esfera siguiendo los siguientes

pasos:

Dibujar una esfera utilizando

>> sphere,axis square,title('ESFERA')

luego guarde la información en tres variables

>> [x,y,z]=sphere(n);

Utilizar el comando

>> surfnorm(x,y,z)

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Este comando también se puede utilizar para dibujar los vectores normales en

superficies de funciones de la forma z = f(x; y). Para dibujar las normales en el sentido

opuesto habrá que poner surfnorm(x',y',z').

• Dibujar un paraboloide de revolución y sus vectores normales, utilizar como

generatriz la función:

ttr =)( , con

[ ]

2,0∈t

>> t=linspace(0,2,20);

>> r=sqrt(t); cylinder(r);

>> [x y z]=cylinder(r);

>> surfnorm(x,y,z)

Curvas de nivel

Dada una función z = f(x; y), las curvas sobre el plano XY , determinadas por f(x; y) =

k, donde k es una constante se llaman curvas de nivel. Hay varias formas de

obtenerlas usando MatLab.

22 yxz +=

Dibujar las curvas de nivel y etiquetarlas.

>> [x,y]=meshgrid(-2:.1:2);

>> z=x.^2+y.^2;

2D

>> contour(x,y,z,10) % curvas de nivel

>> cs=contour(x,y,z,15);

>> clabel(cs)

3D

>> contour3(x,y,z,10)

>> cs=contour3(x,y,z,15);

>> clabel(cs)

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102 | L. Maria Pimentel Herrera

Superficies de revolución

El comando >>makevase hace aparecer una ventana interactiva

que permite dibujar gráficas de superficies de revolución en las

que la generatriz es una poligonal cuyos vértices se señalan con

el mouse sobre el propio dibujo.

Gráficos de funciones complejas

El comando cplxmap permite representar gráficas de funciones complejas de variable

compleja en el siguiente sentido:

Sea la función compleja de variable compleja

El comando cplxmap(z,f(z)) dibuja una gráfica tridimensional en la que el eje X es la

parte real de la variable, es decir, Real(z); el eje Y es la parte imaginaria de la variable,

es decir, Im(z) y el eje Z es la parte real de la imagen de la función, es decir, Re(f(z)).

La variable z va a pertenecer siempre al dominio

constituido por el disco unidad centrado en el

origen y las coordenadas de los puntos deben

estar en forma polar. Esto se consigue utilizando

previamente el comando cplxgrid(n), donde n es

el número entero positivo.

Ejemplo : la gráfica de la función f(z) = z3

>>z=cplxgrid(25);

>>cplxmap(z,z.^3)

Gráficas en movimiento

Entre las múltiples posibilidades del programa MatLab está la de producir gráficas en

movimiento. Se trata de pequeños programas, llamados “movies”, que elaboran una

película" fotograma a fotograma.

Estos fotogramas, una vez visualizados, producen la sensación de movimiento.

• Dibujar la gráfica de la curva y =λsin(x) para varios valores de λ contenidos en

el intervalo [-1;1].

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L. Maria Pimentel Herrera | 103

function cuerda

% movie cuerda

x=linspace(0,2*pi,1000); n=50;

% n numero de fotogramas

El núcleo del programa lo constituyen el conjunto de comandos

for j = 1:n

t=(2*pi/49)*(j-1);

y=sin(t)*sin(x);

plot(x,y,'*'),axis([0 2*pi -1.2 1.2])

F(j) = getframe;

end

En programación se denomina un bucle, esto es, un conjunto de instrucciones, en este

caso, comandos gráficos que se ejecutan varias veces, dependiendo del valor de j. A

medida que j varía de 1 a 50, t varía, de 0 a 2π y, por tanto, λ = sin(t) varía entre -1 y 1.

Para cada valor de j se realiza un g ráfico/fotograma que se almacena con la

instrucción F(j) = getframe;. Por último, el comando movie(F,2) permite visualizar la

película el número de veces que se le indique.

>>movie(F,2)

• 2D Función elipse en movimiento

function elipse

n=30; x=linspace(0,2*pi,200);

for j = 1:n

t=(pi/29)*(j-1);

plot(cos(x),sin(t)*sin(x),'rs'),

axis([-1 1 -1 1]);

F(j)=getframe;

end

movie(F,5)

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104 | L. Maria Pimentel Herrera

• 2D colores en movimiento

function colores

n=30;

for j = 1:n

x=rand(10);

imagesc(x)

F(j) = getframe;

end

movie(F,5)

• 3D membrana en movimiento

function membrana

[x,y]=meshgrid(-1:.1:1); n=20;

for j = 1:n

t=(2*pi/19)*(j-1);

z=2*sin(t)*exp(-x.^2-y.^2);

surf(x,y,z),axis([-1 1 -1 1 -2 2])

F(j) = getframe;

end

movie(F,6)

• Función 3D de picos en movimiento

function picos

[x,y,z]=peaks; n=20;

for j = 1:n

t=(2*pi/19)*(j-1);

z1=sin(t)*z;

surf(x,y,z1),axis([-3 3 -3 3 -5 5])

F(j) = getframe;

end

>> movie(F,3)

MATLAB

Primera edición digital

Noviembre, 2012

Lima - Perú

PROYECTO LIBRO DIGITAL

PLD 0618

Editor: Víctor López Guzmán

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