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The G.R.B. code
Jérôme Guilet, Raphaël Raynaud, Matteo Bugli
24 juillet 2018

1 Résumé
Pour produire des courbes de lumière associées à la coalescence de deux étoiles à neutrons, le code G.R.B. utilise un modèle adapté des travaux de Sun et al. (2017) qui suppose que l’objet compact formé est un magnétar qui perd de l’énergie par un phénomène
de freinage magnétique induit par la composante dipolaire du champ magnétique de
l’étoile. L’évolution temporelle de la fréquence de rotation de l’étoile est déterminée par
le couple magnétique du rayonnement du dipôle
Ω(t) =

Ω0
(1 + t/τem )1/2

,

(1)

où τem = 3c3 I/(B 2 R6 Ω20 ) est le temps caractéristique de ralentissement, I, R et B étant
le moment d’inertie, le rayon et le champ magnétique dipolaire de l’étoile à neutrons.
On suppose que le rayonnement X est produit par dissipation interne dans le vent du
magnétar et émis de façon isotrope (Zhang, 2013). La luminosité en rayons X est alors
déterminée par la luminosité de ralentissement du dipôle, modulo un facteur d’efficacité η
B 2 R6 Ω4 (t)
.
(2)
6c3
Le magnétar central résultant de la fusion de deux étoiles à neutrons, il faut également
tenir compte de la présence d’éjecta opaques résiduels qui vont d’abord absorber ce
rayonnement dans certaines directions et le ré-émettre avec un spectre de corps noir.
Le calcul des courbes de lumière dans la zone où le rayonnement est initialement piégé
requiert donc de déterminer l’évolution dynamique des ejecta. On utilise dans ce cas le
modèle de Yu et al. (2013), qui prend en compte l’injection d’énergie par le magnétar
central et le chauffage additionel par désintégration d’éléments radioactifs.
Enfin, précisons que cette approche phénoménologique permet de comparer simplement différentes équations d’état qui déterminent le rayon R, le moment d’inertie I et
la période critique de rotation du magnétar en deçà de laquelle l’objet s’effondre en
trou noir. Cette période P est reliée à la masse maximale d’une étoile à neutrons par la
relation (Lasky et al., 2014)
LX = ηLdip (t) = η

Mmax = MTOV (1 + αP β ) ,
1

(3)

où la masse maximale d’une étoile statique MTOV et les exposants α et β sont donnés
par les modèles d’équation d’état (Ai et al., 2018). Lorsque l’étoile s’effondre en trou
noir du fait du ralentissement de sa rotation, on suppose que la luminosité due au vent
du magnétar s’arrête abruptement.

2 Equations
We consider a magnetar of radius R, mass M , moment of inertia I and surface magnetic field B, surrounded by an accretion disc with initial mass Mdisc and radius Rdisc .
The time evolution of the magnetar angular frequency Ω will be determined both by the
magnetic and accretion torques Ndip and Nacc , defined respectively by
µ2 Ω 3
,
6c3
= n(Ω) (GM rm )1/2 Ṁ ,

Ndip = −

(4)

Nacc

(5)

where µ = BR3 is the dipole moment and rm the Alfvén radius
rm = µ4/7 (GM )−1/7 Ṁ −2/7 .

(6)


1/3
Depending of the values of the Alfvén radius and the corotation radius rc = GM/Ω2
,
the system will be accreting or expelling material: if rm < rc , the system is accreting
and the accretion torque spins up the magnetar, whereas for rm > rc the magnetar
loses angular momentum with the expelled material — the so-called propeller regime
(Gompertz et al., 2014). The change of sign of the accretion torque is handle by the
following prefactor

 3/2
rm


1 −
rm > R
rc
n(Ω) =
,
(7)

Ω

1 −
rm < R
ΩK
p
where ΩK = GM/R3 .
— BAR MODE INSTA
— accretion rate
— ejecta

2

The complete ODE system to be integrated in time is then (Sun et al., 2017)
Ndip + Nacc
,
I
ṫ0 = D(Γ) ,

Ω̇ =

(9)
Γ
D (ξLdip

+ Lra − Le ) + ΓD
0
2
Mej c + Eint
h
i
E0
= D D12 (ξLdip + Lra − Le ) − 3Vint0 (4πR2 βc) ,

Γ̇ =
0
Ėint

(8)

(Ldip + Lra − Le ) −

0
Eint
3V 0

(4πR2 βc)

,

(10)
(11)

V̇ 0 = 4πR2 βcD ,
βc
Ṙ =
.
1−β

(12)
(13)

In the above system, D is the Doppler factor defined by D = [Γ(1 − β cos θ)]−1 with
β(Γ) = (1−Γ−2 )−1/2 and ξ an efficiency parameter defining the fraction of the spin-down
energy that is used to heat the ejecta. The different luminosities that enter the equations
are the dipole spin-down luminosity Ldip , the co-moving radiative heating luminosity Lra
and the co-moving bolometric emission luminosity of the heated electrons Le , respectively
Ldip =

B 2 R6 Ω(t)4
,
6c3

(14)


1 1
Lra = 4 × 1049 Mej,-2
− arctan
2 π
( 0 Γ
cEint τ R t < tτ =1
0
Le =
.
0 Γ
t ≥ tτ =1
cEint
R



t0 − 1.3 s
0.11 s

1.3

D2 ,

(15)
(16)

Optical depth of the ejecta
τ =κ

Mej R
V0 Γ

(17)

Blackbody spectrum

1/4
0

E

int

τ >1

aV 0 τ
0
T =  0 1/4

Eint


τ ≤1

aV 0
νLbb =

,

8π 2 D2 R2
(hν/D)4
.
3
2
h c
exp (hν/DkT 0 ) − 1

(18)

(19)

where a and k are respectively the blackbody radiation constant and the Boltzmann
constant 1 .
1. In CGS units, we have a = 7.5646 × 10−15 erg cm−3 K−4 and k = 1.380 658 × 10−16 erg/K.

3

The main output of the code are the X-ray luminosities for both the free and trapped
zones
LX,free (t) = ηLdip (t) ,
LX,trapped (t) = e−τ ηLdip (t) +

(20)
Z

6 keV

νLbb dν .

(21)

0.3 keV

where one needs to introduce the factor η to parametrize the efficiency at which the
dipole spin-down luminosity is converted to X-ray luminosity.
— magnetar collapse
The code has been benchmark against the results of Gompertz et al. (2014).

Bibliography
Ai, S., Gao, H., Dai, Z.-G., et al. 2018, ArXiv e-prints, arXiv:1802.00571
Gompertz, B. P., O’Brien, P. T., & Wynn, G. A. 2014, Monthly Notices of the Royal
Astronomical Society, 438, 240
Lasky, P. D., Haskell, B., Ravi, V., Howell, E. J., & Coward, D. M. 2014, Physical Review
D, 89, 047302
Sun, H., Zhang, B., & Gao, H. 2017, The Astrophysical Journal, 835, 7
Yu, Y.-W., Zhang, B., & Gao, H. 2013, The Astrophysical Journal, 776, L40
Zhang, B. 2013, The Astrophysical Journal, 763, L22

4



---

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Create Date                     : 2018:07:24 15:10:54+02:00
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