HP HP49G 50g_guia Del Usuario_Espanol_S_DCVL5300788 C00748738

User Manual: HP HP 50g_guia del usuario_Espanol_S_DCVL5300788

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HP 50g calculadora gráfica
guía del usuario

H
Edición 1
Número de parte de HP F2229AA-90007

Nota

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Edición 1

Abril de 2006

Prefacio
Usted tiene en sus manos una calculadora que es efectivamente un ordenador
(computador, computadora) simbólico y numérico que facilita el cálculo y
análisis matemáticos de problemas en una gran variedad de disciplinas, desde
matemáticas elementales hasta temas avanzados de ciencia e ingeniería.
Aunque designada como una calculadora, debido a su formato compacto que
se asemeja a las calculadoras típicas, la calculadora HP 50g debe
considerarse más bien como un ordenador (computador, computadora)
manual gráfico y programable.
La calculadora HP 50g puede operarse en dos modos diferentes, el modo de
notación polaca reversa (RPN) y el modo algebraico (ALG) (véase la página 111 para más información). El modo RPN fue originalmente incorporado en las
calculadoras para hacer cálculos más eficientes. En este modo, los operandos
en una operación (por ejemplo, ' 2 ' y ' 3 ' en la operación ' 2+3 ') se escriben
en la pantalla de la calculadora, referida como “la pila” (stack), y después se
escribe el operador (por ejemplo, ' + ' en la operación ' 2+3 ') para terminar
la operación. El modo ALG, por otra parte, se asemeja a la manera en que uno
escribe expresiones aritméticas en el papel. Así, la operación ' 2+3 ', en modo
de ALG, será escrita en la calculadora presionando las llaves ' 2 ', ' + ', y ' 3 ',
en ese orden. Para terminar la operación utilizamos la tecla ENTER. Los
ejemplos de usos de las diversas funciones y operaciones en esta calculadora
se ilustran en esta guía del usuario utilizando ambos modos operativos.
La presente guía contiene ejemplos que ilustran el uso de las funciones y
operaciones básicas de la calculadora. Los capítulos se organizan en orden
de dificultad: comenzando por la selección de los modos de operación de la
calculadora, pasando a cálculos con números reales y complejos, operaciones
con listas, vectores y matrices, gráficas, aplicaciones en el cálculo diferencial e
integral, análisis vectorial, ecuaciones diferenciales, probabilidad, y
estadística.
Para ejecutar operaciones simbólicas la calculadora incluye un poderoso
Sistema Algebraico Computacional (Computer Algebraic System, o CAS), que

permite seleccionar diferentes modos de operación, por ejemplo, números
complejos vs. números reales, o modo exacto (simbólico) vs. Modo
aproximado (numérico.) La pantalla puede ajustarse para presentar los
resultados en notación matemática, lo que puede ser útil cuando se trabaja con
matrices, vectores, fracciones, sumatorias, derivadas, e integrales.
Las
gráficas de alta velocidad de la calculadora producen figuras complejas en un
tiempo mínimo.
A través de la conexión infrarroja, el puerto RS232, el puerto USB y el cable
que se le entregará con la calculadora, puede conectar su calculadora a otras
calculadoras u ordenadores (computadores, computadoras). Esto permite un
rápido y eficiente intercambio de datos con otras calculadoras y ordenadores
(computadores, computadoras.) La calculadora provee un puerto de tarjetas de
memoria “flash” para facilitar el almacenamiento e intercambio de datos con
otros usuarios.
La capacidad de programación de la calculadora permite al usuario
desarrollar programas eficientes para propósitos específicos. Ya sean para
aplicaciones matemáticas avanzadas, solución a problemas específicos, o
colección de datos, los lenguajes de programación disponibles en la
calculadora la convierten en un equipo computacional muy versátil.
Esperamos que su calculadora sea una compañera inseparable para Usted en
sus actividades escolares y profesionales.
Nota: Los decimales que encontrará este manual están indicados por un
punto decimal en lugar de una coma. Éste es el ajuste por defecto de la
calculadora. Si prefiere trabajar con comas decimales, puede cambiar el ajuste
por defecto. Para más información, consulte el Capítulo 1.

Índice de Materias
Capítulo 1

Preliminares, 1-1

Operaciones Básicas, 1-1
Baterías, 1-1
Encendido y apagado de la calculadora, 1-2
Ajustando el contraste de la pantalla, 1-2
Contenidos de la pantalla, 1-3
Menús, 1-3
Menú de teclas (SOFT menus) vs. menú de listas (CHOOSE boxes), 1-4
Selección de SOFT menus o CHOOSE boxes, 1-5
El menú de herramientas (TOOL), 1-7
Fijar hora y fecha, 1-8
Introducción al teclado de la calculadora, 1-11
Cambiando los modos de operación, 1-13
Modo operativo, 1-14
Formato de los números y punto o coma decimal, 1-18
Medidas angulares, 1-22
Sistema de coordenadas, 1-23
Señal sonora, sonido de tecla, y última escritura, 1-24
Seleccionando opciones del CAS , 1-25
Selección de los modos de la pantalla, 1-26
Selección del tipo de caracteres (font), 1-27
Selección de las propiedades del editor de línea, 1-27
Selección de las propiedades de la pantalla (Stack) , 1-28
Selección de las propiedades del escritor de ecuaciones (EQW), 1-29
Selección del tamaño del encabezado, 1-30
Selección del formato del reloj, 1-30

Capítulo 2

Introducción a la calculadora, 2-1

Objetos en la calculadora, 2-1
Edición de expresiones en la pantalla, 2-4
Creación de expresiones aritméticas, 2-4
Edición de expresiones aritméticas, 2-7

Página IDM-1

Creación de expresiones algebraicas, 2-9
Edición de expresiones algebraicas, 2-10
Uso del escritor de ecuaciones (EQW) para crear expresiones, 2-12
Creación de expresiones aritméticas, 2-13
Edición de expresiones aritméticas, 2-19
Creación de expresiones algebraicas, 2-22
Edición de expresiones algebraicas, 2-24
Creando y editando sumatorias, derivadas, e integrales, 2-33
Sumatorias, 2-33
Organización de los datos en la calculadora, 2-38
Funciones para la manipulación de variables, 2-39
El directorio HOME, 2-40
Sub-directorios, 2-40
El sub-directorio CASDIR, 2-41
Escritura de nombres de directorios y variables , 2-43
Crear sub-directorios, 2-44
Mudanza entre sub-directorios, 2-49
Suprimir sub-directorios, 2-49
Variables, 2-53
Creando variables, 2-54
Verificando el contenido de las variables, 2-58
Sustituir el contenido de las variables, 2-60
Copiar variables, 2-61
Reordenar variables en un directorio, 2-65
Moviendo variables usando el menú FILES, 2-66
Suprimir variables, 2-67
Las funciones UNDO y CMD , 2-69
Banderas o señales, 2-70
Ejemplo del ajuste de la bandera: soluciones generales contra valor
principal, 2-71
Otras banderas de interés, 2-73
CHOOSE boxes vs. Soft MENU, 2-74
Ejemplos de menús de lista (CHOOSE boxes), 2-76

Capítulo 3

Cálculos con números reales, 3-1

Página IDM-2

Verificación de los ajustes de la calculadora, 3-1
Verificación de modo de la calculadora, 3-2
Cálculos con números reales, 3-2
Cambio de signo de número, variable, o expresión, 3-3
La función inversa, 3-3
Adición, substracción, multiplicación, división, 3-3
Uso de paréntesis, 3-4
Función valor absoluto, 3-5
Cuadrados y raíces cuadradas, 3-5
Potencias y raíces, 3-5
Logaritmos decimales y potencias de 10, 3-6
Utilizando potencias de 10 al escribir datos, 3-6
Logaritmos naturales y la función exponencial , 3-6
Funciones trigonométricas, 3-6
Funciones trigonométricas inversas, 3-7
Diferencias entre las funciones y los operadores, 3-8
Funciones de números reales en el menú MTH, 3-8
Las funciones hiperbólicas y sus inversas, 3-9
Funciones de números reales, 3-12
Funciones especiales, 3-16
Constantes de la calculadora, 3-17
Operaciones con unidades, 3-18
El menú de UNIDADES , 3-18
Unidades disponibles, 3-20
El convertir a las unidades básicas, 3-23
Agregando unidades a los números reales, 3-25
Operaciones con unidades, 3-27
Herramientas para la manipulación de unidades, 3-29
Constantes físicas en la calculadora, 3-31
Funciones físicas especiales, 3-34
Función ZFACTOR, 3-35
Función F0λ, 3−35
Función SIDENS, 3-35
Función TDELTA, 3-36
Función TINC, 3-36

Página IDM-3

Definiendo y usando funciones, 3-36
Funciones definidas por más de una expresión, 3-38
La función IFTE , 3-39
Funciones IFTE combinadas, 3-40

Capítulo 4

Cálculos con números complejos, 4-1

Definiciones, 4-1
Fijando la calculadora al modo COMPLEJO, 4-1
Escritura de números complejos, 4-2
Representación polar de un número complejo, 4-3
Operaciones simples con números complejos, 4-4
Cambio de signo de un número complejo, 4-5
Escritura de la unidad imaginaria, 4-5
Los menús CMPLX, 4-6
Menú CMPLX a través del menú MTH, 4-6
Menú CMPLX en el teclado, 4-8
Funciones aplicadas a los números complejos, 4-9
Funciones del menú de MTH, 4-9
Función DROITE: ecuación de una línea recta, 4-10

Capítulo 5

Operaciones algebraicas y aritméticas, 5-1
Escritura de los objetos algebraicos, 5-1
Operaciones elementales con objetos algebraicos, 5-2
Funciones en el menú ALG, 5-3
Otras formas de substitución en expresiones algebraicas, 5-7
Operaciones con funciones transcendentales, 5-8
Expansión y factorización utilizando las funciones log-exp, 5-9
Expansión y factorización utilizando funciones trigonométricas, 5-9
Funciones en el menú ARITHMETIC, 5-10
Menú INTEGER, 5-12
Menú POLYNOMIAL, 5-12
Menú MODULO, 5-13
Aplicaciones del menú ARITHMETIC, 5-14
Aritmética modular, 5-14
Anillos aritméticos finitos en la calculadora, 5-16

Página IDM-4

Polinomios, 5-20
Aritmética modular con polinomios, 5-20
La función CHINREM, 5-21
La función EGCD , 5-21
La función GCD , 5-22
La función HERMITE , 5-22
La función HORNER , 5-23
La variable VX, 5-23
La función LAGRANGE, 5-23
La función LCM, 5-24
La función LEGENDRE , 5-24
La función PCOEF , 5-25
La función PROOT , 5-25
La función PTAYL , 5-25
Las funciones QUOTIENT y REMAINDER , 5-25
La función EPSX0 la variable EPS del CAS, 5-26
La función PEVAL , 5-26
La función TCHEBYCHEFF , 5-26
Fracciones, 5-27
La función SIMP2, 5-27
La función PROPFRAC , 5-27
La función PARTFRAC , 5-28
La función FCOEF, 5-28
La función FROOTS , 5-29
Operaciones con polinomios y fracciones, paso a paso , 5-29
El menú CONVERT y las operaciones algebraicas, 5-30
Menú de conversión de unidades (UNITS - Opción 1), 5-31
Menú de conversión de bases (Base - Opción 2), 5-31
Menú de conversión trigonométrica (TRIGONOMETRIC - Opción 3), 531
Menú de conversión matricial (MATRICES - Opción 5), 5-31
Menú de re-escritura de expresiones (REWRITE - Opción 4), 5-31

Capítulo 6

Solución de ecuaciones únicas, 6-1

Solución simbólica de las ecuaciones algebraicas, 6-1

Página IDM-5

La función ISOL , 6-2
La función SOLVE, 6-3
La función SOLVEVX, 6-4
La función ZEROS, 6-5
Menú de soluciones numéricas, 6-6
Ecuaciones polinómicas, 6-7
Cálculos financieros, 6-11
Solución de ecuaciones con una sola incógnita con el NUM.SLV, 6-16
El menú SOLVE , 6-31
El sub-menú ROOT , 6-31
La función ROOT, 6-31
Variable EQ, 6-32
El sub-menú SOLVR, 6-32
El sub-menú DIFFE, 6-35
El sub-menú POLY, 6-36
El sub-menú SYS, 6-36
El sub-menú TVM, 6-37

Capítulo 7

Solución de ecuaciones múltiples, 7-1

Sistemas de ecuaciones racionales, 7-1
Ejemplo 1 – Movimiento de proyectiles, 7-1
Ejemplo 2 – Esfuerzos en un cilindro de pared gruesa, 7-3
Ejemplo 3 - Sistema de ecuaciones polinómicas, 7-5
Solución a las ecuaciones simultáneas con MSLV, 7-5
Ejemplo 1 - Ejemplo dado por la función informativa del CAS, 7-6
Ejemplo 2 - Entrada de un lago a un canal abierto, 7-7
Usando el Multiple Equation Solver (MES), 7-12
Aplicación 1 - Solución de triángulos, 7-12
Aplicación 2 - Velocidad y aceleración en coordenadas polares, 7-21

Capítulo 8

Operaciones con listas, 8-1
Definiciones, 8-1
Creando y almacenando listas, 8-1
Composición y descomposición de listas, 8-2
Operaciones con listas de números, 8-3

Página IDM-6

Cambio de signo , 8-3
Adición, substracción, multiplicación, y división, 8-4
Funciones de números reales en el teclado, 8-5
Funciones de números reales del menú de MTH, 8-6
Ejemplos de las funciones que utilizan dos argumentos, 8-7
Listas de números complejos, 8-8
Listas de objetos algebraicos, 8-9
El menú MTH/LIST, 8-10
Manipulando elementos de una lista, 8-11
Tamaño de la lista, 8-12
Extrayendo e insertando elementos en una lista, 8-12
Posición del elemento en la lista, 8-12
Funciones HEAD (cabeza) y TAIL (cola) , 8-13
La función SEQ, 8-13
La función MAP , 8-14
Definiendo funciones que utilizan listas, 8-15
Aplicaciones de listas, 8-17
Media armónica de una lista, 8-17
Media geométrica de una lista, 8-19
Promedio ponderado, 8-19
Estadística de datos agrupados, 8-21

Capítulo 9

Vectores, 9-1

Definiciones, 9-1
La escritura de vectores, 9-2
Escritura de vectores en la pantalla, 9-2
Almacenamiento de vectores en variables, 9-3
Utilizando el escritor de matrices (MTRW) para escribir vectores, 9-3
Construcción de un vector con ARRY, 9-7
Identificación, extracción, e inserción de elementos , 9-8
Operaciones elementales con vectores, 9-10
Cambio de signo , 9-10
Adición, substracción, 9-11
Multiplicación o división por un escalar, 9-11
Función valor absoluto, 9-11

Página IDM-7

El menú MTH/VECTOR , 9-12
Magnitud, 9-12
Producto escalar (producto punto) , 9-13
Producto vectorial (producto cruz), 9-13
Descomposición de un vector, 9-14
Construcción de un vector bidimensional, 9-14
Construcción de un vector tridimensional, 9-15
Cambio del sistema de coordenadas, 9-15
Aplicaciones de las operaciones vectoriales, 9-19
Resultante de fuerzas, 9-19
Ángulo entre vectores, 9-19
Momento de una fuerza, 9-20
Ecuación de un plano en el espacio, 9-21
Vectores filas, vectores columnas, y listas, 9-22
Función OBJ , 9-23
Función LIST, 9-24
Función DROP, 9-24
Transformar un vector fila a un vector columna, 9-24
Transformar un vector columna a un vector fila, 9-26
Transformar una lista a un vector, 9-28
Transformar un vector (o matriz) a una lista, 9-29

Capítulo 10 Creación y manipulación de matrices, 10-1
Definiciones, 10-1
Escritura de matrices en la pantalla, 10-2
Utilizando el editor de matrices, 10-2
Escribiendo la matriz directamente en la pantalla, 10-3
Creación de matrices con funciones de la calculadora, 10-4
Funciones GET y PUT, 10-6
Funciones GETI y PUTI, 10-7
Función SIZE, 10-8
Función TRN, 10-9
Función CON, 10-10
Función IDN, 10-10
Función RDM, 10-11

Página IDM-8

Función RANM, 10-12
Función SUB , 10-13
Función REPL , 10-13
Función DIAG, 10-14
Función DIAG, 10-14
Función VANDERMONDE, 10-15
Función HILBERT, 10-16
Un programa para construir una matriz a partir listas, 10-16
Las listas representan columnas de la matriz , 10-16
Las listas representan filas de la matriz, 10-19
Manipulación de matrices por columnas, 10-19
Función COL, 10-21
Función COL , 10-21
Función COL+, 10-22
Función COL-, 10-23
Función CSWP, 10-23
Manipulación de matrices por filas, 10-24
Función ROW, 10-25
Función ROW , 10-26
Función ROW+, 10-27
Función ROW-, 10-27
Función RSWP, 10-28
Función RCI, 10-28
Función RCIJ, 10-29

Capítulo 11 Operaciones con matrices y álgebra lineal, 11-1
Operaciones con matrices, 11-1
Adición y substracción, 11-2
Multiplicación, 11-3
Caracterizar una matriz (El menú NORM de matrices), 11-8
Función ABS , 11-8
Función SNRM, 11-9
Funciones RNRM y CNRM, 11-10
Función SRAD , 11-11
Función COND, 11-11

Página IDM-9

Función RANK , 11-13
Función DET , 11-14
Función TRACE, 11-16
Función TRAN, 11-17
Operaciones adicionales con matrices (El menú OPER), 11-17
Función AXL, 11-18
Función AXM, 11-18
Función LCXM, 11-18
Solución de sistemas lineales, 11-19
Utilizando la solución numérica de sistemas lineales, 11-20
Solución de mínimos cuadrados (Función LSQ), 11-28
Solución utilizando la matriz inversa, 11-30
Solución a través de “división” de matrices, 11-31
Múltiples sistemas con la misma matriz de coeficientes, 11-32
Eliminación gaussiana y de Gauss-Jordan, 11-33
Procedimiento paso a paso de la calculadora para solucionar sistemas
lineares, 11-44
Solución a los sistemas lineales usando funciones de la calculadora,
11-46
Errores residuales en soluciones de sistemas lineales (Función RSD), 1150
Valores propios y vectores propios, 11-51
Función PCAR, 11-52
Función EGVL, 11-52
Función EGV, 11-53
Función JORDAN, 11-54
Función MAD, 11-55
Factorización de matrices, 11-56
Función LU, 11-57
Matrices ortogonales y descomposición de valores singulares, 11-57
Función SCHUR, 11-58
Función LQ , 11-59
Función QR, 11-59
Formas cuadráticas de una matriz, 11-60
El menú QUADF, 11-60

Página IDM-10

Aplicaciones Lineares, 11-63
Función IMAGE, 11-63
Función ISOM, 11-63
Función KER, 11-63
Función MKISOM, 11-64

Capítulo 12 Gráficas, 12-1
Opciones gráficas en la calculadora, 12-1
Trazar una expresión de la forma y = f(x), 12-3
Algunas operaciones de PLOT para gráficas FUNCTION , 12-5
Almacenando un gráfico para el uso futuro, 12-8
Gráficos de funciones transcendentales, 12-9
Gráfico de ln(X), 12-9
Gráfico de la función exponencial, 12-12
La variable PPAR , 12-13
Funciones inversas y sus gráficos, 12-14
Resumen de la operación del diagrama FUNCTION , 12-15
Diagramas de funciones trigonométricas e hiperbólicas , 12-19
Generación de una tabla de los valores para una función, 12-20
La variable TPAR, 12-21
Diagramas en coordenadas polares, 12-22
Trazado de curvas cónicas, 12-24
Diagramas paramétricos, 12-27
Generación de una tabla para las ecuaciones paramétricas, 12-30
Trazar la solución a las ecuaciones diferenciales simples, 12-30
Diagramas de verdad, 12-33
Trazar histogramas, diagramas de barra, y de dispersión, 12-34
Diagramas de barra, 12-35
Diagramas de dispersión, 12-37
Campos de pendientes, 12-39
Gráficas tridimensionales de acción rápida (Fast 3D plots), 12-40
Diagramas de grillas, 12-43
Diagramas de contornos (Ps-Contour plots), 12-45
Diagramas de corte vertical , 12-47
Diagramas de redes (Gridmap plots), 12-48

Página IDM-11

Diagramas de superficies paramétricas (Pr-Surface plots), 12-49
La variable VPAR, 12-51
Dibujo interactivo, 12-51
DOT+ y DOT-, 12-52
MARK, 12-53
LINE, 12-53
TLINE, 12-53
BOX, 12-54
CIRCL, 12-54
LABEL, 12-54
DEL, 12-54
ERASE, 12-55
MENU, 12-55
SUB, 12-55
REPL, 12-55
PICT, 12-55
X,Y, 12-55
Enfoques en la pantalla gráfica, 12-56
ZFACT, ZIN, ZOUT, y ZLAST, 12-56
BOXZ, 12-57
ZDFLT, ZAUTO, 12-57
HZIN, HZOUT, VZIN y VZOUT, 12-57
CNTR, 12-58
ZDECI, 12-58
ZINTG, 12-58
ZSQR, 12-58
ZTRIG, 12-58
El menú SYMBOLIC y los gráficos, 12-58
El menú SYMB/GRAPH , 12-59
Función DRAW3DMATRIX, 12-62

Capítulo 13 Aplicaciones en el Cálculo, 13-1
El menú CALC (Cálculo), 13-1
Límites y derivadas, 13-1
La función lim, 13-2

Página IDM-12

Derivadas, 13-3
Las funciones DERIV y DERVX, 13-4
El menú DERIV&INTEG, 13-5
Calculando derivadas con ∂, 13−5
La regla de la cadena , 13-7
Derivadas de ecuaciones , 13-8
Derivadas implícitas, 13-8
Aplicaciones de las derivadas, 13-9
Analizando las gráficas de las funciones , 13-9
La función DOMAIN, 13-10
La función TABVAL, 13-11
La función SIGNTAB, 13-11
La función TABVAR, 13-12
Uso de derivadas para calcular puntos extremos , 13-14
Derivadas de orden superior, 13-16
Antiderivadas e integrales, 13-16
Las funciones INT, INTVX, RISCH, SIGMA y SIGMAVX, 13-16
Integrales definidas, 13-17
Evaluación de derivadas e integrales paso a paso, 13-19
Integración de una ecuación, 13-20
Técnicas de integración, 13-21
Sustitución o cambio de variable, 13-21
Integración por partes y diferenciales, 13-22
Integración por fracciones parciales, 13-23
Integrales impropias, 13-24
Integración incluyendo unidades de medida, 13-24
Series infinitas, 13-26
Series de Taylor y de Maclaurin, 13-26
Polinomio y residuo de Taylor, 13-26
Las funciones TAYLR, TAYLR0, y SERIES, 13-27

Capítulo 14 Aplicaciones en el Cálculo Multivariado, 14-1
Funciones de múltiple variables, 14-1
Derivadas parciales, 14-1
Derivadas de orden superior, 14-3

Página IDM-13

La regla de la cadena para derivadas parciales, 14-4
El diferencial total de una función z = z(x,y), 14-5
Determinación de extremos en funciones de dos variables , 14-5
Uso de la función HESS para analizar valores extremos , 14-6
Integrales múltiples, 14-8
El Jacobiano de una transformación de coordenadas, 14-9
Integral doble en coordenadas polares, 14-10

Capítulo 15 Aplicaciones en Análisis Vectorial, 15-1
Definiciones, 15-1
Gradiente y derivada direccional, 15-1
Un programa para calcular el gradiente, 15-2
Utilizando la función HESS para obtener el gradiente, 15-3
Potencial de un gradiente, 15-3
Divergencia, 15-4
Laplaciano, 15-5
Rotacional (Curl), 15-5
Campos irrotacionales y la función potencial, 15-6
Potencial vectorial, 15-7

Capítulo 16 Ecuaciones Diferenciales, 16-1
Operaciones básicas con ecuaciones diferenciales, 16-1
Escritura de ecuaciones diferenciales, 16-1
Comprobación de soluciones en la calculadora, 16-3
Visualización de soluciones con gráficas de pendientes, 16-3
El menú CALC/DIFF, 16-4
Solución de las ecuaciones lineales y no lineales , 16-4
La función LDEC, 16-5
La función DESOLVE, 16-8
La variable ODETYPE, 16-8
Transformadas de Laplace, 16-11
Definiciones, 16-11
Transformadas de Laplace y sus inversas en la calculadora, 16-12
Teoremas de las transformadas de Laplace, 16-13
Función delta de Dirac y función grada de Heaviside , 16-16

Página IDM-14

Aplicaciones de transformadas de Laplace en la solución de EDOs lineales, 16-18
Series de Fourier, 16-29
Función FOURIER, 16-31
Serie de Fourier para una función cuadrática, 16-31
Serie de Fourier para una onda triangular, 16-37
Serie de Fourier para una onda cuadrada, 16-42
Usos de la serie de Fourier en ecuaciones diferenciales, 16-44
Transformadas de Fourier, 16-46
Definición de las transformadas de Fourier, 16-49
Características de la transformada de Fourier, 16-51
La transformada rápida de Fourier (FFT) , 16-52
Ejemplos de aplicaciones de la FFT, 16-53
Solución a ecuaciones diferenciales específicas de segundo orden , 16-57
La ecuación de Cauchy o de Euler, 16-57
Ecuación de Legendre, 16-57
Ecuación de Bessel, 16-58
Polinomios de Chebyshev o Tchebycheff, 16-61
Ecuación de Laguerre, 16-62
Ecuación de Weber y polinomios de Hermite, 16-63
Soluciones numéricas y gráficas de las EDOs, 16-64
Solución numérica de una EDO de primer orden, 16-64
Solución gráfica de una EDO de primer orden, 16-66
Solución numérica de una EDO de segundo orden, 16-68
Solución gráfica para una EDO de segundo orden, 16-71
Solución numérica para una EDO rígida de primer orden, 16-73
Solución numérica a EDOs con el menú SOLVE/DIFF , 16-75
Función RKF, 16-75
Función RRK, 16-77
Función RKFSTEP, 16-78
Función RRKSTEP, 16-79
Función RKFERR, 16-80
Función RSBERR, 16-80

Capítulo 17 Aplicaciones a la probabilidad, 17-1

Página IDM-15

El sub-menú MTH/PROBABILITY.. - parte 1, 17-1
Factoriales, combinaciones, y permutaciones, 17-1
Números aleatorios, 17-2
Distribuciones discretas de la probabilidad, 17-4
Distribución binomial, 17-5
Distribución de Poisson, 17-5
Distribuciones continuas de la probabilidad, 17-6
La distribución gamma, 17-7
La distribución exponencial, 17-7
La distribución beta, 17-7
La distribución de Weibull, 17-8
Funciones para las distribuciones continuas, 17-8
Distribuciones continuas para la inferencia estadística, 17-10
La pdf de la distribución normal, 17-10
La cdf de la distribución normal, 17-11
La distribución de Student, 17-11
La distribución Chi cuadrada, 17-12
La distribución F, 17-13
Funciones de distribución cumulativas inversas, 17-14

Capítulo 18 Aplicaciones Estadísticas, 18-1
Aplicaciones estadísticas preprogramadas, 18-1
Escritura de datos, 18-1
Cálculos estadísticos para una sola variable, 18-2
Obtención de distribuciones de frecuencia, 18-6
Ajustando datos a la función y = f(x), 18-11
Obtención de medidas estadísticas adicionales, 18-15
Cálculo de percentiles, 18-16
El menú de teclado STAT , 18-17
El sub-menú DATA , 18-17
El sub-menú ΣPAR , 18-18
El sub-menú 1VAR, 18-18
El sub-menú PLOT, 18-19
El sub-menú FIT, 18-20
Ejemplo de las operaciones del menú STAT, 18-21

Página IDM-16

Intervalos de confianza, 18-24
Evaluación de los intervalos de confianza, 18-25
Definiciones, 18-26
Intervalos de confianza para la media de la población cuando se
conoce la varianza de la población, 18-26
Intervalos de confianza para la media de la población cuando la varianza de la población es desconocida, 18-27
Intervalo de confianza para una proporción, 18-27
Distribución del muestreo de diferencias y sumas de estadísticas, 18-28
Intervalos de confianza para sumas y diferencias de valores medios,
18-29
Determinación de intervalos de confianza, 18-30
Intervalos de confianza para la varianza, 18-37
Prueba de hipótesis, 18-39
Procedimiento para probar hipótesis, 18-39
Errores en la prueba de hipótesis, 18-40
Inferencias referentes a una media, 18-41
Inferencias referentes a dos medias, 18-44
Pruebas apareadas de la muestra, 18-45
Inferencias referentes a una proporción, 18-46
Prueba de la diferencia entre dos proporciones, 18-47
Prueba de hipótesis con funciones preprogramadas, 18-48
Inferencias referentes a una varianza, 18-53
Inferencias referentes a dos varianzas, 18-54
Notas adicionales sobre la regresión linear, 18-56
El método de los mínimos cuadrados, 18-56
Ecuaciones adicionales para la regresión linear, 18-58
Error de la predicción, 18-58
Intervalos de confianza y prueba de hipótesis en regresión linear, 1859
Procedimiento para la inferencia estadística en la regresión linear usando la calculadora, 18-60
Regresión linear múltiple, 18-64
Ajuste polinómico, 18-66
Selección del ajuste óptimo, 18-70

Página IDM-17

Capítulo 19 Números en diversas bases, 19-1
Definiciones, 19-1
El menú BASE , 19-1
Funciones HEX, DEC, OCT, y BIN, 19-2
Conversión entre los sistemas de numeración , 19-3
Wordsize (Tamaño de palabra), 19-5
Operaciones con números enteros binarios , 19-5
El menú LOGIC , 19-5
El menú BIT , 19-7
El menú BYTE , 19-7
Números hexadecimales para las referencias del píxel , 19-8

Capítulo 20 Menús y teclas de usuario, 20-1
Menús de usuario, 20-1
El menú PRG/MODES/MENU, 20-1
Números de menú (funciones RCLMENU y MENU), 20-2
Menús de usuario (las funciones MENU y TMENU), 20-2
Especificación del menú y la variable CST , 20-4
Teclado de usuario, 20-5
El sub-menú PRG/MODES/KEYS , 20-6
Recobrando la lista actual de teclas de usuario, 20-6
Asignación de un objeto a una tecla de usuario , 20-7
Operación de teclas de usuario, 20-7
Remoción de una tecla de usuario , 20-8
Asignación de varias teclas de usuario, 20-8

Capítulo 21 Programación en lenguaje User RPL, 21-1
Un ejemplo de programación, 21-1
Variables globales y locales y subprogramas, 21-2
Alcance de Variable Global, 21-4
Alcance de Variable Local, 21-5
El menú PRG, 21-5
Navegación en los sub-menús RPN, 21-7
Funciones enumeradas por sub-menú, 21-7
Atajos en el menú de PRG, 21-10

Página IDM-18

Secuencias de teclas para los comandos comúnmente usados, 21-12
Programas para generar listas de números, 21-15
Ejemplos de la programación secuencial, 21-16
Programas generados definiendo una función , 21-16
Programas que simulan una secuencia de operaciones , 21-18
Entrada interactiva en programas, 21-21
Aviso con una secuencia de entrada, 21-23
Una función con una secuencia de entrada, 21-24
Secuencia de entrada para dos o tres valores, 21-26
Entrada a través de formas interactivas, 21-30
Crear una caja de selección, 21-35
Identificar salida en programas, 21-36
Marcar un resultado numérico con una etiqueta , 21-36
Descomposición de un resultado numérico con etiqueta, 21-37
Removiendo la etiqueta de una cantidad etiquetada, 21-37
Ejemplos de salida marcada con etiqueta, 21-37
Usar una caja de mensaje, 21-41
Operadores relacionales y lógicos, 21-48
Operadores relacionales, 21-48
Operadores lógicos, 21-50
Ramificación del programa, 21-51
Ramificación con IF, 21-52
La instrucción CASE, 21-57
Lazos de programa, 21-59
La instrucción START , 21-60
La instrucción FOR , 21-65
La instrucción DO, 21-68
La instrucción WHILE , 21-70
Errores y captura de errores, 21-71
DOERR, 21-71
ERRN, 21-72
ERRM, 21-72
ERR0, 21-72
LASTARG, 21-72
Sub-menú IFERR, 21-72

Página IDM-19

Programación de User RPL en modo algebraico, 21-74

Capítulo 22 Programas para la manipulación de los gráficos, 22-1
El menú PLOT, 22-1
Tecla de usuario para el menú PLOT, 22-2
Descripción del menú PLOT, 22-2
Generación de diagramas con programas, 22-15
Gráficos de dos dimensiones, 22-16
Gráficos tridimensionales, 22-16
La variable EQ, 22-17
Ejemplos de diagramas interactivos usando el menú PLOT, 22-17
Ejemplos de diagramas generados con programas, 22-19
Comandos de dibujo para el uso en la programación, 22-21
PICT, 22-22
PDIM, 22-22
LINE, 22-22
TLINE, 22-23
BOX, 22-23
ARC, 22-23
PIX?, PIXON, y PIXOFF, 22-24
PVIEW, 22-24
PXC, 22-24
CPX, 22-24
Ejemplos de programación usando funciones de dibujo, 22-24
Coordenadas del píxel, 22-28
Animación de gráficas, 22-29
Animación de una colección de gráficos, 22-29
Más información sobre la función ANIMATE, 22-32
Objetos gráficos (GROBs), 22-33
El menú GROB, 22-34
Un programa con funciones de trazado y dibujo, 22-37
Programación modular, 22-39
Funcionamiento del programa, 22-40
Un programa para calcular tensiones principales, 22-42
Ordenar las variables en el sub-directorio, 22-43

Página IDM-20

Un segundo ejemplo de los cálculos del círculo de Mohr, 22-43
Una forma interactiva para el círculo de Mohr, 22-44

Capítulo 23 Cadenas de caracteres, 23-1
Funciones de caracteres en el sub-menú TYPE, 23-1
Concatenación de texto, 23-2
El sub-menú CHARS , 23-2
La lista de caracteres, 23-4

Capítulo 24 Objetos y señales (banderas) de la calculadora , 24-1
Descripción de los objetos de la calculadora, 24-1
La función TYPE, 24-2
La función VTYPE, 24-2
Banderas o señales de la calculadora, 24-2
Banderas o señales del sistema, 24-3
Funciones para fijar y cambiar las banderas o señales, 24-3
Banderas o señales del usuario, 24-5

Capítulo 25 Funciones de fecha y de hora, 25-1
El menú TIME, 25-1
Programando una alarma, 25-1
Revisando las alarmas , 25-2
Fijar hora y fecha, 25-2
Herramientas del menú TIME , 25-2
Cálculos con las fechas, 25-4
Cálculo con horas, 25-4
Funciones de alarmas, 25-5

Capítulo 26 Manejo de la memoria, 26-1
Estructura de la memoria, 26-1
El directorio HOME, 26-3
Memoria de Puertos, 26-3
Verificación de objetos en la memoria, 26-3
Objetos de reserva (backup objects), 26-4

Página IDM-21

Copiando objetos de reserva en la memoria de Puerto, 26-5
Copiando y reinstalando el directorio HOME, 26-5
Almacenando, borrando, y reinstalando objetos de reserva, 26-6
Utilizando datos en objetos de reserva, 26-7
Utilizando tarjetas de memoria SD, 26-8
Almacenando objetos en la Tarjeta SD, 26-9
Copiando un objeto de la tarjeta SD, 26-9
Eliminando objetos de la tarjeta SD, 26-10
Utilizando bibliotecas, 26-10
Instalando y adjuntando una biblioteca, 26-10
Número de bibliotecas, 26-11
Borrando una biblioteca, 26-11
Creando bibliotecas, 26-11
Batería de respaldo, 26-11

Capítulo 27 La biblioteca de ecuaciones, 27-1
Resolver un problema con la biblioteca de ecuaciones, 27-1
Usar el resolvedor, 27-2
Usar las teclas del menú, 27-3
Navegar por la biblioteca de ecuaciones, 27-4
Visualizar ecuaciones, 27-4
Visualizar variables y seleccionar unidades, 27-5
Visualizar la imagen, 27-6
Usar el resolvedor de ecuaciones múltiples, 27-6
Definir un juego de ecuaciones, 27-9
Interpretar los resultados de un resolvedor de ecuaciones múltiples, 2711
Verificar soluciones, 27-12

Apéndice
Apéndice A
Apéndice B
Apéndice C
Apéndice D

Utilizando formas interactivas, A-1
El teclado de la calculadora, B-1
Ajustes del CAS, C-1
Caracteres adicionales, D-1

Página IDM-22

Apéndice E Diagrama de selección en el Escritor de Ecuaciones,
E-1

Apéndice F El menú de aplicaciones (APPS), F-1
Apéndice G Atajos útiles, G-1
Apéndice H La función informativa del CAS, H-1
Apéndice I Catálogo de funciones, I-1
Apéndice J El menú MATHS , J-1
Apéndice K El menú MAIN , K-1
Apéndice L Funciones del editor de línea, L-1
Apéndice M Tabla de ecuaciones incorporadas , M-1
Apéndice N Índice alfabético, N-1
Garantía Limitada, GL-1
Servicio, GL-3
Información sobre normativas, GL-4
Eliminación de residuos de equipos eléctricos y electrónicos por parte de
usuarios particulares en la Unión Europea, GL-7

Página IDM-23

Capítulo 1
Preliminares

Este capítulo le ofrece información básica sobre el funcionamiento de su
calculadora. Los ejercicios están diseñados para que pueda familiarizarse con
las operaciones básicas, así como con los ajustes antes de efectuar un cálculo

Operaciones Básicas
Los ejercicios siguientes tienen el propósito de describir la calculadora misma.

Baterías
La calculadora utiliza 4 baterías AAA (LR03) como fuente de alimentación
principal y una batería de litio CR2032 para copia de seguridad de la
memoria.
Antes de utilizar la calculadora, instale las baterías siguiendo el procedimiento
que se describe a continuación.
Para instalar las baterías principales
a. Compruebe que la calculadora esté apagada. Deslice la tapa del
compartimento de las baterías hacia arriba tal y como se indica la figura.

b. Inserte 4 baterías AAA (LR03) nuevas en el compartimento principal.
Asegúrese de que cada batería se inserta en la dirección indicada.

Página 1-1

Para instalar las baterías de seguridad
a. Compruebe que la calculadora esté apagada. Presione el elemento de
sujeción hacia abajo. Empuje la placa en la dirección mostrada y
levántela.

b. Inserte una nueva batería de litio CR2032. Asegúrese de que el polo
positivo (+) mira hacia arriba.
c. Vuelva a colocar la placa y acóplela en su ubicación original.
Después de instalar las baterías, presione [ON] para activar la alimentación.
Advertencia: cuando el icono de batería baja aparezca en la pantalla,
reemplace las baterías cuanto antes. No obstante, intente no retirar la batería
de seguridad y las baterías principales al mismo tiempo para evitar la pérdida
de datos.

Encendido y apagado de la calculadora
La tecla $ se localiza en la esquina inferior izquierda del teclado. Pulse esta
tecla para encender la calculadora. Para apagar la calculadora, pulse la tecla
@ (primera tecla en la segunda fila contada de la parte inferior del teclado),
seguida de la tecla $. La tecla $ tiene un rótulo indicando OFF (apagar)
en la esquina superior derecha para recalcar la operación de apagar la
calculadora.

Ajustando el contraste de la pantalla
Uno puede ajustar el contraste de la pantalla al mantener presionada la tecla
$ mientras pulsa la tecla + ó - simultáneamente. La combinación
$(mantener) + produce una pantalla más oscura. La combinación
$(mantener) - produce una pantalla más clara.

Página 1-2

Contenidos de la pantalla
Encienda la calculadora una vez más. La pantalla mostrará lo siguiente:

En la parte superior de la pantalla usted tendrá dos líneas de información que
describan las opciones de la calculadora.
La primera línea muestra los
caracteres:
RAD XYZ HEX R= 'X'
Los detalles de estos símbolos se muestran en el Capítulo 2 de esta Guía. La
segunda línea muestra los caracteres: { HOME } que indican que el directorio
HOME es el directorio activo para almacenar archivos en la memoria de la
calculadora. En el capítulo 2 usted aprenderá que usted puede almacenar
datos en su calculadora en archivos o variables. Las variables se pueden
organizar en directorios y sub-directorios. Eventualmente, usted puede crear un
diagrama o árbol directorios, similar a aquellos en el disco de una
computadora. Uno puede navegar a través de los directorios para seleccionar
cualquier directorio de interés. A medida que usted navega a través de los
directorios la segunda línea de la pantalla cambiará reflejando directorios y
subdirectorios en la memoria.
Al pié de la pantalla se encuentran varios rótulos, a saber, @EDIT @VIEW @@ RCL @@
@@STO@ ! PURGE !CLEAR, que están asociados con las seis teclas de menú, F1 a F6:
ABCDEF.
Los seis rótulos en la parte inferior de la pantalla cambian dependiendo del
menú activo. Sin embargo, la tecla A siempre se asocia con el primer
rótulo, la tecla B se asocia con el segundo rótulo, y así sucesivamente.

Menús
Los seis rótulos asociados con las teclas Aa F forman parte de un menú
de funciones de la calculadora. Dado que la calculadora solamente tiene seis
teclas de menú, solo se muestran seis rótulos a la vez. Sin embargo, el menú

Página 1-3

puede tener más de seis opciones. Cada grupo de 6 opciones se conoce
como una Página de Menú. Para mostrar la siguiente página de menú (si
existe), presiónese la tecla L (NeXT, es decir, el siguiente menú). Esta tecla
se localiza en la tercera columna y la tercera fila del teclado. Presionar
Luna vez más para volver al menú TOOL, o presionar la tecla I (tercera
tecla en la segunda fila del teclado).
El menú TOOL se describe en la sección siguiente. A este punto ilustraremos
algunas características de los menús que usted encontrará útiles al usar su
calculadora.

Menú de teclas (SOFT menus) vs. menú de listas (CHOOSE boxes)
Los menús de teclas (SOFT menu) asocian las etiquetas en la parte inferior de la
pantalla con las seis teclas en la primera fila del teclado. Presionando la tecla
apropiada del menú, la función en la etiqueta asociada se activará. Por
ejemplo, con el menú TOOL activo, el presionar la tecla @CLEAR (F) se activa
la función CLEAR, la cuál borra el contenido de la pantalla. Para ver esta
función en acción, escriba un número, por ejemplo, 123`, y
presione la tecla F.
Los menús de teclas se utilizan típicamente para seleccionar entre de un número
de funciones relacionadas. Sin embargo, los menús de teclas no son la única
manera de acceder a las funciones en la calculadora. La manera alternativa
será referida como menús de listas (CHOOSE boxes). Para ver un ejemplo de
un menú de listas, actívese el menú TOOL (presione I), y entonces presione
la combinación de teclas ‚ã(asociada con la tecla 3). El siguiente
menú de lista se provee:

Esta acción genera un menú de lista y proporciona una lista de funciones
numeradas, a partir de 1. HEX x a 6. BR. Esta pantalla constituirá la primera

Página 1-4

página del menú mostrando seis funciones. Usted puede navegar a través del
menú usando las teclas verticales, —˜, localizadas en el lado derecho
superior del teclado, debajo de E y F. Para activar cualquier función
dada, primero, selecciónese el nombre de la función las teclas verticales,
—˜, o presionando el número que corresponde a la función en la lista.
Después de que se seleccione el nombre de la función, presione la tecla @@@OK@@@
(F). Así, si usted desea utilizar la función RB (real a binario), presione
6F.
Si usted desea trasladarse al comienzo de la página actual del menú en una
lista, utilice „—. Para moverse al final de la página actual, utilice
„˜. Para moverse al comienzo del menú, utilice ‚—. Para moverse
al final del menú, utilice ‚˜.

Selección de SOFT menus o CHOOSE boxes
Usted puede seleccionar el formato en el cual sus menús serán exhibidos
cambiando las banderas o señales del sistema de la calculadora (la bandera o
señal del sistema es una variable de la calculadora que controla cierta
operación o modo de la calculadora. Para más información sobre banderas,
ver el capítulo 24). La bandera 117 del sistema se puede fijar para producir ya
sea un menú de teclas (SOFT menu) o un menú de listas (CHOOSE boxes).
Para tener acceso a esta bandera:
H @)FLAGS —„ —˜
Su calculadora mostrará la pantalla siguiente, destacando la línea
comenzando con el número 117:

Página 1-5

La línea destacada (117 CHOOSE boxes) indica que los menús de listas son la
opción actual para mostrar menús. Si usted prefiere utilizar menú de teclas,
presione @@CHK@ (C), seguida de @@@OK@@@ (F). Presione @@@OK@@@ (F) una vez
más, para volver a la pantalla normal de la calculadora.
Si Ud. presiona ‚ã, en vez del menú de lista que se mostró
anteriormente, la pantalla ahora mostrará seis etiquetas del menú como la
primera página de un menú:

Para navegar las funciones de este menú presione la tecla L para acceder la
página siguiente, o „«(asociada con la tecla L) para moverse a la
página anterior. Las figuras siguientes demuestran las diversas páginas del
menú BASE obtenidas al presionar la tecla L dos veces:

Al presionar la tecla L una vez más, se retorna a la primera página del
menú.
Nota: Con la opción SOFT menus fijada para la bandera 117 del
sistema, la combinación ‚(mantener) ˜, mostrará una lista de las
funciones en el menú actual. Por ejemplo, para las dos primeras páginas en
el menú BASE, se observa lo siguiente:

Para elegir la opción CHOOSE boxes, use:
H @)FLAGS —„ —˜ @@CHK@@ @@@OK@@@ @@@OK@@@.

Página 1-6

Notas:
1. El menú TOOL, obtenido al presionar I, siempre produce un menú
de teclas (SOFT menu).
2. La mayoría de los ejemplos en este manual de usuario se demuestran
usando ambas opciones: SOFT menus y CHOOSE boxes.
Los
programas en los Capítulos 21 y 22 usan exclusivamente menús de
teclas.
3. Información adicional sobre menús de teclas y menús de listas se
presentan en el Capítulo 2 de esta Guía.

El menú de herramientas (TOOL)
El menú activo a este momento, conocido como el menú de herramientas
(TOOL), está asociado con operaciones relacionadas a la manipulación de
variables (véase la sección sobre variables in este Capítulo). Las diferentes
funciones del menú de herramientas son las siguientes:
@EDIT
A
EDITar el contenido de una variable (para información
adicional, véase el Capítulo 2 en esta Guía y el Capítulo 2 y
el Apéndice L en la Guía del Usuario)
@VIEW
B
Observar (VIEW) el contenido de una variable
@@ RCL @@ C
Recobrar (ReCaLl) el contenido de una variable
@@STO@
D
Almacenar (STOre) el contenido de una variable
! PURGE E
Eliminar o borrar (PURGE) una variable
CLEAR F
Limpiar (CLEAR) la pantalla
Estas seis funciones forman la primera página del menú de herramientas
(TOOL). Este menú tiene actualmente ocho opciones organizadas en dos
páginas. La segunda página se obtiene al presionar la tecla L.
En la segunda página del menú solamente las dos primeras teclas de menú
tienen funciones asociadas. Estas funciones son:
@CASCM

A

CASCMD: CAS CoMmanD, se utiliza para modificar el CAS
(Computer Algebraic System, o Sistema Algebraico
Computacional)

Página 1-7

@HELP

B

HELP, menú informativo que
disponibles en la calculadora

describe

las

funciones

Al presionar la tecla L nuevamente, se obtiene el menú de herramientas
(TOOL) original. Otra forma de recuperar el menú de herramientas (TOOL) es
al presionar la tecla I (tercera columna y segunda fila en el teclado).

Fijar hora y fecha
La calculadora tiene un reloj en tiempo real interno. Este reloj se puede exhibir
en la pantalla y utilizar continuamente para programar alarmas así como en
programas. Esta sección demostrará no solamente cómo fijar hora y la fecha,
pero también los fundamentos de usar menús de listas (CHOOSE boxes) y los
datos que entran en una forma interactiva (dialog box).
Para fijar hora y para fechar utilizamos el menú de lista TIME que es una
función alternativa de la tecla 9. Al combinar la tecla ‚ con la tecla 9
se activa el menú TIME. Esta operación se puede también representarse como
‚Ó. El menú TIME se muestra a continuación:

Según lo indicado arriba, el menú TIME proporciona cuatro diversas opciones,
numeradas 1 a 4. De interés para nosotros a este punto es la opción 3. Set
time, date... Usando la tecla vertical, ˜, destaque esta opción y presione
!!@@OK#@ . Como consecuencia, se muestra la siguiente forma interactiva (input
form , véase el Apéndice A) para ajustar tiempo y fecha:

Página 1-8

Fijar la hora del día
Usando las teclas numéricas, 123456789 0,
comenzamos ajustando la hora del día. Suponga que cambiamos la hora a
11, presionando 11 en la línea Time de la forma interactiva denominada
SET TIME AND DATE. Esto produce el número 11 que se escribe en la línea
superior de la forma:

Presione !!@@OK#@ para efectuar el cambio en la hora. El valor de 11 ahora se
muestra en la posición de la hora, y la posición de los minutos se seleccionan
automáticamente:

Cambiemos los minutos a 25, presionando: 25 !!@@OK#@ . La posición de
los segundos ha sido seleccionada. Suponga que usted desean cambiar el
campo de los segundos a 45, utilice:
45 !!@@OK#@

Página 1-9

La localidad del formato del tiempo ha sido seleccionada. Para cambiar esta
opción utilice W (la segunda tecla de la izquierda en la quinto fila de teclas
del fondo del teclado), o presione la tecla @CHOOS.
•

Si se utiliza la tecla W, el ajuste en la localidad del formato del tiempo
cambiará a cualquiera de las opciones siguientes:
o AM:
indica que el tiempo exhibido es AM
o PM:
indica que el tiempo exhibido es tiempo P.M.
o 24-hr: indica que ése el tiempo exhibido utiliza el formato de 24
horas, por ejemplo, 18:00 representa los 6pm

La opción seleccionada por último se convertirá en la opción del sistema para
el formato del tiempo usando este procedimiento.
•

Si se usa @CHOOS, las siguientes opciones están disponibles.

Utilice las teclas direccionales verticales — ˜ para seleccionar entre
las opciones (AM, PM, 24-hour time). Presione !!@@OK#@ para efectuar la
selección.
Fijar la fecha
Después de fijar la opción del formato del tiempo, la forma interactiva
denominada SET TIME AND DATE luce como se muestra a continuación:

Página 1-10

Para fijar la fecha, primero hay que fijar el formato de fecha. El formato preselecto es M/D/Y (mes/día/año). Para modificar este formato, presiónese la
tecla vertical inferior. Esto destacará el formato de fecha según lo demostrado
a continuación:

Use la tecla @CHOOS, para ver las opciones para el formato de fecha:

Seleccione su opción usando las teclas direccionales verticales — ˜, y
presione !!@@OK#@ para efectuar la selección.

Introducción al teclado de la calculadora
La figura siguiente muestra un diagrama del teclado de la calculadora
enumerando sus filas y columnas.

Página 1-11

La figura demuestra 10 filas de las teclas combinadas con 3, 5, o 6 columnas.
La fila 1 tiene 6 teclas, las filas 2 y 3 tienen 3 teclas cada uno, y las filas 4 a
10 tienen 5 teclas cada uno. Hay 4 teclas de flecha situadas en el lado
derecho del teclado en el espacio ocupado por las filas 2 y 3.
Cada tecla tiene tres, cuatro, o cinco funciones asociadas. La función principal
de una tecla corresponde al rótulo más prominente en la tecla. La tecla de
cambio izquierdo, tecla (9,1), la tecla de cambio derecho, tecla (9,1), y la tecla
alfa (ALPHA), tecla (7,1), pueden combinarse con otras teclas para activar las
funciones alternas que se muestran en el teclado.

Página 1-12

Por ejemplo, la tecla P, tecla(4,4), tiene las siguientes seis funciones
asociadas:
P
Función principal, para activar el menú de operaciones
simbólicas
„´
Función de cambio izquierdo, activa el menú de matemáticas
(MTH)
…N
Función de cambio derecho, activa el CATálogo de funciones
~p
Función ALPHA, para escribir la letra P mayúscula
~„p
Función ALPHA-cambio izquierdo, escribe la letra p minúscula
~…p
Función ALPHA-cambio derecho, escribe el símbolo π
De las seis funciones asociadas con una tecla, solamente las cuatro primeras se
muestran en el teclado mismo. La figure siguiente muestra estas cuatro
funciones para la tecla P. Nótese que el color y la posición de los rótulos
de las funciones en la tecla, a saber, SYMB, MTH, CAT y P, indican cual es la
función principal (SYMB), y cual de las otras tres funciones se asocian con la
tecla de cambio izquierdo „(MTH), con la tecla de cambio derecho …
(CAT ), y con la tecla ~ (P).

Para información adicional sobre la operación del teclado de la calculadora,
refiérase al Apéndice B en la Guía del Usuario.

Cambiando los modos de operación
Esta sección asume que el usuario se ha familiarizado con el uso de los menús
y las formas interactivas de entradas de datos (si éste no es el caso, refiérase al
Apéndice A en la Guía del Usuario).

Página 1-13

Presione la tecla H (segunda fila y segunda columna del teclado) para
activar la forma interactiva denominada CALCULATOR MODES:

Presione la tecla !!@@OK#@ para recuperar la pantalla normal. Ejemplos de los
diferentes modos de operación se muestran a continuación.

Modo operativo
La calculadora presenta dos modos de operación: el modo Algebraico, y el
modo de Notación Polaca Reversa (Reverse Polish Notation, RPN). Si bien el
modo Algebraico es el modo predefinido de operación (como se indica en la
figure anterior),
usuarios con experiencia en previos modelos de las
calculadoras HP podrían preferir el modo RPN.
Para seleccionar el modo operativo, actívese la forma interactiva titulada
CALCULATOR MODES presionando la tecla H. La opción Operating Mode
(Modo Operativo) es seleccionada automáticamente. Selecciónese el modo
operativo Algebraico o RPN usando, ya sea, la tecla \ (segunda columna y
quinta fila en el teclado), o la tecla @CHOOS. Si se usa el procedimiento ultimo,
úsense las teclas direccionales verticales, — ˜, para seleccionar el modo
operativo, y presiónese la tecla !!@@OK#@ para completar la operación.
Para ilustrar la diferencia entre los dos modos operativos, a continuación
procedemos a calcular la siguiente expresión en los dos modos operativos:

⎛
⎝

3.0 ⋅ ⎜ 5.0 −

⎞
⎟
3.0 ⋅ 3.0 ⎠
2.5
+e

23.0

1

3

Página 1-14

Para escribir esta expresión, usaremos el escritor de ecuaciones (equation
writer), ‚O. Antes de continuar, le invitamos a identificar las siguientes
teclas, además de las teclas numéricas:
!@.#*+-/R
Q¸Ü‚Oš™˜—`
El escritor de ecuaciones representa un ambiente en el que uno puede construir
expresiones matemáticas usando notación matemática explícita incluyendo
fracciones, derivadas, integrales, raíces, etc. Para escribir la expresión antes
mencionada en el escritor de ecuaciones, utilícense la secuencia de teclas
siguiente:
‚OR3.*!Ü5.1./3.*3.
—————
/23.Q3™™™+!¸2.5`
Después de presionar la tecla `la pantalla muestra la siguiente expresión:
√ (3.*(5.-1/(3.*3.))/(23.^3+EXP(2.5))
Al presionar la tecla `una vez más produce el siguiente resultado (acepte el
cambio a modo Approx., de ser necesario, presionando la tecla !!@@OK#@):

Uno puede escribir la expresión directamente en la pantalla sin usar el escritor
de ecuaciones, como se muestra a continuación:
R!Ü3.*!Ü5.-1/
3.*3.™
/23.Q3+!¸2.5`

Página 1-15

Cámbiese el modo operativo a RPN comenzando al presionar la tecla H.
Selecciónese el modo operativo RPN utilizando ya sea la tecla \, o la tecla
@CHOOS del menú.
Presiónese la tecla !!@@OK#@ del menú para completar la
operación. La pantalla en el modo operativo RPN se muestra a continuación:

Nótese que la pantalla muestra varios niveles identificados por los números 1,
2, 3, etc. Esta pantalla se denomina la pila (stack) de la calculadora. Los
diferentes niveles se denominan los niveles de la pila, es decir, nivel 1, nivel 2,
etc.
Básicamente, en el modo operativo RPN en vez de escribir la operación 3 + 2
de esta forma:
3+2`
se escriben primero los operandos, en el orden apropiado, seguidos del
operador, por ejemplo,
3`2+
A medida que se escriben los operandos, éstos pasan a ocupar diferentes
niveles en la pila. Al escribirse, por ejemplo, 3`, el número 3 aparece
en el nivel 1. A continuación, escríbase 2 para promover el número 3 al
nivel 2. Finalmente, al presionar +, se indica a la calculador que aplique el
operador, o programa, + a los objetos que ocupan los niveles 1 y 2. El
resultado, es este caso 5, aparece en el nivel 1.
Calcúlense las siguientes operaciones antes de intentar las operaciones
presentadas anteriormente usando el sistema operativo algebraico:
123/32
42
3√27

123`32/
4`2Q
27`R3@»

Página 1-16

Obsérvese la posición de la y y de la x en las dos operaciones últimas. La
base en la operación exponencial es y (nivel 2), mientras que el exponente es x
(nivel 1) antes de presionarse la tecla Q.
De manera similar, en la
operación de la raíz cúbica, y (nivel 2) es la cantidad bajo el signo radical, y x
(nivel 1) es la raíz.
Ejecútese el siguiente ejercicio involucrando 3 factores: (5 + 3) × 2
Calcúlese (5 +3) primero.
Complétese la operación.

5`3`+
2X

Calcúlese la expresión propuesta anteriormente:

⎛
⎝

3 ⋅ ⎜5 −
23
3`
5`
3`
3*
Y
*
23`
3Q
/
2.5
!¸
+

⎞
⎟
3⋅3⎠
2.5
+e
1

3

Escríbase 3 en el nivel1
Escríbase 5 en el nivel1, 3 pasa al nivel 2
Escríbase 3 en el nivel1, 5 pasa al nivel 2, 3 pasa al
nivel 3
Escríbase 3 y ejecútese la multiplicación, 9 se muestra
en el nivel1
1/(3×3), último valor en nivel 1; 5 en el nivel2; 3 en
el nivel3
5 - 1/(3×3) , ocupa el nivel 1; 3 en el nivel2
3× (5 - 1/(3×3)), ocupa el nivel 1
Escríbase 23 en el nivel1, 14.6666 pasa al nivel 2.
Escríbase 3, calcúlese 233 en nivel 1. 14.666 en
nivel 2.
(3× (5-1/(3×3)))/233 en nivel 1
Escríbase 2.5 en el nivel 1
e2.5, pasa al nivel 1, nivel 2 muestra el valor anterior
(3× (5 - 1/(3×3)))/233 + e2.5 = 12.18369, en nivel 1

Página 1-17

R

√((3× (5 - 1/(3×3)))/233 + e2.5) = 3.49..., en nivel 1.

Para seleccionar modo operativo ALG vs. RPN, uno puede activar / desactivar
la señal de sistema número 95 utilizando las siguientes teclas:
H FLAGS 9˜˜˜@@CHK@ `

Formato de los números y punto o coma decimal
Al cambiar el formato de los números permite mostrar resultados en diferentes
formas. Esta opción es muy útil en operaciones que involucran potencias de
diez o si se quiere limitar el número de cifras decimales en los resultados.
Para seleccionar el formato de los números, actívese primero la forma
interactiva denominada CALCULATOR MODES al presionar la tecla H.
Utilícese entonces la tecla direccional vertical, ˜, para seleccionar la opción
Number format. El valor preseleccionado es Std, o formato estándar. En este
formato, la calculadora mostrará números reales con la máxima precisión
disponible (12 cifras significativas). Para mayor información sobre números
reales en la calculadora véase el Capítulo 2 en esta Guía. Ejemplos que
utilizan el formato estándar y otros formatos se muestran a continuación:
•

Formato Estándar:
Este modo es el más utilizado dado que muestra los números en su
notación mas común.
Presiónese la tecla de menú !!@@OK#@ , con la opción Number format
mostrando el valor Std, para recobrar la pantalla normal. Escríbase el
número 123.4567890123456 (con16 cifras significativas). Presiónese la
tecla `. El número se redondea al máximo de 12 cifras significativas, y
se muestra de la siguiente manera:

Página 1-18

•

Formato con número de decimales fijo:
Presiónese la tecla H, y utilícese la tecla direccional vertical, ˜, para
seleccionar la opción Number format. Presiónese la tecla de menú @CHOOS,
y selecciónese la opción Fixed utilizando la tecla ˜.

Presiónese la tecla direccional horizontal, ™, y selecciónese el cero
enfrente de la opción Fix.
Presiónese la tecla de menú @CHOOS y
selecciónese el valor 3 (como ejemplo), utilizando las teclas direccionales
verticales, —˜.

Presiónese la tecla de menú !!@@OK#@ para completar la selección:

Página 1-19

Presiónese la tecla de menú !!@@OK#@ para recobrar la pantalla normal.
número que se utilizó anteriormente se muestra ahora como:

El

Nótese que la parte decimal es redondeada, y no truncada. Por ejemplo,
con este formato, el número 123.4567890123456 se muestra como
123.457, y no como 123.456. Esto se debe a que el tercer decimal, 6 es
> 5).
•

Formato científico
Para seleccionar este formato, presiónese primero la tecla H. A
continuación, utilícese la tecla direccional vertical, ˜, para seleccionar
la opción Number format. Presiónese la tecla @CHOOS, y selecciónese la
opción Scientific utilizando la tecla ˜.
Manténgase el número 3
enfrente de Sci. (Este número puede cambiarse de la misma manera en
que se cambió la opción Fixed en el ejemplo anterior).

Presiónese la tecla !!@@OK#@ para recobrar la pantalla normal. El número
utilizado anteriormente se muestra ahora de la forma siguiente:

Este resultado, 1.23E2, es la versión de la notación de potencias de diez,
es decir 1.235 ¥ 102, proveída por la calculadora. En este formato
científico, el número 3 enfrente de la opción Sci representa el número de
cifras significativas que siguen al punto decimal. La notación científica

Página 1-20

•

siempre incluye una cifra entera como se mostró anteriormente. En este
ejemplo, por lo tanto, el número de cifras significativas es cuatro.
Formato de ingeniería
El formato de ingeniería (engineering format) es muy similar al científico,
excepto que el exponente en la potencia de diez es un múltiplo de 3.
Para seleccionar este formato, presiónese primero la tecla H, y utilícese
la tecla direccional, ˜, para seleccionar la opción Number format.
Presiónese la tecla @CHOOS, y selecciónese la opción Engineering con la
tecla ˜.
Manténgase el número 3 delante de la opción Eng. (Este
número puede cambiarse de la misma manera en que se cambió para la
opción Fix del formato de número).

Presiónese la tecla !!@@OK#@ para recuperar la pantalla normal. El número
utilizado en los ejemplos anteriores se muestra ahora de la siguiente
manera:

Dado que este número posee tres cifras en la parte decimal, se muestra
con cuatro cifras significativas y un exponente de cero cuando se utiliza el
formato de ingeniería. Por ejemplo, el número 0.00256 se muestra como:

Página 1-21

•

•

•

Coma vs. Punto decimales
Puntos decimales en números reales pueden re-emplazarse con comas, si el
usuario está acostumbrado a esa notación. Para re-emplazar los puntos
decimales con comas, cámbiese la opción FM en la forma interactiva
denominada CALCULATOR MODES como se muestra a continuación
(Nótese que hemos cambiado el formato de números a estándar, Std):
Presiónese primero la tecla H. Después, presiónese la tecla direccional
vertical, ˜, una vez, y la tecla direccional horizontal, ™, dos veces,
para seleccionar la opción __FM,. Para seleccionar comas, presiónese la
tecla de menú @@CHK@. La forma interactiva lucirá como se muestra a
continuación:

Presiónese la tecla de menú !!@@OK#@ para recobrar la pantalla normal. Por
ejemplo, el número 123.456789012, utilizado anteriormente, se mostrará
de la forma siguiente utilizando comas:

Medidas angulares
Las funciones trigonométricas,
por ejemplo, requieren argumentos que
representan ángulos en el plano. La calculadora provee tres modos diferentes
de medidas angulares, a saber:
•

Grados (Degrees): Existen 360 grados (360o) en un círculo.

•

Radianes: Existen 2π radianes (2π r) en un círculo.

Página 1-22

•

Grados decimales (Grades): Existen 400 grades (400 g) en un círculo.

Las medidas angulares afectan los resultados de funciones tales como
seno(SIN), COS, TAN y funciones asociadas.
Para seleccionar las medidas angulares utilícese el procedimiento siguiente:
•

Presiónese primero la tecla H. A continuación, utilícese la tecla ˜,
dos veces. Selecciónese la opción Angle Measure utilizando ya sea la
tecla \ (segunda columna en la quinta fila contando de abajo hacia
arriba), o la tecla de menú @CHOOS. Si se utiliza la última opción, utilícense
las teclas direccionales verticales, — ˜, para seleccionar la medida
angular, y presiónese la tecla !!@@OK#@ para completar la operación. Por
ejemplo, en la siguiente pantalla, se selecciona Radianes como la medida
angular:

Sistema de coordenadas
La selección del sistema de coordenadas afecta la forma en se escriben y se
muestran vectores y números complejos. Para mayor información sobre
números complejos y vectores, véanse los Capítulos 4 y 8, respectivamente, en
esta Guía.
Existen tres sistemas de coordenadas en la calculadora:
Rectangulares (RECT), Cilíndricas (CYLIN), y Esféricas (SPHERE).
Para
seleccionar el sistema de coordenadas utilícese el procedimiento siguiente:
•

Presiónese primero la tecla H. A continuación, utilícese la tecla
direccional vertical, ˜, tres veces. Una vez seleccionada la opción
Coord System, selecciónese la medida angular utilizando la tecla \, o

Página 1-23

la tecla @CHOOS. Si se sigue la última opción, utilícense las teclas
direccionales verticales, — ˜, para seleccionar el sistema de
coordenadas, y presiónese la tecla !!@@OK#@ para completar la operación.
Por ejemplo, en la siguiente pantalla se seleccionan coordenadas polares:

Señal sonora, sonido de tecla, y última escritura
La línea pasada de la forma de la entrada de la forma CALCULATOR MODES
incluye las opciones:
_Beep _Key Click _Last Stack
Al colocar la marca de aprobado al lado de cada uno de estas opciones, la
opción correspondiente es activada. Estas opciones se describen a
continuación:
_Beep :
(señal sonora) Cuando está seleccionado, la señal sonora de
la calculadora está activa. Esta operación se aplica
principalmente a los mensajes de error, pero también a
algunas funciones del usuario como BEEP.
_Key Click :
(sonido de tecla) Cuando está seleccionado, cada tecla, al
presionarse, produce un sonido “clic”
_Last Stack:
Guarda el contenido de la escritura más reciente en la
pantalla para usarse con las funciones UNDO y ANS (ver el
capítulo 2).
La opción _Beep puede ser útil para aconsejar al usuario sobre errores. Usted
puede desconectar esta opción si usa su calculadora en una sala de clase o
una biblioteca.
La opción _Key Click puede ser útil como manera audible de comprobar que
cada tecla operó según lo previsto.

Página 1-24

La opción _Last Stack es muy útil para recuperar la operación pasada en caso
de que la necesitemos para un nuevo cálculo.
Para seleccionar, o para remover, cualesquiera de estas tres opciones, primero
presiónese la tecla H. Y después,
•

Use la tecla vertical, ˜, cuatro veces para seleccionar la opción _Last
Stack. Use la tecla @@CHK@ para cambiar la selección.

•

Use la tecla š para seleccionar la opción _Key Click. Use la tecla @@CHK@
para cambiar la selección.

•

Use la tecla š para seleccionar la opción _Beep. Use la tecla @@CHK@
para cambiar la selección.

•

Presione !!@@OK#@ para terminar la operación.

Seleccionando opciones del CAS
El término CAS significa Computer Algebraic System, o Sistema Algebraico
Computacional. El CAS es el centro matemático de la calculadora donde
residen las operaciones y funciones simbólicas de la misma. El CAS presenta
un número de opciones que pueden ajustarse de acuerdo a la operación de
interés. Estas son:
• Variable independiente preseleccionada
• Modo numérico vs. simbólico
• Modo detallado (verbose) vs. no-detallado (non-verbose)
• Operaciones paso-a-paso
• Formato polinómico con potencia creciente
• Modo riguroso (para el valor absoluto)
• Simplificación de expresiones no racionales
Detalles sobre la selección de las opciones CAS son presentados en el
Apéndice C.

Página 1-25

Selección de los modos de la pantalla
La pantalla de la calculadora posee un número de opciones que el usuario
puede ajustar a su gusto. Para ver las opciones disponibles, use el
procedimiento siguiente:
•

Para empezar, presiónese la tecla H para activar la forma denominada
CALCULATOR MODE. Dentro de esta forma interactiva, presiónese la tecla
de menú @@DISP@ para activar la forma denominada DISPLAY MODES:

•

Para navegar a través de las diferentes opciones en la forma interactiva
DISPLAY MODES utilícense las teclas direccionales: š™˜—.

•

Para seleccionar o remover cualquiera de las opciones mostradas en la
figura anterior (las opciones selectas se indican con la marca de
aprobado, ), selecciónese la línea previa a la opción de interés, y
presiónese la tecla de menú @@CHK@ hasta conseguir la opción deseada.
Cuando se selecciona una opción, se muestra una marca de aprobado, ,
en la línea precedente (por ejemplo, en la opción Textbook en la línea
Stack: en la figura anterior). Opciones no seleccionadas no mostrarán la
marca de aprobado, , en la línea precedente (por ejemplo, las opciones
_Small, _Full page, e _Indent en la línea Edit: en la figura anterior).

•

Para seleccionar el tipo de caracteres (Font) para la pantalla, selecciónese
la opción Font: en la forma interactiva denominada DISPLAY MODES, y
utilícese la tecla de menú @CHOOS.

•

Después de haber seleccionado y/o removido todas las opciones
deseadas en la forma interactiva DISPLAY MODES, presiónese la tecla de
menú @@@OK@@@. Esta acción permite al usuario recobrar la forma interactiva

Página 1-26

denominada CALCULATOR MODES en la pantalla. Para recobrar la
pantalla normal, presiónese la tecla de menú @@@OK@@@ una vez más.

Selección del tipo de caracteres (font)
Para empezar, presiónese la tecla H para activar la forma interactiva
CALCULATOR MODES. Dentro de esta forma interactiva, presiónese la tecla
de menú @@DISP@ para activar la forma interactiva denominada DISPLAY
MODES. La pantalla indicará que la opción Ft8_0:system 8 ha sido
seleccionada para la línea Font: en la forma interactiva DISPLAY MODES. Este
es el valor pre-selecto para la línea Font. Al presionar la tecla de menú @CHOOS,
la pantalla proveerá todas las opciones posibles para el tipo de caracteres:

Existen tres opciones estándares disponibles System Fonts (de tamaños 8, 7, y
6) y una cuarta opción, Browse... Esta última opción permite al usuario a
buscar tipos adicionales que pueden ser creados por el usuario o copiados en
la memoria de la calculadora de otras fuentes.
Practique cambiar el tamaño de los caracteres a 7 y 6. Presiónese la tecla @@OK@@
para aceptar la selección del tamaño de los caracteres. Una vez seleccionado
el tamaño de los caracteres, la tecla de menú @@@OK@@@ para recobrar la forma
interactiva denominada CALCULATOR MODES.
Para recobrar la pantalla
normal, presiónese la tecla de menú @@@OK@@@ una vez más. Obsérvese como la
pantalla se ajusta al tamaño de caracteres seleccionado por el usuario.

Selección de las propiedades del editor de línea
Para empezar, presiónese la tecla H para activar la forma interactiva
CALCULATOR MODES. Dentro de esta forma interactiva, presiónese la tecla
de menú @@DISP@ para activar la forma interactiva DISPLAY MODES. Presiónese
la tecla direccional vertical, ˜, una vez, para alcanzar la línea Edit. Esta

Página 1-27

línea muestra tres propiedades del editor que pueden ser modificadas.
Cuando se seleccionan estas propiedades (se muestra una marca de
aprobado, ) se activan las siguientes opciones:
_Small
_Full page
_Indent

Se cambia el tamaño de los caracteres a pequeño.
Permite posicionar el cursor al final de una línea
Produce una auto-margen al presionar la tecla
alimentadora de líneas (Enter)

Instrucciones para el uso del editor de línea se presentan en el Capítulo 2 de
esta Guía.

Selección de las propiedades de la pantalla (Stack)
Para empezar, presiónese la tecla H para activar la forma interactiva
CALCULATOR MODES. Dentro de esta forma interactiva, presiónese la tecla
de menú @@DISP@ para activar la forma interactiva DISPLAY MODES. Presiónese
la tecla direccional vertical, ˜, dos veces, para alcanzar la línea Stack. Esta
línea muestra dos propiedades del editor que pueden ser modificadas.
Cuando se seleccionan estas propiedades (se muestra una marca de
aprobado, ) se activan las siguientes opciones:
_Small

Cambia el tamaño de los caracteres a pequeño. Esta opción
maximiza la cantidad de información presentada en la
pantalla. Esta selección precede a la selección del tamaño de
los caracteres de la pantalla.

_Textbook

Muestra las expresiones matemáticas en notación matemática
propia

Para ilustrar estas opciones, ya sea en modo algebraico o RPN, utilícese el
escritor de ecuaciones para escribir la siguiente expresión:
‚O…Á0™„虄¸\x™x`

Página 1-28

En modo algebraico, la siguiente pantalla muestra este resultado cuando no se
selecciona ni la opción _Small ni la opción _Textbook en la línea Stack:

Cuando se selecciona la opción _Small solamente, la pantalla muestra lo
siguiente:

Con la opción _Textbook seleccionada (este es el valor predefinido), ya sea
que se seleccione la opción _Small o no, la pantalla muestra el siguiente
resultado:

Selección de las propiedades del escritor de ecuaciones (EQW)
Para empezar, presiónese la tecla H para activar la forma interactiva
CALCULATOR MODES. Dentro de esta forma interactiva, presiónese la tecla
de menú @@DISP@ para activar la forma interactiva DISPLAY MODES. Presiónese
la tecla direccional vertical, ˜, tres veces, para activar la línea EQW
(Equation Writer). Esta línea muestra dos propiedades del editor que pueden
ser modificadas. Cuando se seleccionan estas propiedades (se muestra una
marca de aprobado, ) se activan las siguientes opciones:
_Small

Cambia el tamaño de los caracteres a pequeño
cuando se utiliza el escritor de ecuaciones

Página 1-29

_Small Stack Disp

Muestra tamaño pequeño de caracteres después de
utilizar el escritor de ecuaciones

Instrucciones detalladas del uso del escritor de ecuaciones (EQW) se presentan
en otras secciones de esta Guía.
En el ejemplo de la integral

∫

∞
0

e − X dX , que se presentó anteriormente, el

seleccionar la opción _Small Stack Disp en la línea EQW de la forma DISPLAY
MODES produce el siguiente resultado:

Selección del tamaño del encabezado
Presiónese primero la tecla H para activar la forma interactiva denominada
CALCULATOR MODES. Dentro de esta forma, presiónese la tecla @@DISP@ para
mostrar la forma interactiva denominada DISPLAY MODES. Presiónese la tecla
˜, cuatro veces, para obtener la línea Header (encabezado). El valor 2 se
pre-asigna a la localidad Header. Esto significa que la parte superior de la
pantalla contendrá dos líneas, uno que demuestra las opciones actuales de la
calculadora, y la segundo que demuestra el sub-directorio actual dentro de la
memoria de la calculadora (estas líneas fueron descritas anteriormente en esta
guía). El usuario puede seleccionar los valores de1 ó 0 para reducir el número
de las líneas del encabezado en la pantalla.

Selección del formato del reloj
Presiónese primero la tecla H para activar la forma interactiva denominada
CALCULATOR MODES. Dentro de esta forma, presiónese la tecla @@DISP@ (D)
para mostrar la forma interactiva denominada DISPLAY MODES. Presiónese la
tecla ˜, cuatro veces, para obtener la línea Header (encabezado). Use la
tecla (™) para seleccionar la línea delante de las opciones _Clock o _Analog.
Presiónese la tecla @@CHK@ hasta conseguir la opción deseada.
Si se
selecciona la opción _Clock, la hora del día y la fecha se mostrarán en la

Página 1-30

esquina superior derecha de la pantalla. Si se selecciona la opción _Analog,
un reloj analógico, en vez de un reloj digital, se mostrará en la esquina
superior derecha de la pantalla. Si no se selecciona la opción _Clock, o si el
encabezado no está presente, o es muy chico, la fecha y la hora no se
mostrarán en la pantalla.

Página 1-31

Capítulo 2
Introducción a la calculadora

En este Capítulo se presentan las operaciones básicas de la computadora
incluyendo el uso del escritor de ecuaciones (El escritor de ecuaciones) y la
manipulación de los objetos (datos) en la calculadora. Analícense los ejemplos
en este Capítulo para conocer mejor la operación de la calculadora en futuras
aplicaciones.

Objetos en la calculadora

Cualquier número, expresión, carácter, variable, etc., que se pueda crear y
manipular en la calculadora se denomina un objeto de la calculadora. Algunos
de los objetos más útiles se enumeran a continuación.
Números reales. Estos objetos representan un número, positivo o negativo,
con 12 cifras significativas y un exponente con un rango de -499 a +499.
Ejemplos de reales son: 1., -5., 56.41564 1.5E45, -555.74E-95
Cuando se escribe un número real, se puede utilizar la tecla V para escribir
el exponente y la tecla \ para cambiar el signo de la mantisa.
Obsérvese que los reales deben ser escritos con un punto decimal, aún y
cuando el número no tenga una parte fraccionaria. Si no el número escrito se
opera como número entero, que es un objeto diferente en la calculadora. Los
números reales se operan en la calculadora como cualquier número en una
expresión matemática.
Números enteros. Estos objetos representan los números enteros (números
sin parte fraccionaria) y no tienen límites (excepto la memoria de la
calculadora).
Ejemplos
de
números
enteros:
564654112,
413165467354646765465487. Nótese que estos números no tienen un
punto decimal.

Página 2-1

Debido a su formato de almacenaje, los números enteros mantienen siempre la
precisión completa en su cálculo. Por ejemplo, una operación tal como 30/14,
con números enteros, producirá 15/7 y no 2.142.... Para forzar un resultado
real (o de punto decimal flotante), utilice la función NUM ‚ï.
Los números enteros se utilizan con frecuencia en funciones del CAS mientras
que han sido diseñadas para mantener la precisión completa en su operación.
Si el modo aproximado (APROX) se selecciona en el CAS (véase el apéndice
C), los números enteros serán convertidos automáticamente a reales. Si usted
no está planeando utilizar el CAS en sus operaciones, es una buena idea
cambiar el CAS directamente al modo aproximado. Refiérase al apéndice C
para más detalles.
La mezcla de números enteros y reales o el confundir un número entero con un
real es una ocurrencia común. La calculadora detectará tales mezclas de
objetos y le preguntará si usted desea cambiar al modo aproximado.
Los números complejos, son una extensión de los números reales que
incluyen la unidad imaginaria, i 2 = -1. Se escribe un número complejo, Vg., 3
+ 2ì, como (3, 2) en la calculadora. Los números complejos se pueden exhibir
en modo cartesiano o polar dependiendo de cual sistema haya sido
seleccionado. Obsérvese que los números complejos se almacenan siempre en
modo cartesiano y que solamente se afecta el formato de presentación al
cambiar coordenadas. Esto permite que la calculadora guarde tanta precisión
como sea posible durante cálculos.
La mayoría de las funciones matemáticas operan con números complejos. No
hay necesidad de utilizar una función "compleja +" para sumar números
complejos. Usted puede utilizar la misma función + que se usa con los
números reales o enteros.
Las operaciones con vectores y matrices utilizan objetos del tipo 3, arreglos
reales, y, de ser necesarios, del tipo 4, arreglos complejos. Objetos del

Página 2-2

tipo 2, cadenas de caracteres, son simplemente líneas del texto (incluido
entre comillas) producidas con el teclado alfanumérico.
Una lista es simplemente una colección de objetos incluidos entre teclas {} y
separados por espacios en modo de RPN (la tecla espaciadora es la tecla
#), o por comas en modo algebraico. Las listas, objetos del tipo 5, pueden
ser muy útiles al procesar colecciones de números. Por ejemplo, las columnas
de una tabla se pueden entrar como listas. Si se prefiere, una tabla se puede
escribir como una matriz o arreglo.
Objetos del tipo 8 son programas en lenguaje UserRPL. Estos objetos son
simplemente colecciones de instrucciones incluidas entre los símbolos < < > >.
Se asocian a programas los nombres de objetos tipo 6 y 7, objetos globales
y locales, respectivamente. Estos nombres, o variables, se utilizan para
almacenar cualquier tipo de objetos. El concepto de nombres globales o
locales se relaciona con el alcance la variable en un programa dado.
Un objeto algebraico, o simplemente, un algebraico (objeto de tipo 9), es
una expresión algebraica válida incluida entre comillas o ticks.
Los números enteros binarios, objetos del tipo 10, se utilizan en
informática.
Los objetos gráficos, objetos de tipo 11, almacenan diagramas producidos
por la calculadora.
Los objetos rotulados (tagged objects), objetos de tipo 12, se utilizan en la
salida de muchos programas para identificar resultados. Por ejemplo, en el
objeto rotulado: Media: 23.2. la palabra Media: es la etiqueta o rótulo usado
para identificar el número 23.2 como la media de una muestra, por ejemplo.
Los objetos de unidades, objetos de tipo 13, son valores numéricos con
una unidad física adjunta.

Página 2-3

Los directorios, objetos del tipo 15, son posiciones de memoria usadas para
organizar las variables en una manera similar como las carpetas se utilizan en
un ordenador personal.
Las bibliotecas, objetos de tipo 16, son programas que residen en los
puertos de la memoria que son accesibles dentro de cualquier directorio (o de
sub-directorio) en su calculadora. Se asemejan a funciones predefinidas,
objetos del tipo 18, y a las instrucciones predefinidas, objetos del tipo
19, en la manera en que se utilizan.

Edición de expresiones en la pantalla

En esta sección se presentan ejemplos de la edición de expresiones
directamente en la pantalla de la calculadora.

Creación de expresiones aritméticas
Pare ejecutar este ejemplo, selecciónese el modo operativo Algebraico y el
formato Fix con 3 decimales para la pantalla. Escríbase la expresión:

1.0
7.5
5.0 ⋅
3.0 − 2.0 3
1.0 +

Para escribir esta expresión, utilícense las siguientes teclas:
5.*„Ü1.+1./7.5™/
„ÜR3.-2.Q3
La expresión resultante es: 5*(1+1/7.5)/(√3-2^3).
Presiónese la tecla ` para mostrar la expresión en la pantalla:

Página 2-4

Nótese que, es la opción EXACT se selecciona para el CAS (véase el Apéndice
C en la Guía del Usuario) y se escribe la expresión utilizando números enteros
para los valores enteros, el resultado es una expresión simbólica, por ejemplo,
5*„Ü1+1/7.5™/
„ÜR3-2Q3
Antes de producirse el resultado, se solicita que el usuario cambie el modo a
Approximate (aproximado). Acéptese el cambio para obtener el resultado
mostrado a continuación (mostrado con formato Fix con tres decimales – véase
el Capítulo 1):

En este caso, cuando la expresión se escribe directamente en la pantalla. En
cuanto se presiona la tecla `, la calculadora intentará calcular el valor de la
expresión. Si la expresión se escribe entre apóstrofes, la calculadora
simplemente reproduce la expresión tal y como fue escrita. Por ejemplo:
³5*„Ü1+1/7.5™/
„ÜR3-2Q3`
El resultado se muestra a continuación:

Página 2-5

Para evaluar la expresión en este caso, utilícese la función EVAL :
μ„î`
Si la opción Exact ha sido seleccionada para el CAS, se solicita que el usuario
cambie el modo a Approximate (aproximado). Acéptese el cambio para
obtener la evaluación de la expresión como se demostró en un ejemplo
anterior.
Una forma alternativa para evaluar la expresión escrita entre apóstrofes en el
ejemplo anterior, consiste en utilizar la función NUM ( …ï).
A continuación, se escribe la expresión utilizada anteriormente con la
calculadora utilizando el modo operativo RPN. Selecciónese la opción Exact
para el CAS y la opción Textbook para la pantalla. Utilícense las siguientes
teclas para escribir la expresión entre apóstrofes utilizada anteriormente, es
decir,
…³5*„Ü1+1/7.5™/
„ÜR3-2Q3`
El resultado se muestra en la siguiente pantalla:

Presiónese la tecla ` una vez más para producir dos copias de la expresión
en la pantalla. Evalúese la expresión en el nivel 1 utilizando la función EVAL,
primero, y después la función NUM (μ).
A continuación se explican los pasos en detalle: Primero, evalúe la expresión
utilizando la función EVAL. Esta expresión es semi-simbólica en el sentido de
que existen componentes reales (números reales) en el resultado, así como la
expresión simbólica √3. A continuación, intercámbiense las posiciones de los

Página 2-6

niveles 1 y 2 en la pantalla y evalúese la expresión utilizando la función
NUM: ™…ï.
Este último resultado es puramente numérico, de manera que, los dos
resultados en la pantalla, aunque representan la evaluación de la misma
expresión, aparecen en formas diferentes. Para verificar que el valor resultante
es el mismo, obténgase la diferencia de estos dos valores y evalúese esta
diferencia usando la función EVAL:
Subtract level 1 from level 2
μ
Evaluate using function EVAL
El resultado es cero(0.).
Nota: Evite mezclar números enteros y reales para evitar conflictos en los
cálculos. Para muchas aplicaciones en la ciencia y en la ingeniería,
incluyendo la solución numérica ecuaciones, aplicaciones estadística, etc., el
modo APROX (véase el apéndice C) es el mejor. Para los usos matemáticos,
es decir, cálculo, análisis vectorial, álgebra, etc., se prefiere el modo EXACT.
Familiarícese con las operaciones en ambos modos y aprenda cómo
cambiar del uno al otro para diversos tipos de operaciones (véase el
apéndice C).

Edición de expresiones aritméticas
Suponga que hemos escrito la expresión siguiente, entre comillas, con la
calculadora en modo de RPN y el CAS fijado a EXACT:

1
7.5 . La expresión incorrecta fue
más bien que la expresión prevista: 5 ⋅
3 − 23
1+

escrita usando:

Página 2-7

³5*„Ü1+1/1.75™/
„ÜR5-2Q3`
Para activar el editor de línea use „˜. La pantalla ahora luce como
sigue:

El cursor editor se demuestra una flecha izquierda pulsante sobre el primer
carácter en la línea que se corregirá. Puesto que el corregir en este caso
consiste en remover algunos caracteres y en substituirlos por otros, utilizaremos
las teclas š™ para mover el cursor al lugar apropiado para edición, y la
tecla de cancelación, ƒ, para eliminar caracteres.
Las teclas siguientes completan la corrección para este caso:
• Presione la tecla ™ hasta que el cursor esté inmediatamente a la derecha
del punto decimal en el término 1.75
• Presione la tecla de cancelación, ƒ, dos veces para eliminar el 1.
• Presione la tecla ™, una vez, para mover el cursor a la derecha del 7
• Escriba un punto decimal con .
• Presione la tecla ™, hasta que el cursor está inmediatamente a la
derecha de √5
• Presione la tecla de cancelación, ƒ, una vez, para borrar el carácter 5
• Escriba un 3 con 3
• Presione ` para volver a la pantalla
La expresión corregida está disponible ahora en la pantalla.

Página 2-8

El corregir de una línea de la entrada cuando la calculadora está en modo de
funcionamiento algebraico es exactamente igual que en el modo RPN. Usted
puede repetir este ejemplo en modo algebraico para verificar esta aserción.

Creación de expresiones algebraicas
Las expresiones algebraicas incluyen no solamente números, sino también
variable. Por ejemplo, escríbase la siguiente expresión algebraica:

x
R +2L
R+ y
b

2L 1 +

Selecciónese el modo operativo Algebraico en la calculadora, la opción Exact
en el CAS, y la opción Textbook para la pantalla. Escríbase la expresión
propuesta utilizando las siguientes teclas:
³2*~l*R„Ü1+~„x/~r™/„
Ü ~r+~„y™+2*~l/~„b
Presiónese la tecla ` para obtener el siguiente resultado:

Esta expresión puede escribirse con la calculadora en modo operativo RPN de
la misma forma especificada anteriormente para el modo operativo algebraico
(ALG).
Para obtener información adicional en la edición de expresiones algebraicas
en la pantalla, véase el Capítulo 2 en la Guía del Usuario de la calculadora.

Página 2-9

Edición de expresiones algebraicas
La edición de una expresión algebraica con el editor de línea es muy similar la
edición de una expresión aritmética (véase el ejercicio anterior). Suponga que
deseamos modificar la expresión incorporada anteriormente de manera que
luzca como se muestra a continuación:

x2
2L 1 +
R +2 L
R+x
b
Para corregir esta expresión algebraica usando el editor de línea use „˜.
Esto activa el editor de línea redactor, mostrando la expresión que se corregirá
como sigue:

El cursor editor se muestra como una flecha izquierda pulsante sobre el primer
carácter en la línea a editarse. Como en un ejercicio anterior en edición,
utilizaremos las teclas š™ para mover el cursor al lugar apropiado para
edición, y la tecla de cancelación, ƒ, para eliminar caracteres.
Las
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•

teclas siguientes completarán la edición para este caso:
Presione ™, hasta que el cursor está a la derecha de x
Escriba Q2 para escribir la potencia 2 para la x
Presione ™, hasta que el cursor está a la derecha de y
Presione ƒ, una vez para borrar los caracteres y.
Escriba ~„x
Presione ™, 4 veces para mover el cursor a la derecha de *
Escriba R para escribir el símbolo de raíz cuadrada
Escriba „Ü para incorporar un par de paréntesis
Presione ™ƒ para suprimir el paréntesis derecho del par
Presione ™, 4 veces para mover el cursor a la derecha de b

Página 2-10

• Escriba „Ü para escribir segundo par de paréntesis
• Presione ƒ para suprimir el paréntesis izquierdos del par
• Presione ` para regresar a la pantalla normal.
El resultado es:

Note que la expresión se ha ampliado para incluir términos por ejemplo |R|,
el valor absoluto, y SQ(b⋅R), el cuadrado de b⋅R. Para ver si podemos
simplificar este resultado, use FACTOR(ANS(1)) en modo ALG:

•

Presione „˜ para activar el editor de línea una vez más. El resultado
es:

•

Presione ` una vez más para regresar a la pantalla normal.

Para ver la expresión entera en la pantalla, podemos cambiar la opción _Small
Screen Disp en la forma SCREEN MODES (ver el capítulo 1). Después de
efectuar este cambio, la pantalla mirará como sigue:

Página 2-11

Nota: Para utilizar las letras griegas y otros caracteres en expresiones
algebraicas utilice el menú CHARS. Este menú se activa con …±. Los
detalles se presentan en el apéndice D.

Uso del escritor de ecuaciones (EQW) para crear
expresiones

El escritor de ecuaciones es una herramienta muy importante que permite al
usuario no solamente escribir o ver una ecuación, sino también modificar y
manipular expresiones, y aplicar funciones a las mismas. El escritor de
ecuaciones (EQW), por lo tanto, permite que usted realice operaciones
matemáticas complejas, directamente, o en un modo paso a paso, tal como
Ud. las haría en el papel, al resolver, por ejemplo, problemas del cálculo.
El escritor de ecuaciones se activa al presionar ‚ ‚O (la tercera tecla
en la cuarta fila del teclado). La pantalla resultante es la siguiente. Presiónese
la tecla L para acceder la segunda página del menú:

Las seis teclas de menú del escritor de ecuaciones activan las siguientes
funciones:
@EDIT: para editar una línea (véase los ejemplos anteriores)
@CURS: destaca la expresión y agrega un cursor gráfico a la misma
@BIG: si está seleccionada (identificado por el carácter visible en la etiqueta) la
pantalla usa caracteres de tamaño 8 (los caracteres más grande disponibles en
el sistema)

Página 2-12

@EVAL: permite evaluar, simbólicamente o numéricamente, una expresión
destacada en la pantalla del escritor de ecuaciones (similar a …μ)
@FACTO: permite factorizar la expresión destacada en la pantalla del escritor de
ecuaciones (si la factorización es posible)
@SIMP: permite simplificar una expresión destacada en la pantalla del escritor
de ecuaciones (tanto como puede ser simplificada según las reglas algebraicas
del CAS)
Presionando la tecla L, se muestran las siguientes instrucciones en el menú:

Estas teclas del menú para el escritor de ecuaciones activan las funciones
siguientes:
@CMDS: permite acceso a la colección de funciones del CAS enumeradas en
orden alfabético. Esto es útil para activar funciones del CAS en cualquier
expresión disponible en el escritor de la ecuación.
@HELP: activa la función informativa del CAS de la calculadora que provee
información y ejemplos de las funciones del CAS.
Algunos ejemplos del uso del escritor de ecuaciones se muestran a
continuación.

Creación de expresiones aritméticas
La escritura de expresiones en el Escritor de ecuaciones es muy similar a la
escritura de expresiones entre apóstrofes en la pantalla. La diferencia principal
es que en el Escritor de ecuaciones las expresiones producidas se presentan en
el estilo “textbook” (libro de texto, es decir, utilizando notación matemática
similar a la de un libro de texto) en vez de escribirse como en el editor de línea
en la pantalla. Por ejemplo, escríbase el siguiente ejercicio en el escritor de
ecuaciones: 5/5+2
El resultado es la expresión

Página 2-13

El cursor se muestra como una flecha apuntando hacia la izquierda. El cursor
indica la posición de edición actual en la pantalla del escritor de ecuaciones.
Por ejemplo, con el cursor en la posición mostrada anteriormente, escríbase:
*„Ü5+1/3
La expresión así editada lucirá ahora de la siguiente manera:

Supóngase que se desea reemplazar la expresión entre paréntesis en el
denominador (es decir, 5+1/3) con (5+π2/2). Para empezar, utilícese la tecla
de borrar (ƒ) para borrar la fracción 1/3, y reemplazarla con π2/2.
Utilícense las siguientes teclas:
ƒƒƒ„ìQ2
A este punto, la pantalla lucirá de la siguiente manera:

Para escribir el denominador 2 debajo de π2, es necesario seleccionar la
expresión π2 completa. Esto se consigue al presionar la tecla direccional
horizontal ™, una sola vez. Después, escríbase: /2
La expresión resultante es:

Página 2-14

Supóngase que se quiere sumar la cantidad 1/3 a esta expresión para
obtener:

5
5 + 2 ⋅ (5 +

π

2

2

+
)

1
3

Para empezar, es necesario seleccionar todo el primer término utilizando, ya
sea, la tecla direccional horizontal (™) o la tecla direccional vertical (—),
repetidamente, hasta que la expresión completa haya sido seleccionada, es
decir, siete veces:

Nota:

Como forma alternativa, comenzando en la posición original del

cursor (a la derecha del 2 en el denominador de π2/2), se puede utilizar la
combinación de teclas ‚—, que se interpreta como (‚ ‘ ).
Una vez seleccionada la expresión como se mostró anteriormente, escríbase
+1/3 para agregar la fracción 1/3 a la expresión. El resultado es:

Página 2-15

Mostrar la expresión en tamaño pequeño
Para mostrar la expresión en caracteres pequeños (el cuál podría ser útil si la
expresión es larga y complicada), presione simplemente la tecla @BIG . Para
este caso, la pantalla lucirá como sigue:

Para recuperar los caracteres grandes en la pantalla, presione @BIG una vez
más.
Evaluación de la expresión
Para evaluar la expresión (o las partes de la expresión) dentro del escritor de
ecuaciones, destaque la pieza que usted desea evaluar y presione la tecla
@EVAL .
Por ejemplo, para evaluar la expresión entera en este ejercicio, primero,
destaca la expresión entera, presionando ‚ ‘. Entonces, presione @EVAL .
Si su calculadora se fija en modo Exact del CAS (es decir la opción _Approx
del CAS no ha sido seleccionada), entonces usted conseguirá el resultado
simbólico siguiente:

Si Ud. quiere recobrar la expresión sin evaluar utilice la función UNDO, i.e.,
…¯(la primera tecla en la tercera fila contada de la parte superior del
teclado). La expresión recuperada se demuestra destacada como antes:

Página 2-16

Si Ud. desea un resultado numérico, use la función ‡NUM (es decir, …ï).
El resultado es el siguiente:

Utilice la función UNDO ( …¯) una vez más para recobrar la expresión
original:

Evaluación de una sub-expresión
Suponga que usted desea evaluar solamente la expresión en paréntesis en el
denominador de la primera fracción en la expresión mostrada arriba. Usted
tiene que utilizar las teclas direccionales para seleccionar esa sub-expresión
particular. He aquí una manera de hacerlo:
˜ Destacar solamente la primera fracción
˜ Destacar el numerador de la primera fracción
˜ Destacar primer término en denominador de la primera fracción
™ Destacar denominador de la primera fracción
™ Destacar segundo término en denominador de la primera fracción
˜Destacar primer factor en segundo término en denominador de primera
fracción
™Destacar expresión en paréntesis en denominador de la primera fracción

Página 2-17

Puesto que ésta es la sub-expresión que deseamos evaluar, podemos ahora
presionar @EVAL , dando por resultado:

Una evaluación simbólica una vez más. Suponer que, a este punto, deseamos
evaluar la fracción lateral izquierda solamente Presione la tecla direccional
vertical superior (—) tres veces, para seleccionar esa fracción, dando por
resultado:

Entonces, presionar @EVAL para obtener:

Intentemos una evaluación numérica de este término a este punto. Utilizar
…ï para obtener:

Página 2-18

Destaquemos la fracción a la derecha, y obtengamos una evaluación numérica
de ese término también, y mostremos la suma de estos dos valores decimales
en formato pequeño usando: ™ …ï C, conseguimos:

Para destacar y evaluar la expresión en el escritor de ecuaciones utilizamos:
— D, dando por resultado:

Edición de expresiones aritméticas
Demostraremos algunas de las funciones de edición en el escritor de
ecuaciones como ejercicio. Comenzamos escribiendo la expresión siguiente
usada en los ejercicios anteriores:

Y utilizará las funciones de edición del escritor de ecuaciones para
transformarlo en la expresión siguiente:

Página 2-19

En los ejercicios anteriores utilizamos la tecla de flecha vertical hacia abajo
para destacar las sub-expresiones para la evaluación. En este caso, las
utilizaremos para accionar un cursor de edición. Después de que usted haya
acabado de escribir la expresión original, el cursor de escritura (una flecha
apuntando a la izquierda) será situado a la derecha del 3 en el denominador
de la segunda fracción según muestra aquí:

Presione la tecla (˜) para activar el cursor editor. La pantalla ahora luce así:

Usando (š) usted puede mover el cursor en la dirección izquierda general,
pero parando en cada componente individual de la expresión. Por ejemplo,
suponga que primero queremos transformamos la expresión π 2/2 a la
expresión LN(π5/3) . Con el cursor transparente activo, como se mostró
anteriormente, Presione la tecla (š) dos veces para destacar el 2 en el
denominador de π 2/2. Después, presione (ƒ) para cambiar el cursor al
cursor de inserción. Presione ƒ una vez más para eliminar el 2, y entonces
3 para escribir un 3. A este punto, la pantalla luce como sigue:

Página 2-20

Después, presione la tecla (˜)para activar el cursor transparente de edición
destacando 3 en el denominador de π 2/3. Presione la tecla (š) para
destacar el exponente 2 en la expresión π 2/3. Después, Presione (ƒ)
para cambiar el cursor en el cursor de la inserción. Presione ƒ una vez más
para suprimir el 2, y un 5 para escribir 5. Presione la tecla (—) tres veces
para destacar la expresión π 5/3. Entonces, escriba ‚¹ para aplicar LN
a esta expresión. La pantalla ahora luce así:

Después, cambiaremos el 5 dentro de paréntesis a un ½ usando:
šƒƒ1/2
Después, destacamos la expresión entera en paréntesis y aplicamos el símbolo
de la raíz cuadrada usando:
————R
Después, convertiremos el2 delante del paréntesis en el denominador en un 2/
3 usando:
šƒƒ2/3
A este punto la expresión luce como sigue:

El paso final es quitar el 1/3 en el lado derecho de la expresión. Esto se logra
usando: —————™ƒƒƒƒƒ
La versión final será:

Página 2-21

En resumen, para editar una expresión en el escritor de ecuaciones usted debe
utilizar las teclas (š™—˜) para destacar la expresión a la cual las
funciones serán aplicadas (Vg., los casos LN y raíz cuadrada en la expresión
anterior). Use la tecla (˜)en cualquier localización, repetidamente, para
activar el cursor transparente de edición. En este modo, utilizar las teclas
(š™) para moverse de término a término en una expresión. Cuando usted
alcanza un punto que usted necesite corregir, use (ƒ) para activar el cursor
de inserción y proceder con la edición de la expresión.

Creación de expresiones algebraicas
Una expresión algebraica es muy similar a una expresión aritmética, excepto
que en la última se pueden incluir letras castellanas y griegas.
El
procedimiento de creación de una expresión algebraica sigue la misma idea
que el crear una expresión aritmética, excepto que se tiene que utilizar el
teclado alfanumérico.
Para ilustrar el uso del escritor de ecuaciones para escribir una expresión
algebraica se utilizará el siguiente ejemplo. Supóngase que se quiere escribir
la expresión:

2
3

⎛ x + 2μ ⋅ Δy ⎞
⎟
1/ 3
⎝ θ
⎠

λ + e − μ ⋅ LN ⎜

Utilícense las siguientes teclas:
2 / R3 ™™ * ~‚n + „¸\ ~‚m
™™ * ‚¹ ~„x + 2 * ~‚m * ~‚c
~„y ——— / ~‚t Q1/3
El resultado es el siguiente:

Página 2-22

En este ejemplo se utilizan varias letras minúsculas del Castellano, por ejemplo,
x (~„x), varias letras griegas, por ejemplo, λ (~‚n), e inclusive
una combinación de letras castellanas y griegas, Δy (~‚c~„y).
Obsérvese que para escribir una letra castellana en minúscula es necesario
utilizar la combinación de teclas ~„ seguida de la tecla de la letra a
escribirse. Así mismo, se pueden copiar caracteres especiales utilizando el
menú CHARS (…±) si no se desea memorizar la combinación de teclas
que produce el carácter deseado. Una colección de combinaciones con
~‚ que se utilizan comúnmente se presentó en una sección anterior.
El árbol o diagrama de una expresión
El árbol o diagrama de una expresión es un diagrama que muestra cómo el
Escritor de Ecuaciones interpreta una expresión. Ver el apéndice E para un
ejemplo detallado.
La función CURS
La función CURS (@CURS) en el menú del Escritor de Ecuaciones (la tecla B)
convierte pantalla en una pantalla gráfica y produce un cursor gráfico que se
pueda controlar con las teclas direccionales (š™—˜) para seleccionar
sub-expresiones.
La sub-expresión seleccionada con @CURS se mostrará
enmarcada en la pantalla gráfica. Después de seleccionar una sub-expresión
presione ` para mostrar la sub-expresión seleccionada destacada en el
escritor de ecuaciones.
Las figuras siguientes muestran diversas subexpresiones seleccionadas con @CURS y la pantalla correspondiente del escritor
de la ecuación después de presionar `.

Página 2-23

Edición de expresiones algebraicas
La edición de ecuaciones algebraicas sigue las mismas reglas que la de
ecuaciones aritméticas. A saber:
• Use las teclas (š™—˜) para seleccionar expresiones
• Use la tecla (˜), repetidamente, para activar e cursor transparente
de edición . En este modo, use las teclas (š™) para moverse de
término a término en una expresión.
• En un punto de edición, use (ƒ) para activar el cursor de la
inserción y procede con la edición de la expresión.
Para ver el cursor transparente de edición en la acción, comencemos con la
expresión algebraica la cual escribimos en el ejercicio anterior:

Presione la tecla, ˜, en su localización actual para activar el cursor
transparente de edición. El 3 en el exponente de θ será destacado. Use la

Página 2-24

tecla š, para moverse de elemento a elemento en la expresión. La orden de
la selección del cursor transparente de edición en este ejemplo es la que sigue
(Presione la tecla š, repetidamente):
1. El 1 en el exponente 1/3
2. θ
3. Δy
4. μ
5. 2
6. x
7. μ en la función exponencial
8. λ
9. 3 en el término √3
10. el 2 en la fracción 2/√3
En cualquier punto podemos cambiar el cursor transparente de edición al
cursor de inserción al presionar (ƒ). Utilicemos estos dos cursores (el
cursor transparente de edición y el cursor de inserción) para cambiar la
expresión actual a la siguiente:

Si usted siguió el ejercicio inmediatamente arriba, usted debe tener el cursor
transparente de edición en el número 2 en el primer factor de la expresión.
Siga estas instrucciones para editar la expresión:
™ ~‚2
˜˜™™
/3*~‚f
™™™™

Escriba el factorial para el 3 en la raíz cuadrada
(esto cambia el cursor al cursor de selección)
Seleccione la μ en la función exponencial
Modifique el argumento de la función
exponencial
Selecciona Δy

Página 2-25

R

Ponga un símbolo de raíz cuadrada sobre Δy
(esta operación también cambia el cursor al
cursor de selección)

˜˜™—— S
Seleccione θ1/3 y escriba la función SIN
La pantalla resultante es la siguiente:

Evaluación de una sub-expresión
Puesto que tenemos ya la sub- expresión

( )

SIN θ 1 / 3 destacada, presionemos

la tecla @EVAL para evaluar esta sub-expresión. El resultado es:

Algunas expresiones algebraicas no se pueden simplificar más. Intente lo
siguiente: —D. Usted notará que sucede nada, con excepción de
destacar de la discusión entera de la función de LN. Esto es porque esta
expresión no puede ser evaluada (o simplificada) más que esto según las
reglas del CAS. Usando: —D no produce otra vez ninguna cambio en la
expresión. Otra secuencia de entradas —D, sin embargo, modifica la
expresión como sigue:

Página 2-26

Una aplicación más de —D produce más cambios:

Esta expresión no cabe adentro de la pantalla del escritor de ecuaciones.
Podemos ver la expresión entera usando caracteres pequeños. Presione la
tecla @BIG para obtener:

Incluso con los caracteres grandes (inglés, large font), es posible navegar la
expresión entera usando el cursor transparente de edición. Use lo siguiente:
C˜˜˜˜, para fijar el cursor transparente de edición encima del
factor 3 en el primer término del numerador. Entonces, presione la tecla ™,
para navegar a través de la expresión.
Simplificación de una expresión
Presione la tecla @BIG para conseguir que la pantalla luzca como en la figura
anterior. Después, presione la tecla @SIMP, para ver si es posible simplificar esta
expresión como se demuestra en el escritor de ecuaciones. El resultado es la
pantalla siguiente:

Esta pantalla demuestra la discusión de la función SIN, a saber,
transformado en e

LN (θ )
3

3

θ

,

. Esto no puede parecerse como una simplificación,

Página 2-27

pero lo es en el sentido que la función de la raíz cúbica ha sido substituida por
las funciones inversas exp-LN.
Factorizando una expresión
En este ejercicio intentaremos descomponer en factores una expresión
polinómica. Para continuar el ejercicio anterior, presione `. Entonces, active
el escritor de ecuaciones otra vez al presionar ‚O. Escriba la ecuación:
XQ2™+2*X*~y+~y Q2™~‚aQ2™™+~‚bQ2
que resulta en:

Seleccionemos los primeros 3 términos en la expresión y procuremos
descomponer en factores la sub-expresión: ‚—˜‚™‚™. Esto
produce:

Ahora presiones la tecla @FACTO , para obtener:

Presione ‚¯ para recuperar la expresión original. Después, use las
teclas:
˜˜˜™™™™™™™———‚™
para
seleccionar los dos últimos términos en la expresión, es decir,

Presione la tecla @FACTO , para obtener:

Página 2-28

Presione ‚¯ para recuperar la expresión original. Ahora, seleccionemos
la expresión entera presionando la tecla (—). Y presione la tecla @FACTO ,
para obtener:

Presione ‚¯ para recuperar la expresión original.
Nota: Al presionar las teclas @EVAL o @SIMP, mientras que se selecciona la
expresión original entera, produce la simplificación siguiente de la
expresión:

Usando la tecla CMDS
Con la expresión polinómica original usada en el ejercicio anterior todavía
seleccionada, presione la tecla L para mostrar las teclas de menú @CMDS y
@HELP. Estos dos comandos pertenecen a la segunda parte del menú disponible
con el escritor de ecuaciones. Intentemos este ejemplo como aplicación de la
tecla @CMDS: Presione la tecla @CMDS para conseguir la lista de los comandos
(funciones) del CAS:

Página 2-29

Después, seleccionar el comando DERVX (la derivada con respecto a la
variable X, la variable independiente actual del CAS) usando:
~d˜˜˜ . La función DERVX ahora se selecciona:

Presione la tecla @@OK@@, para obtener:

Después, presione la tecla L para recuperar el menú original del escritor de
ecuaciones, y presione la tecla @EVAL@ para evaluar esta derivada. El resultado
es:

Usar el menú HELP
Presione la tecla L para mostrar las teclas de menú @CMDS y @HELP. Presione
la tecla @HELP para conseguir la lista de las funciones del CAS. Entonces,
presione ~ d ˜ ˜ ˜ para seleccionar la función DERVX. Presione
la tecla @@OK@@, para conseguir información sobre la función DERVX:

La explicación detallada en el uso de la función informativa para el CAS se
presenta en el capítulo 1 y apéndice C. Para volver al escritor de ecuaciones,

Página 2-30

presione la tecla @EXIT.
ecuaciones.

Presione ` para abandonar el escritor de

Funciones de edición BEGIN, END, COPY, CUT y PASTE
Para facilitar la edición, ya sea con el escritor de ecuaciones o en la pantalla,
la calculadora proporciona cinco funciones de edición, BEGIN, END, COPY,
CUT y PASTE, activadas combinando la tecla (‚) con las teclas (2,1), (2,2),
(3,1), (3,2), y (3,3), respectivamente. Estas teclas están situadas en la parte
extrema izquierda de las filas 2 y 3. La acción de estas funciones de edición es
la siguiente:
BEGIN:
END:
COPY:
CUT:
PASTE:

marca el principio de una cadena de caracteres para editar
marca el final de una cadena de caracteres para corregir
copia la cadena de caracteres seleccionados con BEGIN y END
remueve la cadena de caracteres seleccionados con BEGIN y END
inserta una secuencia de caracteres, copiada o removida previamente,
en la posición actual del cursor
Para ver un ejemplo, activemos el escritor de ecuaciones y escribamos la
siguiente expresión (utilizada en un ejercicio anterior):
2 / R3 ™™ * ~‚m + „¸\ ~‚m ™™
* ‚¹ ~„x + 2 * ~‚m * ~‚c ~„y
——— / ~‚t Q1/3
La expresión original es la siguiente:

Deseamos quitar el sub-expresión x+2Þλ⋅Δy del argumento de la función LN, y
moverla a la derecha de λ en el primer término. He aquí una posibilidad:
˜ššš———‚ªšš—*‚¬
La expresión modificada luce como sigue:

Página 2-31

Después, copiaremos la fracción 2/÷3 del factor extremo izquierdo en la
expresión, y la pondremos en el numerador del argumento de la función LN.
Intente lo siguiente:
˜˜šš———‚¨˜˜
‚™ššš‚¬
La pantalla resultante es la siguiente:

Las funciones BEGIN y END no ser necesario al operar dentro del escritor de
ecuaciones, puesto que podemos seleccionar cadenas de caracteres usando
las teclas direccionales. Las funciones BEGIN y END son más útiles al corregir
una expresión con el editor de línea. Por ejemplo, seleccionemos la expresión
x+2Þλ⋅Δy de esta expresión, pero usando el editor de línea dentro del escritor
de ecuaciones, como sigue: ‚—A
La pantalla del editor de línea lucirá así (comillas se muestran solamente si la
calculadora está en modo RPN):

Para seleccionar la sub-expresión de interés, use:
™™™™™™™™‚¢
™™™™™™™™™™‚¤

Página 2-32

La pantalla muestra la sub-expresión requerida :

Podemos ahora copiar esta expresión y ponerla en el denominador del
argumento de LN, como sigue:
‚¨™™… (27 times) … ™
ƒƒ… (9 times) … ƒ ‚¬
El editor de línea ahora luce así:

Al presionar ` se muestra la expresión en el escritor de ecuaciones (en
formato de caracteres pequeños, presione la tecla @BIG ):

Presione ` para abandonar el escritor de ecuaciones.

Creando y editando sumatorias, derivadas, e integrales
Las sumatorias, derivadas, e integrales se utilizan comúnmente en el cálculo, en
la probabilidad y en la estadística. En esta sección demostramos algunos
ejemplos de tales operaciones creadas con el escritor de ecuaciones. Utilizar
el modo de ALG.

Sumatorias
Utilizaremos el escritor de ecuaciones para escribir la sumatoria siguiente:
∞

1

∑k
k =1

2

Presione ‚O para activar el escritor de ecuaciones. Entonces, presione
‚½ para incorporar el signo de sumatoria. Nótese que el signo, cuando

Página 2-33

se escribe en el escritor de ecuaciones, proporciona localidades de entrada
para el índice de la sumatoria así como para la cantidad que es sumada. Para
llenar estas localidades de entrada, utilice lo siguiente:
~„k™1™„è™1/~„kQ2
La pantalla que resulta es:

Para ver la expresión correspondiente en el editor de línea, presione ‚— y
la tecla A para mostrar:

Esta expresión demuestra la forma general de a sumatoria escrita directamente
en la pantalla o en el editor de línea:
Σ( índice = valor_inicial, valor_final, sumando)
Presione ` para volver al escritor de ecuaciones. La pantalla que resulta
muestra el valor del sumatoria,

Para recobrar la sumatoria sin evaluar, use ‚¯. Para evaluar la
sumatoria otra vez, usted puede utilizar D. Esto demuestra otra vez que

1 π2
=
∑
2
6 .
k =1 k
∞

Usted puede utilizar el escritor de ecuaciones para probar que
∞

1

∑ k = +∞
k =1

.
Esta sumatoria (representando una serie infinita) se dice que diverge.
Doble sumatorias son también posible, por ejemplo:

Página 2-34

Derivadas
Utilizaremos el escritor de ecuaciones para escribir la siguiente derivada:

d
(α ⋅ t 2 + β ⋅ t + δ )
dt
Presione ‚O para activar el escritor de ecuaciones. Entonces presione
‚¿ para escribir el símbolo de la derivada (parcial). Notar que la
muestra, cuando se escribe en el escritor de ecuaciones, proporciona las
localizaciones de la entrada para la expresión que es distinguida y la variable
de la diferenciación. Para llenar estas localizaciones de la entrada, utilizar lo
siguiente:
~„t™~‚a*~„tQ2
™™+~‚b*~„t+~‚d
La pantalla resultante es la siguiente:

Para ver la expresión correspondiente en el editor de línea, presione ‚— y
la tecla A, para mostrar:

Esto indica que la expresión general para un derivada en el editor de línea o
∂variable(función de variables)
en la pantalla es:
Presione ` para volver al escritor de ecuaciones. La pantalla que resulta no
es la derivada escrita, sin embargo, sino su valor simbólico, a saber,

Página 2-35

Para recobrar la expresión de la derivada, use ‚¯. Para evaluar la
derivada otra vez, usted puede utilizar la tecla D. Esto demuestra otra vez
que

d
(α ⋅ t 2 − β ⋅ t + δ ) = 2α ⋅ t + β
dt
.
Es posible escribir derivadas de segundo orden, por ejemplo:

la cuál se evalúa como:

Nota:

La notación

∂
(
∂x

)

es apropiado de derivadas parciales.

La

notación apropiada para las derivadas totales (i.e., derivadas de una
variable) es

d
( ) . La calculadora, sin embargo, no distingue entre las
dx

derivadas parciales y totales.
Integrales definidas
Utilizaremos el escritor de ecuaciones para incorporar la integral definida
siguiente:

τ

∫ t ⋅ sin(t ) ⋅ dt .
0

ecuaciones.

Presione ‚O para activar el escritor de

Entonces presione ‚ Á para escribir el símbolo de la

Página 2-36

integral. Notar que este símbolo, cuando se escribe en el escritor de
ecuaciones, proporciona las localidades de entrada para los límites de la
integración, el integrando, y la variable de la integración. Para llenar estas
localidades de entrada, utilice lo siguiente:
0™~‚u™~ „t*S~„t™~„t.
La pantalla resultante es la siguiente:

Para ver la expresión correspondiente en el editor de línea, presione —— y
la tecla A, para mostrar:

Esto indica que la expresión general para una integral en el editor de línea o
en la pantalla es:
∫(límite_inferior, límite_superior,integrando,variable_de_integración)
Presione ` para regresar al escritor de ecuaciones. La pantalla que resulta
no es el integral definida que escribimos, sin embargo, si no su valor simbólico,
a saber,

Para recuperar la expresión de la integral use ‚¯. Para evaluar la
integral otra vez, usted puede utilizar D. Esto demuestra otra vez que
τ

∫ t ⋅ sin(t ) ⋅ dt = sin(τ ) − τ ⋅ cos(τ )
0

Los integrales dobles son también posibles. Por ejemplo,

Página 2-37

la cuál se evalúa a 36. La evaluación parcial es posible, por ejemplo:

Este integral evalúa a 36.

Organización de los datos en la calculadora
Es posible organizar los datos en la calculadora al almacenar variables en una
colección de directorios. Para entender la memoria de la calculadora, primero
echamos una ojeada el directorio del archivo. Presione las teclas „¡
(primera tecla en la segunda fila de teclas de abajo a arriba) para conseguir la
pantalla del Control de Archivos (Control de Archivos):

Esta pantalla muestra un bosquejo de la memoria de la calculadora y del árbol
del directorio. La pantalla demuestra que la calculadora tiene tres puertos de
memoria (o particiones de memoria), port 0:IRAM, port 1:ERAM, y port
2:FLASH . Los puertos de la memoria se utilizan para almacenar las
aplicaciones o bibliotecas desarrolladas por terceras partes, así como para
objetos de reserva (backup). El tamaño de los tres diversos puertos también
se indica. Las cuartas y subsecuentes líneas en esta pantalla demuestran el
árbol del directorio de la calculadora. El directorio superior (destacado
actualmente) es el directorio Home, y tiene predefinido en él un sub-directorio

Página 2-38

llamado CASDIR. La pantalla del Control de Archivos tiene tres funciones
asociadas a las teclas del menú':
@CHDIR:
Cambiar al directorio seleccionado
@CANCL:
Acción de cancelación
@@OK@@:
Aprobar una selección
Por ejemplo, cambie el directorio a CASDIR, presione la tecla ˜, y presione
@CHDIR. Esta acción cierra la pantalla del Control de Archivos y nos vuelve a la
pantalla normal de la calculadora. Usted notará que la segunda línea superior
en la pantalla ahora comienza con los caracteres
{ HOME CASDIR } indicando que el directorio actual es CASDIR dentro del
directorio HOME.

Funciones para la manipulación de variables

Esta pantalla incluye 20 funciones asociadas a las llaves suaves del menú que
se pueden utilizar para crear, para corregir, y para manipular variables. Las
primeras seis funciones son las siguientes:
@EDIT
Para corregir una variable destacada
@COPY
Para copiar una variable destacada
@MOVE
Para mover una variable destacada
@@RCL@
Para recordar el contenido de una variable destacada
@EVAL
Para evaluar una variable destacada
@TREE
Para ver el árbol del directorio donde se contiene la variable
Si Ud. presiona la tecla L, el siguiente conjunto de funciones es:
@PURGE
Para borrar, o cancelar, una variable
@RENAM
Para retitular una variable
@NEW
Para crear una nueva variable
@ORDER
Para ordenar un conjunto de variables en el directorio
@SEND
Para enviar una variable a otra calculadora o computadora
@RECV
Para recibir una variable de otra calculadora o computadora
Si Ud. presione la tecla L, el tercer es:
@HALT
Para volver a la pantalla temporalmente
@VIEW
Para ver contenido de una variable
@EDITB
Para editar contenido de variable binaria (similar a @EDIT)

Página 2-39

@HEADE

Para mostrar el directorio que contiene una variable en el
encabezado
@LIST
Proporciona una lista de nombres y descripción de variables
@SORT
Para clasificar variables según ciertos criterios
Si Ud. presiona la tecla L, el último conjunto de funciones es:
@XSEND
Para enviar variable con protocolo XMODEM
@CHDIR
Para cambiar el directorio
Para moverse entre las diversas funciones suaves del menú, usted puede utilizar
no solamente la tecla L, sino también la tecla PREV („«).
Se invita al usuario que intente estas funciones en el suyo o sus el propio. Sus
usos son directos.

El directorio HOME

Para acceder al directorio HOME, presiónese la función UPDIR („§) -repítase cuantas veces sea necesario -- hasta que la especificación {HOME} se
muestra en la segunda línea del encabezado de la pantalla. Como una
alternativa, utilícese „ (manténgase presionada la tecla) §. En este
ejemplo, el directorio HOME contiene solamente el sub-directorio CASDIR.
Presiónese la tecla J para mostrar las variables en las teclas de menú:

Sub-directorios

Para almacenar datos en una colección de directorios bien organizada, el
usuario podría crear una serie de sub-directorios dentro del directorio HOME, y
aún más sub-directorios dentro de estos sub-directorios, hasta formar una
jerarquía de directorios similar a los directorios en un ordenador (computador,
o computadora). Los sub-directorios pueden identificarse con nombres que
reflejen el contenido de los mismos, o con cualquier nombre que el usuario
quiera darles.

Página 2-40

El sub-directorio CASDIR
El sub-directorio CASDIR contiene un número de variables necesarias para la
operación apropiada del CAS (Computer Algebraic System, ver el apéndice
C). Para ver el contenido del directorio, podemos utilizar las teclas: „¡
lo cuál abre el Control de Archivos una vez más:

Esta vez el CASDIR se destaca en la pantalla. Para ver el contenido del
directorio presione @@OK@@ o `, para obtener la pantalla siguiente:

La pantalla muestra una tabla que describe las variables contenidas en el
directorio de CASDIR. Éstas son las variables predefinidas en la memoria de la
calculadora que establecen ciertos parámetros para la operación del CAS
(véase el apéndice C). La tabla anterior contiene 4 columnas:
• La primera columna indica el nombre de la variable (por ejemplo, ‘EQ’
significa una variable conteniendo una ecuación, |R indica una variable
del real, { } significa una lista, nam significa ' un nombre global ', y el
símbolo
representa una variable del gráficos.
•
•

La segunda columna representa el nombre de las variables, es decir,
PRIMIT, CASINFO, MODULO, REALASSUME, PERIOD, VX, y EPS.
La columna número 3 muestra otra especificación para la variable escrita,
por ejemplo, ALG significa una expresión algebraica, GROB significa un
objeto gráfico, INTG significa una variable numérica entera, LIST significa

Página 2-41

•

una lista de datos, GNAME significa un nombre global, y REAL significa
una variable numérica real (o de punto flotante).
La cuarta y última columna representa el tamaño, en bytes, de la variable.
Así, por ejemplo, variable PERIOD ocupa 12.5 bytes, mientras que la
variable REALASSUME ocupa 27.5 bytes (1 byte = 8 bits, 1 bit es la
unidad de la memoria más pequeña en computadoras y calculadoras).

Variables de CASDIR en la pantalla
Presionando la tecla $ cierra la pantalla anterior y nos vuelve a la pantalla
normal de la calculadora. Por defecto, conseguimos el menú TOOL:

Podemos ver las variables contenidas en el directorio actual, CASDIR, al
presionar la tecla J (primera tecla en la segunda fila del teclado). Esto
produce la pantalla siguiente:

Presione la tecla L para mostrar otras variables almacenadas en este
directorio:

•
•

•

Para ver el contenido de la variable EPS, por ejemplo, use ‚@EPS@. Esto
demuestra que el valor de EPS es .0000000001
Para ver el valor de una variable numérica, necesitamos presionar
solamente la tecla del menú para la variable. Por ejemplo, presione @EPS@
seguido de `, muestra el mismo valor de la variable en la pantalla, si la
calculadora se fija a algebraico. Si la calculadora se fija al modo RPN,
usted necesita solamente presionar la tecla `.
Para ver el nombre completo de una variable, presione primero la tecla de
tick ³, y después la tecla correspondiente del menú para la variable.
Por ejemplo, para la variable listada en la pantalla como PERIO, usamos:
³@PERIO@, lo cual produce como salida el texto: 'PERIOD'. Este
procedimiento se aplica a los modos algebraicos y RPN de la calculadora.

Página 2-42

Variables en CASDIR
Las variables pre-definidas contenidas en el directorio de CASDIR son las
siguientes:
PRIMIT
Primitiva (anti-derivada) calculada más recientemente, no
una variable predefinida, sino una creada por un ejercicio
anterior.
CASINFO
un gráfico que proporciona la información del CAS
MODULO
Modulo para la aritmética modular (predefinido = 13)
REALASSUME Lista de los nombres de variables asumidos como reales
PERIOD
Período para funciones trigonométricas (predefinido= 2π)
VX
Nombre de la variable independiente (predefinido = X)
EPS

Valor de incremento pequeño, epsilon (predefinido=10 10

)
Estas variables se utilizan para la operación del CAS.

Escritura de nombres de directorios y variables

Para nombrar subdirectorios, y a veces, variables, usted tendrá que escribir
cadenas continuas de caracteres, que pueden o no combinarse con números.
En vez de presionar ~, ~„, o ~‚ para escribir cada letra, uno
puede mantener presionada la tecla ~ y escribir las letras requeridas. Es
posible también asegurar el teclado de la calculadora en el modo alfabético
de la siguiente manera:
~~ asegura el teclado alfabético en mayúsculas. Cuando se asegura el
teclado alfabético de esta manera, es necesario presionar la tecla „ antes
de escribir la letra correspondiente en minúscula, mientras que al presionarse
la tecla ‚ antes de presionar una letra produce un carácter especial. Si el
teclado alfabético está ya asegurado en mayúsculas, para asegurarlo en
minúsculas utilícese „~
~~„~ asegura el teclado alfabético en minúsculas. Cuando se
asegura el teclado alfabético de esta manera, es necesario presionar la tecla
„ antes de escribir la letra correspondiente en mayúscula. Para remover el
teclado asegurado en minúsculas, presiónese „~
Para remover el teclado asegurado en mayúsculas, presiónese ~
Ejecútense los siguientes ejercicios:

Página 2-43

~~math`
~~m„a„t„h`
~~m„~at„h`

La calculadora muestra los siguientes resultados (a la izquierda en modo
Algebraico, a la derecha en modo RPN):

Nota: si se fija la bandera 60 del sistema, usted puede asegurar el
teclado alfabético al presionar ~.
Véase el Capítulo 1 para mayor
información sobre banderas o señales del sistema.

Crear sub-directorios

Los sub-directorios pueden ser creados usando el ambiente FILES o usando la
función CRDIR. Los dos procedimientos para crear sub-directorios se presentan
a continuación.
Usando el menú FILES
Sin importar el modo de operación de la calculadora (algebraico o RPN),
podemos crear un árbol de directorio, basado en HOME, usando las funciones
activadas en el menú FILES. Presione „¡ para activar el menú FILE. Si el
directorio HOME no se destaca ya en la pantalla, es decir,

Página 2-44

use las teclas —˜) para destacarlo. Entonces, presione la tecla @@OK@@. La
pantalla puede parecer esto:

mostrando que solamente un objeto existe actualmente en el directorio HOME,
a saber, el sub-directorio de CASDIR. Creemos otro sub-directorio llamado
MANS (MANualeS) donde almacenaremos las variables desarrolladas como
ejercicios en este manual. Para crear este sub-directorio primero use: L @@NEW@@
. Esto producirá la siguiente forma interactiva:

La localidad Object, la primera en la forma interactiva, se selecciona por
defecto. Este campo de entrada puede incluir el contenido de una nueva
variable que se está creando. Puesto que no tenemos ningún contenido para el
nuevo sub-directorio a este punto, omitimos simplemente este campo de la
entrada al presionar la tecla ˜. La localidad Name se selecciona ahora:

Aquí es donde incorporamos el nombre del nuevo sub-directorio (o variable, de
acuerdo con las circunstancias), como sigue: ~~mans`

Página 2-45

El cursor se mueve a la posición _Directory. Presione la tecla @@CHK@ para
especificar que usted está creando un directorio, y presione @@OK@@ para
abandonar la forma interactiva. El listado de variables para el directorio
HOME será mostrado en la pantalla como sigue:

La pantalla indica que hay un nuevo directorio (MANS) dentro del directorio
HOME.
Después, crearemos un sub-directorio llamado INTRO (INTROducción), dentro
de MANS, para contener variables creadas como ejercicio en secciones
subsecuentes de este capítulo. Presione la tecla $ para volver a la pantalla
normal de la calculadora (el menú TOOLS se mostrará). Entonces, presione
J para mostrar el contenido del directorio HOME en las teclas de menú. La
pantalla puede lucir como la siguiente (si usted ha creado otras variables en el
directorio HOME, éstas se mostrarán en las etiquetas de las teclas del menú
también):

Para moverse dentro del directorio MANS, presione la tecla correspondiente
(A en este caso), y ` si en modo algebraico. El árbol del directorio será
demostrado en la segunda línea de la pantalla como {HOME MANS}. Sin
embargo, no habrá etiquetas asociadas a las teclas, según lo demostrado
abajo, porque no hay variables definidas dentro de este directorio.
Creemos el sub-directorio INTRO usando:
„¡@@OK@@ L @@NEW@@ ˜ ~~intro` @@CHK@ @@OK@@
Presione la tecla $, seguida por J, para ver el contenido del directorio
MANS como sigue:

Página 2-46

Presione la tecla )!INTRO para moverse dentro del sub-directorio INTRO. Esto
mostrará un sub-directorio vacío. Más adelante, haremos algunos ejercicios en
crear variables.
Usando la función CRDIR
La función CRDIR puede ser utilizado crear directorios. Esta función está
disponible con la tecla del catálogo de la función (la tecla ‚N, segunda
tecla en la cuarta fila del teclado), a través de los menús de programación (
„°, la misma tecla que ‚N), o simplemente escribiendo el nombre
de la función.
• Con la llave del catálogo
Presione ‚N~c. Use las teclas —˜ para localizar la función
de CRDIR. Presione la tecla @@OK@@ para activar la función.
• A través de los menús de programación
Presione „°. Esto producirá el menú siguiente para programar:

Use la tecla (˜) para seleccionar la opción 2. MEMORY… o
simplemente presione 2. Entonces, presione @@OK@@. Esto producirá el
menú siguiente:

Use la tecla (˜) para seleccionar la opción 5. DIRECTORY, o
simplemente presione 5. Entonces, presione @@OK@@. Esto producirá el
menú siguiente:

Página 2-47

Use la tecla (˜)para seleccionar la opción 5. CRDIR, y presione @@OK@@.
Función CRDIR en modo algebraico
Una vez que usted haya seleccionado CRDIR con uno de los medios
demostrados arriba, la función estará disponible en su pantalla como sigue:

A este punto, usted necesita escribir un nombre de directorio, digamos, chap1
:
~~„~chap1~`
El nombre del nuevo directorio será demostrado en las teclas, por ejemplo,

Función CRDIR en modo RPN
Para usar la función CRDIR en modo RPN usted necesita tener el nombre del
directorio ya disponible en la pantalla antes de tener acceso a la función. Por
ejemplo: ~~„~chap2~`
Entonces active la función CRDIR por cualquiera de los medios demostrados
arriba, por ejemplo, con la tecla ‚N:

Presione la tecla @@OK@ para activar la función, para crear el sub-directorio:

Página 2-48

Mudanza entre sub-directorios

Bajar el árbol del directorio, usted necesita presionar la tecla correspondiente
al sub-directorio al cual usted desea moverse. La lista de variables en un subdirectorio se puede producir al presionar la tecla J (VARiables). Para
moverse hacia arriba en el árbol del directorio, utilice la función UPDIR, esto es,
escriba „§.
Alternativamente, usted puede utilizar el menú FILES, i.e., presione „¡.
Use las teclas
(—˜)para seleccionar el sub-directorio a donde usted
desea moverse, y entonces presione la tecla !CHDIR (CHange DIRectory) o A.
Esto mostrará el contenido del sub-directorio a donde usted se trasladó en las
etiquetas de las teclas de menú.

Suprimir sub-directorios

Para suprimir un sub-directorio, utilice uno de los procedimientos siguientes:
Usando el menú FILES
Presione la tecla „¡ para activar el menú FILES. Seleccionar contener
del directorio sub-directorio usted desea suprimir, y presione la tecla !CHDIR si es
necesario. Esto cerrará el menú FILES y mostrará el contenido del directorio
que usted seleccionó. En este caso usted necesitará presionar `. Presione
la tecla @@OK@@ para enumerar el contenido del directorio en la pantalla.
Seleccione el sub-directorio (o variable) que usted desea suprimir. Presione
L@PURGE. Una pantalla similar al siguiente será mostrada:

El texto ‘S2’ en esta forma es el nombre del sub-directorio que se está
suprimiendo . Las teclas proporcionar las opciones siguientes:
@YES@
Proceder con suprimir sub-directorio (o variable)

Página 2-49

@ALL@
Proceder con suprimir todos los sub-directorios (o variables)
!ABORT No suprimir sub-directorio (o variable) de una lista
@@NO@@
No suprimir sub-directorio (o variable)
Después de seleccionar una de estas cuatro funciones, volverá a la pantalla
que enumera el contenido del sub-directorio. La función !ABORT, sin embargo,
mostrará un mensaje de error:

y usted tuvo que presionar @@OK@@, antes de volver al listado de las variable.
Usando la función PGDIR
La función PGDIR puede ser utilizado para purgar directorios. Como la función
CRDIR, la función de PGDIR está disponible con ‚N o con „°, o
puede simplemente ser escrita.
• Con la tecla del catálogo
Presione ‚N~~pg. Esto debe destacar la función de PGDIR.
Presione @@OK@@ para activar la función.
• Con los menús de programación
Presione „°. Esto producirá el menú siguiente para programar:

Use la tecla (˜) para seleccionar la opción 2. MEMORY… Entonces,
Presione @@OK@@. Esto producirá el siguiente menú:

Página 2-50

Use la tecla (˜) para seleccionar la opción 5. DIRECTORY. Entonces,
presione @@OK@@. Esto producirá el siguiente menú:

Use la tecla (˜) para seleccionar la opción 6. PGDIR, y presione @@OK@@.
Función PGDIR en modo algebraico
Una vez que usted haya seleccionado la función PGDIR por uno de los medios
demostrados arriba, la función estará disponible en su pantalla como sigue:

A este punto, usted necesita escribir el nombre de un directorio existente,
digamos, S4 :
~s4`
Consecuentemente, el sub-directorio )@@S4@@ se suprime:

En vez de escribir el nombre del directorio, usted puede presionar simplemente
la tecla correspondiente en el listado de la función PGDIR(), por ejemplo.,

Página 2-51

Presione @@OK@@, para obtener:

Entonces, Presione )@@S3@@ para escribir ‘S3’ como el argumento de PGDIR.

Presione ` para suprimir el sub-directorio:

Función PGDIR en modo RPN
Para utilizar PGDIR en modo RPN usted necesita tener el nombre del directorio,
entre apóstrofes, ya disponibles en la pantalla antes de tener acceso a la
función. Por ejemplo: ³~s2`
Entonces acceda la función PGDIR por cualquiera de los medios demostrados
arriba, por ejemplo., a través de la tecla ‚N:

Presione la tecla @@OK@ para activar la función y suprimir el sub-directorio:

Página 2-52

Usando la función PURGE a partir del menú TOOL
El menú TOOL está disponible al presionar la tecla I (Modos algebraico y
RPN):

La función PURGE está disponible al presionar la tecla @PURGE. En los ejemplos
siguientes deseamos suprimir el sub-directorio S1:
• Modo algebraico: Escriba @PURGE J)@@S1@@`
• Modo RPN:
Escriba J³@S1@@ `I@PURGE J

Variables

Las variables en la calculadora son similares a los archivos en el disco duro de
un ordenador (computador, o computadora). Es posible almacenar un objeto
(valores numéricos, expresiones algebraicas, listas, vectores, matrices,
programas, etc.) en una variable. Las variables se identifican por un nombre,
el cual puede ser cualquier combinación de caracteres alfabéticos o numéricos,
comenzando siempre por una letra (ya sea castellana o griega). Algunos
caracteres no alfabéticos, tales como la flecha (→), pueden utilizarse en el
nombre de una variable, si se combinan con un carácter alfabético. Por lo
tanto, ‘→A’ es un nombre válido para una variable, pero ‘→’ no lo es.
Ejemplos de nombres válidos para una variable son: ‘A’, ‘B’, ‘a’, ‘b’, ‘α’, ‘β’,
‘A1’, ‘AB12’, ‘A12’,’Vel’,’Z0’,’z1’, etc.
No se puede asignar a una variable un nombre igual al de una función en la
calculadora. Los nombres reservados por la calculadora son los siguientes:
ALRMDAT, CST, EQ, EXPR, IERR, IOPAR, MAXR, MINR, PICT, PPAR, PRTPAR,
VPAR, ZPAR, der_, e, i, n1,n2, …, s1, s2, …, ΣDAT, ΣPAR, π, ∞
Las variables pueden organizarse en sub-directorios.

Página 2-53

Creando variables
Para crear una variable, podemos utilizar el menú FILES, a lo largo de las
líneas de los ejemplos demostrados arriba para crear un sub-directorio. Por
ejemplo, dentro del sub-directorio {HOME MANS INTRO}, creado en un
ejemplo anterior, deseamos almacenar las variables siguientes con los valores
demostrados:
Nombre
A

α
A12
Q
R
z1
p1

Contenidos
12.5
-0.25
3×105
‘r/(m+r)'
[3,2,1]
3+5i
<< → r 'π*r^2' >>

Tipo
real
real
real
algebraico
vector
complejo
programa

Usando el menú FILES
Utilizaremos el menú FILES para escribir la variable A. Asumimos que estamos
en el sub-directorio {HOME MANS INTRO}.
Para escoger este subdirectorio, use lo siguiente: „¡ y seleccione el sub-directorio INTRO
según lo demostrado en esta pantalla:

Presione @@OK@@ para escoger el directorio. Usted conseguirá una pantalla que
no muestra ningún elemento (el sub-directorio INTRO está vacío a este punto)

Página 2-54

Presione la tecla L para acceder el siguiente conjunto de teclas, y presione
la tecla @@NEW@@. Esto producirá la forma interactiva NEW VARIABLE:

Para escribir la variable A (ver la tabla anterior), primero incorporamos su
contenido, a saber, el número 12.5, y después su nombre, A, como sigue:
12.5@@OK@@ ~a@@OK@@. Dando por resultado la pantalla siguiente:

Presione @@OK@@ una vez más para crear la variable. La nueva variable se muestra
en el listado siguiente:

El listado indica una variable real (|R), cuyo nombre es A, y que ocupa 10.5
bytes de memoria. Para ver el contenido de la variable en esta pantalla,
presione L@VIEW@.
• Presione la tecla @GRAPH para ver el contenido en un formato gráfico.

•
•

Presione la tecla @TEXT para ver el contenido en formato de texto.
Presione @@OK@@ para regresar a la lista de variables

Página 2-55

•

Presione $ una vez más para regresar a la pantalla normal. La variable
A aparece ahora en las etiquetas de la tecla:

Usando la función STO
Una manera más simple de crear una variable es usando la función STO (es
decir, la tecla K). Proporcionamos ejemplos en los modos algebraicos y
RPN, creando el resto de las variables sugeridas anteriormente, a saber:
Name

α
A12
Q
R
z1
p1

Contents
-0.25
3×105
‘r/(m+r)'
[3,2,1]
3+5i
<< → r 'π*r^2' >>

Escriba
real
real
algebraico
vector
complejo
programa

Modo algebraico
Use las teclas siguientes para almacenar el valor de –0.25 en la variable α:
0.25\ K ~‚a. A este punto, la pantalla lucirá como
sigue:

Esta expresión significa que el valor –0.25 se está almacenando en α (el
símbolo  sugiere la operación). Presione ` para crear la variable. La
variable ahora se muestra en las etiquetas de tecla cuando presione J:

Los siguientes son las teclas requerido para incorporar las variables restantes:
A12: 3V5K~a12`
Q:
~„r/„Ü
~„m+~„r™™ K~q`
R:
„Ô3‚í2‚í1™ K~r`

Página 2-56

z1:
3+5*„¥
K~„z1`
necesitado, aceptar el cambio al modo Complex)
p1:
‚å‚é~„r³„ì*
~„rQ2™™™ K~„p1`..
La pantalla, a este punto, lucirá como sigue:

(si

está

Usted verá seises de las siete variables enumeradas al píe de la pantalla: p1,
z1, R, Q, A12, α.
Modo RPN
Use las siguientes teclas para almacenar el valor de –0.25 en la variable α:
.25\`³~‚a`. A este punto, la pantalla lucirá
como sigue:

Con –0.25 en el nivel 2 de la pila y 'α' en el nivel 1 de la pila, puede usar la
tecla K para crear la variable. La variable se muestra en las teclas del menú
cuando presione J:

Para incorporar el valor 3×105 dentro de A12, podemos utilizar una versión
más corta del procedimiento: 3V5³~a12` K
Aquí está una manera de incorporar el contenido de Q:
Q:
³~„r/„Ü
~„m+~„r™™ ³~q` K
Para incorporar el valor de R, podemos utilizar una versión incluso más corta
del procedimiento:
R:
„Ô3#2#1™ ³~rK

Página 2-57

Notar eso para separar los elementos de un vector en modo RPN podemos
utilizar la tecla espaciadora (#), en vez de la coma (‚í) utilizada
arriba en modo algebraico.
z1:
³3+5*„¥ ³~„z1 K(si está
necesitado, aceptar el cambio al modo Complex)
p1:
‚å‚é~„r³„ì*
~„rQ2™™™ ³ ~„p1™` K.
La pantalla, a este punto, lucirá como sigue:

Usted verá seis de las siete variables enumeradas al pié de la pantalla: p1, z1,
R, Q, A12, α.

Verificando el contenido de las variables
Como ejercicio en la verificación del contenido de las variables, utilizaremos
las siete variables escritas en el ejercicio anterior. Anteriormente demostramos
cómo utilizar el menú FILES para verificar el contenido de una variable cuando
creamos la variable A. En esta sección demostraremos una manera simple de
verificar el contenido de una variable.
Presionando las teclas del menú de la variable
Este procedimiento mostrará el contenido de una variable siempre y cuando la
variable contenga un valor numérico, un valor algebraico, o un arreglo. Por
ejemplo, para las variables enumeradas anteriormente, presionar las teclas
siguientes para ver el contenido de las variables:
La forma más simple de examinar los contenidos de una variable consiste en
presionar la tecla de menú correspondiente al nombre de la variable. Por
ejemplo, para las variables utilizadas anteriormente, ejecútense las siguientes
instrucciones:
Modo algebraico
Presiónense las siguientes teclas: J@@z1@@ ` @@@R@@ `@@@Q@@@ `. Al finalizar
este ejercicio la pantalla lucirá de esta forma:

Página 2-58

Modo RPN
En modos RPN, es necesario solamente presionar las teclas correspondientes al
nombre de las variables para examinar el contenido de las mismas. Para el
caso de interés, examínese el contenido de las variables z1, R, Q, A12, α, y
A, creadas anteriormente, de la forma siguiente: J@@z1@@ @@@R@@ @@@Q@@ @@A12@@ @@»@@
Al finalizar este ejercicio, la pantalla lucirá de esta manera:

Utilizando la tecla ‚ seguida de la tecla del menú
En modo algebraico, puede visualizar los conenidos de una variable
presionando J @ y, a continuación, la tecla correspondiente. Ejecútense
los siguientes ejemplos:
J‚@@p1@@ ‚ @@z1@@ ‚ @@@R@@ ‚@@@Q@@ ‚ @@A12@@
Nota: En modo RPN no necesita presionar @ (sólo J y la tecla del
menú correspondiente).
Los resultados se muestran a continuación (Modo algebraico a la izquierda,
modo RPN a la derecha):

Página 2-59

Nótese que en este caso el programa contenido en la variable p1 se lista en la
pantalla. Para ver el contenido del resto de las variables de este directorio,
presione L:
‚‚@@»@@
Listado de las variables en la pantalla
Utilícese la combinación ‚˜ para listar el contenido de todas las
variables en la pantalla. Por ejemplo:

Presiónese $ para recobrar la pantalla normal.

Sustituir el contenido de las variables
Sustituir el contenido de una variable se puede pensar como almacenar un
valor diferente en una variable existente. Así, los ejemplos para crear las
variables demostradas arriba se pueden utilizar para ilustrar el reemplazo del
contenido de una variable.
Usando la función STO
Usando como ilustración las siete variables, p1, z1, R, Q, A12, a, y A, creados
anterior, procederemos a cambiar el contenido de la variable A12
(actualmente una variable numérica) con la expresión algebraica ‘β/2’,
usando la función STO. Primero, usando el modo de operación algebraico:
³~‚b/2™ K @@A12@@ `
Comprobar el nuevo contenido de la variable A12 usando ‚@@A12@@ . Usar el
modo de operación RPN:
³~‚b/2` ³@@A12@@ ` K

Página 2-60

o, de una manera simplificada,
³~‚b/2™ ³@@A12@@ K
Usando „ seguido por la tecla de la variable (RPN)
Esta es una manera muy simple de cambiar el contenido de una variable, pero
trabaja solamente en el modo de RPN. El procedimiento consiste en escribir el
nuevo contenido de la variable e incorporarlo en la pantalla, y entonces
presionar „ seguida por el tecla de la variable. Por ejemplo, en RPN, si
deseamos cambiar el contenido de la variable z1 a ‘a+bÞi ’, use:
³~„a+~„b*„¥`
Esto pondrá la expresión algebraica ‘a+bÞi ’ en el nivel 1: en la pantalla. Para
incorporar este resultado en variable z1, use: J„@@@z1@@
Para comprobar el nuevo contenido de z1, use: ‚@@@z1@@
Una manera equivalente de hacer esto en modo algebraico es la siguiente:
~„a+~„b*„¥` K @@@z1@@ `
Para comprobar el nuevo contenido de z1, use: ‚@@@z1@@
Uso de la variable ANS(1) modo algebraico)
En modo algebraico uno puede utilizar ANS(1) para sustituir el contenido de
una variable. Por ejemplo, el procedimiento para cambiar el contenido de z1 a
‘a+bi’ es el siguiente:
„î K @@@z1@@ `. Para comprobar el nuevo
contenido de z1, use: ‚@@@z1@@

Copiar variables
Los ejercicios siguientes demuestran diversas maneras de copiar variables a
partir de la una secundaria-directorio a otra.
Usando el menú FILES
Para copiar una variable a partir de un directorio a otro usted puede utilizar el
menú FILES. Por ejemplo, dentro del sub-directorio {HOME MANS INTRO},
tenemos las variables p1, z1, R, Q, A12, α, y A. Suponga que deseamos
copiar la variable A y poner una copia en el sub-directorio {HOME MANS}.
También, copiaremos la variable R y pondremos una copia en el directorio

Página 2-61

HOME. He aquí cómo a hacerlo: Presione „¡@@OK@@ para producir la lista
siguiente de variables:

Use la tecla ˜ para seleccionar la variable A (la última en la lista), entonces
presione @@COPY@. La calculadora responderá con una pantalla etiquetada PICK
DESTINATION:

Use la tecla — para seleccionar el sub-directorio MANS y presione @@OK@@. Si
usted ahora Presione „§, la pantalla mostrará el contenido del subdirectorio MANS (note que la variable A se muestra en esta lista, según lo
esperado):

Presione $ @INTRO@ `(modo algebraico), o $ @INTRO@ (modo RPN) para
regresar al directorio INTRO. Presione „¡@@OK@@ para producir la lista de
variables en {HOME MANS INTRO}. Use la tecla (˜)para seleccionar la
variable R, entonces presione @@COPY@. Use la tecla (—) para seleccionar el
directorio HOME, y presione @@OK@@. Si Ud. ahora presiona „§, dos
veces, la pantalla demostrará el contenido del Directorio HOME, incluyendo
una copia de la variable R:

Página 2-62

Usar la historia en modo algebraico
Aquí está una manera de utilizar la historia (pantalla) para copiar una variable
a partir de un directorio a otro con la calculadora fijada al modo algebraico.
Suponer que estamos dentro de sub-directorio {HOME MANS INTRO}, y
desear copiar el contenido de la variable z1 al sub-directorio {HOME MANS}.
Utilice el procedimiento siguiente: ‚@@z1@ K@@z1@ ` Esto almacena
simplemente el contenido de z1 en sí mismo (ningún cambio efectuado en z1).
Después, use „§` para moverse al sub-directorio {HOME MANS}. La
pantalla de la calculadora lucirá de este modo:

Después, use la tecla de cancelación tres veces, para quitar las tres líneas
últimas en la pantalla: ƒ ƒ ƒ. A este punto, la pantalla está lista a
ejecutar la función ANS(1)z1. Presione ` para ejecutar esta función.
Entonces, use ‚@@z1@, para verificar el contenido de la variable.
Usar la pantalla en modo RPN
Para demostrar el uso de la pantalla en modo RPN para copiar una variable
de un sub-directorio a otro, asumimos que usted está dentro del sub-directorio
{HOME MANS INTRO}, y eso copiaremos el contenido de la variable z1 al
directorio HOME. Utilizar el procedimiento siguiente:
‚@@z1@ `³@@z1@ `
Este procedimiento enumera el contenido y el nombre de la variable en la
pantalla. La pantalla de la calculadora lucirá así:

Página 2-63

Ahora, use „§„§ para moverse al directorio HOME, y presione
K para terminar la operación. Use ‚@@z1@, para verificar el contenido de
la variable.
Copiado de dos o más variables usando la pantalla en modo algebraico
Lo que sigue es un ejercicio para demostrar cómo copiar dos o más variables
usando la pantalla cuando la calculadora está en modo algebraico. Suponer,
una vez más, que estamos dentro del sub-directorio {HOME MANS INTRO} y
eso que deseamos copiar las variables R y Q al sub-directorio {HOME
MANS}. Las teclas necesarias para completar esta operación se muestran a
continuación:
‚@@ @R@@ K@@@R@@ `
‚@@ @Q@@ K@@@Q@@ `
„§`
ƒ ƒ ƒ`
ƒƒƒƒ`
Para verificar el contenido de las variables, use ‚@@ @R@ y ‚@@ @Q.
Este procedimiento se puede generalizar al copiado de tres o más variables.
Copiado de dos o más variables usando la pantalla en modo RPN
Lo que sigue es un ejercicio para demostrar cómo copiar dos o más variables
usando la pantalla cuando es la calculadora en modo RPN. Asumimos, otra
vez, que estamos dentro sub-directorio {HOME MANS INTRO} y que deseamos
copiar las variables R y Q al sub-directorio {HOME MANS}. Las teclas
necesario para terminar esta operación se demuestran a continuación:
‚@@ @R@@ ³@@@R@@ `
‚@@ @Q@@ ³@@@Q@@ `
„§K K
Para verificar el contenido de las variables, use ‚@@ @R@ y ‚@@ @Q.
Este procedimiento se puede generalizar al copiado de tres o más variables.

Página 2-64

Reordenar variables en un directorio
En esta sección ilustramos el uso de la función ORDER para reordenar las
variables en un directorio. Asumimos que comenzamos dentro del subdirectorio {HOME MANS} contener las variables, A12, R, Q, z1, A, y el subdirectorio INTRO, según lo demostrado abajo.

Modo algebraico
En este caso, tenemos la calculadora fijada al modo algebraico. Suponer que
deseamos cambiar la orden de las variables a INTRO, A, z1, Q, R, A12.
Seguir de la forma siguiente para activar la función ORDER:
„°˜@@OK@@
Seleccione MEMORY del menú de programación
˜˜˜˜ @@OK@@
Seleccione DIRECTORY del menú MEMORY
—— @@OK@@
Seleccione ORDER del menú DIRECTORY
La pantalla demostrará la línea de entrada siguiente:

Después, enumeraremos el nuevo orden de las variables usando los nombres
entre apostrofes:
„ä ³)@INTRO ™‚í³@@@@A@@@
™‚í³@@@z1@@™‚í³@@@Q@@@™
‚í³@@@@R@@@ ™‚í³@@A12@@ `La pantalla ahora demuestra
nueva ordenar de las variables:

Modo RPN
En modo RPN, la lista de variables reordenadas se enumera en la pantalla
antes de aplicar la función ORDER. Suponer que salimos de la misma
situación que arriba, pero en modo RPN, i.e.,

Página 2-65

La lista reordenada es creada usando:
„ä )@INTRO @@@@A@@@ @@@z1@@ @@@Q@@@ @@@@R@@@ @@A12@@ `
Entonces, escriba la función ORDER, según lo hecho antes, i.e.,
„°˜@@OK@@
Seleccione MEMORY del menú de programación
˜˜˜˜ @@OK@@
Seleccione DIRECTORY del menú MEMORY
—— @@OK@@
Seleccione ORDER del menú DIRECTORY
El resultado es la pantalla siguiente:

Moviendo variables usando el menú FILES
Para mover una variable de un directorio a otro usted puede utilizar el menú
FILES. Por ejemplo, dentro de sub-directorio {HOME MANS INTRO}, tenemos
las variables p1, z1, R, Q, A12, α, y A. Suponga que deseamos mover la
variable A12 al sub-directorio {HOME MANS}. He aquí cómo a hacerlo:
Presione „¡@@OK@@ para demostrar una lista de variables. Use la tecla ˜
para seleccionar la variable A12, entonces presione @@MOVE@. La calculadora
responderá con una pantalla denominada PICK DESTINATION. Use la tecla
— para seleccionar el sub-directorio MANS y presione @@OK@@. La pantalla
ahora demostrará el contenido del sub-directorio {HOME MANS INTRO}:

Note que la variable A12 ya no está más en la lista. Si usted ahora presiona
„§, la pantalla demostrará el contenido del sub-directorio MANS,
incluyendo la variable A12:

Página 2-66

Nota: Usted puede utilizar la pantalla para mover una variable
combinando el copiado con suprimir una variable. Los procedimientos para
suprimir variables se muestran en la siguiente sección.

Suprimir variables
Las variables se pueden suprimir usando la función PURGE. Esta función puede
ser alcanzada directamente usando el menú TOOLS (I), o usando el menú
FILES „¡@@OK@@ .
Usando la función FILES
La función FILES puede ser utilizado para purgar una variable a la vez. Para
suprimir una variable de un directorio dado usted puede utilizar el menú FILES.
Por ejemplo, dentro del sub-directorio {HOME MANS INTRO}, tenemos las
variables p1, z1, R, Q, α, y A. Suponga que eliminamos la variable A. He
aquí cómo hacerlo: Presione „¡@@OK@@ para producir la lista de variables.
Use la tecla ˜ para seleccionar la variable A (la última en la lista), entonces
presione L@PURGE@ @@@YES@@@. La pantalla ahora demostrará el contenido del
sub-directorio INTRO sin la variable A.

Página 2-67

Usando la función PURGE en la pantalla en modo algebraico
Nuestra lista de variables contiene las variables p1, z1, Q, R, y α. A
continuación se utiliza la función PURGE para eliminar las variable p1 y A.
Presiónese I @PURGE@ J@@p1@@ `, y a continuación I @PURGE@ J@@p1@@
`. La pantalla indica que las variables p1 y A han sido eliminada:

La función PURGE puede utilizarse para eliminar más de una variable al
colocar sus nombres en una lista que pasa a ser el argumento de la función.
Por ejemplo, si quisiéramos eliminar las variables R y Q, simultáneamente, se
puede utilizar :
I @PURGE@ „ä³ J@@@R!@@ ™ ‚í ³ J@@@Q!@@
La pantalla muestra la función PURGE a punto de activarse para eliminar las
variables R y Q:

Para completar el ejercicio, presiónese `. La pantalla muestra las variables
restantes:

Utilizando la función PURGE en la pantalla en modo RPN
Asumiendo que nuestra lista de variables contiene p1, z1, Q, R, y α.
Utilizaremos la función PURGE para eliminar la variable p1. Presiónense las
siguientes teclas ³@@p1@@ ` I @PURGE@. La pantalla indica que p1 ha sido
eliminada de la memoria:

Página 2-68

Para eliminar dos variables simultáneamente, por ejemplo, las variables R y Q,
créese primero una lista (en Modo RPN, los elementos de lista no necesitan
estar separados por comas como se requiere en Modo algebraico):
J „ä³ @@@R!@@ ™ ³ @@@Q!@@ `
A continuación, presiónese I@PURGE@ para eliminar las dos variables.
Información adicional sobre la manipulación de variables se presenta en el
Capítulo 2 de la Guía del Usuario de la calculadora.

Las funciones UNDO y CMD

Las funciones UNDO y CMD son útiles para recobrar instrucciones previas o
para recobrar una operación en caso de que se haya cometido un error. Estas
funciones están asociadas con la tecla HIST: UNDO resulta al escribir
‚¯, mientras que CMD resulta al escribir „®.
Para ilustrar el uso de UNDO, intentar el ejercicio siguiente en modo
algebraico (ALG): 5*4/3`. La función UNDO (‚¯)
simplemente borra el resultado. El mismo ejercicio, en modo RPN, usará estas
teclas: 5`4`*3`/. Usando ‚¯ a este punto
deshará la operación más reciente (20/3), deja los términos originales en la
pantalla:

Para ilustrar el uso de CMD, escríbase lo siguiente en modo ALG. Presione
` después de cada entrada.

Después, use la función CMD („®) para mostrar las cuatro funciones más
recientes escritas por el usuario, i.e.,

Página 2-69

Usted puede utilizar las teclas —˜ para navegar entre estas funciones y
destacar cualesquiera de ellas que usted desea colocar de nuevo en la
pantalla. Una vez que usted haya seleccionado la función a repetir, presione
@@@OK@@@.
La función de CMD funciona en la misma manera cuando la calculadora está
en el modo RPN, excepto que la lista muestra solamente números o
algebraicos. No se muestran las funciones escritas. Por ejemplo, intente el
ejercicio siguiente en el modo RPN:
5`2`3/*S
³S5*2`.
Presionando „®produce la siguiente lista:

Como usted puede ver, los números 3, 2, y 5, utilizado en el primer cálculo
arriba, se enumeran en la caja de la selección, así como el algebraico
‘SIN(5x2)’, pero no la función SIN escrita antes del algebraico.

Banderas o señales

Una bandera o señal es un valor Booleano, eso se puede fijar o despejar
(verdad o falso), eso especifica un ajuste dado de la calculadora o una opción
en un programa. Las banderas en la calculadora son identificadas por
números. Hay 256 banderas, numeradas a partir de la -128 a 128. Las
banderas positivas se llaman las banderas del usuario y están disponibles para
programar propósitos del usuario. Las banderas representadas por números
negativos se llaman las banderas del sistema y afectan la manera que la
calculadora funciona. Para ver los ajustes actuales de las banderas presione la

Página 2-70

tecla H , y después la tecla @FLAGS! (i.e., F1). Usted conseguirá una pantalla
etiquetada SYSTEM FLAGS listando los nombres de las banderas y sus
números:

Nota: En esta pantalla, solamente se muestran banderas del sistema, y
sólo el valor absoluto del número de la bandera se muestra. Una bandera se
dice estar fijada si usted ve una marca de cheque () delante del número de
la bandera. Si no, la bandera no está fija sino despejada. Para cambiar el
estado de una bandera de sistema, presione la tecla @@CHK@ mientras que la
bandera que usted desea cambiar esté seleccionada, o utilice la tecla \.
Usted puede utilizar las teclas —˜ para moverse sobre la lista de las
banderas del sistema. Aunque hay 128 banderas del sistema, no se utilizan
todos, y algunos de ellos se utilizan para el control interno del sistema. Las
banderas del sistema que no son accesibles al usuario no son visibles en
esta pantalla. Una lista completa de banderas se presenta en el capítulo 24.

Ejemplo del ajuste de la bandera: soluciones generales contra
valor principal
Por ejemplo, el valor prefijado para la bandera 01 del sistema es General
solutions (soluciones generales). Lo que esto significa es que, si una ecuación
tiene soluciones múltiples, todas las soluciones serán calculadas por la
calculadora, muy probablemente en una lista. Al presionar la tecla @@CHK@
usted puede cambiar la bandera 01 del sistema a Principal value (valor
principal). Este ajuste forzará la calculadora para proporcionar un solo valor
conocido como el valor principal de la solución.

Página 2-71

Para ver su funcionamiento, primero fije la bandera 01 del sistema (i.e.,
seleccione Principal Value). Presione @@OK@@ dos veces para volver a la pantalla
normal de la calculadora. Intentaremos solucionar una solución cuadrática de
la ecuación, por ejemplo, t2+5t+6 = 0, con la función QUAD.
Modo algebraico
Use las teclas siguientes: ‚N~q (use las teclas
seleccionar la función QUAD) presione @@OK@@ .

—˜ para

Para incorporar la ecuación como el primer argumento de la función QUAD,
use las siguientes teclas:
‚O~ „t Q2™+5*~
„t+6——‚Å0`
‚í ~ „t`
El resultado es:

Ahora, cambie el ajuste de la bandera 1 a General solutions: H@FLAGS @@CHK@
@@OK@@ @@OK@@ . E intente la solución otra vez: ——``. La solución ahora
incluye dos valores:

Modo RPN
Primero, ajuste la bandera del sistema 01 a Principal Value. Presione @@OK@@ dos
veces para volver a la pantalla normal de la calculadora. Entonces, escriba la
ecuación cuadrática como sigue:
‚O~ „t Q2™+5*~
„t+6——‚Å0
` (mantener una segunda copia en la pantalla RPN)

Página 2-72

³~ „t`

Utilice las siguientes teclas para escribir la función QUAD: ‚N~q
(use las teclas —˜ para seleccionar la función QUAD) Presione @@OK@@ . La
pantalla demuestra la solución principal:

Ahora, cambie el ajuste de la bandera 01 a General solutions: H@FLAGS@
@@CHK@ @@OK@@ @@OK@@ . E intentar la solución otra vez:
ƒ³ ~ „t`
‚N~q (use las teclas —˜ para seleccionar la función QUAD)
Presione @@OK@@ . La pantalla ahora demuestra las dos soluciones:

Otras banderas de interés

Muestre una vez más la bandera actual presionando la tecla H, y después
@FLAGS! . Cerciorarse que la bandera 01 del sistema ha sido despejada como
se hizo en el ejercicio anterior. Use las teclas —˜ para moverse sobre la
lista de la bandera del sistema.
Algunas banderas de interés y de su valor preferido con el fin de los ejercicios
que siguen en este manual son:
02 Constant Æ symb: Valores constantes (por ejemplo., π) se mantienen
como símbolos
03 Function Æ symb:
Las funciones no se evalúan automáticamente, en vez,
se cargan como expresiones simbólicas.
27 ‘X+Y*i’ Æ (X,Y):
Los números complejos se representan como pares
ordenados
La secuencia ~~ traba el teclado alfabético
60 [α][α] locks:

Página 2-73

Presione @@OK@@ dos veces para volver a la pantalla normal de la calculadora.

CHOOSE boxes vs. Soft MENU
En algunos de los ejercicios presentados en este Capítulo hemos presentado
listas de funciones en la pantalla. Estas listas de funciones se denominan, en
inglés, CHOOSE boxes (listas de menú). El ejercicio siguiente indica como
cambiar la opción (CHOSE boxes) a Soft MENU (teclas de menú), y viceversa.
Aunque el presente ejercicio no se aplica a un ejemplo específico, el mismo
muestra las dos opciones para los menús de funciones en la calculadora
(CHOOSE boxes y soft MENUs). En este ejercicio, se busca la función ORDER,
la cual se utiliza para reordenar las variables en un directorio en modo
algebraico:
„°˜
Mostrar el menú PROG. Seleccionar MEMORY.

@@OK@@ ˜˜˜˜Mostrar el menú MEMORY. Seleccionar DIRECTORY.

@@OK@@ ——

Mostrar menú DIRECTORY. Seleccionar ORDER.

Página 2-74

@@OK@@
Activar la función ORDER.
Una forma alternativa de mostrar las funciones de un menú es a través de teclas
de menú (soft MENU), al manipular la señal de sistema número 117 (system
flag 117). (Para información adicional sobre señales de sistema véanse los
Capítulos 2 y 24 en la Guía del Usuario). Para seleccionar esta señal utilícese:
H @FLAGS! ———————
La pantalla muestra la señal de sistema número 117 sin seleccionar (es decir,
con la opción CHOOSE boxes activa):

Presiónese la tecla @@CHK@ para seleccionar esta señal de sistema activando la
opción soft MENU. La pantalla reflejará esta selección:

Presiónese @@OK@@ dos veces para recobrar la pantalla normal.
A continuación, se busca la función ORDER utilizando teclas de menú. Para
comenzar, presiónese „°. Nótese que en vez de una lista de menú se
obtienen ahora teclas de menú para el menú PROG, es decir,

Página 2-75

Presiónese B para seleccionar el menú MEMORY ()@@MEM@@).
muestra las siguientes teclas de menú:

La pantalla

Presiónese E para seleccionar el menú DIRECTORY ()@@DIR@@)

La función ORDER no se muestra en esta página de menú. Para encontrar esta
función presiónese L:

Para activar la función ORDER, presiónese la tecla de menú C(@ORDER).
Nota: En la mayoría de los ejemplos de esta guía del usuario se asume
que el ajuste contemporáneo de ka bandera 117 es su ajuste por defecto (es
decir, no ajustado). Si ha ajustado la bandera pero desea seguir
estrictamente los ejemplos de esta guía, debería borrar la bandera antes de
continuar.

Ejemplos de menús de lista (CHOOSE boxes)
Algunos menús producirán solamente menús de listas (CHOOSE boxes), por
ejemplo,
• El menú APPS (APPlicationS), activado con la tecla G primera tecla en la
segunda fila del teclado:

Página 2-76

•

El menú CAT (CATalog menu), activado con la tecla ‚N, segunda
tecla en la cuarta fila del teclado:

•

El menú HELP, activado con I L @HELP

•

El menú CMDS (inglés, CoMmanDS), activado dentro del escritor de
ecuaciones, i.e., ‚O L @CMDS

Página 2-77

Capítulo 3
Cálculos con números reales

Este Capítulo demuestra el uso de la calculadora para operaciones y las
funciones relacionadas un los números reales. Se asume que el usuario está
familiarizado con el teclado para identificar ciertas funciones disponibles en el
mismo (por ejemplo, SIN, COS, TAN, etc.) Así mismo, se asume que el lector
sabe como seleccionar el sistema operativo de la calculadora (Capítulo 1),
como usar menús y listas de selección (Capítulo 1), y como utilizar variables
(Capítulo 2).

Verificación de los ajustes de la calculadora
Para verificar los ajustes actuales de la calculadora y del CAS véase la línea
superior en la pantalla de la calculadora en operación normal. Por ejemplo,
usted puede ver el ajuste siguiente: RAD XYZ DEC R = ‘X’
Estos ajustes representan: RADianes para las medidas angulares, XYZ para las
coordenadas (cartesianos) rectangulares, base de numeración DECimal,
números reales (R), = significa resultados EXACTos, y ' X ' es el valor de la
variable independiente del CAS.
Otro listado posible de opciones podía ser DEG R∠Z HEX C ~ ‘t’
Estos ajustes representa: grados (DEGrees) como medidas angulares, R∠ Z
para los coordenadas polares, base numérica HEXadecimal, números
complejos (C) son permitidos, ~ significa resultados “APROXimados”, y ‘t’ es la
variable independiente del CAS.
En general, esta parte de la pantalla contiene siete elementos. Cada elemento
se identifica bajo números 1 a 7. Los valores posibles para cada elemento se
muestran entre paréntesis después de la descripción del elemento. La
explicación de cada uno de esos valores también se muestra:
1. Especificación de la medida del ángulo (DEG,RAD, GRD)
DEG: grados, 360 grados en un círculo completo

Página 3-1

2.

3.

4.

5.

6.

RAD: radianes, 2π radianes en un círculo completo
GRD: grados centesimales, 400 grados en un círculo completo
Especificación de sistema coordinado (XYZ, R∠Z, R∠∠). El símbolo ∠
significa un coordenada angular.
XYZ:
Coordenadas cartesianas o rectangulares (x,y,z)
R∠Z: Coordenadas polares cilíndricas (r,θ,z)
R∠∠: Coordenadas esféricas (ρ,θ,φ)
Especificación de la base de numérica (HEX, DEC, OCT, BIN)
HEX: números hexadecimales (base 16)
DEC: números decimales (base 10)
OCT: números octales (base 8)
BIN:
números binarios (base 2)
Especificación de modo real o complejo (R, C)
R:
números reales
C:
números complejos
Especificación de modo exacto o aproximado (=, ~)
=
modo exacto (simbólico)
~
modo aproximado (numérico)
Variable independiente del CAS (por ejemplo, ‘X’, ‘t’, etc.)

Verificación de modo de la calculadora
En modo RPN los diversos niveles del “stack” (pila) se listan en el lado
izquierdo de la pantalla. Cuando se selecciona el modo ALGEBRAICO no hay
niveles numerados en la pantalla, y la palabra ALG se lista en la línea superior
de la pantalla hacia el lado derecho. La diferencia entre estos modos de
funcionamiento fue descrita detalladamente en el capítulo 1.

Cálculos con números reales
Para ejecutar cálculos con números reales es preferible que el CAS tenga activa
la opción Real (en contraste con la opción Complex). La opción Exact es la
opción pre-seleccionada por la calculadora para la mayoría de las
operaciones. Por lo tanto, usted puede comenzar sus cálculos en este modo.
Cualquier cambio al modo Approx requerido para terminar una operación
será solicitado por la calculadora. No hay selección preferida para la medida

Página 3-2

del ángulo o para la especificación de la base de número. Los cálculos de
números reales se demuestran en modo algebraico (ALG) y de notación polaca
reversa (RPN).

Cambio de signo de número, variable, o expresión

Use la tecla \. En modo de ALG, usted puede presionar \ antes de
escribir el número, por ejemplo, \2.5`. Resultado = -2.5. En
modo de RPN, usted necesita escribir por lo menos una parte del número
primero, y después utilizar \, por ejemplo, 2.5\. Resultado = 2.5. Si usted utiliza la función \ mientras que no hay línea de comando, la
calculadora aplicará la función NEG al objeto en el primer nivel del “stack.”

La función inversa

Use la tecla Y. En modo de ALG, presione Y primero, seguido por un
número o una expresión algebraica, por ejemplo, Y2. Resultado = 0.5.
En modo RPN, escriba el número primero, después utilice la tecla de la función,
por ejemplo, 4`Y. Resultado = 0.25.

Adición, substracción, multiplicación, división

Utilizar la tecla de la operación apropiada, a saber, + - * /. En
modo ALG, presione un operando, y después el operador, seguido de un
operando, seguido por ` para obtener un resultado. Ejemplos:
3.7 + 5.2 `
6.3 - 8.5 `
4.2 * 2.5 `
2.3 / 4.5 `
Las primeras tres operaciones arriba se demuestran en la pantalla siguiente
tirada:

En modo de RPN, escribir los operandos uno después del otro, separado por
un `, después presione la tecla del operador. Ejemplos:

Página 3-3

3.7`
6.3`
4.2`
2.3`

5.2
8.5
2.5
4.5

+
*
/

Alternativamente, en modo RPN, uno puede separar los operandos con la tecla
espaciadora (#) antes de presionar la tecla de la operación. Ejemplos:
3.7#5.2 +
6.3#8.5 4.2#2.5 *
2.3#4.5 /

Uso de paréntesis
Se pueden utilizar paréntesis para agrupar operaciones, así como para incluir
argumentos de funciones. Los paréntesis están disponibles con la combinación
„Ü. Los paréntesis se escriben siempre en pares. Por ejemplo, calcule
(5+3.2)/(7-2.2):
En modo ALG:
„Ü5+3.2™/„Ü7-2.2`
En modo RPN uno no siempre necesita usar paréntesis, dado que los cálculos
se realizan directamente en la pantalla (stack):
5`3.2+7`2.2-/
En modo RPN, el escribir una expresión entre apóstrofes permite al usuario a
escribir expresiones como en el modo algebraico:
³„Ü5+3.2™/
„Ü7-2.2`μ
Para ambos modos, ALG y RPN, uno puede utilizar el escritor de ecuaciones en
el cálculo:
‚O5+3.2™/7-2.2
La ecuación puede ser evaluada dentro del escritor de ecuaciones al utilizar las
siguientes teclas:

Página 3-4

————@EVAL@ o, ‚—@EVAL@

Función valor absoluto

La función valor absoluto, ABS, está disponible con la combinación: „Ê.
Al calcular en modo ALG, escriba la función antes del argumento, por ejemplo,
„Ê \2.32`
En modo RPN, escriba el número primero, y después la función, por ejemplo,
2.32\„Ê

Cuadrados y raíces cuadradas

La función cuadrada, SQ, está disponible con la combinación : „º. Al
calcular en la pantalla en modo ALG, escriba la función antes del argumento,
por ejemplo, „º\2.3`
En modo RPN, escriba el número primero, y después la función, por ejemplo,
2.3\„º
La función raíz cuadrada, √, está disponible en la tecla R. Cuando se calcula
en la pantalla en modo ALG, escríbase la función antes del argumento, por
ejemplo, R123.4`
En Modo RPN, escríbase el número primero, seguido por la función, por
ejemplo, 123.4R

Potencias y raíces

La función potencia, ^, se encuentra disponible en la tecla Q. Cuando se
calcula en la pantalla en modo ALG, escríbase la base (y) seguida de la tecla
Q, y del exponente (x), por ejemplo, 5.2Q1. 25
En Modo RPN, escríbase el número primero, seguido por la función, por
ejemplo, 5.2`1.25`Q
La función raíz, XROOT(y,x), está disponible a través de la combinación de
teclas ‚». Cuando se calcula en la pantalla en modo ALG, escríbase la
función XROOT seguida por los argumentos (y,x), separados por comas, por
ejemplo, ‚»3‚í 27`
En Modo RPN, escríbase el argumento y, primero, después, x, y finalmente la
función, por ejemplo, 27`3`‚»

Página 3-5

Logaritmos decimales y potencias de 10
Los logaritmos decimales (de base 10) se calculan a través de la combinación
de teclas ‚Ã (función LOG), mientras que su inversa (ALOG, o
antilogaritmo) se calcula utilizando „Â. En modo ALG, la función se
escribe antes del argumento:
‚Ã2.45`
„Â\2.3`
En Modo RPN, el argumento se escribe antes de la función:
2.45` ‚Ã
2.3\` „Â

Utilizando potencias de 10 al escribir datos
Potencias de diez, es decir, números de la forma -4.5×10 -2, etc., se escriben
utilizando la tecla V. Por ejemplo, en modo ALG:
\4.5V\2`
O, en modo RPN:
4.5\V2\`

Logaritmos naturales y la función exponencial
Los logaritmos naturales (i.e., logaritmos de base e = 2.7182818282) se
calculan utilizando ‚¹ (función LN) mientras que su inversa, la función
exponencial (EXP), se calcula utilizando „¸. En modo ALG, la función se
escribe antes del argumento:
‚¹2.45`
„¸\2.3`
En Modo RPN, el argumento se escribe antes de la función:
2.45` ‚¹
2.3\` „¸

Funciones trigonométricas
Tres funciones trigonométricas se encuentran disponibles en el teclado: seno
(S), coseno (T), y tangente (U). Los argumentos de estas funciones son

Página 3-6

ángulos ya sea en grados, radianes, o grados decimales.
ejemplos usan ángulos en grados (DEG):
En Modo ALG:
S30`
T45`
U135`
En Modo RPN:
30`S
45`T
135`U

Los siguientes

Funciones trigonométricas inversas
Las funciones trigonométricas inversas disponibles en el teclado son el arco
seno (ASIN), arco coseno (ACOS), y arco tangente (ATAN), disponible con las
combinaciones „¼, „¾, y „À, respectivamente. Puesto que
las funciones trigonométricas inversas representan ángulos, la respuesta de
estas funciones será dada en la medida angular seleccionada (DEG, RAD,
GRD). Algunos ejemplos se demuestran a continuación:
En modo ALG:
„¼0.25`
„¾0.85`
„À1.35`
En modo RPN:
0.25`„¼
0.85`„¾
1.35`„À
Todas las funciones descritas anteriormente, a saber, ABS, SQ, √, ^, XROOT,
LOG, ALOG, LN, EXP, SIN, COS, TAN, ASIN, ACOS, ATAN, puede ser
combinado con las operaciones fundamentales (+-*/) para
formar expresiones más complejas.
El escritor de ecuaciones, cuyas
operaciones se describen en el capítulo 2, es ideal para construir tales
expresiones, sin importar el modo de la operación de la calculadora.

Página 3-7

Diferencias entre las funciones y los operadores

Las funciones como ABS, SQ, √, LOG, ALOG, LN, EXP, SIN, COS, TAN, ASIN,
ACOS, ATAN requieren un solo argumento. Así, su uso en modo ALG es
directo, por ejemplo, ABS(x). Algunas funciones como XROOT requieren dos
argumentos, por ejemplo, XROOT(x,y).
Esta función es equivalente a la
combinación ‚».
Los operadores, por otra parte, se colocan después de un solo argumento o
entre dos argumentos. El operador factorial (!), por ejemplo, se coloca
después de un número, por ejemplo, 5~‚2`. Puesto que este
operador requiere un solo argumento, se le conoce como un operador unitario.
Operadores que requieren dos discusiones, por ejemplo + - * /
Q, son operadores binarios, por ejemplo, 3*5, o 4Q2.

Funciones de números reales en el menú MTH
El menú de MTH (matemáticas) incluye un número de funciones matemáticas
sobre todo aplicables a los números reales. Para tener acceso al menú MTH,
utilice la combinación „´. Con la opción CHOOSE boxes seleccionada
para la bandera 117 del sistema (véase el capítulo 2), el menú MTH se
muestra como la lista siguiente del menú:

Dado que existe una gran cantidad de funciones matemáticas disponibles en la
calculadora, el menú de MTH se organiza por el tipo de objeto que las
funciones se aplican encendido. Por ejemplo, las opciones 1. VECTOR.., 2.
MATRIX., y 3. LIST.. se aplican a esos tipos de datos (es decir, vectores,
matrices, y listas) y serán discutidas más detalladamente en capítulos
subsecuentes. Las opciones 4. HYPERBOLIC.. y 5. REAL. se aplican a los
números reales y serán discutidas en detallado posteriormente. La opción 6.
BASE.. se utiliza para la conversión de números en diversas bases, y también
se discute en un capítulo separado. La opción 7. PROBABILITY.. se utiliza para

Página 3-8

los usos de la probabilidad y será discutido en un capítulo próximo. La opción
8. FFT.. (Transformada Rápida de Fourier, en inglés, Fast Fourier Transform) se
aplica al proceso de señales y será discutido en un capítulo diferente. La
opción 9. COMPLEX.. contiene las funciones apropiadas para los números
complejos, que serán discutidos en el capítulo siguiente. La opción 10.
CONSTANTS proporciona el acceso a las constantes en la calculadora. Esta
opción será presentada más adelante en este capítulo. Finalmente, la opción
11. SPECIAL FUNCTIONS.. incluye las funciones de las matemáticas
avanzadas que serán discutidas en esta sección también.
En general, téngase cuidado del número y orden de los argumentos requeridos
para cada función, y téngase en cuenta que, en el modo ALG uno debe
seleccionar primero la función y después escribir el o los argumentos, mientras
que en Modo RPN, uno debe escribir el argumento en la pantalla primero, y
después seleccionar la función.
Usando los menús de la calculadora:
1. Dado que la operación de las funciones en MTH (y de muchos otros
menús de la calculadora) es muy similar, describiremos en detalle el uso
del menú 4. HYPERBOLIC.. en esta sección con la intención de describir
la operación general de los menús de la calculadora. Préstese atención
particular al proceso de selección de opciones.
2. Para seleccionar una de las opciones en una lista (CHOOSE box),
simplemente presiónese el número de esa opción en el teclado. Por
ejemplo, para seleccionar la opción 4. HYPERBOLIC.. en el menú MTH,
simplemente presiónese 4.

Las funciones hiperbólicas y sus inversas
Al seleccionar la opción 4. HYPERBOLIC.. , en el menú MTH, y al presionar
@@OK@@, se produce el menú de funciones hiperbólicas:

Página 3-9

Las funciones hiperbólicas son:
Seno hiperbólico, SINH, y su inversa, ASINH o sinh-1
Coseno hiperbólico, COSH, y su inversa, ACOSH o cosh-1
Tangente hiperbólica, TANH, y su inversa, ATANH o tanh-1
Este menú contiene también las funciones:
EXPM(x) = exp(x) – 1,
LNP1(x) = ln(x+1).
Finalmente, la opción 9. MATH, vuelve a usuario al menú de MTH.
Por ejemplo, en modo de ALG, la secuencia de golpe de teclado para calcular
tanh(2.5) es la siguiente:
„´
Seleccionar el menú MTH
4 @@OK@@
Seleccionar 4. HYPERBOLIC..
5 @@OK@@
Seleccionar 5. TANH
2.5`
Evaluar tanh(2.5)
La pantalla muestra el siguiente resultado:

En el modo de RPN, las teclas para realizar este cálculo son los siguientes:
2.5`
Escriba los argumentos en la pantalla
„´
Seleccionar el menú MTH
4 @@OK@@
Seleccionar 4. HYPERBOLIC..
5 @@OK@@
Seleccionar 5. TANH
El resultado es:

Página 3-10

Las operaciones mostradas anteriormente asumen que uno utiliza la opción predefinida para la señal de sistema número 117 (CHOOSE boxes). Si uno ha
cambiado esta señal de sistema (véase el Capítulo 2) a SOFT menu, el menú
MTH resulta ser como se muestra a continuación (a la izquierda en modo ALG,
a la derecha en Modo RPN):

Presione L para mostrar las opciones restantes:

Nota: Al presionar „«se recobra el primer menú de opciones de
MTH. También, usando la combinación ‚˜ enumerará todas las
funciones del menú en la pantalla, por ejemplo

Así, seleccionar, por ejemplo, el menú de las funciones hiperbólicas, presionar
la tecla )@@HYP@ , para producir:

Finalmente, para seleccionar, por ejemplo, la función tangente hiperbólica
(tanh), simplemente presione @@TANH@.
Nota: Para ver opciones adicionales en estos menús, presione la tecla
L o la secuencia „«.

Página 3-11

Por ejemplo, para calcular tanh(2.5), en modo ALG, cuando se usan menús de
teclas (SOFT menus) en vez de menús de listas (CHOOSE boxes), utilícese el
procedimiento siguiente:
„´
Seleccionar el menú MTH
)@@HYP@
Seleccionar el menú HYPERBOLIC..
@@TANH@
Seleccionar TANH
2.5`
Evaluar tanh(2.5)
En Modo RPN, el mismo valor se calcula utilizando:
2.5`
Escribir argumentos en la pantalla
„´
Seleccionar el menú MTH
)@@HYP@
Seleccionar el menú HYPERBOLIC..
@@TANH@
Seleccionar TANH
Como ejercicio de aplicación de las funciones hiperbólicas, verifíquense los
siguientes valores:
SINH (2.5) = 6.05020..
ASINH(2.0) = 1.4436…
COSH (2.5) = 6.13228..
ACOSH (2.0) = 1.3169…
TANH(2.5) = 0.98661..
ATANH(0.2) = 0.2027…
EXPM(2.0) = 6.38905….
LNP1(1.0) = 0.69314….
De nuevo, el procedimiento general demostrado en esta sección se puede
utilizar para seleccionar opciones en cualquier menú de la calculadora.

Funciones de números reales
Seleccionar la opción 5. REAL.. en el menú de MTH, con la bandera 117 del
sistema fijada en CHOOSE boxes, genera la lista siguiente del menú:

Página 3-12

La opción 19. MATH.. recobra el menú MTH. Las funciones restantes se
agrupan en seis diversos grupos descritos a continuación.
Si la bandera 117 del sistema se fija a SOFT menus, el menú de las funciones
REAL lucirá como se muestra a continuación (en el modo ALG, las mismas
teclas del menú estarán disponible en modo RPN):

La opción última, )@@MTH@, recobra el menú MTH.
Funciones del porcentaje
Estas funciones se utilizan para calcular porcentajes y valores relacionados
como sigue:
% (y,x)
: calcula el porcentaje x de y
%CH(y,x) : calcula 100(y-x)/x, es decir, el cambio porcentual, La
diferencia entre dos números.
%T(y,x) : calcula100 x/y, es decir, La porción que un número (x)
constituye de otro (y).
Estas funciones requieren dos argumentos. A continuación, se ilustra el cálculo
de %T(15,45), es decir, calcular el 15% de 45. Asumimos que la calculadora
está fijada al modo ALG, y que la bandera 117 del sistema está fijada en
CHOOSE boxes. El procedimiento es como sigue:
„´
Seleccionar el menú MTH
5 @@OK@@
Seleccionar el menú 5. REAL..
3 @@OK@@
Seleccionar 5. %T

Página 3-13

15
‚í
45
`
El resultado es:

Escriba el primer argumento
Escriba una coma para separar argumentos
Escriba el segundo argumento
Calcular función

En modo RPN, recordar que el argumento y está situada en el segundo nivel de
la pantalla, mientras que el argumento x está situada en el primer nivel. Esto
significa que usted debe escribir x primero, y después escribir la y, como en
modo de ALG. Así, el cálculo de %T(15,45), en modo RPN. Así, el cálculo de
%T(15,45), en modo RPN, y con la bandera del sistema 117 fijada a
CHOOSE boxes, proseguimos de la forma siguiente:
15`
Escriba el primer argumento
45`
Escriba el segundo argumento
„´
Seleccionar el menú MTH
5 @@OK@@
Seleccionar el menú 5. REAL..
3 @@OK@@
Seleccionar 5. %T
Nota: Los ejercicios en esta sección ilustran el uso general de las
funciones de la calculadora que tienen 2 argumentos. La operación de las
funciones que tienen 3 o más argumentos se puede generalizar de estos
ejemplos.
Como ejercicio para las funciones de porcentajes, verificar los valores
siguientes: %(5,20) = 1, %CH(22,25) = 13.6363.., %T(500,20) = 4
Mínimo y máximo
Utilizar estas funciones para determinar el valor mínimo o máximo de dos
discusiones.
MIN(x,y) : valor mínimo de x y de y
MAX(x,y) : valor máximo de x y de y

Página 3-14

Como ejercicio, verificar que MIN(-2,2) = -2, MAX(-2,2) = 2
Módulo
MOD: y mod x = residuo de y/x, es decir, si x y y son números enteros, y/x =
d + r/x, en la cual d = cociente, r = residuo. En este caso, r = y mod x.
Notar por favor que MOD no es una función, sino un operador, por ejemplo,
en modo ALG, MOD se debe utilizar como y MOD x, y no como
MOD(y,x). Así, la operación de la MOD es similar a la de +, -,
*, /.
Como ejercicio, verificar que15 MOD 4 = 15 mod 4 = residuo de 15/4 = 3
Valor absoluto, signo, mantisa, exponente, parte entera y fraccionaria
ABS(x) : calcula el valor absoluto, |x|
SIGN(x): determina el signo de x, i.e., -1, 0, o 1.
MANT(x): determina la mantisa de un número basado en log10.
XPON(x): determina la potencia de 10 en el número
IP(x)
: determina parte entera de un número real
FP(x)
: determina la parte fraccionaria de un número real
Como ejercicio, verificar que ABS(-3) = |-3| = 3, SIGN(-5) = -1, MANT(2540)
= 2.540, XPON(2540) = 3, IP(2.35) = 2, FP(2.35) = 0.35.
Funciones de redondeo, truncado, piso, y techo
RND(x,y) : redondea y a x decimales
TRNC(x,y) : trunca y a x decimales
FLOOR(x) : entero más cercano que es menor igual que x
Como ejercicio, verificar eso que RND(1.4567,2) = 1.46, TRNC(1.4567,2) =
1.45, FLOOR(2.3) = 2, CEIL(2,3) = 3CEIL(x) : entero más cercano que es mayor
o igual que x
Funciones para transformar radianes a grados y viceversa
DR (x): convierte grados a radianes

Página 3-15

RD (x): convierte radianes a grados
Como ejercicio, verificar que D‡R(45) = 0.78539 (es decir, 45o = 0.78539rad),
R→D(1.5) = 85.943669.. (es decir, 1.5rad = 85.943669..o).

Funciones especiales
La opción 11. Special functions… en el menú MTH incluye las funciones
siguientes:

GAMMA:
PSI:
Psi:

La función gamma Γ(α)
derivada N de la función digamma
Función digamma, derivada de ln(Gamma)

La función gamma se define como

∞

Γ(α ) = ∫ x α −1e − x dx . Esta función tiene
0

usos en las matemáticas aplicadas para la ciencia y la ingeniería, así como en
probabilidad y estadística.

Página 3-16

Factorial de un número
El factorial de un número positivo entero n se define como n!=n⋅(n-1)Þ(n-2)
…3Þ2Þ1, con 0! = 1. La función factorial está disponible en la calculadora
usando ~‚2. En modos ALG y RPN, incorporar el número, primero,
seguido por la secuencia ~‚2. Ejemplo: 5~‚2`.
La función gamma, definida arriba, tiene la siguiente característica
Γ(α) = (α−1) Γ(α−1), con α > 1.
Por lo tanto, puede ser relacionado con el factorial de un número, es decir,
Γ(α) = (α−1)!, en la cual α es un número entero positivo. Podemos también
utilizar la función factorial para calcular la función gamma, y viceversa. Por
ejemplo, Γ(5) = 4! o, 4~‚2`. La función factorial está
disponible en el menú MTH, el menú 7. PROBABILITY..
La función PSI, Ψ(n,x), representa la n derivada de la función digamma, es
decir.,

Ψ (n, x) =

dn
ψ ( x) , en la cual y(x) se conoce como la función
dx n

digamma, o función Psi.
positivo.

Para esta función, n debe ser un número entero

La función Psi, y(x), o función digamma, se define como ψ ( x ) = ln[Γ( x )] .
Los ejemplos de estas funciones especiales se demuestran aquí usando los
modo ALG y RPN. Como ejercicio, verifique que GAMMA(2.3) = 1.166711…,
PSI(1.5,3) = 1.40909.., y Psi(1.5) = 3.64899739..E-2.
Estos cálculos se demuestran en la pantalla siguiente:

Página 3-17

Constantes de la calculadora
Los siguientes son las constantes matemáticas usadas por su calculadora:
• e:
la base de logaritmos naturales.
• i:
la unidad imaginaria, ii 2 = -1.
• π:
el cociente de la longitud del círculo a su diámetro.
• MINR: el número real mínimo disponible en la calculadora.
• MAXR: el número real máximo disponible en la calculadora.
Para tener acceso a estas constantes, seleccione la opción 11. CONSTANTS..
en el menú MTH,

Las constantes se enumeran como sigue:

Seleccionar cualesquiera de estas entradas pondrá el valor seleccionado, ya
sea un símbolo (por ejemplo, e, i, π, MINR, o MAXR) o un valor (2.71.., (0,1),
3.14.., 1E-499, 9.99..E499) en la pantalla.
Notar por favor que la e está disponible en el teclado como exp(1), es decir,
„¸1`, en modo ALG, o 1` „¸, en modo RPN. Así
mismo, π está disponible directamente del teclado como „ì. Finalmente,
i está disponible usando „¥.

Página 3-18

Operaciones con unidades
Los números reales en la calculadora pueden escribirse con unidades de
medida. Por lo tanto, es posible calcular resultados que involucren un sistema
de unidades consistentes y producir un resultado con la combinación de
unidades apropiadas.

El menú de UNIDADES
El menú de unidades (UNITS menu) se obtiene a través de la combinación de
teclas ‚Û(asociada con la tecla 6). Con la señal de sistema número
117 indicando listas de menú (CHOOSE boxes), el resultado es el siguiente
menú:

La opción 1. Tools.. (herramientas) contiene las funciones usadas para operar
en unidades (se presentan más adelante). Las opciones 3. Length..
a17.Viscosity.. contiene menús con varias unidades para cada una de las
cantidades descritas. Por ejemplo, al seleccionarse la opción 8. Force.. se
muestra el siguiente menú de unidades:

Página 3-19

El usuario reconocerá la mayoría de estas unidades de sus estudios de física o
química (algunas, por ejemplo, la dina (dyne), ya no se utilizan muy
comúnmente): N = newton, dyn = dynes (dinas), gf = gramos – fuerza (distinto
de gramos-masa, ó simplemente gramos, una unidad de masa), kip = kilopoundal (1000 libras), lbf = libra-fuerza (distinto de libra-masa), pdl =
poundal.
El uso de teclas de menú (SOFT menus) provee una forma más conveniente de
agregar unidades cuando se utilizan números con unidades. Cámbiese la
señal de sistema número 117 a la opción SOFT menus (véase el Capítulo 1), y
utilícese la combinación de teclas ‚Û para obtener los siguientes menús.
Presiónese la tecla L para activar la siguiente página del menú.

Al presionarse la tecla de menú apropiada se abrirá el sub-menú de unidades
para esa selección particular. Por ejemplo, para el menú @)SPEED (rapidez,
velocidad), se encuentran disponibles las siguientes unidades:

Al presionarse la tecla @)UNITS se reactiva el menú de UNIDADES.
Las opciones de un menú pueden listarse en la pantalla al usar las teclas
‚˜, por ejemplo, para las unidades @)ENRG (energía) se listan las
siguientes opciones:

Página 3-20

Nota: Utilícense las teclas L ó „«para navegar a través de
los diferentes menús.

Unidades disponibles
Lo que sigue es una lista de las unidades disponibles en el menú de las
UNIDADES. El símbolo de la unidad se demuestra primero seguido por el
nombre de la unidad en paréntesis:
LONGITUD
m (metro), cm (centímetro), mm (milímetro), yd (yarda), ft (pies), in (pulgada),
Mpc (Mega parsec), pc (parsec), lyr (año luz), au (unidad astronómica), km
(kilómetro), mi (milla internacional), nmi (milla náutica), miUS (milla estatutaria
EE.UU.), chain (cadena), rd (rod), fath (fathom), ftUS (pie de topografía), Mil
(Mil), μ (micron), Å (Angstrom), fermi (fermi)
AREA
m^2 (metro cuadrado), cm^2 (centímetro cuadrado), b (barn), yd^2 (yarda
cuadrada), ft^2 (pies cuadrados), in^2 (pulgada cuadrada), km^2 (kilómetro
cuadrado), ha (hectárea), a (are), mi^2 (milla cuadrada), miUS^2 (milla
cuadrada estatutoria), acre (acre)
VOLUMEN
m^3 (metro cúbico), st (stere), cm^3 (centímetro cúbico), yd^3 (yarda cúbica),
ft^3 (pies cúbicos), in^3 (pulgada cúbica), l (litro), galUK (galón UK), galC
(Galón canadiense), gal (Galón de los E.E.U.U.), qt (cuarta), pt (pinta), ml
(mililitro), cu (Taza de los E.E.U.U.), ozfl (Onza líquida de los E.E.U.U.), ozUK
(Onza fluida BRITÁNICA), tbsp (cuchara de sopa), tsp (cucharilla), bbl (barril),
bu (bushel), pk (peck), fbm (pie de tablero)
TIEMPO
yr (año), d (día), h (hora), min (minuto), s (segundo), Hz (hertz)

Página 3-21

VELOCIDAD
m/s (metro por segundo), cm/s (centímetro por segundo), ft/s (pies por
segundo), kph (kilómetro por hora), mph (milla por hora), knot (millas náuticas
por hora), c (velocidad de la luz), ga (aceleración de la gravedad)
MASA
kg (kilogramo), g (gramo), Lb (libra del sistema de pesos americano), oz
(onza), slug (slug), lbt (libra de Troy), ton (tonelada corta), tonUK (tonelada
larga), t (tonelada métrica), ozt (onza de Troy), ct (carate), grain (grano), u
(masa atómica unificada), mol (mol)
FUERZA
N (newton), dyn (dina), gf (gramo- fuerza), kip (kilopound-fuerza), lbf (librafuerza), pdl (poundal)
ENERGÍA
J (julio), erg (ergio), Kcal (kilocaloría), Cal (caloría), Btu (unidad térmica
británica internacional), ft¥lbf (pie-libra), therm (EEC therm), MeV (mega
electrón-voltio), eV (electrón-voltio)
POTENCIA
W (vatio), hp (caballo de fuerza)
PRESIÓN
Pa (pascal), atm (atmósfera), bar (bar), psi (libras por pulgada cuadrada), torr
(torr), mmHg (milímetros de mercurio), inHg (pulgadas de mercurio), inH20
(pulgadas de agua)
TEMPERATURA
o

C (grado Celsius), o F (grado Fahrenheit), K (Kelvin), o R (grado Rankine),

CORRIENTE ELÉCTRICA (medidas eléctricas)
V (voltio), A (amperio), C (coulombio), Ω (ohmio), F (faradio), W (vatio), Fdy
(faraday), H (henry), mho (mho), S (siemens), T (tesla), Wb (weber )

Página 3-22

ÁNGULO (medidas angulares planas y sólidas)
o

(grado sexagesimal), r (radián), grad (grado centesimal), arcmin (minuto del
arco), arcs (segundo de arco), sr (esterradián)
LUZ (medidas de la iluminación)
fc (pie-bujía), flam (footlambert), lx (lux), ph (phot), sb (stilb), lm (lumem), cd
(candela), lam (lambert)
RADIACIÓN
Gy (gray), rad (rad), rem (rem), Sv (sievert), Bq (becquerel), Ci (curie), R
(roentgen)
VISCOSIDAD
P (poise), St (stokes)
Unidades no enumeradas
Las unidades no enumeradas en el menú de unidades, que sin embargo están
disponibles en la calculadora, incluyen: gmol (gramo-mole), lbmol (libramole), rpm (revoluciones por minuto), dB (decibelios). Estas unidades son
accesibles a través de menú 117.02, accionado usando MENU(117.02) en
modo ALG, o 117.02 ` MENU en modo RPN. El menú se mostrará en la
pantalla como sigue (use ‚˜ para demostrar etiquetas en la pantalla):

Estas unidades son también accesibles a través del catálogo, por ejemplo:
gmol:

‚N~„g

lbmol: ‚N~„l
rpm:

‚N~„r

dB:

‚N~„d

Página 3-23

El convertir a las unidades básicas
Para convertir cualesquiera de estas unidades a las unidades básicas en el
sistema internacional (SI), utilice la función UBASE. Por ejemplo, para calcular
el valor de 1 poise (unidad de viscosidad) en las unidades SI, utilice lo
siguiente:
En modo ALG, bandera de sistema 117 fijada a CHOOSE boxes:
‚Û
Seleccionar el menú UNITS
@@OK@@
Seleccionar el menú TOOLS
˜ @@OK@@
Seleccionar la función UBASE
1 ‚Ý Introducir 1 y subrayarlo
‚Û
Seleccionar el menú UNITS
— @@OK@@
Seleccionar la opción VISCOSITY
@@OK@@
Seleccionar el menú UNITS
`
Convertir las unidades
Esto resulta se muestra en la pantalla siguiente (es decir, 1 poise = 0.1 kg/
(mÞs)):

En modo RPN, bandera
1
‚Û
— @@OK@@
@@OK@@
‚Û
@@OK@@
˜ @@OK@@

del sistema 117 fija a CHOOSE boxes:
Introducir 1 (sin subrayado)
Seleccionar el menú UNITS
Seleccionar la opción VISCOSITY
Seleccionar la unidad P (poise)
Seleccionar el menú UNITS
Seleccionar el menú TOOLS
Seleccionar la función UBASE

En modo ALG, bandera
‚Û
)@TOOLS
@UBASE
1 ‚Ý

del sistema 117 fijado a SOFT menus:
Seleccionar el menú UNITS
Seleccionar el menú TOOLS
Seleccionar la función UBASE
Introducir 1 y subrayarlo

Página 3-24

‚Û
„« @)VISC
@@@P@@
`
En modo RPN, bandera
1
‚Û
„« @)VISC
@@@P@@
‚Û
)@TOOLS
@UBASE

Seleccionar el menú UNITS
Seleccionar la opción VISCOSITY
Seleccionar la unidad P (poise)
Convertir las unidades
del sistema 117 fijada a SOFT menus:
Introducir 1 (sin subrayado)
Seleccionar el menú UNITS
Seleccionar la opción VISCOSITY
Seleccionar la unidad P (poise)
Seleccionar el menú UNITS
Seleccionar el menú TOOLS
Seleccionar la función UBASE

Agregando unidades a los números reales
Para adjuntar unidades a un número, el número debe seguirse de una línea
subrayada (‚Ý, tecla (8,5)). Por lo tanto, una fuerza de 5 N se escribe
como 5_N.
La siguiente secuencia de teclas permite escribir este número con unidades en
modo ALG (la señal de sistema número 117 utiliza la opción CHOOSE boxes):
5‚Ý Incorporar el número y la raya
‚Û
Acceder al menú de las UNIDADES
8@@OK@@
Seleccionar unidades de fuerza (8. Force..)
@@OK@@
Seleccionar Newtons (N)
`
Pasar cantidad con unidades al stack
La pantalla lucirá como se muestra a continuación:

Nota: Si se olvida uno de escribir la línea subrayada, el resultado es
la expresión algebraica 5*N, en la cual N representa una variable y no
las unidades de fuerza, Newtons.

Página 3-25

Para escribir esta misma cantidad, con la calculadora en Modo RPN, utilícense
las teclas siguientes:
5
Escribir el número (sin subrayado)
‚Û
Acceder al menú UNITS
8@@OK@@
Seleccionar unidades de fuerza (8. Force..)
@@OK@@
Seleccionar Newtons (N)
Nótese que la línea subrayada se escribe automáticamente al usarse el modo
RPN . El resultado es la pantalla siguiente:

Según lo indicado anteriormente, si bandera del sistema 117 se fija a SOFT
menus, el menú UNITS se mostrará como etiquetas de las teclas del menú. Esta
opción es muy conveniente para operaciones extensas con unidades.
La secuencia de teclas para escribir unidades cuando la opción SOFT menu ha
sido seleccionada, en ambos modos, ALG y RPN, se ilustran a continuación.
Por ejemplo, en Modo ALG, para escribir la cantidad 5_N use:
5‚Ý Escribir el número y subrayado
‚Û
Acceder al menú UNITS
L @)@FORCE
Seleccionar unidades de fuerza
@ @@N@@
Seleccionar Newtons (N)
`
Pasar la cantidad con unidades al “stack”
La misma cantidad escrita en Modo RPN utiliza las siguientes teclas:
5
Escribir el número (sin subrayado)
‚Û
Acceder el menú UNITS
L @)@FORCE
Seleccionar unidades de fuerza
@ @@N@@
Seleccionar Newtons (N)

Página 3-26

Nota: Uno puede escribir una cantidad con unidades utilizando el
teclado alfanumérico ~, por ejemplo, 5‚Ý~n produce
la cantidad: 5_N
Prefijos de unidades
Uno puede escribir prefijos para las unidades de acuerdo con la siguiente
tabla de prefijos del Sistema Internacional (S.I.). La abreviatura del prefijo se
muestra primero, seguida del nombre, y del exponente x en el factor 10x
correspondiente a cada prefijo:
Prefijo

Nombre

x

Prefijo

Nombre

x

Y

yotta

+24

d

deci

-1

Z

zetta

+21

c

centi

-2

E

exa

+18

m

milli

3

P

peta

+15

m

micro

-6

T

tera

+12

n

nano

-9

G

giga

+9

p

pico

-12

M

mega

+6

f

femto

-15

k,K

kilo

+3

a

atto

-18

h,H

hecto

+2

z

zepto

-21

D(*)

deka

+1

y

yocto

-24

(*) en el sistema SI, este prefijo se escribe da en vez de D. En la calculadora,
sin embargo, utilícese D en vez de deca.
Para escribir estos prefijos, simplemente utilícese el teclado alfanumérico ~.
Por ejemplo, para escribir 123 pm (picómetro), use:
123‚Ý~„p~„m
La función UBASE, que se usa para convertir a la unidad base (1 m), produce
lo siguiente:

Página 3-27

Operaciones con unidades

Una vez que una cantidad acompañada con las unidades se pasa al “stack”,
la misma puede ser utilizada en las operaciones matemáticas, excepto que
esas cantidades con unidades no puedan utilizarse como argumentos de
funciones (digamos, SQ o SIN). Así, procurando calcular LN(10_m) producirá
un mensaje de error: Error: Bad Argument Type.
A continuación se presentan algunos ejemplos de cálculos con unidades en el
modo ALG. Téngase en cuenta que, cuando se multiplican o dividen
cantidades con unidades, uno debe encerrar esas cantidades entre paréntesis.
Por lo tanto, para escribir, por ejemplo, el producto 12m × 1.5 yd, úsese
(12_m)*(1.5_yd) `:

que resulta en 65_(m⋅yd). Para convertir este resultado a unidades del sistema
SI, utilícese la función UBASE:

Nota: Recuérdese que la variable ANS(1) se encuentra disponible a
través de la secuencia de teclas „î(asociada con la tecla `).
Para calcular una división, por ejemplo, 3250 mi / 50 h, escríbase como
(3250_mi)/(50_h) `

Página 3-28

la cual, transformada a unidades SI con la función UBASE, produce:

La adición y la substracción pueden ejecutarse, en modo ALG, sin usar
paréntesis, por ejemplo, 5 m + 3200 mm, se escribe simplemente como: 5_m +
3200_mm `.

Expresiones más complicadas requieren el uso de paréntesis, por ejemplo,
(12_mm)*(1_cm^2)/(2_s) `:

Cálculos en la pantalla (stack) en modo RPN, no requieren que se encierren los
términos entre paréntesis, por ejemplo,
12_m ` 1.5_yd ` *
3250_mi ` 50_h ` /
Estas operaciones producen los siguientes resultados:

También, ejecute las operaciones siguientes:

Página 3-29

5_m ` 3200_mm ` +
12_mm ` 1_cm^2 `* 2_s ` /
Estas dos operaciones pasadas producen los resultados siguientes:

Nota: Las unidades no se permiten en las expresiones escritas en el
escritor de ecuaciones.

Herramientas para la manipulación de unidades

El menú de unidades (UNITS menu) contiene un sub-menú de herramientas
(TOOLS), el cual provee las siguiente funciones:
CONVERT(x,y):convierte unidades x a unidades y
UBASE(x):convierte unidades x a unidades SI
UVAL(x):extrae el valor de la cantidad, x, con unidades
UFACT(x,y):factoriza las unidades y de la cantidad x
UNIT(x,y):combines valor de x con unidades de y
La función UBASE fue presentada detalladamente en una sección anterior en
este capítulo. Para tener acceso cualesquiera de estas funciones siga los
ejemplos proporcionados anteriormente para UBASE. Nótese que, mientras
que la función UVAL requiere solamente un argumento, las funciones
CONVERT, UFACT, y UNIT requieren dos argumentos.
Intentar los ejercicios siguientes, en sus ajustes preferidos de la calculadora. La
salida demostrada posteriormente fue desarrollada en modo ALG con la
bandera del sistema 117 fijada a SOFT menu:
Ejemplos de CONVERT
Estos ejemplos producen el mismo resultado, es decir, convertir 33 vatios a
BTU’s

Página 3-30

CONVERT(33_W,1_hp) `
CONVERT(33_W,11_hp) `
Estas operaciones se demuestran en la pantalla como:

Ejemplos de UVAL:
UVAL(25_ft/s) `
UVAL(0.021_cm^3) `

Ejemplos de UFACT
UFACT(1_ha,18_km^2) `
UFACT(1_mm,15.1_cm) `

Ejemplos de UNIT

UNIT(25,1_m) `
UNIT(11.3,1_mph) `

Página 3-31

Constantes físicas en la calculadora
Continuando con referencias a unidades, discutimos a continuación el uso de
las constantes físicas que están disponibles en la memoria de la calculadora.
Estas constantes se localizan en una biblioteca de constantes (constants library)
que se activa con la función CONLIB. Para activar esta función escríbase en la
pantalla el nombre de la función:
~~conlib~`,
o, selecciónese la función CONLIB en el catálogo de funciones siguiendo este
procedimiento:
Primero, ábrase el catálogo de funciones utilizando:
‚N~c. A continuación, utilícense las teclas direccionales verticales
—˜ para seleccionar CONLIB. Finalmente, presiónese la tecla de menú
F(@@OK@@).
Presiónese `, de ser necesario.
utilícense las teclas
direccionales verticales (—˜) para navegar a través de la lista de
constantes en la calculadora.
La pantalla de la biblioteca de las constantes lucirá como se muestra a
continuación (utilizar las teclas direccionales verticales para navegar a través
de la biblioteca):

Página 3-32

Las teclas de menú correspondientes a la biblioteca de constantes
(CONSTANTS LIBRARY) incluyen las siguientes funciones:
SI
cuando se selecciona esta opción, se usan unidades SI (*)
ENGL cuando se selecciona esta opción, se usan unidades inglesas
(*)
UNIT cuando se selecciona esta opción, se muestran unidades
VALUE cuando se selecciona esta opción, no se muestran unidades
STK copia el valor (con ó sin unidades ) a la pantalla
QUIT abandona la biblioteca de unidades
(*) Activada solamente si la opción VALUE (valor) ha sido seleccionada.
La pantalla de la biblioteca de constantes (CONSTANTS LIBRARY) aparece
como se muestra a continuación si se ha seleccionado la opción VALUE
(unidades en el sistema SI):

Página 3-33

Para ver los valores de las constantes en el sistema inglés (o sistema imperial),
presiónese la opción @ENGL :

Si se remueve la opción UNITS opción (presiónese @UNITS ) se muestran
solamente los valores de las constantes (en este caso, en unidades inglesas):

Para copiar el valor de Vm a la pantalla, selecciónese el nombre de la
constante y presiónese !²STK, después, presiónese @QUIT@. Cuando se utiliza
el modo ALG, la pantalla mostrará el siguiente resultado:

La pantalla muestra lo que se denomina un valor rotulado (tagged value),
Vm:359.0394. En este resultado, Vm, es el rótulo (tag) del resultado.
Cualquier operación aritmética que utilice este número simplemente ignora el
rótulo en el resultado. Por ejemplo: ‚¹2*„î ` produce:

Página 3-34

Esta misma operación en Modo RPN requiere las siguientes teclas (después de
extraer el valor de Vm de la biblioteca de constantes): 2`*‚ ¹

Funciones físicas especiales
El menú 117, accionado usando MENU(117) en modo de ALG, ó 117 `
MENU en modo RPN, produce el menú siguiente (etiquetas enumeradas en la
pantalla usando ‚˜):

Las funciones incluyen:
ZFACTOR: función del factor de la compresibilidad Z del gas
FANNING: factor de fricción FANNING para el flujo fluido
DARCY: Factor de fricción Darcy-Weisbach para el flujo fluido
F0λ: Función de emisión de potencia para un cuerpo negro
SIDENS: Densidad intrínseca del silicio
TDELTA: Función delta de la temperatura
En la segunda página de este menú (presione L) encontramos las opciones
siguientes:

En esta página del menú, hay una función (TINC) y un número de unidades
descritas en una sección anterior. La función de interés es:
TINC: función del incremento de la temperatura

Página 3-35

De todas las funciones disponibles en este MENÚ (menú UTILITY), a saber,
ZFACTOR, FANNING, DARCY, F0λ, SIDENS, TDELTA, y TINC, las funciones
FANNING y DARCY se describen en el capítulo 6 en el contexto de solucionar
las ecuaciones para el flujo de tuberías. Las funciones restantes se describen a
continuación.

Función ZFACTOR

La función ZFACTOR calcula el factor de la corrección de la compresibilidad
del gas para el comportamiento no-ideal de hidrocarburos gaseosos. La
función se invoca usando ZFACTOR(xT, yP), en la cual xT es la temperatura
reducida, es decir, el cociente de la temperatura real a la temperatura pseudocrítica, y yP es la presión reducida, es decir, el cociente de la presión real a la
presión pseudo-crítica.

El valor de xT debe estar entre 1.05 y 3.0, mientras

que el valor de yP debe estar entre 0 y 30. Ejemplo, en modo ALG:

Función F0λ

La función F0λ (T, λ) calcula la fracción (adimensional) de la potencia emisiva
de un cuerpo negro total a la temperatura T entre las longitudes de onda 0 y
λ. Si no se usan unidades con T y λ, se implica que T es en K y λ en m.
Ejemplo, en modo ALG:

Función SIDENS

La función SIDENS(T) calcula la densidad intrínseca del silicio (en unidades de
1/cm3) en función de temperatura T (T en K), para T entre 0 y 1685 K. Por
ejemplo,

Página 3-36

Función TDELTA

La función TDELTA(T0,Tf) rinde el incremento de la temperatura Tf – T0. El
resultado se produce con las mismas unidades que T0, si existen.

Si no,

produce simplemente la diferencia en números. Por ejemplo,

El propósito de esta función es facilitar el cálculo de las diferencias de la
temperatura dadas temperaturas en diversas unidades. Si no, se calcula
simplemente una substracción, por ejemplo,

Función TINC

La función TINC(T0,ΔT) calcula T0+DT. La operación de esta función es similar
a la de la función TDELTA en el sentido que produce un resultado en las
unidades de T0. Si no, produce una adición simple de valores, ejemplo del por,

Definiendo y usando funciones
Los usuarios pueden definir sus propias funciones a través de la partícula
DEFINE disponible a través de las teclas „à (asociada con la tecla 2).
La función deberá escribirse en el siguiente formato:
Nombre_de_la_función(argumentos) = expresión_contaniendo_argumentos
Por ejemplo, definamos una función relativamente simple, H(x) = ln(x+1) +
exp(-x).

Página 3-37

Supóngase que uno tiene que evaluar esta función para un número de valores
discretos y que, por lo tanto, se requiere simplemente presionar una tecla para
esa evaluación. En el siguiente ejemplo, asumimos que la calculadora opera
en modo ALG. Escríbase la siguiente secuencia de teclas:
„à³~h„Ü~„x™‚Å
‚¹~„x+1™+„¸~„x`
La pantalla lucirá como se muestra a continuación:

Presiónese la tecla J, nótese la existencia de una nueva variable en las teces
de menú (@@@H@@). Para examinar el contenido de esta variable presiónese
‚@@@H@@. La pantalla mostrará lo siguiente:

La variable H, por lo tanto, incluye el siguiente programa:
<<  x ‘LN(x+1) + EXP(x)’ >>
Esto es un programa simple en el lenguaje de programacion del defecto de la
calculadora. Este lenguaje de programación se denomina UserRPL (Véanse los
Capítulos 20 y 21 en la Guía del Usuario de la calculadora). El programa
mostrado anteriormente es relativamente simple y consiste de dos partes,
contenidas entre los símbolos << >>:
• Entrada:
x
• Procesamiento:
‘LN(x+1) + EXP(x) ‘
Estas dos partes se interpretan de esta manera: escríbase un valor que se
asigna temporalmente al símbolo x (denominado una variable local), evalúese

Página 3-38

la expresión entre apóstrofes que contiene a la variable local, y muéstrese la
expresión evaluada.
Para activar esta función en modo ALG, escríbase el nombre de la función
seguida por los argumentos entre paréntesis, por ejemplo, @@@H@@@
„Ü2`. He aquí algunos ejemplos:

Para activar la función en modo RPN, escríbase primero el argumento, seguido
de la tecla de menú con el nombre de la función, @@@H@@@ . Por ejemplo, ejecútese
esta operación: 2@@@H@@@ . Los otros ejemplos mostrados anteriormente pueden
escribirse en modo RPN utilizando: 1.2@@@H@@@ , 2`3/@@@H@@@ .
Las funciones pueden tener más de 2 argumentos. Por ejemplo, la pantalla
abajo demuestra la definición de la función K(α,β) = α+β, y su evaluación con
argumentos K(÷2,π), y K(1.2,2.3):

El contenido de la variable K es: <<  α β ‘α+β’ >>.

Funciones definidas por más de una expresión
En esta sección discutimos el tratamiento de las funciones que son definidas por
dos o más expresiones. Un ejemplo de tales funciones sería

⎧ 2 ⋅ x − 1,
f (x) = ⎨ 2
⎩ x − 1,

x < 0⎫
⎬
x > 0 ⎭

La calculadora provee la función IFTE (IF-Then-Else) para describir tales
funciones.

Página 3-39

La función IFTE

Se escribe la función de IFTE como
IFTE(condición, operación_si_verdadera, operation_si_falsa)
Si la condición es verdadera entonces operación_si_verdadera se realiza, sino
se realiza la opción operación_si_falsa . Por ejemplo, podemos escribir ‘f(x) =
IFTE(x>0, x^2-1, 2*x-1)’, para describir la función mostrada anteriormente. La
función IFTE es accesible a través del catálogo de la función (‚N). El
símbolo ‘>’ (mayor que) está disponible asociado a la tecla Y. Para definir
esta función en modo ALG utilice la instrucción:
DEF(f(x) = IFTE(x>0, x^2-1, 2*x-1))
y presione `. En modo de RPN, escriba la definición de la función entre los
apóstrofes:
‘f(x) = IFTE(x>0, x^2-1, 2*x-1)’
y presione „à.
Presione J para recuperar el menú de variables. La función @@@f@@@ estará
disponible en su menú de teclas. Presione ‚@@@f@@@ para ver el programa que
resulta:
<<  x ‘IFTE(x>0, x^2-1, 2*x-1)’ >>
Para evaluar la función en modo de ALG, escriba el nombre de la función, f,
seguido por el número en el cual usted desea evaluar la función, por ejemplo,
f(2), y presione `. En modo de RPN, escriba un número y presione @@@f@@@.
Verifique, por ejemplo, que f(2) = 3, mientras que f(-2) = -5.

Página 3-40

Funciones IFTE combinadas

Para programar una función más complicada, por ejemplo,

⎧ − x , x < −2
⎪ x + 1, − 2 ≤ x < 0
⎪
g ( x) = ⎨
⎪ x − 1, 0 ≤ x < 2
⎪⎩
x2 , x ≥ 2
usted puede combinar varios niveles de la función IFTE, es decir,
‘g(x) = IFTE(x<-2, -x, IFTE(x<0, x+1, IFTE(x<2, x-1, x^2)))’,
Defina esta función por cualesquiera de los medios presentados arriba, y
compruebe que g(-3) = 3, g(-1) = 0, g(1) = 0, g(3) = 9.

Página 3-41

Capítulo 4
Cálculos con números complejos

Este Capítulo muestras ejemplos de cálculos y aplicación de funciones a
números complejos.

Definiciones

Un número complejo z se define como z = x + iy, (representación Cartesiana)
en la cual x y y son números reales, y la i es la unidad imaginaria definida por
i2 = -1. El número z posee una parte real, x = Re(z), y una parte imaginaria,
y = Im(z). Podemos imaginar a un número complejo como el punto P(x,y) en el
plano, con el eje x designado el eje real, y el eje y designado el eje
imaginario. Así, un número complejo representado en la forma x+iy se dice
estar en su representación cartesiana.
Una representación cartesiana
alternativa es el par ordenado z = (x,y). Un número complejo también puede
escribirse en su representación polar , z = re iθ = r⋅cosθ+ i r⋅sinθ, en la cual r =
|z| =

x 2 + y 2 es la magnitud del número complejo z, y θ = Arg(z) =

arctan(y/x) es el argumento del número complejo z.
La relación entre la
representación cartesiana y polar de los números complejos es dada por la
fórmula de Euler: e iθ = cos θ + i sin θ.

El conjugado complejo de un número

iθ

complejo z = x + iy = re , es⎯z = x – iy = re -iθ . El conjugado complejo de z
se puede interpretar como la reflexión de z con respecto al eje real. De
manera similar, el negativo de z, –z = -x-iy = - re iθ, puede visualizarse como la
reflexión de z con respecto al origen (0,0).

Fijando la calculadora al modo COMPLEJO

Para operaciones con números complejos selecciónese el modo complejo
(COMPLEX) del CAS: H)@@CAS@ ˜˜™@@CHK@
El modo COMPLEX estará activo en la forma interactiva denominada CAS
MODES si se muestra una marca de verificación en la opción _Complex:

Página 4-1

Presione @@OK@@ , dos veces, para recobrar la pantalla normal de la calculadora.

Escritura de números complejos
Los números complejos en la calculadora pueden escribirse en una de dos
representaciones Cartesianas: x+iy, o (x,y). Los resultados complejos en la
calculadora se muestran el formato de par ordenado, es decir, (x,y). Por
ejemplo, con la calculadora in modo ALG, el número complejo (3.5,-1.2), se
escribe con las siguientes teclas:
„Ü3.5‚\1.2`
Un número complejo puede escribirse también en la forma x+iy. Por ejemplo,
en modo ALG, 3.5-1.2i se escribe con las siguientes teclas:
3.5 -1.2*‚¥`
La pantalla siguiente resulta después de escribir estos números complejos:

En modo RPN, estos números se escriben utilizando las siguientes teclas:
„Ü3.5‚í1.2\`
(Nótese que la tecla de cambio de signo se escribe después número 1.2, en el
orden contrario al del ejercicio anterior realizado en modo ALG),
La pantalla RPN que resulta será:

Página 4-2

Notar que la última escritura en la pantalla muestra un número complejo en la
forma x+iy. Esto es así porque el número fue escrito entre apóstrofes, lo que
representa una expresión algebraica. Para evaluar esta expresión use la tecla
EVAL ( μ).

Una vez que se evalúe la expresión algebraica, usted recupera el número
complejo (3.5,1.2).

Representación polar de un número complejo
La representación polar del número complejo 3.5-1.2i, que se utilizó
anteriormente, se obtiene al cambiar el sistema de coordenadas de
Cartesianas (o rectangulares) a cilíndricas (o polares) usando la función CYLIN.
Esta función se puede obtener a través del catálogo de funciones (‚N).
Presiónese la tecla μ antes o después de usar la función CYLIN. Cambiando
las coordenadas a polares y las medidas angulares a radianes, produce el
siguiente resultado in el modo RPN:

Para este resultado, estando en notación estándar, la medida angular se fija a
radianes (usted puede cambiar a radianes usando la función RAD). Este
formato incluye una magnitud, 3.7, y un ángulo, 0.33029…. El símbolo de
ángulo (∠) se muestra delante de la medida angular.
Cámbiense las coordenadas de vuelta a Cartesianas o rectangulares utilizando
la función RECT (disponible en el catálogo de funciones, ‚N).
Un
número complejo en representación polar se escribe como z = r⋅eiθ. Se puede
escribir este número complejo utilizando un par ordenado de la forma (r, ∠θ).
El símbolo de ángulo (∠) puede escribirse utilizando las teclas ~‚6.
Por ejemplo, el número complejo z = 5.2e1.5i, puede escribirse como se
muestra a continuación (las figuras muestran la pantalla RPN, es decir, el stack,
antes y después de escribir el número):

Página 4-3

Dado que el sistema de coordenadas activo es el sistema rectangular (o
Cartesiano), la calculadora automáticamente convierte el número a
Coordenadas Cartesianas, es decir, x = r cos θ, y = r sin θ, resultando, para
este caso, en el valor (0.3678…, 5.18…).
Ahora bien, si el sistema de coordenadas activo es el de coordenadas
cilíndricas (utilícese la función CYLIN para activarlo), al escribirse un
número complejo (x,y), en el cual x y y son números reales, se producirá
una representación polar. Por ejemplo, en coordenadas cilíndricas,
escríbase el número (3.,2.). Las figuras siguientes muestran la pantalla RPN
(stack), antes y después de escribir este número:

Operaciones simples con números complejos

Los números complejos se pueden combinar usando las cuatro operaciones
fundamentales (+-*/). Los resultados siguen las reglas de la
álgebra con la advertencia de que i2= -1. Las operaciones con números
complejos son similares a las operaciones con números reales. Por ejemplo,
con la calculadora en modo ALG y el CAS fijado a Complex, procuraremos la
suma siguiente: (3+5i) + (6-3i):

Notar que las partes reales (3+6) y las partes imaginarias (5-3) se combinan
junto y el resultado dado como un par ordenado con la parte real 9 y la parte
imaginaria 2. Intente las operaciones siguientes:
(5-2i) - (3+4i) = (2,-6)
(3-i)·(2-4i) = (2,-14)

Página 4-4

(5-2i)/(3+4i) = (0.28,-1.04)
1/(3+4i) = (0.12, -0.16)
Nota:
El producto de dos números se representa por: (x1+iy1)(x2+iy2) = (x1x2 y1y2) + i (x1y2 + x2y1).
La división de dos números complejos se logra multiplicando numerador y
denominador por el conjugado complejo del denominador, esto es,

x1 + iy1
x + iy1 x 2 − iy 2 x1 x 2 + y1 y 2
x y −x y
=
+ i ⋅ 2 21 12 2
= 1
⋅
2
2
x 2 + iy 2 x 2 + iy 2 x 2 − iy 2
x2 + y 2
x2 + y 2
Así, la función inversa INV (activado con la tecla Y) se define como

1
1
x − iy
x
y
=
⋅
= 2
+i⋅ 2
2
x + iy x + iy x − iy x + y
x + y2
Cambio de signo de un número complejo
Cambiar el signo de un número complejo puede lograrse usando la tecla
\, por ejemplo, -(5-3i) = -5 + 3i

Escritura de la unidad imaginaria
Para la unidad imaginaria use: „¥

Notar que el número i se escribe como el par ordenado (0,1) si el CAS se fija
al modo Aproximado. En modo EXACTO, se escribe la unidad imaginaria
como i.

Página 4-5

Otras operaciones
Las operaciones tales como magnitud, discusión, piezas verdaderas e
imaginarias, y conjugación del complejo están disponibles a través de los
menús CMPLX detallados más adelante.

Los menús CMPLX
Hay dos menús CMPLX (CoMPLeX) disponible en la calculadora. Uno está
disponible a través del menú MTH (presentado en el capítulo 3) y uno
directamente en el teclado (‚ß). Los dos menús de CMPLX se presentan
a continuación.

Menú CMPLX a través del menú MTH

Si se asume que la bandera 117 del sistema está fijada a CHOOSE boxes
(ver el capítulo 2), el sub-menú CMPLX dentro del menú MTH es activado
usando: „´9 @@OK@@ . La secuencia siguiente de pantallas ilustra estos
pasos:

El primer menú (opciones 1 a 6) demuestra las funciones siguientes:
RE(z):
Parte real de un número complejo
IM(z):
Parte imaginaria de un número complejo
CR(z):
Separa un número complejo (x,y) en sus partes real e imaginaria
RC(x,y): Forma el número complejo (x,y) dadas las partes real e imaginaria
ABS(z):
Calcula la magnitud de un número complejo o del valor absoluto
de un número real.
ARG(z):
Calcula el argumento de un número complejo.
Las opciones restantes (opciones 7 a 10) son las siguientes:

Página 4-6

SIGN(z):

Calcula un número complejo de magnitud unitaria como z/|z|.

NEG:

Cambia el signo de z

CONJ(z):

Produce el conjugado complejo de z

Los ejemplos de usos de estas funciones se demuestran después. Recordar que,
para el modo ALG, la función debe preceder la discusión, mientras que en
modo RPN, usted incorpora la discusión primero, y en seguida selecciona la
función. También, recordar que usted puede conseguir estas funciones como
teclas de menús cambiando el ajuste de la bandera 117 del sistema (Ver el
Capítulo 3).
Esta primera pantalla muestra las funciones RE, IM, y CR. Notar que la
última función, CR, produce una lista {3. 5.} representando las partes real e
imaginaria del número complejo:

La pantalla siguiente demuestra las funciones RC, ABS, y ARG. Nótese que
la función ABS se traduce a |3.+5.·i|, la notación del valor absoluto.
También, el resultado de la función ARG, que representa un ángulo, será dado
en las unidades de la medida del ángulo seleccionadas actualmente. En este
ejemplo, ARG(3.+5.·i) = 1.0303… se da en radianes.

Página 4-7

En la pantalla siguiente presentamos ejemplos de las funciones SIGN, NEG
(que se muestra como un signo negativo - ), y CONJ.

Menú CMPLX en el teclado
Un segundo menú de CMPLX es accesible usando la función secundaria
asociada con la tecla 1, esto es, ‚ß. Con el sistema de la bandera
117 del sistema a CHOOSE boxes, el menú del teclado CMPLX muestra las
pantallas siguientes:

El menú que resulta incluye algunas de las funciones presentadas ya en la
sección anterior, a saber, ARG, ABS, CONJ, IM, NEG, RE, y SIGN. También
incluye la función i cuál responde al mismo propósito que la combinación
„¥, es decir, escribir la unidad imaginaria i en una expresión.
El menú de teclado CMPLX es una alternativa al menú CMPLX de MTH que
contiene las funciones básicas de los números complejos. Ejecute los ejemplos
demostrados anteriormente usando el menú de teclado CMPLX para practicar
su uso.

Página 4-8

Funciones aplicadas a los números complejos
Muchas de las funciones de teclado definidas en el capítulo 3 para los
números reales, por ejemplo, SQ, ,LN, ex, LOG, 10X, SIN, COS, TAN, ASIN,
ACOS, ATAN, puede ser aplicadas a los números complejos. El resultado es
otro número complejo, según lo ilustrado en los ejemplos siguientes. La
aplicación de estas funciones sigue el mismo procedimiento presentado
anteriormente para los números reales (véase el capítulo 3).

Nota: Al usar funciones trigonométricas y sus inversas con números
complejos, los argumentos no son ya ángulos. Por lo tanto, la medida
angular seleccionada para la calculadora no tiene ningún efecto en el
cálculo de estas funciones con argumentos complejos. Para entender la
manera en que las funciones trigonométricas, y otras funciones, se definen
para los números complejos consulte un libro sobre variables complejas.

Funciones del menú de MTH
Las funciones hiperbólicas y sus lo contrario, así como las funciones Gamma,
PSI, y Psi (funciones especiales) fueron presentadas y aplicadas a los números
reales en el capítulo 3. Estas funciones se pueden también aplicar a los
números complejos siguiendo los procedimientos presentados en el capítulo 3.
Algunos ejemplos se demuestran a continuación:

Página 4-9

Las pantallas siguientes muestran que las funciones EXPM y LNP1 no se aplican
a los números complejos. Sin embargo, las funciones GAMMA, PSI, y Psi sí
aceptan números complejos como argumentos:

Función DROITE: ecuación de una línea recta
La función DROITE tomas como argumentos dos números complejos, digamos,
x1+iy1 y x2+iy2, y produce la ecuación de una línea recta, digamos, y = a+bx,
eso contiene los puntos (x1,y1) y (x2,y2). Por ejemplo, la línea entre los puntos
A(5,-3) y B(6,2) puede determinarse como se muestra a continuación (ejemplo
en modo algebraico):

La función DROITE se encuentra en el catálogo de funciones (‚N).
El usar EVAL(ANS(1)) simplifica el resultado a:

Página 4-10

Capítulo 5
Operaciones algebraicas y aritméticas
Un objeto algebraico es cualquier número, nombre de variable, o expresión
algebraica sobre el que se pueden efectuar operaciones, que puede
manipularse, o combinarse de acuerdo a las reglas del álgebra. Algunos
ejemplos de objetos algebraicos se presentan a continuación:
• Un número: 12.3, 15.2_m, ‘π’, ‘e’, ‘i’
• Un nombre de variable: ‘a’, ‘ux’, ‘ancho’, etc.
• Una expresión: ‘p*D^2/4’,’f*(L/D)*(V^2/(2*g))’,
• Una ecuación: ‘p*V = n*R*T’, ‘Q=(Cu/n)*A(y)*R(y)^(2/3)*√So’

Escritura de los objetos algebraicos
Los objetos algebraicos pueden crearse al escribir el objeto entre apóstrofes
directamente en la pantalla, o utilizando el escritor de ecuaciones (EQW). Por
ejemplo, para escribir el objeto algebraico ‘π*D^2/4’ directamente en la
pantalla utilícese: ³„ì*~d Q2/4`. La pantalla
que resulta se muestra a continuación para el modo ALG (lado izquierdo) y el
modo RPN (lado derecho):

Un objeto algebraico puede construirse en el escritor de ecuaciones (Equation
Writer) y después enviado a la pantalla, o manipulado en el Escritor de
ecuaciones mismo. La operación del Escritor de ecuaciones se describió en el
Capítulo 2. Como ejercicio, constrúyase el siguiente objeto algebraico en el
Escritor de ecuaciones:

Después de construir el objeto algebraico, presiónese ` para mostrarlo en
la pantalla (las pantallas en modos ALG y RPN se muestran a continuación):

Página 5-1

Operaciones elementales con objetos algebraicos
Los objetos algebraicos pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse
(excepto por cero), elevarse a una potencia, usarse como argumentos de
funciones (por ejemplo, exponenciales, logarítmicas, trigonométricas,
hiperbólicas, etc.), como se haría con cualquier número real o complejo. Para
demostrar las operaciones básicas con objetos algebraicos, constrúyanse un
par de objetos algebraicos, por ejemplo, ‘π*R^2’ y ‘g*t^2/4’, y almacénense
en las variables A1 y A2 (véase el Capítulo 2 para aprender como crear
variables y almacenar valores en ellas). He aquí el procedimiento para
almacenar la variable A1 en modo ALG:
³„ì*~rQ2™ K ~a1 `,
El resultado es:

Las instrucciones correspondientes en modo RPN son:
³„ì*~r Q2`~a1 K
Después de almacenar la variable A2, la pantalla mostrará las variables como
se muestra a continuación:

En modo ALG, las siguientes instrucciones muestran varias operaciones
elementales con los objetos algebraicos contenidos en las variables @@A1@@ y @@A2@@
(presiónese J para recobrar el menú de variables):

Página 5-2

@@A1@@ + @@A2@@ `

@@A1@@ - @@A2@@ `

@@A1@@ * @@A2@@ `

@@A1@@ / @@A2@@ `

‚¹@@A1@@

„¸@@A2@@

Los mismos resultados se obtienen en modo RPN si se utilizan las instrucciones
siguientes:
@@A1@@ @@A2@@ +

μ

@@A1@@ @@A2@@ -

@@A1@@ @@A2@@ *

μ

@@A1@@ @@A2@@ / μ

@@A1@@ ‚¹

μ

@@A2@@ „ ¸

μ
μ

Funciones en el menú ALG
El menú ALG (Algebraico) se activa utilizando las teclas ‚× (asociado
con la tecla 4). Habiendo escogido la opción CHOOSE boxes para la
señal de sistema número 117, el menú ALG muestra las siguientes funciones:

Página 5-3

Utilícese la función informativa (HELP) de la calculadora para ver la explicación
de las diferentes funciones del menú ALG. Para activar la función informativa
(HELP) utilícense las siguientes teclas: I L @)HELP@ ` . Para localizar una
función particular en la función informativa, escríbase la primera letra del
nombre de la función. Por ejemplo, para localizar la función COLLECT,
utilícense las teclas ~c, y después utilícense las teclas direccionales
verticales —˜ para localizar la palabra COLLECT dentro de la lista de la
función informativa.
Para completar la operación presiónese la tecla @@OK@@. He aquí la definición de
la función COLLECT en la función informativa (HELP) de la calculadora:

Nótese que la última línea contiene el texto “See: EXPAND FACTOR”
(traducción: Véase: EXPAND FACTOR). Esta línea sugiere enlaces a otras
definiciones dentro de la función informativa (HELP): las funciones EXPAND y
FACTOR. Para acceder esas funciones directamente, presiónese la tecla de
menú @SEE1! o @SEE2. Presiónese @SEE1! para la definición de la función EXPAND.

Página 5-4

Función de ayuda
La función de ayuda, accesible a través de TOOL NEXT CASCMD, le permite
navegar a través de todos los comandos CAS. Le provee no solamente la
información en cada instrucción, sino que también proporciona un ejemplo de
su uso. Para copiar a la pantalla el ejemplo mostrado en la definición
presiónese la tecla de menú @ECHO!. Por ejemplo, presiónese la tecla @ECHO en la
definición de la función EXPAND, mostrada anteriormente, para obtener el
ejemplo que se muestra a continuación (presiónese ` para ejecutar el
ejemplo):

Se invita al usuario a explorar la lista de las funciones CAS disponibles. Aquí
se muestran algunos ejemplos:
La función informativa (HELP) provee las siguientes definiciones para diversas
instrucciones:
COLLECT:
EXPAND:

Página 5-5

FACTOR:

LNCOLLECT:

LIN:

PARTFRAC:

SOLVE:

SUBST:

TEXPAND:

Nota: Recuérdese que para utilizar estas, y otras, funciones en el modo
RPN, debe escribirse primero el argumento de la función y después activarse
la misma. Por ejemplo, para el caso de la función TEXPAND, mostrado
anteriormente, utilícese:
³„¸+~x+~y`
A continuación, actívese la función TEXPAND en el menú ALG (o,
directamente, en el catálogo de funciones ‚N), para completar la
operación.

Página 5-6

Otras formas de substitución en expresiones algebraicas
La función SUBST, mostrada anteriormente, se utiliza para sustituir una variable
en una expresión. Una segunda forma de substitución puede ser lograda
usando ‚¦ (asociado a la tecla I). Por ejemplo, en modo ALG, la
entrada siguiente substituirá el valor x = 2 en la expresión x+x2. La figura a la
izquierda demuestra la manera de incorporar la expresión (el valor substituido,
x=2, se debe incluir en paréntesis) antes de presionar `. Después de que la
tecla ` se presiona, el resultado se muestra en la figura de la derecha:

En modo RPN, esto se logra incorporando primero la expresión donde la
substitución será realizada (x+x2), seguido por una lista (véase el capítulo 8)
conteniendo la variable de la substitución, un espacio, y el valor que se
substituirá, es decir, {x 2}. El paso final es presionar la combinación del golpe
de teclado: ‚¦.

Las teclas requeridas son los siguientes:
³~„x+~„xQ2`
„ä~„x#2`‚¦`
En modo ALG, la substitución de más de una variable es posible según lo
ilustrado en el ejemplo siguiente (se muestra la pantalla antes y después el
presionar `)

Página 5-7

En modo RPN es también posible sustituir más que uno variable a la vez, según
lo ilustrado en el ejemplo abajo. Recuérdese que el modo RPN utiliza una lista
de nombres y de valores variables para la substitución.

Un proceso diferente para la substitución consiste en definir las expresiones de
la substitución en variables de la calculadora y poner el nombre de las
variables en la expresión original. Por ejemplo, en modo de ALG, almacene las
variables siguientes:

Entonces, escriba la expresión A+B:

La expresión última se evalúa automáticamente después de presionar `,
produciendo el resultado demostrado arriba.

Operaciones con funciones transcendentales
La calculadora ofrece un número de funciones que se puedan utilizar para
sustituir funciones logarítmicas, exponenciales, trigonométricas, e hiperbólicas
en expresiones en términos de identidades trigonométricas o en términos de
funciones exponenciales. Los menús que contienen funciones para sustituir
funciones trigonométricas se pueden obtener directamente del teclado la
función secundaria de la tecla 8, es decir, ‚Ñ. La combinación siguiente

Página 5-8

‚ Ð, produce un menú que le permite sustituir expresiones en términos
de las funciones exponenciales o logaritmo natural. En las secciones siguientes
cubrimos esos menús más detalladamente.

Expansión y factorización utilizando las funciones log-exp
El menú „Ð contiene las siguientes funciones:

Las definiciones de estas funciones, así como los ejemplos correspondientes, se
encuentran disponibles en la función informativa (HELP) de la calculadora (I
L @)HELP@ `). Algunas de las funciones enumerada en el menú EXP&LN,
esto es, LIN, LNCOLLECT, y TEXPAND también se contienen en el menú ALG
presentado anteriormente. Las funciones LNP1 y EXPM se introdujeron en el
menú HYPERBOLIC, bajo el menú MTH (Ver El Capítulo 2). La única función
restante es EXPLN. Su descripción se muestra en la figura siguiente a la
izquierda, mientras que el ejemplo correspondiente se muestra en la figura
siguiente a la derecha:

Expansión y factorización utilizando funciones trigonométricas
El menú TRIG, que se obtiene utilizando
funciones:

‚Ñ, muestra las siguientes

Página 5-9

Estas funciones permiten la simplificación de expresiones al reemplazar ciertas
categorías de funciones trigonométricas por otras categorías. Por ejemplo, la
función ACOS2S permite reemplazar la función arco coseno (acos(x)) por una
expresión que involucra la función arco seno (asin(x)).
Las definiciones de estas funciones, así como los ejemplos correspondientes, se
encuentran disponibles en la función informativa (HELP) de la calculadora (I
L @)HELP@ `). Se invita al usuario a investigar esa información por su
propia cuenta.
Notése que la primera opción en el menú TRIG es el menú HYPERBOLIC, de
cuyas funciones fueron introducidas en capítulo 2.

Funciones en el menú ARITHMETIC
El menú ARITHMETIC contiene un número de sub-menús para aplicaciones
específicas en la teoría de los números (números enteros, polinomios, etc.), así
como un número de funciones que se aplican a las operaciones aritméticas
generales. El menú ARITHMETIC se activa utilizando „Þ (asociada con
la tecla 1). Con la opción CHOOSE boxes seleccionada para la señal de
sistema número 117, la combinación „Þ muestra el siguiente menú:

Página 5-10

De esta lista, las opciones 5 a 9 (DIVIS, FACTORS, LGCD, PROPFRAC, SIMP2)
corresponden a funciones que aplican a números enteros o a polinomios. Las
opciones restantes (1. INTEGER, 2. POLYNOMIAL, 3. MODULO, y 4.
PERMUTATION) son en realidad sub-menús de funciones que aplican a objetos
matemáticos específicos. Esta distinción entre los sub-menús (opciones 1 a 4)
y funciones (opciones 5 a 9) es aparente cuando la bandera de sistema 117 se
fija a SOFT menus. Activando el menú ARITHMETIC („Þ ), bajo estas
circunstancias, produce:

A continuación, presentamos pantallas de la función informativa del CAS para
las funciones de las opciones 5 a 9 en el menú ARITHMETIC (IL@)HELP@ ):
DIVIS (divisores):
FACTORS (factores):

LGCD (Máximo Común Divisor):

PROPFRAC (fracción propia)

Página 5-11

SIMP2 (simplificar 2 factores)

Las funciones asociadas con los sub-menús del menú ARITHMETIC: INTEGER,
POLYNOMIAL, MODULO, y PERMUTATION, son las siguientes:

Menú INTEGER
EULER
IABCUV
IBERNOULLI n
ICHINREM
IDIV2
IEGCD
IQUOT
IREMAINDER
ISPRIME?
NEXTPRIME
PA2B2
PREVPRIME

Número de enteros < n, co - primos con n
Resuelve au + bv = c, con a,b,c = enteros
Número de Bernoulli
Residuo chino para los enteros
División euclidiana de dos números enteros
Produce u,v, tales que au + bv = mcd(a,b)
Cociente euclidiano de dos números enteros
Residuo euclidiano de dos números enteros
Determina si un número entero es primo
El siguiente número primo para un número entero
dado
Número primo como norma cuadrada de un
complejo
El previo número primo para un número entero dado

Menú POLYNOMIAL
ABCUV
CHINREM
CYCLOTOMIC
DIV2
EGDC
FACTOR
FCOEF

Ecuación polinómica de Bézout (au+bv=c)
Residuo chino para los polinomios
n polinomio ciclotómico
División euclidiana de dos polinomios
Produce u,v, a partir de au+bv=mcd(a,b)
Factoriza un número entero o un polinomio
Genera raíces y multiplicidad dada una fracción

Página 5-12

FROOTS
GCD
HERMITE
HORNER
LAGRANGE
LCM
LEGENDRE
PARTFRAC
PCOEF
PTAYL
QUOT
RESULTANT
REMAINDER
STURM
STURMAB

Produce raíces y multiplicidad dada una fracción
El máximo común divisor de 2 números o polinomios
Polinomio de Hermite de orden n
Evaluación de Horner de un polinomio
Interpolación del polinomio de Lagrange
Mínimo común múltiplo de 2 números o polinomios
Polinomio de Legendre de orden n
descomposición de una fracción en fracciones
parciales
(no referencia en la función informativa del CAS)
Produce Q(x-a) en Q(x-a) = P(x), Polinomio de Taylor
Cociente euclidiano de dos polinomios
Determinante de la matriz Sylvester de 2 polinomios
Residuo euclidiano de dos polinomios
Secuencias de Sturm para un polinomio
Signo en el límite inferior y número de raíces entre
límites

Menú MODULO
ADDTMOD
DIVMOD
DIV2MOD
EXPANDMOD
FACTORMOD
GCDMOD
INVMOD
MOD
MODSTO
MULTMOD
POWMOD

Agregar dos expresiones módulo actual módulo
Divide 2 polinomios módulo actual módulo
División euclidiana de 2 polinomios con coeficientes
modulares
Expande/simplifica polinomio con módulo actual
módulo
Factorizar un polinomio módulo actual módulo
MCD de 2 polinomios módulo actual módulo
inverso entero módulo actual módulo
(no referencia en la función informativa del CAS)
Cambia el valor del modulo al valor especificado
Multiplicación de dos polinomios módulo actual
módulo
Eleva polinomio a una potencia módulo actual
módulo

Página 5-13

SUBTMOD

Substracción de 2 polinomios módulo actual módulo

Aplicaciones del menú ARITHMETIC
En esta sección se presentan los conceptos necesarios para la aplicación de las
funciones del menú ARITHMETIC. Las definiciones con respecto a los temas de
polinomios, de fracciones polinómicas y de la aritmética modular se presentan
posteriormente.
Los ejemplos mostrados abajo se presentan
independientemente del ajuste de la calculadora (ALG o RPN)

Aritmética modular
Considere un sistema de cuenta de números entero que complete un ciclo
periódicamente y comienza otra vez, por ejemplo las horas del reloj. Tal
sistema de cuenta se llama un anillo. Porque el número de los números enteros
usados en un anillo es finito, la aritmética en este anillo se llama aritmética
finita. Supóngase que el sistema números enteros finitos consiste de los
números 0, 1, 2, 3, …, n-1, n. Podemos también referirnos a la aritmética de
este sistema de cuenta como aritmética modular de módulo n. En el caso de
las horas de un reloj, el módulo es 12. (Si se trabaja con aritmética modular
usando las horas del reloj, sin embargo, tendríamos que utilizar los números
enteros 0, 1, 2, 3, …, 10, 11, en vez de 1, 2, 3,…,11, 12).
Operaciones en aritmética modular
Adición en la aritmética modular del módulo n, el cuál es un número entero
positivo, que sigue las reglas que si j y k son dos números enteros no negativos,
ambos menores que n, si j+kŠ n, entonces j+k se define como j+k-n. Por
ejemplo, en el caso del reloj, es decir, para n = 12, 6+9 “=” 3. Para distinguir
esta ' igualdad ' de igualdades aritméticas infinitas, se usa el símbolo ≡ en
lugar del igual, y la relación entre los números se refiere como una congruencia
más bien que una igualdad. Así, para el ejemplo anterior escribimos 6+9 ½ 3
(mod 12), e interpretamos esta expresión como “seises más nueve es
congruentes a tres, módulo doce.” Si los números representan las horas desde
la medianoche, por ejemplo, la congruencia 6+9 ≡ 3 (mod 12), puede ser
interpretado como diciendo que “seis horas más de las nueve después de la
medianoche serán tres horas más del mediodía.” Otras sumas que se pueden

Página 5-14

definir en aritmética del módulo 12 son: 2+5 ≡ 7 (mod 12); 2+10 ≡ 0 (mod
12); 7+5 ≡ 0 (mod 12); etcétera.
La regla para la substracción será tal que si j – k < 0, entonces j-k se define
como j-k+n. Por lo tanto, 8-10 ½ 2 (mod 12), se interpreta como “ocho menos
diez es congruentes a dos, módulo doce.” Otros ejemplos de la substracción
en aritmética del módulo 12 serían 10-5 ≡ 5 (mod 12); 6-9 ≡ 9 (mod 12); 5 –
8 ≡ 9 (mod 12); 5 –10 ≡ 7 (mod 12); etcétera.
La multiplicación sigue la regla que si jÞk > n, de modo que jÞk = mÞn + r,
donde m y r son enteros no negativos, ambos menos que n, entonces jÞk ½ r
(mod n). El resultado de multiplicar j por k en aritmética modular de módulo
es, esencialmente, el residuo entero de jÞk/n en aritmética infinita, si jÞk>n.
Por ejemplo, en aritmética del módulo 12 tenemos 7Þ3 = 21 = 12 + 9, (o,
7Þ3/12 = 21/12 = 1 + 9/12, es decir, el residuo entero de 21/12 es 9).
Podemos ahora escribir 7Þ3 ≡ 9 (mod 12), e interpretar este resultado como
“siete por tres es congruentes a nueve, módulo doce.”
La operación de la división se puede definir en términos de la multiplicación
como sigue, r/k ½ j (mod n), si, jÞk ½ r (mod n). Esto significa que r debe
ser el residuo de jÞk/n. Por ejemplo, 9/7 ≡ 3 (mod 12), porque 7⋅3 ≡ 9 (mod
12). Algunas divisiones no se permiten en aritmética modular. Por ejemplo, en
aritmética del módulo 12 usted no puede definir 5/6 (mod 12) porque la tabla
de la multiplicación de 6 no muestra el resultado 5 en aritmética del módulo
12. Esta tabla de la multiplicación se demuestra abajo:

6*0 (mod 12)

0

6*6 (mod 12)

0

6*1 (mod 12)

6

6*7 (mod 12)

6

6*2 (mod 12)

0

6*8 (mod 12)

0

6*3 (mod 12)

6

6*9 (mod 12)

6

6*4 (mod 12)

0

6*10 (mod 12)

0

6*5 (mod 12)

6

6*11 (mod 12)

6

Página 5-15

Definición formal de un anillo aritmético finito
La expresión a ½ b (mod n) se interpreta como “a es congruente a b, modulo
n,” y es verdadero si (b-a) es un múltiplo de n. Con esta definición las reglas
de la aritmética se simplifican a las siguientes:
Si
a ½ b (mod n) y c ½ d (mod n),
entonces
a+c ½ b+d (mod n),
a-c ½ b - d (mod n),
a×c ½ b×d (mod n).
Para la división, seguir las reglas presentadas anteriormente. Por ejemplo, 17 ≡
5 (mod 6), y 21 ≡ 3 (mod 6). Usando estas reglas, podemos escribir:
17 + 21 ≡ 5 + 3 (mod 6) => 38 ≡ 8 (mod 6) => 38 ≡ 2 (mod 6)
17 – 21 ≡ 5 - 3 (mod 6) =>
-4 ≡ 2 (mod 6)
17 × 21 ≡ 5 × 3 (mod 6) => 357 ≡ 15 (mod 6) => 357 ≡ 3 (mod 6)
Notar eso, siempre que un resultado en el lado derecho del símbolo de la
"congruencia" produce un resultado que sea mayor que el modulo (en este
caso, n = 6), usted puede restar un múltiplo del modulo de ese resultado y
simplificarlo siempre a un número menor que el modulo. Así, el resultado en el
primer caso 8 (mod 6) se simplifica a 2 (mod 6), y el resultado del tercer caso,
15 (mod 6) se simplifica a 3 (mod 6). ¿Confusión? Bien, no si usted permite
que la calculadora ejecute esas operaciones. De manera que, léase la sección
siguiente para entender cómo los anillos aritméticos finitos se operan en su
calculadora.

Anillos aritméticos finitos en la calculadora
Hasta ahora hemos definido nuestra operación aritmética finita de modo que
los resultados sean siempre positivos. El sistema aritmético modular en la
calculadora se fija de modo que el anillo del módulo n incluya los números -n/
2+1, …,-1, 0, 1,…,n/2-1, n/2, si n es par, y –(n-1)/2, -(n-3)/2,…,-1,0,1,…,(n3)/2, (n-1)/2, si n es impar. Por ejemplo, para n = 8 (par), el anillo aritmético
finito en la calculadora incluye los números: (-3,-2,-1,0,1,3,4), mientras que

Página 5-16

para n = 7 (impar), el anillo aritmético finito de la calculadora correspondiente
incluye (-3,-2,-1,0,1,2,3).
Aritmética modular en la calculadora
Para activar el menú aritmético modular en la calculadora seleccione el submenú MODULO dentro del menú ARITHMETIC („Þ). El menú disponible
incluye las funciones: ADDTMOD, DIVMOD, DIV2MOD, EXPANDMOD,
FACTORMOD, GCDMOD, INVMOD, MOD, MODSTO, MULTMOD,
POWMOD, y SUBTMOD. Breve descripciones de estas funciones fueron
proveídas en una sección anterior. Presentamos a continuación algunas
aplicaciones de estas funciones.
Fijando el módulo (o MODULO)
La calculadora contiene una variable llamada MODULO que se ubica en el
directorio {HOME CASDIR} y que almacenará la magnitud del módulo que se
utilizará en aritmética modular.
El valor pre-determinado de la variable MODULO es 13. Para cambiar el
valor de MODULO, usted puede almacenar el nuevo valor directamente en la
variable MODULO en el sub-directorio {HOME CASDIR}. Alternativamente,
usted puede almacenar un nuevo MODULO utilizando la función MODSTO.
Operaciones aritméticas modulares con números
Para sumar, restar, multiplicar, dividirse, y elevar a una potencia en aritmética
modular usted utilizará las funciones ADDTMOD, SUBTMOD, MULTMOD,
DIV2MOD y DIVMOD (para la división), y POWMOD. En modo de RPN usted
necesita incorporar los dos números para funcionar sobre, separado por
[ENTER] o un espacio [SPC], y entonces presionar la función aritmética
modular correspondiente. Por ejemplo, con un módulo de 12, ejecute las
operaciones siguientes:
Ejemplos de ADDTMOD
6+5 ≡ -1 (mod 12)
11+5 ≡ 4 (mod 12)

6+6 ≡ 0 (mod 12)
8+10 ≡ -6 (mod 12)

6+7 ≡ 1 (mod 12)

Página 5-17

Ejemplos de SUBTMOD
5 - 7 ≡ -2 (mod 12)
8 – 4 ≡ 4 (mod 12)
11 – 8 ≡ 3 (mod 12)
8 - 12 ≡ -4 (mod 12)

5 –10 ≡ -5 (mod 12)

Ejemplos de MULTMOD
6⋅8 ≡ 0 (mod 12)
9⋅8 ≡ 0 (mod 12)
5⋅6 ≡ 6 (mod 12)
11⋅3 ≡ -3 (mod 12)

3⋅2 ≡ 6 (mod 12)

Ejemplos de DIVMOD
12/3 ≡ 4 (mod 12)
25/5 ≡ 5 (mod 12)
66/6 ≡ -1 (mod 12)

12/8 (mod 12) no existe
64/13 ≡ 4 (mod 12)

Ejemplos de DIV2MOD
2/3 (mod 12) no existe
26/12 (mod 12) no existe
125/17 (mod 12) ≡ 1 con residuo = 0
68/7 ≡ -4 (mod 12) con residuo = 0
7/5 ≡ -1 (mod 12) con residuo = 0
Nota: DIVMOD proporciona el cociente de la división modular j/k (mod
n), mientras que DIMV2MOD proporciona no solamente el cociente sino
también el residuo de la división modular j/k (mod n).
Ejemplos de POWMOD
35≡ 3 (mod 12)
23≡ -4 (mod 12)

510≡ 1 (mod 12)

62 ≡ 0 (mod 12)
99 ≡ -3 (mod 12)
118 ≡ 1 (mod 12)
En los ejemplos de las operaciones aritméticas modulares demostradas
anteriormente, hemos utilizado los números que no necesariamente pertenecer
al anillo, es decir, por ejemplo los números 66, 125, 17, etc. La calculadora
convertirá esos números a los números del anillo antes de operar en ellos.
Usted puede también convertir cualquier número en un número del anillo
usando la función EXPANDMOD. Por ejemplo,
EXPANDMOD(125) ≡ 5 (mod 12)
EXPANDMOD(17) ≡ 5 (mod 12)

Página 5-18

EXPANDMOD(6) ≡ 6 (mod 12)
El inverso modular de un número
Suponga que el número k pertenece a un anillo aritmético finito de módulo n,
entonces la inversa modular de k, es decir, 1/k (mod n), es un número j, tal
que jÞk ½ 1 (mod n). El inverso modular de un número se puede obtener al
usar la función INVMOD en el sub-menú MODULO del menú ARITHMETIC.
Por ejemplo, en aritmética del módulo 12:
1/6 (mod 12) no existe.
1/5 ≡ 5 (mod 12)
1/7 ≡ -5 (mod 12)
1/3 (mod 12) no existe
1/11 ≡ -1 (mod 12)
El operador MOD
Utilice el operador MOD para obtener el número del anillo de un módulo dado
que corresponde a un número entero. En el papel se escribe esta operación
como m mod n = p, y se interpreta como “m modulo n es igual a p”. Por
ejemplo, para calcular 15 mod 8, escriba:
•
•

modo ALG:
modo RPN:

15 MOD 8`
15`8` MOD

El resultado es 7, esto es, 15 mod 8 = 7. Intentar los ejercicios siguientes:
18 mod 11 = 7
23 mod 2 =1
40 mod 13 = 1
23 mod 17 = 6
34 mod 6 = 4
Un uso práctico de la función MOD para la programación es para determinar
cuando un número entero es impar, dado que n mod 2 = 0, si n es par, y n
mod 2 = 1, si n es impar. Puede también ser utilizado para determinar cuando
un número entero m es un múltiplo de otro número entero n, porque si ése es el
caso m mod n = 0.

Página 5-19

Nota: Referirse a la función informativa de la calculadora para la
descripción y los ejemplos en la aritmética modular. Muchas de estas
funciones son aplicables a los polinomios. Para la información sobre
aritmética modular con polinomios refiérase a un libro sobre teoría de los
números.

Polinomios
Los polinomios son expresiones algebraicas consistente de uno o más términos
que contienen potencias decrecientes de una variable o función. Por ejemplo,
‘X^3+2*X^2-3*X+2’ es un polinomio del tercer orden (cúbico) de la variable
X, mientras que ‘SIN(X)^2-2’ es un polinomio de segundo orden (cuadrático)
de la función SIN(X).
Un listado de funciones de polinomios en el menú
ARITHMETIC fue presentada anteriormente. Algunas definiciones generales
sobre polinomios se proporcionan a continuación. En estas definiciones A(X),
B(X), C(X), P(X), Q(X), U(X), V(X), etc., son polinomios.
•
•
•
•

Fracción polinómica: una fracción en la cual numerador y denominador
son polinomios, digamos, C(X) = A(X)/B(X)
Raíces, o ceros, de un polinomio: valores de X para los cuales P(X) = 0
Polos de una fracción: raíces del denominador
Multiplicidad de raíces o de polos: el número de veces que una raíz existe,

•

por ejemplo, P(X) = (X+1)2(X-3) tiene raíces {-1, 3} con multiplicidades
{2,1}
Polinomio ciclotómico (Pn(X)): un polinomio de orden EULER(n) cuyas raíces
son las n raíces primitivas de la unidad, por ejemplo, P2(X) = X+1, P4(X) =

X2+1
• Ecuación polinómica de Bézout: A(X) U(X) + B(X)V(X) = C(X)
Ejemplos específicos de aplicaciones polinómicas se presentan a continuación.

Aritmética modular con polinomios
De la misma manera que definimos un anillo de aritmética finita para números
en la sección anterior, podemos definir un anillo de aritmética finita para los
polinomios con un polinomio dado como módulo. Por ejemplo, podemos

Página 5-20

escribir cierto polinomio P(X) como P(X) = X (mod X2), u otro polinomio como
Q(X) = X + 1 (mod X-2).
Un polinomio, P(X) pertenece a un anillo aritmético finito de módulo
polinómico M(X), si existe un tercer polinomio Q(X), tales que (P(X) – Q(X)) es
un múltiplo de M(X). Entonces escribiríamos: P(X) ½ Q(X) (mod M(X)). Se
interpreta la última expresión como “P(X) es congruente a Q(X), módulo M(X)”.

La función CHINREM
CHINREM significa CHINese REMainder (residuo chino). La operación
programada en este comando soluciona un sistema de dos congruencias usar
el teorema chino del residuo. Este comando se puede utilizar con polinomios,
así como con números enteros (la función ICHINREM). La entrada consiste en
dos vectores [expresión_1, modulo_1] y [expresión_2, modulo_2]. La salida es
el vector [expression_3, modulo_3], en el cual modulo_3 se relaciona con el
producto (modulo_1)Þ(modulo_2).
Ejemplo: CHINREM([X+1, X^21],[X+1,X^2]) = [X+1,-(X^4-X^2)]
Enunciado del teorema chino del residuo para los números enteros
Si m1, m2,…,mr son números naturales de manera que cada par constituye
números primos relativos, y a1, a2, …, ar son números enteros, entonces existe
un número entero x que satisface simultáneamente las congruencias: x ½ a1
(mod m1), x ½ a2 (mod m2), …, x ½ ar (mod mr). Además, si x = a es
cualquier solución entonces el resto de las soluciones son congruentes a un
modulo igual al producto m1Þm2Þ … mr.

La función EGCD
EGCD significa, en inglés, Extended Greatest Common Divisor (Máximo
Común Divisor Extendido). Dados dos polinomios, A(X) y B(X), la función
EGCD produce los polinomios C(X), U(X), y V(X), de forma que C(X) =
U(X)*A(X) + V(X)*B(X).
Por ejemplo, para A(X) = X^2+1, B(X) = X^2-1,
EGCD(A(X),B(X)) = {2, 1, -1}. Esto es, 2 = 1*( X^2+1’)-1*( X^2-1). Así mismo,
EGCD(‘X^3-2*X+5’,’X’) = { 5,1-(X^2-2)}, es decir, 5 = – (X^2-2)*X + 1*(X^32*X+5).

Página 5-21

La función GCD
La función GCD (en inglés, Greatest Common Denominator, o Máximo Común
Denominador) puede ser utilizada para obtener el máximo denominador
común de dos polinomios o de dos listas de polinomios de la misma longitud.
Los dos polinomios o listas de polinomios serán puestos en los niveles 2 y 1 del
“stack” antes de usar GCD. Los resultados serán un polinomio o una lista que
representa el máximo común denominador de los dos polinomios o de cada
lista de polinomios. Ejemplos, en modo RPN, se presentan a continuación
(calculadora fijada en modo Exacto):
‘X^3-1’`’X^2-1’`GCD produce: ‘X-1’
{‘X^2+2*X+1’,’X^3+X^2’} ` {‘X^3+1’,’X^2+1’} ` GCD produce {‘X+1’
1}

La función HERMITE
La función HERMITE [ HERMI ] usa como argumento un número entero, k, y
produce el polinomio de Hermite de grado k. Un polinomio de Hermite, Hek(x)
se define como

He0 = 1, Hen ( x) = (−1) n e x

2

/2

d n −x2 / 2
(e
), n = 1,2,...
dx n

Una definición alterna de los polinomios de Hermite es

H 0 * = 1, H n * ( x) = (−1) n e x

2

d n − x2
(e ), n = 1,2,...
dx n

en las cuales dn/dxn = n derivada con respecto a x. Ésta es la definición
usada en la calculadora.
Ejemplos: Los polinomios de Hermite de órdenes 3 y 5 se calculan como:
HERMITE(3) = ‘8*X^3-12*X’,
Y
HERMITE(5) = ‘32*x^5-160*X^3+120*X’.

Página 5-22

La función HORNER
La función HORNER produce la división de Horner, o división sintética, de un
polinomio P(X) por el factor (X-a). La entrada a la función es el polinomio P(X)
y el número a. La función vuelve el polinomio del cociente Q(X) que resulta al
dividir P(X) por (X-a), el valor de a, y el valor de P(a), en esa orden. En otras
palabras, P(X) = Q(X)(X-a)+P(a).
Por ejemplo, HORNER(‘X^3+2*X^23*X+1’,2) = {‘X^2+4*X+5’, 2, 11}. Podríamos, por lo tanto, escribir X3+2X23X+1 = (X2+4X+5)(X-2)+11.

Un segundo ejemplo: HORNER(‘X^6-1’,-5)=

{’X^5-5*X^4+25*X^3-125*X^2+625*X-3125’,-5, 15624} esto es, X6 -1 = (X5-

5*X4+25X3-125X2+625X-3125)(X+5) +15624.

La variable VX
Existe, en el directorio {HOME CASDIR} de la calculadora, una variable
denominada VX cuyo valor preseleccionado es ‘X’. Este es el nombre de la
variable independiente preferida para aplicaciones en el álgebra y en el
cálculo. Evítese utilizar la variable VX en programas y ecuaciones, de manera
que no se confunda con la variable VX del CAS (Computer Algebraic System, o
Sistema Algebraico Computacional). Para obtener información adicional sobre
las variables del CAS véase el Apéndice C en la Guía del Usuario de la
calculadora.

La función LAGRANGE
La función LAGRANGE requiere como argumento una matriz que tiene dos filas
y n columnas. La matriz almacena datos de la forma [[x1,x2, …, xn] [y1, y2,
…, yn]]. La aplicación de la función LAGRANGE produce el polinomio
n

n

pn −1 ( x) = ∑
j =1

∏ (x − x )
k

k =1, k ≠ j
n

∏ (x

k =1, k ≠ j

j

− xk )

⋅ y j.

Por ejemplo, para n = 2, escribiremos:

Página 5-23

p1 ( x) =

( y − y2 ) ⋅ x + ( y2 ⋅ x1 − y1 ⋅ x2 )
x − x1
x − x2
⋅ y2 = 1
⋅ y1 +
x1 − x2
x2 − x1
x1 − x2

Comprobar este resultado con su calculadora:
LAGRANGE([[ x1,x2],[y1,y2]]) = ‘((y1-y2)*X+(y2*x1-y1*x2))/(x1-x2)’.
Otros ejemplos: LAGRANGE([[1, 2, 3][2, 8, 15]]) = ‘(X^2+9*X-6)/2’
LAGRANGE([[0.5,1.5,2.5,3.5,4.5][12.2,13.5,19.2,27.3,32.5]]) =
‘-(.1375*X^4+ -.7666666666667*X^3+ - .74375*X^2 +
1.991666666667*X-12.92265625)’.
Nota:

Las matrices se introducen en el Capítulo 10.

La función LCM
La función LCM (en inglés, Least Common Multiple, ó Mínimo Común Múltiplo)
obtiene el mínimo común múltiplo de dos polinomios o de listas de polinomios
de la misma longitud. Ejemplos:
LCM(‘2*X^2+4*X+2’ ,‘X^2-1’ ) = ‘(2*X^2+4*X+2)*(X-1)’.
LCM(‘X^3-1’,‘X^2+2*X’) = ‘(X^3-1)*( X^2+2*X)’

La función LEGENDRE
Un polinomio de Legendre de la orden n es una función polinómica que
soluciona la ecuación diferencial

d2y
dy
(1 − x ) ⋅ 2 − 2 ⋅ x ⋅ + n ⋅ (n + 1) ⋅ y = 0
dx
dx
2

Para obtener el polinomio de Legendre de orden n, por ejemplo,
LEGENDRE(3) = ‘(5*X^3-3*X)/2’
LEGENDRE(5) = ‘(63*X ^5-70*X^3+15*X)/8’

Página 5-24

La función PCOEF
Dado un vector que contiene las raíces de un polinomio, la función PCOEF
genera un vector que contiene los coeficientes del polinomio correspondiente.
Los coeficientes corresponden al orden decreciente de las potencias de la
variable independiente. Por ejemplo: PCOEF([-2,–1,0,1,1,2]) = [1. –1. –5. 5.
4. –4. 0.], representa el polinomio X6 -X5-5X4+5X3+4X2-4X.

La función PROOT
Dado un vector que contiene lo coeficientes de un polinomio en orden
decreciente de las potencias, la función PROOT provee las raíces del
polinomio. Por ejemplo, para el polinomio X2+5X-6 =0, PROOT([1, –5, 6]) =
[2. 3.].

La función PTAYL

Dado un polinomio P(X) y un número a, la función PTAYL se utiliza obtener una
expresión Q(X-a) = P(X), esto es, para expandir un polinomio en potencias de
(X- a). Esto también se conoce como polinomio de Taylor, de cuyo nombre
sigue el de la función, Polinomio y TAYLor.
Por ejemplo, PTAYL(‘X^3-2*X+2’,2) = ‘X^3+6*X^2+10*X+6’.
En realidad, usted debe interpretar este resultado como:
‘(X-2) ^3+6*(X-2) ^2+10*(X-2) +6’.
Verifiquemos esta aserción al sustituir: ‘X = x – 2’. Recuperamos el polinomio
original, pero en términos de x minúscula más bien que de x mayúscula.

Las funciones QUOTIENT y REMAINDER
Las funciones QUOTIENT (cociente) y REMAINDER (residuo) proveen,
respectivamente, el cociente Q(X) y el residuo R(X), que resulta de la división de
dos polinomios, P1(X) y P2(X). Es decir, estas funciones proveen los valores de
Q(X) y R(X) en la expresión P1(X)/P2(X) = Q(X) + R(X)/P2(X). Por ejemplo,
QUOTIENT(‘X^3-2*X+2’, ‘X-1’) = ‘X^2+X-1’
REMAINDER(‘X^3-2*X+2’, ‘X-1’) = 1.
Para este caso, por lo tanto: (X3-2X+2)/(X-1) = X2+X-1 + 1/(X-1).

Página 5-25

Nota: Este último resultado se puede obtener usando la función
PARTFRAC:
PARTFRAC(‘(X^3-2*X+2)/(X-1)’) = ‘X^2+X-1 + 1/(X-1)’.

La función EPSX0 la variable EPS del CAS

La variable ε (epsilon) se utiliza típicamente en libros de textos matemáticos
para representar un número muy pequeño. El CAS de la calculadora crea una
variable EPS, con el valor prefijado 0.0000000001 = 10 -10, cuando usted
utiliza la función EPSX0. Usted puede cambiar este valor, una vez que esté
creado, si usted prefiere un valor diferente para EPS. La función EPSX0,
cuando se aplica a un polinomio, substituirá todos los coeficientes que valor
absoluto sea menos que EPS con un cero. La función EPSX0 no está disponible
en el menú ARITHMETIC, sino que se accede con el catálogo de funciones
(…N). Ejemplo:
EPSX0(‘X^3-1.2E-12*X^2+1.2E-6*X+6.2E-11)=
‘X^3-0*X^2+.0000012*X+0’.
Con μ:

‘X^3+.0000012*X’.

La función PEVAL
Las funciones PEVAL (en inglés, Polynomial EVALuation) puede ser utilizado
para evaluar un polinomio p(x) = anÞxn+an-1Þx n-1+ …+ a2Þx2+a1Þx+ a0,
dado un arreglo de coeficientes [an, an-1, … a2, a1, a0] y un valor de x0. El
resultado es la evaluación p(x0). La función PEVAL no está disponible en el
menú ARITHMETIC, debe activarse desde el catálogo de funciones (‚N).
Ejemplo:
PEVAL([1,5,6,1],5) = 281.

La función TCHEBYCHEFF
La función TCHEBYCHEFF(n) genera el polinomio de Tchebycheff (o Chebyshev)
de primera clase, orden n, definido como Tn(X) = cos(nÞarccos(X)). Si el
número entero n es negativo (n < 0), la función TCHEBYCHEFF(n) genera el

Página 5-26

polinomio de Tchebycheff de segunda clase, orden n, definido como Tn(X) =
sin(nÞarccos(X))/sin(arccos(X)). Ejemplos:
TCHEBYCHEFF(3) = 4*X^3-3*X
TCHEBYCHEFF(-3) = 4*X^2-1

Fracciones

Las fracciones pueden expandirse y factorizarse utilizando las funciones
EXPAND y FACTOR, localizadas en el menú ALG (‚×). Por ejemplo:
EXPAND(‘(1+X)^3/((X-1)*(X+3))’)= ‘(X^3+3*X^2+3*X+1)/(X^2+2*X-3)’
EXPAND(‘(X^2)*(X+Y)/(2*X-X^2)^2)’) = ‘(X+Y)/(X^2-4*X+4)’
EXPAND(‘X*(X+Y)/(X^2-1)’) = ‘(X^2+Y*X)/(X^2-1)’
EXPAND(‘4+2*(X-1)+3/((X-2)*(X+3))-5/X^2’) =
‘(2*X^5+4*X^4-10*X^3-14*X^2-5*X+30)/(X^4+X^3-6*X^2)’
FACTOR(‘(3*X^3-2*X^2)/(X^2-5*X+6)’) = ‘X^2*(3*X-2)/((X-2)*(X-3))’
FACTOR(‘(X^3-9*X)/(X^2-5*X+6)’ ) = ‘X*(X+3)/(X-2)’
FACTOR(‘(X^2-1)/(X^3*Y-Y)’) = ‘(X+1)/((X^2+X+1)*Y)’

La función SIMP2
Las funciones SIMP2 y PROPFRAC se utilizan para simplificar una fracción y
producir una fracción apropiada, respectivamente. La función SIMP2 utiliza
como argumentos dos números o dos polinomios, los cuales representan el
numerador y el denominador de una fracción racional, y produce, como
resultados, el numerador y denominador simplificados. Por ejemplo:
SIMP2(‘X^3-1’,’X^2-4*X+3’) = { ‘X^2+X+1’,‘X-3’}.

La función PROPFRAC
El función PROPFRAC convierte una función racional en una función “propia”,
es decir, una parte entera sumada a una parte fraccional, si tal
descomposición es posible. Por ejemplo:
PROPFRAC(‘5/4’) = ‘1+1/4’
PROPFRAC(‘(x^2+1)/x^2’) = ‘1+1/x^2’

Página 5-27

La función PARTFRAC
La función PARTFRAC descompone una fracción racional en fracciones
parciales que, al sumarse, producen la fracción original. Por ejemplo:
PARTFRAC(‘(2*X^6-14*X^5+29*X^4-37*X^3+41*X^2-16*X+5)/(X^57*X^4+11*X^3-7*X^2+10*X)’) =
‘2*X+(1/2/(X-2)+5/(X-5)+1/2/X+X/(X^2+1))’
Esta técnica es útil en calcular integrales (véase el capítulo sobre cálculo) de
fracciones racionales.
Si usted tiene el modo complejo activo, el resultado será:
‘2*X+(1/2/(X+i)+1/2/(X-2)+5/(X-5)+1/2/X+1/2/(X-i))’

La función FCOEF
La función FCOEF se utiliza par obtener una fracción racional dados las raíces
y los polos de la misma.
Nota: Si la expresión F(X) = N(X)/D(X) representa una función racional,
las raíces de la fracción se encuentran al resolver la ecuación N(X) = 0,
mientras que los polos de la fracción se encuentran al resolver la ecuación
D(X) = 0.
El argumento de esta función es un vector que incluye las raíces de la fracción
seguidas de su multiplicidad (es decir, cuantas veces la raíz se repite), y los
polos de la fracción, también seguidos de su multiplicidad, esta última
representada como un número negativo. Por ejemplo, si queremos formar la
fracción que tiene las raíces 2 con multiplicidad 1, 0 con multiplicidad 3, y -5
con multiplicidad 2, y los polos 1 con multiplicidad 2 y –3 con multiplicidad 5,
utilícese:
FCOEF([2, 1, 0, 3, –5, 2, 1, –2, –3, –5]) = ‘(X--5)^2*X^3*(X-2)/(X-- 3)^5*(X1)^2’
Si presiona μ„î` (o, simplemente μ, en modo RPN) obtendrá:

Página 5-28

‘(X^6+8*X^5+5*X^4-50*X^3)/(X^7+13*X^6+61*X^5+105*X^4-45*X^3297*X^2-81*X+243)’

La función FROOTS
La función FROOTS se utiliza para obtener las raíces y los polos de una
fracción. Por ejemplo, al aplicar la función FROOTS a la fracción racional
obtenida en el ejemplo anterior, se obtiene el resultado: [1 –2. –3 –5. 0 3. 2 1.
–5 2.]. Este vector muestra primero los polos seguidos de su multiplicidad
(representada por un número negativo), y, a continuación, las raíces seguidas
por su multiplicidad (representada por un número positivo). En este caso, los
polos son (1, -3) con multiplicidades (2,5)\, respectivamente, y las raíces son
(0, 2, -5) con multiplicidades (3, 1, 2), respectivamente.
Considérese también este segundo ejemplo: FROOTS(‘(X^2-5*X+6)/(X^5X^2)’) = [0 –2. 1 –1. 3 1. 2 1.]. En este caso, los polos son 0 (2), 1(1), y las
raíces son 3(1), 2(1). Si se hubiese seleccionado la opción Complex para el
CAS, el resultado de este ejemplo hubiese sido:
[0 –2. 1 –1. – ((1+i*√3)/2) –1. – ((1–i*√3)/2) –1. 3 1. 2 1.].

Operaciones con polinomios y fracciones, paso a paso
Cuando se selecciona la opción Step/step en el CAS, la calculadora mostrará
las simplificaciones de fracciones o la operaciones con polinomios detalladas
paso a paso. Esta selección es útil, por ejemplo, para ver los diferentes pasos
de una división sintética. La división

X 3 − 5X 2 + 3X − 2
X −2
se muestra en detalle en el Apéndice C la Guía del Usuario de la calculadora.
El siguiente ejemplo muestra otra división sintética, paso a paso. Presiónese
` para ejecutar los pasos consecutivos.

X 9 −1
X 2 −1
Obsérvese que dispone de DIV2 en el menú ARITH/POLYNOMIAL.

Página 5-29

El menú CONVERT y las operaciones algebraicas

El menú CONVERT se activa al utilizar „Ú (tecla 6 ). Este menú
resume todos los menús de la conversión en la calculadora. La lista de estos
menús se demuestra a continuación:

Página 5-30

Las funciones disponibles en cada uno de los sub-menus se demuestran
después.

Menú de conversión de unidades (UNITS - Opción 1)

Este menú es igual que el menú UNITS obtenido usando ‚Û. Los usos de
este menú se discuten detalladamente en el capítulo 3.

Menú de conversión de bases (Base - Opción 2)

Este menú es igual que el menú BASE obtenido usando ‚ã. Los usos de
este menú se discuten detalladamente en el capítulo 19.

Menú de conversión trigonométrica (TRIGONOMETRIC - Opción 3)

Este menú es igual que el menú TRIG obtenido usando ‚Ñ. Los usos de
este menú se discuten detalladamente en este capítulos.

Menú de conversión matricial (MATRICES - Opción 5)
Este menú contiene las funciones siguientes:

Estas funciones se discuten detalladamente en el Capítulo 10.

Menú de re-escritura de expresiones (REWRITE - Opción 4)
Este menú contiene las funciones siguientes:

Página 5-31

Las funciones IR y RI se utilizan para convertir un número entero (I) a
número real (R), o viceversa. Los números enteros se muestran sin puntos
decimales, mientras que los números reales que representan números enteros
muestran puntos decimales, por ejemplo,

La función NUM tiene el mismo efecto que la combinación de teclas
‚ï (asociado a la tecla `). La función NUM convierte un resultado
simbólico a su valor numérico. La función Q convierte un valor numérico en
una fracción. La función Qπ convierte un valor numérico a una fracción de
π, si una fracción de π puede ser encontrado para el número; si no, la función
convierte el número a una fracción. Los ejemplos de estas tres funciones se
muestran a continuación.

De las funciones en el menú REWRITE, las funciones DISTRIB, EXPLN,
EXP2POW, FDISTRIB, LIN, LNCOLLECT, POWEREXPAND, y SIMPLIFY se
aplican a las expresiones algebraicas. Muchas de estas funciones se
presentan en este capítulo. Sin embargo, para completar la colección
presentamos aquí las referencias de la función informativa para estas
funciones.

Página 5-32

DISTRIB

EXPLN

EXP2POWFDISTRIB

LIN

LNCOLLECT

POWEREXPAND

SIMPLIFY

Página 5-33

Capítulo 6
Solución de ecuaciones únicas

En este capítulo se presentan funciones que la calculadora provee para
solucionar las ecuaciones de la forma f(X) = 0. Asociados con la tecla 7
existen dos menús de funciones para la solución de ecuaciones, el Symbolic
SOLVer („Î), o soluciones simbólicas, y el NUMerical SoLVer (‚Ï),
o soluciones numéricas. A continuación se presentan algunas de las funciones
disponibles en estos menús. Cambie el modo del CAS a complejo para estos
ejercicios (véase el capítulo 2).

Solución simbólica de las ecuaciones algebraicas
En esta sección se utiliza el menú de soluciones simbólicas (Symbolic Solver).
Actívese el menú utilizando las teclas „Î. Con la opción CHOOSE
boxes activa en la señal de sistema número 117, el menú de soluciones
simbólicas muestra las siguientes funciones:

Las funciones DESOLVE y LDEC se utilizan para la solución de ecuaciones
diferenciales, el tema de un capítulo diferente, y por lo tanto no serán
presentadas aquí. De manera similar, la función LINSOLVE se relaciona con la
solución de ecuaciones lineares múltiples, y será presentada en otro capítulo.
Las funciones ISOL y SOLVE se utilizan para obtener la incógnita de una
ecuación polinómica. La función SOLVEVX se utiliza para resolver una
ecuación polinómica en la que la incógnita es la variable independiente del
CAS VX (usualmente la ‘X’). Finalmente, la función ZEROS provee los ceros o
raíces de una ecuación polinómica. Información sobre todas las funciones en
el menú de S.SLV, excepto ISOL, está disponibles a través de la función
informativa del CAS (IL@HELP).

Página 6-1

La función ISOL
La función ISOL(Ecuación, variable) produce la solución(es) de la Ecuación al
despejar la variable. Por ejemplo, con la calculadora en modo ALG, para
despejar t en la ecuación at3-bt = 0 utilícese:

Cuando la calculador usa el modo RPN, la solución se obtiene escribiendo
primero la ecuación en la pantalla (stack), seguida por la variable, antes de
activarse la función ISOL. La figura de la izquierda muestra la pantalla RPN
antes de aplicar la función ISOL, mientras que la figura de la derecha muestra
la pantalla después de aplicar la función ISOL.

El primer argumento en la función ISOL puede ser una expresión (sin el signo
igual), como en el ejemplo anterior, o una ecuación. Por ejemplo, en modo
ALG, ejecútese el siguiente ejemplo:

Nota: Para escribir el signo igual (=) en una ecuación, utilícense las teclas
‚Å (asociada con la tecla \).
El mismo problema puede resolverse en modo RPN como se ilustra a
continuación (las figuras siguientes muestran la pantalla RPN antes y después
de aplicar la función ISOL):

Página 6-2

La función SOLVE
La función SOLVE tiene la misma sintaxis que la función ISOL, excepto que
SOLVE puede utilizarse para resolver un sistema de ecuaciones polinómicas La
función informativa de la calculadora (función HELP, que se activa utilizando
IL@HELP ) muestra la siguiente referencia para la función SOLVE,
incluyendo la solución de la ecuación X^4 – 1 = 3:

Los siguientes ejemplos muestran el uso de la función SOLVE en modo ALG:

La figura anterior muestra dos soluciones. En la primera, SOLVE(β4 -5β =125),
no produce soluciones { }. En la segunda solución, SOLVE(β4 - 5β = 6),
produce cuatro soluciones, que se muestran en la línea inferior de la pantalla.
La última solución en la línea no es visible porque el resultado ocupa más
caracteres que el ancho de la pantalla. Sin embargo, uno puede ver todas las
soluciones al activar el editor de línea utilizando la tecla direccional vertical
˜ (Esta operación puede utilizarse para acceder a cualquier línea de la
pantalla que sea más ancha que la pantalla misma):

Página 6-3

Las pantallas RPN correspondientes a los dos ejemplos anteriores, antes y
después de aplicar la función SOLVE, se muestran a continuación:

Use la tecla ˜ en este modo para activar el editor de línea:

La función SOLVEVX
La función SOLVEVX se utiliza para resolver una ecuación cuando la incógnita
es la variable CAS contenida en el registro VX. El valor predefinido de VX es el
símbolo ‘X’. Algunos ejemplos, en el modo ALG y con la variable VX = ‘X’, se
muestran a continuación:

En el primer caso, SOLVEVX no pudo encontrar una solución. En el segundo
caso, SOLVEVX encontró una solución única, X = 2.

Página 6-4

Las siguientes figuras muestran la pantalla RPN en la solución de los ejemplos
anteriores (antes y después de aplicar la función SOLVEVX):

La ecuación usada como argumento para la función SOLVEVX debe ser
reducible a una expresión racional. Por ejemplo, la ecuación siguiente no será
procesada por SOLVEVX:

La función ZEROS
La función ZEROS se utiliza para encontrar las raíces (o ceros) de una ecuación
polinómica, sin mostrar la multiplicidad de las mismas. La función ZEROS
requiere como argumentos una ecuación o expresión y la variable a
despejarse. Ejemplos en modo ALG se muestran a continuación:

Para utilizar la función ZEROS en modo RPN, escríbase primero la expresión o
ecuación polinómica, seguida de la variable a ser despejada. Después de
esto, se deberá activar la función ZEROS. Las siguientes figuras muestran la
pantalla RPN en la solución de los ejemplos anteriores (antes y después de
aplicar la función ZEROS):

Página 6-5

Las funciones de soluciones simbólicas (Symbolic Solver) presentadas
anteriormente producen soluciones para ecuaciones racionales (principalmente,
ecuaciones polinómicas).
Si la ecuación a resolverse tiene solamente
coeficientes numéricos, es posible obtener una solución numérica utilizando las
funciones de soluciones numéricas (Numerical Solver) en la calculadora.

Menú de soluciones numéricas
La calculadora provee un ambiente para la solución numérica de ecuaciones
algebraicas o trascendentes. Para activar este ambiente, actívese primero el
menú de soluciones numéricas (NUM.SLV) utilizando ‚Ï. Esta acción
produce una lista de opciones incluyendo:

Ítem 2. Solve diff eq.. será discutido en un capítulo posterior sobre ecuaciones
diferenciales Ítem 4. Solve lin sys.. será discutido en un capítulo posterior sobre
matrices. Ítem 6. MSLV (inglés, Multiple equation SoLVer, o solución de
ecuaciones múltiples) será presentado en el capítulo siguiente. A continuación
se presentan aplicaciones de las opciones 3. Solve poly.., 5. Solve finance, y 1.
Solve equation.., en ese orden. El Apéndice A, en la Guía del Usuario,
contiene instrucciones para el uso de las formas interactivas con ejemplos
basados en las soluciones numéricas de las ecuaciones. La opción 6. MSLV

Página 6-6

(solución de ecuaciones múltiples, o Mutiple equation SoLVer) se presentará
más adelante en este Capítulo.
Notas:
1. Cuando se resuelve una ecuación utilizando las soluciones numéricas en
el menú NUM.SLV, la solución se mostrará en la pantalla después de
terminarse la operación. Esta acción es útil si se requiere utilizar la
solución numérica más reciente en otras operaciones de la calculadora.
2. Las aplicaciones de soluciones numéricas (NUM.SLV) usualmente crean
una o más variables en la calculadora.

Ecuaciones polinómicas
Cuando se utiliza la opción Solve poly… en el ambiente SOLVE de la
calculadora uno puede:
1. Encontrar la(s) solución(es) de una ecuación polinómica;
2. Obtener los coeficientes de un polinomio, dadas las raíces; y
3. Obtener una expresión algebraica para un polinomio como función de la
variable CAS, usualmente ‘X’.
Solución(es) de una ecuación polinómica
Una ecuación polinómica es una ecuación de la forma: anxn + an-1xn-1 + …+
a1x + a0 = 0.
El teorema fundamental de la álgebra indica que hay n
soluciones en cualquier ecuación polinómica de orden n.
soluciones podían ser números complejos, sin embargo.

Algunas de las
Por ejemplo,

resuélvase la ecuación: 3s4 + 2s3 - s + 1 = 0.
Los coeficientes de la ecuación deberán escribirse como el siguiente vector:
[3,2,0,-1,1]. Para resolver esta ecuación polinómica, utilícese lo siguiente:
‚Ϙ˜@@OK@@
Seleccionar Solve poly…
„Ô3‚í2‚í 0

Vector de coeficientes

‚í 1\‚í1@@OK@@
@SOLVE@

Resolver la ecuación

Página 6-7

La pantalla mostrará la solución de la forma siguiente:

Presiónese ` para recobrar la pantalla normal. La pantalla mostrará los
siguientes resultados en modo ALG o en modo RPN:

Para ver todas las soluciones, presionar ˜ para activar el editor de línea:

Todas las soluciones o raíces son números complejos para este caso:
(0.432,-0.389), (0.432,0.389), (-0.766, 0.632), (-0.766, -0.632)
.
Nota: Recuerde que los números complejos en la calculadora están
representados como pares ordenados, con el primer número en el par
siendo la parte real, y el segundo número, la parte imaginaria. Por ejemplo,
el número (0.432,-0.389), un número complejo, será escrito normalmente
como 0.432 - 0.389i, donde i es la unidad imaginaria, es decir, i2 = -1.
Nota: El teorema fundamental de la álgebra indica que hay n soluciones
para cualquier ecuación polinómica de orden n. Existe otro teorema del
álgebra que indica que si una de las soluciones a una ecuación polinómica
con coeficientes reales es un número complejo, entonces el conjugado
complejo de ese número es también una solución. Es decir, las soluciones
complejas a una ecuación polinómica con coeficientes verdaderos se dan en
pares. Eso significa que las ecuaciones polinómicas con coeficientes reales
de orden impar tendrán por lo menos una solución real.

Página 6-8

Generación de coeficientes de un polinomio dadas las raíces
Supóngase que se desean generar los coeficientes de un polinomio cuyas
raíces son los números [1, 5, -2, 4]. Para utilizar la calculadora con este
propósito, síganse las siguientes instrucciones:
‚Ϙ˜@@OK@@
Seleccionar Solve poly…
˜„Ô1‚í5
Vector de raíces
‚í2\‚í 4@@OK@@
@SOLVE@
Calcular coeficientes
Presiónese ` para recuperar la pantalla normal.
mostrarán también en esa pantalla.

Los coeficientes se

Presiónese la tecla ˜ para activar el editor de línea y poder ver el vector de
coeficientes en su totalidad.
Nota: Si usted desea crear un polinomio con coeficientes verdaderos,
pero con raíces complejas, usted debe incluir las raíces complejas en pares
de conjugados complejos. Para ilustrar el punto, genere un polinomio que
tiene las raíces [1 (1,2) (1,-2)]. Verificar que el polinomio que resulta tenga
solamente coeficientes verdaderos. También, genere un polinomio con las
raíces [1 (1,2) (-1,2)], y verifique que el polinomio que resulta tiene
coeficientes complejos.
Generación de una expresión algebraica para el polinomio
Uno puede utilizar la calculadora para generara una expresión algebraica de
un polinomio dados los coeficientes o las raíces del polinomio. La expresión
que resulta está dada en términos de la variable CAS, usualmente ‘X’.( Nota:
Ud. puede sustituir X por otras variables usando la función |.)

Página 6-9

El siguiente ejemplo muestra como obtener la expresión algebraica de un
polinomio dados los coeficientes. Asúmase que los coeficientes del polinomio
son [1,5,-2,4]. Utilícense las siguientes instrucciones:
‚Ϙ˜@@OK@@
Seleccionar Solve poly…
„Ô1‚í5
Vector de coeficientes
‚í2\‚í 4@@OK@@
—@SYMB@
Generar expresión simbólica
`
Recobrar pantalla normal
La expresión generada se muestra en la pantalla como: 'X^3+5*X^2-2*X+4'.
El siguiente ejemplo muestra como obtener la expresión algebraica de un
polinomio dadas las raíces del mismo. Asúmase que las raíces del polinomio
son [1,3,-2,1]. Utilícense las siguientes instrucciones:
‚Ϙ˜@@OK@@
Seleccionar Solve poly…
˜„Ô1‚í3
Vector de raíces
‚í2\‚í 1@@OK@@
˜@SYMB@
Generar expresión simbólica
`
Recobrar pantalla normal
La expresión generada se muestra en la pantalla como: '(X-1)*(X-3)*(X+2)*(X-1)'.
Para ejecutar las multiplicaciones en esta expresión, utilícese la función
EXPAND. La expresión que resulta es: 'X^4+-3*X^3+ -3*X^2+11*X-6'.
Una técnica diferente para obtener la expresión para el polinomio es generar
los coeficientes primero, y después generar la expresión algebraica con los
coeficientes obtenidos. Por ejemplo, para este caso:
‚Ϙ˜@@OK@@
Seleccionar Solve poly…
˜„Ô1‚í3
Escriba el vector de raíces
‚í2\‚í 1@@OK@@
@SOLVE@
Calcular coeficientes
˜@SYMB@
Generar la expresión simbólica
`
Volver a la pantalla normal.

Página 6-10

La expresión generada así se muestra en la pantalla como: 'X^4+-3*X^3+ 3*X^2+11*X+-6*X^0'. Los coeficientes se listan en el nivel 2 de la pantalla.

Cálculos financieros
Los cálculos en la opción 5. Solve finance.. en el menú de soluciones numéricas
(Numerical Solver, NUM.SLV) se utilizan para determinar el valor del dinero
con el tiempo. Este tipo de cálculos es de interés en la disciplina de la
ingeniería económica y otras aplicaciones financieras. Los cálculos financieros
se activan a través de las teclas ‚Ò (asociada con la tecla 9). Antes
de discutir detalladamente la operación de los cálculos financieros,
presentamos algunas definiciones necesarias para entender las operaciones
financieras en la calculadora.
Definiciones
A menudo, en el desarrollo de proyectos, es necesario solicitar préstamos de
instituciones financieras o de fondos públicos. La cantidad de dinero prestada
se refiere como el valor presente (inglés, Present Value, PV). Este dinero debe
ser compensado a través n períodos (típicamente múltiplos o submúltiplos de
un mes) sujeto a una tasa de interés anual de I%YR. El número de períodos
por año (inglés, Periods per year, P/YR) es un número entero de los períodos
en los cuales el año será dividido con el fin de compensar el dinero del
préstamo. Los valores típicos de P/YR son 12 (un pago por mes), 24 (pago
dos veces al mes), o 52 (pagos semanales).
El pago (inglés, payment, PMT) es la cantidad que el prestatario debe pagar al
prestamista al principio o al final de cada uno de los n períodos del préstamo.
El valor futuro del dinero (inglés, Future Value, FV) es el valor que la cantidad
prestada de dinero valdrá al final de los n períodos.
El pago ocurre
típicamente en el final de cada período, de modo que el prestatario comience
a pagar en el final del primer período, y paga la misma cantidad fija en el
final del segundo, del tercer, del etc., hasta el final del período n.
Ejemplo 1 – Calculando el pago de un préstamo
¿Si $2 millones se piden prestados en una tasa de interés anual de 6.5% que
se compensará en 60 cuotas, qué debe ser la cuota (pago)? Para que la
deuda sea compensada totalmente en 60 meses, los valores futuros del

Página 6-11

préstamo deben ser cero. Así pues, con el fin de usar los cálculos financieros
utilizaremos los valores siguientes: n = 60, I%YR = 6.5, PV = 2000000, FV =
0, P/YR = 12. Para escribir los datos y calcular el pago, PMT, use:
„Ò
Comenzar la forma interactiva para finanzas
60 @@OK@@
Escriba n = 60
6.5 @@OK@@
Escriba I%YR = 6.5 %
2000000 @@OK@@
Escriba PV = 2,000,000
˜
Ignore PMT
0 @@OK@@
Escriba FV = 0, seleccionar la opción End
— š @@SOLVE!
Seleccione PMT y calcule
La pantalla de la solución será la siguiente:

La pantalla muestra el valor de PMT como –39,132.30, es decir, el prestatario
debe pagar al prestamista los $ 39.132.30 al final de cada mes los 60 meses
próximos para compensar la cantidad entera. La razón por la cual el valor de
PMT resulta ser negativo es porque la calculadora está mirando el flujo de
dinero desde el punto de vista del prestatario. El prestatario tiene + US $
2,000,000.00 en el período t = 0, entonces él comienza pagar, es decir,
agregando -US $ 39132.30 en los períodos t = 1, 2, …, 60. Al alcanzar t =
60, el valor neto en las manos del prestatario es cero. Ahora, si usted toma el
valor los $ 39.132.30 y lo multiplica por los 60 pagos, el total pagado por el
prestatario es $ 2.347.937.79. Así, el prestamista obtiene un beneficio neto de
$ 347.937.79 en los 5 años que su dinero está utilizado para financiar el
proyecto del prestatario.
Ejemplo 2 – Calculando la amortización de un préstamo
La misma solución al problema en el ejemplo 1 puede ser encontrada
presionando @)@AMOR!!, que significa AMORTIZATION. Esta opción se utiliza para
calcular cuánto del préstamo se ha amortizado en el final de cierto número de

Página 6-12

pagos. Suponer que utilizamos 24 períodos en la primera línea de la pantalla
de la amortización, es decir, 24 @@OK@@. Entonces, presione @@AMOR@@. Usted
conseguirá el resultado siguiente:

El prestatario todavía tiene que pagar un balance de $1.276.788.57 en los 36
meses próximos.
Se interpreta esta pantalla como indicando que después de 24 meses de
pagar la deuda, el prestatario ha pagado $ 723.211.43 de principal, y $
215.963.68 de interés. El prestatario todavía tiene que pagar un balance de
$1.276.788.57 en los 36 meses próximos.
Verifique qué sucede si usted substituye 60 en el ítem Payments: de la pantalla
de la amortización, y presiona @@OK@@ @@AMOR@@. La pantalla ahora muestra:

Esto significa que al final de 60 meses se han pagado $ 2.000.000.00 se ha
pagado de principal, junto con $ 347.937.79 de interés, con el balance siendo
que el prestamista debe el prestatario $ 0.000316.
Por supuesto, el balance debe ser cero. El valor mostrado en la pantalla arriba
es simplemente un error que resulta de la solución numérica.

Página 6-13

Presione $ o `, dos veces, volver a la pantalla normal de la calculadora.

Ejemplo 3 – Calculando pago con pagos al principio del período
Resolvamos el mismo problema que en los ejemplos 1 y 2, pero usando la
opción de que el pago ocurre al principio del período de pago. Use:
„Ò
60 @@OK@@
6.5 @@OK@@
2000000 @@OK@@
˜
0 @@OK@@
@@CHOOS !—@@OK@@
— š @@SOLVE!

Activar cálculos financieros
Escriba n = 60
Escriba I%YR = 6.5 %
Escriba PV = 2,000,000
Ignore PMT
Escriba FV = 0, opción End seleccionada
Cambiar la opción del pago a Begin
Seleccionar PMT y calcular

La pantalla ahora muestra que el valor de PMT es $-38.921.47, es decir, el
prestatario deben pagar al prestamista $ 38.921.48 al principio de cada mes,
los 60 meses próximos. Note que la cantidad que el prestatario paga
mensualmente, si paga al principio de cada período de pago, es levemente
menor que lo pagado al final de cada período de pago. La razón de esa
diferencia que el prestamista consigue ganancias de interés de los pagos
hechos al principio del período, aliviando así la carga en el prestamista.
Notas:
1. Los cálculos de finanzas de la calculadora permiten que usted calcule
cualquiera de los términos implicados, es decir, n, I%YR, PV, FV, P/Y,
dados los términos restantes en el cálculo del préstamo. Simplemente
seleccione el valor que usted desea calcular, y presione @@SOLVE!. El
resultado será mostrado en la localidad seleccionada.
2. Los valores calculados en el ambiente financiero de la calculadora se
copian a la pantalla con su etiqueta correspondiente.

Página 6-14

Borrando las variables
Cuando usted utiliza el ambiente financiero de la calculadora por la primera
vez dentro el directorio HOME, o cualquier sub-directorio, generará las
variables @@@N@@ @I©YR@ @@PV@@ @@PMT@@ @@PYR@@ @@FV@@ para almacenar los términos
correspondientes en los cálculos. Usted puede ver el contenido de estas
variables usando:
‚@@ @n@@ ‚@I©YR@ ‚@@PV@@ ‚@@PMT@@ ‚@@PYR@@ ‚@@FV@@.
Usted puede guardar estas variables para uso futuro, o utilizar la función
PURGE para borrarlas de su directorio. Para borrar todas las variables
inmediatamente, si usa modo de ALG, intente lo siguiente:
I@PURGE J „ä
Escriba PURGE, prepare lista de variables
³‚@@@n@@
Escriba el nombre de la variable N
™ ‚í
Escriba una coma
³ ‚@I©YR@
Escriba el nombre de la variable I%YR
™ ‚í
Escriba una coma
³ ‚@@PV@@
Escriba el nombre de la variable PV
³ ‚@@PMT@@
Escriba el nombre de la variable PMT™
‚í
Escriba una coma
™ ‚í
Escriba una coma
³ ‚@@PYR@@
Escriba el nombre de la variable PYR
™ ‚í
Escriba una coma
³ ‚@@FV@@.
Escriba el nombre de la variable FV
`
Ejecute la instrucción PURGE
Las pantallas siguientes muestran la instrucción PURGE para eliminar todas las
variables en el directorio, y el resultado después de ejecutar la instrucción.

En modo RPN, la instrucción se ejecuta de esta manera:
J „ä
Elaborar una lista de variables a remover
@@@n@@
Escriba nombre de la variable N

Página 6-15

@I©YR@
@@PV@@
@@PMT@@
@@PYR@@
@@FV@@
`
I@PURGE

Escriba nombre de la variable I%YR
Escriba nombre de la variable PV
Escriba nombre de la variable PMT
Escriba nombre de la variable PYR
Escriba nombre de la variable FV
Escriba lista de variables en la pantalla
Elimine las variables en la lista

Antes de ejecutar la instrucción PURGE, la pantalla de RPN lucirá así:

Solución de ecuaciones con una sola incógnita con el NUM.SLV
El menú NUM.SLV provee la opción 1. Solve equation.. para resolver
ecuaciones de una sola incógnita, incluyéndose ecuaciones algebraicas nolineales, y ecuaciones trascendentes. Por ejemplo, resuélvase la ecuación: exsin(πx/3) = 0.
Simplemente escríbase la expresión como un objeto algebraico y almacénese
la misma en la variable EQ. Los pasos a seguir en modo ALG son los
siguientes:
³„¸~„x™-S„ì
*~„x/3™‚Å 0™
K~e~q`

Página 6-16

La función STEQ
La función STEQ se utiliza para almacenar el argumento en la variable EQ,
por ejemplo, en modo ALG:

En modo RPN, escríbase primero la ecuación entre apóstrofes y actívese la
función STEQ. La función STEQ puede utilizarse, por lo tanto, como una
forma simple de almacenar expresiones en la variable EQ.
Presiónese J para ver la variable EQ que se acaba de crear:

A continuación, actívese el ambiente SOLVE y selecciónese la opción Solve
equation…, utilizando: ‚Ï@@OK@@. La pantalla mostrará lo siguiente:

La ecuación almacenada en la variable EQ se muestra en la opción Eq de la
forma interactiva denominada SOLVE EQUATION. Así mismo, se provee una
opción denominada x, que representa la incógnita a resolverse.
Para
encontrar una solución a la ecuación es necesario seleccionar la región de la
forma interactiva correspondiente a la x: utilizando la tecla ˜, y presionar la
tecla @SOLVE@. La solución proveída es X: 4.5006E-2:

Página 6-17

Esta, sin embargo, no es la única solución posible para esta ecuación. Para
obtener, por ejemplo, una solución negativa, escríbase un número negativo en
la opción x: antes de resolver la ecuación.
Por ejemplo,
3\@@@OK@@˜@SOLVE@. La nueva solución es x: -3.045.
Procedimiento de la solución para Equation Solve...
Las soluciones numéricas de las ecuaciones trabajan como sigue:
• Permite al usuario escribir o escoger (@CHOOS) una ecuación para
resolver.
• Crea una forma interactiva con localidades correspondientes a todas
las variables incluidas en la ecuación almacenada en la variable EQ.
• El usuario necesita incorporar los valores para todas las variables
incluidas, excepto una.
• El usuario entonces destaca la localidad que corresponde a la
incógnita para que resolver la ecuación, y presiona @SOLVE@
• El usuario puede forzar una solución proporcionando un valor inicial
en la localidad apropiado antes de resolver la ecuación
La calculadora utiliza un algoritmo de búsqueda para establecer claramente un
intervalo para el cual la función cambia de signo, lo que indica la existencia
de una raíz o de una solución. Entonces utiliza un método numérico para
converger en la solución.
La solución que la calculadora busca se determina por el valor inicial presente
en el localidad de la incógnita. Si no hay valor presente, la calculadora utiliza
un valor prefijado de cero. Así, usted puede buscar más de una solución a una
ecuación cambiando el valor inicial en el localidad de la incógnita. Ejemplos
de las soluciones de las ecuaciones se muestran posteriormente.

Página 6-18

Ejemplo 1 – Ley de Hooke para la deformación y el esfuerzo
La ecuación a utilizar es ley de Hooke para la deformación normal en la
dirección x para una partícula sólida sujeta a un estado de esfuerzos dado por

⎡σ xx
⎢
⎢σ yx
⎢σ zx
⎣

La ecuación es

exx =

σ xy σ xz ⎤
⎥
σ yy σ yz ⎥
σ zy σ zz ⎥⎦

1
[σ xx − n ⋅ (σ yy + σ zz )] + α ⋅ ΔT , en la cual exx es el
E

esfuerzo unitario en la dirección x, σxx, σyy, y σzz, son los esfuerzos normales
sobre la partícula en las direcciones x, y, y z, E es el módulo de Young o
módulo de elasticidad del material, n es el cociente de Poisson del material, α
es el coeficiente de la extensión termal del material, y ΔT es un incremento de
temperatura.
Suponer que se dan los datos siguientes: σxx= 2500 psi, σyy =1200 psi, y σzz
= 500 psi, E = 1200000 psi, n = 0.15, α = 0.00001/oF, ΔT = 60 oF. Para
calcular la deformación exx use lo siguiente:
‚Ï@@OK@@
Activa soluciones numéricas
‚O
Activa el escritor de ecuaciones
A este punto siga las instrucciones del capítulo 2 en cómo utilizar el Escritor de
ecuaciones para construir una ecuación. La ecuación a entrar en la localidad
Eq debe lucir como se muestra a continuación (notar que utilizamos solamente
un subíndice para referir a las variables, i.e., exx se traduce como ex, etc. -esto se hace para ahorrar tiempo de escritura):

Página 6-19

Utilizar los atajos siguientes para los caracteres especiales:
σ:
~‚s
α:
~‚a
Δ:
~‚c
y recuerde que las letras minúsculas son incorporadas usando ~„ antes
de la tecla de la letra, así, x se escribe como ~„x.
Presione ` para volver a la pantalla de la solución. Escriba los valores
propuestos arriba en las localidades correspondientes, de modo que la
pantalla de la solución se muestren de esta manera:

Con la localidad ex: seleccionada, presione @SOLVE@ para encontrar ex:

La solución se puede resolver dentro de la forma interactiva SOLVE EQUATION
al presionar @EDIT mientras que la localidad ex: esté seleccionada. El valor que
resulta es 2.470833333333E-3. Presione @@@OK@@ para cerrar el editor.
Suponer que usted desea determinar el módulo de Young el cual producirá una
deformación exx = 0.005 bajo el mismo estado de esfuerzos, despreciando la
extensión termal. En este caso, usted debe escribir un valor de 0.005 en la
localidad ex:, y un cero en la localidad ΔT: (con ΔT = 0, no hay efectos
termales incluidos). Para calcular E, seleccione la localidad E: y presione
@SOLVE@. El resultado, visto con el editor @EDIT es, E ≈449000 psi. Presione
@SOLVE@ ` para regresar a la pantalla normal.

Página 6-20

Note que los resultados de los cálculos que se realizaron dentro de la pantalla
de las soluciones numéricas se han copiado a la pantalla:

También, usted verá todas las variables correspondientes a esas variables en la
ecuación almacenada en EQ (presione L para ver todas las variables en su
directorio), esto es, las variables ex, ΔT, α, sz, sy, n, σx, y E.
Ejemplo 2 – Energía específica en flujo de canal abierto
La energía específica en un canal abierto se define como la energía por
unidad de peso medido con respecto al fondo del canal. Sea E = energía
específica, y = profundidad del canal, V = velocidad del flujo, g = aceleración
de la gravedad, entonces escribimos

E = y+

V2
.
2g

La velocidad del flujo se escribe como V = Q/A, donde Q = caudal, A = área
de la sección transversal. El área depende de la sección transversal utilizada,
por ejemplo, para una sección transversal trapezoidal, como se muestra en la
figura inferior, A = (b+m⋅y) ⋅y, donde b = ancho del fondo, y m = pendiente
lateral de la sección transversal.

z

2

n

c
Podemos escribir la ecuación para E según se mostró anteriormente y utilizar
las variables auxiliares A y V, de modo que la forma interactiva que resulta
tenga localidades para las variables fundamentales y, Q, g, m, y b, como
sigue:

Página 6-21

•
•

Primero, cree un sub-directorio llamado SPEN (inglés, SPecific ENergy)
y trabaje dentro de ese sub-directorio.
Después, defina las variables siguientes:

•

Active las soluciones numéricas para resolver ecuaciones:
‚Ï@@OK@@. Note que la forma interactiva contiene las localidades
para las variables y, Q, b, m, g:

•

Use los datos de entrada siguientes: E = 10 ft, Q = 10 cfs (pies
cúbicos por segundo), b = 2.5 ft, m = 1.0, g = 32.2 ft/s2:

•

Calcule y.

Página 6-22

El resultado es 0.149836.., es decir, y = 0.149836.
•

Se sabe, sin embargo, que hay realmente dos soluciones disponibles
para y en la ecuación de la energía específica. La solución que
acabamos de encontrar corresponde a una solución numérica con un
valor inicial de 0 (el valor prefijado para y, es decir, siempre que la
localidad de la incógnita esté vacía, el valor inicial es cero). Para
encontrar la otra solución, necesitamos escribir un valor mayor para y,
digamos 15, seleccione la localidad y , y calcule y una vez más:

El resultado ahora es 9.99990, es decir, y = 9.99990 ft.
Este ejemplo ilustra el uso de variables auxiliares de escribir ecuaciones
complicadas. Cuando se activa NUM.SLV, las substituciones implicadas por
las variables auxiliares se activan, y la pantalla de la solución para la ecuación
proporciona las localidades para las variables primitivas o fundamentales que
resultan de las substituciones. El ejemplo también ilustra una ecuación que tiene
más de una solución, y cómo la elección del valor inicial puede producir esas
diversas soluciones.
En el ejemplo siguiente utilizaremos la función DARCY para encontrar factores
de fricción en tuberías. Así, definimos la función en la sección siguiente.
Función especial para el flujo de tuberías: DARCY (ε/D,Re)
La ecuación de Darcy-Weisbach se utiliza para calcular la pérdida de energía
(por unidad de peso), hf, en un flujo a través de una tubería de diámetro D,
rugosidad absoluta ε, y longitud L, cuando la velocidad del flujo en la tubería

Página 6-23

es V. Se escribe la ecuación como

hf = f ⋅

L V2
⋅
. La cantidad f se sabe
D 2g

pues el factor de la fricción del flujo y del él se ha encontrado para ser una
función de la rugosidad relativa de la pipa, ε/D, y un número de Reynolds
(adimensional), Re. Se define el número de Reynolds como Re = ρVD/μ =
VD/ν, donde ρ y μ son la densidad y la viscosidad dinámica del líquido,
respectivamente, y ν = μ/ρ es la viscosidad cinemática del líquido.
La calculadora proporciona una función llamada DARCY que usa como
entrada la rugosidad relativa ε/D y el número de Reynolds, en ese orden, para
calcular el factor de fricción f. La función DARCY puede encontrarse a través
del catálogo de funciones:

Por ejemplo, para ε/D = 0.0001, Re = 1000000, usted puede encontrar el
factor de la fricción usando: DARCY(0.0001,1000000). En la pantalla
siguiente, la función NUM ()fue utilizado obtener un valor numérico de la
función:

El resultado es f = DARCY(0.0001,1000000) = 0.01341…

Página 6-24

La función FANNING(ε/D,Re)
En usos de la aerodinámica se utiliza un diverso factor de fricción, el factor de
fricción de Fanning. El factor de fricción de Fanning, fF, se define como 4 veces
el factor de fricción de Darcy-Weisbach, f.
La calculadora también
proporciona una función llamada FANNING que usa los mismos argumentos
que DARCY, esto es, ε/D y Re, y proporciona factor de fricción de FANNING.
Verificar que FANNING(0.0001,1000000) = 0.0033603589181s.

Ejemplo 3 – Flujo en una tubería
Usted puede desear crear un sub-directorio separado (PIPELINES) para intentar
este ejemplo. El flujo que gobierna de la ecuación principal en una tubería
es, por supuesto, la ecuación de Darcy-Weisbach . Así, escriba la ecuación
siguiente en EQ:

También, escriba las variables siguientes (f, A, V, Re):

Página 6-25

En este caso almacenamos la ecuación principal (ecuación de DarcyWeisbach) en EQ, y después substituimos varias de sus variables por otras
expresiones con la definición de las variables f, A, V, y Re. Para ver la
ecuación combinada, use EVAL(EQ). En este ejemplo cambiamos el ajuste de
la pantalla para poder ver la ecuación entera en la pantalla:

Así, la ecuación que estamos solucionando, después de combinar las diversas
variables en el directorio, es:

QD ⎞
⎛
⎜
⎟
2
8Q L
ε
h f = 2 5 ⋅ DARCY ⎜ , πD / 4 ⎟
Nu ⎟
⎜D
π gD
⎜
⎟
⎝
⎠
2

La ecuación combinada tiene variables primitivas: h, Q, L, g, D, e, y Nu.
Active las soluciones numéricas (‚Ï@@OK@@) ver las variables primitivas
listadas en la pantalla SOLVE EQUATION:

Suponer que utilizamos los valores hf = 2 m, ε = 0.00001 m, Q = 0.05 m3/s,
Nu = 0.000001 m2/s, L = 20 m, y g = 9.806 m/s2, encontrar el diámetro D.

Página 6-26

Escriba los valores conocidos, y calcule D, La solución es: 0.12, esto es, D =
0.12 m.

Si la ecuación es dimensionalmente consistente, usted puede agregar unidades
a los valores de entrada, según se muestra en la figura siguiente. Sin embargo,
usted debe agregar esas unidades al valor inicial en la solución. Así, en el
ejemplo siguiente colocamos 0_m en la localidad D: antes de solucionar el
problema. La solución se muestra en la pantalla a la derecha:

Presione ` para volver a la pantalla normal de la calculadora. La solución
para D será enumerada en la pantalla.
Ejemplo 4 – Gravitación universal
La ley de Newton de la gravitación universal indica que la magnitud de la
fuerza atractiva entre dos cuerpos de masas m1 y m2 separados por una
distancia r se calcula por la ecuación

F =G⋅

M1 ⋅ M 2
.
r2

Aquí, G es la constante de gravitacional universal, cuyo valor se puede obtener
con el uso de la función CONST:

Página 6-27

Podemos calcular cualquier término en la ecuación (excepto G) escribiendo la
ecuación como:

Esta ecuación entonces se almacena en EQ:

Activando las soluciones numéricas para esta ecuación da lugar a una forma
interactiva que contiene para F, G, m1, m2, y r.

Solucionemos este problema usando unidades con los valores siguientes para
las variables conocidas m1 = 1.0×106 kg, m2 = 1.0×1012 kg, r = 1.0×1011
m. También, escriba un valor de 0_N en la localidad F para asegurar la
solución apropiada usando unidades en la calculadora:

Calcule F, y presione $ para volver a la pantalla normal de la calculadora.
La solución es F : 6.67259E-15_N, o F = 6.67259×10 -15 N.

Página 6-28

Nota: Al usar unidades en las soluciones numéricas cerciorarse de que
todas las variables tengan las unidades apropiadas, que las unidades son
compatibles, y que la ecuación es dimensionalmente homogénea.
Diversas maneras de incorporar ecuaciones en EQ
En todos los ejemplos mostrados anteriormente hemos incorporado la ecuación
que se solucionará directamente en la variable EQ antes de activar las
soluciones numéricas. Usted puede escribir la ecuación que se solucionará
directamente en el ambiente de soluciones numéricas al editar el contenido de
la localidad EQ en la forma interactiva. Si la variable EQ no se ha definido
previamente, cuando usted active las soluciones numéricas (‚Ï@@OK@@), la
localidad EQ será seleccionada:

A este punto usted puede escribir una nueva ecuación presionando @EDIT. Se
proporcionarán un par de apóstrofes de modo que usted pueda escribir la
expresión entre ellos:

Escriba una ecuación, digamos, X^2 - 125 = 0, directamente en la pantalla, y
presione @@@OK@@@ .

Página 6-29

A este punto la ecuación es lista para la solución.
Alternativamente, usted puede activar al escritor de la ecuación después de
presionar @EDIT para escribir su ecuación. Presione ` para volver a la
pantalla de soluciones numéricas.
Otra manera de incorporar una ecuación en la variable de EQ es seleccionar
una variable que existe ya en su directorio y que se almacenará en EQ. Esto
significa que su ecuación tendría que haber sido almacenada en una variable
previamente a activar las soluciones numéricas. Por ejemplo, suponer que
hemos almacenado las ecuaciones siguientes en las variables EQ1 y EQ2:

Ahora, active las soluciones numéricas (‚Ï@@OK@@) y seleccione la
localidad EQ. A este punto presione la tecla @CHOOS. Use las teclas —˜
para seleccionar, digamos, la variable EQ1:

Página 6-30

Presione @@@OK@@@ después de seleccionar EQ1 para cargarla en la variable EQ en
el ambiente de soluciones. La nueva ecuación es lista ser solucionado.

El menú SOLVE

El menú SOLVE permite el acceso a alguno de las funciones de soluciones
numéricas a través de las teclas de menú. Para tener acceso a este menú use,
en modo RPN: 74 MENU, o en modo ALG: MENU(74). Alternativamente,
usted puede utilizar ‚(mantener) 7 para activar el menú SOLVE. Los submenús proporcionados por SOLVE son los siguientes:

El sub-menú ROOT
El sub-menú ROOT incluye las funciones y los sub-menús siguientes:

La función ROOT
La función ROOT se utiliza para resolver una ecuación para una variable dada
con un valor inicial aproximado. En modo RPN la ecuación estará en el nivel 3
de la pantalla, mientras que el nombre de la variable estará situado en el nivel
2, y la el valor inicial en el nivel 1. La figura siguiente muestra la pantalla de
RPN antes y después que activa la función @ROOT:

Página 6-31

En modo ALG, usted utilizaría ROOT(‘TAN(θ)=θ’,’θ’,5) para activar la función
ROOT:

Variable EQ

La tecla @@EQ@@ en este sub-menú se utiliza como referencia a la variable EQ.
Presionar esta tecla del menú es equivalente a usar la función RCEQ (inglés,
ReCall EQ, o ReCobrar EQ).

El sub-menú SOLVR
El sub-menú SOLVR activa la función de solución (solver) para la ecuación
almacenada actualmente en EQ. Algunos ejemplos se demuestran después:
Ejemplo 1 - Solucionar la ecuación t2-5t = -4
Por ejemplo, si usted almacena la ecuación ‘t^2-5*t=-4’ en EQ, y presiona
@)SOLVR, activará el menú siguiente:

Este resultado indica que usted puede calcular t para la ecuación listada en la
parte superior de la pantalla. Si usted intenta, por ejemplo, „[ t ], le dará
el resultado t: 1., después de mostrar brevemente el mensaje “Solving for t”
(Calculando t). Hay una segunda raíz a esta ecuación, que puede ser
encontrada cambiando el valor de t, antes de calcularlo nuevamente. Siga
estas instrucciones: 10 [ t ], después presione „[ t ]. El nuevo resultado
es t: 4.0000000003. Para verificar este resultado, presione la tecla del menú
etiquetada @EXPR=, cuál evalúa la expresión en EQ para el valor actual de t. Los
resultados en este caso son:

Página 6-32

Para abandonar el ambiente SOLVR, presione J. El acceso al menú SOLVE
se pierde a este punto, así que usted tiene que activarlo una vez más según se
indicó anteriormente, para continuar con los ejercicios siguientes.
Ejemplo 2 - Resolver la ecuación Q = at2+bt
Es posible almacenar en EQ una ecuación que implica más que una variable,
digamos, ‘Q = at^2 + bt’. En este caso, después de activar el menú SOLVE, y
presionar @)ROOT @)SOLVR, usted conseguirá la pantalla siguiente:

Dentro de este ambiente de SOLVR usted puede proporcionar los valores para
cualquiera de las variables enumeradas escribiendo el valor en la pantalla y
presionando las teclas correspondientes del menú. Por ejemplo, suponga que
usted escribe los valores Q = 14, a = 2, y b = 3. Use:
14 [ Q ], 2 [ a ], 3 [ b ].
A medida que las variables Q, a, y b, aceptan los valores numéricos
asignados, las asignaciones se enumeran en la esquina superior izquierda de
la pantalla. A este punto podemos calcular t, usando „[ t ]. El resultado
es t: 2. Presione @EXPR= para obtener lo siguiente:

Ejemplo 3 - Resolver dos ecuaciones simultáneas, una a la vez
Usted puede también resolver más de una ecuación usando una ecuación a la
vez, y repitiendo el proceso hasta que se encuentra una solución al sistema. Por
ejemplo, si usted almacena la siguiente lista de ecuaciones en la variable EQ: {

Página 6-33

‘a*X+b*Y = c’, ‘k*X*Y=s’}, las teclas @)ROOT @)SOLVR, en el menú SOLVE, producirá
la pantalla siguiente:

La primera ecuación, a saber, a*X + b*Y = c, será enumerado en la parte
superior de la pantalla. Usted puede escribir los valores para las variables a, b,
y c, digamos: 2 [ a ] 5 [ b ] 19 [ c ]. También, puesto que podemos
solucionar solamente una ecuación a la vez, escribamos un valor inicial para Y,
digamos, 0 [ Y ], y calcule X, usando „[ X ]. Esto produce el valor, X:
9.4999…. Para verificar el valor de la ecuación a este punto, presione @EXPR=.
Los resultados son: Left (izquierda): 19, Right (derecha): 19. Para solucionar
la ecuación siguiente, presione L @NEXQ. La pantalla muestra las teclas del
menú como:

Digamos que escribimos los valores k = 2, s = 12. Entonces se calcula Y, y
presionamos @EXPR=. Los resultados son, para Y:

Entonces continuamos moviéndonos de la primera a la segunda ecuación,
hacia adelante y hacia atrás, solucionando la primera ecuación para X y la
segunda para Y, hasta que los valores de X y de Y convergen a una solución.
Para moverse de ecuación a ecuación, use @NEXQ. Para calcular X y Y, use „[
X ], y „[ Y ], respectivamente. La secuencia siguiente de soluciones se
produce:

Página 6-34

Después de resolver las dos ecuaciones, una a la vez, notamos que, hasta el
tercer decimal, X es convergente a un valor de 7.500, mientras que Y es
convergente a un valor de 0.799.
Usando unidades con el sub-menú SOLVR
Éstas son algunas reglas en el uso de unidades con el sub-menú SOLVR:
• Al escribir un valor inicial con unidades para una variable dada,
introducirá el uso de esas unidades en la solución.
• Si un nuevo valor inicial se da sin unidades, las unidades
almacenadas previamente para esa variable particular serán
utilizadas en la solución.
• Para remover unidades, escriba un número sin unidades en una lista
como el nuevo valor inicial, es decir, use el formato {número}.
• Una lista de números se puede dar como valores iniciales para una
variable. En este caso, las unidades toman las unidades que
pertenecen al último número en la lista. Por ejemplo, al escribir {
1.41_ft 1_cm 1_m } las unidades de metro (m) se utilizarán para esa
variable.
• La expresión usada en la solución debe tener unidades consistentes, o
resultará en un error al intentar la solución.

El sub-menú DIFFE
El sub-menú DIFFE provee un número de funciones para la solución numérica
de ecuaciones diferenciales. Las funciones proveídas son las siguientes:

Estas funciones se presentan detalladamente en el capítulo 16.

Página 6-35

El sub-menú POLY
El sub-menú POLY realiza operaciones en polinomios. Las funciones incluidas
son las siguientes:

Función PROOT
Esta función se utiliza para encontrar las raíces de un polinomio dado un vector
que contiene los coeficientes polinómicos en orden decreciente de las potencias
de la variable independiente. Es decir si es el polinomio es anxn + an-1xn-1 +
… + a2x2 + a1x + a0, el vector de coeficientes se debe escribir como [an, an-1,
… , a2, a1 , a0]. Por ejemplo, las raíces del polinomio cuyos coeficientes son
[1, -5, 6] son [2, 3].
Función PCOEF
Esta función produce los coeficientes [an, an-1, …
n

n-1

, a2, a1 , a0] de un

2

polinomio anx + an-1x
+ … + a2x + a1x + a0, dado un vector de sus
raíces [r1, r2, …, rn]. Por ejemplo, un vector cuyas raíces se dan por [-1, 2, 2,
1, 0], producirá los coeficientes siguientes: [1, -4, 3, 4, -4, 0]. El polinomio es
x5 - 4x4 + 3x3 + 4x2 - 4x.
Función PEVAL
Esta función evalúa un polinomio, dado un vector de sus coeficientes, [an, an-1,
… , a2, a1 , a0], y un valor x0, es decir, PEVAL calcula anx0n + an-1x0n-1 + …
+ a2x02 + a1x0 + a0. Ejemplo de Por, para los coeficientes [2, 3, -1, 2] y un
valor de 2, PEVAL calcula el valor 28.

El sub-menú SYS
El sub-menú SYS contiene un listado de las funciones usadas para solucionar
sistemas lineares. Las funciones enumeradas en este sub-menú son:

Estas funciones se presentan detalladamente en el capítulo 11.

Página 6-36

El sub-menú TVM
El sub-menú de TVM (inglés, Time Value of Money, o valor temporal del dinero)
contiene las funciones para calcular el valor temporal del dinero. Esto es una
manera alternativa de solucionar problemas de finanzas (véase el capítulo 6).
Las funciones disponibles se demuestran aquí:

El sub-menú de SOLVR
El sub-menú de SOLVR en el sub-menú de TVM activa las soluciones de
problemas de TVM. Por ejemplo, presionando @)SOLVR, a este punto, accionará
la pantalla siguiente:

Como ejercicio, intente usar los valores n = 10, I%YR = 5.6, PV = 10000, y FV
= 0, y use „[ PMT ] para encontrar PMT = -1021.08…. Presionando L,
produce la pantalla siguiente:

Presione J para salir del ambiente SOLVR. Regrese al sub-menú de TVM
dentro del sub-menú SOLVR para probar las otras funciones disponibles.
Función TVMROOT
Esta función requiere como argumentos el nombre de una de las variables en el
problema de TVM. La función produce la solución para esa variable, dado
que las otras variables existen y tienen valores que fueron almacenados
previamente. Por ejemplo, después de resolver el problema anterior de TVM,
podemos calcular ‘N’, como sigue: [ ‘ ] ~n` @TVMRO. El resultado es 10.

Página 6-37

Función AMORT
Esta función toma un valor que representa un período del pago (entre 0 y n) y
produce el principal, el interés, y el balance para los valores almacenados
actualmente en las variables de TVM. Por ejemplo, con los datos usados
anteriormente, si activamos la función AMORT para un valor de 10, se obtiene:

Función BEG
Si se selecciona esta opción, los cálculos de TMV utilizan pagos al principio de
cada período. Si no se selecciona esta opción, los cálculos de TMV utilizan
pagos al final de cada período.

Página 6-38

Capítulo 7
Solución de ecuaciones múltiples

Muchos problemas en la ciencia y la ingeniería requieren las soluciones
simultáneas de más de una ecuación. La calculadora proporciona varios
procedimientos para solucionar ecuaciones múltiples según lo presentado
abajo. Los sistemas de ecuaciones lineares no se presentan en este capítulo.
Estos serán presentados detalladamente en el capítulo sobre matrices y álgebra
linear.

Sistemas de ecuaciones racionales

Las ecuaciones que se pueden escribir como polinomios o expresiones
algebraicas racionales se pueden solucionar directamente con la calculadora
usando la función SOLVE. Usted necesita proporcionar la lista de ecuaciones
como elementos de un vector. La lista de las variables a calcular debe también
proporcionarse como un vector. Cerciórese que el CAS esté fijado al modo
Exact antes de procurar una solución usando este procedimiento. También,
cuanto más complicadas las expresiones, el CAS toma más tiempo en resolver
un sistema particular de ecuaciones. Los ejemplos de esta aplicación se
presentan a continuación:

Ejemplo 1 – Movimiento de proyectiles
Utilice la función SOLVE con los siguientes argumentos vectoriales, el primer
siendo la lista de ecuaciones: [‘x = x0 + v0*COS(θ0)*t’ ‘y = y0 +
v0*SIN(θ0)*t – g*t^2/2’]`, y el segundo las variables a calcular, digamos
t y y0, es decir, [‘t’ ‘y0’].
La solución en este caso se obtendrá usando el modo RPN. En RPN, podemos
construir la solución gradualmente. Sin embargo, la solución en el modo ALG
es muy similar. Primero, almacenamos el primer vector (ecuaciones) en la
variable A2, y el vector de variables en la variable A1. La pantalla siguiente
demuestra la pantalla RPN antes de almacenar las variables.

Página 7-1

A este punto, necesitamos solamente presionar K, dos veces, para
almacenar estas variables. Para resolver el problema, primero cambiamos el
modo del CAS a Exact, y después, listar el contenido de A2 y de A1, en ese
orden: @@@A2@@@ @@@A1@@@ .

Use la instrucción SOLVE (en el menú S.SLV: „Î). Después de unos 40
segundos, quizá más, usted consigue como resultado la siguiente lista:
{ ‘t = (x-x0)/(COS(θ0)*v0)’
‘y0 = (2*COS(θ0)^2*v0^2*y+(g*x^2(2*x0*g+2*SIN(θ0))*COS(θ0)*v
0^2)*x+(x0^2*g+2*SIN(θ0)*COS(θ0)*v0^2*x0)))/(2*COS(θ0)^2*v0^2)’]}
Presione μ para remover el vector de la lista, y después utilice la función
OBJ, para descomponer el vector de la forma siguiente.

Nota: Este método funciona muy bien en este ejemplo porque las
incógnitas t y y0 son términos algebraicos en las ecuaciones. Este método no
funcionaría para calcular θ0, puesto que θ0 pertenece a un término
trascendente en las ecuaciones.

Página 7-2

Ejemplo 2 – Esfuerzos en un cilindro de pared gruesa
Considere un cilindro de pared gruesa con radios interno y externo a y b,
respectivamente, sujeto a una presión interna Pi y a una presión externa Po. A
cualquier distancia radial r del eje del cilindro el esfuerzo normal en las
direcciones radial y transversal, σrr y σθθ, respectivamente, se escriben:

σ θθ =

a 2 ⋅ Pi − b 2 ⋅ Po a 2 ⋅ b 2 ⋅ ( Pi − Po )
+
,
b2 − a 2
r 2 ⋅ (b 2 −a 2 )

a 2 ⋅ Pi − b 2 ⋅ Po a 2 ⋅ b 2 ⋅ ( Pi − Po )
σ rr =
.
−
b2 − a 2
r 2 ⋅ (b 2 −a 2 )
Note que los lados derechos de las dos ecuaciones difieren solamente en el
signo entre los dos términos. Por lo tanto, para escribir estas ecuaciones en la
calculadora, se sugiere escribir el primer término y almacenarlo en una
variable T1, después escribir el segundo término, y almacenarlo en T2. La
escritura de las ecuaciones posteriormente consistirá en colocar el contenido de
T1 y T2 en la pantalla y sumarlos y restarlos. Aquí es cómo se hace con el
escritor de ecuaciones:
Escribir y almacenar el término T1:

Escribir y almacenar el término T2:

Página 7-3

Note que se utiliza el modo RPN en este ejemplo, sin embargo, el
procedimiento en modo ALG es muy similar. Cree la ecuación para sθθ:
J@@@T1@@@ @@T2#@@ + ~‚s ~‚t ` ™ ‚Å
Cree la ecuación para srr: J@@@T1@@@ @@T2#@@ - ~‚s ~„r `
™ ‚Å
Produzca un vector con las dos ecuaciones, usando la función ARRY
(accesible en el catálogo de funciones ‚N) después de escribir un 2:

Ahora, suponga que deseamos calcular Pi y Po, dados a, b, r, srr, y sθθ.
Escribimos un vector con las incógnitas:

Para calcular Pi y Po, use la función SOLVE en el menú S.SLV („Î), puede
tomar a la calculadora un minuto para producir el resultado:
{[‘Pi=-(((σθ-σr)*r^2-(σθ+σr)*a^2)/(2*a^2))’
‘Po=-(((σθ-σr)*r^2-(σθ+σr)*b^2)/(2*b^2))’ ] }, i.e.,

Note que el resultado incluye un vector [ ] contenido dentro de una lista { }.
Para quitar el símbolo de la lista, use μ. Finalmente, para descomponer el
vector, use la función OBJ. El resultado es:

Página 7-4

Estos dos ejemplos constituyen sistemas de ecuaciones lineales que se pueden
resolver con la función LINSOLVE (ver el capítulo 11). El ejemplo siguiente
muestra la función SOLVE aplicada a un sistema de ecuaciones polinómicas.

Ejemplo 3 - Sistema de ecuaciones polinómicas

La pantalla siguiente muestra la solución del sistema X2+XY=10, X2-Y2=-5,
usando la función SOLVE:

Solución a las ecuaciones simultáneas con MSLV

La función MSLV está disponible como la última opción en el menú ‚Ï:

La función informativa de la calculadora (IL@HELP ) muestra la siguiente
referencia para la función MSLV:

Página 7-5

Ejemplo 1 - Ejemplo dado por la función informativa del CAS
La función informativa del CAS presenta un ejemplo de la función MSLV según
se mostró anteriormente. Obsérvese que la función MSLV requiere tres
argumentos:
1. Un vector que contiene las ecuaciones, Vg., ‘[SIN(X)+Y,X+SIN(Y)=1]’
2. Un vector que contiene las incógnitas, Vg., ‘[X,Y]’
3. Un vector que contiene valores iniciales de la solución, Vg., los valores
iniciales de X y Y son ambos cero en este ejemplo.
En modo ALG, presiónese @ECHO para copiar el ejemplo a la pantalla,
presiónese ` para ejecutar el ejemplo. Para ver todos los elementos de la
solución, es necesario activar el editor de línea al presionar la tecla direccional
vertical ˜:

En modo RPN, la solución de este ejemplo requiere lo siguiente antes de activar
MSLV:

Al activar la función MSLV se producen los siguientes resultados:

Se habrá observado que, mientras se produce la solución, la pantalla muestra
información intermedia relacionada a la solución en la esquina superior
izquierda. Como la solución proveída por la función MSLV es numérica, la

Página 7-6

información en la esquina superior izquierda muestra los resultados del proceso
iterativo utilizado en la solución del sistema de ecuaciones.
La solución
producida por MSLV para este caso es X = 1.8238, Y = -0.9681.

Ejemplo 2 - Entrada de un lago a un canal abierto
Este problema particular en flujo de canales abiertos requiere la solución
simultánea de dos ecuaciones, la ecuación de la energía:

ecuación de Manning:

Q=

Cu A 5 / 3
⋅
⋅ So .
n P2/3

Ho = y +

V2
, y la
2g

En estas ecuaciones, Ho

representa la altura de energía (m, o ft) disponible para un flujo en la entrada
a un canal, y es la profundidad de flujo (m o ft), V = Q/A es la velocidad del
flujo (m/s o ft/s), Q es la descarga volumétrica (m3/s o ft3/s), A es el área de
la sección transversal (m2 o ft2), Cu es un coeficiente que depende del sistema
de unidades (Cu = 1.0 en el sistema SI, Cu = 1.486 para el sistema de
unidades inglés), n es el coeficiente de Manning, una medida de la rugosidad
de la superficie del canal (por ejemplo, para una superficie de concreto u
hormigón, n = 0.012), P es el perímetro mojado de la sección transversal (m o
ft), So es la pendiente del fondo del canal expresada como fracción decimal.
Para un canal trapezoidal, según lo demostrado abajo, el área se calcula con

A = (b + my ) y , mientras que el perímetro mojado se calcula con

P = b + 2 y 1 + m 2 , donde b es el ancho del fondo de la sección (m o ft), y
m es la pendiente lateral (1V:mH) de la sección.
Típicamente, uno tiene que resolver las ecuaciones de la energía y de Manning
simultáneamente para y y Q. Una vez que estas ecuaciones se escriban en
términos de las variables primitivas b, m, y, g, So, n, Cu, Q, y Ho, tendremos un
sistema de ecuaciones de la forma f1(y,Q) = 0, f2(y,Q) = 0. Podemos construir
estas dos ecuaciones como sigue.

Página 7-7

Asumimos que utilizaremos los modos ALG y Exact en la calculadora, aunque
el definir las ecuaciones y solucionarlas con MSLV es muy similar en el modo
RPN. Cree un sub-directorio, digamos CHANL (inglés, open CHANneL, o
canal abierto), y dentro de ese sub-directorio defina las variables siguientes:

Para ver las ecuaciones originales, EQ1 y EQ2, en términos de las variables
primitivas enumeradas arriba, podemos utilizar la función EVAL aplicada a
cada una de las ecuaciones, es decir, μ@@@EQ1@@ μ @@@EQ2@@. Las ecuaciones
se enumeran en la pantalla como sigue (se usan caracteres de menor tamaño):

Podemos ver que estas ecuaciones están dadas de hecho en términos de las
variables primitivas b, m, y, g, So, n, Cu, Q, y Ho.

Página 7-8

Para calcular y y Q necesitamos dar valores a las otras variables. Suponga
que utilizamos H0 = 5 ft, b = 1.5 ft, m = 1, n = 0.012, S0 = 0.00001, g =
32.2, y Cu = 1.486. Antes de poder utilizar MSLV para la solución,
necesitamos incorporar estos valores en las variables correspondientes. Esto
puede lograrse como sigue:

Ahora, somos listos solucionar la ecuación. Primero, necesitamos poner las dos
ecuaciones en un vector. Podemos hacer esto almacenando el vector en una
variable que llamamos EQS (inglés, EquationS, o ecuaciones):

Como valores iniciales para las variables y y Q utilizaremos y = 5 (igual al
valor de Ho, cuál es el valor máximo que y puede tomar) y Q = 10 (esto es una
conjetura). Para obtener la solución seleccionamos la función MSLV del menú
NUM.SLV, es decir, ‚Ï6@@@OK@@@, para copiar la instrucción a la
pantalla:

Página 7-9

Después, escribimos la variable EQS: LL@@EQS@ , seguido del vector [y,Q]:
‚í„Ô~„y‚í~q™
y de la conjetura ‚í„Ô5‚í 10.
Antes de presionar `, la pantalla resultante es la siguiente:

Presione ` para resolver el sistema de ecuaciones. Si la medida angular no
está fija a radianes, la calculadora puede solicitar cambio a esa medida
angular, como sigue:

Presione @@OK@@ y permita que la solución proceda. Un paso intermedio de la
solución puede mostrarse como sigue:

Página 7-10

El vector en la parte superior de la pantalla muestra [y,Q] a medida que
progresa la solución, y el valor.358822986286 representando el criterio de
convergencia del método numérico usado en la solución. Si el sistema se
plantea bien, este valor disminuirá hasta alcanzar un valor cerca de cero. En
ese punto una solución numérica se habrá encontrado. La pantalla, después de
que MSLV encuentre una solución, lucirá de esta manera:

El resultado es una lista de tres vectores. El primer vector en la lista será las
ecuaciones resueltas. El segundo vector es la lista de incógnitas. El tercer vector
representa la solución. Para poder ver estos vectores, presione la tecla ˜ que
activa el editor de línea. La solución será mostrada como sigue:

La solución sugerida es [4.9936.., 20.661…]. Esto significa, y = 4.99 ft, y Q =
20.661… ft3/s. Usted puede utilizar las teclas (š™—˜) para ver la
solución detalladamente.

Página 7-11

Usando el Multiple Equation Solver (MES)

El MES (inglés, multiple equation solver, o solución de ecuaciones múltiples) es
un ambiente donde usted puede resolver un sistema de ecuaciones múltiples
usando una ecuación a la vez. No es realmente una solución simultánea, si no,
una solución consecutiva de ecuaciones. Para ilustrar el uso del MES para la
solución de ecuaciones múltiples presentamos una aplicación relacionada con
la trigonometría en la sección siguiente. Los ejemplos demostrados aquí se
desarrollan en el modo de RPN.

Aplicación 1 - Solución de triángulos
En esta sección utilizamos una aplicación importante de funciones
trigonométricas: calcular las dimensiones de un triángulo. La solución se pone
en ejecución al usar el MES.
Considere el triángulo ABC mostrado en la figura siguiente.

γ

β

α

La suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es siempre 180o, es
decir, α + β + γ = 180o. La ley de los senos indica que:

La ley de los cosenos indica que:
a2 = b2 + c2 – 2ÞbÞcÞcosa,
b2 = a2 + c2 – 2ÞaÞcÞcosb,
c2 = a2 + b2 – 2ÞaÞbÞcosg.

Página 7-12

Para resolver cualquier triángulo, usted necesita conocer por lo menos tres de
las seis variables siguientes: a, b, c, a, b, g. Entonces, usted puede utilizar las
ecuaciones de la ley de los seno, ley de los cosenos, y la suma de ángulos
interiores de un triángulo, para calcular las otras tres variables.
Si se conocen los tres lados, el área del triángulo se puede calcular con la
fórmula de Herón:

A = s ⋅ ( s − a ) ⋅ ( s − b) ⋅ ( s − c) , donde s se conoce

como el semi-perímetro del triángulo, es decir,

s=

a+b+c
.
2

Solución del triángulo usando el MES
El MES es un ambiente que se puede utilizar para solucionar ecuaciones
acopladas. Debe indicarse, sin embargo, que el MES no soluciona las
ecuaciones simultáneamente. Sino que toma las variables conocidas, y
después busca en una lista de ecuaciones hasta que encuentra una que se
puede resolver para una de las variables desconocidas. Entonces, busca otra
ecuación que se pueda resolver para las incógnitas siguientes, etcétera, hasta
que todos las incógnitas se hayan resuelto.
Crear un directorio de trabajo
Utilizaremos el MES para la solución de triángulos creando una lista de las
ecuaciones que corresponden a los leyes de los senos y de los coseno, la ley
de la suma de ángulos interiores, y la fórmula de Herón para el área. Primero,
cree un sub-directorio dentro del directorio HOME que llamaremos TRIANG, y
active ese directorio. Vea el capítulo 2 para las instrucciones en cómo crear un
nuevo sub-directorio.
Escribir la lista de ecuaciones
Dentro del sub-directorio TRIANG, escriba la lista siguiente de ecuaciones
directamente en la pantalla o usando el escritor de ecuaciones. (Recuerde que
~‚a produce el caracter α, y ~‚b produce el caracter β. El
caracter γ necesita ser copiado (@ECHO) de la pantalla ‚±):
‘SIN(α)/a = SIN(β)/b’

Página 7-13

‘SIN(α)/a = SIN(γ)/c’
‘SIN(β)/b = SIN(γ)/c’
‘c^2 = a^2+b^2-2*a*b*COS(γ)’
‘b^2 = a^2+c^2-2*a*c*COS(β)’
‘a^2 = b^2+c^2-2*b*c*COS(α)’
‘α+β+γ = 180’
‘s = (a+b+c)/2’
‘A = √ (s*(s-a)*(s-b)*(s-c))’
A continuación, escriba 9, y crear una lista de ecuaciones usando la función
LIST (use el catálogo de funciones ‚N). Almacene esta lista en la
variable EQ.
La variable EQ contiene la lista de las ecuaciones que serán exploradas por el
MES al intentar calcular las incógnitas.
Escribiendo el título de la pantalla
Después, crearemos una variable de caracteres que se llamará TITLE que
contenga el texto “Triangle Solution”, como sigue:
‚Õ
Abrir comillas
~~„~
Asegurar teclado en minúsculas
„triangle#
Escribir texto: Triangle_
„solution
Escribir texto: Solution
`
Incorporar “Triangle Solution” al stack
³
Abrir apóstrofes
~~title`
Escribir ‘TITLE’
K
Almacenar texto en ‘TITLE’
Crear una lista de variables
Después, crear una lista de nombres variables en la pantalla que luzca así:
{ a b c α β γ A s }

Página 7-14

y almacénela en la variable LVARI (Lista de VARIables). La lista de variables
representa el orden en la cual las variables serán listadas cuando el MES se
active. Debe incluir todas las variables en las ecuaciones, o no trabajará con
la función MITM (véanse las siguientes secciones).
Presione J, si es necesario, para recobrar el menú de variables. Su menú
debe mostrar las variables @LVARI! !@TITLE @@EQ@@ .
Preparación para activar el MES
El paso siguiente es activar el MES e intentar una solución de prueba. Antes de
que hagamos que, sin embargo, deseamos fijar las unidades angulares a DEG
(grados), si no han sido seleccionadas previamente, usando:
~~deg`.
Después, deseamos mantener en la pantalla el contenido de las variables
TITLE y LVARI, usando: !@TITLE @LVARI!
Utilizaremos las funciones siguientes del MES
• MINIT: (inglés, MES INITialization): inicializa las variables en las
ecuaciones almacenadas en EQ.
• MITM: (inglés, MES’ Menu Item): Toma un título en nivel 2 de la
pantalla y la lista de variables del nivel 1 y coloca el título encima de
la pantalla del MES, y la lista de variables como teclas del menú en el
orden indicado por la lista. En el actual ejercicio, tenemos ya un título
(“Triangle Solution”) y una lista de variables ({ a b c α β γ A s })
en los niveles 2 y 1, respectivamente, listos para activar MITM.
• MSOLVR: (inglés, MES SOLVER); activa el Multiple Equation Solver
(MES) y aguarda la interacción con el usuario.
Activando el MES interactivamente
Para activar el MES, con las variables TITLE y LVARI listadas en la pantalla,
active la instrucción MINIT, seguida de MITM, y finalmente, MSOLVR (estas
funciones se localizan en el catálogo de las funciones ‚N).
El MES se activa con la lista siguiente de las variables disponibles (Presione
L para ver la lista siguiente de variables):

Página 7-15

Presione L para ver la tercera lista de variables. Usted debe ver:

Presione L una vez más para recuperar el primer menú variable.
Intentemos una solución simple, usando a = 5, b = 3, c = 5. Use lo siguiente:
5[ a ]
a:5 se lista en la esquina superior izquierda.
3[ b ]
b:3 se lista en la esquina superior izquierda.
5[ c ]
c:5 se lista en la esquina superior izquierda.
Para calcular los ángulos use:
„[ α ]
.

Se reporta una solución α: 72.5423968763

Nota: Si usted consigue un valor que sea mayor que 180, use lo
siguiente:
10[ α ]
Re-inicializar a un valor más pequeño.
„[ α ]
Se reporta una solución
Después, calculamos los otros dos valores:
„[ β ]
El resultado es β: 34.9152062475.
„[ γ

]

El resultado es γ: 72.5423968762.

Usted debe tener los valores de los tres ángulos enumerados en los niveles 3 a
1 de la pantalla. Presione +, dos veces, para comprobar que de hecho la
suma es 180o.

Página 7-16

Presione L para moverse al menú siguiente de las variables. Para calcular el
área use: „[ A ]. La calculadora primero soluciona para el resto de
variables, y enseguida encuentra el área como A: 7.15454401063.

Nota: Cuando se encuentra una solución, la calculadora divulga las
condiciones para la solución ya sea como Zero (cero, o raíz), o Sign Reversal
(cambio de signo) . Otros mensajes pueden ocurrir si la calculadora tiene
dificultades el encontrar de una solución.
Presione „@@ALL@@
para calcular todas las variables, demostrando
temporalmente los resultados intermedios. Presione ‚@@ALL@@ para ver las
soluciones:

Al terminar, presione $ para volver al ambiente MES. Presione J para
salir del ambiente de MES y volver a la pantalla normal de la calculadora.
Organizando las variables en el sub-directorio
Su menú variable ahora contendrá las variables (presione L para ver el
segundo conjunto de variables):

Las variables que corresponden a todas las variables en las ecuaciones en EQ
se han creado. Hay también una nueva variable llamada Mpar (MES
parameters), la cuál contiene la información con respecto a la creación del

Página 7-17

MES para este sistema particular de ecuaciones. Si Ud. usa ‚@Mpar para ver
el contenido de la variable Mpar, Usted recibirá el mensaje críptico: Library
Data (datos de biblioteca). El significado de esto es que los parámetros del MES
están cifrados en un archivo binario, que no se puede acceder con el editor de
línea.
Después, deseamos colocarlos las etiquetas del menú en un orden diferente al
que fue enumerado anteriormente, a través de los siguientes pasos:
1. Crear la lista { EQ Mpar LVARI TITLE }, usando:
„ä @@@EQ@@@ @Mpar! !@LVARI @@TITLE `
2. Coloque el contenido de LVARI en la pantalla, usando: @LVARI.
3. Ensamblar las dos listas presionando +.
4. Use la función ORDER (use el catálogo de funciones, ‚N) para
ordenar las variables según lo demostrado en la lista en el nivel 1.
5. Presione J para recuperar su lista de las variables. Resultando en:

6. Presione L para recuperar el primer menú de variables.
UserRPL de solución de triángulos con el MES
Para facilitar la activación del MES para soluciones futuras, crearemos un
programa que cargue el MES con una sola tecla. El programa es el siguiente:
<< DEG MINIT TITLE LVARI MITM MSOLVR >>, y puede escribirse usando:
‚å
Abrir símbolos de programa
~~
Asegurar teclado en alpha
deg#
Escribir DEG (grados)
minit#
Escriba MINIT
~
Liberar teclado
@TITLE
Listar la palabra TITLE
@LVARI
Listar la palabra LVARI
~~
Asegurar teclado en alpha
mitm#
Escribir MITM_
msolvr
Escribir MSOLVR
`
Pasar programa a la pantalla

Página 7-18

Almacenar el programa en un variable llamada TRISOL, (inglés, TRIangle
SOLution, o solución de triángulos) , usando:
³~~trisol` K
Presione J, de ser necesario, para recuperar su lista de variables.
tecla llamada @TRISO estará disponible en su menú.

Una

Activando el programa - ejemplos de solución
Para activar el programa, presione la tecla @TRISO. Usted ahora tendrá
disponible el menú MES correspondiente a la solución de triángulos.
Intentaremos ejemplos de tres casos para la solución del triángulo.
Ejemplo 1 - Triángulo recto
Use a = 3, b = 4, c = 5. Aquí está la secuencia de la solución:
3[ a ] 4 [ b ] 5[ c ]
„[ α ]
„[ β ]
„[ γ ]
L
[][ A ]
LL

Escriba los datos
El resultado es α: 36.8698976458
El resultado es β: 53.1301023541.
El resultado es γ: 90.
Para moverse al menú siguiente
El resultado es A: 6.
Para moverse al menú siguiente

Ejemplo 2 - Cualquier tipo de triángulo
Use a = 3, b = 4, c = 6. El procedimiento de solución usado aquí consiste en
calcular todas las variables inmediatamente, y después recuperarlas en la
pantalla:
J @TRISO
Para activar el MES
3[ a ] 4 [ b ] 6[ c ] Escriba los datos
L
Para moverse al menú siguiente
„ @ALL!
Solucionar para todos las incógnitas
‚ @ALL!
Muestra la solución
La solución es:

Página 7-19

Las siguientes teclas estarán disponibles en la pantalla :
@VALU§ @EQNS! @PRINT %%%% %%%% @EXIT
El punto cuadrado en @VALU§ indica que los valores de las variables, más bien
que las ecuaciones de las cuales se obtienen, estarán mostrados en la pantalla.
Para ver las ecuaciones usadas en la solución de cada variable, presione la
tecla @EQNS! . La pantalla ahora luce como ésta:

La tecla @PRINT se utiliza para imprimir la pantalla en una impresora, si ésta
está disponible. La tecla @EXIT regresa al ambiente MES para una nueva
solución, de ser necesario. Para volver a la pantalla normal de la calculadora,
presione J.
La tabla siguiente de las soluciones del triángulo demuestra los datos de
entrada en letra negrilla y la solución en itálica. Intente activar el programa con
estos datos para verificar las soluciones. Recuerde presionar J @TRISO al final
de cada solución para re-inicializar variables y comenzar la solución MES de
nuevo. Si no, usted puede pasar información de la solución anterior que puede
afectar sus cálculos actuales.

Página 7-20

a( ο)
20.229

a
2.5

b

c

6.9837

7.2

7.2
21.92

8.5

14.26 22.616

17.5

13.2
29.6

10.27

10.5

75
77

17

25

32

31.79

75

A
g( ο)
84.771 8.6933

27 130.38 23.309
52.98 37.03 115.5
73
328.81
32

90

23
3.26

41.92

b( ο)

18
50.78

16.66
85
97.44 210.71

Adición de una tecla informativa a su directorio
Una tecla informativa puede ser útil para ayudarle a recordar la operación de
las funciones en el directorio. En este directorio, todo lo que necesitamos
recordar es que debemos presionar @TRISO para comenzar una solución de
triángulo. Escriba el programa siguiente: <<“Presione [TRISO] para empezar.“
MSGBOX >>, y almacénelo en un variable llamada INFO. Consecuentemente,
la primera variable en su directorio será la tecla.

Aplicación 2 - Velocidad y aceleración en coordenadas polares

El movimiento bidimensional de una partícula en coordenadas polares implica
a menudo el determinar las componentes radiales y transversales de la
velocidad y de la aceleración de la partícula dados r, r’ = dr/dt, r” = d2r/dt2,
θ, θ’ = d θ /dt, y, θ” = d2θ/dt2. Se utilizan las ecuaciones siguientes:

v r = r&

vθ = rθ&

a r = &r& − rθ& 2
a = rθ&& + 2r&θ&
θ

Cree un sub-directorio llamado POLC (inglés, POLar Coordinates), cuál
utilizaremos calcular velocidades y aceleraciones en coordenadas polares.
Dentro de ese sub-directorio, incorporar las variables siguientes:
Programa o valor
<< PEQ STEQ MINIT NAME LIST MITM MSOLVR >>
"vel. & acc. polar coord."
{ r rD rDD θD θDD vr vθ v ar aθ a }

En la variable:
SOLVEP
NAME
LIST

Página 7-21

{ 'vr = rD' 'vθ = r*θD' 'v = √(vr^2 + vθ^2)'
'ar = rDD − r*θD^2' 'aθ = r*θDD + 2*rD*θD'
'a = √(ar^2 + aθ^2)' }

PEQ

Una explicación de las variables sigue:
SOLVEP =
un programa que activa el MES para el sistema particular de
ecuaciones almacenado en variable PEQ;
NAME =
una variable que almacena el nombre del MES, a saber, "vel.
& acc. polar coord.";
LIST =
una lista de las variable usada en los cálculos, puestas en el
orden de aparición requerido en el MES;
PEQ =
lista de las ecuaciones que se solucionarán, correspondiendo
a los componentes radiales y transversales de la velocidad
(vr, vθ) y aceleración (ar, aθ) en coordenadas polares, así
como las ecuaciones para calcular la magnitud de la
velocidad (v) y de la aceleración (a) cuando se conocen las
componentes polares.
r, rD, rDD =
r (coordenada radial), r-punto (primera derivada de r), r-dos
puntos (segunda derivada de r).
θD, θDD =
θ-punto (primera derivada de θ), θ-dos puntos (segunda
derivada de θ).
Suponer que le dan la información siguiente: r = 2.5, rD = 0.5, rDD = -1.5, θD
= 2.3, θDD = -6.5, y le piden encontrar vr, vθ, ar, aθ, v, y a.
Comenzar el MES presionando J@SOLVE. La calculadora produce una
pantalla etiquetada, "vel. & acc. polar coord.", que se muestra a continuación:

Para incorporar los valores de las variables conocidas, escriba el valor y
presione la tecla que corresponde a la variable que se entrará. Utilizar lo
siguiente: 2.5 [ r ] 0.5 [ rD ] 1.5 \ [ rDD ] 2.3 [ θD ] 6.5 \ [θDD].

Página 7-22

Note que después de que usted incorpore un valor particular, la calculadora
exhibe la variable y su valor en la esquina izquierda superior de la pantalla.
Ahora hemos incorporado las variables conocidas. Para calcular las incógnitas
podemos proceder de dos maneras:
a. Calcular variables individuales, por ejemplo, „[ vr ] produce vr:
0.500. Presione L„[ vθ ] para obtener vθ : 5.750 , etcétera. Los
resultados restantes son v: 5.77169819031; ar: -14.725; aθ: -13.95; y
a: 20.2836911089.; o,
b. Calcular todas las variables inmediatamente, presionando „@ALL!. La
calculadora mostrará brevemente las soluciones a medida que las
encuentra. Cuando la calculadora para, usted puede presionar ‚@ALL!
para enumerar todos los resultados. Para este caso tenemos:

Presione la tecla de menú @EQNS para ver las ecuaciones usadas para cada
una de las soluciones en la pantalla:

Para utilizar un nuevo conjunto de valores presione, ya sea @EXIT @@ALL@
LL, o J @SOLVE.

Página 7-23

Intentemos otro ejemplo usando r = 2.5, vr = rD = -0.5, rDD = 1.5, v = 3.0, a
= 25.0. Encuentre θD, θDD, vθ, ar, y aθ. Usted debe obtener los resultados
siguientes:

Página 7-24

Capítulo 8
Operaciones con listas

Las listas son un tipo de objeto utilizado por la calculadora que tienen mucha
utilidad en el procesamiento de datos. En este Capítulo se presentan ejemplos
de operaciones con listas.

Definiciones
Una lista, dentro del contexto de la calculadora, está una serie de objetos
incluidos entre llaves y separados por los espacios (#), en el modo RPN, o
comas (‚í), en ambos modos. Los objetos que se pueden incluir en una
lista son números, letras, cadenas de caracteres, nombres variables, y/o
operadores. Las listas son útiles para manipular datos y en algunos usos de
programación. Algunos ejemplos de listas son:{ t 1 }, {"BETA" h2 4},
{1 1.5 2.0},
{a a a a}, { {1 2 3} {3 2 1} {1 2 3}}
En los ejemplos mostrados a continuación nos limitaremos a las listas
numéricas.

Creando y almacenando listas

Para crear una lista en modo ALG, escríbanse primero las llaves „ä , a
continuación escríbanse los elementos de la lista, separados por comas
(‚í). En el siguiente ejemplo se escribe la lista {1 2 3 4} y se almacena
en la variable L1.
„ä 1 ‚í 2 ‚í 3 ‚í 4
™K~l1`
La pantalla mostrará el siguiente:

La figura a la izquierda muestra la pantalla antes de presionar `, mientras
que la de la derecha muestra la pantalla después de almacenar la lista en L1.

Página 8-1

Nótese que antes de presionar ` la lista muestra las comas que separan sus
elementos. Sin embargo, después de presionar `, las comas se substituyen
por los espacios.
Para crear y almacenar la misma lista en modo RPN utilícese:
„ä 1 # 2 # 3 # 4 `
~l1`K
La figura a continuación muestra la pantalla de RPN antes de presionar K:

Composición y descomposición de listas
La composición y descomposición de listas tiene sentido en modo RPN
solamente. Bajo tal modo operativo, la descomposición de una lista es
alcanzada usando la función OBJ. Con esta función, una lista en la pantalla
de RPN se descompone en sus elementos, con el nivel de la pantalla 1:
mostrando el número de elementos en la lista. Los dos tiros siguientes de la
pantalla muestran la pantalla con un uso pequeño de la lista antes y después
de la función OBJ:

Nótese que, después de aplicar OBJ, los elementos de la lista ocupan niveles
4: a 2:, mientras que el nivel 1: muestra el número de elementos en la lista.
Para componer una lista en modo RPN, poner los elementos de la lista en la
pantalla, incorporar el tamaño de la lista, y aplicar la función LIST
(seleccionarlo del catálogo de funciones, como sigue: ‚N‚é,
después use —˜ para localizar la función LIST). Los tiros siguientes de la
pantalla muestran los elementos de una lista del uso del tamaño 4 antes y
después de la función LIST:

Página 8-2

Nota: La función OBJ aplicado a una lista en modo ALG reproduce
simplemente la lista, agregando a ella el tamaño de la lista:

Operaciones con listas de números
Para demostrar operaciones con las listas de números, crearemos un par de
otras listas, además de la lista L1 creada anteriormente: L2={-3,2,1,5}, L3={6,5,3,1,0,3,-4}, L4={3,-2,1,5,3,2,1}. En modo ALG, la pantalla parecerá esto
después de incorporar las listas L2, L3, L4:

En modo RPN, la pantalla siguiente muestra las tres listas y sus nombres listos
ser almacenado. Para almacenar las listas en este caso usted necesita
presionar K tres veces.

Cambio de signo
Cuando se aplica la tecla de cambio de signo (\) a una lista de números, se
cambia el signo de cada elemento de la lista. Por ejemplo:

Página 8-3

Adición, substracción, multiplicación, y división
La multiplicación o división de una lista por un número real se distribuye
miembro a miembro de la lista, por ejemplo:

La substracción de un número de una lista se interpreta sustrayendo el número
de cada elemento de la lista, por ejemplo:

La adición de un número a una lista produce una lista con un elemento
adicional (el número adicionado), y no la adición del número a cada elemento
de la lista. Por ejemplo:

Substracción, multiplicación, y división de listas de números del mismo tamaño
resulta en una lista del mismo tamaño con las operaciones respectivas
ejecutadas miembro a miembro. Ejemplos:

La división L4/L3 producirá un resultado infinito porque uno de los elementos
en la lista L3 es cero.

Página 8-4

Si las listas involucradas en una operación tienen tamaños diferentes, se
produce un mensaje de error (Invalid Dimensions, dimensiones incompatibles).
El signo de suma (+), cuando se aplica a listas, produce un operador de
concatenación que liga o concatena dos listas, en vez de sumar los elementos
miembro a miembro. Por ejemplo:

Para forzar la adición de dos listas del mismo tamaño miembro a miembro, es
necesario utilizar el operador o función ADD (sumar). Este operador puede
activarse utilizando el catálogo de funciones (‚N). La pantalla que se
muestra a continuación muestra la aplicación del operador ADD a las listas L1
y L2, produciendo la suma de las mismas miembro a miembro:

Funciones de números reales en el teclado

Las funciones de número reales en el teclado (ABS, ex, LN, 10x, LOG, SIN, x2,
√, COS, TAN, ASIN, ACOS, ATAN, yx) pueden aplicarse a listas. He aquí
algunos ejemplos:
ABS
EXP y LN

Página 8-5

LOG y ANTILOG

SQ y raíz cuadrada

SIN, ASIN

COS, ACOS

TAN, ATAN

INVERSE (1/x)

Funciones de números reales del menú de MTH
Las funciones de interés en el menú MTH incluyen, del menú HYPERBOLIC:
SINH, ASINH, COSH, ACOSH, TANH, ATANH, y del menú REAL: %, %CH,
%T, MIN, MAX, MOD, SIGN, MANT, XPON, IP, FP, RND, TRNC, FLOOR, CEIL,
DR, RD. Algunas de las funciones que toman un solo argumento se ilustran
a continuación se aplicaron a las listas de números verdaderos:
SINH, ASINH

COSH, ACOSH

Página 8-6

TANH, ATANH

SIGN, MANT, XPON

IP, FP

FLOOR, CEIL

DR, RD

Ejemplos de las funciones que utilizan dos argumentos
Las pantallas debajo de los usos de la demostración de la función % a
argumentos listas. La función % requiere dos argumentos. Los primeros dos
ejemplos muestran los casos en los cuales solamente uno de los dos
argumentos es una lista.

Los resultados son listas con la función % distribuida según el argumento lista.
Por ejemplo,
%({10, 20, 30},1) = {%(10,1),%(20,1),%(30,1)},
mientras que

Página 8-7

%(5,{10,20,30}) = {%(5,10),%(5,20),%(5,30)}
En el ejemplo siguiente, ambos argumentos de la función % son listas del
mismo tamaño. En este caso, una distribución del término-por-término de los
argumentos se lleva a cabo, es decir,
%({10,20,30},{1,2,3}) = {%(10,1),%(20,2),%(30,3)}

Esta descripción de la función % para argumentos listas muestran el patrón
general de la evaluación de cualquier función con dos argumentos cuando una
o ambos argumentos son listas. Ejemplos de aplicaciones de la función RND se
muestran a continuación:

Listas de números complejos
El ejercicio siguiente muestra cómo crear una lista de números complejos dadas
dos listas de la misma longitud, una que representa las partes reales y una las
partes imaginarias de los números complejos. Use L1 ADD i*L2.

Página 8-8

Funciones tales como LN, EXP, SQ, etc., pueden aplicarse también a una lista
de números complejos, por ejemplo,

El ejemplo siguiente muestra los usos de las funciones RE(Parte real), IM(parte
imaginaria), ABS(magnitud), y ARG(argumento) de números complejos. Los
resultados son listas de números reales:

Listas de objetos algebraicos
Los siguientes son ejemplos de listas de objetos algebraicos a los que se aplica
la función seno (SIN):

Página 8-9

El menú MTH/LIST
El menú MTH provee un número de funciones que se aplican exclusivamente a
las listas. Con la opción CHOOSE boxes activa en la señal de sistema número
117, el menú MTH/LIST provee las siguientes funciones:

Con la opción SOFT menús activa en la señal de sistema número 117, el menú
MTH/LIST provee las siguientes funciones:

Este menú contiene las funciones siguientes:
ΔLIST
ΣLIST
ΠLIST
SORT
REVLIST
ADD

:
:
:
:
:
:

Calcula el incremento entre elementos consecutivos en la lista
Calcula la suma de los elementos en la lista
Calcula el producto de los elementos en la lista
Ordena los elementos de la lista en orden creciente
Invierte el orden de los elementos en la lista
Produce la suma miembro a miembro de dos listas del mismo
tamaño (ejemplos de esta función se presentaron anteriormente)

Algunos ejemplos de aplicación de estas funciones en modo ALG se muestra a
continuación:

Página 8-10

Las funciones SORT y REVLIST se pueden combinar para ordenar una lista en
orden decreciente:

Si está trabajando en modo RPN, entre la lista en la pantalla y, a continuación,
seleccione la operación deseada. Por ejemplo, para calcular el incremento
entre elementos consecutivos en la lista L3, presione:
l3`!´˜˜ #OK# #OK#
Esto colocará L3 en la pantalla y seleccionará la operación ΔLIST del menú
MTH.

Manipulando elementos de una lista
El menú de PRG (programación) incluye un sub-menú LIST con un número de
funciones para manipular elementos de una lista. Con la bandera de sistema
117 fija a CHOOSE boxes

Item 1. ELEMENTS.. contiene las funciones siguientes que se pueden utilizar
para la manipulación de elementos en listas:

Página 8-11

Tamaño de la lista
La función SIZE, del sub-menú PRG/LIST/ELEMENTS, puede ser utilizado
obtener el tamaño (también conocido como longitud) de la lista, por ejemplo,

Extrayendo e insertando elementos en una lista
Para extraer elementos de una lista utilizamos la función GET, disponible en el
sub-menú PRG/LIST/ELEMENTS. Los argumentos de la función GET son la lista
y el número del elemento que usted desea extraer. Para insertar un elemento en
una lista utilizar la función PUT (también disponible en el sub-menú PRG/LST/
ELEMENTS). Las argumentos de la función PUT son la lista, la posición que una
desea sustituir, y el valor que será substituido. Ejemplos de usos de funciones
GET y PUT se muestran en la pantalla siguiente:

Las funciones GETI y PUTI, también disponibles en el sub-menú PRG/
ELEMENTS/, puede ser utilizadas para extraer e incluir elementos en una lista.
Estas dos funciones, sin embargo, son útiles principalmente en la
programación. La función GETI utiliza los mismos argumentos que GET y
produce la lista, la localización del elemento más uno, y el elemento en la
localización solicitada. La función PUTI utiliza los mismos argumentos que GET
y produce la lista y el tamaño de la lista.

Posición del elemento en la lista
Para determinar la posición de un elemento en una lista utilizar la función POS
que tiene la lista y el elemento de interés como argumentos. Por ejemplo,

Página 8-12

Funciones HEAD (cabeza) y TAIL (cola)
La función HEAD extrae el primer elemento en la lista. La función TAIL quita el
primer elemento de una lista, y provee la lista restante. Algunos ejemplos se
muestran a continuación:

La función SEQ
Item 2. PROCEDURES.. en el menú PRG/LIST contiene las funciones siguientes
que se pueden utilizar para operar en listas.

Las funciones REVLIST y SORT fueron introducidos anteriormente como parte del
menú MTH/LIST. Las funciones DOLIST, DOSUBS, NSUB, ENDSUB, y STREAM,
se diseñan como funciones de programación para las listas de funcionamiento
en el modo RPN. La función SEQ es útil para producir una lista de los valores
dados una expresión particular y se describe más detalladamente aquí.
La función SEQ toma como argumentos una expresión en términos de un
índice, del nombre del índice, y valores inicial, final, e incremento del índice, y
produce una lista que consiste en la evaluación de la expresión para todos los
valores posibles del índice. La forma general de la función es SEQ(expresión,
índice, inicial, final, incremento).
En el ejemplo siguiente, en modo ALG, identificamos lo siguiente: expresión =
n2, índice = n, inicial = 1, final = 4, e incremento = 1:

Página 8-13

La lista producida corresponde a los valores {12, 22, 32, 42}. En modo RPN,
usted puede enumerar las diversas argumentos de la función como sigue:

antes de aplicar la función SEQ.

La función MAP
La función MAP, disponible a través del catálogo del comando (‚N),
tomas como argumentos una lista de números y una función f(X) o un programa
de la forma <<  a … >>, y produce una lista que consiste en la aplicación
de esa función o programa a la lista de números. Por ejemplo, la llamada
siguiente a la función MAP aplica la función SIN(X) a la lista {1,2,3}:

En modo ALG la sintaxis es:
~~map~!Ü!ä1@í2@í3™@
í S~X`
En modo RPN, la sintaxis es:
!ä1@í2@í3`³S~X`~~m
ap`
En ambos casos, puede teclar el comando MAP (como en los ejemplos
anteriores) o seleccionar el comando del menú CAT.
La llamada siguiente a la función MAP utiliza un programa en vez de una
función como segundo argumento:

Página 8-14

Definiendo funciones que utilizan listas

En el capítulo 3 introdujimos el uso de la función DEFINE ( „à) para
crear funciones de números reales con un o más argumentos. Una función
definida con DEF se puede también utilizar con argumentos listas, con la
excepción de que, cualquier función que incorpora una adición deba utilizar el
operador ADD más bien que el signo de más (+). Por ejemplo, si definimos
la función F(X,Y) = (X-5)*(Y-2), mostrado aquí en modo ALG:

podemos utilizar listas (por ejemplo, variables L1 y L2, definido anteriormente
en este capítulo) para evaluar la función, dando por resultado:

Puesto que la declaración de la función no incluye ninguna adición, el uso de
la función para argumentos listas es directo. Sin embargo, si definimos la
función G(X,Y) = (X+3)*Y, una tentativa de evaluar esta función con
argumentos listas (L1, L2) fallará:

Para fijar este problema podemos corregir el contenido de la variable @@@G@@@,
cuál podemos listar en la pantalla usando …@@@G@@@,

Página 8-15

para sustituir el signo de más (+) con ADD:

Después, almacenamos la expresión corregida en variable @@@G@@@:

La evaluación de G(L1,L2) ahora produce el resultado siguiente:

Como alternativa, usted puede definir la función con ADD en vez del signo de
más (+), desde el comienzo, es decir, use
DEFINE('G(X,Y)=(X ADD 3)*Y') :

Usted puede también definir la función como G(X,Y) = (X--3)*Y.

Página 8-16

Aplicaciones de listas
Esta sección muestra un par de usos de listas al cálculo de la estadística de una
muestra. Por una muestra entendemos una lista de valores, digamos, {s1, s2,
…, sn}. Suponga que la muestra de interés es la lista
{1, 5, 3, 1, 2, 1, 3, 4, 2, 1}
y que la almacenamos en un variable llamado S. (La pantalla siguiente
muestra esta acción en modo ALG, sin embargo, el procedimiento en modo
RPN es muy similar. Solamente tenga presente que en modo RPN usted pone
los argumentos de las funciones en la pantalla antes de activar la función):

Media armónica de una lista
Ésta es una muestra muy pequeña en la que podemos contar en la pantalla el
número de elementos (n=10). Para una lista más grande, podemos utilizar la
función SIZE para obtener ese número, por ejemplo.,

Suponer que deseamos calcular la media armónica de la muestra, definida
como

sh =

1
1
1
∑
n k =1 s n
n

=

1
1⎛ 1 1
1⎞
⎜⎜ + + L + ⎟⎟
n ⎝ s1 s 2
sn ⎠

Página 8-17

Para calcular este valor podemos seguir este procedimiento:
1. Aplicar la función INV () a la lista S:

2. Aplicar la función ΣLIST()a la lista que resulta en 1.

3. Dividir el resultado anterior por n = 10:

4. Aplicar INV() al último resultado:

Así, la media armónica de la lista S es sh = 1.6348…

Página 8-18

Media geométrica de una lista
La media geométrica de una muestra se define como

xg = n

n

∏x
k =1

k

= n x1 ⋅ x 2 L x n

Para encontrar la media geométrica de la lista almacenada en S, podemos
utilizar el procedimiento siguiente:
1. Aplicar la función ΠLIST() a la lista S:

2. Aplicar la función XROOT(x,y), es decir, ‚», al resultado 1:

Así, la media geométrica de la lista S es sg = 1.003203…

Promedio ponderado
Suponer que los datos en lista S, definido anteriormente, a saber:
S = {1,5,3,1,2,1,3,4,2,1}
es afectado por los pesos,
W = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
Si definimos la lista de pesos como W = {w1,w2,…,wn}, notamos que el
elemento k en la lista W definida anteriormente, puede ser definido como wk
= k. Así podemos utilizar la función SEQ para generar esta lista, y entonces
almacenarlo en variable @@@W@@@ como sigue:

Página 8-19

Dado la lista de los datos {s1, s2, …, sn }, y la lista de los pesos {w1, w2, …,
wn }, el promedio ponderado de los datos en S se define como
n

sw =

∑w
k =1

k

⋅ sk

n

∑w
k =1

k

Para calcular el promedio ponderado de los datos en la lista S con los pesos en
lista W, podemos utilizar los siguientes pasos:
1. Multiplicar las listas S y W:

2. Utilizar la función ΣLIST en este resultado para calcular el numerador
de sw:

3. Utilizar la función ΣLIST, una vez más, para calcular el denominador
de sw:

Página 8-20

4. Utilizar la expresión ANS(2)/ANS(1) para calcular el promedio
ponderado:

Así, el promedio ponderado de la lista S con los pesos en la lista W es sw=
2.2.
Nota: ANS(1) se refiere al resultado más reciente (55), mientras que
ANS(2) se refiere al penúltimo resultado (121).

Estadística de datos agrupados
Los datos agrupados son dados típicamente por una tabla que muestra la
frecuencia (w) de datos en clases o compartimientos de datos. Cada clase o
compartimiento es representada por una marca de la clase (s), típicamente el
punto medio de la clase. Un ejemplo de datos agrupados se muestra a
continuación:

Limites de
clase
0-2
2-4
4-6
6-8
8 -10

Marca de
clase
Frecuencia
sk
wk
1
3
5
7
9

5
12
18
1
3

Página 8-21

Los datos de la marca de la clase se pueden almacenar en variable S, mientras
que la frecuencia se puede almacenar en variable W, como sigue:

Dado la lista de las marcas de la clase S = {s1, s2, …, sn }, y la lista de las
cuentas de la frecuencia W = {w1, w2, …, wn }, el promedio ponderado de los
datos en S con los pesos W representa el valor medio de los datos agrupados,
que llamamos ⎯s, en este contexto:
n

s=

∑ wk ⋅ s k
k =1

n

∑w
k =1

k

n

=

∑w
k =1

k

⋅ sk

N
,

n

donde

N = ∑ wk representa la cuenta total de la frecuencia.
k =1

El valor medio para los datos en listas S y W, por lo tanto, puede ser calculado
usando el procedimiento descrito anteriormente para el promedio ponderado,
es decir,

Almacenaremos este valor en un variable llamado XBAR:

Página 8-22

La varianza de estos datos agrupados se define como
n

V =

∑ wk ⋅ ( s k − s ) 2
k =1

n

∑w
k =1

k

n

=

∑w
k =1

k

⋅ (sk − s ) 2
N

Para calcular este último resultado, podemos utilizar el siguiente:

La desviación estándar de los datos agrupados es la raíz cuadrada de la
varianza:

Página 8-23

Capítulo 9
Vectores

En este Capítulo presentan ejemplos de creación y operaciones con vectores,
tanto vectores matemáticos de varios elementos, como vectores físicos de 2 y 3
componentes.

Definiciones

Desde un punto de vista matemático, un vector es un arreglo de 2 o más
elementos dispuestos en una fila o una columna. Éstos serán referidos como
vectores fila y columna. Los ejemplos se demuestran a continuación:

⎡− 1⎤
v = ⎢⎢ 3 ⎥⎥, u = [1,− 3, 5, 2]
⎢⎣ 6 ⎥⎦
Los vectores físicos tienen dos o tres componentes y se pueden utilizar para
representar cantidades físicas tales como posición, velocidad, aceleración, las
fuerzas, momentos, ímpetu (cantidad de movimiento) linear y angular,
velocidad y aceleración angular, etc. Referir a un sistema de coordenadas
cartesianas (x,y,z), existe vectores unitarios i, j, k asociado a cada
coordenada, tales que un vector físico A puede ser escrito en términos de sus
componentes Ax, Ay, Az, as A = Axi + Ayj + Azk.
La notación alternativa para este vector es: A = [Ax, Ay, Az], A = (Ax, Ay, Az),
o A = < Ax, Ay, Az >. Una versión bidimensional de este vector será escrita
como A = Axi + Ayj, A = [Ax, Ay], A = (Ax, Ay), o A = < Ax, Ay >. Puesto que
en calculadora los vectores se escriben entre corchetes [ ], elegiremos la
notación A = [Ax, Ay, Az] o A = [Ax, Ay, Az], para referir a vectores bi- y tridimensionales de ahora en adelante.
como |A| =

La magnitud de un vector A se define

Ax2 + Ay2 + Az2 . Un vector unitario en la dirección del vector

A, se define como eA = A/|A|. Los vectores se pueden multiplicar por un
escalar, por ejemplo, kA = [kAx, kAy, kAz]. Físicamente, el vector kA es
paralelo al vector A, si k>0, o anti-paralelo al vector A, si k<0. El negativo de

Página 9-1

un vector se define como –A = (–1)A = [–Ax, –Ay, –Az]. La división por un
escalar se puede interpretar como una multiplicación, es decir, A/k = (1/k)⋅A.
La adición y la substracción de vectores se definen como A±B = [Ax ± Bx, Ay ±
By, Az ± By], en la cual B es el vector B = [Bx, By, Bz].
Hay dos definiciones de los productos de vectores físicos, un producto escalar
o interno (el producto de punto) y un producto vectorial o externo (el producto
cruz). El producto punto produce un valor escalar definido como A•B =
|A||B|cos(θ), en la cual θ es el ángulo entre los dos vectores. El producto
cruz produce un vector A×B cuya magnitud es |A×B| = |A||B|sin(θ),y su
dirección es dada por la llamada regla de la mano derecha (consulte un libro
de textos en matemáticas, la física, o mecánicos para ver esta operación
ilustrada gráficamente). En términos de componentes cartesianos, A•B =
AxBx+AyBy+AzBz, y A×B = [AyBz-AzBy,AzBx-AxBz,AxBy-AyBx]. El ángulo entre
dos vectores se puede encontrar de la definición del producto punto como
cos(θ) = A•B/|A||B|= eA•eB. Así, si dos vectores A y B son perpendiculares
(θ = 900 = π/2rad), A•B = 0.

La escritura de vectores

En la calculadora, los vectores se representan por secuencias de números
escritos entre corchetes en la forma de vectores filas. Los corchetes se obtienen
utilizando las teclas „Ô , asociada con la tecla *. Los siguientes son
ejemplos de vectores en la calculadora:
[3.5, 2.2, -1.3, 5.6, 2.3]
[1.5,-2.2]
[3,-1,2]
['t','t^2','SIN(t)']

Un
Un
Un
Un

vector
vector
vector
vector

fila general
2-D (bidimensional)
3-D (tridimensional)
de objetos algebraicos

Escritura de vectores en la pantalla

Con la calculadora en modo ALG, un vector se escribe en la pantalla abriendo
primero un par de corchetes („Ô) y escribiendo después los elementos del
vector separados por comas (‚í). Las figuras siguientes muestran la
escritura de un vector numérico seguido de un vector algebraico. La figura de

Página 9-2

la izquierda muestra el vector algebraico antes de presionar `. La figura de
la derecha muestra el vector algebraico después de presionar `:

En modo RPN, se escriben los vectores abriendo los corchetes y separando los
elementos de los vectores ya sea con comas (‚í) o espacios (#).
Nótese que después de presionar ` , en cualquiera de los dos modos, la
calculadora mostrará los elementos de un vector separados por espacios.

Almacenamiento de vectores en variables

Los vectores pueden almacenarse en variables. Las figuras mostradas a
continuación muestran los siguientes vectores:
u2 = [1,2], u3 = [-3,2,-2], v2 = [3,-1], v3 = [1,-5,2]
almacenados en las variables @@@u2@@, @@@u3@@, @@@v2@@, y @@@v3@@, respectivamente.
Primero, en modo ALG:

Después en modo RPN (antes de presionar la tecla K, repetidamente):

Utilizando el escritor de matrices (MTRW) para escribir vectores

Los vectores pueden escribirse también utilizando el escritor de matrices
„²(tercera tecla en la cuarta fila del teclado). Este comando genera una
especie de hoja de cálculo correspondiendo a las filas y columnas de una
matriz. (Información detallada sobre el uso del escritor de matrices se presenta
en el Capítulo 10). Para escribir un vector, se necesita solamente escribir los

Página 9-3

elementos de la primera fila. Al activarse el escritor de matrices, la casilla en
la primera fila y primera columna es seleccionada automáticamente.
En el
menú al pié de la hoja de cálculo se encentran las siguientes teclas:
@EDIT! @VECn ¬WID @WID® @GO®n @GO¯
La tecla @EDIT se utiliza para editar el contenido de la casillas.
La tecla @VEC@@ , si está activa, producirá un vector, en lugar de una matriz
conteniendo una fila y varias columnas.
Vectores vs. matrices
Para ver la tecla @VEC@ en acción, intentar los ejercicios siguientes:
(1). Activar el escritor de matrices („²). Con las opciones @VECn y @GO®n
selectas, escribe 3`5`2``. Esto produce [3. 5.
2.]. (En modo de RPN, usted puede utilizar las teclas siguientes para
producir el mismo resultado: 3#5#2``).
(2). Con la opción @VEC@@ sin seleccionar y @GO®n seleccionado, escriba
3#5#2``. Esto produce [[3. 5. 2.]].
Aunque estos dos resultados se diferencian solamente en el número de los
corchetes usados, para la calculadora éstos representan diversos objetos
matemáticos. El primero es un vector con tres elementos, y el segundo una
matriz con una fila y tres columnas. Hay diferencias de la manera que las
operaciones matemáticas aplican a un vector a diferencia a una matriz. Por
lo tanto, para aplicaciones vectoriales, mantenga la opción @VECn
seleccionado mientras que usa al escritor de matrices.
La tecla ¬WID se utiliza para reducir el ancho de las columnas en la
hoja de cálculo. Presione esta tecla un par de veces para verificar que
se reduce el ancho de las columnas.
La tecla @WID® se utiliza para incrementar el ancho de las columnas en
la hoja de cálculo. Presione esta tecla un par de veces para verificar
que se incrementa el ancho de las columnas.
La tecla @GO®n , si está activa, automáticamente selecciona la siguiente
casilla a la derecha de la casilla actual al presionar la tecla `. Esta
opción es la opción pre-seleccionada por el escritor de matrices. Si se

Página 9-4

desea utilizar esta opción, la misma deberá ser seleccionada antes de
comenzar a escribir los elementos de la matriz o vector.
La tecla @GO¯ , si está activa, automáticamente selecciona la siguiente
casilla debajo de la casilla seleccionada cuando se presiona la tecla
`.
Si se desea utilizar esta opción, la misma deberá ser
seleccionada antes de comenzar a escribir los elementos de la matriz o
vector.
Navegando hacia la derecha o hacia abajo en el escritor de matrices
Actívese el escritor de matrices y escríbase lo siguiente:
3`5`2`` habiendo seleccionado la tecla @GO®n . A
continuación, escríbase la misma secuencia de números habiendo
seleccionado la tecla @GO¯, y nótese la diferencia en el resultado. En el
primer ejercicios, se escribió un vector de tres elementos. En el segundo
ejercicio, se escribió una matriz de tres files y una columna (es decir, un
vector columna).
Actívese el escritor de matrices una vez más utilizando las teclas „², y
presiónese la tecla L para acceder a la segunda página del menú. Las
teclas disponibles serán las siguientes:
@+ROW@ @-ROW @+COL@ @-COL@ @®STK@@ @GOTO@
La tecla @+ROW@ agrega una fila de ceros a la matriz actual.
La tecla @-ROW elimina una fila de la matriz actual.
La tecla @+COL@ agrega una columna de ceros a la matriz actual.
La tecla @-COL@ elimina una fila de la matriz actual.
La tecla @®STK@@ copia el contenido de una casilla a la pantalla normal
(stack).
La tecla @GOTO@ , solicita del usuario el número de una fila y columna de
la casilla a seleccionar
Al presionarse la tecla L una vez más se accede al última página del menú,
la cual contiene solamente la función @@DEL@ (remover).

Página 9-5

La función @@DEL@ elimina el contenido de la casilla reemplazándolo con
un cero.
Para verificar la operación de estas funciones, sígase el ejercicio que se
muestra a continuación:
(1). Actívese el escritor de matrices utilizando las teclas „². Asegúrese
que las teclas @VECn y @GO®n han sido seleccionadas.
(2). Escríbase lo siguiente:
1`2`3`
L @GOTO@ 2@@OK@@ 1 @@OK@@ @@OK@@
2`1`5`
4`5`6`
7`8`9`
(3). Muévase el cursor dos filas hacia arriba utilizando ——. Presiónese la
tecla @-ROW. La segunda fila desaparecerá. .
(4). Presiónese @+ROW@. Una fila de tres ceros aparece en la segunda fila.
(5). Presiónese @-COL@. La primera columna desaparecerá.
(6). Presiónese @+COL@. Una columna de dos ceros aparece en la primera
columna.
(7). Presiónese @GOTO@ 3@@OK@@ 3@@OK@@ @@OK@@ para mover el cursor a la casilla
(3,3).
(8). Presiónese @®STK@@. Esta acción coloca el contenido de la casilla (3,3) en la
pantalla principal (stack), aunque este resultado no será visible
inmediatamente.
(9). Presiónese ` para recuperar la pantalla normal. El número 9, elemento
(3,3), y la matriz recientemente escrita se mostrarán en la pantalla.

Página 9-6

Resumen del uso del escritor de matrices para escribir vectores
En resumen, para escribir un vector usando al escritor de la matriz, activar el
escritor („²),y colocar los elementos del vector, presionando `
después de cada uno de ellos. Entonces, presione ``. Cerciorarse de
que @VECn y @GO®n@ están seleccionados.
Ejemplo: „²³~„xQ2`2`5\``
produce:

[‘x^2‘ 2 –5 ]

Construcción de un vector con ARRY

La función →ARRY, disponible en el catálogo de la función (‚N‚é,
use —˜ para localizar la función), también puede utilizarse para construir
un vector o un arsenal en la manera siguiente. En modo de ALG, escribir
ARRY(elementos del vector, número de elementos), por ejemplo,

En modo de RPN:
(1). Escriba los n elementos del arreglo en el orden deseado para el arreglo
(cuando se lee de izquierda a derecha) en la pantalla RPN.
(2). Escriba n como el último elemento.
(3). Use la función ARRY.
Las pantallas siguientes muestran la pantalla RPN antes y después de aplicar la
función ARRY:

Página 9-7

En modo de RPN, la función [→ARRY] toma los objetos de niveles n+1, n, n-1,
…, hasta los niveles 3 y 2, y los convierte en un vector de n elementos. El
objeto originalmente en el nivel n+1 se convierte en el primer elemento, el
objeto originalmente en el nivel n se convierte el segundo elemento, etcétera
.
Nota: La función ARRY está también disponible en el menú PRG/TYPE
(„°)

Identificación, extracción, e inserción de elementos

Si usted almacena un vector en una variable, digamos A, usted puede
identificar los elementos del vector usando A(i), donde i es un número del
número entero menor que o igual al tamaño del vector. Por ejemplo, construya
el arreglo siguiente y almacénelo en la variable A: [-1, -2, -3, -4, -5]:

Para recuperar el tercer elemento de A, por ejemplo, usted podría escribir A(3)
en la calculadora. En modo de ALG, escriba simplemente A(3). En modo
RPN, escriba ‘A(3)’ `μ.
Usted puede operar con los elementos del arreglo escribiendo y evaluando
expresiones algebraicas por ejemplo:

Página 9-8

Expresiones más complicadas que implican elementos de A pueden así mismo
ser escritas. Por ejemplo, usando al escritor de la ecuación (‚O),
podemos escribir la sumatoria siguiente de los elementos de A:

Destacando la expresión y usando la tecla @EVAL@, conseguimos el resultado: 15
.
Nota: El vector A puede referirse también como una variable indexada
porque el nombre A representa varios valores identificado por un subíndice.

Para sustituir un elemento en un arreglo utilice la función PUT (usted puede
encontrarlo en el catálogo de la función ‚N, o en el sub-menú PRG/LIST/
ELEMENTS– el anterior fue introducida en el capítulo 8). En modo de ALG,
usted necesita utilizar la función PUT con los argumentos siguientes:
PUT(arreglo, localización que se substituirá, nuevo valor). Por ejemplo,
cambiar el contenido de A(3) a 4.5, use:

En modo de RPN, usted puede cambiar el valor de un elemento de A,
almacenando un nuevo valor en ese elemento particular. Por ejemplo, si
deseamos cambiar el contenido de A(3) por 4.5 en vez de su valor actual de
–3., use:
4.5`³~a„Ü3`K

Página 9-9

Para verificar que ocurrió el cambio use: ‚@@@@A@@ .

El resultado ahora

mostrado es: [-1 -2 4.5 -4 -5 ].
Nota: Este proceso para cambiar el valor de un elemento de arreglo
no se permite en modo ALG, si usted intenta almacenar 4.5 en A(3) en
este modo se obtiene el mensaje de error siguiente: Invalid Syntax
(sintaxis inválida).
Para encontrar la longitud de un vector usted puede utilizar la función SIZE,
disponible a través del catálogo de funciones o con el menú PRG/LIST/
ELEMENTS.
Algunos ejemplos, basados en los arreglos o vectores
almacenados previamente, se muestran a continuación:

Operaciones elementales con vectores

Para ilustrar operaciones con vectores utilizaremos los vectores u2, u3, v2, y v3,
almacenados en un ejercicio previo.

Cambio de signo
Para cambiar de signo a un vector, utilícese la tecla \, por ejemplo,

Página 9-10

Adición, substracción
La adición y substracción de vectores requiere que los vectores operandos
tengan el mismo número de elementos:

Si se intentan sumar o restar vectores de diferentes números de elementos se
produce un error (“Invalid Dimension”, Dimensión Incompatible) . Por ejemplo,
v2+v3, u2+u3, A+v3, etc.

Multiplicación o división por un escalar
Ejemplos de multiplicación o división por un escalar se muestran a
continuación:

Función valor absoluto
La función valor absoluto (ABS), cuando se aplica a un vector, calcula la
magnitud del vector. Para un vector A = [A1,A2,…,An], se define la magnitud
como

| A |=

Ax2 + Ay2 + L + Az2 . En el modo de ALG, escríbase el nombre

de la función seguido por el argumento vectorial. Por ejemplo, ABS([1,2,6]), ABS(A), ABS(u3), se mostrarán en la pantalla de la siguiente
manera:

Página 9-11

El menú MTH/VECTOR

El menú MTH („´) contiene funciones que aplican específicamente a los
vectores:

El menú VECTOR contiene las siguientes funciones (la opción CHOOSE boxes
ha sido seleccionada para la señal de sistema número 117):

Magnitud
La magnitud de un vector, tal como se indicó anteriormente, se calcula con la
función ABS. Esta función se encuentra disponible directamente en el teclado
(„Ê). Ejemplos de aplicación de la función ABS se presentaron
anteriormente.

Página 9-12

Producto escalar (producto punto)
La función DOT (opción 2 en el menú mostrado anteriormente) se utiliza para
calcular el producto escalar, o producto punto, de dos vectores con el mismo
número de elementos. Algunos ejemplos de aplicación de la función DOT,
utilizando los vectores A, u2, u3, v2, y v3, almacenados anteriormente, se
muestran a continuación en el modo ALG. El producto escalar de vectores con
diferente número de elementos produce un error.

Producto vectorial (producto cruz)
La función CROSS (opción 3 el menú MTH/VECTOR) se utiliza para calcular el
producto vectorial, o producto cruz, de dos vectores 2-D, de dos vectores 3-D,
o de un vector 2-D con un vector 3-D. Para calcular el producto vectorial, un
vector bidimensional (2-D) de la forma [Ax, Ay], se convierte en un vector
tridimensional (3-D) de la forma [Ax, Ay,0]. Ejemplos del producto vectorial se
muestran a continuación en el modo ALG. Nótese que el producto vectorial de
dos vectores bidimensionales produce un vector en la dirección z solamente, es
decir, un vector de la forma [0, 0, Cz]:

Ejemplos de productos vectoriales (productos cruz) de un vector 3-D con un
vector 2-D, o viceversa, se presentan a continuación.

Página 9-13

El tratar de calcular un producto vectorial (producto cruz) de vectores con más
de 3 componentes produce un error: por ejemplo, CROSS(v3,A), etc.

Descomposición de un vector
La función V se utiliza para descomponer un vector en sus elementos o
componentes. Si está utilizado en el modo de ALG, V proporcionará los
elementos del vector en una lista, por ejemplo,

En el modo de RPN, uso de la función V enumerará los componentes de un
vector en la pantalla, por ejemplo, V(A) producirá la salida siguiente en la
pantalla de RPN (el vector A se lista en el nivel 6 de la pantalla:).

Construcción de un vector bidimensional
La función V2 se utiliza en el modo de RPN para construir un vector con los
valores en niveles 1: y 2:. Las siguientes pantallas muestran la pantalla antes y
después que se aplique la función V2:

Página 9-14

Construcción de un vector tridimensional
La función V3 se utiliza en el modo de RPN para construir un vector con los
valores en niveles de la pantalla 1: , 2:, y 3:. Las pantallas muestran la
pantalla antes y después que se aplique la función V3:

Cambio del sistema de coordenadas
Las funciones RECT, CYLIN, y SPHERE se utilizan cambiar el sistema
coordinado actual a los coordenadas rectangulares (cartesianas), cilíndricas
(polar), o esféricas. El sistema actual se demuestra destacado en el ítem
correspondiente de una lista (CHOOSE boxes seleccionado para la bandera
del sistema 117 ), o seleccionado en la tecla correspondiente (SOFT menus
seleccionado para la bandera del sistema 117). En la figura siguiente el
sistema de coordenadas RECTangulares se muestra seleccionado en estos dos
formatos:

Cuando se selecciona el sistema de coordenadas rectangulares, o cartesiano,
la línea superior de la pantalla mostrará la opción XYZ, y cualquier vector 2-D
ó 3-D escrito en la calculadora se reproduce como sus componentes (x,y,z).
Así, para escribir el vector A = 3i+2j-5k, usamos [3,2,-5], y se muestra el
vector como:

Página 9-15

Si en vez de escribir componentes cartesianas de un vector escribimos
componentes cilíndricas (polares), necesitamos proporcionar la magnitud, r, de
la proyección del vector en el plano x-y, un ángulo θ (en la medida angular
actual) representando la inclinación de r con respecto al eje x positivo, y una
componente z del vector. El ángulo θ debe ser escrito precedido por el
carácter de ángulo (∠),generado usando ~‚6. Por ejemplo, suponga
que tenemos un vector con r = 5, θ = 25o (DEG debe estar seleccionado como
la medida angular), y z = 2.3, podemos escribir este vector en la manera
siguiente:
„Ô5 ‚í ~‚6 25 ‚í 2.3
Antes de presionar `, la pantalla se mostrará como en el lado izquierdo de
la figura siguiente. Después de presionar `, la pantalla mirará como en el
lado derecho de la figura (Por este ejemplo, el formato numérico fue cambiado
a Fix, con tres decimales).

Nótese que el vector se muestra en coordenadas cartesianas, con las
componentes x = r cos(θ), y = r sin(θ), z = z, aunque lo escribimos en
coordenadas polares. Esto es porque la presentación del vector se ajustará al
sistema coordinado actual. Para este caso, tenemos x = 4.532, y = 2.112, y z
= 2.300.
Supóngase que ahora escribimos un vector en coordenadas esféricas (es decir,
en la forma (ρ,θ,φ), donde ρ es la longitud del vector, θ es el ángulo que la
proyección xy del vector forma con el lado positivo del eje x, y φ es el ángulo
que ρ forma con el lado positivo del eje z), con ρ = 5, θ = 25o, y φ = 45o.
Utilizaremos: „Ô5 ‚í ~‚6 25
í
~‚6 45

Página 9-16

La figura siguiente muestra la transformación del vector de coordenadas
esféricas a cartesianas, con x = ρ sin(φ) cos(θ), y = ρ sin (φ) cos (θ), z = ρ
cos(φ). Para este caso, x = 3.204, y = 1.494, y z = 3.536. (Cambie a DEG).
Si se selecciona el sistema de coordenadas cilíndricas (CYLIN), la línea
superior de la pantalla mostrará la opción R∠Z, y un vector escrito en
coordenadas cilíndricas será mostrado en su forma de coordenadas cilíndricas
(o polares), es decir, (r,θ,z).
Para ver esto en acción, cambie el sistema
coordinado a cilíndricas (CYLIN) y observe cómo el vector exhibido en la
pantalla pasada cambia a su forma cilíndrica (polar). El segundo componente
se muestra con el carácter del ángulo enfrente para acentuar su naturaleza
angular.

La conversión de coordenadas cartesianas a cilíndricas es tal que r
(x2+y2)1/2,

=

tan-1(y/x),

θ=
y z = z. Para el caso demostrado anteriormente la
transformación fue tal que (x,y,z) = (3.204, 2.112, 2.300), produjo (r,θ,z) =

(3.536,25o,3.536).
A este punto, cambie la medida angular a radianes. Si ahora escribimos un
vector de números enteros en forma cartesiana, incluso si el sistema
coordinado cilíndrico
(CYLIN) está activo, el vector se mostrará en
coordenadas cartesianos, por ejemplo,

Esto es porque los números enteros se disponen para el uso con el CAS y, por
lo tanto, los componentes de este vector se mantienen en forma cartesiana.
Para forzar la conversión a los coordenadas polares escriba las componentes

Página 9-17

del vector como números reales (es decir, agregar un punto decimal), por
ejemplo, [2., 3., 5.].

Con el sistema coordinado cilíndrico seleccionado, si escribimos un vector en
coordenadas esféricas éste será transformado automáticamente a su
equivalente cilíndrico (polar), es decir, (r,θ,z) con r = ρ sin φ, θ = θ, z = ρ cos φ.
Por ejemplo, la figura siguiente muestra el vector escrito en coordenadas
esféricas, y transformado a coordenadas polares. Para este caso, ρ = 5, θ =
25o, y φ = 45o, mientras que la transformación muestra que r = 3.563, y z =
3.536.

A continuación, cambiemos el sistema coordinado a las coordenadas esféricas
usando la función SPHERE del sub-menú VECTOR en el menú MTH. Cuando se
selecciona este sistema coordinado, la pantalla mostrará la opción R∠∠ en su
primera línea. La pantalla cambiará para mostrar lo siguiente:

Nótese que los vectores que fueron escritos en coordenadas polares o
cilíndricos ahora se han cambiado al sistema coordinado esférico. La
transformación es tal que ρ = (r2+z2)1/2, θ = θ, y φ = tan-1(r/z). Sin embargo,
el vector que fue originalmente escrito en coordenadas cartesianas permanece
en esa forma.

Página 9-18

Aplicaciones de las operaciones vectoriales

Esta sección contiene algunos ejemplos de las operaciones con vectores que
usted puede encontrar en usos de la física o mecánica..

Resultante de fuerzas
Suponga que una partícula está sujeta a las fuerzas siguientes (en newtons, N):
F1 = 3i+5j+2k, F2 = -2i+3j-5k, y F3 = 2i-3k. Para determinar la resultante, es
decir, la suma, de estas fuerzas, use lo siguiente en modo ALG:

Así, la resultante es R = F1+ F2 + F3 = (3i+8j-6k)N. En modo RPN use:
[3,5,2] ` [-2,3,-5] ` [2,0,3] ` + +

Ángulo entre vectores

El ángulo entre dos vectores A, B, puede calculares como
θ =cos-1(A•B/|A||B|)
Suponga que usted desea encontrar el ángulo entre los vectores A = 3i-5j+6k,
B = 2i+j-3k, usted podría intentar la operación siguiente (medida angular
fijada a los grados) en modo ALG:
1 - Escriba [3,-5,6], presione `, [2,1,-3], presione `.
2 - DOT(ANS(1),ANS(2)) calcula el producto punto
3 - ABS(ANS(3))*ABS((ANS(2)) calcula el producto de magnitudes
4 - ANS(2)/ANS(1) calcula cos(θ)
5 - ACOS(ANS(1)), seguido por,NUM(ANS(1)), calcula θ
Los pasos se demuestran en las pantallas siguientes (Modo ALG, por supuesto):

Página 9-19

!!!
o

Así, el resultado es θ = 122.891 . En modo RPN, use lo siguiente:
[3,-5,6] ` [2,1,-3] ` DOT
[3,-5,6] ` ABS [2,1,-3] ` ABS *
/
ACOS àNUM

Momento de una fuerza

El momento ejercido por una fuerza F sobre un punto O se define como el
producto cruz M = r×F, en el cual r, también conocido como el brazo de la
fuerza, es el vector de posición basado en O y señalando hacia el punto de
aplicación de la fuerza. Suponga que una fuerza F = (2i+5j-6k) N tiene un
brazo r = (3i-5j+4k)m. Para determinar el momento ejercido por la fuerza con
ese brazo, utilizamos la función CROSS según se muestra a continuación:

Por lo tanto, M = (10i+26j+25k) m⋅N. Sabemos que la magnitud de M es tal
que |M| = |r||F|sin(θ), donde θ es el ángulo entre r y F. Podemos encontrar
este ángulo como, θ = sin-1(|M| /|r||F|) por las operaciones siguientes:
1 – ABS(ANS(1))/(ABS(ANS(2))*ABS(ANS(3)) calcula sin(θ)
2 – ASIN(ANS(1)), seguido por, NUM(ANS(1)) calcula θ
Estas operaciones se muestran, en modo ALG, en las pantallas siguientes:

Página 9-20

Así el ángulo entre los vectores r y F es θ = 41.038o. En modo RPN, podemos
utilizar: [3,-5,4] ` [2,5,-6] ` CROSS
ABS [3,-5,4]
` ABS [2,5,-6] ` ABS * / ASIN →NUM

Ecuación de un plano en el espacio

Dado un punto en el espacio P0(x0,y0,z0) y un vector N = Nxi+Nyj+Nzk
normal a un plano que contiene el punto P0, el problema es encontrar la
ecuación del plano. Podemos formar un vector que comienza en el punto P0 y
termine en el punto P(x,y,z), un punto genérico en el plano. Así, este vector r =
P0P = (x-x0)i+ (y-y0)j + (z-z0)k, es perpendicular al vector normal N, dado que
r se contiene enteramente en el plano. Aprendimos que para dos vectores
normales N y r, N•r =0. Así, podemos utilizar este resultado para determinar
la ecuación del plano.
Para ilustrar el uso de este acercamiento, considere el punto P0(2,3,-1) y el
vector normal N = 4i+6j+2k, podemos escribir el vector N y el punto P0 como
dos vectores, según lo demostrado a continuación. También escribimos por
último el vector [x,y,z]:

Después, calculamos vector P0P = r como ANS(1) – ANS(2), es decir,

Finalmente, tomamos el producto punto de ANS(1) y ANS(4) y se iguala a cero
para terminar la operación N•r =0:

Página 9-21

Podemos ahora utilizar la función EXPAND (en el menú ALG) para calcular esta
expresión:

Así, la ecuación del plano a través del punto P0(2,3,-1) y teniendo vector
normal N = 4i+6j+2k, es 4x + 6y + 2z – 24 = 0. En modo RPN, use:
[2,3,-1]`['x','y','z']`-[4,6,2]DOT EXPAND

Vectores filas, vectores columnas, y listas

Los vectores presentados en este capítulo son todos vectores filas. En algunos
casos, es necesario crear un vector columna (por ejemplo, al utilizar las
funciones estadísticas predefinidas en la calculadora). La manera más simple
de escribir un vector columna es incluyendo cada elemento del vector dentro
de corchetes, contenidos dentro de un par de corchetes externos. Por ejemplo,
escríbase:
[[1.2],[2.5],[3.2],[4.5],[6.2]] `
Esto se representa como el vector columna siguiente:

Página 9-22

En esta sección mostramos maneras de transformar: un vector columna a un
vector fila, un vector fila a un vector columna, una lista a un vector, y un vector
(o matriz) a una lista.
Primero demostramos estas transformaciones usando el modo RPN. En este
modo, utilizaremos las funciones OBJ, LIST, ARRY y DROP para realizar
la transformación. Para facilitar acceso a estas funciones fijaremos la bandera
del sistema 117 a SOFT menus (ver el capítulo 1). De esta manera, las
funciones OBJ, ARRY, y LIST serán accesibles usando „° @)TYPE!.
Las funciones OBJ, ARRY, y LIST estarán disponible en las teclas de menú
A, B, y C. La función DROP está disponible usando „°@)STACK
@DROP.
A continuación introducimos la operación de las funciones OBJ, LIST,
ARRY, y DROP con algunos ejemplos.

Función OBJ
Esta función descompone un objeto en sus componentes. Si el argumento es
una lista, la función OBJ mostrará los elementos de la lista en la pantalla,
con el número de elementos en nivel 1, por ejemplo: {1,2,3} `
„°@)TYPE! @OBJ@ da por resultado:

Cuando la función OBJ se aplica a un vector, listará los elementos del vector
en la pantalla, con el número de elementos en el nivel 1: incluido entre llaves
(una lista). El ejemplo siguiente ilustra este uso: [1,2,3] ` „°@)TYPE!
@OBJ@ da por resultado:

Página 9-23

Si ahora aplicamos la función OBJ una vez más, la lista en nivel 1:, {3.},
será descompuesto como sigue:

Función LIST

Esta función se utiliza para crear una lista dados los elementos de la lista y la
longitud o el tamaño de la lista. En modo RPN, el tamaño de la lista, digamos,
n, se coloca en el nivel 1: de la pantalla. Los elementos de la lista se deben
colocar en niveles 2:, 3:, …, n+1: de la pantalla. Por ejemplo, para crear la
lista {1, 2, 3}, escriba: 1` 2` 3` 3` „°@)TYPE!
!LIST@.
Función ARRY
Esta función se utiliza para crear un vector o una matriz. En esta sección, la
utilizaremos para construir un vector o un vector columna (es decir, una matriz
de n filas y 1 columna). Para construir un vector regular incorporamos los
elementos del vector en la pantalla, y en nivel 1 escribimos el tamaño del
vector como un lista, por ejemplo, 1` 2` 3` „ä
3` „°@)TYPE! !ARRY@.
Para construir un vector columna de n elementos, escriba los elementos del
vector en la pantalla, y en nivel 1 escriba la lista {n 1}. Por ejemplo,
1`2`3`„ä1‚í3`„°@)TYPE!
!ARRY@.

Función DROP
Esta función tiene el mismo efecto que la tecla de cancelación (ƒ).

Transformar un vector fila a un vector columna

Ilustramos la transformación con el vector [1,2,3]. Escriba este vector en
la pantalla RPN para seguir el ejercicio. Para transformar un vector fila en un

Página 9-24

vector columna, necesitamos ejecutar las operaciones siguientes en la pantalla
RPN:
1 - Descomponer el vector con la función OBJ

2 - Presionar 1+ para transformar la lista en el nivel 1: de {3} a {3,1}

3 - Utilizar la función ARRY para construir el vector columna

Estos tres pasos se pueden incorporarse en un programa UserRPL, escrito de
esta manera (en modo RPN): ‚å„°@)TYPE! @OBJ@ 1 + !ARRY@
`³~~rxc` K
Una nueva variable, @@RXC@@, estará disponible en las teclas de menú después de
presionar J:

Presione ‚@@RXC@@ para ver el programa contenido en la variable RXC:
<< OBJ→ 1 + →ARRY >>
Esta variable, @@RXC@@, puede utilizarse para transformar directamente un vector
fila a un vector columna. En modo RPN, escriba el vector fila, y después
presione @@RXC@@. Intente, por ejemplo: [1,2,3] ` @@RXC@@.
Después de definir esta variable, podemos utilizarla en modo ALG para
transformar un vector fila en un vector columna. Cambie el modo su
calculadora a ALG e intente el procedimiento siguiente: [1,2,3] ` J
@@RXC@@ „ Ü „ î, que da por resultado:

Página 9-25

Transformar un vector columna a un vector fila
Para ilustrar esta transformación, escribiremos el vector columna
[[1],[2],[3]] en modo RPN. Entonces, siga el ejercicio siguiente para
transformar un vector de la fila en un vector de la columna:
1 - Utilizar la función OBJ para descomponer el vector columna

2 - Utilizar la función OBJ para descomponer la lista el nivel 1:

3 - Presionar la tecla ƒ (también conocida como la función DROP) para
eliminar el número en el nivel 1:

4 - Utilizar la función LIST para crear una lista

5 - Utilizar la función ARRY para crear el vector fila

Página 9-26

Estos cinco pasos se pueden incorporarse a un programa UserRPL escrito como
(en modo RPN):
‚å„°@)TYPE! @OBJ@ @OBJ@
„°@)STACK @DROP „°@)TYPE! !LIST@ !ARRY@ `
³~~cxr ` K
Una nueva variable, @@CXR@@, estará disponible en las teclas de menú después de
presionar J:

Presione ‚@@CXR@@ para ver el programa contenido en la variable CXR:
<< OBJ→ OBJ→ DROP →ARRY >>
Esta variable, @@CXR@@, puede utilizarse para transformar directamente un vector
columna a un vector fila. En modo RPN, escriba el vector columna, y después
presione @@CXR@@. Intente, por ejemplo:
[[1],[2],[3]] ` @@CXR@@.
Después de definir la variable @@CXR@@, podemos utilizarla en modo ALG para
transformar un vector fila en un vector columna. Cambie el modo su
calculadora a ALG e intente el procedimiento siguiente:
[[1],[2],[3]] ` J @@CXR@@ „Ü „î
que da por resultado:

Página 9-27

Transformar una lista a un vector

Para ilustrar esta transformación, escribiremos la lista {1,2,3} en modo
RPN. Entonces, seguiremos el ejercicio siguiente para transformar una lista en
un vector:
1 - Utilizar la función OBJ para descomponer el vector columna

2 - Escriba 1 y use la función LIST para crear una lista en el nivel 1:

3 - Utilizar la función ARRY para crear el vector

Estos tres pasos se pueden incorporarse a un programa UserRPL escrito como
(en modo RPN):
‚å„°@)TYPE! @OBJ@ 1 !LIST@ !ARRY@ `
³~~lxv ` K
Una nueva variable, @@LXV@@, estará disponible en las teclas de menú después de
presionar J:

Presione ‚@@LXV@@ para ver el programa contenido en la variable LXV:
<< OBJ→ 1 →LIST →ARRY >>
Esta variable, @@LXV@@, puede utilizarse para transformar directamente una lista a
un vector. En modo RPN, escriba la lista, y después presione @@LXV@@. Intente,
por ejemplo: {1,2,3} ` @@LXV@@.

Página 9-28

Después de definir la variable @@LXV@@, podemos utilizarla en modo ALG para
transformar una lista a un vector. Cambie el modo su calculadora a ALG e
intente el procedimiento siguiente: {1,2,3} ` J @@LXV@@ „Ü
„î, que resulta en:

Transformar un vector (o matriz) a una lista
Para transformar un vector en una lista, la calculadora provee la función AXL.
Usted puede encontrar esta función a través del catálogo de funciones, como
se muestra a continuación:
‚N~~axl~@@OK@@
Como ejemplo, aplicar la función AXL al vector [1,2,3] en modo RPN
usando: [1,2,3] ` AXL. La pantalla siguiente muestra la aplicación de
la función AXL al mismo vector en modo ALG.

Página 9-29

Capítulo 10
Creación y manipulación de matrices

Este capítulo muestra un número de ejemplos dirigidos a crear matrices en la
calculadora y demostrar la manipulación de los elementos de las mismas.

Definiciones

Una matriz es simplemente un arreglo rectangular de objetos (números, objetos
algebraicos) con cierto número de filas y de columnas. Una matriz A con n
filas y m columnas tendrá, por lo tanto, n×m elementos. Un elemento genérico
de la matriz es representado por la variable indexada aij, el correspondiente a
la fila i y la columna j. Con esta notación podemos escribir la matriz A como
A = [aij]n×m . La matriz completa se demuestra a continuación:

A = [aij ] n×m

⎡ a11
⎢a
= ⎢ 21
⎢ M
⎢
⎣a n1

a12
a 22
M
an2

L a1m ⎤
L a 2 m ⎥⎥
.
⎥
O
⎥
L a nm ⎦

Una matriz es cuadrada si m = n. La transpuesta de una matriz se construye al
intercambiar las filas con las columnas y viceversa. Así, la transpuesta de la
matriz A, es AT = [(aT)ij] m×n = [aji]m×n. La diagonal principal de una matriz
cuadrada es la colección de elementos aii. Una matriz identidad, In×n, es una
matriz cuadrada cuyos elementos diagonales principales son todos igual 1, y
todos los elementos restantes son cero. Por ejemplo, una matriz identidad 3×3
se escribe como

⎡1 0 0 ⎤
I = ⎢⎢0 1 0⎥⎥
⎢⎣0 0 1⎥⎦

Página 10-1

Una matriz identidad puede escribirse como In×n = [δij], en la cual δij es una
función conocida como la función delta de Kronecker, y se define como

⎧1, if i = j
⎩0, if i ≠ j .

δ ij = ⎨

Escritura de matrices en la pantalla

En esta sección se muestran dos formas diferentes de escribir matrices en la
pantalla: (1) utilizando el editor de matrices, y (2) escribiendo las matrices
directamente en la pantalla.

Utilizando el editor de matrices

Como se hizo con los vectores (véase el Capítulo 9), las matrices pueden
escribirse utilizando el editor o escritor de matrices. Por ejemplo, para escribir
la matriz:

⎡− 2.5 4.2 2.0⎤
⎢ 0.3
1.9 2.8⎥⎥,
⎢
⎢⎣ 2
− 0.1 0.5⎥⎦
Primero, actívese el escritor de matrices „². Asegúrese que la opción
@GO®n ha sido seleccionada. A continuación utilícense las siguientes teclas:
2.5\` 4.2` 2`˜ššš
.3` 1.9` 2.8 `
2` .1\` .5`
Al terminar este ejercicio, la pantalla del escritor de matrices lucirá como se
muestra a continuación:

Página 10-2

Presiónese ` una vez más para colocar la matriz en al pantalla (stack).
Utilizando el modo ALG, las siguientes figuras muestran la pantalla antes y
después de presionar la tecla `.

Si se ha seleccionado la opción Textbook para la pantalla (utilizando H@)DISP!
y marcando la opción Textbook), la matriz lucirá como se mostró
anteriormente. De otra manera, la pantalla luce de la siguiente forma:

La pantalla en modo RPN lucirá muy similar a estas pantallas.
Nota: Más detalles en el uso del escritor de matrices se presentaron en el
Capítulo 9.

Escribiendo la matriz directamente en la pantalla

Para escribir la matriz anterior directamente en la pantalla utilícese:
„Ô
„Ô 2.5\ ‚í 4.2 ‚í 2 ™
‚í
„Ô .3 ‚í 1.9 ‚í 2.8 ™
‚í
„Ô 2 ‚í .1\ ‚í .5
De tal manera, para escribir una matriz directamente en la pantalla ábranse un
par de corchetes („Ô) y enciérrese cada fila en la matriz dentro de un par

Página 10-3

de corchetes adicionales („Ô). Utilícense comas (‚í .) para
separar los elementos de cada fila, así como para separar los corchetes entre
filas de la matriz. (Nota: En modo RPN, usted puede omitir los corchetes
internos después de que el primer conjunto de corchetes ha sido escrito, así, en
vez de escribir, por ejemplo [[1 2 3] [4 5 6] [7 8 9]], escriba solamente [[1 2
3] 4 5 6 7 8 9].)
Para futura referencia, almacénese esta matriz en la variable A. En modo ALG,
utilícese K~a. En modo RPN, utilícese ³~a K.

Creación de matrices con funciones de la calculadora

Algunas matrices pueden ser creadas usando las funciones de la calculadora
disponibles ya sea en el sub-menú MTH/MATRIX/MAKE dentro del menú MTH
(„´),

o en el menú MATRICES/CREATE disponible usando „Ø:

El sub-menú MTH/MATRIX/MAKE (llamémosle el menú MAKE) contiene la
función siguientes:

Página 10-4

mientras que el sub-menú MATRICES/CREATE (llamémosle el menú CREATE )
contiene las funciones siguientes:

Como usted puede ver de explorar estos menús (MAKE y CREATE), ambos
tienen las mismas funciones GET, GETI, PUT, PUTI, SUB, REPL, RDM, RANM,
HILBERT, VANDERMONDE, IDN, CON, →DIAG, y DIAG→. El menú CREATE
incluye los sub-menús COLUMN y ROW, que están también disponibles
usando el menú MTH/MATRIX. El menú MAKE incluye las función SIZE, que el
menú CREATE no incluye. Básicamente, sin embargo, ambos menús, MAKE y
CREATE, proveer del usuario el mismo conjunto de funciones. En los ejemplos
que siguen, demostraremos cómo tener acceso a funciones con el uso del menú
de matrices MAKE. Al final de esta sección presentamos una tabla con las

Página 10-5

teclas requeridas para obtener las mismas funciones la bandera de sistema
117 fija a SOFT menus.
Si usted ha fijado esa bandera del sistema (bandera117) a SOFT menus, el
menú MAKE estará disponible con la secuencia: „´!)MATRX !)MAKE!
Las funciones disponibles se mostrarán como etiquetas de las teclas del menú
como se muestra a continuación (presione L para mostrar la siguiente
página del menú):

Con la bandera de sistema 117 fija a SOFT menus, las funciones del menú
CREATE, activado por „Ø)@CREAT , se muestran a continuación:

En las secciones siguientes presentamos aplicaciones de las funciones de los
menús de matrices MAKE y CREATE.

Funciones GET y PUT

Las funciones GET, GETI, PUT, y PUTI, operan con matrices de una manera
similar como con listas o vectores, es decir, usted necesita proporcionar la
localización del elemento al cual usted desea aplicar GET o PUT. Sin
embargo, mientras que en listas y vectores solamente se requiere un índice
para identificar un elemento, en matrices necesitamos una lista de dos índices {
fila, columna } para identificar elementos de la matriz. Ejemplos del uso de
GET y PUT se presentan a continuación.

Página 10-6

Utilicemos la matriz que almacenamos en la variable A para demostrar el uso
de las funciones GET y PUT. Por ejemplo, la extracción del elemento a23 de la
matriz A, en modo ALG, puede realizarse como sigue:

Nótese que logramos el mismo resultado simplemente escribiendo A(2,3) y
presionando `. En modo de RPN, este ejercicio se lleva a cabo escribiendo
@@@A@@@ ` 3 ` GET, o usando A(2,3) `.
Suponer que deseamos colocar el valor ‘π’ en el elemento a31 de la matriz.
Podemos utilizar la función PUT para ese propósito, por ejemplo,

En modo RPN usted puede utilizar: J @@@A@@@ {3,1} ` „ì PUT.
Alternativamente, en modo de RPN usted puede utilizar: „ì³A(2,3)
` K . Ver el contenido de la variable A después de esta operación,
utilice @@@A@@@.

Funciones GETI y PUTI

Las funciones PUTI y GETI se usan en programas UserRPL puesto que mantienen
información sobre el índice para el uso repetido de las funciones PUT y GET.
La lista del índice en matrices varía por las columnas primero. Para ilustrar su
uso, proponemos el ejercicio siguiente en modo de RPN: @@@A@@@ {2,2}` GETI.
Las figuras siguientes muestran la pantalla RPN antes y después de usar la
función GETI:

Página 10-7

Nótese que la pantalla está preparada para un uso posterior de GETI o GET,
aumentando en 1 el índice original de la columna, (es decir, de {2,2} a {2,3}),
a la vez que muestra el valor extraído, a saber A(2,2) = 1.9, en el nivel 1.
Ahora, suponer que usted desea colocar el valor 2 en el elemento {3 1} al usar
PUTI. Aún en modo RPN, use las teclas siguientes: ƒ ƒ{3 1} ` 2
` PUTI. La figura siguiente muestra la pantalla RPN antes y después de
aplicar PUTI:

En este caso, el 2 fue substituido en la posición {3 1}, es decir, actualmente
A(3,1) = 2, y el índice de la columna fue aumentado en 1 (por columnas
primero), es decir, de {3,1} a {3,2}. La matriz está en el nivel 2, y la lista con
los índices está en el nivel 1.

Función SIZE

La función SIZE provee una lista que muestra el número de filas y de columnas
de la matriz en nivel 1. La pantalla siguiente muestra un par de aplicaciones de
la función SIZE en modo ALG:

En modo de RPN, estos ejercicios son realizados usando

@@@A@@@ SIZE, y

[[1,2],[3,4]] ` SIZE .

Página 10-8

Función TRN

La función TRN se utiliza producir la transconjugada de una matriz, es decir, la
transpuesta (TRAN) seguido por su conjugado complejo (CONJ). Por ejemplo,
las pantallas siguientes muestran la matriz original en la variable A y una
transconjugada, usando caracteres pequeños (ver Capítulo 1):

Si el argumento es una matriz real, TRN produce simplemente la transpuesta de
la matriz. Intente, por ejemplo, TRN(A), y compare con TRAN(A).
En modo RPN, la transconjugada de la matriz A es calculado usando @@@A@@@
TRN.
Nota: La calculadora también incluye la función TRAN el sub-menú
MATRICES/OPERATIONS:

Por ejemplo, en modo ALG:

Página 10-9

Función CON

La función toma como argumentos una lista de dos elementos, correspondiendo
al número de la fila y a las columnas de la matriz que se generará, y un valor
constante. La función CON genera una matriz con los elementos constantes.
Por ejemplo, en modo de ALG, el comando siguiente crea una matriz 4×3
cuyos elementos son todos iguales a –1.5:

En modo de RPN, esto se logra usando {4,3} ` 1.5 \ `
CON.

Función IDN

La función IDN (IDeNtidad) crea una matriz de la identidad dadas su
dimensión. Recuerde que una matriz identidad tiene que ser una matriz
cuadrada, por lo tanto, sólo un valor se requiere para describirla totalmente.
Por ejemplo, para crear una matriz4x4, en modo, ALG use:

Usted puede también utilizar una matriz cuadrada ya existente como el
argumento de la función IDN, por ejemplo,

La matriz identidad que resulta tendrá las mismas dimensiones que la matriz
argumento. El usar una matriz no cuadrada (rectangular) como la argumento
de IDN producirá un error.

Página 10-10

En modo RPN, los dos ejercicios demostrados anteriormente son creados
usando: 4` IDN y @@@A@@@ IDN.

Función RDM

La función RDM (Re-DiMensión) se utiliza para re-escribir vectores y matrices
como matrices y vectores. La entrada a la función consiste en el vector o la
matriz original seguida por una lista de un solo número, si se convierte a un
vector, o a dos números, si se convierte a una matriz. En el caso primero, el
número representa la dimensión del vector, en el último, el número de filas y
columnas de la matriz. Los ejemplos siguientes ilustran el uso de la función
RDM:
Re-dimensionando un vector a una matriz
El ejemplo siguiente demuestra cómo re-dimensionar un vector de 6 elementos
a una matriz de 2 filas y 3 columnas en modo ALG:

En modo RPN, podemos utilizar [1,2,3,4,5,6] ` {2,3} ` RDM
para producir la matriz mostrada arriba.
Re-dimensionando una matriz a otra matriz
En modo de ALG, ahora utilizamos la matriz creada arriba y la redimensionamos a una matriz de 3 filas y 2 columnas:

En modo RPN, utilizamos simplemente {3,2}` RDM.

Página 10-11

Re-dimensionando una matriz a un vector
Para re-dimensionar una matriz a un vector, utilizamos como argumentos la
matriz seguida por una lista que contiene el número de elementos en la matriz.
Por ejemplo, para convertir la matriz del ejemplo anterior a un vector de
longitud 6, en el modo ALG, use:

En modo RPN, asumimos que la matriz está en pantalla y usamos {6} `
RDM.
Nota: La función RDM provee una manera más directa y más eficiente de
transformar listas a arreglos y viceversa, que los procedimientos
demostrados al final del Capítulo 9.

Función RANM

La función RANM (inglés, RANdom Matriz, o Matriz Aleatoria) generará una
matriz con elementos siendo números enteros aleatorios dada una lista con el
número de filas y de columnas (es decir, las dimensiones de la matriz). Por
ejemplo, en modo de ALG, dos diversas matrices 2x3 con los elementos al azar
son producidas usando la misma función, a saber, RANM({2,3}) :

En modo RPN, utilice {2,3} ` RANM.
Obviamente, los resultados que usted obtenga en su calculadora serán con
toda certeza diferentes que los resultados anteriores. Los números aleatorios
generados son números enteros distribuidos uniformemente en el rango [-

Página 10-12

10,10], es decir, cada de esos 21 números tiene la misma probabilidad de ser
seleccionado. La función RANM es útil para generar matrices de cualquier
tamaño para ilustrar operaciones y funciones con matrices.

Función SUB

La función SUB extrae una sub-matriz de una matriz existente, siempre y
cuando se indiquen las posiciones inicial y final de la sub-matriz. Por ejemplo,
si deseamos extraer los elementos a12, a13, a22, y a23 del resultado anterior,
como una sub-matriz 2×2, en modo ALG, utilice:

En modo RPN, si se asume que la matriz original 2x3 está ya en pantalla, use
{1,2} ` {2,3} ` SUB.

Función REPL

La función REPL substituye o inserta una sub-matriz en una matriz más grande.
La entrada para esta función es la matriz donde ocurrirá el reemplazo, la
localización en donde el reemplazo comienza, y la matriz que se insertará. Por
ejemplo, manteniendo la matriz que heredamos del ejemplo anterior, escriba la
matriz: [[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]] . En modo ALG, la pantalla de
la izquierda muestra la nueva matriz antes de presionar `. La pantalla de
la derecha muestra el uso de la función RPL para sustituir la matriz en
ANS(2), la matriz 2×2, dentro de la matriz 3×3 localizada actualmente en
ANS(1), comenzando en la posición {2,2}:

Página 10-13

Si trabaja en el modo de RPN, y si se asume que la matriz 2×2 está
originalmente en la pantalla, seguimos de la forma siguiente:
[[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]]`™ (esta última tecla intercambia
el contenido de los niveles 1 y 2) {1,2} ` ™ (otro intercambio de los
niveles 1 y 2) REPL.

Función DIAG

La función →DIAG toma la diagonal principal de una matriz cuadrada de
dimensiones nxn, y crea un vector de dimensión n que contiene los elementos
de la diagonal principal. Por ejemplo, para la matriz que resultó del ejercicio
anterior, podemos extraer la diagonal principal usando:

En modo RPN, con la matriz 3×3 en la pantalla, tenemos que activar la función
DIAG para obtener el mismo resultado anterior.

Función DIAG

La función DIAG→ toma un vector y una lista de las dimensiones de la matriz {
filas, columnas }, y crea una matriz diagonal con la diagonal principal
substituida por los elementos apropiados del vector. Por ejemplo,
DIAG([1,-1,2,3],{3,3})
produce una matriz diagonal con los primeros 3 elementos del vector
argumento:

En modo RPN, podemos utilizar [1,-1,2,3] ` {3,3}` DIAG
para obtener el mismo resultado anterior.

Página 10-14

Otro ejemplo del uso de la función DIAG→ se muestra a continuación, en
modo ALG:

En modo RPN, use [1,2,3,4,5] ` {3,2}` DIAG .
En este caso una matriz 3x2 debía ser creada usando como elementos
diagonales principales tantos elementos como sea posible del vector
[1,2,3,4,5]. La diagonal principal, para una matriz rectangular, comienza en
la posición (1,1) y abarca la posición (2,2), (3,3), etc. hasta que el número de
filas o columnas se agota. En este caso, el número de columnas (2) fue
agotado antes del número de filas (3), por lo tanto, la diagonal principal
incluye solamente los elementos en posiciones (1,1) y (2,2). De manera que
solamente los primeros dos elementos del vector se requieren para formar la
diagonal principal.

Función VANDERMONDE

La función VANDERMONDE genera la matriz de Vandermonde de dimensión
n basada en una lista dada de datos. La dimensión n es, por supuesto, la
longitud de la lista. Si la lista de la entrada consiste de los objetos {x1, x2,…
xn}, entonces, una matriz de Vandermonde en la calculadora es una matriz que
contiene los siguientes elementos:

⎡1
⎢
⎢1
⎢1
⎢
⎢M
⎢1
⎣

x1
x2
x3
M
xn

x12 L x1n−1 ⎤
⎥
x 22 L x 2n−1 ⎥
x32 L x3n−1 ⎥
⎥
M O M ⎥
x n2 L x nn−1 ⎥⎦

Por ejemplo, el ejemplo siguiente es en modo ALG para la lista {1,2,3,4}:

Página 10-15

En modo de RPN, escriba {1,2,3,4} ` VANDERMONDE.

Función HILBERT

La función HILBERT crea la matriz de Hilbert que corresponde a una dimensión
n. Por la definición, la matriz n×n de Hilbert es Hn = [hjk]n×n, de modo que

h jk =

1
j + k −1

La matriz de Hilbert tiene uso en el ajuste numérico de curvas el método de
mínimos cuadrados.

Un programa para construir una matriz a partir listas
En esta sección proporcionamos un par de programas UserRPL para construir
una matriz a partir de un número de listas de objetos. Las listas pueden
representar las columnas de la matriz (programa @CRMC) o filas de la matriz
(programa @CRMR). Los programas se escriben con la calculadora fijada al
modo de RPN, y las instrucciones para las teclas se dan para la bandera de
sistema 117 fija a SOFT menus. Esta sección se provee para que Ud.
practique el acceso a funciones de programación en la calculadora. Los
programas se enumeran debajo mostrando, en el lado izquierdo, las teclas
necesarias para escribir los pasos del programa, y, en el lado derecho, los
caracteres escritos en la pantalla al activar esas teclas. Primero, presentamos
los pasos necesarios para producir el programa CRMC.

Las listas representan columnas de la matriz

El programa @CRMC permite construir una matriz p×n (es decir, p filas, n
columnas) a partir de n listas de p elementos cada una. Para crear el
programa úsense las instrucciones siguientes:

Página 10-16

Secuencia de teclas:
‚å
„°@)STACK! @@DUP@
‚ é # ~ „n
‚å
1„°@)STACK! @SWAP
„°@)BRCH! @)FOR@! @FOR@
~„j
„°@)TYPE OBJ
ARRY@
„°@)BRCH! @)@IF@@ @@IF@@
~ „j#
~ „n
„°@)TEST! @@@<@@@
„°@)BRCH! @)@IF@ @THEN
~ „j #1+
„°@)STACK! L@ROLL
„°@)BRCH! @)@IF@ @END
„°@)BRCH! @)FOR@! @NEXT
„°@)BRCH! @)@IF@ @@IF@@
~ „n #1
„°@)TEST! @@@>@@@
„°@)BRCH! @@IF@ @THEN
1#
~ „n #1„°@)BRCH! @)FOR@! @FOR@
~ „j #
~ „j #1+
„°@)STACK! L@ROLL!
„°@)BRCH! @)FOR@! @NEXT!
„°@)BRCH! )@@IF@! @END@
~„n #
„´@)MATRX! @)COL! @COL!
`

Produce:
«
DUP
n

<<
1 SWAP
FOR
j
OBJ
ARRY
IF
j
n
<
THEN
j1 +
ROLL
END
NEXT
IF
n1
>
THEN
1
n1FOR
j
j1+
ROLL
NEXT
END
n
COL

El programa se exhibe en nivel 1

Página 10-17

Para almacenar el programa:

³~~crmc~ K

Nota: Si usted almacena este programa en su directorio HOME estará
disponible desde cualquier otro sub-directorio que usted utilice.
Para ver el contenido del programa use J ‚@CRMC. El listado del
programa es el siguiente:
« DUP → n « 1 SWAP FOR j OBJ→ →ARRY IF j n < THEN j 1 +
ROLL END NEXT IF n 1 > THEN 1 n 1 - FOR j j 1 + ROLL
NEXT END n COL→ » »
Para utilizar este programa, en modo de RPN, escriba las n listas en el orden
que usted las desea como columnas de la matriz, escriba el valor de n, y
presione @CRMC. Como ejemplo, intente el ejercicio siguiente:
{1,2,3,4} ` {1,4,9,16} ` {1,8,27,64} ` 3 ` @CRMC
Las pantallas siguientes muestran la pantalla RPN antes y después de activar el
programa @CRMC:

Para utilizar el programa en modo ALG, presione @CRMC seguido por un par de
paréntesis („Ü). Dentro de los paréntesis escriba las listas de los datos
que representan las columnas de la matriz, separadas por comas, y finalmente,
una coma, y el número de columnas. La instrucción es la siguiente:
CRMC({1,2,3,4}, {1,4,9,16}, {1,8,27,64}, 3)
La pantalla ALG con la ejecución del programa CRMC se muestra a
continuación:

Página 10-18

Las listas representan filas de la matriz

El programa anterior se puede modificar fácilmente para crear una matriz
cuando las listas de entrada se convertirán en las filas de la matriz. El único
cambio que se realizará es cambiar COL→ por ROW→ en el listado del
programa. Para realizar este uso del cambio:
‚@CRMC
Liste programa CRMC
˜‚˜—ššš
Moverse al final del programa
ƒƒƒ
Remover COL
~~row~`
Escribir ROW
Para almacenar el programa: ³~~crmr~ K
{1,2,3,4} ` {1,4,9,16} ` {1,8,27,64} ` 3 ` @CRMR
Las pantallas siguientes demuestran la pantalla RPN antes y después de activar
el programa @CRMR:

Estos programas pueden ser útiles para los usos estadísticos, crear
específicamente la matriz estadística ΣDAT. Los ejemplos del uso de éstos
programan se demuestran en los últimos capítulos.

Manipulación de matrices por columnas

La calculadora proporciona un menú con las funciones para la manipulación
de matrices operando en sus columnas. Estas funciones están disponibles a
través del menú MTH/MATRIX/COL.. usando las teclas: („´). El menú se
muestra en la figura siguiente con la bandera 117 del sistema fija a CHOOSE
boxes:

Página 10-19

Las funciones se presentan también en el sub-menú MATRICES/CREATE/
COLUMN:

Ambos sub-menús mostrarán las mismas funciones:

Cuando la bandera 117 del sistema se fija a SOFT menus, el menú COL es
accesible a través de „´!)MATRX !)@@COL@ , o a través de „Ø!)@CREAT@
!)@@COL@ . Ambos procedimientos mostrarán el mismo sistema de funciones:

La operación de estas funciones se presenta a continuación.

Página 10-20

Función COL

La función COL toma como argumento una matriz y la descomponen en los
vectores que corresponden a sus columnas. Una aplicación de la función
COL en modo ALG se muestra abajo. La matriz usada se ha almacenado
anteriormente en la variable A. La matriz se muestra en la figura a la izquierda.
La figura a la derecha muestra la matriz descompuesta en columnas. Para ver el
resultado completo, utilice el editor de línea (activado al usar la tecla ˜).

En modo RPN, usted necesita listar la matriz en la pantalla, y activar la función
COL, es decir, @@@A@@@ COL. La figura abajo demuestra a pantalla de RPN
antes y después el uso de la función COL.

En este resultado, la primera columna ocupa el nivel más alto de la pantalla
después de la descomposición, y el nivel 1 de la pantalla es ocupado por el
número de columnas de la matriz original. La matriz no sobrevive la
descomposición, es decir, ya no estará disponible en la pantalla.

Función COL
La función COL tiene el efecto opuesto de la función COL, es decir, dados
n vectores de la misma longitud, y el número n, la función COL construye una
matriz poniendo los vectores de entrada como columnas de la matriz que
resulta. He aquí un ejemplo en modo ALG. El comando usado es
COL([1,2,3],[4,5,6],[7,8,9],3)

Página 10-21

En modo RPN, coloque los n vectores en los niveles n+1, n, n-1,…,2, y el
número n en nivel de la pantalla 1. De esta manera, la función COL coloca
los vectores como columnas en la matriz que resulta. La figura siguiente
demuestra la pantalla RPN antes y después que se usa la función COL.

Función COL+

La función COL+ toma como argumento una matriz, un vector con la misma
longitud que el número de filas en la matriz, y un número entero n que
representa la localización de una columna. La función COL+ inserta el vector
en la columna n de la matriz. Por ejemplo, en modo de ALG, sustituiremos la
segunda columna en la matriz A con el vector [ -1, -2, -3 ], es decir,

En modo RPN, escriba primero la matriz, y después el vector, y el número de la
columna, antes de aplicar la función COL+. La figura abajo demuestra la
pantalla de RPN antes y después que aplica la función COL+.

Página 10-22

Función COL-

La función COL- toma como argumentos una matriz y un número entero
representando la posición de una columna en la matriz. La función produce la
matriz original menos una columna, así como la columna extraída mostrada
como un vector. He aquí un ejemplo en el modo ALG usando la matriz
almacenada en A:

En modo RPN, ponga la matriz en la pantalla primero, entonces escriba el
número que representa la localización de la columna, antes de aplicar la
función COL-. La figura siguiente muestra la pantalla RPN antes y después de
aplicar la función COL-.

Función CSWP

La función CSWP (inglés, Column SwaP, o intercambio de columnas) toma
como argumentos dos índices, digamos, i y j, (representando dos columnas
distintas en una matriz), y una matriz, y produce una nueva matriz con las
columnas i y j intercambiados. El ejemplo siguiente, en modo ALG, muestra un
uso de esta función. Utilizamos la matriz almacenada en la variable A para el
ejemplo. Esta matriz se lista primero.

En modo RPN, la función CSWP le deja intercambiar las columnas de una
matriz enumerada en la pantalla en nivel 3, cuyos índices se enumeran en los
niveles 1 y 2. Por ejemplo, la figura siguiente demuestra la pantalla RPN antes

Página 10-23

y después de aplicar la función CSWP a la matriz A para intercambiar las
columnas 2 y 3:

Como usted puede ver, se han intercambiado las columnas que ocuparon
originalmente las posiciones 2 y 3. El intercambio de columnas, y de filas
(véase abajo), se utiliza comúnmente al solucionar los sistemas de ecuaciones
lineares con las matrices. Los detalles de estas operaciones serán dados en un
capítulo subsiguiente.

Manipulación de matrices por filas

La calculadora proporciona un menú con las funciones para la manipulación
de matrices operando en sus filas. Estas funciones están disponibles a través
del menú MTH/MATRIX/ROW.. usando las teclas: („´). El menú se
muestra en la figura siguiente con la bandera 117 del sistema fija a CHOOSE
boxes:

Las funciones se presentan también en el sub-menú MATRICES/CREATE/ROW:

Ambos procedimientos mostrarán las mismas funciones:

Página 10-24

Cuando la bandera 117 del sistema se fija a SOFT menus, el menú ROW es
accesible a través de „´!)MATRX !)@@ROW@, o a través de „Ø!)@CREAT@ !)@@ROW@
. Ambos procedimientos mostrarán el mismo sistema de funciones:

La operación de estas funciones se presenta abajo.

Función ROW

La función ROW toma como argumento una matriz y la descompone en los
vectores que corresponden a sus filas. Un uso de la función ROW en modo
ALG se muestra a continuación. La matriz usada ha sido almacenada
anteriormente en la variable A. La matriz se demuestra en la figura a la
izquierda. La figura a la derecha demuestra la matriz descompuesta en filas.
Para ver el resultado completo, use el editor de línea (activado al presionar la
tecla ˜).

Página 10-25

En modo RPN, usted necesita listar la matriz en la pantalla, y activar la función
ROW, es decir, @@@A@@@ ROW. La figura abajo demuestra a pantalla de RPN
antes y después el uso de la función ROW.

En este resultado, la primera fila ocupa el nivel más alto de la pantalla después
de la descomposición, y el nivel 1 de la pantalla es ocupado por el número de
filas de la matriz original. La matriz no sobrevive la descomposición, es decir,
no está disponible más en la pantalla.

Función ROW

La función ROW→ tiene el efecto opuesto de la función →ROW, es decir, dados
n vectores de la misma longitud, y el número n, la función ROW construye
una matriz poniendo los vectores de la entrada como filas de la matriz que
resulta. Aquí está un ejemplo en modo de ALG. El comando usado es:
ROW([1,2,3],[4,5,6],[7,8,9],3)

En modo RPN, coloque los n vectores en niveles de la pantalla n+1, n, n1,…,2, y el número n en nivel 1 de la pantalla. De esta manera, la función
ROW coloca los vectores como filas en la matriz que resulta. La figura
siguiente demuestra la pantalla de RPN antes y después que usa la función
ROW.

Página 10-26

Función ROW+

La función ROW+ toma como argumento una matriz, un vector con la misma
longitud que el número de filas en la matriz, y un número n del número entero
que representa la localización de una fila. La función ROW+ inserta el vector
en la fila n de la matriz. Por ejemplo, en modo de ALG, insertaremos la
segunda fila en la matriz A con el vector [ - 1, -2, -3 ], es decir,

En modo RPN, escriba la matriz primero, entonces el vector, y el número de la
fila, antes de aplicar la función ROW+. La figura abajo muestra la pantalla de
RPN antes y después que aplica la función ROW+.

Función ROW-

La función ROW- toma como argumento una matriz y un número entero
representando la posición de una fila en la matriz. La función produce la matriz
original, menos una fila, así como la fila extraída escrita como un vector. He
aquí un ejemplo en el modo ALG usando la matriz almacenada en A:

En modo RPN, coloque la matriz en pantalla primero, después escriba el
número que representa la localización de la fila antes de aplicar la función
ROW-. La figura siguiente muestra la pantalla RPN antes y después de aplica
la función ROW-.

Página 10-27

Función RSWP

La función RSWP (inglés, Row SwaP, o intercambio de filas) toma como
argumentos dos índices, digamos, i y j, (representando dos filas distintas en
una matriz), y una matriz, y produce una nueva matriz con filas i y j
intercambiadas. El ejemplo siguiente, en modo ALG, muestra una aplicación
de esta función. Utilizamos la matriz almacenada en la variable A para el
ejemplo. Esta matriz es el primer argumento de RSWP:

En modo RPN, la función RSWP permite el intercambio de las filas de una
matriz listada en el nivel 3 de la pantalla, los índices se listan en los niveles 1 y
2 de la pantalla. Por ejemplo, la figura siguiente demuestra la pantalla RPN
antes y después que se aplica la función RSWP a la matriz A para intercambiar
las filas 2 y 3:

Como usted puede ver, las filas que ocupaban originalmente las posiciones 2 y
3 han sido intercambiadas.

Función RCI

La función RCI significa multiplicar la fila (inglés, Row) I por un valor Constante
y sustituir la fila resultante en la misma localización. El ejemplo siguiente,
escrito en modo ALG, toma la matriz almacenada en A, y multiplica la fila
número 3 por el valor constante 5, sustituyendo la fila por este producto.

Página 10-28

Este mismo ejercicio, ejecutado en modo RPN, se muestra en la figura siguiente.
La figura de la izquierda muestra la matriz, el factor y el número de la fila, en
los niveles 3, 2, y 1, respectivamente. La figura de la derecha muestra la matriz
que resulta después de que se activa la función RCI.

Función RCIJ

La función RCIJ, significa “tome la fila (inglés, Row) I y multiplíquela por una
constante C, y después sume la fila resultante a la fila J, reemplazando la fila J
con la suma resultante.” Este tipo de operación con filas es muy común en el
proceso de la eliminación gaussiana o de Gauss-Jordan (más detalles en este
procedimiento se presentan en un capítulo posterior). Los argumentos de la
función son: (1) la matriz, (2) el valor constante, (3) la fila que se multiplicará
por la constante en (2), y (4) la fila que se substituirá por la suma resultante
según lo descrito anteriormente. Por ejemplo, tomando la matriz almacenada
en la variable A, vamos a multiplicar la columna 3 por 1.5, y la agregamos a
la columna 2. El ejemplo siguiente se realiza en modo ALG:

En modo de RPN, escriba primero la matriz, seguida por el valor constante,
después por la fila que se multiplicará por el valor constante, y finalmente
escriba la fila que será substituida. La figura siguiente muestra la pantalla RPN
antes y después de aplicar la función RCIJ bajo las mismas condiciones d el
ejemplo en modo ALG mostrado anteriormente:

Página 10-29

Página 10-30

Capítulo 11
Operaciones con matrices y álgebra lineal
En el capítulo 10 introdujimos el concepto de una matriz y presentamos un
número de funciones para escribir, crear, o manipular las matrices. En este
capítulo presentamos ejemplos de las operaciones y de las aplicaciones de las
matrices a los problemas del álgebra linear.

Operaciones con matrices

Las matrices, como otros objetos matemáticos, pueden sumarse y restarse.
También pueden ser multiplicadas por un escalar o multiplicarse la una con la
otra. También pueden elevarse a una potencia real. Una operación importante
en el álgebra lineal es la inversa de una matriz. Detalles de estas operaciones
se muestran a continuación.
Para ilustrar las operaciones matriciales, se crearán un cierto número de
matrices que se almacenarán en variables. El nombre genérico de las matrices
será Aij y Bij, donde i representa el número de filas y j el número de las
columnas de las matrices. Las matrices que se utilizarán son generadas usando
la función RANM (inglés, random matrices, o matrices aleatorias). Si usted
intenta este ejercicio en su calculadora va a obtener matrices diferentes de las
que se muestran a continuación, a menos que usted los almacene en su
calculadora exactamente según se muestran aquí. He aquí las matrices A22,
B22, A23, B23, A33 y B33, creadas en modo ALG:

Página 11-1

En modo RPN, los pasos a seguir
{2,2}` RANM 'A22'K
{2,3}` RANM 'A23'K
{3,2}` RANM 'A32'K
{3,3}` RANM 'A33'K

son los siguientes:
{2,2}` RANM
{2,3}` RANM
{3,2}` RANM
{3,3}` RANM

'B22'K
'B23'K
'B32'K
'B33'K

Adición y substracción

Considere un par de matrices A = [aij]m×n y B = [bij]m×n. La adición y la
substracción de estas dos matrices es posible solamente si ambas tienen el
mismo número de filas y de columnas. La matriz que resulta, C = A ± B =
[cij]m×n tiene elementos cij = aij ± bij. A continuación se muestran ejemplos de
operaciones que utilizan las matrices almacenadas anteriormente en modo
ALG(Vg., @A22@ + @B22@)

En el modo RPN, los pasos a seguir son los siguientes:
A22 ` B22`+ A22 ` B22`A23 ` B23`+ A23 ` B23`A32 ` B32`+ A32 ` B32`Traducir los ejemplos de ALG a RPN es simple, según lo ilustrado aquí. Los
ejemplos restantes de las operaciones de la matriz serán realizados en modo
de ALG solamente.

Página 11-2

Multiplicación

Existen numerosas operaciones de multiplicación que involucran matrices.
Estas operaciones se describen a continuación.
Multiplicación por un escalar
Multiplicación de la matriz A = [aij]m×n por un escalar k da lugar a la matriz C
= kA = [cij]m×n = [kaij]m×n. En particular, el negativo de una matriz se define
por la operación -A =(-1)A = [-aij] m×n. Algunos ejemplos de multiplicación de
una matriz por un escalar se muestran a continuación:

Combinando la adición y la substracción con la multiplicación por un escalar
podemos formar combinaciones lineares de las matrices de las mismas
dimensiones, Vg..,

En una combinación linear de matrices, podemos multiplicar una matriz por un
número imaginario para obtener una matriz de números complejos, Vg..,

Página 11-3

Multiplicación de una matriz con un vector
La multiplicación de una matriz con un vector es posible solamente si el número
de columnas de la matriz es igual al número de elementos del vector. Ejemplos
de multiplicación de una matriz con un vector se presentan a continuación:

La multiplicación de un vector por una matriz, sin embargo, no está definida.
Esta multiplicación puede ejecutarse, como un caso especial de la
multiplicación de matrices como se define a continuación.
Multiplicación de matrices
La multiplicación de matrices se define por la expresión Cm×n = Am×p⋅Bp×n,
donde A = [aij]m×p, B = [bij]p×n, y C = [cij]m×n.

Obsérvese que la

multiplicación de matrices es posible solamente si el número de columnas en el
primer operando es igual al número de filas en el segundo. El elemento
genérico cij del producto se escribe:
p

cij = ∑ aik ⋅ bkj , for i = 1,2,K, m; j = 1,2,K, n.
k =1

Esto es similar a decir que el elemento en la fila i y la columna j del producto
C, resulta al multiplicar término a término la fila i de A con la columna j de B,
y agregando los productos de esos términos. La multiplicación de matrices no
es conmutativa, es decir, en general, A⋅B ≠ B⋅A. Es posible que uno de los
productos A⋅B o B⋅A no exista. Las siguientes figuras muestran multiplicaciones
de las matrices que se almacenaron anteriormente:

Página 11-4

La multiplicación de una matriz por un vector, introducida en la sección
anterior, se puede definir como el producto de una matriz m×n con una matriz
n×1 (es decir, un vector columna) dando por resultado una matriz m×1 (es
decir, otro vector).
Para verificar esta aserción verifique los ejemplos
presentados en la sección anterior. Así, los vectores definidos en el capítulo 9
son básicamente vectores columna dentro del contexto de la multiplicación de
matrices.
El producto de un vector con una matriz es posible si el vector es un vector fila,
es decir, una matriz 1×m, la cuál, al multiplicarse con una matriz m×n, produce
una matriz1xn (otro vector fila). Para la calculadora poder identificar un vector
fila, usted debe utilizar los corchetes dobles para escribirla, por ejemplo,

Multiplicación término-a-término
La multiplicación término-a-término de dos matrices de las mismas dimensiones
es posible gracias a la función HADAMARD. El resultado es, por supuesto, una
matriz de las mismas dimensiones que los operandos. La función HADAMARD
está disponible a través del catálogo de funciones (‚N), o a través del

Página 11-5

sub-menú MATRICES/OPERATIONS („Ø). Algunas aplicaciones de la
función HADAMARD se presentan a continuación:

Elevar una matriz a una potencia real
Puede elevar una matriz a cualquier potencia siempre y cuando ésta sea un
integro o un número real sin parte fraccional. Este ejemplo muestra el resultado
de elevar la matriz B22, creada anteriormente, a la potencia de 5:

También puede elevar una matriz a una potencia sin guardarla primero como
variable:

En el modo algebraico, la combinación de teclas es: [ingrese o seleccione la
matriz] Q[ingrese la potencia] `.
En el modo RPN, la combinación de teclas es: [ingrese o seleccione la matriz]
†[ingrese la potencia] Q`.
Las matrices pueden ser elevadas a potencies negativas. En este caso, el
resultado equivale a 1/[matriz]^ABS(potencia).

Página 11-6

La matriz identidad
En el capítulo 9 introducimos la matriz identidad como la matriz I = [δij]n×n,
donde δij es la función delta de Kronecker. Las matrices identidad pueden ser
obtenidas usando la función IDN descrita en el capítulo 9. La matriz identidad
tiene la característica que A⋅I = I⋅A = A. Para verificar esta característica
presentamos los ejemplos siguientes usando las matrices almacenadas
anteriormente:

La matriz inversa
La inversa de una matriz cuadrada A es la matriz A-1 tal que A⋅A-1 = A-1⋅A =
I, en la cual I es la matriz identidad de las mismas dimensiones de A. La
inversa de a matriz se obtiene en la calculadora utilizando la función INV (es
decir, la tecla Y). Ejemplos involucrando la inversa de las matrices
almacenadas anteriormente se presentan a continuación:

Para verificar las propiedades de la matriz inversa se presentan las siguientes
multiplicaciones:

Página 11-7

Caracterizar una matriz (El menú NORM de matrices)

El menú NORM (NORMALIZAR) de matrices se obtiene utilizando las teclas
„´. (bandera de sistema117 fija a CHOOSE boxes):

Este menú contiene las funciones siguientes:

Estas funciones se presentan a continuación. Dado que muchas de estas
funciones utilizan conceptos de la teoría de matrices, tales como valores
singulares, rango, etc., incluiremos descripciones cortas de estos conceptos
mezclados con la descripción de funciones.

Función ABS

Función ABS calcula lo qué se conoce como la norma de Frobenius de una
matriz. Para una matriz A = [aij] m×n, la norma de Frobenius de la matriz se
define como

Página 11-8

A

F

=

n

m

∑∑ a
i =1 j =1

2
ij

Si la matriz bajo consideración en un vector fila o un vector columna, entonces
la norma de Frobenius, ||A||F , es simplemente la magnitud del vector. El
ABS de Función es accesible directamente en el teclado como „Ê.
Intente los ejercicios siguientes en el modo de ALG (que usa las matrices
almacenadas anterior para las operaciones de la matriz):

Función SNRM

Función SNRM calcula norma espectral (inglés, Spectral NoRM) de una matriz,
que se define como el valor singular más grande de la matriz, también
conocido como la norma euclidiana de la matriz. Por ejemplo,

Página 11-9

Descomposición de valor singular
Para entender la operación de la función SNRM, necesitamos introducir el
concepto de la descomposición de la matriz. Básicamente, la
descomposición de la matriz implica la determinación de dos o más
matrices que, cuando están multiplicadas en cierta orden (y, quizás, con
cierta inversión o transposición de la matriz incluida), producen la matriz
original. La descomposición de valor singular (inglés, Singular Value
Decomposition, SVD) es tal que una matriz rectangular Am×n se escribe
como
Am×n = Um×m ⋅Sm×n ⋅V Tn×n,
En la cual U y V son matrices ortogonales, y S es una matriz diagonal. Los
elementos diagonales de S se llaman los valores singulares de A y se
ordenan generalmente de manera que si ≥ si+1, para i = 1, 2, …, n-1. Las
columnas [uj] de U y [vj] de V son los vectores singulares correspondientes.
(Las matrices ortogonales son tales que U⋅ UT = I. Una matriz diagonal
tiene elementos diferentes a cero solamente a lo largo de su diagonal
principal).
El rango de una matriz se puede determinar de su SVD contando el número
de valores no singulares. Los ejemplos de SVD serán presentados en una
sección subsiguiente.

Funciones RNRM y CNRM

Función RNRM produce la norma de fila (inglés, Row NoRM) de una matriz,
mientras que la función CNRM produce la norma de columna (Column NoRM)
de una matriz. Ejemplos,

Página 11-10

Norma de fila y norma de columna de una matriz
La norma de fila de una matriz es calculada tomando las sumas de los
valores absolutos de todos los elementos en cada fila, y entonces,
seleccionando el máximo de estas sumas. La norma de columna de una
matriz es calculada tomando las sumas de los valores absolutos de todos los
elementos en cada columna, y entonces, seleccionando el máximo de estas
sumas.

Función SRAD

Función SRAD determina el radio espectral (inglés, Spectral RADius) de una
matriz, definido como el más grande de los valores absolutos de sus valores
propios. Por ejemplo,

Definición de valores propios y vectores propios de una matriz
Los valores propios de una matriz cuadrada resultan de la ecuación matricial
A⋅x = λ⋅x. Los valores de λ que satisfacen la ecuación se conoce como los
valores propios de la matriz A. Los valores de x ese resultado de la
ecuación para cada valor de λ se conocen como los vectores propios de la
matriz. Otros detalles sobre valores propios y vectores propios se presentan
más adelante en el capítulo.

Función COND

Función COND determina el número de condición de una matriz. Ejemplos,

Página 11-11

Número de condición de una matriz
El número de la condición de una matriz no singular cuadrada se define
como el producto de la norma de la matriz con la norma de su inversa, es
Elegiremos como la norma de la
decir, cond(A) = ||A||×||A-1||.
matriz, ||A||, el máximo de su norma de fila (RNRM) y su norma de
columna (CNRM), mientras que la norma de la inversa, ||A-1||, será
seleccionada como el mínimo de su norma de fila y su norma de columna.
Así,

||A|| = max(RNRM(A),CNRM(A)), y ||A-1|| = min(RNRM(A-1),

CNRM(A-1)).
El número de condición de una matriz singular es infinito. El número de
condición de una matriz no singular es una medida de cuán cercana la
matriz está a ser singular. Cuanto más grande es el valor del número de
condición, más cercano está la matriz a la singularidad. (La matriz singular
de A es una para la cual la inversa no existe).
Intente el ejercicio siguiente para el número de condición de la matriz en matriz
A33. El número de la condición es COND(A33) , la norma de fila, y la norma
de columna para A33 se muestra a la izquierda.
Los números
correspondientes para la matriz inversa, INV(A33), se muestran a la derecha:

Dado que RNRM(A33) > CNRM(A33), se toma ||A33|| = RNRM(A33) =
21. También, dado que CNRM(INV(A33)) < RNRM(INV(A33)), tomaremos
||INV(A33)|| = CNRM(INV(A33)) = 0.261044... Así, el número de la
condición también se calcula como
CNRM(A33)*CNRM(INV(A33)) = COND(A33) = 6.7871485…

Página 11-12

Función RANK

Función RANK determina el rango de una matriz cuadrada. Intente los
ejemplos siguientes:

El rango de una matriz
El rango de una matriz cuadrada es el número máximo de las filas o de las
columnas linealmente independientes que la matriz contiene. Suponga que
usted escribe una matriz cuadrada An×n como A = [c1 c2 … cn], en la cual
ci (i = 1, 2, …, n) son vectores que representan las columnas de la matriz A,
entonces, si cualquiera de esas columnas, digamos ck, puede ser escrita
como

ck =

∑d

⋅c j,

j
j ≠ k , j∈{1, 2 ,..., n}

donde los valores dj son constantes, decimos que ck es linealmente
dependiente de las columnas incluidas en la adición. (Note que los valores
de j incluyen cualquier valor en el conjunto {1, 2, …, n}, en cualquier
combinación, siempre que j≠k.) Si la expresión demostrada arriba no se
puede escribir para cualesquiera de los vectores de la columna entonces
decimos que todas las columnas son linealmente independientes.
Una
definición similar para la independencia lineal de filas puede ser
desarrollada escribiendo la matriz como una columna de vectores fila. Así,
si encontramos que rank(A) = n, entonces la matriz tiene una inversa y es
una matriz no singular. Si, por otra parte, rank(A) < n, entonces la matriz es
singular y su inversa no existe.

Página 11-13

Por ejemplo, intente encontrar el rango de la matriz:

Se encontrará que el rango es 2. Esto es porque la segunda fila [2,4,6] es igual
a la primera fila [1,2,3] multiplicada por 2, así, la fila dos es linealmente
dependiente de la fila 1 y el número máximo de filas linealmente
independientes es 2. Usted puede comprobar que el número máximo de
columnas linealmente independientes es 3. El rango, que es el número máximo
de filas o columnas linealmente independientes, se convierte en 2 para este
caso.

Función DET

La función DET se utiliza para calcular el determinante de una matriz cuadrada.
Por ejemplo,

El determinante de una matriz
El determinante de una matriz 2x2 y de una matriz 3x3 se representa por el
mismo arreglo de los elementos de las matrices, pero incluido entre las
líneas verticales, es decir,

a11

a12

a 21

a 22

,

a11

a12

a13

a 21
a31

a 22
a32

a 23
a33

Página 11-14

Un determinante 2x2 es calculado multiplicando los elementos en su
diagonal y agregando esos productos acompañados por un signo positivo o
negativo según lo indicado en el diagrama siguiente:

El determinante 2×2 es, por lo tanto,

a11

a12

a 21

a 22

= a11 ⋅ a 22 − a12 ⋅ a 21

Un determinante 3×3 es calculado aumentando el determinante, una
operación que consista en copiar las primeras dos columnas del
determinante, y colocarlas a la derecha de la columna 3, según lo
demostrado en el diagrama siguiente. El diagrama también muestra los
elementos que se multiplicarán con el signo correspondiente adjunto al
producto, de manera similar a lo hecho anteriormente para un determinante
2×2. Después de la multiplicación los resultados se agregan para obtener el
determinante.

Página 11-15

Para las matrices cuadradas de una orden mayor, los determinantes pueden
ser calculados usando determinantes de una orden menor, llamados
cofactores. La idea general es "ampliar" el determinante de una matriz n×n
(también designado un determinante n×n) en una suma de los cofactores,
que son los determinantes (n-1)×(n-1), multiplicado por los elementos de una
sola fila o columna, con signos positivos y negativos alternados. . Esta
"extensión" entonces se lleva al nivel (más bajo) siguiente, con los cofactores
de orden (n-2)×(n-2), y así sucesivamente, hasta terminar solamente con una
larga suma de determinantes 2×2. Los determinantes 2×2 entonces se
calculan con el método demostrado anteriormente.
El método de calcular un determinante por su expansión en cofactores es
muy ineficiente en el sentido que implica un número de operaciones que
crece muy rápido a medida que aumenta el tamaño de los determinantes.
Un método más eficiente, y el que se prefiere en aplicaciones numéricas, es
utilizar un resultado de la eliminación gaussiana. El método de eliminación
gaussiana se utiliza para solucionar los sistemas de ecuaciones lineares. Los
detalles de este método se presentan más adelante este capítulo.
Para referirnos al determinante de una matriz A, escribiremos det(A). Una
matriz singular tiene un igual determinante a cero.

Función TRACE

La función TRACE se utiliza para calcular la traza de una matriz cuadrada,
definida como la suma de los elementos en la diagonal principal, o sea,
n

tr (A ) = ∑ aii
i =1

.

Ejemplos:

Página 11-16

Función TRAN

Función TRAN produce la transpuesta de una matriz real o la conjugada
transpuesta de una matriz compleja. TRAN es similar a TRN. La operación de
la función TRN fue presentada en el capítulo 10.

Operaciones adicionales con matrices (El menú OPER)

El menú OPER (OPERATIONS) está disponible con las teclas „Ø
(bandera de sistema 117 fija a CHOOSE boxes):

El menú OPERATIONS incluye las funciones siguientes:

Funciones ABS, CNRM, COND, DET, RANK, RNRM, SNRM, TRACE, y TRAN
también se encuentran en el menú MTH/MATRIX/NORM (el tema de la
sección anterior). La función SIZE fue presentada en el capítulo 10. La función
HADAMARD fue presentada anteriormente en el contexto de multiplicación de
matrices. Las funciones LSQ , MAD y RSD se relacionan con la solución de los

Página 11-17

sistemas de ecuaciones lineares y será presentado en una sección subsiguiente
en este capítulo. En esta sección discutiremos solamente las funciones AXL y
AXM.

Función AXL

Función AXL convierte un arreglo (matriz) a una lista, y viceversa. Por ejemplo,

Nota: la última operación es similar a la del programa CRMR presentado en
el capítulo 10.

Función AXM

Función AXM convierte un arreglo que contiene elementos enteros o fracciones
a su forma decimal, o aproximada, correspondiente. Por ejemplo,

Función LCXM

Función LCXM se pueden utilizar para generar matrices tales que el elemento
aij es una función de i y j. La entrada a esta función consiste en dos números
enteros, n y m, representando el número de filas y de columnas de la matriz
que se generará, y un programa que toma i y j como entrada. Los números n,
m, y el programa ocuparán los niveles 3, 2, y 1, de la pantalla,
respectivamente (modo RPN). La función LCXM es accesible a través del
catálogo de funciones ‚N.

Página 11-18

Por ejemplo, para generar una matriz 2×3 cuyos elementos se dan como aij =
(i+j)2, primero, almacene el programa siguiente en la variable P1, en modo
RPN. Ésta es la manera que la pantalla de RPN luce antes de presionar K.

La puesta en práctica de la función LCXM para este caso requiere escribir:
2`3`‚@@P1@@ LCXM `
La figura siguiente muestra la pantalla RPN antes y después de aplicar la
función LCXM:

En modo ALG, este ejemplo se obtiene usando:

El programa P1 debe haber sido creado y almacenado en modo RPN.

Solución de sistemas lineales

Un sistema de n ecuaciones lineales en m variables puede escribirse de la
siguiente manera:
a11⋅x1 + a12⋅x2 + a13⋅x3 + …+ a1,m-1⋅x m-1 + a1,m⋅x m = b1,
a21⋅x1 + a22⋅x2 + a23⋅x3 + …+ a2,m-1⋅x m-1 + a2,m⋅x m = b2,
a31⋅x1 + a32⋅x2 + a33⋅x3 + …+ a3,m-1⋅x m-1 + a3,m⋅x m = b3,
.
.
.
…
.
.
.
an-1,1⋅x1 + an-1,2⋅x2 + an-1,3⋅x3 + …+ an-1,m-1⋅x m-1 + an-1,m⋅x m = bn-1,

Página 11-19

an1⋅x1 + an2⋅x2 + an3⋅x3 + …+ an,m-1⋅x m-1 + an,m⋅x m = bn.
Este sistema de ecuaciones lineales puede escribirse como una ecuación
matricial, An×m⋅xm×1 = bn×1, si se definen los siguientes matriz y vectores:

⎡ a11
⎢a
A = ⎢ 21
⎢ M
⎢
⎣an1

a12 L a1m ⎤
⎡ x1 ⎤
⎡ b1 ⎤
⎥
⎥
⎢
⎢b ⎥
a22 L a2 m ⎥
x2 ⎥
⎢
x=
b = ⎢ 2⎥
⎢M⎥
⎢M⎥
M O M ⎥
⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
an 2 L anm ⎦ n×m
⎣ xm ⎦ m×1 ,
⎣bn ⎦ n×1
,

Utilizando la solución numérica de sistemas lineales

Existen muchas formas de resolver un sistema de ecuaciones lineales con la
calculadora. Por ejemplo, uno puede utilizar el menú de soluciones numéricas
‚Ï. Selecciónese la opción 4. Solve lin sys.. en la lista de soluciones
numéricas (figura de la izquierda) y presiónese la tecla @@@OK@@@. La siguiente
forma interactiva (figura de la derecha) será producida:

para resolver el sistema lineal A⋅x = b, escríbase la matriz A, utilizando el
formato [[ a11, a12, … ], … [….]] en la opción A: de la forma interactiva. Así
mismo, escríbase el vector b en la opción B: de la forma interactiva. Cuando
se seleccione la opción X:, presiónese la tecla @SOLVE. Si existe una solución e
vector solución x se mostrará en la opción X: de la forma interactiva. La
solución se reproduce también en la pantalla normal. Algunos ejemplos se
muestran a continuación.
Un sistema cuadrado
El sistema de ecuaciones lineales
2x1 + 3x2 –5x3 = 13,

Página 11-20

x1 – 3x2 + 8x3 = -13,
2x1 – 2x2 + 4x3 = -6,
puede escribirse como la ecuación matricial A⋅x = b, si se usa:

⎡ x1 ⎤
⎡2 3 − 5⎤
⎥
⎢
A = ⎢1 − 3 8 ⎥, x = ⎢⎢ x 2 ⎥⎥, and
⎢⎣ x3 ⎥⎦
⎢⎣2 − 2 4 ⎥⎦

⎡ 13 ⎤
b = ⎢⎢− 13⎥⎥.
⎢⎣ − 6 ⎥⎦

Este sistema tiene el mismo número de ecuaciones e incógnitas, y se conoce
como un sistema cuadrado. En general, habrá una solución única del sistema.
La solución representa la intersección de los tres planos representados por las
ecuaciones lineales en el sistema de coordenadas (x1, x2, x3).
Para escribir la matriz A uno puede activar el escritor de matrices cuando el
cursor se encuentra en la opción A: de la forma interactiva. La siguiente
pantalla muestra el escritor de matrices utilizado para escribir la matriz A, así
como la forma interactiva de la solución después de escribir la matriz A
(presiónese ` en el escritor de matrices para retornar a la forma interactiva):

Presiónese la tecla ˜ para seleccionar la opción B: en la forma interactiva.
El vector b puede escribirse como un vector file con un solo par de corchetes,
es decir, [13,-13,-6] @@@OK@@@ .
Después de escribir la matriz A y el vector b, selecciónese la opción X:, y
presiónese la tecla @SOLVE! para obtener una solución para este sistema de
ecuaciones:

Página 11-21

La solución del sistema se muestra a continuación.

Para ver la solución en la pantalla presione `. La solución es x = [1,2,-1].

Para comprobar que la solución esté correcta, escriba la matriz A y multiplicar
por el vector solución (ejemplo en modo algebraico):

Sistema sub-determinado
El sistema de ecuaciones lineares
2x1 + 3x2 –5x3 = -10,
x1 – 3x2 + 8x3 = 85,
puede ser escrito como la ecuación matricial A⋅x = b, si

Página 11-22

⎡ x1 ⎤
⎡ 2 3 − 5⎤
A=⎢
, x = ⎢⎢ x 2 ⎥⎥,
⎥
⎣1 − 3 8 ⎦
⎢⎣ x3 ⎥⎦

⎡− 10⎤
y b=⎢
⎥.
⎣ 85 ⎦

Este sistema tiene más incógnitas que ecuaciones, por lo tanto, no se
determinan únicamente. Podemos visualizar el significado de esta declaración
conociendo que cada uno de las ecuaciones lineares representa un plano en el
sistema coordinado cartesiano tridimensional (x1, x2, x3). La solución al
sistema de las ecuaciones mostrado anteriormente será la intersección de dos
planos en el espacio. Sabemos, sin embargo, que la intersección de dos
planos (no paralelos) es una línea recta, y no un solo punto. Por lo tanto, hay
más de un punto que satisface el sistema. En ese sentido, el sistema no se
determina únicamente.
Utilicemos las soluciones numéricas para procurar una solución a este sistema
de ecuaciones: ‚Ï ˜˜˜ @@OK@@ . Escriba la matriz A y el vector b
según lo ilustrado en el ejemplo anterior, y presione @SOLVE cuando la localidad
X: se destaca:

Para ver los detalles del vector de la solución, de ser necesario, presione @EDIT!
. Esto activará el escritor de ecuaciones. Dentro de este ambiente, utilizar las
teclas direccionales (flechas) horizontales para moverse en el vector, por
ejemplo,

Página 11-23

Así, la solución es x = [15.373, 2.4626, 9.6268].
Para volver al ambiente numérico de las soluciones, presionar `.
El procedimiento que describimos siguiente se puede utilizar para copiar la
matriz A y el vector X de la solución en la pantalla. Para comprobar que la
solución esté correcta, intentar el siguiente:
•
•
•
•
•

Presione
Presione
Presione
Presione
Presione
Presione

——, para destacar A:
L @CALC@ `, para copiar la matriz A a la pantalla.
@@@OK@@@ para volver al ambiente de soluciones numéricas.
˜ ˜@CALC@ `, para copiar la solución X a la pantalla.
@@@OK@@@ para volver al ambiente numérico de las soluciones.
` para volver a la pantalla.

En modo de ALG, la pantalla ahora lucirá así:

Página 11-24

Dejar nos almacenar el resultado último en una variable X, y la matriz en la
variable A, como sigue:
Presione K~x` para almacenar el vector solución en variable X
Presione ƒ ƒ ƒ para eliminar tres niveles de la pantalla
Presione K~a` para almacenar la matriz en la variable A
Ahora, verifique la solución usando: @@@A@@@ * @@@X@@@ `, qué resulta en:
(Presione ˜ para ver los elementos del vector): [-9.99999999992 85.],
bastante cercano al vector original b = [-10 85].
Intento también esto, @@A@@@ * [15,10/3,10] ` ‚ï`, i.e.,

Este resultado indica que x = [15,10/3,10] es también una solución al
sistema, confirmando nuestra observación que un sistema con más incógnitas
que ecuaciones no está determinado únicamente (sub-determinado).
Cómo hace la calculadora para obtener la solución x = [15.37… 2.46…
9.62…] mostrada anteriormente? Realmente, la calculadora reduce al mínimo
la distancia de un punto, que constituirá la solución, a cada uno de los planos
representados por las ecuaciones en el sistema linear. La calculadora utiliza un
método de mínimos cuadrados, es decir, reduce al mínimo la suma de los
cuadrados de esas distancias o errores.
Sistema sobre-determinado
El sistema de ecuaciones lineares
x1 + 3x2 = 15,
2x1 – 5x2 = 5,
-x1 + x2 = 22,

Página 11-25

puede ser escrito como la ecuación matricial A⋅x = b, si

3⎤
⎡1
⎡x ⎤
A = ⎢⎢ 2 − 5⎥⎥, x = ⎢ 1 ⎥, and
⎣ x2 ⎦
⎢⎣− 1 1 ⎥⎦

⎡15 ⎤
b = ⎢⎢ 5 ⎥⎥.
⎢⎣22⎥⎦

Este sistema tiene más ecuaciones que incógnitas (un sistema sobredeterminado). El sistema no tiene una sola solución única. Cada uno de las
ecuaciones lineares en el sistema presentado arriba representa una línea recta
en un sistema coordinado cartesiano de dos dimensiones (x1, x2).
A menos que dos de las tres ecuaciones en el sistema representen la misma
ecuación, las tres líneas tendrán más de un punto de intersección. Por esa
razón, la solución no es única. Algunos algoritmos numéricos se pueden utilizar
para forzar una “solución” al sistema reduciendo al mínimo la distancia del
punto presunto de la solución a cada una de las líneas en el sistema. Tal es
el proceso seguido por las soluciones numéricas de la calculadora.
Utilicemos las soluciones numéricas para procurar una solución a este sistema
de ecuaciones: ‚Ï ˜˜˜ @@OK@@ . Escriba la matriz A y el vector b
según como en el ejemplo anterior, y presione @SOLVE cuando la localidad X: es
seleccionada:

Para ver los detalles del vector de la solución, de ser necesario, presione @EDIT!
. Esto activará el Escritor de matrices. Dentro de este ambiente, use las teclas
direccionales horizontales para explorar el vector, por ejemplo.,

Página 11-26

Presione ` para volver al ambiente numérico de las soluciones. Para
comprobar que la solución esté correcta, intentar el siguiente:
•
•
•
•
•

Presione
Presione
Presione
Presione
Presione
Presione

——, para destacar A:
L @CALC@ `, para copiar la matriz A a la pantalla.
@@@OK@@@ para volver al ambiente de soluciones numéricas.
˜ ˜@CALC@ `, para copiar la solución X a la pantalla.
@@@OK@@@ para volver al ambiente numérico de las soluciones.
` para volver a la pantalla.

En modo de ALG, la pantalla ahora lucirá así:

Almacenemos el resultado último en una variable X, y la matriz en la variable
A, como sigue:
Presione K~x` para almacenar el vector de solución en variable X
Presione ƒ ƒ ƒ para eliminar tres niveles de la pantalla
Presione K~a` para almacenar la matriz en variable A

Página 11-27

Ahora, verifiquemos la solución usando: @@@A@@@ * @@@X@@@ `, qué resulta en el
vector [8.6917… -3.4109… -1.1301…], el cuál no es igual [15 5 22], el
vector original b. La "solución" es simplemente el punto que está más cercano
a las tres líneas representadas por las tres ecuaciones en el sistema, y no una
solución exacta.

Solución de mínimos cuadrados (Función LSQ)

La función LSQ (inglés, Least SQuare, o mínimos cuadrados) produce la
solución de mínimos cuadrados minimizando la norma de un sistema linear Ax
= b, según los criterios siguientes:
•

•

•

Si A es una matriz cuadrada y A es no singular (es decir, la matriz
inversa existe, o su determinante es diferente de cero), LSQ produce la
solución exacta al sistema linear.
Si A tiene menos que el rango de fila completo (sistema de ecuaciones
sub-determinado), LSQ produce la solución con la longitud euclidiana
mínima de un número infinito de soluciones.
Si A tiene menos que el rango de columna completo (sistema sobredeterminado de ecuaciones), LSQ produce la "solución" con el valor
residual mínimo e = A⋅x – b. El sistema de ecuaciones puede no
tener una solución, por lo tanto, el valor producido no es una solución
verdadera al sistema, sino una con el residuo más pequeño.

La función LSQ tomo como entradas el vector b y la matriz A, en ese orden. La
función LSQ puede ser encontrada en el catálogo de funciones (‚N).
Después, utilizamos la función LSQ para repetir las soluciones encontradas
anteriores con las soluciones numéricas:
Sistema cuadrado
Considere el sistema
2x1 + 3x2 –5x3 = 13,
x1 – 3x2 + 8x3 = -13,
2x1 – 2x2 + 4x3 = -6,

Página 11-28

con

⎡2 3 − 5⎤
⎡ x1 ⎤
A = ⎢⎢1 − 3 8 ⎥⎥, x = ⎢⎢ x2 ⎥⎥, and
⎢⎣2 − 2 4 ⎥⎦
⎢⎣ x3 ⎥⎦

⎡ 13 ⎤
b = ⎢⎢− 13⎥⎥.
⎢⎣ − 6 ⎥⎦

La solución que usa LSQ se muestra aquí:

Sistema sub-determinado
Considere el sistema
2x1 + 3x2 –5x3 = -10,
x1 – 3x2 + 8x3 = 85,
con

⎡ x1 ⎤
⎡ 2 3 − 5⎤
A=⎢
, x = ⎢⎢ x 2 ⎥⎥, and
⎥
⎣1 − 3 8 ⎦
⎢⎣ x3 ⎥⎦

⎡− 10⎤
b=⎢
⎥.
⎣ 85 ⎦

La solución usando LSQ se muestra aquí:

Sistema sobre-determinado
Considere el sistema
x1 + 3x2 = 15,
2x1 – 5x2 = 5,

Página 11-29

-x1 + x2 = 22,
con

3⎤
⎡1
⎡x ⎤
A = ⎢⎢ 2 − 5⎥⎥, x = ⎢ 1 ⎥, and
⎣ x2 ⎦
⎢⎣− 1 1 ⎥⎦

⎡15 ⎤
b = ⎢⎢ 5 ⎥⎥.
⎢⎣22⎥⎦

La solución usando LSQ se muestra a continuación:

Comparar estas tres soluciones con las que esta' calculadas con las soluciones
numéricas.

Solución utilizando la matriz inversa

La solución del sistema A⋅x = b, en el cual A es una matriz cuadrada, se
obtiene utilizando x = A-1⋅ b.

Esto resulta de multiplicar la primera ecuación

por A-1, es decir, A-1⋅A⋅x = A-1⋅b. Por definición, A-1⋅A = I, así escribimos I⋅x
= A-1⋅b. Así mismo, I⋅x = x, así, tenemos, x = A-1⋅ b.
Por el ejemplo usado anterior, a saber,
2x1 + 3x2 –5x3 = 13,
x1 – 3x2 + 8x3 = -13,
2x1 – 2x2 + 4x3 = -6,
podemos encontrar la solución en la calculadora como sigue:

Página 11-30

el cuál es el mismo resultado encontrado anteriormente.

Solución a través de “división” de matrices

Si bien la operación de división de matrices no está definida, es posible utilizar
la tecla / de la calculadora para “dividir” el vector b por la matriz A con el
propósito de determinar x en la ecuación matricial A⋅x = b. . Ésta es una
extensión arbitraria de la operación algebraica de la división a las matrices, es
decir, a partir de A⋅x = b, nos atrevemos a escribir x = b/A (Los matemáticos
se desmayarían si ven esto!) Esto, por supuesto, se interpreta como (1/A)⋅b =
A-1⋅b, cuál está igual que usar la matriz A como en la sección anterior. El
procedimiento para la “división” de b sobre A se ilustra a continuación para el
caso
2x1 + 3x2 –5x3 = 13,
x1 – 3x2 + 8x3 = -13,
2x1 – 2x2 + 4x3 = -6,
El procedimiento se demuestra en las siguientes pantallas:

La misma solución según lo encontrado arriba con la matriz inversa.

Página 11-31

Múltiples sistemas con la misma matriz de coeficientes

Suponer que usted desea solucionar los tres sistemas siguientes de ecuaciones:
X +2Y+3Z = 14, 2X +4Y+6Z = 9,
2X +4Y+6Z = -2,
3X -2Y+ Z = 2, 3X -2Y+ Z = -5,
3X -2Y+ Z = 2,
4X +2Y -Z = 5, 4X +2Y -Z = 19,
4X +2Y -Z = 12.
Podemos escribir los tres sistemas de ecuaciones como sola ecuación de la
matriz: A⋅X = B, en la cual

⎡ X (1)
3⎤
⎡1 2
⎢
A = ⎢⎢3 − 2 1 ⎥⎥, X = ⎢ Y(1)
⎢ Z (1)
⎢⎣4 2 − 1⎥⎦
⎣

X ( 2)
Y( 2 )
Z ( 2)

X ( 3) ⎤
⎥
Y( 3) ⎥,
Z ( 3) ⎥⎦

⎡14 9 − 2⎤
B = ⎢⎢ 2 − 5 2 ⎥⎥.
⎢⎣ 5 19 12 ⎥⎦
Los subíndices en los nombres de las variables X, Y, y Z, determinar a qué
sistema de la ecuación se refieren. Para solucionar este sistema ampliado
utilizamos el procedimiento siguiente, en modo de RPN,
[[14,9,-2],[2,-5,2],[5,19,12]] `
[[1,2,3],[3,-2,1],[4,2,-1]] `/
El resultado de esta operación es:

2⎤
⎡1 2
⎢
1 ⎥⎥.
X = ⎢2 5
⎢⎣3 − 1 − 2⎥⎦

Página 11-32

Eliminación gaussiana y de Gauss-Jordan
La eliminación gaussian es un procedimiento por el cual la matriz cuadrada de
los coeficientes que pertenecen a un sistema de n ecuaciones lineares de n
incógnitas se reduce a una matriz triangular superior (inglés, echelon form) con
una serie de operaciones de filas. Este procedimiento se conoce como
eliminación hacia adelante. La reducción de la matriz del coeficiente a una
forma superior-triangular permite la solución de las n incógnitas, utilizando
solamente una ecuación a la vez, en un procedimiento conocido como al
substitución hacia atrás.
Ejemplo de la eliminación gaussiana usando ecuaciones
Para ilustrar el procedimiento de la eliminación gaussiana utilizaremos el
sistema siguiente de 3 ecuaciones en 3 incógnitas:
2X +4Y+6Z = 14,
3X -2Y+ Z = -3,
4X +2Y -Z = -4.
Podemos almacenar estas ecuaciones en la calculadora en las variables E1,
E2, y E3, respectivamente, según lo demostrado abajo. Para los propósitos de
reserva, una lista que contiene las tres ecuaciones también fue creada y
almacenada en la variable EQS. De esta manera, si se incurre en una
equivocación, las ecuaciones todavía estará disponible para el usuario.

Para comenzar el proceso de la eliminación hacia adelante, dividimos la
primera ecuación (E1) por 2, y la almacenamos en E1, y mostramos las tres
ecuaciones otra vez:

Página 11-33

Después, substituimos la segunda ecuación E2 con (ecuación 2 – 3×ecuación
1, i.e., E1-3×E2), y la tercera por (ecuación 3 – 4×ecuación 1), para obtener

Después, dividir la segunda ecuación por –8, para obtener

Después, sustituir la tercera ecuación, E3, con (ecuación 3 + 6×ecuación 2,
i.e., E2+6×E3), para obtener

Note que cuando realizamos una combinación linear de ecuaciones la
calculadora modifica el resultado a una expresión en el lado izquierdo del
igual, es decir, una expresión = 0. Así, el sistema pasado de ecuaciones se
interpreta como equivalente al siguiente conjunto de ecuaciones:
X +2Y+3Z = 7,
Y+ Z = 3,
-7Z = -14.
El proceso de la substitución hacia atrás en la eliminación gaussian consiste en
encontrar los valores de las incógnitas, partiendo de la última ecuación y
continuando con la solución hacia arriba. Así, calculamos Z primero

Página 11-34

Después, substituimos Z=2 en la ecuación 2 (E2), y, a partir de E2, calculamos
Y:

Después, substituimos Z=2 y Y = 1 en E1, y, a partir de E1, calculamos X:

La solución es, por lo tanto, X = -1, Y = 1, Z = 2.
Ejemplo de eliminación gaussiana utilizando matrices
El sistema de ecuaciones usadas en el ejemplo anterior se puede escribir como
la ecuación matricial A⋅x = b, si utilizamos:

6⎞
⎡X ⎤
⎡ 14 ⎤
⎛2 4
⎜
⎟
⎢
⎥
A = ⎜ 3 − 2 1 ⎟, x = ⎢ Y ⎥, b = ⎢⎢ − 3⎥⎥.
⎜ 4 2 − 1⎟
⎢⎣ Z ⎥⎦
⎢⎣− 4⎥⎦
⎝
⎠
Para obtener una solución a la ecuación matricial usando la eliminación
gaussiana, primero creamos lo qué se conoce como la matriz aumentada que
corresponde a A, i.e.,

Página 11-35

A aug

⎛2 4
6 14 ⎞
⎜
⎟
= ⎜ 3 − 2 1 − 3⎟
⎜ 4 2 −1 − 4⎟
⎝
⎠

La matriz Aaug está igual que la matriz original A con una nueva columna,
correspondiendo a los elementos del vector b, adicionado (i.e., aumentado) a
la derecha de la última columna de A.
Una vez que se produzca la matriz aumentada, podemos proceder a realizar
operaciones de filas en ella que reduzca la matriz original A a una matriz
superior-triangular. Para este ejercicio, utilizaremos el modo RPN (H \
@@OK@@), con la bandera del sistema 117 fija a SOFT menu. En su calculadora,
utilice las teclas siguientes. Primero, escriba la matriz aumentada, y haga una
copia adicional en la pantalla (este paso no es necesario, excepto como
garantía de que usted tiene una copia adicional de la matriz aumentada en
caso de que usted incurra en una equivocación en el procedimiento que
estamos a punto de emprender.):
[[2,4,6,14],[3,-2,1,-3],[4,2,-1,-4]] ``
Almacene la matriz aumentada en AAUG: ³~~aaug~ K
Con una copia de la matriz aumentada en la pantalla, presione „´
@MATRX! @ROW! para activar el menú de operaciones de fila (ROW). Después,
realizar las operaciones siguientes de la fila en su matriz aumentada.
Multiplicar la fila 1 por ½: 2Y 1 @RCI!
Multiplicar la fila 1 por -3 y agregar resultado a la fila 2, substituyéndola:
3\ # 1 #2 @RCIJ!
Multiplicar la fila 1 por -4, agregar resultado a la fila 3, substituyéndola:
4\#1#3@RCIJ!

Página 11-36

Multiplicar la fila 2 por –1/8: 8\Y2 @RCI!
Multiplicar la fila 2 por 6, agregando resultado a la fila 3, substituyéndola:
6#2#3 @RCIJ!
Si usted realizara estas operaciones a mano, usted escribiría lo siguiente:

A aug

A aug

⎛2 4
6 14 ⎞ ⎛ 1 2
3 7 ⎞
⎜
⎟ ⎜
⎟
= ⎜ 3 − 2 1 − 3⎟ ≅ ⎜ 3 − 2 1 − 3⎟
⎜ 4 2 −1 − 4⎟ ⎜ 4 2 −1 − 4⎟
⎝
⎠ ⎝
⎠

⎛1 2
3
7 ⎞ ⎛1 2
3
7 ⎞
⎜
⎟ ⎜
⎟
≅ ⎜ 0 − 8 − 8 − 24 ⎟ ≅ ⎜ 0 1
1
3 ⎟
⎜ 0 − 6 − 13 − 32 ⎟ ⎜ 0 − 6 − 13 − 32 ⎟
⎝
⎠ ⎝
⎠
A aug

⎛1 2 3 7 ⎞
⎜
⎟
≅ ⎜0 1 1 3 ⎟
⎜ 0 0 − 7 − 14 ⎟
⎝
⎠

El símbolo ≅ (“es equivalente a”) indica que lo qué sigue es equivalente a la
matriz anterior con algunas operaciones de la fila (o columna) implicadas.
La matriz que resulta es superior-triangular, y equivalente al sistema de
ecuaciones
X +2Y+3Z = 7,
Y+ Z = 3,
-7Z = -14,
cuál puede ahora ser solucionado, una ecuación a la vez, por la substitución
posterior, como en el ejemplo anterior.

Página 11-37

Eliminación de Gauss-Jordan usando matrices
La eliminación de Gauss-Jordan consiste en la continuación de las operaciones
de fila en la matriz superior-triangular que resulta del proceso de eliminación
hacia adelante que una matriz identidad ocupa el lugar de la matriz original
A. Por ejemplo, para el caso que acabamos de presentar, nosotros podemos
continuar las operaciones de filas como sigue:
Multiplicar la fila 3 por –1/7: 7\Y 3 @RCI!
Multiplicar la fila 3 por -1, agregarla a la fila 2, substituyéndola: 1\
# 3 #2 @RCIJ!
Multiplicar la fila 3 por -3, agregarla a la fila 1, substituyéndola:
3\#3#1@RCIJ!
Multiplicar la fila 2 por -2, agregarla a la fila 1, substituyéndola:
2\#2#1 @RCIJ!
Escribir este proceso a mano dará lugar a los pasos siguientes:
⎛1 2 3
7 ⎞ ⎛ 1 2 3 7⎞ ⎛1 2 3 7⎞
⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟
3 ⎟ ≅ ⎜ 0 1 1 3⎟ ≅ ⎜ 0 1 0 1⎟
A aug = ⎜ 0 1 1
⎜ 0 0 − 7 − 14 ⎟ ⎜ 0 0 1 2 ⎟ ⎜ 0 0 1 2 ⎟
⎝
⎠ ⎝
⎠ ⎝
⎠

Aaug

⎛ 1 2 0 1 ⎞ ⎛ 1 0 0 − 1⎞
⎜
⎟ ⎜
⎟
≅ ⎜ 0 1 0 1 ⎟ ≅ ⎜ 0 1 0 1 ⎟.
⎜ 0 0 1 2⎟ ⎜ 0 0 1 2 ⎟
⎝
⎠ ⎝
⎠

Pivotes
Si usted mira cuidadosamente las operaciones de fila en los ejemplos
demostrados anteriormente, usted notará que muchas de esas operaciones
dividen una fila por su elemento correspondiente en la diagonal principal. Este
elemento se llama un elemento de pivote, o simplemente, un pivote. En muchas

Página 11-38

situaciones es posible que el elemento del pivote se convierte en cero, en cuyo
caso no podemos dividir la fila por su pivote. También, para mejorar la
solución numérica de un sistema de ecuaciones usando eliminación gaussian o
de Gauss-Jordan, se recomienda que el pivote sea el elemento con el valor
absoluto más grande de una columna dada. En tales casos, intercambiamos
filas antes de realizar operaciones de la fila. Este intercambio de filas se llama
pivoteo parcial.
Para seguir esta recomendación es a menudo necesario
intercambiar filas en la matriz aumentada mientras se realiza una eliminación
gaussian o de Gauss-Jordan.
Mientras que se efectúa el pivoteo en un procedimiento de eliminación
matricial, usted puede mejorar la solución numérica aún más seleccionando
como el pivote el elemento con el valor absoluto más grande de la columna y
de la fila de interés. Esta operación puede requerir el cambio no solamente de
filas, pero también columnas, en algunas operaciones de pivotes. Cuando se
permiten los intercambios de filas y de columnas en el pivoteo, el
procedimiento se conoce como por pivoteo completo.
Al intercambiar filas y columnas en pivoteo parcial o completo, es necesario no
perder de vista esos intercambios porque la orden de las incógnitas en la
solución es alterada por esos intercambios. Una forma de no perder de vista
intercambios de columna en modo de pivoteo parcial o completo, es crear una
matriz de permutación P = In×n, al principio del procedimiento. Cualquier
intercambio de filas o columnas requerido en la matriz aumentada Aaug
también se registra como un intercambio de fila o columna, respectivamente,
en la matriz de permutación.
Cuando se obtiene la solución, entonces,
multiplicamos la matriz de permutación por el vector incógnita x para obtener
el orden apropiado de las incógnitas en la solución. Es decir la solución final
se da por P⋅x = b’, en la cual b’ es la última columna de la matriz aumentada
después de que se haya encontrado la solución.
Ejemplo de la eliminación de Gauss-Jordan con pivoteo completo
Ilustremos el pivoteo completo con un ejemplo. Solucione el sistema siguiente
de ecuaciones usando pivoteo completo y el procedimiento de la eliminación
de Gauss-Jordania:

Página 11-39

X + 2Y + 3Z = 2,
2X +
3Z = -1,
8X +16Y- Z = 41.
La matriz aumentada y la matriz de permutación son las siguientes:

A aug

⎡1 2 3 2 ⎤
⎡1 0 0⎤
⎢
⎥
= ⎢2 0 3 − 1⎥, P = ⎢⎢0 1 0⎥⎥.
⎢⎣8 16 − 1 41⎥⎦
⎢⎣0 0 1⎥⎦

Almacene la matriz aumentada en la variable AAUG, entonces presione ‚
@AAUG para conseguir una copia en la pantalla. Deseamos mantener la función
CSWP (inglés, Column Swap, o intercambio de columnas) fácilmente
disponible, para lo cual utilizamos: ‚N~~cs~ (encontrar
CSWP), @@OK@@. Usted recibirá un mensaje de error, presione $, e ignore el
mensaje. Después, hacer el menú ROW (inglés, fila) disponible presionando:
„Ø @)CREAT @)@ROW@.
Estamos listos ahora a comenzar la eliminación de Gauss-Jordan con pivoteo
completo. Necesitaremos no perder de vista la matriz de la permutación, así
que anote la matriz P en papel.
Primero, comprobamos el pivote a11. Notamos que el elemento con el valor
absoluto más grande de la primera fila y de la primera columna es el valor a31
= 8. Puesto que quisiéramos que este número fuera el pivote, entonces
intercambiamos las filas 1 y 3, usando: 1#3L @RSWP. La matriz
aumentada y la matriz de permutación son ahora:
8
2
1

16
0
2

-1
3
3

41
-1
2

0 0 1
0 1 0
1 0 0

Comprobando el pivote en la posición (1,1) ahora encontramos que 16 es un
pivote mejor que 8, así, realizamos un intercambio de columnas como sigue:

Página 11-40

1#2‚N @@OK@@ @RSWP.
permutación son ahora:
16
0
2

8
2
1

-1
3
3

La matriz aumentada y la matriz de

41
-1
2

0 0 1
1 0 0
0 1 0

Ahora tenemos el valor posible más grande en la posición (1,1), es decir,
realizamos un pivoteo completo en (1,1). Después, procedemos a dividir por el
pivote:
16Y1L @RCI@ . La matriz de permutación no cambia, pero la
matriz aumentada ahora es:
1
0
2

1/2 -1/16 41/16
2
3
-1
1
3
2

0 0 1
1 0 0
0 1 0

El paso siguiente es eliminar el 2 de la posición (3,2) usando:
2\#1#3@RCIJ
1
0
0

1/2 -1/16 41/16
2
3
-1
0
25/8 -25/8

0
1
0

0
0
1

1
0
0

Habiendo llenado de ceros los elementos de la columna 1 debajo del pivote,
ahora procedemos a comprobar el pivote en la posición (2,2). Encontramos
que el número 3 en la posición (2,3) será un pivote mejor, así, nosotros
intercambiamos las columnas 2 y 3 usando: 2#3 ‚N@@@OK@@
1
0
0

-1/16
3
25/8

1/2
2
0

41/16
-1
-25/8

0
1
0

1
0
0

0
0
1

Página 11-41

Comprobando el pivote en la posición (2,2), ahora encontramos que el valor
de 25/8, en la posición (3,2), es más grande de 3. Así, intercambiamos las
filas 2 y 3 usando: 2#3 L@RSWP

1

-1/16

1/2 41/16

0

25/8

0

0

3

2

0

1

0

-25/8

0

0

1

-1

1

0

0

Ahora, estamos listos a dividir la fila 2 por el pivote 25/8, usando:
³ 8/25™#2 L @RCI
121

-1/16 1/2

41/16

0 1 0

0

1

0

-1

0 0 1

0

3

2

-1

1 0 0

Después, eliminamos el 3 de la posición (3,2) usando:
3\#2#3@RCIJ
1
0
0

-1/16 1/2
1
0
0
2

41/16
-1
2

0 1
0 0
1 0

0
1
0

Llenando de ceros la posición debajo del pivote, procedemos a comprobar el
pivote en la posición (3,3). El valor actual 2 es más grande que el ½ o 0, así
que no hacemos ningún intercambio. Dividimos, sin embargo, la tercera fila
entera por 2 para convertir el pivote a 1, usando: 2Y3@RCI
1
0
0

-1/16 1/2
1
0
0
1

41/16
-1
1

0 1 0
0 0 1
1 0 0

Página 11-42

Después, procedemos a eliminar el ½ en la posición (1,3) usando:
2 Y \#3#1@RCIJ
1
0
0

-1/16
1
0

0
0
1

33/16
-1
1

0
0
1

1
0
0

0
1
0

Finalmente, eliminamos el -1/16 de la posición (1,2) usando:
16 Y # 2#1@RCIJ
1
0
0

0
1
0

0
0
1

2
-1
1

0 1 0
0 0 1
1 0 0

Ahora tenemos una matriz identidad en la porción de la matriz aumentada que
corresponde a la matriz original de coeficientes A, así podemos proceder a
obtener la solución mientras llevando cuenta de los intercambios de filas y
columnas cifrados en la matriz de permutación P. Identificamos el vector
incógnita x, el vector independiente modificado b’ y la matriz de permutación
P como:

⎡X ⎤
⎡2⎤
⎡0 1 0 ⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
x = ⎢ Y ⎥, b' = ⎢− 1⎥, P = ⎢⎢0 0 1⎥⎥.
⎢⎣ Z ⎥⎦
⎢⎣ 1 ⎥⎦
⎢⎣1 0 0⎥⎦
La solución se da por P⋅x=b’, o

⎡0 1 0 ⎤ ⎡ X ⎤ ⎡ 3 ⎤
⎢0 0 1⎥ ⋅ ⎢ Y ⎥ = ⎢− 1⎥.
⎢
⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢⎣1 0 0⎥⎦ ⎢⎣ Z ⎥⎦ ⎢⎣ 1 ⎥⎦
Que resulta en:

Página 11-43

⎡Y ⎤ ⎡ 3 ⎤
⎢ Z ⎥ = ⎢− 1⎥.
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢⎣ X ⎥⎦ ⎢⎣ 1 ⎥⎦

Procedimiento paso a paso de la calculadora para solucionar
sistemas lineares

El ejemplo que acabamos de trabajar es, por supuesto, el procedimiento paso
a paso, dirigido por el usuario, para utilizar pivoteo completo para la solución
de la eliminación de Gauss-Jordan de los sistemas de ecuaciones lineares.
Usted puede ver el procedimiento paso a paso usado por la calculadora para
solucionar un sistema de ecuaciones, sin la intervención del usuario, fijando la
opción Step/Step en el CAS de la calculadora, como sigues:

Entonces, para este ejemplo particular, en modo RPN, use:
[2,-1,41] ` [[1,2,3],[2,0,3],[8,16,-1]] `/
La calculadora demuestra una matriz aumentada que consiste en la matriz de
los coeficientes A y la matriz identidad I, mientras que, en el mismo tiempo,
demostrando el procedimiento siguiente para calcular:

L2 = L2-2⋅L1 significa “sustituir la fila 2 (L2) con la operación L2 – 2⋅L1. Si
hubiéramos hecho esta operación a mano, habría correspondido a:

Página 11-44

2\#1#1@RCIJ. Presione @@@OK@@@, y siga las operaciones en la
pantalla de su calculadora. Usted verá las operaciones siguientes realizadas:
L3=L3-8⋅L1, L1 = 2⋅L1--1⋅L2, L1=25⋅L1--3⋅L3, L2 = 25⋅L2-3⋅L3,
y finalmente un mensaje indicando “Reduction result” (resultado de la
reducción) mostrando:

Cuando Ud. presione @@@OK@@@ , la calculadora produce el resultado final [1 2 –1].

Calculando la matriz inversa paso a paso
El cálculo de una matriz inversa se puede considerar como el calcular la
solución al sistema aumentado [A | I ]. Por ejemplo, para la matriz A utilizado
en el ejemplo anterior, escribiríamos esta matriz aumentada como:

A aug ( I )

⎡1 2
3 1 0 0⎤
⎢
⎥
= ⎢3 − 2 1 0 1 0⎥.
⎢⎣4 2 − 1 0 0 1⎥⎦

Para ver los pasos intermedios en el cálculo de la inversa, escriba la matriz A
anterior, y presione Y, mientras que se mantiene activa la opción paso a
paso (Step/Step) del CAS de la calculadora. Utilice lo siguiente:
[[ 1,2,3],[3,-2,1],[4,2,-1]] `Y
Después de observar los diversos pasos, la solución es:

Página 11-45

Lo qué la calculadora demostró no es exactamente una eliminación de GaussJordan con pivoteo completo, sino una manera de calcular la inversa de una
matriz realizando una eliminación de Gauss-Jordan, sin pivoteo. Este
procedimiento para calcular la inversa se basa en la matriz aumentada
(Aaug)n×n = [A n×n |In×n].
La calculadora le mostró que los pasos de la solución hasta el punto en el cual
la mitad izquierda de la matriz aumentada se ha convertido en una matriz
diagonal. De allí, el paso final es dividir cada fila por el pivote correspondiente
de la diagonal principal. Es decir la calculadora ha transformado (Aaug)n×n =
[A n×n |In×n], en [I |A-1].
Matrices inversas y determinantes
Notar que todos los elementos en la matriz inversa calculada arriba son
divididos por el valor 56 o uno de sus factores (28, 7, 8, 4 o 1). Si usted
calcula el determinante de la matriz A, usted consigue det(A) = 56.
Podríamos escribir, A-1 = C/det(A), en la cual C es la matriz

8
8⎤
⎡0
⎢
C = ⎢ 7 − 13 8 ⎥⎥.
− 8⎦⎥
⎣⎢14 6
El resultado (A-1)n×n = C n×n /det(A n×n), es un resultado general que se aplica
a cualquier matriz no singular A. Una forma general para los elementos de C
puede ser escrita basado en el algoritmo de Gauss-Jordan.
De acuerdo con la ecuación A-1 = C/det(A), bosquejado arriba, la matriz
inversa, A-1, no está definida si det(A) = 0. Así, la condición det(A) = 0 define
también una matriz singular.

Solución a los sistemas lineales usando funciones de la
calculadora

La manera más simple de solucionar un sistema de ecuaciones lineares, A⋅x =
b, en la calculadora consiste en escribir b, escribir A, y entonces utilizar la

Página 11-46

función de la división /.
Si el sistema de ecuaciones lineares es sobredeterminado o sub-determinado, una "solución" puede ser producida usando
la función LSQ (Least-SQuares), según lo demostrado anteriormente. La
calculadora, sin embargo, ofrece otras posibilidades de solucionar sistemas
lineares de ecuaciones usando las funciones incluidas en el sub-menú LINEAR
SYSTEMS.. del menú MATRICES accesible a través de „Ø(Fijar la
bandera 117 del sistema a CHOOSE boxes):

Las funciones incluidas son LINSOLVE, REF, rref, RREF, y SYST2MAT.
Función LINSOLVE
La función LINSOLVE toma como argumentos un arreglo de ecuaciones y un
vector que contiene los nombres de las incógnitas, y produce la solución al
sistema linear. Las pantallas siguientes muestran información y ejemplo
tomada de la función informativa del CAS. La pantalla lateral derecha
demuestra el resultado usando el editor de línea (presione ˜ para activarlo):

Aquí está otro ejemplo en modo de ALG. Escriba lo siguiente:
LINSOLVE([X-2*Y+Z=-8,2*X+Y-2*Z=6,5*X-2*Y+Z=-12],
[X,Y,Z])
para producir la solución: [X=-1,Y=2,Z = -3].

Página 11-47

La función LINSOLVE trabajos con expresiones simbólicas. Las funciones REF,
rref, y RREF, trabajan con la matriz aumentada en un procedimiento de
eliminación gaussiana.
Las funciones REF, rref, RREF
La forma triangular superior a la cual la matriz aumentada se reduce durante la
parte de eliminación de un procedimiento de eliminación gaussiana se conoce
como una forma de “escalera.” La función REF (Reduce to Echelon Form, o
reducir a forma de escalera) produce tal matriz dada la matriz aumentada en
el nivel 1 de la pantalla.
Considere la matriz aumentada,

A aug

⎡1 − 2 1 0 ⎤
⎢
⎥
= ⎢2 1 − 2 − 3⎥.
⎢⎣5 − 2 1 12 ⎥⎦

Representación de un sistema linear de ecuaciones, A⋅x = b, donde
A = [[1,-2,1],[2,1,-2],[5,-2,1]],
y
b = [[0],[-3],[12]].
Escriba la matriz aumentada, y almacénela en la variable AAUG, en modo
ALG:
[[1,-2,1,0],[2,1,-2,-3][5,-2,1,12]]  AAUG
La aplicación de la función REF produce:

El resultado es la matriz triangular superior (forma de escalera) de coeficientes
resultando de la eliminación en un procedimiento de eliminación gaussiana.

Página 11-48

La matriz diagonal que resulta de una eliminación de Gauss-Jordan se llama
una forma de escalera reducida por filas. La función RREF (Row-Reduced
Echelon Form) produce la forma de escalera reducida por filas para reducir la
matriz de coeficientes a una matriz identidad. La columna adicional en la
matriz aumentada contendrá la solución al sistema de ecuaciones.
Como ejemplo, demostramos el resultado de aplicar la función RREF a la matriz
AAUG en modo ALG:

El resultado es la matriz aumentada final resultando de una eliminación de
Gauss-Jordan sin pivoteo.
Una forma de escalera reducida por filas para una matriz aumentada puede
ser obtenido usando la función rref. Esta función produce una lista de los
pivotes y una matriz equivalente en forma de escalera reducida por filas para
reducir la matriz de coeficientes a una matriz diagonal.
Por ejemplo, para la matriz AAUG, la función rref produce:

La segunda pantalla arriba se obtiene activando el editor de línea (presione
˜). El resultado demuestra pivotes de 3, 1, 4, 1, 5, y 2, y una matriz
diagonal reducida.

Página 11-49

Función SYST2MAT
Esta función convierte un sistema de ecuaciones lineares en su matriz
aumentada equivalente. El ejemplo siguiente está disponible en la función
informativa de la calculadora:

El resultado es la matriz aumentada que corresponde al sistema de ecuaciones:
X+Y = 0
X-Y =2

Errores residuales en soluciones de sistemas lineales (Función
RSD)
La función RSD calcula los ReSiDuos o errores en la solución de la ecuación
matricial A⋅x=b, representando un sistema de n ecuaciones lineares con n
incógnitas.
Podemos pensar en solucionar este sistema como solucionar la
ecuación matricial: f(x) = b -A⋅x = 0. Suponga que, con un método
numérico, producimos como primera aproximación la solución x(0).
Evaluando f(x(0)) = b - A⋅x(0) = e ≠ 0. Así que, e es un vector de residuos de
la función para el vector x = x (0).
Para utilizar la función RSD usted necesita los términos b, A, y x(0), como
argumentos. El vector calculado es e = b - A⋅x(0). Por ejemplo, usando A =
[[2,-1][0,2]], x(0) = [1.8,2.7], y b = [1,6], podemos
encontrar el vector de residuos como sigue:

Página 11-50

El resultado es e = b - A⋅x(0) = [ 0.1 0.6 ].
Nota: Si el vector Δx = x – x (0), representa la corrección en los valores
de x (0), podemos escribir una nueva ecuación matricial para Δx, a saber,
A⋅Δx = e. Calculando Δx podemos encontrar la solución real del sistema
original como x = x(0) + Δx.

Valores propios y vectores propios

Dada una matriz cuadrada A, podemos escribir la ecuación del valor propio
A⋅x = λ⋅x, donde los valores λ que satisfacen la ecuación se conocen como
los valores propios de la matriz A. Para cada valor de λ, podemos encontrar,
de la misma ecuación, valores de x eso satisface la ecuación del valor propio.
Estos valores de x se conocen como los vectores propios de la matriz A. La
ecuación de los valores propios se puede escribir también como (A – λ⋅I)x = 0.
Esta ecuación tendrá una solución no trivial solamente si la matriz (A – λ⋅I) es
singular, es decir, si det(A – λ⋅I) = 0.
La ecuación anterior genera una ecuación algebraica que implica un
polinomio de orden n para una matriz cuadrada An×n. La ecuación que resulta
se conoce como el polinomio característico de la matriz A. La solución del
polinomio característico produce los valores propios de la matriz.
La calculadora proporciona un número de funciones que proveen información
con respecto a los valores propios y a los vectores propios de una matriz
cuadrada. Algunas de estas funciones están situadas bajo el menú MATRICES/
EIGEN activado con „Ø.

Página 11-51

Función PCAR
La función PCAR genera el polinomio característico de una matriz cuadrada
usando el contenido de la variable VX (una variable CAS reservada,
típicamente igual a ‘X’) como la incógnita en el polinomio. Por ejemplo,
incorpore la matriz siguiente en modo ALG y encuentre el polinomio
característico usando PCAR: [[1,5,-3],[2,-1,4], [3,5,2]]

Usando la variable λ representar valores propios, este polinomio característico
es interpretado como

λ 3-2λ 2-22λ +21=0.

Función EGVL
La función EGVL (EiGenVaLues) produce los valores propios de una matriz
cuadrada. Por ejemplo, los valores propios de la matriz demostrada abajo se
calculan en modo de ALG usando la función EGVL:

Página 11-52

Los valores propios son λ = [ -√10, √10 ].
Nota: En algunos casos, usted no puede poder encontrar una solución
‘exacta’ al polinomio característico, y la función EGVL produce, como
resultado, una lista vacía. Si sucede esto, cambie el modo de la calculadora
a Approx en el CAS, y repita el cálculo.
Por ejemplo, en modo exacto, el ejercicio siguiente produce una lista vacía
como la solución:

Cambie el modo a Approx y repita el ejercicio, para conseguir los valores
propios siguientes:
[(1.38,2.22),
(1.38,-2.22),
(1.76,0)].

Función EGV
La función EGV (inglés, EiGenValues and eigenvectors) produce los valores
propios y los vectores propios de una matriz cuadrada. Los vectores propios se
muestran como las columnas de una matriz, mientras que los valores propios
correspondientes son los componentes de un vector.
Por ejemplo, en modo ALG, los vectores propios y los valores propios de la
matriz enumerada abajo son encontrados aplicando la función EGV:

Página 11-53

El resultado demuestra los valores propios como columnas de la matriz en el
resultado. Para ver los valores propios podemos utilizar: GET(ANS(1),2), i.e.,
conseguir el segundo elemento en la lista en el resultado anterior. Los valores
propios son:

En resumen,
λ1 = 0.29, x1 = [ 1.00,0.79,–0.91]T,
λ2 = 3.16, x2 = [1.00,-0.51, 0.65] T,
λ3 = 7.54, x1 = [-0.03, 1.00, 0.84] T.
Nota: Una matriz simétrica tiene valores propios reales solamente, y sus
vectores propios son mutuamente perpendiculares. Para comprobar esto en
el ejemplo apenas resuelto, calcule x1 •x2 = 0, x1 •x3 = 0, y x2 •x3 = 0.

Función JORDAN
La función JORDAN se usa para producir la diagonalización o descomposición
de ciclo de Jordan de una matriz. En modo RPN, dada una matriz cuadrada
A, la función JORDAN produce cuatro salidas, a saber:
•
•
•
•

El polinomio del mínimo de la matriz A (nivel 4)
El polinomio característico de la matriz A (nivel 3)
Una lista con los vectores propios que corresponden a cada valor
propio de la matriz A (nivel 2)
Un vector con los vectores propios de la matriz A (nivel 1)

Página 11-54

Por ejemplo, intente este ejercicio en modo RPN:
[[4,1,-2],[1,2,-1],[-2,-1,0]]

JORDAN

La salida es la siguiente:
4: ‘X^3+-6*x^2+2*X+8’
3: ‘X^3+-6*x^2+2*X+8’
2: { }
1: { }
El mismo ejercicio, en modo ALG, se muestra en la siguientes pantallas:

Función MAD
Esta función, aunque no está disponible en el menú EIGEN, también
proporciona la información relacionada con los valores propios de una matriz.
La función MAD está disponible con el sub-menú MATRICES OPERATIONS
(„Ø) y se piensa producir la matriz adjunta de una matriz. En modo
RPN, la función MAD generar un número de características de una matriz
cuadrada, a saber:
•
•
•
•

el determinante (nivel 4)
la inversa formal (nivel 3),
en nivel 2, los coeficientes del polinomio de la matriz (x) definido por
(x⋅I-A) ⋅p(x)=m(x)⋅I,
el polinomio característico de la matriz (nivel 1)

Note que la ecuación (x⋅I-A)⋅p(x)=m(x)⋅I es similar, en forma, a la ecuación
del valor propio A⋅x = λ⋅x.
Como ejemplo, en modo RPN, intente:

Página 11-55

[[4,1,-2] [1,2,-1][-2,-1,0]] MAD
El resultado es:
4: -8.
3: [[ 0.13 –0.25 –0.38][-0.25 0.50 –0.25][-0.38 –0.25 –0.88]]
2: {[[1 0 0][0 1 0][0 0 1]] [[ -2 1 –2][1 –4 –1][-2 –1 –6] [[-1 2 3][2 –4 2][3 2
7]]}
1: ‘X^3+-6*x^2+2*X+8’
El mismo ejercicio, en modo ALG, se muestra a continuación:

Factorización de matrices

La factorización o descomposición de matrices consiste en obtener ciertas
matrices que cuando se multiplican entre ellas resulta en una matriz dada.
Presentamos la descomposición de matrices con el uso de las funciones
contenidas en el menú de matrices FACT.
Este menú se obtiene a través
de„Ø.

Página 11-56

Las funciones contenidas en este menú son: LQ, LU, QR, SCHUR, SVD, SVL.

Función LU

La función LU tomas como entrada una matriz cuadrada A, y produce una
matriz triangular inferior L, una matriz triangular superior U, y una matriz de la
permutación P, en los niveles 3, 2, y 1 de la pantalla, respectivamente. Los
resultados L, U, y P, satisfacen la ecuación P⋅A = L⋅U. Cuando usted activa
la función LU, la calculadora realiza una descomposición LU de Crout de la
matriz A usando pivoteo parcial.
Por ejemplo, en modo RPN: [[-1,2,5][3,1,-2][7,6,5]] LU
produce:
3:[[7 0 0][-1 2.86 0][3 –1.57 –1]
2: [[1 0.86 0.71][0 1 2][0 0 1]]
1: [[0 0 1][1 0 0][0 1 0]]
En modo de ALG, el mismo ejercicio será demostrado como sigue:

Matrices ortogonales y descomposición de valores singulares
Una matriz cuadrada se dice que es ortogonal si sus columnas representan los
vectores de la unidad que son mutuamente ortogonal. Así, si dejamos la matriz
cuadrada A se dice ser ortogonal si sus columnas representan vectores
unitarios que son mutuamente ortogonales. Así, si dejamos la matriz U = [v1
v2 … vn] donde vi, i = 1, 2,, n, son vectores columnas, y si vi•vj = δij, donde
δij es la función delta de Kronecker, entonces U ser una matriz ortogonal. Estas
condiciones también implican que U⋅ UT = I.
La descomposición de valores singulares (inglés, Singular Value
Decomposition, SVD) de una matriz rectangular Am×n consiste en la
determinación de las matrices U, S, y V, tal que Am×n = U m×m ⋅S m×n ⋅V Tn×n,

Página 11-57

donde U y V son las matrices ortogonales, y S es una matriz diagonal. Los
elementos diagonales de S se llaman los valores singulares de A y ordenados
generalmente de manera que si ≥ si+1, para i = 1, 2, …, n-1. Las columnas
[uj] de U y [vj] de V son los vectores singulares correspondientes.
Función SVD
En modo RPN, la función SVD (inglés, Singular Value Decomposition, o
descomposición de valores singulares) toma como entrada una matriz An×m, y
produce las matrices Un×n, Vm×m, y un vector s en los niveles 3, 2, y 1 de la
pantalla, respectivamente. La dimensión del vector s es igual al mínimo de los
valores n y m. Las matrices U y V fueron definidas anteriormente para la
descomposición de valores singulares, mientras que el vector s representa la
diagonal principal de la matriz S usada anteriormente.
Por ejemplo, en modo RPN: [[5,4,-1],[2,-3,5],[7,2,8]] SVD
3: [[-0.27 0.81 –0.53][-0.37 –0.59 –0.72][-0.89 3.09E-3 0.46]]
2: [[ -0.68 –0.14 –0.72][ 0.42 0.73 –0.54][-0.60 0.67 0.44]]
1: [ 12.15 6.88 1.42]
Función SVL
La función SVL (inglés, Singular VaLues, o valores singulares) produce los
valores singulares de una matriz An×m como un vector s cuya dimensión es
igual al mínimo de los valores n and m. Por ejemplo, en modo RPN, [[5,4,1],[2,-3,5],[7,2,8]] SVL
produce [ 12.15 6.88 1.42].

Función SCHUR
En modo RPN, la función SCHUR produce la descomposición de Schur de una
matriz cuadrada A produciendo las matrices Q y T, en los niveles 2 y 1 de la
pantalla, respectivamente, tales que A = Q⋅T⋅QT, donde Q es una matriz
ortogonal, y T es una matriz triangular. Por ejemplo, en modo RPN,
[[2,3,-1][5,4,-2][7,5,4]] SCHUR
resulta en:
2: [[0.66 –0.29 –0.70][-0.73 –0.01 –0.68][ -0.19 –0.96 0.21]]

Página 11-58

1: [[-1.03 1.02 3.86 ][ 0 5.52 8.23 ][ 0 –1.82 5.52]]

Función LQ

La función LQ produce la factorización LQ de una matriz An×m produciendo
una matriz trapezoidal inferior Ln×m, una matriz ortogonal Qm×m, y una matriz
de permutación Pn×n, en los niveles 3, 2, y 1 de la pantalla, respectivamente.
Las matrices A, L, Q y P se relacionan por P⋅A = L⋅Q. (Una matriz trapezoidal
a partir de una matriz n×m es el equivalente de una matriz triangular a partir
de una matriz n×n). Por ejemplo,
[[ 1, -2, 1][ 2, 1, -2][ 5, -2, 1]] LQ
produce
3: [[-5.48 0 0][-1.10 –2.79 0][-1.83 1.43 0.78]]
2: [[-0.91 0.37 -0.18] [-0.36 -0.50 0.79] [-0.20 -0.78 -0.59]]
1: [[0 0 1][0 1 0][1 0 0]]

Función QR

En modo RPN, la función QR produce la factorización QR de una matriz An×m
produciendo una matriz ortogonal Qn×n, una matriz triangular superior Rn×m, y
una matriz de permutación Pm×m, en los niveles 3, 2, y 1 de la pantalla,
respectivamente . Las matrices A, P, Q y R se relacionan por A⋅P = Q⋅R. Por
ejemplo, [[ 1,-2,1][ 2,1,-2][ 5,-2,1]] QR
produce
3: [[-0.18 0.39 0.90][-0.37 –0.88 0.30][-0.91 0.28 –0.30]]
2: [[ -5.48 –0.37 1.83][ 0 2.42 –2.20][0 0 –0.90]]
1: [[1 0 0][0 0 1][0 1 0]]
Nota: Ejemplos y definiciones para todas las funciones en este menú
están disponibles a través de función informativa en la calculadora. Intente
estos ejercicios en modo ALG para ver los resultados en ese modo.

Página 11-59

Formas cuadráticas de una matriz

Una forma cuadrática de una matriz cuadrada A es una expresión polinómica
originada a partir de x⋅A⋅xT.

Por ejemplo, si utilizamos

A =

T

[[2,1,–1][5,4,2][3,5,–1]], y x = [X Y Z] , se calcula la forma cuadrática
correspondiente como

x ⋅ A ⋅ x = [X
T

= [X
Finalmente,

Y

Y

⎡2 1 − 1⎤ ⎡ X ⎤
Z ] ⋅ ⎢⎢5 4 2 ⎥⎥ ⋅ ⎢⎢ Y ⎥⎥
⎢⎣3 5 − 1⎥⎦ ⎢⎣ Z ⎥⎦

⎡ 2X + Y − Z ⎤
Z ] ⋅ ⎢⎢5 X + 4Y + 2 Z ⎥⎥
⎢⎣ 3 X + 5Y − Z ⎥⎦

x⋅A⋅xT = 2X2+4Y2-Z2+6XY+2XZ+7ZY

El menú QUADF
La calculadora proporciona el menú QUADF para las operaciones
relacionadas con las formas cuadráticas. El menú QUADF se alcanzado a
través de „Ø.

Este menú incluye las funciones AXQ, CHOLESKY, GAUSS, QXA, y SYLVESTER.

Página 11-60

Función AXQ
En modo de RPN, la función AXQ produce la forma cuadrática que
corresponde a una matriz An×n en el nivel 2 de la pantalla usando las n
variables en un vector colocad en el nivel 1 de la pantalla. La función produce
la forma cuadrática en el nivel 2 de la pantalla y el vector de variables en el
nivel 1 de la pantalla. Por ejemplo,
[[2,1,-1],[5,4,2],[3,5,-1]] `
['X','Y','Z'] ` AXQ
produce
2: ‘2*X^2+(6*Y+2*Z)*X+4*Y^2+7*Z*y-Z^2’
1: [‘X’ ‘Y’ ‘Z’]
Función QXA
La función QXA toma como argumentos una forma cuadrática en el nivel 2 de
la pantalla y un vector de variables en el nivel 1 de la pantalla, produciendo la
matriz cuadrada A de la cuál se deriva la forma cuadrática en el nivel 2 de la
pantalla, y la lista de variables en el nivel 1 de la pantalla. Por ejemplo,
'X^2+Y^2-Z^2+4*X*Y-16*X*Z' `
['X','Y','Z'] ` QXA
produce
2: [[1 2 –8][2 1 0][-8 0 –1]]
1: [‘X’ ‘Y’ ‘Z’]

Representación diagonal de una forma cuadrática
Dada una matriz cuadrada simétrica A, es posible "diagonalizar" la matriz A
encontrando una matriz ortogonal P tal que PT⋅A⋅P = D, donde D es una
matriz diagonal. Si Q = x⋅A⋅xT es una forma cuadrática basada en A, es
posible escribir la forma cuadrática Q de modo que contenga solamente
términos cuadrados de una variable y, tales que x = P⋅y, usando Q = x⋅A⋅xT
= (P⋅y)⋅A⋅ (P⋅y)T = y⋅(PT⋅A⋅P)⋅yT = y⋅D⋅yT.

Página 11-61

Función SYLVESTER
La función SYLVESTER toma como argumento una matriz cuadrada simétrica A
y produce un vector que contiene los términos diagonales de una matriz
diagonal D, y una matriz P, tal que PT⋅A⋅P = D. Por ejemplo,
[[2,1,-1],[1,4,2],[-1,2,-1]] SYLVESTER
produce
2: [ 1/2 2/7 -23/7]
1: [[2 1 –1][0 7/2 5/2][0 0 1]]
Función GAUSS
La función GAUSS produce la representación diagonal de una forma
cuadrática Q = x⋅A⋅xT tomando como discusiones la forma cuadrática en el
nivel 2 de la pantalla y el vector de variables en el nivel 1 de la pantalla. El
resultado de esta llamada de función es el siguiente:
•

Un arreglo de coeficientes que representan los términos diagonales de
D (nivel 4 de la pantalla)

• Una matriz P tal que A = PT⋅D⋅P (nivel 3 de la pantalla)
• La forma cuadrática diagonalizada (nivel 2 de la pantalla)
• La lista de variables (nivel 1 de la pantalla)
Por ejemplo,
'X^2+Y^2-Z^2+4*X*Y-16*X*Z' `
['X','Y','Z'] ` GAUSS
produce
4: [1 –0.333 20.333]
3: [[1 2 –8][0 –3 16][0 0 1]]
2: ’61/3*Z^2+ -1/3*(16*Z+-3*Y)^2+(-8*z+2*Y+X)^2‘
1: [‘X’ ‘Y’ ‘Z’]

Página 11-62

Aplicaciones Lineares
El menú LINEAR APPLICATIONS (Aplicaciones lineares) está disponible con
„Ø.

La información sobre las funciones enumeradas en este menú se presenta a
continuación usando la función informativa de la calculadora. Las figuras
muestran la descripción de las funciones y los ejemplos adjuntos.

Función IMAGE

Función ISOM

Función KER

Página 11-63

Función MKISOM

Página 11-64

Capítulo 12
Gráficas

En este Capítulo se presentan algunas de las aplicaciones gráficas de la
calculadora. Presentaremos gráficos de funciones en coordenadas cartesianas
y polares, diagramas paramétricos, gráficos de cónicas, diagramas de barra,
de puntos, y una variedad de gráficos tridimensionales

Opciones gráficas en la calculadora
Para tener acceso a la lista de formatos gráficos disponibles en la calculadora,
úsese la secuencia de teclas „ô(D) Téngase cuidado que si se usa el
modo RPN estas dos teclas deben presionarse simultáneamente para activar
las funciones gráficas. Después de activar la función 2D/3D, la calculadora
produce la forma interactiva denominada PLOT SETUP, la cual incluye la opción
TYPE (tipo) como se ilustra a continuación.

Enfrente de la partícula TYPE se encuentra, con toda seguridad, que la opción
Function (función) ha sido seleccionada.
Este es el tipo de gráfica
preseleccionado en la calculadora. Para ver la lista de formatos gráficos
disponibles, presione la tecla de menú denominada @CHOOS (escoger). Esta
selección produce una lista de menú con las siguientes opciones (úsense las
teclas direccionales verticales para ver todas las opciones):

Página 12-1

Estas opciones de gráficas se describen brevemente a continuación
Function: para las ecuaciones de la forma y = f(x) en coordenadas cartesianas
planas
Polar: para las ecuaciones de la forma r = f(θ) en coordenadas polares en el
plano
Parametric: para trazar las ecuaciones de la forma x = x(t), y = y(t) en el plano
Diff Eq:para trazar la solución numérica de una ecuación diferencial linear
Conic: para trazar ecuaciones cónicas (círculos, elipses, hipérbolas, parábolas)
Truth: para trazar desigualdades en el plano
Histogram: para trazar los histogramas de la frecuencia (usos estadísticos)
Bar: para trazar las gráficas de barra simples
Scatter:para trazar los diagramas de la dispersión de datos discretos (usos
estadísticos)
Slopefield: para trazar los segmentos tangentes de una función f(x,y) = 0.
Fast3D: para trazar superficies curvas en el espacio
Wireframe: para trazar superficies curvas en el espacio con rejillas
Ps-Contour: para trazar diagramas del contorno de superficies
Y- Slice: para trazar una vista rebanadora de una función f(x,y).
Gridmap: para trazas de la parte real e imaginaria de una función compleja

Página 12-2

Pr-Surface: para las superficies paramétricas dadas por x = x(u,v), y = y(u,v), z
= z(u,v).

Trazar una expresión de la forma y = f(x)

En esta sección presentamos un ejemplo de un diagrama de una función de la
forma y = f(x). Para proceder con el diagrama, primero, elimine la variable x,
si se define en el directorio actual (x será la variable independiente el ambiente
PLOT de la calculadora, por lo tanto, usted no tiene que predefinirla). Crear un
sub-directorio llamado 'TPLOT' (inglés, Test PLOT), o el otro nombre
significativo, realizar el ejercicio siguiente.
Como ejemplo grafíquese la función,

f ( x) =
•

x2
exp(− )
2
2π
1

Actívese el ambiente PLOT SETUP (diseño de la gráfica) al presionar
„ô. Selecciónese la opción Function en la especificación TYPE,
y la variable ‘X’ como variable independiente (INDEP).
Presione
L@@@OK@@@ para recuperar la pantalla normal. El ambiente PLOT SET
UP luce como se muestra a continuación:

Nota: Usted notará que una variable nueva, llamado PPAR, se muestra en
las etiquetas del menú. PPAR, en inglés, significa Plot PARameters, o
parámetros del diagrama. Para ver su contenido, presione ‚@PPAR. Una
explicación detallada del contenido de PPAR se proporciona más adelante
en este capítulo. Presione ƒ para remover esta línea de la pantalla.

Página 12-3

•

Actívese el ambiente PLOT (gráfica) al presionar „ñ
(simultáneamente si se usa el modo RPN). Presione la tecla @ADD para
activar el escritor de ecuaciones. La calculadora requiere que se
escriba el lado derecho de la ecuación Y1(x) = . Escríbase la función
a ser graficada de manera que el escritor de ecuaciones muestre lo
siguiente:

•

Presiónese ` para regresar a la ventana PLOT FUNCTION. La
expresión ‘Y1(X) = EXP(-X^2/2)/√(2*π)’ será seleccionada.
Presiónese L@@@OK@@@ para recuperar la pantalla normal.

Nota: Dos nuevas variables se muestran en las etiquetas del menú, a
saber EQ y Y1. Para ver el contenido de EQ, utilizar ‚@@@EQ@@. El contenido
de EQ es simplemente el nombre de la función ‘Y1(X)’. La variable EQ se
utiliza por la calculadora para almacenar la ecuación, o ecuaciones, a ser
trazada(s).
Para ver el contenido de Y1 Presione ‚@@@Y1@@. Usted conseguirá la función
Y1(X) definida como el programa:
<< →X ‘EXP(-X^2/2)/ √(2*π)‘ >>.
Presione ƒ, dos veces, para eliminar los contenidos de la pantalla.
•

Actívese el ambiente PLOT WINDOW (ventana gráfica) al presionar
„ò (simultáneamente si se usa el modo RPN). Use un rango de
–4 a 4 para la especificación H-VIEW (vista horizontal), presione
después @AUTO para generar automáticamente el rango vertical, VVIEW. La pantalla PLOT WINDOW deberá lucir como se muestra a
continuación:

Página 12-4

•
•
•
•

•

Dibújese la gráfica: @ERASE @DRAW (esperar hasta que se termina de
dibujar la gráfica)
Para ver los rótulos de los ejes coordenados:@EDIT L @LABEL @MENU
Para recuperar el primer menú gráfico: LL@)PICT
Para recorrer o trazar la curva: @TRACE @@X,Y@@ . Úsense las teclas
direccionales horizontales (š™) para recorrer la curva. Las
coordenadas de los puntos trazados se mostrarán al pié de la
pantalla. Verifíquense las siguientes coordenadas: x = 1.05 , y =
0.0131, y x = -1.48 , y = 0.034. La figura se muestra a continuación:

Para recuperar el menú y regresar al ambiente PLOT WINDOW,
presiónese L@CANCL.

Algunas operaciones de PLOT para gráficas FUNCTION
Para discutir estas opciones de PLOT, modificaremos la función para forzarla
para tener algunas raíces reales (puesto que la curva actual se contiene
totalmente sobre el eje de x, no tiene ninguna raíz real.) Presione ‚@@@Y1@@
para enumerar el contenido de la función Y1 en la pantalla: << →X ‘EXP(-X^2/
2)/ √(2*π) ‘ >>. Para editar esta expresión use:

Página 12-5

˜
‚˜
ššš-0.1
`

Activa el editor de línea
Cursor al final de la línea
Modifica la expresión
Regresa a la pantalla normal

Después, almacenar la expresión modificada en la variable y usando „@@@Y1@@
si en modo RPN, o „îK @@@Y1@@ en modo ALG.

La función a ser trazada es ahora,

f ( x) =

1
2π

exp(−

x2
) − 0.1
2

Active el ambiente PLOT WINDOW escribiendo „ò(Presiónelas
simultáneamente si en modo RPN.) Mantenga el rango de –4 a 4 para HVIEW, Presione ˜@AUTO para generar el rango V-VIEW. Para trazar la gráfica,
presione @ERASE @DRAW
•

Una vez se traza el gráfico, presione @)@FCN! para tener acceso al menú
de la función. Con este menú usted puede obtener la información
adicional sobre el diagrama por ejemplo su intersección con el eje x,
las raíces, las pendientes de la línea de la tangente, el área debajo de
la curva, el etc. Por ejemplo, para encontrar la raíz en el lado
izquierdo de la curva, mover el cursor cerca del eje x, y presione @ROOT.
Se obtendrá el resultado: ROOT: -1.6635…. Presione L para
recobrar el menú.
He aquí el resultado de ROOT en el diagrama
actual:

•

Si usted mueve el cursor hacia el lado derecho de la curva,
presionando la tecla (™), y presione @ROOT, el resultado es ROOT:

Página 12-6

•

•

•

•

•

•

1.6635... La calculadora indicó, antes de demostrar la raíz, que fue
encontrado a través de SIGN REVERSAL (cambio de signo). Presione
L para recobrar el menú.
Presionando @ISECT le dará la intersección de la curva con el eje x, que
es esencialmente la raíz. Colocar el cursor exactamente en la raíz y
presione @ISECT. Usted conseguirá el mismo mensaje que antes, a
saber SIGN REVERSAL, antes de conseguir el resultado I-SECT:
1.6635…. La función @ISECT se usa para determinar la intersección
de las dos curvas más cercana a la localización del cursor. En este
caso, donde está implicada solamente una curva, a saber, Y1(X), la
intersección buscada es la del f(x) con el eje x, sin embargo, usted
debe poner la derecha del cursor en la raíz de producir el mismo
resultado. Presione L para recobrar el menú.
Coloque el cursor en la curva en cualquier punto y presione @SLOPE
para conseguir el valor de la pendiente en ese punto. Por ejemplo, en
la raíz negativa, SLOPE: 0.16670…. Presione L para recobrar el
menú.
Para determinar el punto más alto de la curva, coloque el cursor cerca
de la cima y presione @EXTR El resultado es EXTRM: 0.. Presione L
para recobrar el menú.
Otras teclas disponible en el primer menú son @AREA para calcular el
área debajo de la curva, y @SHADE para sombrear un área debajo de la
curva. Presione L para ver más opciones. El segundo menú incluye
un botón llamado @VIEW que destella por algunos segundos la ecuación
trazada. Presione @VIEW. Alternativamente, usted puede presionar la
tecla @NEXQ (NEXt eQuation) para ver el nombre de la función Y1(x).
Presione L para recobrar el menú.
La tecla
da el valor de f(x) que corresponde a la posición del
cursor. Coloque el cursor dondequiera en la curva y presione
.
El valor será demostrado en la esquina izquierda más baja de la
pantalla. Presione L para recobrar el menú.
lugar del · el cursor en cualquier punto dado de la trayectoria y
presione TANL para obtener la ecuación de la línea tangente a la

Página 12-7

•

•
•

curva en ese punto. La ecuación será mostrada en la esquina izquierda
inferior de la pantalla. Presione L para recobrar el menú.
Si Ud. presiona
la calculadora trazará la función derivada, f'(x)
= df/dx, así como la función original, f(x). Note que hay dos puntos
de intersección de las dos curvas. Mueva el cursor cerca del punto
izquierdo de la intersección y presione @)@FCN! @ISECT, para obtener ISECT: (-0.6834…,0.21585). Presione L para recobrar el menú.
Para dejar el ambiente de FCN, presione @)PICT (o L)PICT).
Presione @CANCL para regresar al ambiente PLOT WINDOW. Entonces,
Presione L @@@OK@@@ para regresar a la pantalla normal.

Nota: la pantalla demostrará todas las operaciones del gráfico
realizadas, identificado correctamente.
•

•

Active el ambiente PLOT presionando, simultáneamente si en modo
RPN, „ñ. Notar que el campo destacado en el ambiente PLOT
ahora contiene la derivada de Y1(X). Presione L@@@OK@@@ para
regresar a la pantalla normal.
Presione ‚@@EQ@@ para comprobar el contenido de EQ. Usted notará
que contiene una lista en vez de una sola expresión. La lista tiene
como elementos una expresión para la derivada de Y1(X) y Y1(X)
misma.
Originalmente, EQ contenía solamente Y1(x). Después de
que presionáramos
en el ambiente @)FCN@, la calculadora agregó
automáticamente la derivada de Y1(x) a la lista de ecuaciones en EQ.

Almacenando un gráfico para el uso futuro
Si usted desea almacenar su gráfico a una variable, active el ambiente
PICTURE presionando š. Entonces, presione @EDIT LL@PICT. Esto
captura el cuadro actual en un objeto gráfico. Para volver a la pantalla,
presione @)PICT @CANCL.
En el nivel 1 de la pantalla usted verá un objeto gráfico descrito como
Graphic 131 × 64. Esto se puede almacenar en una variable, digamos,
PIC1.

Página 12-8

Para defender su figura otra vez, recordar el contenido de PIC1 variable a la
pantalla. La pantalla mostrará la línea: Graphic 131 × 64. Para ver el
gráfico, incorporar el ambiente PICTURE, presionando š.
Despeje el cuadro actual, @EDIT L@ERASE.
Mover el cursor a la esquina izquierda superior de la pantalla, usando las
teclas š y — .
Para mostrar la figura actualmente en el nivel 1 de la pantalla, presione L
REPL .
Para volver a la función normal de la calculadora, presione @)PICT @CANCL.
Nota: Para ahorrar espacio impreso, no incluiremos más gráficos
producidos por las instrucciones en este capítulo. Se invita al usuario que
produzca esos gráficos por sí mismo.

Gráficos de funciones transcendentales
En esta sección utilizamos algunas de las características de los gráficos de la
calculadora para demostrar el comportamiento típico del logaritmo natural,
funciones hiperbólicas exponenciales, funciones trigonométricas, etc. Usted no
verá más gráficos en este capítulo, en su lugar el usuario debe verlos en la
calculadora.

Gráfico de ln(X)

Presione, simultáneamente si en modo RPN, la tecla „ y la tecla ô (D)
para producir la pantalla PLOT SETUP. El campo etiquetado Type será
destacado. Si la opción Function no se ha sido seleccionada, presione la
tecla @CHOOS, use las teclas direccionales verticales para seleccionar Function,
y presione @@@OK@@@ para terminar la selección. Comprobar que el campo Indep:
contiene el valor ' X '. Si ese no es el caso, presione la tecla direccional vertical
inferior dos veces hasta que el campo Indep es seleccionado, Presione la tecla

Página 12-9

etiquetada @EDIT y modifique el valor de la variable independiente para leer
‘X’. Presione @@@OK@@@ al terminar. Presione L@@@OK@@@ para regresar a la pantalla
normal.
A continuación, redimensionamos la pantalla gráfica. Primero, presione,
simultáneamente si en modo RPN, la tecla „ y la tecla ñ (V) para
producir la pantalla PLOT-FUNCTION. Si hay cualquier ecuación destacada en
esta ventana, presione @@DEL@@ según se necesite para despejar la ventana
totalmente. Cuando la pantalla PLOT-FUNCTION es vacío usted conseguirá
un mensaje pronto que lea: No Equ., Presione ADD. Presione la tecla
etiquetada @@ADD@! . Esto accionará el escritor de ecuaciones con la expresión
Y1(X)= . Escriba LN(X). Presione ` para volver a la pantalla PLOTFUNCTION. Presione L@@@OK@@@ para regresar a la pantalla normal.
El paso siguiente es presionar, simultáneamente si en modo RPN, las teclas
„ò(B) para producir la pantalla PLOT WINDOW - FUNCTION. Muy
probablemente, la pantalla demostrará los rangos horizontal (H-View) y vertical
(V-View) como: H-View: -6.5 6.5, V-View:
-3.9 4.0

Éstos son los valores prefijados para los rangos x y y, respectivamente, de la
10
pantalla actual de los gráficos. Después, cambiar H-View a: H-View: -1
usando 1\@@@OK@@ 10@@@OK@@@.
A continuación, presione la tecla
etiquetada @AUTO para dejar que la calculadora determine el rango vertical
correspondiente. Después de un par de segundos este rango será mostrado en
la pantalla PLOT WINDOW-FUNCTION. A este punto somos listos producir el
gráfico de ln(X). Presione @ERASE @DRAW para trazar la función logaritmo natural.

Para agregar etiquetas al gráfico, presione @EDIT L@)LABEL. Presione @LABEL
para quitar las etiquetas del menú, y conseguir una vista completa del gráfico.
Presione L para recuperar el menú gráfico actual. Presione L@)PICT para
recuperar el menú gráfico original.

Página 12-10

Para determinar los coordenadas de puntos en la curva, presione @TRACE (el
cursor se mueve encima de la curva en un punto situado cerca del centro de la
gama horizontal). A continuación, presione (X,Y) para ver los coordenadas
de la localización del cursor actual. Estos coordenadas serán demostrados al
pié de la pantalla. Utilizar las teclas direccionales horizontales para mover el
cursor a lo largo de la curva. Pues usted mueve el cursor a lo largo de la curva
los coordenadas de la curva se mostrarán al pié de la pantalla. Verifique que
cuando Y:1.00E0, X:2.72E0. Éste es el punto (e,1), dado que ln(e) = 1.
Presione L para recuperar el menú de los gráficos.
A continuación, encontraremos la intersección de la curva con el eje x
presionando @)FCN @ROOT. La calculadora produce el valor Root: 1, confirmando
que ln(1) = 0. Presione LL@)PICT @CANCL para volver a la pantalla PLOT
WINDOW – FUNCTION. Presione ` para regresar a la pantalla normal.
Usted notará que la raíz encontrada en el ambiente de los gráficos fue
copiada a la pantalla de la calculadora.

Página 12-11

Nota: Cuando uno presiona J , su lista de las variables demostrará
las nuevas variables llamadas @@@X@@ y @@Y1@@ . Presione ‚@@Y1@@ para ver el
contenido de esta variable. Usted conseguirá el programa << → X ‘LN(X)’ >>
, el cuál usted reconocerá el programa del EL del como que puede resultar
de definir la función ‘Y1(X) = LN(X)’ usando „à. Esto es básicamente
lo qué sucede cuando usted @@ADD@! (adiciona) una función en la pantalla
PLOT – FUNCTION (la ventana que resulta presionando  ñ,
simultáneamente si en modo RPN), i.e., la función consigue y definida
agregada a su lista variable.
A continuación, presione ‚@@@X@@@ para ver el contenido de esta variable. Un
valor de 10.275 se pone adentro de la pantalla. Este valor es determinado
por nuestra selección para el rango horizontal de la pantalla. Seleccionamos
un rango entre -1 y 10 para X. Para producir el gráfico, la calculadora
genera valores entre los límites del rango usando un incremento constante, y
que almacena los valores generados, uno a la vez, en la variable @@@X@@@
cuando se traza el gráfico. Para el rango horizontal ( –1,10), el incremento
usado se parece ser 0.275. Cuando el valor de X llega a ser más grande
que el valor máximo en el rango (en este caso, cuando X = 10.275), el
dibujo del gráfico se detiene. El valor pasado de X para el gráfico bajo
consideración se mantiene en la variable X. Elimine X y Y1 antes de
continuar.

Gráfico de la función exponencial

Primero, cargar la función exp(X), presionando, simultáneamente si en modo
RPN, las teclas „ñ (V) para tener acceso a la ventana PLOTFUNCTION. Presione @@DEL@@ para quitar la función LN(X), si usted no suprimió
Y1 según lo sugerido en la nota anterior. Presione @@ADD@!
y escriba
„¸~x` para obtener EXP(X) y regrese a la pantalla PLOTFUNCTION. Presione L@@@OK@@@ para regresar a la pantalla normal.
A continuación, presione, simultáneamente si en modo RPN, las teclas
„ò (B) para producir la pantalla PLOT WINDOW - FUNCTION.
Cambie los valores de H-View a: H-View: -8 2 usando 8\@@@OK@@ @2

Página 12-12

@@@OK@@@. A continuación, presione @AUTO. Después de que se calcule el rango
vertical, presione @ERASE @DRAW para trazar la función exponencial.
Para agregar etiquetas a la gráfica, presione @EDIT L@)LABEL. Presione @MENU
para remover las etiquetas del menú, y obtenga una vista completa del gráfico.
Presione LL@)PICT! @CANCL para regresar a la pantalla PLOT WINDOW –
FUNCTION. Presione ` para regresar a la pantalla normal.

La variable PPAR

Presione J para recobrar el menú de variables, de ser necesario. En su
menú de las variables usted debe tener una variable etiquetada PPAR.
Presione ‚@PPAR para conseguir el contenido de esta variable en pantalla
del la. Presione la tecla direccional vertical hacia abajo, para activar el editor
de línea, y use teclas direccionales verticales para ver el contenido completo
de PPAR. La pantalla mostrará los siguientes valores:

PPAR significa Plot PARameters, su contenido de y incluye dos pares pedidos de
números reales, (-8.,-1.10797263281) y (2.,7.38905609893), la cuál representa los
coordenadas de la esquina izquierda inferior y la esquina derecha superior del
diagrama, respectivamente. A continuación, PPAR enumera el nombre de la
variable independiente, X, seguido por un número que especifique el
incremento de la variable independiente en la generación del diagrama.
El valor demostrado aquí es el valor prefijado, cero (0.), lo que especifica
incrementos en X que corresponden a 1 píxel en la pantalla de los gráficos. El
elemento siguiente en PPAR es una lista que contiene primero los coordenadas
del punto de la intersección de los ejes del diagrama, i.e., (0.,0.), seguido por
una lista que especifica las marcas en los ejes x y y, respectivamente {# 10d #

Página 12-13

10d}. A continuación, PPAR enumera el tipo de diagrama que deba ser
generado, i.e., FUNCTION, y, finalmente, la etiqueta del eje y, i.e., Y.
La variable PPAR, si es no existe, se genera cada vez que usted crea un
diagrama. El contenido de la función cambiará dependiendo del tipo de
diagrama y en las opciones que usted seleccionó en la pantalla PLOT (la
ventana generada por la activación simultánea de las teclas „ y
ò(B).

Funciones inversas y sus gráficos
Sea y = f(x), si podemos encontrar una función y = g(x), tal que, g(f(x)) = x,
decimos que g(x) es la función inversa de f(x). Típicamente, la notación g(x) =
f -1(x) se utiliza denotar una función inversa. Usando esta notación podemos
escribir: si y = f(x), entonces x = f -1(y). También, f(f -1(x)) = x, y f -1(f(x)) = x.
Según lo indicado anterior, las funciones ln(x) y exp(x) son inversas la una con
la otra, i.e., ln(exp(x)) = x, y exp(ln(x)) = x. Esto se puede verificar en la
calculadora al evaluar las expresiones siguientes en el Escritor de Ecuaciones:
LN(EXP(X)) y EXP(LN(X)). Ambas se evalúan a X.
Cuando una función f(x) y su inversa f -1(x) se trazan simultáneamente en el
mismo sistema de hachas, sus gráficos son reflexiones de cada una sobre la
línea y = x. Comprobemos este hecho con la calculadora para las funciones
LN(X) y EXP(X) siguiendo este procedimiento:
Presione, simultáneamente si en modo RPN, „ñ. La función Y1(X) =
EXP(X) si estar disponible en la pantalla PLOT - FUNCTION del ejercicio
anterior. Presione @@ADD@! , y escriba la función Y2(X) = LN(X). También,
cargar la función Y3(X) = X. Presione L@@@OK@@@ para regresar a la pantalla
normal.
Presione, simultáneamente si en modo RPN, „ò, y cambie el rango HVIEW para mostrar: H-View: -8 8

Página 12-14

Presione @AUTO para generar el rango vertical. Presione @ERASE @DRAW para
producir el gráfico de y = ln(x), y = exp(x), y y =x, simultáneamente si en modo
RPN.
Usted notará que solamente el gráfico de y = exp(x) es claramente visible. Algo
fue mal con la selección de @AUTO de la gama vertical. Qué sucede es ése,
cuando usted presiona @AUTO en la pantalla PLOT FUNCTION – WINDOW, la
calculadora produce el rango vertical que corresponde a la primera función en
la lista de las funciones que se trazarán. La cuál, en este caso, es Y1(X) =
EXP(X). Tendremos que escribir el rango vertical nosotros mismos para mostrar
las otras dos funciones en el mismo diagrama.
Presione @CANCL para regresar a la pantalla PLOT FUNCTION - WINDOW.
Modifique los rangos vertical y horizontal para mostrar: H-View: -8
8,
V-View: -4
4
Seleccionando estos rangos nos aseguramos que la escala del gráfico esté
mantenida 1 vertical a 1 horizontal. Presione @ERASE @DRAW y usted conseguirá
los diagramas del logaritmo natural, exponenciales, y y = x. Será evidente del
gráfico que LN(X) y EXP(X) son las reflexiones de la otra sobre la línea y = X.
Presione @CANCL para volver a la pantalla PLOT WINDOW – FUNCTION.
Presione ` para regresar a la pantalla normal.

Resumen de la operación del diagrama FUNCTION
En esta sección presentamos la información con respecto a las pantallas PLOT
SETUP, PLOT-FUNCTION, y PLOT WINDOW accesible con la combinación de
la tecla „ con las teclas A a D. De acuerdo con los ejemplos de
gráficas presentados arriba, el procedimiento para producir un diagrama de
FUNCTION (i.e., uno que traza unas o más funciones de la forma Y = F(X)), es
el siguiente:
„ô, simultáneamente si en modo RPN: Acceso a la pantalla PLOT SETUP.
De ser necesario, Cambie TYPE a FUNCTION, y escriba el nombre de la
variable independiente.

Página 12-15

Ajustes:
• Un símbolo de aprobado en _Simult significa que si usted tiene dos o
más diagramas en el mismo gráfico, ellos será trazados simultáneamente
al producir el gráfico.
• Un símbolo de aprobado en _Connect significa que la curva será una
curva continua más bien que un sistema de puntos individuales.
• Un símbolo de aprobado en _Pixels significa que las marcas indicadas
por H-Tick y V-Tick serán separadas por ese número de píxeles.
• El valor prefijado para ambos H-Tick y V-Tick es 10.
Opciones de teclas de menú
• Use @EDIT para corregir funciones de valores en el campo seleccionado.
• Use @CHOOS para seleccionar el tipo de diagrama a utilizar cuando el
campo Type: se destaca. Para los ejercicios actuales, quisiéramos que este
campo fijara a FUNCTION.
Nota: las teclas @EDIT y @CHOOS no están disponibles en el mismo tiempo.
Uno o el otro será seleccionado dependiendo de los cuales se destaca
entrar el campo.
•

•
•
•
•
•

Presione la tecla AXES para seleccionar o no el trazado de ejes en el
gráfico. Si la opción ‘plot axes’ se selecciona, un punto cuadrado
aparecerá en la etiqueta de la tecla: @AXESn . La ausencia del punto
cuadrado indica que las hachas no serán trazadas en el gráfico.
Use @ERASE para borrar cualquier gráfico que existe actualmente en la
ventana de pantalla de los gráficos.
Use @DRAW para producir la gráfica según el contenido actual de PPAR para
las ecuaciones listadas en la pantalla PLOT-FUNCTION.
Presione L para tener acceso al segundo sistema de teclas del menú en
esta pantalla.
Use @RESET para reajustar cualquier campo seleccionado a su valor
prefijado.
Use @CANCL cancelar cualesquiera cambia en la pantalla PLOT SETUP y
volver a la pantalla normal de la calculadora.

Página 12-16

•

Presione @@@OK@@@ para guardar cambios a las opciones en la pantalla PLOT
SETUP y volver a la pantalla normal de la calculadora.

„ñ, simultáneamente si en modo RPN:
este caso se llamará PLOT –FUNCTION).

Acceso a la pantalla PLOT (en

Opciones de teclas:
• Use @EDIT para corregir la ecuación destacada.
• Use @@ADD@! para agregar nuevas ecuaciones al diagrama.
Nota: @@ADD@! o @EDIT activarán el escritor de ecuaciones EQW que usted
puede utilizar escribir nuevas ecuaciones o corregir viejas ecuaciones.
•
•
•
•
•
•
•

•

Use @@DEL@@ para quitar la ecuación destacada.
Use @CHOOS para agregar una ecuación que se define ya en su menú de las
variables, pero no está enumerada en la pantalla PLOT – FUNCTION.
Use @ERASE para borrar cualquier gráfico que existe actualmente en la
ventana de pantalla de los gráficos.
Use @DRAW para producir la gráfica según el contenido actual de PPAR para
las ecuaciones enumeró en la pantalla PLOT-FUNCTION.
Presione L para activar la segunda lista del menú.
Use @MOVE y @MOVE¸ para bajar la localización seleccionada de la ecuación
una para arriba o, respectivamente.
Use @CLEAR si usted desea al claro todas las ecuaciones actualmente activas
en la pantalla PLOT – FUNCTION. La calculadora verificará si o no usted
desee eliminar todas las funciones antes de ejecutar este comando.
Seleccione YES, y presione @@@OK@@@ para proceder con despejar todas las
funciones. Seleccione NO, y presione @@@OK@@@ para desactivar la opción
CLEAR.
Presione @@@OK@@@ cuando párrafos hechos regresar un normal del pantalla del
la.

„ò, simultáneamente si en modo RPN:
WINDOW.

Acceso a la pantalla PLOT

Página 12-17

Ajustes:
• Escriba límites inferior y superior para los rangos de vista horizontal (HView) y vertical (V-View) en la pantalla de diagramas. O,
• Escriba límites inferior y superior para la vista horizontal (H-View), y
Presione @AUTO, mientras que el cursor está en uno de los campos de V-View,
para generar el rango de la vista vertical (V-View), automáticamente. O,
• Escriba los límites inferior y superior de la vista vertical (V-View), y presione
@AUTO, mientras que el cursor está en uno de los campos H-View, para
generar el rango de la vista horizontal (H-View) automáticamente.
• La calculadora utilizará el rango de vista horizontal (H-View) para generar
valores para la gráfica, a menos que Ud. cambie las opciones Indep Low,
(Indep) High, y (Indep) Step. Estos valores determinan, respectivamente, el
mínimo, máximo, y valores del incremento de la variable independiente
que se utilizará en el diagrama. Si la opción default se muestra en los
campos Indep Low, (Indep) High, y (Indep) Step, la calculadora utilizará los
valores máximos del mínimo y determinados cerca H-View.
• Un símbolo de aprobado en _Pixels significa que los valores de los
incrementos variables independientes (Step:) se dan en píxeles más bien
que en coordenadas del diagrama.
Opciones de teclas de menú:
• Use @EDIT para corregir cualquier entrada en la ventana.
• Use @AUTO según lo explicado en ajustes, arriba.
• Use @ERASE para borrar cualquier gráfico que existe actualmente en la
ventana de pantalla de los gráficos.
• Use @DRAW para producir la gráfica según el contenido actual de PPAR para
las ecuaciones enumeró adentro la pantalla PLOT-FUNCTION.
• Presione L para activar la segunda lista del menú.
• Use @RESET para reajustar el campo seleccionado (es decir, donde se
coloca el cursor) a su valor prefijado.
• Use @CALC para tener acceso a la pantalla de la calculadora para realizar
los cálculos que pueden ser necesarios obtener un valor para una de las
opciones en esta ventana. Cuando la pantalla de la calculadora se pone a

Página 12-18

•
•
•
•
•

su disposición, usted también tendrá las opciones de las teclas del menú
@CANCL y @@@OK@@@ .
Use @CANCL en caso que Ud. quiera cancelar el cálculo actual y regresar a
la pantalla PLOT WINDOW. O,
Use @@@OK@@@ para aceptar los resultados de su cálculo y volver a la pantalla
PLOT WINDOW.
Use @TYPES para conseguir la información sobre el tipo de objetos que se
pueden utilizar en el campo seleccionado de la opción.
Use @CANCL para cancelar cualesquiera cambia a la pantalla PLOT
WINDOW y volver a la pantalla normal de la calculadora.
Presione @@@OK@@@ para aceptar cambios a la pantalla PLOT WINDOW vuelta
de y a la pantalla normal de la calculadora.

„ó, simultáneamente si en modo RPN: Traza el gráfico basado en los
ajustes almacenados en PPAR variable y en las funciones actuales definidas en
la pantalla PLOT – FUNCTION . Si un gráfico, diferente del que usted está
trazando, existe ya en la pantalla gráfica de la pantalla, el nuevo diagrama
será sobrepuesto en el diagrama existente. Éste puede no ser el resultado que
usted desea, por lo tanto, se recomienda utilizar las teclas @ERASE @DRAW
disponible en la pantallas PLOT SETUP, PLOT-FUNCTION o PLOT WINDOW.

Diagramas de funciones trigonométricas e hiperbólicas
Los procedimientos usados arriba para trazar LN(X) y EXP(X), por
separadamente o simultáneamente, puede ser utilizado trazar cualquier función
de la forma y = f(x). Se deja como un ejercicio al lector para producir los
diagramas de funciones trigonometriítas o hiperbólicas y sus inversas. La tabla
abajo sugiere los valores para utilizar para los rangos horizontal y vertical de
la gráfica.
Usted puede incluir la función Y=X cuando se traza
simultáneamente una función y su inversa para verificar su “reflejo” sobre la
línea Y = X.

Página 12-19

Rango de H-View
Función

SIN(X)
ASIN(X)
SIN & ASIN
COS(X)
ACOS(X)
COS & ACOS
TAN(X)
ATAN(X)
TAN & ATAN
SINH(X)
ASINH(X)
SINH & ASINH
COSH(X)
ACOSH(X)
COS & ACOS
TANH(X)
ATANH(X)
TAN & ATAN

Rango de V-View

Mínimo

Máximo

Mínimo

-3.15
-1.2
-3.2
-3.15
-1.2
-3.2
-3.15
-10
-2
-2
-5
-5
-2
-1
-5
-5
-1.2
-5

3.15
1.2
3.2
3.15
1.2
3.2
3.15
10
-2
2
5
5
2
5
5
5
1.2
5

AUTO
AUTO
-1.6
AUTO
AUTO
-1.6
-10
-1.8
-2
AUTO
AUTO
-5
AUTO
AUTO
-1
AUTO
AUTO
-2.5

Máximo

1.6

1.6
10
1.8
-2

5

5

2.5

Generación de una tabla de los valores para una
función

Las combinaciones de teclas „õ(E) y „ö(F), presionadas
simultáneamente si se usa el modo RPN, permiten al usuario producir la tabla
de valores de una función. Por ejemplo, para producir una tabla de la función
Y(X) = X/(X+10), en el rango -5 < X < 5, síganse las siguientes instrucciones:
•

Se generarán valores de la función f(x), definida anteriormente, para
valores de x de -5 a 5, en incrementos de 0.5. Para empezar, asegúrese
que el tipo de gráfica seleccionado en el ambiente PLOT SETUP („ô,
simultáneamente si se usa el modo RPN) es FUNCTION. Si ese no es el
tipo seleccionado, presiónese la tecla @CHOOS y selecciónese la opción
FUNCTION, presiónese @@@OK@@@ para terminar la selección.

Página 12-20

•
•
•

Presiónese ˜ para seleccionar la opción EQ, escríbase la expresión: ‘X/
(X+10)’ y presione @@@OK@@@.
Para aceptar los cambios realizados en el ambiente PLOT SETUP y
recuperar la pantalla normal, presiónese L @@@OK@@@.
El siguiente pase es acceder el ambiente Table Set-up (diseño de tabla)
usando la combinación de teclas „õ (es decir, la tecla E) –
simultáneamente si se usa el modo RPN. La pantalla resultante permite al
usuario seleccionar el valor inicial (Start) y el incremento (Step). Escríbanse
los siguientes valores: 5\ @@@OK@@@ 0.5 @@@OK@@@ 0.5
@@@OK@@@ (es decir, factor de amplificación = 0.5). Presiónese la tecla @@CHK
hasta que aparezca la marca  enfrente de la opción Small Font
(caracteres pequeños) de ser necesario. Presione @@@OK@@@ para terminar y
regresar a la pantalla normal.

La variable TPAR

Después de preparar la tabla, su calculadora creará una variable llamada
TPAR (Table PARameters) que almacena información relevante a la tabla que
será generada. Para ver el contenido de esta variable, presione ‚@TPAR.
•

Para ver la tabla, presiónese „ö(es decir, la tecla F) –
simultáneamente si se usa el modo RPN. Esta acción producirá una
tabla de valores de x = -5, -4.5, …, y los valores correspondientes de
f(x), listados bajo el encabezado Y1.
Utilícense las teclas
direccionales verticales para mover el cursor en la tabla. Nótese que
no tuvimos que indicar el valor final de la variable independiente x. La
tabla continua mas allá del valor máximo sugerido de x = 5.

Algunas de las opciones disponibles cuando la tabla es visible incluyen @ZOOM,
@@BIG@, y @DEFN:
•
•

Cuando se selecciona la opción @DEFN, la tabla muestra la definición de la
función calculada.
La tecla @@BIG@ cambia el tamaño de los caracteres. Presione esta tecla para
verificar su operación.

Página 12-21

•

Cuando se selecciona la opción @ZOOM (amplificar), se obtiene un menú con
las opciones: In, Out, Decimal, Integer, y Trig. Practique los siguientes
ejercicios:
• Seleccione la opción In, y presione @@@OK@@@. La tabla se expande de
manera que el incremento en x es de 0.25 en vez de 0.5. Lo que la
calculadora hace es multiplicar el incremento original 0.5 por el factor
de amplificación 0.5, para producir el nuevo incremento de 0.25. La
opción zoom in es útil cuando se requiere una mayor resolución en la
tabla.
• Para incrementar la resolución en un factor adicional de 0.5,
presiónese @ZOOM, selecciónese In una vez más, y presiónese @@@OK@@@. El
nuevo incremento en x es 0.0125.
• Para recuperar el incremento anterior, presiónese @ZOOM —@@@OK@@@ para
seleccionar la opción Un-zoom. En este ejemplo, el incremento en x se
incrementa a 0.25.
• Para recuperar el incremento original de 0.5, selecciónese un-zoom
una vez más, o úsese la opción zoom out (reducir amplificación) al
presionar @ZOUT @@@OK@@@.
• La opción Decimal en @ZOOM produce incrementos de 0.10.
• La opción Integer en @ZOOM produce incrementos de 1.
• La opción Trig en @ZOOM produce incrementos relacionados a fracciones
de π. Esta opción es útil en tablas de funciones trigonométricas.
• Para recuperar la pantalla normal presiónese la tecla `.

Diagramas en coordenadas polares
Primero que todo, usted puede desear suprimir las variables usadas en
ejemplos anteriores (por ejemplo, X, EQ, Y1, PPAR) usando la función PURGE
(I @PURGE). Haciendo esto, todos los parámetros relacionados con los
gráficos estarán despejados. Presione J para comprobar que las variables
fueron eliminados.
Intentaremos trazar la función f(θ) = 2(1-sin(θ)), como sigue:
• Primero, asegúrese que la calculadora tenga ángulos en radianes.

Página 12-22

•
•
•

Presione „ô, simultáneamente si en modo RPN, para acceder la
pantalla PLOT SETUP.
Cambie TYPE a Polar, presionando @CHOOS ˜ @@@OK@@@.
Presione ˜ y escriba:
³2* „ Ü1-S~‚t @@@OK@@@.

•
•
•
•

El cursor está ahora en el campo Indep field.
Presione
³~‚t @@@OK@@@ para cambiar la variable independiente a θ.
Presione L@@@OK@@@ para regresar a la pantalla normal.
Presione „ò, simultáneamente si en modo RPN, para acceder la
pantalla PLOT (en este caso se llamará PLOT –POLAR).
Cambie el rango H-VIEW a –8 a 8, usando 8\@@@OK@@@8@@@OK@@@, y
el rango V-VIEW a -6 a 2 usando 6\@@@OK@@@2@@@OK@@@.

Nota: Los rangos H-VIEW y la V-VIEW determinan las escalas de la
ventana gráfica solamente, y rangos no se relacionan con el rango de
valores de la variable independiente en este caso.
•
•

•

Cambie el valor Indep Low a 0, y el valor High a 6.28 (≈ 2π), usando:
0@@@OK@@@ 6.28@@@OK@@@.
Presione @ERASE @DRAW para trazar la función en coordenadas polares. El
resultado es a curve en la forma de un corazón. Esta curva se llama una
cardiode (cardios significa "corazón" en griego)

Presione @EDIT L @LABEL @MENU para ver la gráfica con etiquetas. Presione
L para recobrar el menú. Presione L @)PICT para recobrar el menú
gráfico original.

Página 12-23

•

•

Presione @TRACE @x,y@ para recorrer la curva. Los datos mostrados al pié
de la pantalla son el ángulo θ y el radio r, aunque este último se denomina
Y (nombre prefijado de la variable dependiente).
Presione L@CANCL para regresar a la pantalla PLOT WINDOW. Presione
L@@@OK@@@ para regresar a la pantalla normal.

En este ejercicio incorporamos la ecuación que se trazará directamente en la
pantalla PLOT SETUP. Podemos también incorporar las ecuaciones para trazar
usando la pantalla PLOT, i.e., simultáneamente si en modo RPN, presionando
„ñ. Por ejemplo, cuando Ud. presiona „ñ después de acabar el
ejercicio anterior, usted conseguirá la ecuación ‘2*(1-SIN(θ))’ destacado.
Digamos que deseamos trazar también la función ‘2*(1-COS(θ))’ junto con la
ecuación anterior.
•
•

Presione @@ADD@! , y escriba 2*„Ü1-T~‚t `,
para escribir la nueva ecuación.
Presione @ERASE @DRAW para ver las dos ecuaciones trazadas en la misma
figura. El resultado son dos cardioides que se interceptan. Presione @CANCL
$ para regresar a la pantalla normal.

Trazado de curvas cónicas
La forma más general de una curva cónica en el plano x-y es:
También reconocemos como ecuaciones
Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F = 0.
cónicas ésos dados en la forma canónica para las figuras siguientes:
•

círculo:

(x-xo)2+(y-yo)2 = r2

•

elipse:

(x-xo) 2/a2 + (y-yo) 2/b2 = 1

Página 12-24

•

parábola:

(y-b)2 = K(x-a), ó (x-a)2 = K(y-b)

•

hipérbola:

(x-xo) 2/a2 + (y-yo) 2/b2 = 1, ó xy = K,

donde xo, yo, a, b, y K son constantes.
El nombre curvas cónicas se usa porque estas figuras (círculos, elipses,
parábolas o hipérbolas) resultan de la intersección de un plano con un cono.
Por ejemplo, un círculo es la intersección de un cono con un plano
perpendicular al eje principal del cono.
La calculadora tiene la capacidad de trazar unas o más curvas cónicas
seleccionando Conic como TYPE en el ambiente PLOT. Cerciorarse de suprimir
las variables PPAR y EQ antes de continuar. Por ejemplo, almacenemos la lista
de ecuaciones
{ ‘(X-1)^2+(Y-2)^2=3’ , ‘X^2/4+Y^2/3=1’ }
en la variable EQ.
Estas ecuaciones las reconocemos como la de un círculo centrado en (1.2) con
el radio √3, y de una elipse centrada en (0,0) con longitudes del semi-eje a =
2 y b = √3.
•

•
•
•
•

Active el ambiente PLOT, presionando „ô, simultáneamente si en
modo RPN, y seleccione Conic como el TYPE. La lista de ecuaciones se
mostrará en la posición EQ.
Asegúrese de que la variable independiente (Indep) está fija a ‘X’ y la
variable dependiente (Depnd) a ‘Y’.
Presione L@@@OK@@@ para regresar a la pantalla normal.
Active el ambiente PLOT WINDOW, presionando „ò,
simultáneamente si en modo RPN.
Cambie el rango para H-VIEW a -3 a 3, usando 3\@@@OK@@@3@@@OK@@@.
También, cambie el rango V-VIEW a -1.5 a 2 usando
1.5\@@@OK@@@ 2@@@OK@@@.

Página 12-25

•

•

Cambie los campos Indep Low: y High: a Default usando L @RESET
mientras que cada uno de esos campos se destaca. Seleccione la opción
Reset value después de presionar @RESET. Presione @@@OK@@@ para terminar el
reajuste de valores. Presione L para regresar al menú principal.
Trace la gráfica: @ERASE @DRAW.

Nota: Los rangos H-View y V-View fueron seleccionados para mostrar la
intersección de las dos curvas. No hay regla general para seleccionar estos
rangos, excepto basado en lo que sabemos sobre las curvas. Por ejemplo,
para las ecuaciones demostradas arriba, sabemos que el círculo se
extenderá desde -3+1 = -2 a 3+1 = 4 en x, y desde -3+2=-1 a 3+2=5 en y.
Además, la elipse, que se centra en el origen (0,0), extenderá desde -2 a 2
en x, y desde -√3 a √3 en y.
Note que para el círculo y la elipse la región que corresponde a los
extremos derechos izquierdos en y de las curvas no está trazada. Éste es el
caso con todos los círculos o las elipses trazados usando Conic como el
TYPE.
•
•
•

Para ver etiquetas: @EDIT L@)LABEL @MENU
Para recobrar el menú: LL@)PICT
Para estimar los coordenadas del punto de la intersección, presione la
tecla @(X,Y)@ y mueva el cursor tan cerca como sea posible a esos puntos
usando las teclas direccionales. Los coordenadas del cursor se muestran
en la pantalla. Por ejemplo, el punto de la intersección a la izquierda está
cerca de (-0.692, 1.67), mientras que la intersección a la derecha está
cerca de (1.89,0.5).

Página 12-26

•
•

Para recobrar el menú y regresar al ambiente PLOT, presione L@CANCL.
Para regresar a la pantalla normal, presione L@@@OK@@@.

Diagramas paramétricos
Diagramas paramétricos en el plano son esos diagramas cuyas coordenadas
se generan a través del sistema de ecuaciones x = x(t) y y = y(t), donde t se
conoce como el parámetro. Un ejemplo de tal gráfico es la trayectoria de un
proyectil, x(t) = x0 + v0⋅COS θ0⋅t, y(t) = y0 + v0⋅sin θ0⋅t – ½⋅g⋅t2. Para trazar
ecuaciones como éstas, que implican valores constantes x0, y0, v0, y θ0,
necesitamos almacenar los valores de esos parámetros en variables. Para
desarrollar este ejemplo, crear un sub-directorio llamado ‘PROJM’ (PROJectile
Motion), y dentro de ese sub-directorio almacene las variables siguientes: X0 =
0, Y0 = 10, V0 = 10 , θ0 = 30, y g = 9.806. Cerciorarse de que la medida
del ángulo de la calculadora está fija a DEG. A continuación, defina las
funciones (use „à):
X(t) = X0 + V0*COS(θ0)*t
Y(t) = Y0 + V0*SIN(θ0)*t – 0.5*g*t^2
Lo cuál agregará las variables @@@Y@@@ y @@@X@@@ a las teclas del menú.

Página 12-27

Para producir la gráfica, siga estos pasos:
• Presione „ô, simultáneamente si en modo RPN, para acceder la
pantalla PLOT SETUP.
• Cambie TYPE a Parametric, presionando @CHOOS ˜˜@@@OK@@@.
• Presione ˜ y escriba ‘X(t) + i*Y(t)’ @@@OK@@@ para definir el diagrama
paramétrico como el de una variable compleja. (las partes real e
imaginaria de la variable compleja corresponden a las coordenadas x,y
de la curva.) El cursor ahora está en el campo Indep. Presione
³~„t @@@OK@@@ para cambiar la variable independiente a t.
• Presione L@@@OK@@@ para regresar a la pantalla normal.
• Presione „ò, simultáneamente si en modo RPN, para acceder la
pantalla PLOT (en este caso se llamará PLOT –PARAMETRIC). En vez de
modificar primero los rangos vertical horizontal de la gráfica, como se hizo
para otros tipos de diagrama, fijaremos los valores inferior y superior de la
variable independiente como sigue:
• Seleccione el campo Indep Low field presionando ˜˜. Cambie este
valor a 0@@@OK@@@. Entonces, cambie el valor de High a 2@@@OK@@@.
Escriba 0. 1@@@OK@@@ para el valor Step (i.e., step = 0.1).
Nota: A través de estos ajustes estamos indicando que el parámetro t
tomará valores de t = 0, 0.1, 0.2, …, etc., hasta alcanzar el valor de 2.0.
•

Presione @AUTO. Esto generará valores automáticos de los rangos H-View y
V-View de acuerdo con los valores de la variable independiente t y las
definiciones de X(t) y Y(t). El resultado será:

•

Presione @ERASE @DRAW para dibujar el diagrama paramétrico.

Página 12-28

•

Presione @EDIT L @LABEL @MENU para ver la gráfica con etiquetas. Los
parámetros de la ventana son tales que usted ve solamente la mitad de las
etiquetas en el eje x.

•

Presione L para recobrar el menú. Presione L@)PICT para recobrar el
menú gráfico original.
Presione TRACE @(X,Y)@ para determinar coordenadas de cualquier punto
en la gráfica. Use ™ y š para mover el cursor a lo largo de la curva.
Al pié de la pantalla usted verá el valor del parámetro t y las coordenadas
del cursor como (X,Y).
Presione L@CANCL para regresar al ambiente PLOT WINDOW. Entonces,
Presione $ , or L@@@OK@@@, para regresar a la pantalla normal.

•

•

Una revisión de sus etiquetas de menú muestra que usted ahora tiene las
variables siguientes: t, EQ, PPAR, Y, X, g, θ0, V0, Y0, X0. Las variables t, EQ,
y PPAR son generados por la calculadora para almacenar los valores actuales
del parámetro, t, de la ecuación que se trazará EQ (la cuál contiene ‘X(t) +
I∗Y(t)’), y los parámetros del diagrama.
Las otras variables contienen los
valores de las constantes usadas en las definiciones de X(t) y Y(t).
Usted puede almacenar diversos valores en las variables y producir los nuevos
diagramas paramétricos de las ecuaciones del proyectil usadas en este
ejemplo. Si usted desea borrar el contenido actual del cuadro antes de
producir un nuevo diagrama, usted necesita tener acceso a la pantalla PLOT,
PLOT WINDOW, o PLOT SETUP, presionando, „ñ , „ò, o „ô
(las dos teclas deben ser presionadas simultáneamente si en modo RPN).
Entonces, presione @ERASE @DRAW. Presione @CANCL para regresar a la pantalla
PLOT, PLOT WINDOW, o PLOT SETUP. Presione $, o L@@@OK@@@, para
regresar a la pantalla normal.

Página 12-29

Generación de una tabla para las ecuaciones
paramétricas
En un ejemplo anterior generamos una tabla de los valores (X,Y) para una
expresión de la forma Y=f(X), i.e., un tipo de gráfico de función. En esta
sección, presentamos el procedimiento para generar una tabla que
corresponde a un diagrama paramétrico. Para este propósito, nos
aprovecharemos de las ecuaciones paramétricas definidas en el ejemplo
arriba.
• Primero, accedemos a la pantalla TABLE SETUP presionando
„õ, simultáneamente si en modo RPN. Para la variable
independiente cambie el valor inicial a 0.0, y el valor Step a 0.1.
Presione @@@OK@@@.
• Genere la tabla presionando, simultáneamente si en modo RPN,
„ö. La tabla que resulta tiene tres columnas que representan el
parámetro t, y las coordenadas correspondientes a x y. Para esta tabla
los coordenadas se etiquetan X1 y Y1.

•
•

Use las teclas, š™—˜, para moverse sobre la tabla.
Presione $ para regresar a la pantalla normal.

Este procedimiento para crear una tabla que corresponde al tipo actual de
diagrama se puede aplicar a otros tipos del diagrama.

Trazar la solución a las ecuaciones diferenciales simples
El diagrama de una ecuación diferencial simple puede ser obtenido
seleccionando Diff Eq en el campo TYPE del ambiente PLOT SETUP como
sigue: suponga que deseamos trazar x(t) de la ecuación diferencial dx/dt =

Página 12-30

exp(-t2), con condiciones iniciales: x = 0 para t = 0. La calculadora permite
trazar de la solución de las ecuaciones diferenciales de la forma Y'(T) = F(T,Y).
Para nuestro caso, sean Yx y Tt, por lo tanto, F(T,Y) f(t,x) = exp(-t2).
Antes de trazar la solución, x(t), para t = 0 a 5, suprimir las variables EQ y
PPAR.
Presione „ô, simultáneamente si en modo RPN, para acceder la pantalla
PLOT SETUP.
• Cambie TYPE a Diff Eq.
• Presione ˜ y escriba ³„ ¸-~ „tQ2@@@OK@@@.
• El cursor ahora está en el campo H-Var. El campo debe de mostrar HVar:0 y también V-Var:1. Éste es el código usado por la calculadora
para identificar las variables que se trazarán. H-Var:0 significa que la
variable independiente (a ser seleccionada más adelante) será trazada en
el eje horizontal. También, V-Var: significa que la variable dependiente
(nombre preseleccionado ‘Y’) será trazado en el eje vertical.
• Presione ˜. El cursor ahora está en el campo Indep. Presione ³~
„t@@@OK@@@ para cambiar la variable independiente a t.
• Presione L@@@OK@@@ para regresar a la pantalla normal.
• Presione „ò, simultáneamente si en modo RPN, para acceder la
pantalla PLOT (en este caso se llamará PLOT WINDOW – DIFF EQ).
• Cambie los parámetros H-VIEW y V-VIEW a los siguientes valores: H-VIEW:
-15,

•
•
•

•

V-VIEW: -11.5

Cambie el valor Init a 0, y el valor Final a 5 usando: 0@@@OK@@@
5@@@OK@@@.
Los valores Step y Tol representan el paso en la variable independiente y la
tolerancia para que la convergencia a ser utilizada por la solución
numérica. Dejemos esos valores con sus ajustes de preselección (si la
palabra default no se demuestra en el campo Step:, use L @RESET para
reajustar ese valor a su valor prefijado. Presione L para regresar al
menú principal.) Presione ˜ .
El valor Init-Soln representa el valor inicial de la solución para comenzar el
resultado numérico. Para el actual caso, tenemos para las condiciones

Página 12-31

•
•

•
•

•

•
•

iniciales x(0) = 0, así, necesitamos cambiar este valor a 0.0, usando
0@@@OK@@@.
Presione @ERASE @DRAW para trazar la solución a la ecuación diferencial.
Presione @EDIT L @LABEL @MENU para ver la gráfica con etiquetas.

Presione L para recobrar el menú. Presione L@)PICT para recobrar el
menú gráfico original.
Cuando observamos el gráfico que era trazado, usted notará que el
gráfico no es muy liso. Eso es porque el trazador está utilizando un paso
del tiempo que sea demasiado grande. Para refinar el gráfico y hacerle
más liso, utilice un paso de 0.1. Intente lo siguiente: @CANCL
˜˜˜. 1@@@OK@@@ @ERASE @DRAW El diagrama tomará para ser
terminado, pero la forma es definitivamente más lisa que antes.
Presione @EDIT L @LABEL @MENU, para ver etiquetas de los ejes y su rango.
Notar que las etiquetas para los ejes se mostrarán como 0 (horizontal) y 1
(vertical). Éstas son las definiciones para los ejes según lo dado en la
pantalla PLOT WINDOW (ver arriba), i.e., H-VAR (t): 0, y V-VAR(x): 1.

Presione LL@)PICT para recobrar el menú y regresar al ambiente PICT.
Presione (X,Y) para determinar coordenadas de cualquier punto en la
gráfica. Use ™ y š para mover el cursor en el área del diagrama.
Al pié de la pantalla Ud. verá las coordenadas del cursor como (X,Y). La

Página 12-32

calculadora uses X y Y como el nombres prefijados para los ejes horizontal
y vertical, respectivamente.
• Presione L@)CANCL para regresar al ambiente PLOT WINDOW. Entonces,
Presione $ para regresar a la pantalla normal.
Más detalles en usar las soluciones gráficas de ecuaciones diferenciales se
presentan en el capítulo 16.

Diagramas de verdad
Se utilizan los diagramas de verdad de producir diagramas de dos
dimensiones de las regiones que satisfacen cierta condición matemática que
pueda ser verdadera o falsa. Por ejemplo, suponga que usted desea trazar la
región la cual X^2/36 + Y^2/9 < 1, proceda de esta manera:
• Presione „ô, simultáneamente si en modo RPN, para acceder la
pantalla PLOT SETUP.
• Cambie TYPE a Truth.
• Presione ˜ y escriba {‘(X^2/36+Y^2/9 < 1)','(X^2/16+Y^2/9 > 1)’}
@@@OK@@@ para definir las condiciones a ser trazadas.
• El cursor está ahora en el campo Indep field. Dejar eso como ‘X’ si está
fijado ya a esa variable, o cambiarla a ‘X’ de ser necesario.
• Presione L@@@OK@@@ para regresar a la pantalla normal.
Presione „ò, simultáneamente si en modo RPN, para acceder la pantalla
PLOT (en este caso se llamará PLOT WINDOW – TRUTH). Guardemos el valor
prefijado para los rangos de la ventana: H-View: -6.5 6.5, V-View: -3.9 4.0 (Para
reajustarlos use L @RESET (Seleccione Reset all) @@OK@@ L).
Nota: si los rangos de la ventana no se fijan a los valores prefijados, la
manera más rápida de reajustarlos es usando L@RESET@ (Seleccione Reset
all) @@@OK@@@ L.
•

Presione @ERASE @DRAW para trazar el diagrama de verdad. Porque la
calculadora hace un muestreo el dominio total del diagrama, punto por
punto, le toma algunos minutos para producir un diagrama de verdad. El
actual diagrama debe producir una elipse sombreada de semi-ejes 6 y 3
(en x y y, respectivamente), centrado en el origen.

Página 12-33

•

Presione @EDIT L @LABEL @MENU para ver la gráfica con etiquetas. Los
parámetros de la pantalla son tales que uno sólo ve la mitad de las
etiquetas en el eje x. Presione L para recobrar el menú. Presione
L@)PICT para recobrar el menú gráfico original.
• Presione (X,Y) para determinar coordenadas de cualquier punto en la
gráfica. Use las teclas para mover el cursor en la región trazada. Al pié
de la pantalla usted verá el valor de los coordenadas del cursor como
(X,Y).
• Presione L@)CANCL para regresar al ambiente PLOT WINDOW. Entonces,
Presione $ , or L@@@OK@@@, para regresar a la pantalla normal.
Usted puede tener más de una condición trazada en el mismo tiempo si usted
multiplica las condiciones. Por ejemplo, para trazar la gráfica de los puntos
para los cuales X2/36 + Y2/9 < 1, y X2/16 + Y2/9 > 1, use lo siguiente:

•
•
•

Presione „ô, simultáneamente si en modo RPN, para acceder la
pantalla PLOT SETUP.
Presione ˜ y escriba ‘(X^2/36+Y^2/9 < 1)⋅ (X^2/16+Y^2/9 >
1)’@@@OK@@@ para definir las condiciones a ser trazadas.
Presione @ERASE @DRAW para trazar el diagrama de verdad. Una vez más
usted tiene que ser paciente mientras que la calculadora produce el
gráfico. Si usted desea interrumpir el diagrama, presione $ , una vez.
Después presione @CANCEL .

Trazar histogramas, diagramas de barra, y de
dispersión
Histogramas, diagramas de barra y de dispersión se utilizan trazar los datos
discretos almacenados en la variable reservada ΣDAT. Esta variable se utiliza
no solamente para estos tipos de diagramas, pero también para toda la clase
de usos estadísticos como será demostrado en el Capítulo 18. De hecho, el
uso de los diagramas del histograma se pospone hasta el capítulo 18, porque
el trazado de un histograma requiere el agrupar los datos y hacer un análisis
de frecuencia antes del diagrama real. En esta sección demostraremos cómo
cargar datos en la variable ΣDAT y cómo trazar la dispersión de los diagramas
y de la barra traza.

Página 12-34

Utilizaremos los datos siguientes para trazar diagramas de la barra y
diagramas de dispersión:
x
3.1
3.6
4.2
4.5
4.9
5.2

y
2.1
3.2
4.5
5.6
3.8
2.2

z
1.1
2.2
3.3
4.4
5.5
6.6

Diagramas de barra
Primero, cerciorarse de que el CAS de su calculadora esté en modo Exact. A
continuación, escriba los datos demostrados arriba como una matriz, i.e.,
[[3.1,2.1,1.1],[3.6,3.2,2.2],[4.2,4.5,3.3],
[4.5,5.6,4.4],[4.9,3.8,5.5],[5.2,2.2,6.6]] `
para almacenarlo en ΣDAT, use la función STOΣ (disponible en el catálogo de
funciones, ‚N). Presione VAR para recobrar el menú de variables. Una
tecla de menú llamada ΣDAT estará disponible en la pantalla. La figura abajo
demuestra el almacenaje de esta matriz en modo de ALG:

Para producir la gráfica:
•
•

Presione „ô, simultáneamente si en modo RPN, para acceder la
pantalla PLOT SETUP.
Cambie TYPE a Bar.

Página 12-35

•
•

•
•
•
•

•

Una matriz se mostrará en el campo ΣDAT. Ésta es la matriz que
almacenamos anterior en ΣDAT.
Seleccione el campo Col:. Este campo le deja elegir la columna de ΣDAT
que debe ser trazado. El valor prefijado es 1. Use ese valor para trazar la
columna 1 en ΣDAT.
Presione L@@@OK@@@ para regresar a la pantalla normal.
Presione „ò, simultáneamente si en modo RPN, para acceder la
pantalla PLOT.
Cambie V-View para mostrar, V-View: 0 5.
Presione @ERASE @DRAW para trazar el diagrama de barras.

Presione @CANCL para regresar al ambiente PLOT WINDOW. Entonces,
Presione $ , or L@@@OK@@@, para regresar a la pantalla normal.

El número de las barras que se trazarán determina la anchura de la barra. Los
valores H-VIEW y V-VIEW se fijan a 10, por defecto. Cambiamos V-VIEW
para acomodar mejor el valor máximo en la columna 1 de ΣDAT. Los
diagramas de barras son útiles al trazar datos categóricos (no numéricos).
Suponer que usted desea trazar los datos en la columna 2 de la matriz ΣDAT:
•
•
•
•

Presione „ô, simultáneamente si en modo RPN, para acceder la
pantalla PLOT SETUP.
Presione ˜˜ para destacar el campo Col: y escriba 2 @@@OK@@@, seguido
de L@@@OK@@@.
Presione „ò, simultáneamente si en modo RPN, para acceder la
pantalla PLOT SETUP.
Cambie V-View para mostrar V-View: 0 6

Página 12-36

•

Presione @ERASE @DRAW.

•

Presione @CANCL para regresar a la pantalla PLOT WINDOW, entonces
$ para regresar a la pantalla normal.

Diagramas de dispersión

Usaremos la misma matriz de datos ΣDAT para producir un diagrama de
dispersión. Primero, trazaremos los valores de y vs. x, y después los de y vs. z,
como sigue:
•
•
•

•
•
•
•

Presione „ô, simultáneamente si en modo RPN, para acceder la
pantalla PLOT SETUP.
Cambie TYPE a Scatter.
Presione ˜˜ para destacar el campo Cols:. Escriba 1@@@OK@@@
2@@@OK@@@ para seleccionar la columna 1 como X y la columna 2 como Y
en el diagrama de dispersión, Y vs. X.
Presione L@@@OK@@@ para regresar a la pantalla normal.
Presione „ò, simultáneamente si en modo RPN, para acceder la
pantalla PLOT.
Cambie los rangos de la pantalla de diagramas para mostrar: H-View: 0
6, V-View: 0 6.
Presione @ERASE @DRAW para trazar el diagrama de barras. Presione @EDIT
L @LABEL @MENU para ver el diagrama sin las etiquetas del menú y con
etiquetas de identificación (el cursor estará en el medio del diagrama, sin
embargo):

Página 12-37

•
•

Presione LL@)PICT para abandonar el ambiente EDIT.
Presione @CANCL para regresar al ambiente PLOT WINDOW. Entonces,
Presione $ , or L@@@OK@@@, para regresar a la pantalla normal.

Para trazar y vs. z, use:
•
•

•
•
•
•

•
•

Presione „ô, simultáneamente si en modo RPN, para acceder la
pantalla PLOT SETUP.
Presione ˜˜ para destacar el campo Cols: field. Escriba 3@@@OK@@@
2@@@OK@@@ para seleccionar columna 3 como X y columna 2 como Y en el
diagrama de dispersión, Y vs. X.
Presione L@@@OK@@@ para regresar a la pantalla normal.
Presione „ò, simultáneamente si en modo RPN, para acceder la
pantalla PLOT.
Cambie los rangos de la pantalla de diagramas para mostrar: H-View: 0 7,
V-View: 0 7.
Presione @ERASE @DRAW para trazar el diagrama de barras. Presione @EDIT
L @LABEL @MENU para ver el diagrama sin las etiquetas del menú y con
etiquetas de identificación.

Presione LL@)PICT para abandonar el ambiente EDIT.
Presione @CANCL para regresar al ambiente PLOT WINDOW. Entonces,
Presione $ , or L@@@OK@@@, para regresar a la pantalla normal.

Página 12-38

Campos de pendientes
Los campos de los pendientes se utilizan para visualizar las soluciones a una
ecuación diferencial de la forma y’ = f(x,y). Básicamente, qué se presenta en
el diagrama son los segmentos tangenciales a las curvas de la solución, desde
entonces y’ = dy/dx, evaluado en cualquier punto (x,y), representa la
pendiente de la línea de la tangente en el punto (x,y).
Por ejemplo, visualizar la solución a la ecuación diferencial y’ = f(x,y) = x+y,
utilizar el siguiente:
•
•
•
•
•
•
•

Presione „ô, simultáneamente si en modo RPN, para acceder la
pantalla PLOT SETUP.
Cambie TYPE a Slopefield.
Presione ˜ y escriba ‘X+Y’ @@@OK@@@.
Cerciórese que ‘X’ se selecciona como la variable Indep: y ‘Y’ como la
variable Depnd:.
Presione L@@@OK@@@ para regresar a la pantalla normal.
Presione „ ò, simultáneamente si en modo RPN, para acceder la
pantalla PLOT .
Cambie los rangos de la pantalla de diagramas para mostrar: X-Left:-5, XRight:5, Y-Near:-5, Y-Far: 5

•

Presione @ERASE @DRAW para trazar el diagrama de pendientes. Presione
@EDIT L @LABEL @MENU para ver el diagrama sin las etiquetas del menú y
con etiquetas de identificación.

•
•

Presione LL@)PICT para abandonar el ambiente EDIT.
Presione @CANCL para regresar al ambiente PLOT WINDOW. Entonces,
Presione $ , or L@@@OK@@@, para regresar a la pantalla normal.

Página 12-39

Si usted pudiera reproducir el campo de pendientes en papel, usted puede
trazar a mano las líneas que son tangente a la línea segmentos demostrados
en el diagrama. Estas líneas constituyen líneas de y(x, y) = constante, para la
solución de y’ = f(x,y). Por lo tanto, los campos de pendientes son
herramientas útiles para visualizar particularmente ecuaciones difíciles para
solucionar.
Intentar también una parcela de terreno de la cuesta para la función y’ = f(x,y)
= - (y/x)2, usando:
•
•
•
•

•
•

Presione „ô, simultáneamente si en modo RPN, para acceder la
pantalla PLOT SETUP.
Cambie TYPE a Slopefield.
Presione ˜ y escriba ‘− (Y/X)^2’ @@@OK@@@.
Presione @ERASE @DRAW para trazar el diagrama de pendientes. Presione
@EDIT L @LABEL @MENU para ver el diagrama sin las etiquetas del menú y
con etiquetas de identificación.

Presione LL@)PICT para abandonar el ambiente EDIT.
Presione @CANCL para regresar al ambiente PLOT WINDOW. Entonces,
Presione $ , or L@@@OK@@@, para regresar a la pantalla normal.

Gráficas tridimensionales de acción rápida (Fast 3D
plots)
Estas gráficas se utilizan para
visualizar superficies tridimensionales
representadas por ecuaciones de la forma z = f(x,y). Por ejemplo, si se desea
visualizar la función z = f(x,y) = x2+y2, síganse los siguientes pasos:

Página 12-40

•
•
•
•
•
•
•

Presiónese „ô, simultáneamente si se usa el modo RPN, para
acceder el ambiente PLOT SETUP.
Cámbiese la opción TYPE a Fast3D. ( @CHOOS!, seleccionar Fast3D, @@OK@@).
Presiónese ˜ y escríbase ‘X^2+Y^2’ @@@OK@@@.
Asegúrese que se ha seleccionado la ‘X’ como la variable independiente
(Indep:) y la ‘Y’ como la variable dependiente (Depnd:).
Presiónese L@@@OK@@@ para recuperar la pantalla normal.
Presiónese „ò, simultáneamente si se usa el modo RPN, para
acceder al ambiente PLOT WINDOW.
Acéptense los valores siguientes para los parámetros de la gráfica:
X-Left:-1
Y-Near:-1
Z-Low: -1

X-Right:1
Y-Far: 1
Z-High: 1

Step Indep: 10

Depnd: 8

Nota: Los valores Step Indep: y Depnd: representan el número de
incrementos en la malla gráfica a utilizarse. A medida que se
incrementan estos números, la producción de la gráfica se hace más
lenta, aunque el tiempo necesario para producirla es relativamente
corto.
•

Presiónense las teclas @ERASE @DRAW para dibujar la superficie tridimensional.
El resultado de esta operación es un diagrama de las trazas de la malla
gráfica sobre la superficie. La figura incluye el sistema de coordenadas de
referencia en la esquina inferior izquierda. Al presionar las teclas
direccionales (š™—˜) uno puede cambiar la orientación de la
superficie. La orientación del sistema de coordenadas de referencia
también se cambia al moverse el punto de vista de la superficie. Las
siguientes figuras muestran dos vistas de la superficie definida
anteriormente.

Página 12-41

•
•
•
•

Para finalizar, presiónese la tecla @EXIT.
Presiónese @CANCL para regresar al ambiente PLOT WINDOW.
Cámbiese la información siguiente: Step Indep: 20 Depnd: 16
Presiónese @ERASE @DRAW para dibujar la superficie nuevamente.

•
•
•

Para finalizar, presiónese la tecla @EXIT.
Presiónese @CANCL para regresar al ambiente PLOT WINDOW.
Presiónese $ , o L@@@OK@@@, para recuperar la pantalla normal.

He aquí otro ejercicio del tipo de gráfica Fast 3D, z = f(x,y) = sin (x2+y2)
•
•
•
•
•

Presiónese „ô, simultáneamente si se usa el modo RPN, para
acceder al ambiente PLOT SETUP.
Presiónese ˜ y escríbase la función ‘SIN(X^2+Y^2)’ @@@OK@@@.
Presiónese @ERASE @DRAW para dibujar la superficie.
Presiónese @EXIT @CANCL para regresar a la forma PLOT WINDOW.
Presiónese $ , o L@@@OK@@@, para regresar a la pantalla normal.

Intente también un diagrama Fast 3D para la superficie z = f(x,y) = sin (x2+y2)
•
•

Presione „ô, simultáneamente si en modo RPN, para acceder a la
pantalla PLOT SETUP.
Presione ˜ y escriba ‘SIN(X^2+Y^2)’ @@@OK@@@.

Página 12-42

•
•
•

Presiónese @ERASE @DRAW para dibujar la superficie.
Presiónese @EXIT @CANCL para regresar a la forma PLOT WINDOW.
Presiónese $ , o L@@@OK@@@, para regresar a la pantalla normal.

Diagramas de grillas
Los diagramas de grillas (Diagramas de grillas) son los diagramas de las
superficies tridimensionales descritas por z = f(x,y). A diferencia de los
diagramas Fast 3D, diagramas de grillas son diagramas estáticos. El usuario
puede elegir el punto de vista para el diagrama, es decir, el punto desde el
cual se observar la superficie. Por ejemplo, produzca un diagrama de grillas
para la superficie z = x + 2y –3, usando:
•
•
•
•
•
•
•

Presione „ô, simultáneamente si en modo RPN, para acceder la
pantalla PLOT SETUP.
Cambie TYPE a Wireframe.
Presione ˜ y escriba ‘X+2*Y-3’ @@@OK@@@.
Cerciórese de que ' X ' sea seleccionado como variable Indep: y ‘Y’ como
variable Depnd:.
Presione L@@@OK@@@ para regresar a la pantalla normal.
Presione „ò, simultáneamente si en modo RPN, para acceder la
pantalla PLOT .
Mantenga los rangos prefijados de la pantalla de diagramas mostrar: XLeft:-1, X-Right:1, Y-Near:-1, Y-Far: 1, Z-Low: -1, Z-High: 1, XE:0,YE:-3, ZE:0, Step
Indep: 10 Depnd: 8

Los coordenadas XE, YE, ZE, significan “coordenadas del ojo”, es decir, las
coordenadas desde los cuales un observador ve el diagrama. Los valores
demostrados son los valores prefijados. Los valores de Indep: y Depnd:
representan el número de grillas que se utilizarán en el diagrama. Mientras
más grandes éstos numeran, más lenta la producción del gráfico. Los valores
mostrados son los valores prefijados. Para este ejercicio usaremos los valores
prefijados de 10 y 8 para los valores Step.

Página 12-43

•
•

Presione @ERASE @DRAW para trazar la superficie tridimensional. El resultado
es a diagrama de grillas de la superficie.
Presione @EDIT L @LABEL @MENU para ver la gráfica con etiquetas y rangos.
Esta versión particular del gráfico se limita a la parte más inferior de la
pantalla. Podemos cambiar el punto de vista para ver una diversa versión
del gráfico.

•
•

Presione LL@)PICT @CANCL para regresar al ambiente PLOT WINDOW.
Cambie las coordenadas del punto de vista para mostrar : XE:0

•
•

Presione @ERASE @DRAW para ver el diagrama de la superficie.
Presione @EDIT L @LABEL @MENU para ver la gráfica con etiquetas y rangos.

YE:-3

ZE:3

Esta versión del gráfico ocupa más área en la pantalla que la anterior.
Podemos cambiar el punto de vista, una vez más, para ver otra versión del
gráfico.
•
•

Presione LL@)PICT @CANCL para regresar al ambiente PLOT WINDOW.
Cambie los datos de las coordenadas del punto de vista para mostrar:

•

Presione @ERASE @DRAW para ver el diagrama de la superficie. Esta vez el
bulto del diagrama está situado hacia el lado derecho de la pantalla.

XE:3

YE:3

ZE:3

Página 12-44

•
•

Presione @CANCL para regresar al ambiente PLOT WINDOW.
Presione $ , or L@@@OK@@@, para regresar a la pantalla normal.

Intente también un diagrama de grillas para la superficie z = f(x,y) = x2+y2
•
•
•

•
•

Presione „ô, simultáneamente si en modo RPN, para acceder a la
pantalla PLOT SETUP.
Presione ˜ y escriba ‘X^2+Y^2’ @@@OK@@@.
Presione @ERASE @DRAW para trazar la superficie. Presione @EDIT L@)MENU
@LABEL para ver el diagrama sin las etiquetas del menú y con etiquetas de
identificación.

Presione LL@)PICT para abandonar el ambiente EDIT.
Presione @CANCL para regresar al ambiente PLOT WINDOW. Entonces,
Presione $ , or L@@@OK@@@, para regresar a la pantalla normal.

Diagramas de contornos (Ps-Contour plots)
Los diagramas de contornos (Ps-Contour plots) son los diagramas del contorno
de superficie tridimensional descritos por z = f(x,y). Los contornos producidos
son proyecciones de superficies de nivel z = constante en el plano x-y. Por
ejemplo, para producir un diagrama de contornos para la superficie z = x2+y2,
utilizar lo siguiente:

Página 12-45

•
•
•
•
•
•
•

Presione „ô, simultáneamente si en modo RPN, para acceder la
pantalla PLOT SETUP.
Cambie TYPE a Ps-Contour.
Presione ˜ y escriba ‘X^2+Y^2’ @@@OK@@@.
Cerciórese que ‘X’ se selecciona como la variable Indep: y ‘Y’ como la
variable Depnd:.
Presione L@@@OK@@@ para regresar a la pantalla normal.
Presione „ò, simultáneamente si en modo RPN, para acceder la
pantalla PLOT .
Cambie los rangos prefijados para la pantalla del diagrama para mostrar:
X-Left:-2, X-Right:2, Y-Near:-1 Y-Far: 1, Step Indep: 10, Depnd: 8

•

Presione @ERASE @DRAW para trazar el diagrama de contornos. Esta
operación tomará una cierta hora, sea así pues, paciente. El resultado es
un diagrama de contornos de la superficie. Note que los contornos no
son necesariamente continuos, sin embargo, proporcionan un buen
estimado de las superficies planas de la función. Presione @EDITL @LABEL
@MENU para ver la gráfica con etiquetas y rangos.

•
•

Presione LL@)PICT@CANCL para regresar al ambiente PLOT WINDOW.
Presione $ , or L@@@OK@@@, para regresar a la pantalla normal.

Intente también un diagrama de contornos para la superficie z = f(x,y) = sin x
cos y.
•
•
•

Presione „ô, simultáneamente si en modo RPN, para acceder a la
pantalla PLOT SETUP.
Presione ˜ y escriba ‘SIN(X)*COS(Y)’ @@@OK@@@.
Presione @ERASE @DRAW para trazar el diagrama de contornos. Presione @EDIT
L@)LABEL @MENU para ver el diagrama sin las etiquetas del menú y con
etiquetas de identificación.

Página 12-46

•
•

Presione LL@)PICT para abandonar el ambiente EDIT.
Presione @CANCL para regresar al ambiente PLOT WINDOW. Entonces,
Presione $ , or L@@@OK@@@, para regresar a la pantalla normal.

Diagramas de corte vertical
Diagramas de corte vertical (Diagrama de corte vertical s) son los diagramas
animados de z-vs.-y para diversos valores de x de la función z = f(x,y). Por
ejemplo, para producir un diagrama de corte vertical para la superficie z = x3xy3, utilice lo siguiente:
•
•
•
•
•
•
•
•

Presione „ô, simultáneamente si en modo RPN, para acceder la
pantalla PLOT SETUP.
Cambie TYPE a Y-Slice.
Presione ˜ y escriba ‘X^3+X*Y^3’ @@@OK@@@.
Cerciórese que ‘X’ se selecciona como la variable Indep: y ‘Y’ como la
variable Depnd:.
Presione L@@@OK@@@ para regresar a la pantalla normal.
Presione „ò, simultáneamente si en modo RPN, para acceder la
pantalla PLOT .
Mantenga los rangos prefijados para la pantalla para mostrar: X-Left:-1, XRight:1, Y-Near:-1, Y-Far: 1, Z-Low:-1, Z-High:1, Step Indep: 10 Depnd: 8
Presione @ERASE @DRAW para trazar el superficie tridimensional. Usted verá la
calculadora producir una serie de curvas en la pantalla, que
desaparecerán inmediatamente. Cuando la calculadora acaba el producir
todas las curvas de corte vertical, entonces comenzará automáticamente la
animación de las diversas curvas. Una de las curvas se muestra abajo.

Página 12-47

•

Presione $ para detener la animación. Presione @CANCL para regresar
al ambiente PLOT WINDOW.
• Presione $ , or L@@@OK@@@, para regresar a la pantalla normal.
Intente también un diagrama Ps-Contour para la superficie z = f(x,y) = (x+y) sin
y.
• Presione „ô, simultáneamente si en modo RPN, para acceder a la
pantalla PLOT SETUP.
• Presione ˜ y escriba ‘(X+Y)*SIN(Y)’ @@@OK@@@.
• Presione @ERASE @DRAW para producir la animación de las curvas.
• Presione $ para detener la animación.
• Presione @CANCL para regresar al ambiente PLOT WINDOW. Entonces,
Presione $ , or L@@@OK@@@, para regresar a la pantalla normal.

Diagramas de redes (Gridmap plots)
Los diagramas de redes (Gridmap plots) producen una red de curvas
ortogonales que describen una función de una variable compleja de la forma
w =f(z) = f(x+iy), donde z = x+iy es una variable compleja. Las funciones
trazadas corresponden a las partes real e imaginaria de w = Φ(x,y) + iΨ(x,y),
es decir, representan curvas Φ(x,y) =constante, y Ψ(x,y) = constante. Por
ejemplo, par producir un diagrama de redes para la función w = sin(z), utilice
lo siguiente:
• Presione „ô, simultáneamente si en modo RPN, para acceder la
pantalla PLOT SETUP.
• Cambie TYPE a Gridmap.
• Presione ˜ y escriba ‘SIN(X+i*Y)’ @@@OK@@@.
• Cerciórese que ‘X’ se selecciona como la variable Indep: y ‘Y’ como la
variable Depnd:.
• Presione L@@@OK@@@ para regresar a la pantalla normal.

Página 12-48

•

•

Presione „ò, simultáneamente si en modo RPN, para acceder la
pantalla PLOT .
Mantenga los rangos prefijados de la pantalla para mostrar: X-Left:-1, XRight:1, Y-Near:-1 Y-Far: 1, XXLeft:-1 XXRight:1, YYNear:-1, yyFar: 1, Step Indep:
10 Depnd: 8
Presione @ERASE @DRAW para trazar el diagrama de redes. El resultado es
una red de funciones que corresponden a las partes verdaderas e
imaginarias de una función compleja.
Presione @EDIT L@LABEL @MENU para ver la gráfica con etiquetas y rangos.

•
•

Presione LL@)PICT @CANCL para regresar al ambiente PLOT WINDOW.
Presione $ , or L@@@OK@@@, para regresar a la pantalla normal.

•

•

Otras funciones de una variable compleja dignas de intentar para diagrama
de redes son:
i.e., F(z) = z2

(1) SIN((X,Y))

i.e., F(z) = sin(z)

(2)(X,Y)^2

(3) EXP((X,Y))

i.e., F(z) = ez

(4) SINH((X,Y)) i.e., F(z) = sinh(z)

(5) TAN((X,Y))

i.e., F(z) = tan(z)

(6) ATAN((X,Y)) i.e., F(z) = tan-1(z)

(7) (X,Y)^3

i.e., F(z) = z3

(8) 1/(X,Y)

(9) √ (X,Y)

i.e., F(z) = z

i.e., F(z) = 1/z

1/2

Diagramas de superficies paramétricas (Pr-Surface plots)
Los diagramas Pr-Surface (de superficie paramétrica) se utilizan para trazar una
superficie tridimensional cuyas coordenadas (x, y, z) están descritas por x =
x(X,Y), y = y(X,Y), z=z(X,Y), donde X y Y son parámetros independientes.

Página 12-49

Nota: Las ecuaciones x = x(X,Y), y = y(X,Y), z=z(X,Y) representar una
descripción paramétrica de una superficie. X y Y son los parámetros
independientes. La mayoría de los libros de textos utilizarán (u,v) como los
parámetros, más bien que (X,Y). Por lo tanto, la descripción paramétrica de
una superficie se da como x = x(u,v), y = y(u,v), z=z(u,v).
Por ejemplo, para producir un diagrama Pr-Surface para la superficie x = x(X,Y)
= X sin Y, y = y(X,Y) = x cos Y, z=z(X,Y)=X, utilice lo siguiente:
•
•
•
•
•
•
•

•
•

Presione „ô, simultáneamente si en modo RPN, para acceder la
pantalla PLOT SETUP.
Cambie TYPE a Pr-Surface.
Presione ˜ y escriba ‘{X*SIN(Y), X*COS(Y), X}’ @@@OK@@@.
Cerciórese que ‘X’ se selecciona como la variable Indep: y ‘Y’ como la
variable Depnd:.
Presione L@@@OK@@@ para regresar a la pantalla normal.
Presione „ò, simultáneamente si en modo RPN, para acceder la
pantalla PLOT .
Mantenga los rangos prefijados de la pantalla para mostrar: X-Left:-1, XRight:1, Y-Near:-1, Y-Far: 1, Z-Low: -1, Z-High:1, XE: 0, YE:-3, zE:0, Step Indep:
10, Depnd: 8
Presione @ERASE @DRAW para trazar el superficie tridimensional.
Presione @EDITL @LABEL @MENU para ver la gráfica con etiquetas y rangos.

Presione LL@)PICT @CANCL para regresar al ambiente PLOT WINDOW.
Presione $ , or L@@@OK@@@, para regresar a la pantalla normal.

Página 12-50

La variable VPAR
La variable VPAR (inglés, Volume Parameter, o parámetros de volumen)
contiene la información con respecto al "volumen" usado para producir un
gráfico tridimensional. Por lo tanto, usted verá que se produce esta variable
siempre que usted cree un diagrama tridimensional, por ejemplo, Fast3D,
Wireframe, or Pr-Surface.

Dibujo interactivo
Siempre que produzcamos un gráfico de dos dimensiones, encontramos en los
gráficos defendemos una tecla de menú etiquetada @)EDIT. Presionando @)EDIT
produce un menú que incluye las opciones siguientes (Presione L para ver
funciones adicionales):

Con los ejemplos arriba, usted tiene la oportunidad de probar funciones LABEL,
MENU, PICT, y REPL.
Muchas de las funciones restantes, por ejemplo,
DOT+, DOT-, LINE, BOX, CIRCL, MARK, DEL, etc., puede ser utilizadas para
dibujar puntos, líneas, círculos, etc.. en la pantalla de los gráficos, según lo
descrito abajo. Para ver cómo utilizar estas funciones intentaremos el ejercicio
siguiente:
Primero, conseguimos la pantalla de los gráficos que corresponde a las
instrucciones siguientes:

Página 12-51

•

Presione „ô, simultáneamente si en modo RPN, para acceder la
pantalla PLOT SETUP.
• Cambie TYPE a Function, de ser necesario
• Cambie EQ a ‘X’
• Asegúrese que Indep: está fija a ‘X’
• Presione L@@@OK@@@ para regresar a la pantalla normal.
• Presione „ò, simultáneamente si en modo RPN, para acceder la
pantalla PLOT (en este caso se llamará PLOT –POLAR).
• Cambie el rango H-VIEW a –10 a 10, usando 10\@@@OK@@@
10@@@OK@@@, y el rango V-VIEW a -5 a 5 usando 5\@@@OK@@@
5@@@OK@@@.
• Presione @ERASE @DRAW para trazar la función.
• Presione @EDIT L @LABEL para agregar etiquetas a la gráfica. Presione
LL (or „«) para recuperar el menú original EDIT
A continuación, ilustramos el uso de las diversas funciones de dibujo en la
pantalla de los gráficos que resulta. Requieren el uso del cursor y las teclas
(š™—˜) para mover el cursor sobre la pantalla de los gráficos.

DOT+ y DOTCuando se selecciona DOT+, los píxeles serán activados dondequiera que el
cursor se mueva, es decir, siguiendo la posición del cursor.
Cuando se
selecciona DOT- el efecto opuesto ocurre, i.e., pues usted mueve el cursor, los
píxeles serán suprimidos.
Por ejemplo, utilice ™— para mover el cursor en alguna parte en el centro
del primer cuadrante del plano x-y, entonces presione @DOT+@@. La etiqueta será
seleccionada (DOT+n@). Presione y mantenga presionada la tecla ™ para ver
una línea horizontal que es trazada. Ahora, presione @DOT-@, para seleccionar
esta opción ( @DOT-n@ ). Presione y mantenga presionada la tecla š para ver
la línea que usted acaba de trazar siendo borrada. Presione @DOT-, cuando
haya terminado para deseleccionar esta opción.

Página 12-52

MARK
Este comando permite que el usuario fije una marca que se pueda utilizar para
un número de propósitos, por ejemplo:
•
•
•

Comienzo de la línea con las instrucciones LINE o TLINE
La esquina de una instrucción BOX
El centro de una instrucción CIRCLE

Uso de la instrucción MARK por sí misma simplemente coloca una x en la
localización de la marca (Presione L@MARK para verla en acción).

LINE
Se utiliza este comando para dibujar una línea entre dos puntos en el gráfico.
Para verlo en acción, coloque el cursor en alguna parte en el primer cuadrante,
y presione „«@LINE. Una marca (MARK) se coloca sobre el cursor que
indica el origen de la línea. Utilice la tecla ™ para mover el cursor a la
derecha de la posición actual, digamos, cerca de 1 centímetro a la derecha, y
presione @LINE. Una línea se traza entre el primer y el último punto.
Note que el cursor en el extremo de esta línea sigue activo indicando que la
calculadora está lista a trazar una línea que comienza en ese punto. Presione
˜ para mover el cursor hacia abajo, digamos, otro centímetro, y presione
@LINE otra vez. Ahora usted debe tener un ángulo recto trazado por un
segmento horizontal y un segmento vertical.
El cursor sigue activo. Para
desactivarlo, sin moverlo del todo, presione @LINE. El cursor vuelve a su forma
normal (una cruz) y la función LINE se desactiva.

TLINE
(Inglés, Toggle LINE, cambie estado de la línea) Mueva el cursor al segundo
cuadrante para ver esta función en acción. Presione @TLINE. Una marca
(MARK) se coloca en el comienzo de la línea. Mueva el cursor con las teclas
lejos de este punto, y presione @TLINE. Una línea se dibuja de la posición
actual del cursor al punto de referencia seleccionado anteriormente. Los píxeles
que están encendido en la línea trayectoria serán apagados, y viceversa. Para
remover la línea trazada más reciente trazada, presione @TLINE una vez más.

Página 12-53

Para desactivar TLINE, mueva el cursor al punto original donde TLINE fue
activada, y presione @LINE @LINE.

BOX
Se utiliza este comando para dibujar una caja en el gráfico. Mueva el cursor a
un área clara del gráfico, y presione @BOX. Esto destaca el cursor. Mueva el
cursor con las teclas a un punto diferente, y en una dirección diagonal, lejos de
la posición actual del cursor.
Presione @BOX@ una vez más.
Se dibuja un
rectángulo cuya diagonal junta las posiciones del cursor de la inicial a la final.
La posición inicial de la caja todavía está marcada con una x. Mueva el cursor
a otra posición y presione @BOX@ para generar una caja nueva que contiene el
punto inicial. Para desactivar BOX, mueva el cursor al punto original donde
BOX fue activada, y presione @LINE @LINE.

CIRCL
Este comando produce un círculo. Marque el centro del círculo con una marca
(instrucción MARK), entonces mueva el cursor a un punto que sea parte de la
periferia del círculo, y presione @CIRCL. Para desactivar CIRCL, volver el cursor
a la posición MARK y presione @LINE.
Intente este comando moviendo el cursor a una parte clara del gráfico, y
presione @MARK. Mueva el cursor a otro punto, y presione @CIRCL. Un círculo
centrado en la marca (MARK), y que pasa a través del punto pasado será
dibujado.

LABEL

Presionando @LABEL coloca las etiquetas en los ejes x y y del diagrama actual.
Esta función se ha utilizado extensivamente con este capítulo.

DEL
Se utiliza este comando para remover las partes del gráfico entre dos
posiciones MARK. Mueva el cursor a un punto en el gráfico, y presione @MARK.
Mueva el cursor a un punto diferente, y presione @MARK una vez más. Entonces,
presione @@DEL@. La sección del gráfico contenida entre las dos marcas será
suprimida.

Página 12-54

ERASE
La función ERASE despeja la ventana entera de los gráficos. Este comando
está disponible en el menú PLOT, así como en las ventanas gráficas y estará
accesible con una tecla del menú.

MENU

Presionando @MENU quitará las etiquetas del menú para mostrar que el gráfico
sin esas etiquetas. Para recuperar las etiquetas, Presione L.

SUB
Utilizar este comando para extraer un subconjunto de un objeto gráfico. El
objeto extraído se coloca automáticamente en la pantalla. Seleccione el
subconjunto que usted desea extraer poniendo una marca (MARK) en un punto
en el gráfico, moviendo el cursor a la esquina diagonal del rectángulo que
incluye el subconjunto de los gráficos, y presionando @@SUB@!. Esta función se
puede utilizar para mover partes de los gráficos alrededor del gráfico.

REPL
Este comando coloca el contenido de un objeto gráfico actualmente en el nivel
1 de la pantalla en la localización de cursor en la ventana de los gráficos. La
esquina izquierda superior del objeto gráfico que se inserta será coincidirá con
la posición del cursor.
Por lo tanto, si usted desea que un gráfico de la
pantalla llene totalmente la ventana gráfica, cerciórese de que el cursor está
colocado en la esquina izquierda superior de la pantalla.

PICT
Este comando coloca una copia del gráfico actualmente en la ventana de los
gráficos a la pantalla como un objeto gráfico. El objeto gráfico puesto en la
pantalla puede ser asignada al nombre de una variable para almacenaje u
otro tipo de manipulación.

X,Y
Este comando copia los coordenadas de la posición actual del cursor, en
coordenadas de usuario, a la pantalla.

Página 12-55

Enfoques en la pantalla gráfica
Siempre que usted produzca un gráfico de dos dimensiones de una función,
interactivamente, la primera tecla del menú, etiquetada @)ZOOM, le deja acceder a
funciones que se pueden utilizar para enfocar hacia adentro y hacia fuera en
los gráficos actuales.
El menú ZOOM incluye las funciones siguientes
(Presione L para moverse al menú siguiente):

Presentamos cada uno de siguiente de estas funciones. Usted necesita
solamente producir un gráfico según lo indicado en el capítulo 12, o con uno
de los programas usados anteriormente en este capítulo.

ZFACT, ZIN, ZOUT, y ZLAST

Presionando @)ZFACT produce una pantalla de la entrada que permita que usted
cambie los factores X y Y actuales. Los factores X y Y relacionan las escalas
de unidades de usuario a los rangos de píxel correspondientes. Cambie el HFactor para mostrar 8., y presione @@@OK@@@, después cambie el V-Factor para
mostrar 2., y presione @@@OK@@. Seleccione la opción Recenter on cursor,
y presione @@@OK@@.
De vuelta en la pantalla de los gráficos, presione @@ZIN@ . El gráfico re-se dibuja
con los nuevos factores de posicionamiento horizontales de la vertical y,
centrados en la posición donde el cursor fue localizado, mientras que se
mantiene el tamaño original de PICT (es decir, el número original de píxeles en
ambas direcciones).
Usando las teclas direccionales, deslice la pantalla

Página 12-56

horizontalmente o verticalmente hasta donde se posible en el gráfico enfocado.
Para enfocar hacia fuera, sujeto a los factores horizontal (H) y vertical (V)
fijados en ZFACT, presione @)ZOOM @ZOUT. El gráfico que resulta proporcionará
más detalle que la gráfica enfocada.
Usted puede volver siempre a la última ventana de enfoque usando @ZLAST.

BOXZ
El enfoque dentro y fuera de un gráfico dado puede ser realizado usando la
tecla de menú BOXZ. Con BOXZ usted selecciona el sector rectangular (la
"caja") donde usted desea enfocar. Mueva el cursor a una de las esquinas de
la caja (usando las teclas direccionales), y presione @)ZOOM @BOXZ. Usando las
teclas direccionales una vez más, mueva el cursor a la esquina opuesta de la
caja de enfoque deseada. El cursor trazará la caja de enfoque en la pantalla.
Cuando se selecciona la caja de enfoque deseada, presione @ZOOM.
La
calculadora enfocará en el contenido de la caja del zumbido que usted
seleccionó para llenar la pantalla.
Si usted presiona @ZOUT, la calculadora enfocará hacia fuera de la caja actual
usando los factores H y V y. Es posible que no se pueda recuperar el gráfico
original.

ZDFLT, ZAUTO

Presionando @ZDFLT re-traza el diagrama actual usando los rangos prefijados de
x y y, es decir, -6.5 a 6.5 en x, y –3.1 a 3.1 en y. La instrucción @ZAUTO, por
otra parte, crea una ventana de enfoque usando el rango actual de la variable
independiente (x), pero ajustando el rango de la variable dependiente (y) para
que la curva quepa en la pantalla (como cuando se usa la función @AUTO en la
pantalla PLOT WINDOW, „ò, simultáneamente en modo RPN).

HZIN, HZOUT, VZIN y VZOUT
Estas funciones enfocan hacia adentro y hacia afuera de la pantalla de los
gráficos en la dirección horizontal o vertical según los factores H y V actuales.

Página 12-57

CNTR
Enfoca hacia adentro con el centro de la ventana de enfoque en la localización
de cursor actual. Los factores de enfoque usados son los valores actuales de los
factores H y V.

ZDECI
Enfoca el gráfico para redondear los límites del intervalo x a un valor decimal.

ZINTG
Enfoca el gráfico de modo que las unidades de píxel se convierten a unidades
de usuario. Por ejemplo, la ventana PICT mínima tiene 131 píxeles. Cuando
usted utiliza ZINTG, con el cursor en el centro de la pantalla, la ventana se
enfoca de modo que el eje x se extiende de -64.5 a 65.5.

ZSQR
Enfoca el gráfico de modo que la escala se mantiene en 1:1 ajustando la
escala de x, manteniendo la escala de y fijada, si la ventana es más ancha
que más alta. Esto fuerza un enfoque proporcional.

ZTRIG
Enfoca el gráfico de modo que la escala de x incorpore un rango de –3π a
+3π (aproximadamente), el rango preferido para las funciones trigonométricas.
Nota: Ningunas de estas funciones son programables. Son solamente
útiles de una manera interactiva. No confunda el comando @ZFACT en el
menú ZOOM con la función ZFACTOR, la cuál se utiliza aplicaciones en
dinámica de los gases y en la química (ver el capítulo 3).

El menú SYMBOLIC y los gráficos

El menú SYMBOLIC se activa presionando la tecla P (cuarta tecla de la
izquierda en la cuarta fila de del teclado). Este menú proporciona una lista de
los menús relacionados con el sistema algebraico de la computadora o CAS,
éstos son:

Página 12-58

Todos sino uno de estos menús están disponibles directamente en el teclado
presionando la combinación de teclas apropiada como sigue. El capítulo del
manual de usuario donde se describen los menús también se enumera:
ALGEBRA..
‚× (tecla 4)
Cap. 5
ARITHMETIC..
„Þ (tecla 1)
Cap. 5
CALCULUS..
„Ö (tecla 4)
Cap.13
SOLVER..
„Î (tecla 7)
Cap. 6
TRIGONOMETRIC..
‚Ñ (tecla 8)
Cap. 5
EXP&LN..
„Ð (tecla 8)
Cap. 5

El menú SYMB/GRAPH
El sub-menú GRAPH dentro del menú SYMB incluye las funciones siguientes:

DEFINE: igual como la secuencia „à (la tecla 2)
GROBADD: junta dos GROBs, el primero sobre el segundo (Ver El Capítulo 22)
PLOT(función): traza una función, similar a „ô
PLOTADD(función): agrega esta función a la lista de funciones al diagrama,
similar a „ô
Plot setup..: igual que „ô
SIGNTAB(función): firmar la tabla de la función dada que demuestra intervalos
de variación positiva y negativa, raíces y asíntotas infinitas

Página 12-59

TABVAL: tabla de los valores para una función
TABVAR: tabla de la variación de una función
Los ejemplos de algunas de estas funciones se proporcionan después.
PLOT(X^2-1) es similar a „ô con EQ: X^2 -1.
produce el diagrama:

Usando @ERASE @DRAW

PLOTADD(X^2-X) es similar a „ô pero agregando esta función a EQ:
X^2 -1. Usando @ERASE @DRAW produce el diagrama:

TABVAL(X^2-1,{1, 3}) produce una lista de valores {min max} de la función en
el intervalo {1,3}, mientras que SIGNTAB(X^2-1) muestra el signo de la función
en el intervalo (-∞,+), con f(x) > 0 en (-∞,-1), f(x) <0, in (-1,1), y f(x) > 0 in (1,+
∞).

TABVAR(LN(X)/X) produce la tabla siguiente de la variación:

Página 12-60

Una interpretación detallada de la tabla de la variación es más fácil de seguir
en modo de RPN:

La salida está en un formato gráfico, demostrando la función original, F(X), la
derivada F’(X) después de la derivación y después de la simplificación, y
finalmente una tabla de la variación. La tabla consiste en dos filas, etiquetadas
en el lado derecho. Por lo tanto, la fila superior representa valores de X y la
segunda fila representa valores de F. Los signos de interrogación indican
incertidumbre o la no-definición. Por ejemplo, para X<0, LN(X) no está
definido, así que la línea X muestra un signo de interrogación en ese intervalo.
Derecho en cero (0+0) F es infinito, para X = e, F = 1/e. F aumenta antes de
alcanzar este valor, según lo indicado por la flecha ascendente, y disminuye
después de este valor (X=e) el llegar a ser levemente más grande de cero (+:0)
cuando X va al infinito. Un diagrama del gráfico se demuestra abajo para
ilustrar estas observaciones:

Página 12-61

Función DRAW3DMATRIX

Esta función toma como argumento una matriz n×m, Z, = [ zij ], y valores
mínimo y máximo para el diagrama. Usted desea seleccionar los valores de
vmin y vmax de modo que contengan los valores enumerados en Z. La llamada
general a la función es, por lo tanto, DRAW3DMATRIX(Z,vmin,vmax). Para
ilustrar el uso de esta función primero generamos una matriz 6×5 usando
RANM({6,5}), y entonces activamos la función DRAW3DMATRIX, según lo
demostrado abajo:

El diagrama está en el estilo de un FAST3DPLOT. Diversas vistas del diagrama
se muestran abajo:

Página 12-62

Capítulo 13
Aplicaciones en el Cálculo

Este Capítulo discute las aplicaciones de la calculadora a operaciones
relacionadas al cálculo diferencial e integral, es decir, límites, derivadas,
integrales, series de potencias, etc.

El menú CALC (Cálculo)
La mayoría de las funciones utilizadas en este Capítulo se presentan en el menú
CALC de la calculadora. Este menú está disponible a través de la secuencia de
teclado „Ö (asociada con la tecla 4):

Las primeras cuatro opciones en este menú son en realidad sub-menús que se
aplican a (1) derivadas e integrales, (2) límites y series de potencias, (3)
ecuaciones diferenciales, y (4) gráficas. Las funciones en las opciones (1) y (2)
se presentan en este Capítulo. Las ecuaciones diferenciales, el tema de la
opción (3), se presentan en el capítulo 16. Las funciones gráficas, el tema de la
opción (4), fueron presentadas en el final del capítulo 12. Finalmente, las
opciones 5. DERVX y 6.INTVX son las funciones para obtener derivadas e
integrales indefinidas para funciones de la variable del CAS (típicamente, 'X').
Las funciones DERVX e INTVX se discuten detalladamente más adelante.

Límites y derivadas
El cálculo diferencial se orienta principalmente al estudio de las derivadas de
funciones y a sus aplicaciones en el análisis matemático. La derivada de una
función se define como el límite de la diferencia de la función a medida que el
incremento en la variable independiente tiende a cero. Los límites se utilizan
así mismo para verificar la continuidad de las funciones.

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La función lim

La calculadora provee la función lim para calcular límites de funciones. Esta
función utiliza como argumento una expresión que representa una función y el
valor de la variable independiente donde se evaluará el límite. La función lim
se obtiene a través del catálogo de funciones de la calculadora
(‚N~„l) o, a través de la opción 2. LIMITS & SERIES… del menú
CALC, que se presentó anteriormente.
Nota: Las funciones disponibles in el menú LIMITS & SERIES se muestran a
continuación:

La función DIVPC se utiliza para dividir dos polinomios produciendo una
expansión en una serie de potencias. Las funciones DIVPC, SERIES,
TAYLOR0, y TAYLOR se utilizan en las expansiones de series de potencias y
se presentan más detalladamente en este capítulo.
La función lim se escribe en modo ALG como lim(f(x),x=a) para
calcular el límite

lim f ( x) . En modo RPN, escríbase primero la función,
x→ a

seguida de la expresión ‘x=a’, y actívese finalmente la función lim. Algunos
ejemplos en modo ALG se presentan a continuación, incluyendo algunos límites
al infinito (utilizando el modo Algebraico, y con la bandera de sistema 117 fija
a la opción CHOOSE boxes):
„Ö2 @@OK@@ 2 @@OK@@ x+1‚í x‚Å 1`

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El símbolo del infinito se asocia con la tecla 0, es decir, „è.
Para calcular límites unilaterales, añada +0 ó -0 al valor a la variable. Un
“+0” significa límite desde la derecha, mientras que un “-0” significa límite
desde la izquierda. Por ejemplo de x − 1 segúnx se acerca al1 desde la
izquierda puede determinarse con las siguientes pulsaciones de teclas (modo
ALG):
‚N~„l˜$OK$
1™@íX@Å1+0`

R!ÜX-

El resultado es:

Derivadas
La derivada de una función f(x) para x = a se define como el límite

df
f ( x + h) − f ( x )
= f ' ( x) = lim
h − >0
dx
h

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Algunos ejemplos de las derivadas que usan este límite se muestran a
continuación:

Las funciones DERIV y DERVX
La función DERIV se utiliza para calcular derivadas de cualquier variable
independiente, mientras que la función DERVX calcula derivadas con respecto
a la variable independiente definida por el CAS (usualmente definida por ‘X’).
Mientras la función DERVX se encuentra disponible directamente en el menú
CALC, ambas funcione se encuentran disponibles en el sub-menú
DERIV.&INTEG dentro del menú CALC ( „Ö).
La función DERIV requiere una función, por ejemplo f(t), y una variable
independiente, t, mientras que la función DERVX requiere solamente una
función de la variable VX. Algunos ejemplos en modo ALG se presentan a
continuación. Recuérdese que en el modo RPN los argumentos de la función
deben listarse antes de aplicar la función.

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El menú DERIV&INTEG
Las funciones disponibles en este sub-menú se muestran a continuación:

De esta lista de funciones, las funciones DERIV y DERVX se utilizan para
calcular derivadas. Las otras funciones incluyen funciones relacionadas con los
antiderivadas y las integrales (IBP, INTVX, PREVAL, RISCH, SIGMA, y
SIGMAVX), a las series de Fourier (FOURIER), y al análisis vectorial (CURL, DIV,
HESS, LAPL). A continuación se presentan las funciones DERIV y DERVX, las
funciones restantes se presentan más adelante en este capítulo o en capítulos
subsecuentes.

Calculando derivadas con ∂

Este símbolo se obtiene al usar las teclas ‚¿ (la tecla T). ). Este
símbolo se puede utilizar para escribir una derivada en la pantalla o en el
escritor de ecuaciones (véase el capítulo 2). Si usted utiliza el símbolo para
escribir una derivada en la pantalla, escríbase la variable independiente
inmediatamente después, seguida de un par de paréntesis que incluyen la
función que se derivará. De esta forma, para calcular la derivada d(sin(r), r),
utiliza, en modo ALG: ‚¿~„r„Ü S~„r`
En modo RPN, esta expresión se debe incluir entre comillas antes de
incorporarla en la pantalla. El resultado en modo de ALG es:

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En el escritor de la ecuación, cuando usted presiona ‚¿, la calculadora
produce la expresión siguiente:

El cursor de inserción () estará situado a la derecha en el denominador, en
espera de que el usuario escriba una variable independiente, por ejemplo, s:
~„s. Presiónese entonces la tecla direccional (™) para mover el cursor
entre los paréntesis:

A continuación, escríbase la función a diferenciarse, por ejemplo, s*ln(s):

Para evaluar la derivada en el escritor de ecuaciones, presione la tecla —,
cuatro veces, para seleccionar la expresión completa. A continuación,
presione la tecla @EVAL. El resultado es el siguiente:

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Nota: El símbolo ∂ se utiliza formalmente en matemática para indicar una
derivada parcial, es decir, la derivada de una función con más de una
variable. Sin embargo, la calculadora no distingue entre las derivadas
ordinarios y parciales, y utiliza el mismo símbolo para ambos. El usuario
debe tener esta distinción presente al traducir resultados de la calculadora al
papel.

La regla de la cadena
la regla de la cadena para las derivadas se aplica a las derivadas de
funciones compuestas. Una expresión general para la regla de la cadena
d{f[g(x)]}/dx = (df/dg)⋅(dg/dx). Usando la calculadora, este fórmula produce:

Los términos d1 delante de g(x) y de f(g(x)) en la expresión anterior son
abreviaturas que la calculadora utiliza para indicar una derivada de primer
orden cuando la variable independiente, en este caso x, se define claramente.
Así, el último resultado se interpreta como en la fórmula para la regla de
cadena mostrada anteriormente. He aquí otro ejemplo del uso de la regla de la
cadena:

Página 13-7

Derivadas de ecuaciones
Uno puede utilizar la calculadora para calcular derivadas de ecuaciones, es
decir, las expresiones en las cuales las derivadas existirán en ambos lados del
signo igual. Algunos ejemplos se demuestran a continuación:

Nótese que en las expresiones donde se utiliza el signo de derivada (∂) o la
función DERIV, el signo igual se preserva en la ecuación, pero no en los casos
donde la función DERVX fue utilizada. En estos casos, la ecuación fue reescrita con todos sus términos pasados al lado izquierdo del signo igual. Así
mismo, el signo igual se remueve en estos casos, pero queda sobre-entendido
que la expresión resultante es igual a cero.

Derivadas implícitas
Es posible calcular derivadas implícitas en casos como el siguiente:

Página 13-8

Aplicaciones de las derivadas

Las derivadas se pueden utilizar para analizar los gráficos de funciones y para
optimizar las funciones de una variable (es decir, encontrar máximos y
mínimos). Algunas aplicaciones de las derivadas se muestran a continuación:

Analizando las gráficas de las funciones
En el capítulo 11 presentamos algunas funciones que están disponibles en la
pantalla gráfica para analizar gráficos de las funciones de la forma y = f(x).
Estas funciones incluyen (X,Y) y TRACE para determinar puntos en el gráfico,
así como funciones en el menú ZOOM y FCN. Las funciones en el menú
ZOOM permiten que el usuario enfoque dentro de un gráfico para analizarlo
más detalladamente. Estas funciones se describen en detalle en el capítulo 12.
Dentro de las funciones del menú de FCN, podemos utilizar las funciones
SLOPE, EXTR, F ', y TANL para determinar la pendiente de una tangente al
gráfico, los valores extremos (mínimos y máximos) de la función, para trazar la
derivada, y para encontrar la ecuación de la línea de la tangente,
respectivamente.
Ejecútese el siguiente ejemplo para la gráfica de y = tan x:
• Presiónese „ô, simultáneamente si se usa modo RPN, para acceder
a la pantalla PLOT SETUP.
• Cámbiese la opción TYPE a FUNCTION, si es necesario, utilizando
[@CHOOS].
• Presiónese ˜ y escríbase la ecuación ‘TAN(X)’.
• Asegúrese que la variable independiente es ‘X’.
• Presiónese L @@@OK@@@ para recobrar la pantalla normal.
• Presiónese „ò, simultáneamente si se usa modo RPN, para acceder
a la pantalla PLOT.
• Cámbiese el rango H-VIEW a –2 a 2, y el rango V-VIEW a –5 a 5.
• Presiónese @ERASE @DRAW para graficar la función.
El diagrama que resulta se presenta a continuación:

Página 13-9

•

•

•

•

Nótense las líneas verticales que representan asíntotas. Éstas no son
parte del gráfico, sino demuestran puntos donde TAN(X) toma valores
de ± ∞ para ciertos valores de X.
Presiónese @TRACE @(X,Y)@, y muévase el cursor al punto X: 1.08E0, Y:
1.86E0. A continuación, presione L@)@FCN@ @SLOPE. El resultado es
Slope: 4.45010547846 (la pendiente).
Presiónese LL@TANL. Esta operación produce la ecuación de la
línea tangente, y traza el gráfico de la misma en la figura. El resultado
se muestra a continuación:

Presiónese L @PICT @CANCL $ para volver a la pantalla normal de
la calculadora. Notar que la pendiente y la línea tangente requeridas
se listan en la pantalla.

La función DOMAIN
La función DOMAIN, disponible a través del catálogo de funciones (‚N),
provee el dominio de definición de una función en la forma de una lista de
números y especificaciones. Por ejemplo,

Página 13-10

indica que entre los valores –∞ y 0, la función LN(X) no está definida (?),
mientras que para el intervalo 0 a +∞, la función está definida (+). Por otro
lado,

indica que esta función no está definida entre –∞ y -1, ni entre 1 y +∞. El
dominio de la función es, por lo tanto, -1 -1.

La función TABVAR
Esta función se activa a través del catálogo de funciones o con el sub-menú
GRAPH en el menú CALC. TABVAR utiliza como entrada la función f(VX), en la
cual VX es la variable independiente del CAS. La función produce lo siguiente,
en modo de RPN:
•
•

•

Nivel 3: la función f(VX)
Dos listas, la primera indica la variación de la función (es decir, donde
crece y donde decrece) en términos de la variable independiente VX,
la segunda indica la variación de la función en términos de la variable
dependiente.
Un objeto gráfico mostrando como se calcula la tabla de variación de
la función.

Ejemplo: Analice la función Y = X3-4X2-11X+30, usando la función TABVAR.
Use lo siguiente, en modo RPN:

Página 13-12

'X^3-4*X^2-11*X+30' `‚N ~t(seleccione TABVAR) @@OK@@
Esto es lo que muestra la calculadora en el nivel 1 del apilado:

Este resultado es un objeto gráfico. Para ver el resultado completo, presiónese
˜. La tabla de variación de la función se muestra a continuación:

Presiónese $ para recobrar la pantalla normal. Presiónese ƒ para
eliminar el último resultado en la pantalla.
Dos listas, correspondiendo a las filas superior e inferior de la matriz gráfica
mostrada anterior, ocupan ahora el nivel 1. Estas listas pueden ser útiles para
propósitos de programación. Presiónese ƒ para eliminar el último resultado
de la pantalla.
La interpretación de la tabla de la variación mostrada anteriormente es la
siguiente: la función F(X) crece cuando X pertenece al intervalo (-∞, -1),
alcanzando un máximo de 36 cuando X = -1. Después, F(X) decrece hasta el
punto X = 11/3, alcanzando un mínimo de –400/27. Después de esto, F(X)
crece hasta que X se hace +∞. Así mismo, cuando X = ±∞, F(X) = ±∞.

Página 13-13

Uso de derivadas para calcular puntos extremos
El término "puntos extremos,” es la designación general para los valores
máximos y mínimos de una función en un intervalo dado. Puesto que la
derivada de una función en un punto dado representa la pendiente de una
línea tangente a la curva en ese punto, los valores de x para los cuales f'(x) = 0
representa los puntos donde el gráfico de la función alcanza un máximo o un
mínimo. Además, el valor de la segunda derivada de la función, f"(x), en esos
puntos determina si el punto es un máximo relativo o local [ f"(x)<0 ] o un
mínimo relativo o local [ f"(x)>0 ]. Estas ideas se ilustran en la figura que se
muestra en la página siguiente.
En esa figura nos limitamos a determinar los puntos extremos de la función y =
f(x) en el x-intervalo [a,b]. Dentro de este intervalo encontramos dos puntos, x =
xm y x = xM, donde f'(x)=0. El punto x = xm, donde f"(x)>0, representa un
mínimo local, mientras que el punto x = el xM, donde f"(x)<0, representa un
máximo local. Del gráfico de y = f(x) se observa que el máximo absoluto en el
intervalo [a,b] ocurre en x = a, mientras que el mínimo absoluto ocurre en x =
b.

Página 13-14

Por ejemplo, para determinar dónde ocurren los puntos críticos de la función
'X^3-4*x^2-11*x+30 ', podemos utilizar las expresiones siguientes en modo
de ALG:

Encontramos dos puntos críticos, uno en x = 11/3 y uno en x = -1. Para
evaluar la segunda derivada en cada uso del punto:

La pantalla anterior muestra que f"(11/3) = 14, de manera que, x = 11/3 es
un mínimo relativo. Para x = -1, tenemos el siguiente resultado:

Este resultado indica que f"(-1) = -14, así que, x = -1 es un máximo relativo.
Evalúese la función en esos puntos para verificar eso de hecho f(-1) > f(11/3).

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Derivadas de orden superior
Las derivadas de orden superior pueden calculares al aplicar una función de
derivación varias veces, por ejemplo,

Antiderivadas e integrales
Una antiderivada de la función f(x) es una función F(x) tal que f(x) = dF/dx.
Por ejemplo, dado que d(x3) /dx = 3x2, una antiderivada de f(x) = 3x2 es la
función F(x) = x3 + C, en la cual C es una constante. La antiderivada puede
representarse como una integral indefinida, i.e.,
sólo si, f(x) = dF/dx, y C = constante.

∫ f ( x)dx = F ( x) + C , si y

Las funciones INT, INTVX, RISCH, SIGMA y SIGMAVX
La calculadora provee las funciones INT, INTVX, RISCH, SIGMA y SIGMAVX
para calcular antiderivadas. Las funciones INT, RISCH, y SIGMA operan con
funciones de cualquier variable, mientras que las funciones INTVX y SIGMAVX
utilizan funciones de la variable CAS VX (usualmente, ‘X’). Las funciones INT y
RISCH requieren, por lo tanto, no solamente la expresión de la función a
integrar, sino también el nombre de la variable independiente. La función INT
requiere también el valor de x donde se evaluará la integral. Las funciones
INTVX y SIGMAVX requieren solamente la expresión de la función a integrarse
en términos de la variable VX. La función INTVX se localiza en el menú CALC,
las otras funciones de interés se pueden localiza utilizando el catálogo de
funciones. Algunos ejemplos en modo ALG se presentan a continuación:

Página 13-16

Nótese que las funciones SIGMAVX y SIGMA están diseñadas a operar en
integrandos que incluyen ciertas funciones de números enteros como la función
factorial (!) como se indica en un ejemplo anterior. El resultado representa la
llamada derivada discreta, es decir, una derivada definida para números
enteros solamente.

Integrales definidas
En la integral definida de una función, la antiderivada que resulta se evalúa en
los límites superior e inferior de un intervalo (a,b), y los valores evaluados se
sustraen. Simbólicamente esto se indica como:

∫

b
a

f ( x)dx = F (b) − F (a ),

donde f(x) = dF/dx.
La función PREVAL(f(x),a,b) del CAS puede simplificar dicho cálculo retornando
f(b)-f(a), donde x es la variable VX del CAS.

Para calcular integrales definidas la calculadora provee el símbolo integral a
través de la combinación ‚Á (asociado con la tecla U). La manera
más simple de construir un integral consiste en utilizar el escritor de ecuaciones
(el capítulo 2 presenta un ejemplo). Dentro del escritor de ecuaciones, el

Página 13-17

símbolo ‚Á produce el signo integral y proporciona las localidades para
los límites de integración (a,b), para la función f(x), y para la variable de la
integración x. Las siguientes pantallas muestran cómo construir un integral
particular.
El cursor de inserción se localiza primero en el límite inferior de integración.
Escríbase un valor y presiónese la tecla direccional ™ para mover el cursor al
límite superior de integración. Escríbase otro valor y presiónese ™ otra vez
para mover el cursor a la posición del integrando. Escríbase la expresión del
integrando, y presiónese ™ una vez más para mover el cursor a la posición
del diferencial. Escríbase la variable de integración en esta posición. Después
de esta acción, la integral está lista a ser calculada.

Presiónese ` para pasar la integral a la línea de entrada en la pantalla, la
cual mostrará lo siguiente (en la figura se muestra el modo ALG):

Éste es el formato general para la integral definida cuando se escribe
directamente en la pantalla, es decir,
∫ (límite inferior, límite superior, integrando, variable de integración)
Al presionar ` se evaluará la integral en la pantalla:

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La integral se puede evaluar también en el escritor de ecuaciones,
seleccionar la expresión completa y presionar la tecla de menú @EVAL.

al

Evaluación de derivadas e integrales paso a paso
Cuando se selecciona la opción Step/Step en la pantalla CAS MODES (ver el
capítulo 1), la evaluación de derivadas e integrales se mostrará paso a paso.
Por ejemplo, la evaluación de una derivada en el escritor de ecuaciones se
muestra a continuación:

Nótese el uso de la regla de la cadena en el primer paso, dejando el derivado
de la función bajo la derivada explícita en el numerador. En el segundo paso,
se racionaliza (se elimina la raíz cuadrada del denominador), y se simplifica la
fracción que resulta. La versión final se muestra en el tercer paso. Cada paso se
ejecuta al presionar la tecla de menú @EVAL, hasta que se alcance el punto en
que ya no se producen más cambios en la expresión al presionar esa tecla.
El ejemplo siguiente muestra la evaluación de una integral definida en el
escritor de ecuaciones, paso a paso:

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Nótese que el proceso paso a paso proporciona información sobre los pasos
intermedios seguidos por el CAS para evaluar esta integral. Primero, el CAS
identifica la integral de una raíz cuadrada, después, una fracción racional, y
una segunda expresión racional, hasta obtener el resultado final. Nótese que
estos pasos son entendidos por la calculadora, aunque no se provee suficiente
información al usuario sobre los pasos individuales.

Integración de una ecuación
La integración de una ecuación es simple: la calculadora integra ambos lados
de la ecuación simultáneamente, es decir,

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Técnicas de integración
Varias técnicas de integración se pueden implementar en la calculadora, como
se muestra en los ejemplos siguientes.

Sustitución o cambio de variable
Supóngase que se desea calcular la integral

∫

12
0

x
1 − x2

dx . Si utilizamos el

cálculo paso a paso en el escritor de ecuaciones, la siguiente es la secuencia
de sustituciones de las variables:

Este segundo paso demuestra la sustitución apropiada a utilizarse, u = x2-1.

Los cuatro pasos anteriores muestran la progresión de la solución: una raíz
cuadrada, seguida por una fracción, una segunda fracción, y el resultado final.
Este resultado puede ser simplificado usando la función @SIMP, resultando en:

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Integración por partes y diferenciales
El diferencial de una función y = f(x), se define como dy = f'(x) dx, en la cual
f'(x) es la derivada de f(x). Los diferenciales se utilizan para representar
incrementos infinitesimales en las variables. El diferencial de un producto de
dos funciones, y = u(x)v(x), se calcula usando dy = u(x)dv(x) +du(x)v(x), o,
simplemente, d(uv) = udv + vdu. De manera que la integral de udv = d(uv) -

∫ udv = ∫ d (uv) − ∫ vdu . Dado que, por definición, ∫dy
= y, la expresión anterior se escribe como udv = uv − vdu .
∫
∫
vdu se escribe como

Esta formulación, conocida como integración por partes, se puede utilizar para
encontrar un integral si dv es fácilmente integrable. Por ejemplo, la integral

∫xexdx puede calculares por partes si se toma u = x, dv = exdx, dado que, v =
ex. Con du = dx, la integral se convierte en ∫xexdx = ∫udv = uv - ∫vdu = xex ∫exdx = xex - ex.
La calculadora proporciona la función IBP, bajo menú CALC/DERIV&INTG, que
toma como argumentos la función original a integrar, a saber, u(X)*v'(X), y la
función v(X), y produce los resultados u(X)*v(X) y - v(X)*u'(X). Es decir la
función IBP produce los dos términos del lado derecho en la integración por
partes. Para el ejemplo usado anteriormente, podemos escribir, en modo de
ALG:

Página 13-22

De esta forma, podemos utilizar la función IBP para obtener las componentes
de una integración por partes. El paso siguiente tendrá que ser realizado por
separado.
Es importante mencionar que la integral puede ser calculada directamente
usando, por ejemplo,

Integración por fracciones parciales
La función PARTFRAC, presentada en el capítulo 5, provee la descomposición
de una fracción en fracciones parciales. Esta técnica es útil para reducir una
fracción complicada en una suma de las fracciones simples que puedan
integrarse
término
a
término.
Por
ejemplo,
para
integrar

∫

X5 +5
dX podemos descomponer la fracción en sus fracciones
X 4 + 2X 3 + X

componentes parciales, como sigue:

La integración directa produce el mismo resultado, con una cierta conmutación
de los términos (modo Rigorous seleccionado para CAS - véase el capítulo 2):

Página 13-23

Integrales impropias
Éstas son integrales con límites infinitos de integración. Típicamente, par
calcular una integral impropia se calcula un límite al infinito, por ejemplo

∫

∞

1

ε dx
dx
=
lim
x 2 ε →∞ ∫1 x 2 .

Usando la calculadora, procedemos de la forma siguiente:

Alternativamente, usted puede evaluar la integral al infinito directamente, es
decir,

Integración incluyendo unidades de medida
Una integral se puede calcular con las unidades incorporadas en los límites de
la integración, como en el ejemplo siguiente que utiliza el modo ALG, con el
CAS fijado a modo Aprox. La figura de la izquierda muestra la integral escrita
en la línea de entrada antes de presionar `. La figura de la derecha
muestra el resultado después de presionar `.

Página 13-24

Si usted incorpora el integral con el CAS fijo en modo Exact, se le solicitará
cambiar al modo Aprox, sin embargo, los límites de la integral se mostrarán en
un formato diferente como se muestra a continuación:

Estos límites representan 1×1_mm y 0×1_mm, que es lo mismo que 1_mm y
0_mm, como se mostró previamente. Manténgase alerta de los diversos
formatos en la salida dependiendo del modo de operación.
Algunas notas en el uso de unidades en los límites de integraciones:
1 – Las unidades del límite inferior de integración serán las que se usen en el
resultado final, según lo ilustrado en los dos ejemplos siguientes:

2 - Las unidades del límite superior deben ser consistentes con las unidades del
límite inferior. Si no, la calculadora no evalúa la integral, por ejemplo:

3 – El integrando puede tener unidades también. Por ejemplo:

Página 13-25

4 – Si los límites de la integración y el integrando tienen unidades, las
unidades que resultan se combinan según las reglas de la integración. Por
ejemplo:

Series infinitas
∞

Una serie infinita se escribe como

∑ h ( n )( x − a )

n

.

La serie infinita

n = 0 ,1

comienza típicamente con índices n = 0 o n = 1. Cada término en la serie
tiene un coeficiente h(n) que dependa del índice n.

Series de Taylor y de Maclaurin
Una función f(x) se puede expandir en una serie infinita alrededor de un punto
x=x0 usando una serie de Taylor, es decir,
∞

f ( x) = ∑
n =0

f ( n) ( xo )
⋅ ( x − xo ) n
n!
,

en la cual f(n)(x) representa la n-sima derivada de f(x) con respecto a x, y f(0)(x)
= f(x). Si x0 = 0, la serie se denomina una serie de Maclaurin, es decir,
∞

f ( x) = ∑
n =0

f ( n ) (0) n
⋅x
n!

Polinomio y residuo de Taylor
En la práctica, no podemos evaluar todos los términos en una serie infinita, en
su lugar, aproximamos la serie por un polinomio de orden k, Pk(x), y estimamos
el orden de una residuo, Rk(x), tal que

Página 13-26

k

f ( x) = ∑
n =0

es decir,

.

∞
f ( n ) ( xo )
f ( n ) ( xo )
⋅ ( x − xo ) n + ∑
⋅ ( x − xo ) n
n!
n
!
n = k +1
,

f ( x) = Pk ( x) + Rk ( x).

El polinomio Pk(x) se denomina polinomio de Taylor’s. El orden del residuo se
estima en términos de una cantidad pequeña h = x-x0, es decir, se evalúa el
polinomio en un valor de x muy cercano a x0. El residuo se define por

Rk ( x ) =

f ( k +1) (ξ ) k +1
⋅h
k!
,

en la cual ξ es un número cercano a x = x0. Dado que ξ es desconocido en la
mayoría de los casos, en vez de proveer un estimado del residuo, se provee un
estimado del orden de magnitud del residuo en términos de h, es decir, se dice
que Rk(x) representa un orden de hn+1, ó R ≈ O(hk+1). Si h es una cantidad
pequeña, digamos, h<<1, entonces hk+1 es típicamente mucho más pequeño,
es decir, hk+1< 0. El punto (xo,yo) es un máximo relativo si ∂2f/∂x2 < 0, o un mínimo
relativo si ∂2f/∂x2> 0. El valor Δ se conoce como el discriminante.
Si Δ = (∂2f/∂x2)⋅ (∂2f/∂y2)-[∂2f/∂x∂y]2 < 0, tenemos una condición conocida
como punto de la montura, donde la función alcanza un máximo en x si
mantenemos y constante, mientras que, al mismo tiempo, alcanza un mínimo x
se mantiene constante, o viceversa.
Ejemplo 1 - Determínense los puntos extremos (si existen) de la función, f(X,Y) =
X3-3X-Y2+5. Primero, definimos la función, f(X,Y), y sus derivadas, fX(X,Y) = ∂f/
∂X, fY(X,Y) = ∂f/∂Y. Resolviendo simultáneamente las ecuaciones fX(X,Y) = 0 y
fY(X,Y) = 0, resulta en:

Página 14-5

Encontramos puntos críticos en (X,Y) = (1.0), y (X,Y) = (-1.0). Para calcular el
discriminante, procedemos a calcular las segundas derivadas, fXX(X,Y) = ∂2f/
∂X2, fXY(X,Y) = ∂2f/∂X/∂Y, y fYY(X,Y) = ∂2f/∂Y2.

El resultado último indica que es el discriminante Δ = -12X, así que, para (X,Y)
= (1.0), Δ < 0 (punto de montura), y para (X,Y) = (-1.0), Δ>0 y ∂2f/∂X2<0
(máximo relativo). La figura siguiente, producida en la calculadora, y
modificada en un ordenador, ilustra la existencia de estos dos puntos:

Uso de la función HESS para analizar valores extremos
La función HESS puede ser utilizada para analizar valores extremos de una
función de dos variables según se muestra a continuación. La función HESS, en

Página 14-6

general, toma como argumentos una función de las variables independientes
φ(x1, x2, …,xn), y un vector de las funciones [‘x1’ ‘x2’…’xn’]. La función HESS
produce la matriz Hessiana de la función φ, definida como la matriz H = [hij] =
[∂2φ/∂xi∂xj], el gradiente de la función con respecto a las n-variables, grad f
= [ ∂φ/∂x1, ∂φ/∂x2 , … ∂φ/∂xn], y la lista de variables [‘x1’ ‘x2’…’xn’].
La función HESS es más fácil de visualizar en el modo RPN. Considérese como
ejemplo la función f(X, Y, Z) = X2 + XY + XZ, aplicaremos la función HESS a la
función φ en el ejemplo siguiente. Las pantallas muestra la pantalla RPN antes y
después de aplicar la función HESS.

Cuando se aplica HESS a una función de dos variables, el gradiente en el nivel
2, cuando se iguala a cero, representa las ecuaciones para los puntos críticos,
es decir, ∂φ/∂xi = 0, mientras que la matriz en el nivel 3 representa las
segundas derivadas. Por lo tanto, los resultados de la función de HESS se
pueden utilizar para analizar extrema en funciones de dos variables. Por
ejemplo, para la función f(X, Y) = X3-3X-Y2+5, procédase de la forma siguiente
en modo RPN:
‘X^3-3*X-Y^2+5’ ` [‘X’,’Y’] `
HESS
SOLVE
μ
‘s1’ K ‘s2’ K

Escribir función y variables
Aplicar la función HESS
Encontrar los puntos críticos
Descomponer el vector
Almacenar puntos críticos

Las variables s1 y s2, a este punto, contienen los vectores [ ' X=-1', 'y=0 ] y [ '
X=1', 'y=0 ], respectivamente. La matriz Hessiana estará en el nivel 1 a este
punto.

Página 14-7

‘H’ K
J @@@H@@@ @@s1@@ SUBST ‚ï

Almacenar matriz Hessiana
Sustituir s1 en H

La matriz resultante A contiene los elementos a11 = ∂2φ/∂X2 = -6., a22 = ∂2φ/
∂X2 = -2., y a12 = a21 = ∂2φ/∂X∂Y = 0. El discriminante para este punto
crítico, s1(-1,0), es Δ = (∂2f/∂x2)⋅ (∂2f/∂y2)-[∂2f/∂x∂y]2 = (-6.)(-2.) = 12.0 > 0.
Dado que ∂2φ/∂X2 <0, el punto s1 representa un máximo relativo.
A continuación, sustituimos el segundo punto, s2, en H:
J @@@H@@@ @@s2@@ SUBST ‚ï

Substituir s2 en H

La matriz resultante A contiene los elementos a11 = ∂2φ/∂X2 = 6., a22 = ∂2φ/
∂X2 = -2., y a12 = a21 = ∂2φ/∂X∂Y = 0. El discriminante para este punto
crítico, s2(1,0) es Δ = (∂2f/∂x2)⋅ (∂2f/∂y2)-[∂2f/∂x∂y]2 = (6.)(-2.) = -12.0 < 0,
indicando un punto.

Integrales múltiples
La interpretación física de la integral simple,

∫

b
a

f ( x)dx , es el área bajo la

curva y = f(x) y las abcisas x = a y x = b. La generalización a tres dimensiones
de la integral simple es la doble integral de la función f(x,y) sobre una región R
en el plano x-y representando el volumen del sólido contenido bajo la
superficie f(x,y) encima de la región R. La región R puede describirse como R
= {a>
Escriba el programa en modo RPN. Después de cambiar al modo de ALG,
usted puede ejecutar la función GRADIENT como en el ejemplo siguiente:

Página 15-2

Utilizando la función HESS para obtener el gradiente
La función HESS puede utilizarse para obtener el gradiente de una función. La
función HESS toma como argumentos una función de n variables
independientes, φ(x1, x2, …,xn), y un vector de las variables [‘x1’ ‘x2’…’xn’].
La función HESS produce la matriz Hessiana de la función φ, H = [hij] = [∂φ/
∂xi∂xj], el gradiente de la función con respecto a las n variables, grad f = [
∂φ/∂x1 ∂φ/∂x2 … ∂φ/∂xn], y la lista de variables [‘x1’, ‘x2’,…,’xn’].
función se visualiza mejor en el modo RPN.

Esta

Tómese como ejemplo la función

φ(X,Y,Z) = X2 + XY + XZ. La aplicación de la función HESS produce el
resultado siguiente (La figura muestra la pantalla antes y después de aplicar la
función HESS en modo RPN):

El gradiente que resulta es [2X+Y+Z, X, X]. Alternativamente, uno puede
utilizar la función DERIV como sigue: DERIV(X^2+X*Y+X*Z,[X,Y,Z]), para
obtener el mismo resultado.

Potencial de un gradiente
Dado el campo vectorial F(x,y,z) = f(x,y,z)i+g(x,y,z)j+h(x,y,z)k, si existe la
función φ(x,y,z), tal que f = ∂φ/∂x, g = ∂φ/∂y, h = ∂φ/∂z, entonces φ(x,y,z) se
conoce como la función potencial para el campo vectorial F. Resulta que F =
grad φ = ∇φ.
La calculadora proporciona la función POTENTIAL, disponible a través del
catálogo de funciones (‚N), para calcular la función potencial de un
campo vectorial, si ésta existe. Por ejemplo, si F(x,y,z) = xi + yj + zk, al
aplicar la función POTENTIAL se encuentra que:

Página 15-3

Dado que la función SQ(x) representa x2, esto resulta indica que la función
potencial para el campo vectorial F(x,y,z) = xi + yj + zk, es φ(x,y,z) =
(x2+y2+z2)/2.
Note que las condiciones para la existencia de φ(x,y,z), a saber, f = ∂φ/∂x, g =
∂φ/∂y, h = ∂φ/∂z, ser equivalente a las condiciones: ∂f/∂y = ∂g/∂x, ∂f/∂z =
∂h/∂x, ∂g/∂z = ∂h/∂y. Estas condiciones proporcionan una manera rápida de
determinarse si el campo del vector tiene una función potencial asociada. Si
una de las condiciones ∂f/∂y = ∂g/∂x, ∂f/∂z = ∂h/∂x, ∂g/∂z = ∂h/∂y, no se
cumple, no existe la función potencial φ(x,y,z). En tal caso, la función
POTENTIAL produce un mensaje indicando un error. Por ejemplo, el campo
vectorial F(x,y,z) = (x+y)i + (x-y+z)j + xzk, no tiene una función potencial
asociada, dado que ∂f/∂z ≠ ∂h/∂x. La respuesta de la calculadora en este
caso se muestra a continuación:

Divergencia
La divergencia de una función vectorial, F(x,y,z) = f(x,y,z)i +g(x,y,z)j
+h(x,y,z)k, es definida tomando un "producto punto" del operador del con la
función, es decir,

divF = ∇ • F =

∂f ∂g ∂h
+
+
∂x ∂y ∂z

La función DIV se puede utilizar para calcular la divergencia de un campo
vectorial. Por ejemplo, para F(X,Y,Z) = [XY,X2+Y2+Z2,YZ], la divergencia se
calcula, en modo ALG, como sigue:

Página 15-4

Laplaciano
La divergencia del gradiente de una función escalar produce a operador
llamado el operador Laplaciano. Así, el Laplaciano de una función escalar
φ(x,y,z) resulta ser

∇ 2φ = ∇ • ∇φ =

∂ 2φ ∂ 2φ ∂ 2φ
+
+
∂x 2 ∂x 2 ∂x 2

La ecuación diferencial parcial ∇2φ = 0 se conoce como la ecuación de
Laplace. La función LAPL se puede utilizar para calcular el Laplaciano de una
función escalar. Por ejemplo, para calcular el Laplaciano de la función φ(X,Y,Z)
= (X2+Y2)cos(Z), use:

Rotacional (Curl)
El rotacional de un campo vectorial F(x,y,z) = f(x,y,z)i+g(x,y,z)j+h(x,y,z)k, es
definido por un "producto cruz" del operador del con el campo vectorial, es
decir,

i
j
k
∂
∂
∂
[]
[]
[]
curlF = ∇ × F =
∂x
∂y
∂z
f ( x, y , z ) g ( x, y , z ) h ( x, y , z )
⎛ ∂h ∂g ⎞ ⎛ ∂f ∂h ⎞
⎛ ∂h ∂g ⎞
= i⎜⎜ − ⎟⎟ + j⎜ − ⎟ + k ⎜⎜ − ⎟⎟
⎝ ∂y ∂z ⎠ ⎝ ∂z ∂x ⎠
⎝ ∂y ∂z ⎠
El rotacional de un campo vectorial puede calculares con la función CURL. Por
ejemplo, para la función F(X,Y,Z) = [XY,X2+Y2+Z2,YZ], se calcula el rotacional
como sigue:

Página 15-5

Campos irrotacionales y la función potencial
En una sección anterior en este capítulo introdujimos la función POTENTIAL
para calcular la función potencial φ(x,y,z) de un campo vectorial, F(x,y,z) =
f(x,y,z)i+ g(x,y,z)j+ h(x,y,z)k, tal que F = grad φ = ∇φ. También indicamos que
las condiciones para la existencia de φ son: ∂f/∂y = ∂g/∂x, ∂f/∂z = ∂h/∂x,
∂g/∂z = ∂h/∂y. Estas condiciones son equivalentes a la expresión vectorial:
curl F = ∇×F = 0.
Un campo vectorial F(x,y,z), con rotacional cero, se conoce como un campo
irrotacional. Así, concluimos que una función potencial φ(x,y,z) existe siempre
para un campo irrotational F(x,y,z).
Como ilustración, en un ejemplo anterior procuramos encontrar una función
potencial para el campo del vector F(x,y,z) = (x+y)i + (x-y+z)j + xzk, y
obtuvimos un mensaje de error de la función POTENTIAL. Para verificar que
este sea un campo rotacional (i.e., ∇×F ≠ 0), usamos la función CURL aplicada
a este campo:

Por otra parte, el campo vectorial F(x,y,z) = xi + yj + zk, es de hecho
irrotational según lo demostrado a continuación:

Página 15-6

Potencial vectorial

Dado un campo vectorial F(x,y,z) = f(x,y,z)i+g(x,y,z)j+h(x,y,z)k, si existe una
función vectorial Φ(x,y,z) = φ(x,y,z)i+ψ(x,y,z)j+η(x,y,z)k, tal que F = curl Φ =
∇× Φ, la función Φ(x,y,z) se conoce como un potencial vectorial de F(x,y,z).
La calculadora proporciona la función VPOTENTIAL, disponible a través del
catálogo de funciones (‚N), para calcular el potencial vectorial, Φ(x,y,z),
dado el campo vectorial, F(x,y,z) = f(x,y,z)i+g(x,y,z)j+h(x,y,z)k. Por ejemplo,
dado el campo vectorial, F(x,y,z) = -(yi+zj+xk), la función VPOTENTIAL
produce el resultado siguiente:

es decir, Φ(x,y,z) = -x2/2j + (-y2/2+zx)k.
Debe ser indicado que hay más de un potencial vectorial Φ posible para un
campo vectorial dado F. Por ejemplo, la siguiente pantalla muestra que el
rotacional de la función vectorial Φ1 = [X2+Y2+Z2,XYZ,X+Y+Z] es el vector F =
∇× Φ2 = [1-XY,2Z-1,ZY-2Y]. La aplicación de la función VPOTENTIAL produce
la función potencial vectorial Φ2 = [0, ZYX-2YX, Y-(2ZX-X)], la cual es diferente
de Φ1. La última instrucción en la pantalla muestra que F = ∇× Φ2. Así pues,
una función potencial vectorial no se determina únicamente para este caso.

Las componentes de una función vectorial, F(x,y,z) = f(x,y,z)i+g(x,y,z)j
+h(x,y,z)k, y las de la función potencial vectorial, Φ(x,y,z) =
φ(x,y,z)i+ψ(x,y,z)j+η(x,y,z)k, se relacionan de la siguiente manera:

Página 15-7

f = ∂η/∂y - ∂ψ/∂x, g = ∂φ/∂z - ∂η/∂x, h = ∂ψ/∂x - ∂φ/∂y.
Una condición para que exista la función Φ(x,y,z) es que div F = ∇•F = 0, es
decir, ∂f/∂x + ∂g/∂y + ∂f/∂z = 0. Por lo tanto, si esta condición no se
satisface, la función potencial vectorial Φ(x,y,z) no existe. Por ejemplo, dada
la función vectorial F = [X+Y,X-Y,Z^2], la función VPOTENTIAL produce un
mensaje de error, dado que F no satisface la condición ∇•F = 0:

La condición ∇•F ≠ 0 se verifica en la siguiente pantalla:

Página 15-8

Capítulo 16
Ecuaciones Diferenciales

En este Capítulo se presentan ejemplos de la solución de las ecuaciones
diferenciales ordinarias (EDO) utilizando funciones de la calculadora. Una
ecuación diferencial es una ecuación que involucra derivadas de la variable
independiente. En la mayoría de los casos, se busca una función dependiente
que satisface la ecuación diferencial.

Operaciones básicas con ecuaciones diferenciales

En esta sección presentamos algunas aplicaciones de la calculadora para
incorporar, comprobar y visualizar la solución de EDOs.

Escritura de ecuaciones diferenciales
La clave para usar ecuaciones diferenciales en la calculadora consiste en
escribir las derivadas en la ecuación. La manera más fácil de producir una
ecuación diferencial es escribiéndola en el escritor de ecuaciones. Por ejemplo,
para escribir la siguiente EDO:
(x-1)⋅(dy(x)/dx)2 + 2⋅x⋅y(x) = ex sin x, use:
‚O„Ü~„x-1™™™*‚¿~„x
™~„y„Ü~„x™™Q2™™+2*
~„x*~„y„Ü~„x™™™™
‚= „¸ ~„ x ™*S~„x `
La derivada dy/dx se representa por ∂x(y(x)) o por d1y(x). Para los
propósitos de la solución o del cálculo, es necesario escribir y(x) en la expresión,
es decir, la variable dependiente debe incluir su variable (o variables)
independiente en las derivadas en la ecuación.
Usted puede también escribir una ecuación directamente en la pantalla usando
el símbolo de derivada. Por ejemplo, para escribir la siguiente EDO que
involucra derivadas de segundo orden: d2u(x)/dx2 + 3⋅u(x)⋅(du(x)/dx) + u(x)2
= 1/x, directamente en la pantalla, use:

Página 16-1

³‚∂ ~„x„Ü‚¿~„x„ Ü~ „u
„Ü ~„x™™™+3*~ „u„Ü
~„x™*‚¿~„x„ Ü~„u„ Ü
~„x ™™ +~„u„ Ü ~„x™ Q2
‚ Å 1/ ~„x`
El resultado es ‘∂x(∂x(u(x)))+3*u(x)*∂x(u(x))+u^2=1/x ’. Este formato
muestra se muestra en la pantalla cuando la opción _Textbook no está
seleccionada para la pantalla (H@)DISP). Presione ˜ para ver la ecuación
en el Escritor de ecuaciones.
Una notación alternativa para los derivados escritas directamente en la
pantalla es el uso de ‘d1’ para la derivada con respecto a la primera variable
independiente, ‘d2’ para la derivada con respecto a la segunda variable
independiente, etc. Una derivada de segundo orden, por ejemplo, d2x/dt2,
con x = x(t), se escribe como ‘d1d1x(t)’, mientras que (dx/dt)2 se escribe como
‘d1x(t)^2’. Por lo tanto, la EDP ∂2y/∂t2 – g(x,y)⋅ (∂2y/∂x2)2 = r(x,y), se
escribiría, usar esta notación, as ‘d2d2y(x,t)-g(x,y)*d1d1y(x,t)^2=r(x,y)’.
La notación que usa ‘d’ y la orden de la variable independiente es la notación
preferida por la calculadora cuando los derivados están implicados en un
cálculo. Por ejemplo, usando la función DERIV, en modo de ALG, como se
muestra a continuación, DERIV(‘x*f(x,t)+g(t,y) = h(x,y,t)’,t), produce la expresión
siguiente: ‘x*d2f(x,t)+d1g(t,y)= d3h(x,y,t)’. Traducida al papel,
esta expresión representa la ecuación diferencial parcial x⋅(∂f/∂t) + ∂g/∂t =
∂h/∂t.
Porque la orden de la variable t es diferente en f(x,t), g(t,y), y h(x,y,t), las
derivadas con respecto a t tienen diversos índices, es decir, d2f(x,t), d1g(t,y), y
d3h(x,y,t). Todos, sin embargo, representan derivadas con respecto a la
misma variable.
Expresiones para las derivadas que usan la notación del orden de la variable
no se traducen a la notación de derivadas en el escritor de ecuaciones, como
usted puede comprobar presionando ˜ cuando el resultado anterior está en

Página 16-2

nivel 1. Sin embargo, la calculadora entiende ambas notaciones y opera
propiamente sin importar la notación usada.

Comprobación de soluciones en la calculadora
Para comprobar si una función satisface cierta ecuación usando la calculadora,
use la función SUBST (ver el capítulo 5) substituya la solución en la forma ‘y =
f(x)’ o ‘y = f(x,t)’, etc., en la ecuación diferencial. Puede ser que Usted necesite
simplificar el resultado usando la función EVAL para verificar la solución. Por
ejemplo, compruebe que u = A sin ωot es una solución de la ecuación d2u/dt2
+ ωo2⋅u = 0, usando:
En modo ALG:
SUBST(‘∂t(∂t(u(t)))+ ω0^2*u(t) = 0’,‘u(t)=A*SIN (ω0*t)’) `
EVAL(ANS(1)) `
En modo RPN:
‘∂t(∂t(u(t)))+ ω0^2*u(t) = 0’ ` ‘u(t)=A*SIN (ω0*t)’ `
SUBST EVAL
El resultado es

‘0=0’.

Para este ejemplo, usted podría también utilizar: ‘∂t(∂t(u(t))))+ ω0^2*u(t) = 0’
para escribir la ecuación diferencial.

Visualización de soluciones con gráficas de pendientes
Las gráficas de pendientes, presentadas en el capítulo 12, se utilizan para
visualizar las soluciones a una ecuación diferencial de la forma dy/dx = f(x,y).
La gráfica de pendientes muestran segmentos tangenciales a las curvas de la
solución, y = f(x). La pendiente de los segmentos en cualquier punto (x,y) dada
por dy/dx = f(x,y), evaluada en el punto (x,y), representa la pendiente de la
línea tangente en el punto (x,y).
Ejemplo 1 -- Trace la solución a la ecuación diferencial y’ = f(x,y) = sin x cos y,
usar una gráfica de pendientes. Para solucionar este problema, siga las
instrucciones en el capítulo 12 para gráficas slopefield.

Página 16-3

Si usted pudiera reproducir la gráfica de pendientes en el papel, se podría
trazar a mano las líneas tangentes a los segmentos mostrados en el diagrama.
Esto alinea constituye líneas de y(x,y) = constante, para la solución de y’ =
f(x,y). Por lo tanto, las gráficas de pendientes son herramientas útiles para
visualizar las curvas y = g(x) que corresponden a ecuaciones difíciles de
resolver analíticamente.

El menú CALC/DIFF

El sub-menú DIFFERENTIAL EQNS.. dentro del menú CALC („Ö) provee
funciones para la solución de las ecuaciones diferenciales. El menú CALC/
DIFF que resulta cuando la opción CHOOSE boxes se selecciona para la señal
de sistema 117 es el siguiente:

Estas funciones se describen brevemente a continuación. Las funciones se
describen en forma detallada más adelante en este Capítulo.
DESOLVE: Función para resolver ecuaciones diferenciales, de ser posible
ILAP: Transformada inversa de Laplace, L-1[F(s)] = f(t)
LAP: Transformada de Laplace, L[f(t)]=F(s)
LDEC: Función para resolver ecuaciones diferenciales lineales

Solución de las ecuaciones lineales y no lineales

Una ecuación en la cual la variable dependiente y todas sus derivadas son de
primer grado se conoce como una ecuación diferencial lineal. De no ser así,
la ecuación se dice que es no lineal. Ejemplos de ecuaciones diferenciales

Página 16-4

lineales son: d2x/dt2 + β⋅(dx/dt) + ωo⋅x = A sin ωf t, y ∂C/∂t + u⋅(∂C/∂x) =
D⋅(∂2C/∂x2).
Una ecuación cuyo lado derecho (sin involucrar la función o sus derivadas) es
igual a cero se llama una ecuación homogénea. Si no, se llama no
homogénea. La solución a la ecuación homogénea se conoce como solución
general. Una solución particular es una que satisface la ecuación no
homogénea.

La función LDEC
La calculadora provee la función LDEC para determinar la solución general de
una EDO lineal de cualquier orden con coeficientes constantes, ya sea que la
EDO es homogénea o no. Esta función requiere dos argumentos
•
•

El lado derecho de la EDO
La ecuación característica de la EDO

Estos dos argumentos deberás escribirse en términos de la variable del CAS
(usualmente X). El resultado de la función es la solución general de la EDO.
Los ejemplos mostrados a continuación se ejecutan en el modo RPN:
Ejemplo 1 – Resuélvase la EDO homogénea d3y/dx3-4⋅(d2y/dx2)-11⋅(dy/
dx)+30⋅y = 0. Escríbase:
0 ` 'X^3-4*X^2-11*X+30' ` LDEC μ
La solución es (esta figura se construyó a partir de figuras del escritor de
ecuaciones, EQW):

en la cual cC0, cC1, y cC2 son constantes de integración. Este resultado
puede re-escribirse como:
y = K1⋅e–3x + K2⋅e5x + K3⋅e2x.

Página 16-5

La razón por la que el resultado proveído por LDEC muestra tan complicada
combinación de constantes es que, internamente, para producir la solución,
LDEC utiliza transformadas de Laplace (a ser presentadas más adelante en este
capítulo), las cuáles transforman la solución de una EDO en una solución
algebraica. La combinación de constantes resulta al factorizar los términos
exponenciales después obtener la solución por transformada de Laplace.
Ejemplo 2 – Utilizando la función LDEC, resuélvase la EDO no homogénea:
d3y/dx3-4⋅(d2y/dx2)-11⋅(dy/dx)+30⋅y = x2.
Escríbase:
'X^2' ` 'X^3-4*X^2-11*X+30' ` LDECμ
La solución es:

Substituyendo la combinación de las constantes que acompañan los términos
exponenciales por valores más simples, la expresión se puede simplificar a
y = K1⋅e–3x + K2⋅e5x + K3⋅e2x + (450⋅x2+330⋅x+241)/13500.
Reconocemos los primeros tres términos como la solución general de la
ecuación homogénea (ver el ejemplo 1, arriba). Si yh representa la solución a
la ecuación homogénea, es decir., yh = K1⋅e–3x + K2⋅e5x + K3⋅e2x. Usted
puede probar que los términos restantes en la solución demostrada
anteriormente, es decir,

yp = (450⋅x2+330⋅x+241)/13500, constituir una

solución particular del EDO.
Nota: Este resultado es general para toda EDO linear no homogéneo, es
decir, dado la solución de la ecuación homogénea, yh(x), la solución de la
ecuación no homogénea correspondiente, y(x), puede ser escrito como
y(x) = yh(x) + yp(x),
en la cual yp(x) está una solución particular a la EDO.

Página 16-6

Para verificar que yp = (450⋅x2+330⋅x+241)/13500, es en realidad una
solución particular de la EDO, use:
'd1d1d1Y(X)-4*d1d1Y(X)-11*d1Y(X)+30*Y(X) = X^2'`
'Y(X)=(450*X^2+330*X+241)/13500' `
SUBST EVAL
No prohibir a calculadora cerca de diez segundos para producir el resultado:
‘X^2 = X^2’.
Ejemplo 3 - Solucionar un sistema de ecuaciones diferenciales lineares con
coeficientes constantes. Considere el sistema de ecuaciones diferenciales
lineares:
x1’(t) + 2x2’(t) = 0,
2x1’(t) + x2’(t) = 0.
En forma algebraica, se escribe esto como: A⋅x’(t) = 0, donde

⎡1 2 ⎤
A=⎢
⎥.
2
1
⎣
⎦

El sistema puede ser solucionado usando la función LDEC con argumentos
[0,0] y la matriz A, según lo demostrado al usar siguiente de la pantalla
usando el modo ALG:

La solución se da como un vector que contiene las funciones [x1(t), x2(t)]. Al
presionar ˜ activará el escritor de matrices permite que el usuario vea los
dos componentes del vector. Para ver todos los detalles de cada componente,
presione la tecla @EDIT!. Verificar que sean los componentes:

Página 16-7

La función DESOLVE
La calculadora provee la función DESOLVE para resolver cierto tipo de
ecuaciones diferenciales. La función requiere como argumentos la ecuación
diferencial y el nombre de la función incógnita. La función DESOLVE produce
la solución a la ecuación diferencial, de ser posible. Uno puede también
proveer como primer argumento de la función DESOLVE un vector que
contenga la ecuación diferencial y las condiciones iniciales del problema, en
vez de proveer solamente una ecuación diferencial. La función DESOLVE está
disponible en el menú CALC/DIFF. Ejemplos de aplicaciones de la función
DESOLVE se muestran a continuación utilizando el modo RPN.
Ejemplo 1 – Resuélvase la EDO de primer orden:
dy/dx + x2⋅y(x) = 5.
Escríbase en la calculadora:
'd1y(x)+x^2*y(x)=5' ` 'y(x)' ` DESOLVE
La solución proveída es
{‘y = (INT(5*EXP(xt^3/3),xt,x)+C0)*1/EXP(x^3/3))’ }, es decir,

(

)

y ( x) = exp(− x 3 / 3) ⋅ ∫ 5 ⋅ exp( x 3 / 3) ⋅ dx + C 0 .
La variable ODETYPE

Nótese la existencia de una nueva variable denominada @ODETY (ODETYPE).
Esta variable se produce al utilizar la función DESOLVE y contiene una
cadena de caracteres que identifican el tipo de EDO utilizada como
argumento de la función DESOLVE. Presiónese la tecla de menú @ODETY
para obtener el texto “1st order linear” (lineal de primer orden).

Página 16-8

Ejemplo 2 -- Resolver la EDO de segundo order:
d2y/dx2 + x (dy/dx) = exp(x).
En la calculadora, use:
‘d1d1y(x)+x*d1y(x) = EXP(x)’ ` ‘y(x)’ ` DESOLVE
El resultado es una expresión que tiene dos integraciones implícitas, a saber,

Para esta ecuación particular, sin embargo, realizamos que el lado izquierdo
de la ecuación representa d/dx(x dy/dx), así, la EDO ahora se escribe:
d/dx(x dy/dx ) = exp x,
y
x dy/dx = exp x + C.
Después, podemos escribir
dy/dx = (C + exp x)/x = C/x + ex/x.
En la calculadora, usted puede intentar integrar:
‘d1y(x) = (C + EXP(x))/x’ ` ‘y(x)’ ` DESOLVE
El resultado es

{ ‘y(x) = INT((EXP(xt)+C)/xt,xt,x)+C0’ }, es decir,

y ( x) = ∫ ⋅

ex + C
dx + C 0
x

Realizando la integración a mano, podemos llevarla solamente hasta:

Página 16-9

y ( x) = ∫ ⋅

ex
dx + C ⋅ ln x + C 0
x

porque el integral de exp(x)/x no está disponible en forma cerrada.
Ejemplo 3 – Resuélvase la siguiente ecuación sujeta a condiciones iniciales. La
ecuación es
d2y/dt2 + 5y = 2 cos(t/2),
sujeta a las condiciones
y(0) = 1.2, y’(0) = -0.5.
En la calculadora, utilícese
[‘d1d1y(t)+5*y(t) = 2*COS(t/2)’ ‘y(0) = 6/5’ ‘d1y(0) = -1/2’] `
‘y(t)’ `
DESOLVE
Nótese que las condiciones iniciales se definen con valores exactos, es decir,
‘y(0) = 6/5’, en lugar de ‘y(0)=1.2’, y ‘d1y(0) = -1/2’, en vez de ‘d1y(0) = 0.5’. El utilizar expresiones exactas facilita la solución.
Nota: Para obtener expresiones fraccionarias para valores decimales
utilícese la función Q (véase el Capítulo 5).
La solución en este caso es:

Presiónese μμ para simplificar el resultado y obtener:
‘y(t) = -((19*√5*SIN(√5*t)-(148*COS(√5*t)+80*COS(t/2)))/190)’.

Página 16-10

Transformadas de Laplace

La transformada de Laplace de una función f(t) produce una función F(s) in el
dominio imagen que puede utilizarse para encontrar, a través de métodos
algebraicos, la solución de una ecuación diferencial lineal que involucra a la
función f(t). Los pasos necesarios para este tipo de solución son los siguientes:

1. Utilizando la transformada de Laplace se convierte la EDO lineal que
involucra a f(t) a una ecuación algebraica equivalente.
2. La incógnita de esta ecuación algebraica, F(s), se despeja en el dominio
imagen a través de la manipulación algebraica.
3. Se utiliza una transformada inversa de Laplace para convertir la función
imagen obtenida en el paso anterior a la solución de la ecuación
diferencial que involucra a f(t).

Definiciones

La Transformada de Laplace para la función f(t) es la función F(s) definida como

La variable imagen s puede ser, y, generalmente es, un número complejo.
Muchos usos prácticos de transformadas de Laplace involucran una función
original f(t) donde t representa tiempo, por ejemplo, sistemas de control en
circuitos eléctricos o hidráulicos. En la mayoría de los casos uno está
interesado en la respuesta de sistema después del tiempo t>0, así, la definición
de la transformada de Laplace, presentada anteriormente, implica una
integración para los valores de t mayores que cero.
La transformada inversa de Laplace relaciona la función F(s) con la función
original f(t) en el dominio del tiempo, es decir, L -1{F(s)} = f(t).
La integral de convolución o el producto de la convolución de dos funciones f(t)
y g(t), donde g se desfasa en el tiempo, se define como

Página 16-11

Transformadas de Laplace y sus inversas en la calculadora

La calculadora provee las funciones LAP y ILAP para calcular transformadas de
Laplace y transformadas inversas de Laplace, respectivamente, de una función
f(VX), en la cual VX es la variable independiente del CAS (usualmente ‘X’). La
calculadora produce la transformada de Laplace o la inversa como una la
función de X. Las funciones LAP y ILAP se encuentran disponibles en el menú
CALC/DIFF. Los ejemplos siguientes se presentan en modo RPN. Su
conversión a modo ALG es relativamente simple.
Ejemplo 1 – Para obtener la definición de la transformada de Laplace en la
calculadora utilícense las siguientes instrucciones: ‘f(X)’ ` LAP en modo
RPN, o LAP(F(X))modo ALG. La calculadora produce los resultados
siguientes (modo RPN, a la izquierda; modo ALG, a la derecha):

Compare estas expresiones con la definición siguiente:

Nótese que en la definición de la calculadora la variable CAS, X, en la
pantalla reemplaza a la variable s in esta definición. Por lo tanto, cuando se
utiliza la función LAP se obtiene una función de X que representa la
transformada de Laplace de f(X).
Ejemplo 2 – Determine la Transformada de Laplace de f(t) = e2t⋅sin(t). Use:
‘EXP(2*X)*SIN(X)’ ` LAP La calculadora produce el resultado: 1/(SQ(X2)+1). Presione μ para obtener, 1/(X2-4X+5).
Cuando usted traduce este resultado en papel resulta en:

Página 16-12

F ( s ) = L{e 2t ⋅ sin t} =

1
s − 4⋅s +5
2

Ejemplo 3 – Determine la transformada inversa de Laplace de F(s) = sin(s).
Use:
‘SIN(X)’ ` ILAP. La calculadora toma algunos segundos para producir el
resultado: ‘ILAP(SIN(X))’, significando que no hay expresión de forma cerrada
f(t), tal que f(t) = L -1{sin(s)}.
Ejemplo 4 – Determine la transformada inversa de Laplace de F(s) = 1/s3.
Use:
‘1/X^3’ ` ILAP μ. La calculadora produce el resultado: ‘X^2/2’, que se
interpreta como L -1{1/s3} = t2/2.
Ejemplo 5 – Determine la Transformada de Laplace de la función f(t) = cos
(a⋅t+b). Use: ‘COS(a*X+b)’ ` LAP . La calculadora da por resultado:

Presione μ para obtener –(a sin(b) – X cos(b))/(X2+a2). La transformada se
interpreta como: L {cos(a⋅t+b)} = (s⋅cos b – a⋅sin b)/(s2+a2).

Teoremas de las transformadas de Laplace

Para ayudarle a determinar al Transformada de Laplace de funciones usted
puede utilizar un número de teoremas, algunos de los cuales se enumeran
abajo. Algunos ejemplos de los usos del teorema también se incluyen.
•

Teorema de la diferenciación de la primera derivada. Sea fo la condición
inicial para f(t), es decir, f(0) = fo, entonces
L{df/dt} = s⋅F(s) - fo.

Página 16-13

Ejemplo 1 – La velocidad de una partícula móvil v(t) se define como v(t) =
dr/dt, donde r = r(t) es la posición de la partícula. Sea ro = r(0), y R(s)
=L{r(t)}, entonces, la transformada de la velocidad se puede escribir como
V(s) = L{v(t)}=L{dr/dt}= s⋅R(s)-ro.
•

Teorema de la diferenciación para la segunda derivada. Sea fo = f(0), y
(df/dt)o = df/dt|t=0, entonces L{d2f/dt2} = s2⋅F(s) - s⋅fo – (df/dt) o.

Ejemplo 2 – Como continuación al Ejemplo 1, la aceleración a(t) se define
como a(t) = d2r/dt2.

Si es la velocidad inicial vo = v(0) = dr/dt|t=0,

entonces la transformada de Laplace de la aceleración puede ser escrito
como:
A(s) = L{a(t)} = L{d2r/dt2}= s2⋅R(s) - s⋅ro – v o.
•

Teorema de la diferenciación para la n derivada.
Sea f (k)o = dkf/dxk|t = 0, y fo = f(0), entonces
L{dnf/dtn} = sn⋅F(s) – sn-1⋅fo −…– s⋅f(n-2)o – f (n-1) o.

•

Teorema de las linealidad. L{af(t)+bg(t)} = a⋅L{f(t)} + b⋅L{g(t)}.

•

Teorema de la diferenciación para la función imagen. Sea F(s) = L{f(t)},
entonces dnF/dsn = L{(-t)n⋅f(t)}.

Ejemplo 3 – Sea f(t) = e–at, usando la calculadora con ‘EXP(-a*X)’ ` LAP,
usted consigue ‘1/(X+a)’, o F(s) = 1/(s+a). La tercera derivada de esta
expresión puede ser calculada usando:
‘X’ ` ‚¿ ‘X’ `‚¿ ‘X’ ` ‚¿ μ

Página 16-14

El resultado es
‘-6/(X^4+4*a*X^3+6*a^2*X^2+4*a^3*X+a^4)’, o
d3F/ds3 = -6/(s4+4⋅a⋅s3+6⋅a2⋅s2+4⋅a3⋅s+a4).
•

•

Ahora, use ‘(-X)^3*EXP(-a*X)’ ` LAP μ. El resultado es
exactamente el mismo.
teorema de la integración. Sea F(s) = L{f(t)}, entonces

{

t

}

L ∫ f (u )du =
•

0

1
⋅ F ( s).
s

teorema de la circunvolución. Sea F(s) = L{f(t)} y G(s) = L{g(t)}, entonces

{

t

}

L ∫ f (u ) g (t − u )du = L{( f * g )(t )} =
0

L{ f (t )} ⋅L{g (t )} = F ( s ) ⋅ G ( s )
Ejemplo 4 – Con el teorema de la circunvolución, encuentre la transformada
de Laplace de (f*g)(t), si f(t) = sin(t), y g(t) = exp(t). Para encontrar F(s) =
L{f(t)}, y G(s) = L{g(t)}, use: ‘SIN(X)’ ` LAP μ. Resultado, ‘1/(X^2+1)’,
es decir, F(s) = 1/(s2+1).
Así mismo, ‘EXP(X)’ ` LAP. Resultado, ‘1/(X-1)’, es decir, G(s) = 1/(s-1).
Por lo tanto, L{(f*g)(t)} = F(s)⋅G(s) = 1/(s2+1)⋅1/(s-1) = 1/((s-1)(s2+1)) = 1/
(s3-s2+s-1).
•

Teorema del desfase para desfase a la derecha. Sea F(s) = L{f(t)}, entonces
L{f(t-a)}=e–as⋅L{f(t)} = e–as⋅F(s).

•

Teorema del desfase para desfase a la izquierda. Sea F(s) = L{f(t)}, y a >0,
entonces

Página 16-15

a
L{ f (t + a)} = e as ⋅ ⎛⎜ F ( s ) − ∫ f (t ) ⋅ e − st ⋅ dt ⎞⎟.
0
⎝
⎠

•

Teorema de la semejanza. Sea F(s) = L{f(t)}, y a>0, entonces
(1/a)⋅F(s/a).

•
•

Teorema de amortiguación. Sea F(s) = L{f(t)}, entonces L{e–bt⋅f(t)} = F(s+b).
Teorema de la división. Sea F(s) = L{f(t)}, entonces

L{f(a⋅t)} =

∞
⎧ f (t ) ⎫
L⎨
⎬ = ∫ s F (u )du.
⎩ t ⎭

•

Transformada de Laplace de una función periódica de período T:

L{ f (t )} =
•

T
1
⋅ f (t ) ⋅ e − st ⋅ dt.
− sT ∫ 0
1− e

Teorema del límite par el valor inicial: Sea F(s) = L{f(t)}, entonces

f 0 = lim f (t ) = lim[ s ⋅ F ( s)].
t →0

•

s →∞

Teorema del límite para el valor final : Sea F(s) = L{f(t)}, entonces

f ∞ = lim f (t ) = lim[ s ⋅ F ( s)].
t →∞

s →0

Función delta de Dirac y función grada de Heaviside
En el análisis de los sistemas de control se acostumbra utilizar cierto tipo de
funciones que representan ocurrencias físicas tales como la activación
repentina de un interruptor (La función grada de Heaviside, H(t)) o un pico
repentino, instantáneo, en una entrada al sistema (La función delta de Dirac,
δ(t)). Éstas funciones pertenecen a una clase de las funciones conocidas como
funciones generalizadas o simbólicas [por ejemplo, ver Friedman, B., 1956,
Principles and Techniques of Applied Mathematics, Dover Publications Inc.,
New York (reimpresión de 1990) ].
La definición formal de la función delta de Dirac, δ(x), es δ(x) = 0, para x ≠0, y

Página 16-16

∫

∞

δ ( x)dx = 1.0.

−∞

Así mismo, si f(x) es una función continua, entonces

∫

∞
−∞

f ( x)δ ( x − x0 )dx = f ( x0 ).

Una interpretación para el integral arriba, parafraseada de Friedman (1990),
es que la función δ “selecciona” el valor de la función f(x) para x = x0. La
función delta de Dirac es representada típicamente por una flecha ascendente
en el punto x = x0, indicando que la función tiene un valor diferente a cero
solamente en ese valor particular de x0.
•

La función grada de Heaviside, H(x), se define como

⎧1, x > 0
H ( x) = ⎨
⎩0, x < 0
También, para una función continua f(x),

∫

∞
−∞

∞

f ( x) H ( x − x0 )dx = ∫ f ( x)dx.
x0

La función delta de Dirac y la función grada de Heaviside se relacionan por
dH/dx = δ(x). Las dos funciones se ilustran en la figura abajo.

y

y

(x _ x 0 )

H(x _ x 0 )

1
x0
Se puede demostrar que
Y que

x

x0

x

L{H(t)} = 1/s,
L{Uo⋅H(t)} = Uo/s,

donde Uo es una constante. También, L -1{1/s}=H(t),

Página 16-17

y

L -1{ Uo /s}= Uo⋅H(t).

También, usando el teorema del desfase a la derecha, L{f(t-a)}=e–as⋅L{f(t)} =
e–as⋅F(s), podemos escribir L{H(t-k)}=e–ks⋅L{H(t)} = e–ks⋅(1/s) = (1/s)⋅e–ks.
Otro resultado importante, conocido como el segundo teorema de desfase
para desfase a la derecha, se escribe L -1{e–as ⋅F(s)}=f(t-a)⋅H(t-a), con F(s) =
L{f(t)}.
En la calculadora la función grada de Heaviside H(t) se refiere simplemente
como ‘1’. Para comprobar la transformada en la calculadora use: 1 `
LAP. El resultado es ‘1/X’, es decir, L{1} = 1/s. De manera similar, ‘U0’ `
LAP , produce el resultado ‘U0/X’, esto es, L{U0} = U0/s.
Usted puede obtener la función delta de Dirac en la calculadora usando:
1` ILAP
El resultado es
‘Delta(X)’.
Este resultado es simplemente simbólico, es decir, usted no puede encontrar un
valor numérico para, digamos, ‘Delta(5)’.
Este resultado puede ser definido por la transformada de Laplace para la
función delta de Dirac, dado que de L -1{1.0}= δ(t), se sigue que L{δ(t)} = 1.0
También, al usar teorema del desfase para desfase a la derecha, L{f(ta)}=e–as⋅L{f(t)} = e–as⋅F(s), podemos escribir L{δ(t-k)}=e–ks⋅L{δ(t)} = e–ks⋅1.0 =
e–ks.

Aplicaciones de transformadas de Laplace en la solución de EDOs
lineales

Al principio de la sección sobre Transformadas de Laplace indicamos que usted
podría utilizar éstos transforma para convertir una EDO lineal en el dominio de
tiempo a una ecuación algebraica en el dominio de la imagen. La ecuación
que resulta entonces se despeja la función F(s) con métodos algebraicos, y la

Página 16-18

solución a la EDO se encuentra usando la transformada inversa de Laplace de
F(s).
Los teoremas sobre las derivadas de una función, es decir,
L{df/dt} = s⋅F(s) - fo,
L{d2f/dt2} = s2⋅F(s) - s⋅fo – (df/dt) o,
y, en general,
L{dnf/dtn} = sn⋅F(s) – sn-1⋅fo −…– s⋅f(n-2)o – f (n-1) o,
son particularmente útiles en transformar la EDO en una ecuación algebraica.
Ejemplo 1 – Para solucionar la ecuación de primer orden,
dh/dt + k⋅h(t) = a⋅e–t,
usando Transformadas de Laplace, podemos escribir:
L{dh/dt + k⋅h(t)} = L{a⋅e–t},
L{dh/dt} + k⋅L{h(t)} = a⋅L{e–t}.
Nota:
(s+1).

‘EXP(-X)’ ` LAP , produce ‘1/(X+1)’, es decir, L{e–t }=1/

Con H(s) = L{h(t)}, y L{dh/dt} = s⋅H(s) - ho, donde ho = h(0), la ecuación
transformada es

s⋅H(s)-ho+k⋅H(s) = a/(s+1).

Utilizar la calculadora para despejar H(s), escribiendo:
‘X*H-h0+k*H=a/(X+1)’ ` ‘H’ ISOL

Página 16-19

El resultado es

‘H=((X+1)*h0+a)/(X^2+(k+1)*X+k)’.

Para encontrar la solución a la EDO, h(t), necesitamos utilizar la transformada
inversa de Laplace, como sigue:
OBJ ƒ ƒμ
ILAP

Aísla el lado derecho de la última expresión
Obtiene la transformada inversa de Laplace

El resultado es

.

Substituyendo X por t en esta

expresión y simplificándolo, resulta en h(t) = a/(k-1)⋅e -t +((k-1)⋅ho -a)/(k-1)⋅e -kt.
Comprobar lo que la solución a la EDO ser si usted utiliza la función LDEC:
‘a*EXP(-X)’ ` ‘X+k’ ` LDEC μ

El resultado es:

, es decir,
-t

h(t) = a/(k-1)⋅e +((k-1)⋅cCo -a)/(k-1)⋅e -kt.
Por lo tanto, cC0 en los resultados de LDEC representa la condición inicial h(0).
Nota: Al usar la función LDEC para solucionar un EDO lineal de
orden n en f(X), el resultado será dado en términos de las n constantes
cC0, cC1, cC2, …, cC(n-1), representando las condiciones iniciales
f(0), f’(0), f”(0), …, f(n-1) (0).
Ejemplo 2 – Use Transformadas de Laplace para solucionar la ecuación lineal
de segundo orden,
d2y/dt2+2y = sin 3t.
Usando Transformadas de Laplace, podemos escribir:

Página 16-20

L{d2y/dt2+2y} = L{sin 3t},
L{d2y/dt2} + 2⋅L{y(t)} = L{sin 3t}.
Nota:

‘SIN(3*X)’ ` LAP μ produce ‘3/(X^2+9)’, es decir,
L{sin 3t}=3/(s2+9).

Con Y(s) = L{y(t)}, y L{d2y/dt2} = s2⋅Y(s) - s⋅yo – y1, donde yo = h(0) y y1 =
h’(0), la ecuación transformada es
s2⋅Y(s) – s⋅yo – y1 + 2⋅Y(s) = 3/(s2+9).
Use la calculadora para despejar Y(s), escribiendo:
‘X^2*Y-X*y0-y1+2*Y=3/(X^2+9)’ ` ‘Y’ ISOL
El resultado es
‘Y=((X^2+9)*y1+(y0*X^3+9*y0*X+3))/(X^4+11*X^2+18)’.
Para resolver la EDO, y(t), necesitamos usar la transformada inversa de
Laplace, como sigue:
OBJ ƒ ƒ
ILAPμ

Aisla el lado derecho de la última expresión
Obtiene transformada inversa de Laplace

El resultado es

es decir,
y(t) = -(1/7) sin 3x + yo cos √2x + (√2 (7y1+3)/14) sin √2x.
Comprobar cuál sería la solución al EDO si usted utiliza la función LDEC:

Página 16-21

‘SIN(3*X)’ ` ‘X^2+2’ ` LDEC μ
El resultado es:

es decir, igual que antes con cC0 = y0 y cC1 = y1.
Nota: Usando los dos ejemplos demostrados aquí, podemos confirmar lo
que indicamos anteriormente, es decir, que la función ILAP usa
transformadas de Laplace y transformadas inversas para resolver EDOs
dado el lado derecho de la ecuación y la ecuación característica de la EDO
homogénea correspondiente.
Ejemplo 3 – Considere la ecuación
d2y/dt2+y = δ(t-3),
donde δ(t) es la función delta de Dirac.
Usando transformadas de Laplace, podemos escribir:
L{d2y/dt2+y} = L{δ(t-3)},
L{d2y/dt2} + L{y(t)} = L{δ(t-3)}.
Con ‘Delta(X-3)’ ` LAP , la calculadora produce EXP(-3*X), es decir, L{δ(t3)} = e–3s. Con Y(s) = L{y(t)}, y L{d2y/dt2} = s2⋅Y(s) - s⋅yo – y1, donde yo = h(0)
y y1 = h’(0), la ecuación transformada es s2⋅Y(s) – s⋅yo – y1 + Y(s) = e–3s. Use
la calculadora para despejar Y(s), escribiendo:
‘X^2*Y-X*y0-y1+Y=EXP(-3*X)’ ` ‘Y’ ISOL
El resultado es
‘Y=(X*y0+(y1+EXP(-(3*X))))/(X^2+1)’.

Página 16-22

Para resolver la EDO, y(t), usaremos la transformada inversa de Laplace, como
sigue:
OBJ ƒ ƒ
ILAP μ

Aísla el lado derecho de la última expresión
Obtiene la transformada inversa de Laplace

El resultado es ‘y1*SIN(X)+y0*COS(X)+SIN(X-3)*Heaviside(X-3)’.
Notas:
[1]. Una manera alternativa de obtener la transformada inversa de Laplace
de la expresión ‘(X*y0+(y1+EXP(-(3*X))))/(X^2+1)’ está separando la
expresión en fracciones parciales, es decir,
‘y0*X/(X^2+1) + y1/(X^2+1) + EXP(-3*X)/(X^2+1)’,
y utilice el teorema de linealidad de la transformada inversa de Laplace
L -1{a⋅F(s)+b⋅G(s)} = a⋅L -1{F(s)} + b⋅L -1{G(s)},
para escribir,
-1{y ⋅s/(s2+1)+y /(s2+1))
o
1

+ e–3s/(s2+1)) } =

yo⋅L -1{s/(s2+1)}+ y1⋅L -1{1/(s2+1)}+ L -1{e–3s/(s2+1))},
Entonces, utilizamos la calculadora para obtener lo siguiente:
‘X/(X^2+1)’ ` ILAP Resultado, ‘COS(X)’, ó, L -1{s/(s2+1)}= cos t.
‘1/(X^2+1)’ ` ILAP Resultado, ‘SIN(X)’, ó, L -1{1/(s2+1)}= sin t.
‘EXP(-3*X)/(X^2+1)’ ` ILAP Resultado, SIN(X-3)*Heaviside(X-3)’.
[2]. El resultado último, es decir, la transformada inversa de Laplace de la
expresión ‘(EXP(-3*X)/(X^2+1))’, también puede calculares usando el
segundo teorema de desfase a la derecha
L -1{e–as ⋅F(s)}=f(t-a)⋅H(t-a),

Página 16-23

si podemos encontrar una transformada inversa de Laplace para 1/(s2+1).
Con la calculadora, intente ‘1/(X^2+1)’ ` ILAP. El resultado es ‘SIN(X)’.
Por lo tanto, L -1{e–3s/(s2+1))} = sin(t-3)⋅H(t-3),
Comprobar lo que la solución a la EDO sería si usted utiliza la función LDEC:
‘Delta(X-3)’ ` ‘X^2+1’ ` LDEC μ
El resultado es:
‘SIN(X-3)*Heaviside(X-3) + cC1*SIN(X) + cC0*COS(X)’.
Notar por favor que la variable X en esta expresión representa realmente la
variable t en la EDO original. Así, la traducción de la solución al papel se
puede escribir como:

y (t ) = C0 ⋅ cos t + C1 ⋅ sin t + sin(t − 3) ⋅ H (t − 3)
Al comparar este resultado con el resultado anterior para y(t), concluimos que
cCo = yo, cC1 = y1.
Definición y uso de la función grada de Heaviside en la calculadora
El ejemplo anterior proveyó de una cierta experiencia el uso de a función delta
de Dirac como entrada a un sistema (es decir, en el lado derecho de la EDO
que describe el sistema). En este ejemplo, deseamos utilizar la función grada
de Heaviside, H(t). En la calculadora podemos definir esta función como:
‘H(X) = IFTE(X>0, 1, 0)’ `„à
Esta definición creará la variable @@@H@@@ en el menú de la calculadora.
Ejemplo 1 – Para ver un diagrama de H(t-2), por ejemplo, utilizar un tipo de
diagrama FUNCTION (ver el capítulo 12):

Página 16-24

•
•
•
•
•
•
•
•

Presione „ô, simultáneamente en modo RPN, para activar la
pantalla PLOT SETUP.
Cambie TYPE a FUNCTION, de ser necesario
Cambie EQ a ‘H(X-2)’.
Asegúrese que Indep se fija a ‘X’.
Presione L @@@OK@@@ para volver a la pantalla normal de la calculadora.
Presione „ò, simultáneamente, para acceder a la pantalla PLOT.
Cambie el rango H-VIEW a 0 a 20, y el rango V-VIEW a -2 a 2.
Presione @ERASE @DRAW para trazar la función.

El uso de la función H(X) con LDEC, LAP, o ILAP, no se permite en la
calculadora. Usted tiene que utilizar los resultados principales proporcionados
anteriormente al incorporar la función grada de Heaviside, es decir, L{H(t)} =
1/s, L -1{1/s}=H(t),
⋅F(s)}=f(t-a)⋅H(t-a).

L{H(t-k)}=e–ks⋅L{H(t)} = e–ks⋅(1/s) = ⋅(1/s)⋅e–ks y L -1{e–as

Ejemplo 2 – La función H(t-to) cuando se multiplica con una función f(t), es
decir, H(t-to)f(t), tiene el efecto de encender la función f(t) at t = to. Por ejemplo,
la solución obtenida en el Ejemplo 3 fue y(t) = yo cos t + y1 sin t + sin(t-3)⋅H(t3). Suponga que utilizamos las condiciones iniciales yo = 0.5, y y1 = -0.25.
Tracemos esta función para como luce:
•
•
•
•
•
•
•

Presione „ô, simultáneamente en modo RPN, para activar la
pantalla PLOT SETUP.
Cambie TYPE a FUNCTION, de ser necesario
Cambie EQ a ‘0.5*COS(X)-0.25*SIN(X)+SIN(X-3)*H(X-3)’.
Asegúrese que Indep se fija a ‘X’.
“H-VIEW:0 20, V-VIEW: -3, 2.“
Presione @ERASE @DRAW para trazar la función.
Presione @EDIT L @LABEL para ver la gráfica.

El gráfico que resulta es el siguiente:

Página 16-25

Note que la señal comienza con una amplitud relativamente pequeña, pero
repentinamente, en t=3, se cambia a una señal oscilatoria con una amplitud
mayor. La diferencia entre el comportamiento de la señal antes y después t = 3
El
es el "encendido" de la solución particular yp(t) = sin(t-3)⋅H(t-3).
comportamiento de la señal antes de que t = 3 represente la contribución de la
solución homogénea, yh(t) = yo cos t + y1 sin t.
La solución de una ecuación con una señal de entrada dada por una función
grada de Heaviside se muestra a continuación.
Ejemplo 3 – Determinar la solución a la ecuación, d2y/dt2+y = H(t-3),
donde H(t) es la función grada de Heaviside.
Usando transformadas de
Laplace, podemos escribir: L{d2y/dt2+y} = L{H(t-3)}, L{d2y/dt2} + L{y(t)} = L{H(t3)}. El término último en esta expresión es: L{H(t-3)} = (1/s)⋅e–3s. Con Y(s) =
L{y(t)}, y L{d2y/dt2} = s2⋅Y(s) - s⋅yo – y1, donde yo = h(0) y y1 = h’(0), la
ecuación transformada es s2⋅Y(s) – s⋅yo – y1 + Y(s) = (1/s)⋅e–3s. Cambie el
modo del CAS a Exact, de ser necesario. Use la calculadora para despejar
Y(s), escribiendo:
‘X^2*Y-X*y0-y1+Y=(1/X)*EXP(-3*X)’ ` ‘Y’ ISOL
El resultado es

‘Y=(X^2*y0+X*y1+EXP(-3*X))/(X^3+X)’.

Para resolver la EDO, y(t), usaremos la transformada inversa de Laplace, como
sigue:
OBJ ƒ ƒ
ILAP

Aísla el lado derecho de la última expresión
Obtiene transformada inversa de Laplace

Página 16-26

El resultado es

‘y1*SIN(X-1)+y0*COS(X-1)-(COS(X-3)-1)*Heaviside(X-3)’.

Así, escribimos como la solución: y(t) = yo cos t + y1 sin t + H(t-3)⋅(1+sin(t-3)).
Comprobar cuál sería la solución al EDO si usted utiliza la función LDEC:
‘H(X-3)’ `[ENTER] ‘X^2+1’ ` LDEC
El resultado es:

Note por favor que la variable X en esta expresión representa realmente la
variable t en la EDO original, y que la variable ttt en esta expresión es una
variable muda. Así, la traducción de la solución en papel se puede escribir
como:
∞

y (t ) = C0 ⋅ cos t + C1 ⋅ sin t + sin t ⋅ ∫ H (u − 3) ⋅ e −ut ⋅ du ⋅
0

Ejemplo 4 – Trazar la solución del Ejemplo 3 usar los mismos valores de yo y y1
utilizado en el diagrama del Ejemplo 1. Ahora trazamos la función
y(t) = 0.5 cos t –0.25 sin t + (1+sin(t-3))⋅H(t-3).
en el rango 0 < t < 20, y cambiando el rango vertical a (-1,3), el gráfico se
muestra como:

Una vez más hay una nueva componente del movimiento que se introduce en
t=3, a saber, la solución particular yp(t) = [1+sin(t-3)]⋅H(t-3), la cuál cambia la
naturaleza de la solución para t>3.

Página 16-27

La función grada de Heaviside puede ser combinada con una función
constante y con funciones lineales para generar pulsos finitos de forma
cuadrada, triangular, o de dientes de sierra, como sigue:
•

Pulso cuadrado de tamaño Uo en el intervalo a < t < b:
f(t) = Uo[H(t-a)-H(t-b)].

•

Pulso triangular con un valor máximo Uo, creciente en el rango a < t < b, y
decreciente en el rango b < t < c:
f(t) = Uo⋅ ((t-a)/(b-a)⋅[H(t-a)-H(t-b)]+(1-(t-b)/(b-c))[H(t-b)-H(t-c)]).

•

Pulso de diente de sierra creciente hasta alcanzar un valor máximo Uo
para a < t < b, decayendo repentinamente a cero para t = b:
f(t) = Uo⋅ (t-a)/(b-a)⋅[H(t-a)-H(t-b)].

•

Pulso de diente de sierra que salta súbitamente a un máximo de Uo para t
= a, disminuyendo linealmente a cero para a < t < b:
f(t) = Uo⋅[1-(t-a)/(b-1)]⋅[H(t-a)-H(t-b)].

Ejemplos de los diagramas generados por estas funciones, para Uo = 1, a = 2,
b = 3, c = 4, rango horizontal = (0,5), y rango vertical = (-1, 1.5), se
demuestran en las figuras siguientes:

Página 16-28

Series de Fourier

Las series de Fourier son series que usan las funciones del seno y de coseno
típicamente para ampliar funciones periódicas. Una función f(x) se dice ser
periódica, de período T, si f(x+T) = f(t). Por ejemplo, porque sin(x+2π) = sin x,
y cos(x+2π) = cos x, las funciones sin y cos son funciones periódicas de
período 2π. Si dos funciones f(x) y g(x) son periódico de período T, entonces
su combinación linear h(x) = a⋅f(x) + b⋅g(x), es también periódica de período T.
Dada una función periódica de período T, f(t), puede ser ampliado en una
serie de funciones del seno y de coseno conocidas como serie de Fourier,
∞
2nπ
2nπ
⎛
f (t ) = a 0 + ∑ ⎜ a n ⋅ cos
t + bn ⋅ sin
T
T
n =1 ⎝

⎞
t⎟
⎠

con an y bn calculados por

a0 =

1
T

∫

T /2
−T / 2

f (t ) ⋅ dt , a n =

bn = ∫

T /2
−T / 2

2 T/2
2 nπ
f (t ) ⋅ cos
t ⋅ dt ,
∫
T
/
2
−
T
T

f (t ) ⋅ sin

2nπ
t ⋅ dt.
T

Los ejercicios siguientes son en modo ALG , con el modo del CAS fijado a
Exact. (Cuando usted produce un gráfico, el modo del CAS será reajustado a
Approx. Cerciorarse de fijarlo de nuevo a Exact después de producir el

Página 16-29

gráfico.) Suponga, por ejemplo, que la función f(t) = t2+t es periódica con
período T = 2. Para determinar los coeficientes a0, a1, y b1 para la serie de
Fourier correspondiente, procedemos como sigue: Primero, defina la función
f(t) = t2+t :

Después, utilizaremos el Escritor de ecuaciones para calcular los coeficientes:

Así, los primeros tres términos de la función son:
f(t) ≈ 1/3 – (4/π2)⋅cos (π⋅t)+(2/π)⋅sin (π⋅t).
Una comparación gráfica de la función original con la serie de Fourier que usa
estos tres términos muestra que la aproximación es aceptable para t < 1, más o
menos. Lo que tiene sentido dado que estipulamos que T/2 = 1. Por lo tanto,
la aproximación es válida solamente en el rango –1 < t < 1.

Página 16-30

Función FOURIER

Una manera alternativa de definir una serie de Fourier consiste en utilizar
números complejos como se indica en la fórmula siguiente:

f (t ) =

+∞

∑c

n = −∞

n

⋅ exp(

2inπt
),
T

en la cual

cn =

1 T
2 ⋅ i ⋅ n ⋅π
f (t ) ⋅ exp(−
⋅ t ) ⋅ dt , n = −∞,...,−2,−1,0,1,2,...∞.
∫
0
T
T

La función FOURIER provee los coeficientes cn de la forma compleja de la serie
de Fourier dada la función f(t) y el valor de n. La función FOURIER requiere
que el valor del período, T, de la función T-periódica, se almacene en la
variable CAS denominada PERIOD antes de activar la función FOURIER. La
función FOURIER está disponible en el sub-menú DERIV dentro del menú CALC
(„Ö).

Serie de Fourier para una función cuadrática

Determine los coeficientes c0, c1, y c2 para la función f(t) = t2+t, con período T
= 2. (Nota: Porque la integral usada por la función FOURIER se calcula en el
intervalo [0,T], mientras que la integral definida anteriormente se calculó en el
intervalo [-T/2,T/2], necesitamos desfasar la función en el eje t, restando T/2
de t, es decir, utilizaremos g(t) = f(t-1) = (t-1)2+(t-1).)
Utilizando la calculadora en modo ALG, se definen las funciones f(t) y g(t)
como se muestra a continuación:

Página 16-31

A continuación, se selecciona el sub-directorio CASDIR bajo el directorio
HOME para cambiar el valor de la variable PERIOD:
„ (mantener) §`J @)CASDI `2 K @PERIOD `

Vuelva al sub-directorio donde usted definió las funciones f y g, y calcule los
coeficientes (aceptar el cambio al modo complejo cuando se solicite):

En este caso,

c0 = 1/3, c1 = (π⋅i+2)/π2, c2 = (π⋅i+1)/(2π2).

Página 16-32

La serie de Fourier para este caso se escribe, utilizando tres elementos, de la
forma siguiente:
g(t) ≈ Re[(1/3) + (π⋅i+2)/π2⋅exp(i⋅π⋅t)+ (π⋅i+1)/(2π2)⋅exp(2⋅i⋅π⋅t)].
Un diagrama de la función desfasada g(t) y de la serie de Fourier se muestra a
continuación:

La aproximación es aceptable, aunque no tan buena como en el ejemplo
anterior, para el intervalo 01) AND (X<3),1,0)’)
La función se traza como sigue (rango horizontal: 0 a 4, rango vertical:0 a 1.2
):

Página 16-42

Usando un procedimiento similar al de la forma triangular en el ejemplo 2,
usted puede encontrar que
y

c0 =

1 ⎛ 3
⋅ ⎜ 1 ⋅ dX ⎞⎟ = 0.5 ,
⎠
T ⎝ ∫1

Podemos simplificar esta expresión usando einπ/2 = in y e3inπ/2 = (-i)n para
obtener:

La simplificación del lado derecho de c(n) es más fácil hecha en el papel (es
decir, a mano). Entonces, escriba de nuevo la expresión para c(n) según lo
demostrado en la figura a la izquierda arriba, para definir la función c(n). La
serie de Fourier se calcula con F(X, k, c0), como en los ejemplos 1 y 2, con c0
= 0.5.
Por ejemplo, para k = 5, es decir, con 11 componentes, la
aproximación se demuestra abajo:

Página 16-43

Una aproximación mejor es obtenida usando k = 10, es decir,

Para k = 20, la aproximación es aún mejor, pero la calculadora dura más para
producir el gráfico:

Usos de la serie de Fourier en ecuaciones diferenciales

Suponga que deseamos utilizar la onda cuadrada periódica definida en el
ejemplo anterior como la excitación de un sistema masa-resorte sin
amortiguación cuya ecuación homogénea es: d2y/dx2 + 0.25y = 0.
Podemos generar la fuerza de excitación obteniendo una aproximación con k
=10, a partir de la serie de Fourier, usando SW(X) = F(X,10,0.5):

Podemos utilizar este resultado como la primera entrada a la función LDEC
cuando se utiliza para obtener una solución al sistema d2y/dX2 + 0.25y =

Página 16-44

SW(X), donde SW(X) significa función Square Wave de X. El segundo artículo
de entrada será la ecuación característica que corresponde a la EDO
homogénea mostrada anteriormente, es decir, ‘X^2+0.25’ .
Con estas dos entradas, la función LDEC produce el resultado siguiente
(formato decimal cambiante a Fix con 3 decimales).

El presionar ˜ permite que usted vea la expresión entera en el Escritor de
ecuaciones. Explorando la ecuación en el Escritor de ecuaciones revela la
existencia de dos constantes de integración, cC0 y cC1. Estos valores pueden
ser calculados usando condiciones iniciales. Suponga que utilizamos los
valores cC0 = 0.5 y cC1 = -0.5, podemos sustituir esos valores en la solución
arriba usando la función SUBST (ver el capítulo 5). Para este caso, utilizar
SUBST(ANS(1),cC0=0.5) `, seguido de SUBST(ANS(1),cC1=-0.5) `. En
la pantalla normal de la calculadora podemos utilizar:

El último resultado se puede definir como una función, FW(X), como sigue
(cortando y pegando el resultado anterior en la línea de entrada):

Podemos ahora trazar la parte real de esta función. Cambie el modo decimal a
Standard, y utilice lo siguiente:

Página 16-45

La solución se demuestra abajo:

Transformadas de Fourier

Antes de presentar el concepto de transformadas de Fourier, discutiremos la
definición general de una transformada integral.
En general, una
transformada integral es una transformación que relaciona una función f(t) con
una nueva función F(s) por una integración de la forma
b

F ( s ) = ∫ K ( s, t ) ⋅ f (t ) ⋅ dt . La función κ(s,t) se conoce como el núcleo
a

(inglés, kernel) de la transformación.
El uso de una transformación integral permite que resolvamos una función en
un espectro dado de componentes. Para entender el concepto de un espectro,
considerar la serie de Fourier
∞

f (t ) = a0 + ∑ (an ⋅ cos ω n x + bn ⋅ sin ω n x ),
n =1

representación de una función periódica con un período T.

Esta serie de

∞

Fourier se puede re-escribir como f ( x) = a0 + ∑ An ⋅ cos(ϖ n x + φ n ), donde
n =1

Página 16-46

⎛b ⎞
An = a n2 + bn2 , φ n = tan −1 ⎜⎜ n ⎟⎟,
⎝ an ⎠
para n =1,2, …
Las amplitudes An se referirán como el espectro de la función y serán una
medida de la magnitud del componente de f(x) con frecuencia fn = n/T. La
frecuencia básica o fundamental en la serie de Fourier es f0 = 1/T, así, el resto
de las frecuencias son múltiplos de esta frecuencia básica, es decir, fn = n⋅f0.
También, podemos definir una frecuencia angular, ωn = 2nπ/T = 2π⋅fn = 2π⋅
n⋅f0 = n⋅ω0, donde ω0 es la frecuencia angular básica o fundamental de la
serie de Fourier.
Usando la notación de frecuencia angular, la serie de Fourier se escribe como:
∞

f ( x) = a 0 + ∑ An ⋅ cos(ω n x + φ n ).
n =1

∞

= a 0 + ∑ (a n ⋅ cos ω n x + bn ⋅ sin ω n x )
n =1

Un diagrama de los valores An vs. ωn es la representación típica de un espectro
discreto para una función. El espectro discreto demostrará que la función tiene
componentes en las frecuencias angulares ωn cuáles son múltiplos enteros de la
frecuencia angular fundamental ω0.
Suponga que necesitamos aproximar una función no periódica en
componentes del seno y del coseno. Una función no periódica se puede
considerar como una función periódica de período infinitamente grande. Así,
para un valor muy grande de T, la frecuencia angular fundamental, ω0 = 2π/T,
se convierte una cantidad muy pequeña, digamos Δω.
También, las
frecuencias angulares que corresponden a ωn = n⋅ω0 = n⋅Δω, (n = 1, 2, …,

Página 16-47

∞), ahora tomar los valores cada vez más cercanos, sugiriendo la necesidad
de un espectro continuo de valores.
La función no periódica puede escribirse, por lo tanto, como
∞

f ( x) = ∫ [C (ω ) ⋅ cos(ω ⋅ x) + S (ω ) ⋅ sin(ω ⋅ x)]dω ,
0

donde

C (ω ) =

1
2π

⋅∫

∞
−∞

f ( x) ⋅ cos(ω ⋅ x) ⋅ dx,

y

S (ω ) =

∞
1
⋅ ∫ f ( x) ⋅ sin(ω ⋅ x) ⋅ dx
2π −∞

El espectro continuo es

A(ω ) = [C (ω )] 2 + [ S (ω )] 2
Las funciones C(ω), S(ω), y A(ω) son funciones continuas de una variable ω, la
cuál se convierte en la variable de la transformación para las transformadas de
Fourier definidas posteriormente.
Ejemplo 1 – Determinar los coeficientes C(ω), S(ω), y el espectro continuo
A(ω),para la función f(x) = exp(-x), para x > 0, y f(x) = 0, x < 0.
En la calculadora, escriba y evalúe las integrales siguientes para calcular C(ω)
and S(ω), respectivamente. El CAS se fija a modos Exact y Real.

Sus resultados son, respectivamente:

Página 16-48

El espectro continuo, A(ω), se calcula como:

Definir esta expresión como función usando la función DEFINE („à).
Entonces, trace el espectro continuo, en el rango 0 < ω < 10, as:

Definición de las transformadas de Fourier

Diversos tipos de transformadas de Fourier pueden ser definidas. Los siguientes
son las definiciones de las transformadas de Fourier y sus lo contrario usados
en este capítulo:
Transformada de Fourier usando la función seno

Fs { f (t )} = F (ω ) =

2

π

∞

⋅ ∫ f (t ) ⋅ sin(ω ⋅ t ) ⋅ dt
0

Transformada inversa de Fourier usando la función seno
∞

Fs−1{F (ω )} = f (t ) = ∫ F (ω ) ⋅ sin(ω ⋅ t ) ⋅ dt
0

Transformada de Fourier usando la función coseno

Página 16-49

Fc { f (t )} = F (ω ) =

2

π

∞

⋅ ∫ f (t ) ⋅ cos(ω ⋅ t ) ⋅ dt
0

Transformada inversa de Fourier usando la función coseno
∞

Fc−1 {F (ω )} = f (t ) = ∫ F (ω ) ⋅ cos(ω ⋅ t ) ⋅ dt
0

Transformada de Fourier propiamente dicha

F { f (t )} = F (ω ) =

∞
1
⋅ ∫ f (t ) ⋅ e −iωt ⋅ dt
2π −∞

Transformada inversa de Fourier propiamente dicha
∞

F −1{F (ω )} = f (t ) = ∫ F (ω ) ⋅ e −iωt ⋅ dt
−∞

Ejemplo 1 – Determine la transformada de Fourier de la función f(t) = exp(- t),
para t >0, y f(t) = 0, para t<0.
El espectro continuo, F(ω),se calcula con la integral:

1
2π

= lim
ε →∞

∫

∞
0

1
ε →∞ 2π

e −(1+iω )t dt = lim

ε − (1+ iω ) t

∫e
0

dt

1 ⎡1 − exp(−(1 + iω )ε ) ⎤ 1
1
.
=
⋅
⎢
⎥
2π ⎣
1 + iω
⎦ 2π 1 + iω

Este resultado puede ser racionalizado multiplicando numerador y
denominador por el conjugado del denominador, a saber, 1-iω. Esto produce:

F (ω ) =

1
1
1
⋅
=
2π 1 + iω 2π

⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 − iω ⎞
⋅⎜
⎟⋅⎜
⎟
⎝ 1 + iω ⎠ ⎝ 1 − i ω ⎠

Página 16-50

=

1 ⎛ 1
ω ⎞
−i⋅
⎜
⎟
2
2π ⎝ 1 + ω
1+ ω 2 ⎠

la cuál es una función compleja.
El valor absoluto de las partes verdaderas e imaginarias de la función se
puede trazar según lo demostrado abajo

Notas:
La magnitud, o valor absoluto, de la transformada de Fourier, |F(ω)|, es el
espectro de la frecuencia de la función original f(t). Por el ejemplo
demostrado anteriormente, |F(ω)| = 1/[2π(1+ω2)]1/2.
|F(ω)| vs. ω se mostró anteriormente.

El diagrama de

Algunas funciones, tales como valores constantes, sin x, exp(x), x2, etc., no
tienen transformada de Fourier. Las funciones que van a cero suficientemente
rápido cuando x va al infinito tienen transformadas de Fourier.

Características de la transformada de Fourier

Linealidad: Si a y b son constantes, y f y g funciones, entonces F{a⋅f + b⋅g} = a
F{f }+ b F{g}.
Transformación de derivadas parciales. Sea u = u(x,t). Si la transformada de
Fourier transforma la variable x, entonces
F{∂u/∂x} = iω F{u}, F{∂2u/∂x2} = -ω2 F{u},

Página 16-51

F{∂u/∂t} = ∂F{u}/∂t, F{∂2u/∂t2} = ∂2F{u}/∂t2
Convolución: Para aplicaciones de la transformada de Fourier, la operación de
convolución se define como

( f * g )( x) =

1
2π

⋅ ∫ f ( x − ξ ) ⋅ g (ξ ) ⋅ dξ .

Las siguientes características aplican para la convolución:
F{f*g} = F{f}⋅F{g}.

La transformada rápida de Fourier (FFT)

La transformada rápida de Fourier (inglés, Fast Fourier Transform, o FFT) es un
algoritmo de la computadora por el cual uno puede calcular muy
eficientemente una transformada discreta de Fourier (inglés, Discrete Fourier
Transform, DFT). Este algoritmo tiene usos en el análisis de diversos tipos de
señales que dependen del tiempo, desde medidas de la turbulencia hasta las
señales de comunicación.
La transformada discreta de Fourier de una secuencia de datos {xj}, j = 0, 1, 2,
…, n-1, es una nueva secuencia finita {Xk}, definida como

Xk =

1 n −1
∑ x j ⋅ exp(−i ⋅ 2πkj / n),
n j =0

k = 0,1,2,..., n − 1

El cálculo directo de la secuencia Xk implica n2 productos, lo cuál implicaría
cantidades enormes de tiempo de la computadora (o calculadora)
particularmente para los valores grandes n. La transformada rápida de Fourier
reduce el número de operaciones a un orden de n⋅log2n. Por ejemplo, para n
= 100, la FFT requiere alrededor de 664 operaciones, mientras que el cálculo
directo requeriría 10,000 operaciones. Así, el número de las operaciones
usando la FFT se reduce por un factor de 10000/664 ≈ 15.

Página 16-52

La FFT opera en la secuencia {xj} dividiéndola en un número de secuencias más
cortas. Las DFTs de las secuencias más cortas se calculan y se combinan
posteriormente de una manera altamente eficiente. Para los detalles en el
algoritmo referirse, por ejemplo, al capítulo 12 del libro Newland, D.E., 1993,
“An Introduction to Random Vibrations, Spectral & Wavelet Analysis – Third
Edition,” Longman Scientific and Technical, New York.
El único requisito para el uso del FFT es que el número n sea una potencia de
2, es decir, seleccionar sus datos de modo que contenga 2, 4, 8, 16, 32, 62,
etc., puntos.

Ejemplos de aplicaciones de la FFT
Las aplicaciones de la FFT implican generalmente los datos discretizados de
una señal dependiente del tiempo. La calculadora puede recibir esos datos,
de una computadora o un colector de datos, para procesarlos. O, usted
puede generar sus propios datos programando una función y agregando
algunos números aleatorios a la misma.
Ejemplo 1 – Defina la función f(x) = 2 sin (3x) + 5 cos(5x) + 0.5*RAND, en la
cual RAND es el generador uniforme de números aleatorios proveído por la
calculadora. Genere128 datos usando valores de x en el intervalo (0,12.8).
Almacenar esos valores en un arreglo, y aplique una FFT al arreglo.
Primero, definimos el f(x) de la función como un programa (en modo RPN):
<<  x ‘2*SIN(3*x) + 5*COS(5*x)’ EVAL RAND 5 * + NUM >>
y almacene este programa en la variable @@@@f@@@. Después, escriba el programa
siguiente para generar 2m datos entre a y b. El programa tomará los valores
de m, a, y b:
<<  m a b << ‘2^m’ EVAL  n << ‘(b-a)/(n+1)’ EVAL  Dx << 1 n para j
‘a+(j-1)*Dx’ EVAL f NEXT n ARRY >> >> >> >>

Página 16-53

Almacene este programa bajo el nombre de GDATA (inglés, Generate DATA).
Entonces, active el programa para los valores, m = 5, a = 0, b = 100. En
modo RPN, use:
5#0#100@GDATA!
La figura abajo es un diagrama de barras de los datos producidos. Para
obtener el gráfico, primero copiar el arreglo recién creado, entonces
transformarlo en un vector columna usando: OBJ 1 + ARRY (Las
funciones OBJ y ARRY están disponible en el catálogo de funciones,
‚N). Almacenar el arreglo en la variable ΣDAT usando la función STOΣ
(también disponible en ‚N). Seleccione Bar en la opción TYPE para los
gráficos, cambie la ventana de la gráfica a H-VIEW: 0 32, V-VIEW: -10 10, y
BarWidth = 1. Presione @CANCL $ para volver a la pantalla normal de la
calculadora.

Para aplicar la FFT al arreglo en el nivel 1 de la pantalla, use la función FFT,
disponible en el menú MTH/FFT, al arreglo ΣDAT: @£DAT FFT. La función FFT
produce un arsenal de los números complejos que son los arreglos de
coeficientes Xk de la DFT. La magnitud de los coeficientes Xk representa un
espectro de frecuencia de los datos originales. Para obtener la magnitud de los
coeficientes usted podría transformar el arreglo a una lista, y después aplicar
la función ABS a la lista. Esto es lograda usando: OBJ μ ƒ LIST
„Ê
Finalmente, usted puede convertir la lista de nuevo a un vector columna que se
almacenará en ΣDAT, como sigue: OBJ 1 ` 2 ‡LIST ARRY
STOΣ

Página 16-54

Para trazar el espectro, seguir las instrucciones para producir el diagrama de
barra dado anteriormente. El rango vertical necesita cambiarse a –1 to 80. El
espectro de frecuencias es el siguiente:

El espectro muestra dos componentes mayores para dos frecuencias
particulares (éstos son los componentes sinusoidales, sin (3x) y cos(5x)), y un
número de componentes menores para otras frecuencias.
Ejemplo 2 – Para producir la señal dado el espectro, modificamos el programa
GDATA para incluir un valor absoluto, de modo que lea:
<<  m a b << ‘2^m’ EVAL  n << ‘(b-a)/(n+1)’ EVAL  Dx << 1 n para j
‘a+(j-1)*Dx’ EVAL f ABS NEXT n ARRY >> >> >> >>
Almacene esta versión del programa en la variable GSPEC (inglés, Generate
SPECtrum, o Generar el eSPECtro). Active el programa con m = 6, a = 0, b =
100. En modo RPN, use:
6#0#100@GSPEC!
Presione ` al terminar, para guardar una copia adicional del arreglo del
espectro. Convierta este vector fila en un vector columna y almacénelo en
ΣDAT. Siguiendo el procedimiento para generar un diagrama de barras, el
espectro generado por este ejemplo se muestra a continuación. El rango
horizontal en este caso es 0 a 64, mientras que es el rango vertical es –1 to
10:

Página 16-55

Para reproducir la señal a partir del especto anterior, use la función IFFT.
Puesto que dejamos una copia del espectro en la pantalla (un vector fila), lo
que necesitamos es localizar la función IFFT en el menú MTH/FFT o a través del
catálogo de la función, ‚N. Como alternativa, usted podría simplemente
escribir el nombre de la función, es decir, escribir ~~ifft`. La
señal se demuestra como un arreglo (vector fila) con números complejos.
Estamos interesados solamente en la parte real de los elementos. Para extraer
la parte real de los números complejos, utilice la función RE del menú CMPLX
(ver el capítulo 4), por ejemplo, escriba ~~re`. Lo qué resulta es
otro vector fila. Convertirlo en un vector de la columna, almacenarlo en ΣDAT,
y trace un diagrama de barras para mostrar la señal. La señal para este
ejemplo se muestra a continuación, usando un rango horizontal de 0 a 64, y
un rango vertical de –1 a 1:

A excepción de un pico grande en t = 0, la señal es sobre todo ruido. Una
escala vertical más pequeña (-0.5 to 0.5) muestra la señal como sigue:

Página 16-56

Solución a ecuaciones diferenciales específicas de
segundo orden
En esta sección presentamos y resolvemos ciertos tipos específicos de
ecuaciones diferenciales ordinarias cuyas soluciones se definen en términos de
algunas funciones clásicas, por ejemplo, funciones de Bessel, polinomios de
Hermite, etc. Se presentan los ejemplos en modo RPN.

La ecuación de Cauchy o de Euler

Una ecuación de la forma x2⋅(d2y/dx2) + a⋅x⋅ (dy/dx) + b⋅y = 0, donde a y b
son constantes reales, se conoce como la ecuación de Cauchy o de Euler. Una
solución a la ecuación de Cauchy puede ser encontrada si se asume que y(x) =
xn.
Escriba la ecuación como: ‘x^2*d1d1y(x)+a*x*d1y(x)+b*y(x)=0’ `
Después, escriba la solución sugerida: ‘y(x) = x^n’ ` @SUBST
El resultado es: ‘x^2*(n*(x^(n-1-1)*(n-1)))+a*x*(n*x^(n-1))+b*x^n =0, el
cuál simplifica ‘n*(n-1)*x^n+a*n*x^n+b*x^n = 0’.
Dividiendo por x^n,
resulta en una ecuación algebraica auxiliar: ‘n*(n-1)+a*n+b = 0’, o

n 2 + (a − 1) ⋅ n + b = 0 .
•

Si la ecuación tiene dos diversas raíces, digamos n1 y n2, entonces la
solución general de esta ecuación es y(x) = K1⋅x n1 + K2⋅x n2.

•

Si b = (1-a)2/4, entonces la ecuación tiene una raíz doble n1 = n2 = n =
(1-a)/2, y la solución resulta ser y(x) = (K1 + K2⋅ln x)xn.

Ecuación de Legendre

Una ecuación de la forma (1-x2)⋅(d2y/dx2)-2⋅x⋅ (dy/dx)+n⋅ (n+1) ⋅y = 0, donde
n es un número real, se conoce como la ecuación diferencial de Legendre.
Cualquier solución para esta ecuación se conoce como función de Legendre.
Cuando n es un entero no negativo, las soluciones se conocen como
polinomios de Legendre. Los polinomios de Legendre de orden n se escriben

Página 16-57

M

Pn ( x) = ∑ (−1) m ⋅
m =0

=

(2n − 2m)!
⋅x n − 2 m
2 ⋅ m!⋅(n − m)!⋅(n − 2m)!
n

(2n)!
(2n − 2)!
⋅ xn − n
⋅ x n − 2 + ... − ..
2
2 ⋅ (n!)
2 ⋅ 1!⋅(n − 1)!(n − 2)!
n

donde M = n/2 o (n-1)/2, cualesquiera que sea un entero.
Los polinomios de Legendre están pre-programados en la calculadora y
pueden ser activados usando la función LEGENDRE dado el orden del
polinomio, n. La función LEGENDRE puede ser obtenido del catálogo de
funciones (‚N) o a través del menú ARITHMETIC/POLYNOMIAL (ver el
capítulo 5). En modo RPN, se obtienen los primeros seis polinomios de
Legendre como sigue:
0 LEGENDRE, resulta: 1,
es decir,
P0(x)=1.0.
1 LEGENDRE, resulta: ‘X’,

es decir,

P1(x)=x.

2 LEGENDRE, resulta: ‘(3*X^2-1)/2’,

es decir,

P2(x)=(3x2-1)/2.

3 LEGENDRE, resulta: ‘(5*X^3-3*X)/2’, es decir,

P3(x)=(5x3-3x)/2.

4 LEGENDRE, resulta: ‘(35*X^4-30*X^2+3)/8’, es decir,
P4(x) =(35x4 -30x2+3)/8.
5 LEGENDRE, resulta: ‘(63*X^5-70*X^3+15*X)/8’, es decir,
P5(x) =(63x5-70x3+15x)/8.
La EDO

(1-x2)⋅(d2y/dx2)-2⋅x⋅ (dy/dx)+[n⋅ (n+1)-m2/(1-x2)] ⋅y = 0, tiene por

solución la función y(x) = Pnm(x)= (1-x2)m/2⋅(dmPn/dxm).
refiere como función asociada de Legendre.

Esta función se

Ecuación de Bessel

La ecuación diferencial ordinaria x2⋅(d2y/dx2) + x⋅ (dy/dx)+ (x2-ν2) ⋅y = 0,
donde el parámetro ν es un número real no negativo, se conoce como

Página 16-58

ecuación diferencial de Bessel. Las soluciones a la ecuación de Bessel se dan
en términos de funciones de Bessel de primera clase de orden ν:

(−1) m ⋅ x 2 m
,
2 m +ν
⋅ m!⋅Γ(ν + m + 1)
m =0 2
∞

J ν ( x ) = xν ⋅ ∑

donde ν no es un entero, y la función Gamma Γ(α) se define en el Capítulo 3.
Si ν = n, es un entero, las funciones de Bessel de primera clase para n = entero
se definen por

(−1) m ⋅ x 2 m
.
2m+n
⋅ m!⋅(n + m)!
m =0 2
∞

J n ( x) = x n ⋅ ∑

Sin importar si utilizamos ν (no entero) ó n (entero) en la calculadora, podemos
definir las funciones de Bessel de primera clase usando la serie finita siguiente:

Así, tenemos control sobre el orden de la función, n, y sobre el número de
elementos en la serie, k. Una vez que usted haya escrito esta función, usted
puede utilizar la función DEFINE para definir la función J(x,n,k). Esto creará la
variable @@@J@@@ en el menú.
Por ejemplo, para evaluar J3(0.1) usando 5
términos en la serie,
calcule J(0.1,3,5), es decir, en modo RPN:
.1#3#5@@@J@@@ El resultado es 2.08203157E-5.
Si usted desea obtener una expresión para J0(x) con, digamos, 5 términos en
la serie, use J(x,0,5). El resultado es
‘1-0.25*x^2+0.015625*x^4-4.3403777E-4*x^6+6.782168E-6*x^86.78168*x^10’.
Para valores no enteros ν, la solución a la ecuación de Bessel se da por

Página 16-59

y(x) = K1⋅Jν(x)+K2⋅J-ν(x).
Para los valores del número entero, las funciones Jn(x) y J-n(x) son linealmente
dependiente, dado que Jn(x) = (-1)n⋅J-n(x), por lo tanto, no podemos utilizarlos
para obtener una función general a la ecuación. En lugar, introducimos las
funciones de Bessel de segunda clase definidas como
Yν(x) = [Jν(x) cos νπ – J−ν(x)]/sin νπ,
para ν no entero, y para n entera, con n > 0, por

Yn ( x) =

x
x n ∞ (−1) m−1 ⋅ (hm + hm+ n ) 2 m
⋅ J n ( x) ⋅ (ln + γ ) + ⋅ ∑ 2 m+ n
⋅x
π
2
π m =0 2
⋅ m!⋅(m + n)!
2

−

x −n

π

(n − m − 1)! 2 m
⋅x
2 m−n
⋅ m!
m =0 2
n −1

⋅∑

donde γ es la constante de Euler, definida por

γ = lim[1 +
r →∞

1 1
1
+ + ... + − ln r ] ≈ 0.57721566490...,
2 3
r

y hm representa la serie armónica

hm = 1 +

1 1
1
+ + ... +
2 3
m

Para el caso n = 0, la función de Bessel de segunda clase se define como
∞
(−1) m −1 ⋅ hm 2 m ⎤
2 ⎡
x
⋅ x ⎥.
Y0 ( x) = ⋅ ⎢ J 0 ( x) ⋅ (ln + γ ) + ∑ 2 m
2
π ⎣
⋅ (m!) 2
m =0 2
⎦

Con estas definiciones, una solución general de la ecuación de Bessel para
todos los valores de ν es
y(x) = K1⋅Jν(x)+K2⋅Yν(x).

Página 16-60

En algunos casos, es necesario proporcionar soluciones complejas a las
ecuaciones de Bessel definiendo las funciones de Bessel de tercera clase de
orden ν como
Hn(1)(x) = Jν(x)+i⋅Yν(x), and Hn(2)(x) = Jν(x)−i⋅Yν(x),
Estas funciones también se conocen como las primeras y segundas funciones
de Hankel de orden ν.
En algunas aplicaciones usted puede también tener que utilizar las funciones
de Bessel Modificadas de primera clase de orden ν definidas como
Iν(x)= i-ν⋅Jν(i⋅x),
donde i es el número imaginario de la unidad. Estas funciones son soluciones a
la ecuación diferencial x2⋅(d2y/dx2) + x⋅ (dy/dx)- (x2+ν2) ⋅y = 0.
Las funciones de Bessel modificadas de segunda clase,
Kν(x) = (π/2)⋅[I-ν (x)−Iν (x)]/sin νπ,
son también las soluciones de esta EDO.
Usted puede implementar las funciones de Bessel en la calculadora de una
manera similar a aquella usada para definir las funciones de Bessel de
primera clase, pero teniendo presente que las series infinitas en la calculadora
necesitan ser traducidas a una serie finita.

Polinomios de Chebyshev o Tchebycheff

Las funciones Tn(x) = cos(n⋅cos-1 x), y Un(x) = sin[(n+1) cos-1 x]/(1-x2)1/2, n =
0, 1, … se llaman polinomios de Chebyshev o Tchebycheff de la primera y
segunda clase, respectivamente. Los polinomios Tn(x) son soluciones de la
ecuación diferencial (1-x2)⋅(d2y/dx2) − x⋅ (dy/dx) + n2⋅y = 0.
En la calculadora la función TCHEBYCHEFF genera el polinomio de Chebyshev
o Tchebycheff de la primera clase de orden n, dado un valor de n > 0. Si el

Página 16-61

número entero n es negativo (n < 0), la función TCHEBYCHEFF genera un
polinomio de Tchebycheff de segunda clase de orden n que se define como
Un(x) = sin(n⋅arccos(x))/sin(arccos(x)).
Usted puede tener acceso a la función TCHEBYCHEFF a través del catálogo de
funciones (‚N).
Los primeros cuatro polinomios de Chebyshev o de Tchebycheff de la primera y
segunda clase son sigue obtenido del como:
0 TCHEBYCHEFF, resulta: 1,

es decir,

T0(x) = 1.0.

-0 TCHEBYCHEFF, resulta: 1,

es decir,

U0(x) = 1.0.

1 TCHEBYCHEFF, resulta: ‘X’,

es decir,

T1(x) = x.

-1 TCHEBYCHEFF, resulta: 1,

es decir,

U1(x) =1.0.

2 TCHEBYCHEFF, resulta: ‘2*X^2-1,

es decir,

T2(x) =2x2-1.

-2 TCHEBYCHEFF, resulta: ‘2*X’,

es decir,

U2(x) =2x.

3 TCHEBYCHEFF, resulta: ‘4*X^3-3*X’,

es decir,

T3(x) = 4x3-3x.

-3 TCHEBYCHEFF, resulta: ‘4*X^2-1’,

es decir,

U3(x) = 4x2-1.

Ecuación de Laguerre
La ecuación de Laguerre es la EDO lineal de segundo orden de la forma
x⋅(d2y/dx2) +(1−x)⋅ (dy/dx) + n⋅y = 0. Polinomios de Laguerre, definidos como

L0 ( x) = 1, Ln ( x) =

e x d n (x n ⋅ e−x )
⋅
, n = 1,2,...
n!
dx n
,

son soluciones a la ecuación de Laguerre. Los polinomios de Laguerre se

(−1) m
pueden también calcular con: Ln ( x ) = ∑
m!
m =0
n

= 1− n ⋅ x +

⎛n⎞
⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ x m .
⎝m⎠

n ( n − 1) 2
( −1) n n
⋅ x − ... + .... +
⋅x
4
n!

Página 16-62

El término

⎛n⎞
n!
⎜⎜ ⎟⎟ =
= C (n, m)
⎝ m ⎠ m!(n − m)!
es el coeficiente m de la expansión binomial (x+y)n. . También representa el
número de combinaciones de n elementos tomados m a la vez. Esta función
está disponible en la calculadora como función COMB en el menú MTH/PROB
(ver también el capítulo 17).
Usted puede definir la función siguiente para calcular los polinomios de
Laguerre:

Al terminar de escribir escritor de ecuaciones use la función DEFINE para crear
la función L(x,n) en la variable @@@L@@@ .
Para generar los primeros cuatro polinomios de Laguerre use, L(x,0), L(x,1),
L(x,2), L(x,3). Los resultados son:
L0(x) = .
L 1(x) = 1-x.
L 2(x) = 1-2x+ 0.5x2
L 3(x) = 1-3x+1.5x2-0.16666…x3.

Ecuación de Weber y polinomios de Hermite

Se define la ecuación de Weber como d2y/dx2+(n+1/2-x2/4)y = 0, para n =
0, 1, 2, … Una solución particular de esta ecuación es dada por la función,
y(x) = exp(-x2/4)H*(x/√2), donde la función H*(x) es el polinomio de Hermite:

H 0 * = 1, H n * ( x) = (−1) n e x

2

d n − x2
(e ), n = 1,2,..
dx n

Página 16-63

En la calculadora, la función HERMITE, está disponible a través del menú
ARITHMETIC/POLYNOMIAL. La función HERMITE tomas como argumento un
número entero, n, y produce el polinomio de Hermite del grado n. Por
ejemplo, los primeros cuatro polinomios de Hermite son obtenidos usando:
0 HERMITE, resulta: 1,

es decir, H0* = 1.

1 HERMITE, resulta: ’2*X’,

es decir, H1* = 2x.

2 HERMITE, resulta: ’4*X^2-2’,

es decir, H2* = 4x2-2.

3 HERMITE, resulta: ’8*X^3-12*X’,

es decir, H3* = 8x3-12x.

Soluciones numéricas y gráficas de las EDOs
Las ecuaciones diferenciales que no pueden ser solucionadas analíticamente se
pueden solucionar numéricamente o gráficamente según lo ilustrado abajo.

Solución numérica de una EDO de primer orden
Con el uso de las soluciones numéricas (‚Ï), se puede activar una forma
interactiva que permite resolver ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de
primer orden. El uso de este procedimiento se presenta usando el ejemplo
siguiente. El método usado en la solución es un algoritmo de Runge-Kutta de
cuarto orden preprogramado en la calculadora
Ejemplo 1 -- Suponga que deseamos resolver la ecuación diferencial, dv/dt = 1.5 v1/2, con v = 4 at t = 0. Nos piden encontrar v para t = 2.
Primero, cree la definición de la expresión para la derivada y almacenarlo en
la variable EQ. La figura de la izquierda muestra la instrucción en modo de
ALG, mientras que la figura de la derecha muestra la pantalla RPN antes de
presionar K.

Página 16-64

Entonces, active las soluciones numéricas y seleccione la solución de
ecuaciones diferenciales:
‚Ϙ @@@OK@@@ .
Escriba los siguientes
parámetros:

Para solucionar, presione: @SOLVE (espere) @EDIT@.
0.25. Presione @@@OK@@@.

El resultado es 0.2499 ≈

Solución presentada como tabla de valores
Suponer que deseamos producir una tabla de valores de v, para t = 0.00,
0.25, …, 2.00, procederemos como sigue:
Primero, prepare una tabla para anotar sus resultados. Anote en su tabla los
resultados paso a paso:
t
0.00
0.25
…
2.00

v
0.00
…

Después, dentro del ambiente SOLVE, cambie el valor final de la variable
independiente a 0.25, use :
—.25 @@OK@@ ™™ @SOLVE (espere) @EDIT
(Calcule v para t = 0.25, v = 3.285 …. )
@@OK@@ INIT+ — . 5 @@OK@@ ™™@SOLVE (espere) @EDIT

Página 16-65

(Cambia valor inicial de t a 0.25, y el valor final de t a 0.5, calcule v(0.5) =
2.640…)
@@OK@@ @INIT+—.75 @@OK@@ ™™@SOLVE (espere) @EDIT
(Cambia valor inicial de t a 0.5, y el valor final de t a 0.75, calcule v(0.75) =
2.066…)
@@OK@@ @INIT+—1 @@OK@@ ™ ™ @SOLVE (espere) @EDIT
(Cambia valor inicial de t a 0.75, y el valor final de t a 1, calcule v(1) =
1.562…)
Repetir para t = 1.25, 1.50, 1.75, 2.00. Presione @@OK@@ después de ver el
resultado pasado con @EDIT. Para volver a la pantalla normal de la
calculadora, presione $ o L@@OK@@.
Las diversas soluciones serán
mostradas en la pantalla, con el resultado más reciente en el nivel 1.
Los resultados finales resultan ser (redondeados al tercer decimal):
t
0.00
0.25
0.50
0.75
1.00
1.25
1.50
1.75
2.00

v
4.000
3.285
2.640
2.066
1.562
1.129
0.766
0.473
0.250

Solución gráfica de una EDO de primer orden
Cuando no podemos obtener una solución de forma cerrada para una integral,
podemos trazar siempre la integral seleccionando Diff Eq en la opción
TYPE del ambiente PLOT como sigue: suponer que deseamos trazar la posición
x(t) para una función de la velocidad v(t) = exp(-t2), con x = 0 at t = 0.
Sabemos que no hay expresión de forma cerrada para la integral, sin
embargo, sabemos que la definición de v(t) es dx/dt = exp(-t2).

Página 16-66

La calculadora permite trazar la solución de la ecuación diferencial de la forma
Y'(T) = F(T,Y). Para nuestro caso, sean Y = x y T = t, por lo tanto, F(T,Y) = f(t, x)
= exp(-t2). Tracemos la solución, x(t), para t = 0 a 5, usando la secuencia
teclas siguiente:
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•

„ô (simultáneamente, si en modo RPN) para activar el ambiente
PLOT
Destacar la opción TYPE, usando las teclas —˜. Presione @CHOOS, y
seleccione Diff Eq, usando las teclas —˜. Presione @@OK@@.
Cambie la opción F: a ‘EXP(- t^2)’
Cerciórese de que los parámetros siguientes estén fijados a: H-VAR: 0,
V-VAR: 1
Cambie la variable independiente a t .
Acepte los cambios a PLOT SETUP: L @@OK@@
„ò (simultáneamente, si en modo RPN). Para acceder el ambiente
PLOT WINDOW
Cambie los rangos de la gráfica a los valores siguientes: H-VIEW: -15;
V-VIEW: -11.5
También, utilice los valores siguientes para los parámetros restantes: Init:
0, Final: 5, Step: Default, Tol: 0.0001, Init-Soln: 0
Para trazar la gráfica, use: @ERASE @DRAW

Cuando usted observa el gráfico siendo trazado, usted notará que el gráfico
no es muy continuo. Eso es porque el trazador está utilizando un paso del
tiempo que pueda ser muy grande para producir una gráfica continua. Para
refinar el gráfico y para hacerlo más continuo, utilice un paso de 0.1.
Presione @CANCL y cambie Step : a 0.1, después use @ERASE @DRAW una vez más
para repetir el gráfico. El diagrama durará para ser terminado, pero la forma

Página 16-67

es definitivamente más continua que antes. Intentar lo siguiente: @EDIT L
@LABEL @MENU para ver etiquetas y rangos.

Note que las etiquetas para las hachas están demostradas como 0 (horizontal,
para t) y 1 (vertical, para x). Éstas son las definiciones para la pantalla PLOT
SETUP („ô), es decir, H-VAR: 0, and V-VAR: 1. Para ver la solución
gráfica detalladamente utilizar lo siguiente:
LL@)PICT Recobrar menú y la pantalla PICT.
@(X,Y)@
Para determinar coordenadas de puntos en el gráfico.
Use las teclas š™ para mover el cursor alrededor del área del diagrama.
En la parte inferior de la pantalla usted verá los coordenadas del cursor como
(X,Y), es decir, la calculadora utiliza X y Y como los nombres de los ejes
horizontal y vertical, respectivamente. Presione L@CANCL para recuperar el
menú y volver a la pantalla PLOT WINDOW. Finalmente, presione $ para
volver a la pantalla normal.

Solución numérica de una EDO de segundo orden
Integración de EDOs de segundo orden puede ser logrado definiendo la
solución como vector. Por ejemplo, suponer que un sistema de masa-resorte
está sujeto a una fuerza amortiguadora proporcional a su velocidad, de modo
que la ecuación diferencial que resulta es:

d 2x
dx
= −18.75 ⋅ x − 1.962 ⋅
2
dt
dt
o,

x" = - 18.75 x - 1.962 x',

Página 16-68

sujeta a las condiciones iniciales, v = x' = 6, x = 0, at t = 0. Deseamos
encontrar x, x' at t = 2.
Reescriba la EDO como: w' = Aw, donde w = [ x x' ]T, y A es la matriz 2x2
que se muestra a continuación.

'

1 ⎤ ⎡ x⎤
⎡x⎤ ⎡ 0
⎢ x'⎥ = ⎢− 18.75 − 1.962⎥ ⋅ ⎢ x'⎥
⎣ ⎦ ⎣
⎦ ⎣ ⎦
Las condiciones iniciales ahora se escriben como w = [0 6]T, para t = 0.
(Nota: El símbolo [ ]T significa la transpuesta del vector o de la matriz).
Para solucionar este problema, el primeros, crear y almacenar la matriz A, por
ejemplo, en modo ALG:

Entonces, activar la solución numérica de ecuaciones diferenciales usando:
‚ Ï ˜ @@@OK@@@ . Para resolver la ecuación diferencial con tiempo inicial
t = 0 y tiempo final t = 2, la forma interactiva para la solución numérica de
ecuaciones diferenciales se muestra a continuación (note que el valor Init: para
Soln: es un vector [0, 6]):

Página 16-69

Presione @SOLVE (espere) @EDIT para calcular w(t=2). La solución es [.16716… .6271…], es decir, x(2) = 0.16716, y x'(2) = v(2) = -0.6271. Presione @CANCL
para volver al ambiente SOLVE.
Solución presentada como tabla de valores
En el anterior ejemplo estábamos interesados solamente en encontrar los
valores de la posición y de la velocidad en un momento dado t. Si deseamos
producir una tabla de valores de x y x', para t = 0.00, 0.25, …, 2.00,
procederemos como sigue: Primero, preparar una tabla para anotar sus
resultados:
t
0.00
0.25
…
2.00

x
0.00

x'
6.00

…

…

A continuación, dentro del ambiente SOLVE, para cambiar el valor final de la
variable independiente a 0.25, use:
—.25 @@OK@@ ™™ @SOLVE (espere) @EDIT
(Calcula w en t = 0.25, w = [0.968 1.368]. )
@@OK@@ INIT+ — . 5 @@OK@@ ™™@SOLVE (espere) @EDIT
(Cambia valor inicial de t to 0.25, y el valor final de t a 0.5, calcule
nuevamente w(0.5) = [0.748 -2.616])
@@OK@@ @INIT+ —.75 @@OK@@™™@SOLVE (espere) @EDIT
(Cambia valor inicial de t to 0.5, y el valor final de t a 0.75, calcule
nuevamente w(0.75) = [0.0147 -2.859])
@@OK@@ @INIT+ —1 @@OK@@ ™ ™ @SOLVE (espere) @EDIT
(Cambia valor inicial de t to 0.75, y el valor final de t a 1, calcule nuevamente
w(1) = [-0.469 -0.607])
Repita para t = 1.25, 1.50, 1.75, 2.00. Presione @@OK@@ después de ver el
resultado anterior en @EDIT. Para volver a la pantalla normal de la calculadora,

Página 16-70

presione $ o L@@OK@@. Las diversas soluciones serán demostradas en la
pantalla, con el resultado más reciente en el nivel 1.
los resultados son:
t
0.00
0.25
0.50
0.75
1.00

x
0.000
0.968
0.748
-0.015
-0.469

x'
6.000
1.368
-2.616
-2.859
-0.607

t
1.25
1.50
1.75
2.00

x
-0.354
0.141
0.227
0.167

x'
1.281
1.362
0.268
-0.627

Solución gráfica para una EDO de segundo orden
Comenzar activando las soluciones numéricas para ecuaciones diferenciales,
‚ Ï ˜ @@@OK@@@ . La pantalla SOLVE lucirá de esta forma:

Note que la condición inicial para la solución (Soln: w Init:[0., …) incluye el
vector [0, 6]. Presione L @@OK@@.
A continuación, presione „ô (simultáneamente, si en modo RPN) para
activar el ambiente PLOT. Seleccione la opción TYPE, usando las teclas
—˜. Entonces, presione @CHOOS, y seleccione la opción Diff Eq, usando
las teclas —˜. Presione @@OK@@. Modifique el resto del ambiente PLOT
SETUP de manera que luzca de esta forma:

Página 16-71

Note que la opción V-Var: se ajusta a 1, indicando que el primer elemento en
la solución del vector, a saber, x’, será trazado contra la variable
independiente t. Acepte los cambios a PLOT SETUP presionando L @@OK@@.
Presione „ò (simultáneamente, si en modo RPN) para activar el ambiente
PLOT WINDOW. Modifique esta forma interactiva de esta manera:

Para trazar la gráfica x’ vs. t use: @ERASE @DRAW .
siguiente:

El diagrama de x’ vs. t es el

Para trazar la segunda curva usaremos la forma interactiva PLOT SETUP una
vez más. Para activar esta forma partiendo del gráfico use: @CANCL L @@OK@@
„ô(simultáneamente, si en modo RPN) . Cambie el valor de V-Var: a 2, y
presione @DRAW (no presione @ERASE
o se pierde el gráfico producido

Página 16-72

anteriormente). Use: @EDIT L @LABEL @MENU para ver etiquetas y la rango de
los ejes. Notar que la etiqueta del eje x es el número 0 (indicando la variable
independiente), mientras que la etiqueta del eje y es el número 2 (indicando la
segunda variable, es decir, la última variable trazada). El gráfico combinado
es el siguiente:

Presione LL @PICT @CANCL $ para regresar a la pantalla normal de la
calculadora.

Solución numérica para una EDO rígida de primer orden
Considere la EDO: dy/dt = -100y+100t+101, sujeta a la condición inicial y(0)
= 1.
Solución exacta
Esta ecuación se puede escribir como dy/dt + 100 y = 100 t + 101, y
resolverse usando un factor integral, IF(t) = exp(100t), como sigue (RPN, con
CAS ajustado a modo Exact):
‘(100*t+101)*EXP(100*t)’ ` ‘t’ ` RISCH
El resultado es

‘(t+1)*EXP(100*t)’.

Después, agregamos una constante de integración, usando: ‘C’ `+
Entonces, dividimos por FI(x), usando: ‘EXP(100*t)’ `/.
El resultado es: ‘((t+1)*EXP(100*t)+C)/EXP(100*t)’, es decir, y(t) = 1+ t +C⋅e100t.
El uso de la condición inicial y(0) = 1, produce 1 = 1 + 0 + C⋅e0, ó C = 0, la
solución particular es y(t) = 1+t.

Página 16-73

Solución numérica
Si procuramos una solución numérica directa de la ecuación original dy/dt = 100y+100t+101, usando la solución numérica de la calculadora,
encontramos que la calculadora tarda mucho más en producir una solución
que en el anterior ejemplo de primer orden. Para verificar esto, use (‚
Ϙ @@@OK@@@):

Aquí estamos intentando obtener el valor de y(2) dado y(0) = 1. Con Soln:
Usted puede comprobar que una
solución toma cerca de 6 segundos, mientras que en el anterior ejemplo la
solución era casi instantánea. Presione $ para cancelar el cálculo.
Final seleccionado, presione @SOLVE.

Esto es un ejemplo de una ecuación diferencial ordinaria rígida.
Una EDO
rígida es una en que la solución general contiene componentes que varían a
velocidades muy diferentes bajo el mismo incremento en la variable
independiente.
En este caso particular, la solución general, y(t) = 1+ t
+C⋅e100t, contiene los componentes ‘t’ y ‘C⋅e100t’, las cuáles varían
velocidades diferentes, a excepción de los casos C=0 o C≈0 (por ejemplo,
para C = 1, t =0.1, C⋅e100t =22026).
La solución numérica de EDOs de la calculadora tiene en cuenta la solución de
EDOs rígidas seleccionando la opción _Stiff en la pantalla SOLVE Y’(T) =
F(T,Y). Con esta opción seleccionada, es necesario proveer los valores de
∂f/∂y y ∂f/∂t. Para el caso bajo consideración ∂f/∂y = -100 y ∂f/∂t = 100.
Escriba esos valores en los localidades correspondientes de la pantalla SOLVE
Y’(T) = F(T,Y):

Página 16-74

Al terminar, mueva el cursor a la localidad Soln:Final y presione @SOLVE.
Esta vez, la solución se produce en 1 segundo, más o menos. Presione @EDIT
para ver la solución: 2.9999999999, es decir, 3.0.
Nota: La opción Stiff está también disponible para las soluciones
gráficas de ecuaciones diferenciales.

Solución numérica a EDOs con el menú SOLVE/DIFF

El menú SOLVE se activa usando 74 MENU en modo RPN. Este menú se
presenta detalladamente en el capítulo 6. Uno de los sub-menús, DIFF, contiene
las funciones para la solución numérica de las ecuaciones diferenciales
ordinarias para usar en programación. Se describen estas funciones usando el
modo RPN y la bandera, o señal, de sistema 117 fija a SOFT menus.
Las funciones proveídas por el menú SOLVE/DIFF son las siguientes:

Función RKF
Esta función se utiliza para computar la solución a un problema del valor inicial
para una ecuación diferencial de primer orden usando el esquema de solución
de Runge-Kutta-Fehlbert de orden 4 a 5. Suponer que la ecuación diferencial
que se solucionará está dada por dy/dx = f(x,y), con y = 0 para x = 0, y que
usted permitirá un criterio de convergencia ε para la solución. Usted puede
también especificar un incremento en la variable independiente, Δx, ser

Página 16-75

utilizado por la función.
pantalla como sigue:

Para activar esta función usted preparará su la

3:
2:
1:

{‘x’, ‘y’, ‘f(x,y)’}
{ ε Δx }
xfinal

El valor en el primer nivel del pantalla es el valor de la variable independiente
donde usted desea encontrar la solución, es decir, usted desea encontrar, yfinal
= fs(xfinal), donde fs(x) representa la solución a la ecuación diferencial.

El

segundo nivel de la pantalla puede contener solamente el valor de ε, y el paso
Δx será tomado como un valor prefijado pequeño. Después de activar la
función @@RKF@@, la pantalla mostrará las líneas:
2:
1:

{‘x’, ‘y’, ‘f(x,y)’}
ε

El valor de la solución, yfinal, estará disponible en la variable @@@y@@@. Esta
función es apropiada para programar puesto que deja las especificaciones de
la ecuación diferencial y la tolerancia en el pantalla, listas para una nueva
solución. Note que la solución utiliza las condiciones iniciales x = 0 para y =
0. Si, son sus soluciones iniciales actuales son x = xinit para y = yinit, usted
puede agregar siempre estos valores a la solución proveída por RKF, teniendo
presente la relación siguiente:
x
0

Solución RKF
y
0

xfinal

yfinal

Solución actual
y
xinit
yinit
x

xinit + xfinal

yinit + yfinal

Las pantallas siguientes muestran la pantalla RPN antes y después de la
aplicación de la función RKF ala ecuación diferencial dy/dx = x+y, ε = 0.001,
Δx = 0.1.

Página 16-76

Después de aplicar la función RKF, la variable @@@y@@@ contiene el valor 4.3880...

Función RRK
Esta función es similar a la función de RKF, excepto que RRK (métodos de
Rosenbrock y Runge-Kutta) requiere como una lista en el nivel 3 de la pantalla
conteniendo los nombres de las variables independiente y dependiente y de la
función que define la ecuación diferencial, así como las expresiones para la
primera y segunda derivadas de la expresión. Así, la pantalla de entrada
para esta función la pantalla es la siguiente:
3:
{‘x’, ‘y’, ‘f(x,y)’ ‘∂f/∂x’ ‘∂f/∂y’ }
2:
{ ε Δx }
1:
xfinal
El valor en el primer nivel del pantalla es el valor de la variable independiente
donde usted desea encontrar la solución, es decir, usted desea encontrar, yfinal
= fs(xfinal), donde fs(x) representa la solución a la ecuación diferencial. El
segundo nivel de la pantalla puede contener solamente el valor de ε, y el paso
Δx será tomado como un valor prefijado pequeño. Después de ejecutar la
función @@RKF@@, la pantalla mostrará las líneas:
2:
{‘x’, ‘y’, ‘f(x,y)’ ‘∂f/∂x’ ‘∂f/∂y’ }
1:
{ ε Δx }
El valor de la solución, yfinal, estará disponible en la variable @@@y@@@.
Esta función se puede utilizar para solucionar las llamadas ecuaciones
diferenciales "rígidas.”

Página 16-77

Las siguientes pantallas muestran la pantalla RPN antes y después uso de la
función RRK:

El valor almacenado en la variable y es 3.00000000004.

Función RKFSTEP
Esta función utiliza una lista de entrada similar a la de la función RKF, así como
la tolerancia para la solución, y un posible paso Δx, y produce la misma lista
de la entrada, seguida por la tolerancia, y una estimación del paso siguiente
en la variable independiente. La función produce la lista de la entrada, la
tolerancia, y el paso siguiente en la variable independiente que satisface esa
tolerancia. Así, la pantalla luce como sigue:
3:
{‘x’, ‘y’, ‘f(x,y)’}
2:
ε
1:
Δx
Después de aplicar esta función, el pantalla mostrará las líneas:
3:
{‘x’, ‘y’, ‘f(x,y)’}
2:
ε
1:
(Δx)next
Por lo tanto, esta función se utiliza para determinar el tamaño apropiado de un
paso del tiempo para satisfacer la tolerancia requerida.
Las siguientes pantallas muestran la pantalla RPN antes y después uso de la
función RKFSTEP:

Estos resultados indican eso (Δx)next = 0.34049…

Página 16-78

Función RRKSTEP
Esta función utiliza una lista de entrada similar a la de la función RRK, así como
la tolerancia para la solución, un paso posible Δx, y un número (LAST)
especificando el método pasado usado en la solución (1, si RKF fue utilizada, ó
2, si RRK fue utilizada). La función RRKSTEP produce la misma lista de la
entrada, seguida por la tolerancia, una estimación del paso siguiente en la
variable independiente, y el método actual (CURRENT) usado para llegar al
paso siguiente. Así, la pantalla de entrada luce como sigue:
4:
{‘x’, ‘y’, ‘f(x,y)’}
3:
ε
2:
Δx
1:
LAST
Después de activar esta función, la pantalla mostrará las líneas:
4:
{‘x’, ‘y’, ‘f(x,y)’}
3:
ε
2:
(Δx)next
1:
CURRENT
Así, esta función se utiliza para determinar el tamaño apropiado de un paso
del tiempo ((Δx)next) satisfacer la tolerancia requerida, y el método llegaba ese
resultado (CURRENT).
Las pantallas siguientes muestran la pantalla RPN antes y después uso de la
función RRKSTEP:

Estos resultados indican que (Δx)next = 0.00558… ye que el método RKF
(CURRENT = 1) debe utilizarse.

Página 16-79

Función RKFERR
Esta función produce un estimado del error absoluto para un paso dado al
solucionar un problema como el descrito para la función RKF. La pantalla de
entrada luce como sigue:
2:
{‘x’, ‘y’, ‘f(x,y)’}
1:
Δx
Después de activar esta función, la pantalla mostrará las líneas:
4:
{‘x’, ‘y’, ‘f(x,y)’}
3:
ε
2:
Δy
1:
error
Así, esta función se utiliza para determinar el incremento en la solución, Δy, así
como el error absoluto (error).
Las siguientes pantallas muestran la pantalla RPN antes y después uso de la
función RKFERR:

Estos resultados indican que Δy = 0.827… y el error = -1.89…×10 -6.

Función RSBERR
Esta función opera de manera similar a RKERR pero con los elementos de
entrada de la función RRK. Por lo tanto, la pantalla de entrada lucirá como
sigue:
2:
{‘x’, ‘y’, ‘f(x,y)’ ‘∂f/∂x’ ‘∂f/vy’ }
1:
Δx
Después de activar la función, la pantalla mostrará las líneas:
4:
{‘x’, ‘y’, ‘f(x,y)’ ‘∂f/∂x’ ‘∂f/vy’ }:
3:
ε
2:
Δy
1:
error

Página 16-80

Las siguientes pantallas muestran la pantalla RPN antes y después uso de la
función RSBERR:

Estos resultados indican que Δy = 4.1514… y el error = 2.762…, para Δx =
0.1. Compruebe que, si Δx se reduce a 0.01, Δy = -0.00307… y el error =
0.000547.
Nota: A medida que Ud. ejecuta las funciones en el menú DIFF, se
producirán valores de x y y que se almacenan como variables en su
calculadora. Los resultados proveídos por las funciones en esta sección
dependen del valor actual de x y y. Por lo tanto, algunos de los resultados
ilustrados anteriormente serán diferentes de lo que muestra su calculadora.

Página 16-81

Capítulo 17
Aplicaciones a la probabilidad

En este Capítulo se proveen ejemplos de aplicaciones de las distribuciones de
probabilidad predefinidas en la calculadora.

El sub-menú MTH/PROBABILITY.. - parte 1

El sub-menú MTH/PROBABILITY.. es accesible a través de la secuencia de
teclas „´. Habiendo seleccionado la opción ”CHOOSE boxes” para
señal de sistema número 117, el menú PROBABILITY.. presenta las siguientes
funciones:

En esta sección se discuten las funciones COMB, PERM, ! (factorial), RAND, y
RDZ.

Factoriales, combinaciones, y permutaciones

El factorial de un número entero n se define como: n! = n⋅ (n-1) ⋅ (n-2)…3⋅2⋅1.
Se adopta la convención de que, 0! = 1.
Los factoriales se utilizan en el cálculo del número permutaciones y
combinaciones de objetos y elementos.
Por ejemplo, el número de
permutaciones de r elementos tomados de una colección de n elementos
distintos se calcula como

n

Pr = n( n − 1)(n − 1)...(n − r + 1) = n! /( n − r ) !

Página 17-1

Así mismo, el número de combinaciones de r elementos de una colección de n
elementos distintos se calcula como:

⎛ n ⎞ n(n − 1)(n − 2)...(n − r + 1)
n!
⎜⎜ ⎟⎟ =
=
r!
r!(n − r )!
⎝r⎠
En la calculadora se pueden calcular combinaciones, permutaciones, y
factoriales utilizando las funciones COMB, PERM, y ! localizadas en el submenú MTH/PROBABILITY... La operación de estas funciones se describe a
continuación:
• COMB(n,r): Combinaciones de n elementos tomados de r en r
• PERM(n,r): Permutaciones de n elementos tomados de r en r
• n!: Factorial de un número entero positivo. Cuando x no es entero, x!
Calcula la función Γ(x+1), en la cual Γ(x) es la función Gamma (véase
el Capítulo 3). El símbolo del factorial (!) se puede obtener usando la
secuencia de teclas ~‚2.
Algunos ejemplos de aplicación de estas funciones se muestran a continuación:

Números aleatorios
La calculadora posee un generador de números aleatorios que produce un
número real uniformemente distribuido entre 0 y 1. El generador puede
producir secuencias de números aleatorios. Sin embargo, después de cierto
número de veces (de hecho, un número muy grande), la secuencia tiende a
repetirse. Por esa razón, el generador de números aleatorios se refiere más
correctamente como generador de números pseudo-aleatorios. Para generar
un número aleatorio, utilícese la función RAND (“RANDom” es “aleatorio” en
inglés) en el sub-menú MTH/PROBABILITY. La siguiente figure muestra varios
números aleatorios producidos con la función RAND. Los números en la figura
de la izquierda se producen al ejecutar la función RAND sin incluir un

Página 17-2

argumento. Si se adiciona una lista de argumentos a RAND, el número
aleatorio generado se agrega a la lista usada como argumento como se
muestra en la figura de la derecha.

Los generadores de números aleatorios, en general, funcionan tomando un
valor, llamado la "semilla" del generador, y aplicando un cierto algoritmo
matemático a esa "semilla" que genera un nuevo número (pseudo) aleatorio. Si
usted desea generar una secuencia de número aleatorios y estar en capacidad
de repetir la misma secuencia más adelante, usted puede cambiar la "semilla"
del generador, usando la función RDZ(n), antes de generar nuevamente la
secuencia. En esta expresión, la "semilla” es el valor n. Los generadores de
números aleatorios operan de manera que la "semilla" se transforma en el
primer número aleatorios de la serie. El número así generado sirve entonces
como "semilla" para el número siguiente, etcétera. Al "re-sembrar" la
secuencia con el mismo número inicial usted puede reproducir la misma
secuencia de números aleatorios más de una vez. Por ejemplo, ejecútese lo
siguiente:
RDZ(0.25) `
Use 0.25 como la "semilla."
RAND() `
Primer número aleatorio = 0.75285…
RAND() `
Segundo número aleatorio = 0.51109…
RAND() `
Tercer número aleatorio = 0.085429….
Re-comenzar la secuencia:
RDZ(0.25) `
Use 0.25 como la "semilla."
RAND() `
Primer número aleatorio = 0.75285…
RAND() `
Segundo número aleatorio = 0.51109…
RAND() `
Tercer número aleatorio = 0.085429….
Para generar una secuencia de números aleatorios utilizar la función SEQ. Por
ejemplo, para generar una lista de 5 números aleatorios utilícese, en modo

Página 17-3

ALG: SEQ(RAND(),j,1,5,1).
En modo RPN, utilice el programa
siguiente:
«  n « 1 n FOR j RND NEXT n LIST » »
Almacenarlo en la variable RLST (Random LiST, lista aleatoria), y use
J5@RLST! para producir una lista de 5 números aleatorios.
La función RNDM(n, m) se puede utilizar para generar una matriz de n filas y m
columnas con elementos que son números aleatorios enteros -1 y 1 (véase el
Capítulo 10).

Distribuciones discretas de la probabilidad

Una variable al azar es una variable discreta si puede tomar solamente un
número finito de valores. Por ejemplo, el número de días lluviosos en una
localización dada se puede considerar una variable al azar discreta porque
los contamos mientras que el número entero numera solamente. Si X representa
una variable al azar discreta, la función masa de probabilidad se representa
por f(x) = P[X=x], es decir, la probabilidad que la variable al azar X toma el
valor x.
La función masa de la probabilidad debe satisfacer las condiciones que
f(x) >0, para toda x,
y

∑ f ( x) = 1.0

all x

Se define una función de distribución cumulativa (cdf) como

F ( x) = P[ X ≤ x] = ∑ f (k )
k≤x

Después, definiremos un número de funciones para calcular distribuciones
discretas de la probabilidad. Sugerimos que usted cree un sub-directorio, por
ejemplo, HOME\STATS\DFUN (Discrete FUNctions) donde definiremos la
función masa de probabilidad y la función de distribución cumulativa para las
distribuciones binomial y de Poisson.

Página 17-4

Distribución binomial

La función masa de probabilidades de la distribución binomial se define por

⎛n⎞
f (n, p, x) = ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ p x ⋅ (1 − p) n− x , x = 0,1,2,..., n
⎝ x⎠
en la cual (nx) = C(n,x) es la combinación de n elementos tomados x a la vez.
Los valores n y p son los parámetros de la distribución. El valor n representa el
número de repeticiones de un experimento o de una observación que puedan
tener uno de dos resultados, es decir, éxito y falla. Si la variable al azar X
representa el número de éxitos en las repeticiones de n, entonces p representa
la probabilidad de conseguir un éxito en cualquier repetición dada. La función
de distribución acumulativa para la distribución binomial se escribe como
x

F (n, p, x) = ∑ f (n, p, x), x = 0,1,2,..., n
k =0

Distribución de Poisson

La función masa de probabilidades de la distribución de Poisson se escribe
como

f (λ , x ) =

e −λ ⋅ λx
, x = 0,1,2,..., ∞
x!
.

En esta expresión, si la variable al azar X representa el número de ocurrencias
de un acontecimiento o de una observación por unidad de tiempo, longitud,
área, volumen, etc., entonces el parámetro λ representa el número promedio
de ocurrencias por unidad de tiempo, longitud, área, volumen, etc. La función
de distribución cumulativa para la distribución de Poisson se escribe:
x

F (λ , x) = ∑ f (λ , x), x = 0,1,2,..., ∞
k =0

Página 17-5

A continuación, utilícese la función DEFINE („à) para definir las
siguientes funciones de masa (pmf) y cumulativas (cdf) de probabilidad:
DEFINE(pmfb(n,p,x) = COMB(n,x)*p^x*(1-p)^(n-x))
DEFINE(cdfb(n,p,x) = Σ(k=0,x,pmfb(n,p,k)))
DEFINE(pmfp(λ,x) = EXP(-λ)*λ^x/x!)
DEFINE(cdfp(λ,x) = Σ(k=0,x,pmfp(λ,x)))
Los nombres de la función representan (en inglés):
•
•
•
•

pmfb:
cdfb:
pmfp:
cdfp:

probability mass function for the binomial distribution
cumulative distribution function for the binomial distribution
probability mass function for the Poisson distribution
cumulative distribution function for the Poisson distribution

Los ejemplos de los cálculos que usan estas funciones se demuestran después:

Distribuciones continuas de la probabilidad

La distribución de la probabilidad para una variable al azar continua, X, está
caracterizada por un función f(x) conocido como la función de densidad de la
probabilidad (pdf). La función pdf tiene las características siguientes: f(x) > 0,
para todo x, y

P[ X < x ] = F ( x ) =

∫

+∞
−∞

∫

x
−∞

f (ξ )dξ .

f ( x)dx = 1.

Página 17-6

Se calculan las probabilidades usando la función de distribución cumulativa
(cdf), F(x), definida por

P[ X < x] = F ( x) = ∫

x
−∞

f (ξ )dξ , en la cual P[X 0, α > 0, β > 0;

La función de distribución cumulativa (cdf) correspondiente sería dada por un
integral que no tiene ninguna solución en forma cerrada.

La distribución exponencial

La distribución exponencial es la distribución gamma con α = 1. Su pdf se
escribe como

f ( x) =

1

β

⋅ exp(−

x

β

), for

x > 0, β > 0
,

mientras que su cdf se escribe como F(x) = 1 - exp(-x/β), para x>0, β >0.

La distribución beta
El pdf para la distribución gamma se escribe

f ( x) =

Γ(α + β )
⋅ x α −1 ⋅ (1 − x) β −1 , for 0 < x < 1, α > 0, β > 0
Γ(α ) ⋅ Γ( β )

Página 17-7

Como en el caso de la distribución gamma, el cdf correspondiente para la
distribución beta también es dado por una integral sin la solución en forma
cerrada.

La distribución de Weibull

La pdf de la distribución de Weibull se escribe

f ( x) = α ⋅ β ⋅ x β −1 ⋅ exp(−α ⋅ x β ),

for x > 0,α > 0, β > 0

Mientras que la cdf correspondiente se escribe

F ( x) = 1 − exp(−α ⋅ x β ),

for x > 0, α > 0, β > 0

Funciones para las distribuciones continuas

Para definir una colección de funciones que corresponden a las distribuciones
gammas, exponenciales, beta, y de Weibull, primero hay que crear un subdirectorio que llamamos CFUN (Continuous FUNctions, en inglés) y defínanse
las funciones siguientes (cámbiese a modo Aprox):
'gpdf(x)=x^(α-1)*EXP(-x/β)/(β^α*GAMMA(α))'
Gamma pdf:
Gamma cdf:
gcdf(x) = ∫(0,x,gpdf(t),t)'
Beta pdf:
'βpdf(x)=GAMMA(α+β)*x^(α-1)*(1-x)^(β-1)/
(GAMMA(α)*GAMMA(β))'
Beta cdf:
' βcdf(x) = ∫(0,x, βpdf(t),t)'
Exponencial pdf:
'epdf(x) = EXP(-x/β)/β'
Exponencial cdf:
'ecdf(x) = 1 - EXP(-x/β)'
Weibull pdf:
'Wpdf(x) = α*β*x^(β-1)*EXP(-α*x^β)'
Weibull cdf:
'Wcdf(x) = 1 - EXP(-α*x^β)'
Utilizar la función DEFINE para definir todas estas funciones. Después,
almacenar los valores de α y β, es decir, 1K~‚a` 2K
~‚b`

Finalmente, para el cdf para los cdf gammas y beta, usted necesita corregir las
definiciones del programa para agregar NUM a los programas producidos

Página 17-8

por la función DEFINE. Por ejemplo, la cdf gamma, es decir, la función gcdf,
se debe modificar como se muestra a continuación:
«  x 'NUM( ∫ (0,x,gpdf(t),t))' »
y almacenarse nuevamente en @gcdf. Repetir el procedimiento para βcdf.
A diferencia de las funciones discretas definidas anterior, las funciones
continuas definidas en esta sección no incluyen sus parámetros (α y/o β) en sus
definiciones. Por lo tanto, usted no necesita inscribirlos en la exhibición para
calcular las funciones. Sin embargo, esos parámetros deben ser definidos
previamente almacenando los valores correspondientes en las variables α y β.
Una vez se han almacenado todas las funciones y los valores α y β, usted
pueden ordenar las etiquetas del menú usando la función ORDER. Para
ejecutar la función ORDER use lo siguiente:
ORDER({‘α’,’β’,’gpdf’,’gcdf’,’βpdf’,’βcdf’,’epdf’,’ecdf’,’Wpdf’,’Wcdf’})
Después de esta instrucción las etiquetas del menú se mostrarán de esta
manera (Presione L para moverse a la segunda lista. Presione L una vez
más para moverse a la primera lista):

Algunos ejemplos del uso de estas funciones, para los valores de α = 2, β = 3,
se muestran a continuación. Notar la variable IERR que se muestra en la
segunda pantalla. Esto resulta de una integración numérica para la función
gcdf.

Página 17-9

Distribuciones continuas para la inferencia estadística

En esta sección se presentan cuatro distribuciones de probabilidades que se
utilizan regularmente para resolver problemas relacionados a la inferencia
estadística, a saber: la distribución normal, la distribución de Student, la
distribución de Chi cuadrada (χ2), y la distribución F. Las funciones
disponibles en la calculadora para evaluar probabilidades en estas
distribuciones son NDIST, UTPN, UTPT, UTPC, y UTPF. Estas funciones están
disponibles in el menú MTH/PROBABILITY presentado anteriormente. Para
obtener estas funciones actívese el menú MTH („´) y selecciónese la
opción PROBABILITY:

La pdf de la distribución normal

La expresión para la pdf de la distribución normal es:

f ( x) =

1

σ 2π

exp[−

(x − μ )2
],
2σ 2

Página 17-10

en la cual μ es la media, y σ2 es la varianza de la distribución. Para calcular
el valor de la función de densidad de probabilidades, o fdp, f(x), para la
distribución normal, utilícese la función NDIST(μ,σ2,x). Por ejemplo, verifíquese
que para una distribución normal, NDIST(1.0,0.5,2.0) = 0.20755374.

La cdf de la distribución normal

La calculadora así mismo provee la función UTPN para calcular la
probabilidad del extremo superior de la distribución normal, es decir,
UTPN(μ,σ2, x) = P(X>x) = 1 - P(Xc) = UTPN(μ, σ2,c)

Ejemplos: Usando μ = 1.5, y σ2 = 0.5, determine:
P(X<1.0) = 1 - P(X>1.0) = 1 - UTPN(1.5, 0.5, 1.0) = 0.239750.
P(X>2.0) = UTPN(1.5, 0.5, 2.0) = 0.239750.
P(1.0t) = 1-P(Tc) = UTPT(ν,c)

Ejemplos: Dado ν = 12, determine:
P(T<0.5) = 1-UTPT(12,0.5) = 0.68694..
P(-0.5 -1.2) = UTPT(12,-1.2) = 0.8733…

La distribución Chi cuadrada

La distribución Chi cuadrada (χ2) posee un solo parámetro ν, que se conoce
como “los grados de libertad” de la distribución. La función de distribución de
la probabilidad (pdf) se escribe como:

Página 17-12

ν

1

f ( x) =

ν

ν

−1

−

x

⋅ x 2 ⋅ e 2 ,ν > 0, x > 0

2 2 ⋅ Γ( )
2
La calculadora provee valores del extremo superior de la función de
distribución cumulativa, utilizando la función UTPC, dados los valores de ν y x.
La definición de esta función es la siguiente:
∞

UTPC (ν , x) = ∫ f ( x)dx = 1 − ∫
t

t

−∞

f ( x)dx = 1 − P ( X ≤ x)

Para utilizar esta función, necesitamos los grados de libertad, ν, y el valor de la
variable chi cuadrada, x, es decir, UTPC(ν,x). Por ejemplo, UTPC(5, 2.5) =
0.776495…
Diversos cálculos de la probabilidad para la distribución Chi-cuadrada se
pueden definir usando la función UTPC, como sigue:
• P(Xc) = UTPC(ν,c)
Ejemplos: Dado ν = 6, determine:
P(X<5.32) = 1-UTPC(6,5.32) = 0.4965..
P(1.2 20) = UTPC(6,20) = 2.769..E-3

La distribución F

La distribución F requiere 2 parámetros νN = grados de libertad del
numerador, y νD = grados de libertad del denominador. La función de
distribución de la probabilidad (pdf) se escribe

Página 17-13

νN ν2N ν2N −1
) ⋅F
νD
2
f ( x) =
νN
νD
νN ⋅ F (νN +2νD )
)
Γ( ) ⋅ Γ( ) ⋅ (1 −
νD
2
2
νN + νD

Γ(

)⋅(

La calculadora provee valores del extremo superior de la función de
distribución cumulativa, utilizando la función UTPF, dados los parámetros νN y
νD, y el valor de F. La definición de esta función es
∞

t

t

−∞

UTPF (νN ,νD, F ) = ∫ f ( F )dF = 1 − ∫

f ( F )dF = 1 − P(ℑ ≤ F )

Por ejemplo, para calcular UTPF(10,5, 2.5) = 0.161834…
Diversos cálculos de la probabilidad para la distribución de F se pueden definir
usando la función UTPF, como sigue:
• P(Fc) = UTPF(νN, νD,a)
Ejemplo: Dado νN = 10, νD = 5, determine:
P(F<2) = 1-UTPF(10,5,2) = 0.7700…
P(55) = UTPF(10,5,5) = 4.4808..E-2

Funciones de distribución cumulativas inversas

Para una variable al azar continua X con la función acumulativa de la
densidad (cdf) F(x) = P(Xx) = α. Además, para la
distribución normal, trabajaremos muy probablemente con la distribución
normal estándar. en la cual μ = 0, y σ2 = 1. La variable normal estándar se
conoce típicamente como Z, de modo que el problema a solucionar es P(Z>z)
= α. Para estos casos de los problemas de la inferencia estadística, podríamos
almacenar las ecuaciones siguientes:

Con estas cuatro ecuaciones, siempre que usted activa las soluciones numéricas
usted tiene las opciones siguientes:

Página 17-19

Los ejemplos de la solución de las ecuaciones EQNA, EQTA, EQCA, y EQFA
se demuestran abajo:

!

Página 17-20

Capítulo 18
Aplicaciones Estadísticas

En este capítulo se presentan las aplicaciones estadísticas de la calculadora
incluyendo estadísticas de una muestra, la distribución de frecuencia de datos,
la regresión simple, intervalos de confianza, y la prueba de hipótesis.

Aplicaciones estadísticas preprogramadas
La calculadora provee las siguientes opciones de cálculos estadísticos
accesibles a través de la combinación de teclas ‚Ù (la tecla 5). Las
aplicaciones estadísticas disponibles en la calculadora son:

Estas aplicaciones se presentan detalladamente en este capítulo. Para
comenzar, sin embargo, demostramos cómo escribir datos para el análisis
estadístico.

Escritura de datos

Las operaciones 1, 2, y 4 de la lista anterior requieren que los datos a operarse
estén disponibles como columnas de la matriz ΣDAT. Esta acción se puede
llevar a cabo escribiendo los datos en columnas utilizando el escritor de
matrices, „², y posteriormente utilizando la función STOΣ para
almacenar la matriz en la variable ΣDAT.
Esta operación puede ser muy tediosa si existe un número grande de datos. En
su lugar, usted puede escribir los datos como una lista (véase el capítulo 8) y
convertir la lista en un vector columna usando el programa CRMC (véase el
capítulo 10). Alternativamente, usted puede escribir el programa siguiente
para convertir una lista en un vector de la columna. Escríbase el programa con
la calculadora en modo RPN: « OBJ 1 2 LIST ARRY »

Página 18-1

Almacénese el programa en una variable llamada LXC. Después de almacenar
este programa en modo RPN usted puede también utilizarlo en modo ALG.
Para almacenar un vector de la columna en la variable ΣDAT utilice la función
STOΣ, disponible a través del catálogo de funciones (‚N), use, por
ejemplo, STOΣ (ANS(1)) en modo ALG.
Ejemplo 1 - Usando el programa LXC, definido anteriormente, crear un vector
columna usando los datos siguientes: 2.1 1.2 3.1 4.5 2.3 1.1 2.3 1.5 1.6 2.2
1.2 2.5.
En modo RPG, escríbanse los datos en una lista:
{2.1 1.2 3.1 4.5 2.3 1.1 2.3 1.5 1.6 2.2 1.2 2.5 } `@LXC
Utilice la función STOΣ para almacenar los datos en ΣDAT.
Nota: También puede entrar datos estadísticos lanzando la aplicación de
estadística (como Single-var, Frequencies or Summary stats)
and pressing #EDIT#. Esto incluye el escritor de matrices. Entre los datos como
lo hace habitualmente. En este caso, cuando salga del escritor de matrices, los
datos que se hayan entrado estarán guardados automáticamente en ΣDAT.

Cálculos estadísticos para una sola variable

Se asume que un conjunto de datos de una variable fue almacenado como
vector columna en la variable ΣDAT. Para tener acceso a los diversos
programas del STAT, presiónese ‚Ù. Presione @@@OK@@ para seleccionar la
opción 1. Single-var.. Habrá disponible para usted una forma interactiva
denominada SINGLE-VARIABLE STATISTICS, con los datos actualmente en su
variable ΣDAT listados en forma de vector. Puesto que usted tiene solamente
una columna, el campo Col: tendrá el valor 1 asignado. El campo Type
determines si usted está trabajando con una muestra o una población, el valor
pre-selecto es muestra (sample). Mover el cursor a la línea horizontal que
precede los campos Mean, Std Dev, Variance, Total, Maximum, Minimum,
presione la tecla @CHK@ para seleccionar esas medidas que usted desea como

Página 18-2

salida de este programa. Cuando esté listo, presione @@@OK@@. Los valores
seleccionados serán enumerados, etiquetado apropiadamente, en la pantalla
de su calculadora.
Ejemplo 1 -- Para los datos almacenados en el ejemplo anterior, los resultados
estadísticos son los siguientes:
Mean (media): 2.13333333333, Std Dev (desviación estándar):
.964207949406, Variance (varianza): .929696969697, Total: 25.6,
Maximum: 4.5, Minimum: 1.1
Definiciones
Las definiciones usadas para estas cantidades son las siguientes:
Suponga que usted tiene un número de datos x1, x2, x3, …, representando
diversas medidas de la misma variable discreta o continua x. El conjunto de
todos los valores posibles de la cantidad x se refiere como la población de x
Una población finita tendrá solamente un número fijo de elementos xi. Si la
cantidad x representa la medida de una cantidad continua, y puesto que, en
teoría, tal cantidad puede tomar un número infinito de valores, la población de
Si usted selecciona un subconjunto de una
x en este caso es infinita.
población, representado por los valores de n datos {x1, x2, …, xn}, decimos
que se ha seleccionado una muestra de valores de x. Las muestras son
caracterizadas por un número de medidas o de estadísticas. Hay medidas de
tendencia central, tales como la media, la mediana, y la moda, y las medidas
de dispersión, tales como el rango, la varianza, y la desviación estándar.

Medidas de tendencia central
La media (o media aritmética) de la muestra, ⎯x, se define como el promedio
aritmético de los elementos de muestra,

x=

1 n
⋅ ∑ xi .
n i =1

Página 18-3

El valor llamado Total obtenido anteriormente representa la adición de los
valores de x, ó Σxi = n⋅⎯x. Éste es el valor proporcionado por la calculadora
bajo título Mean. Otros valores medios usados en ciertos usos son la media
geométrica, xg, o la media armónica, xh, definidas como:

x g = n x1 ⋅ x 2 L x n ,

n
1
1
=∑ .
x h i =1 xi

Los ejemplos del cálculo de estas medidas, usando listas, están disponibles en
el capítulo 8.
La mediana es el valor que divide a la muestra en la mitad cuando los
elementos se ordenan en orden creciente. Si usted tiene un número impar, n, de
elementos, la mediana de esta muestra es el valor situado en la posición
(n+1)/2. si usted tiene un número par, n, de elementos, la mediana es el
promedio de los elementos establecidos en las posiciones n/2 y (n+1)/2.
Aunque las medidas estadísticas preprogramadas de la calculadora no
incluyen el cálculo de la mediana, es muy fácil escribir un programa para
calcular tal cantidad trabajando con listas. Por ejemplo, si usted desea utilizar
los datos en la variable ΣDAT para encontrar el punto medio, escriba el
programa siguiente en modo RPN (véase el capítulo 21 para más información
sobre la programación en lenguaje UserRPL):
«  nC « RCLΣ DUP SIZE 2 GET IF 1 > THEN nC COL−
SWAP DROP OBJ 1 + ARRY END OBJ OBJ DROP DROP DUP  n «
LIST SORT IF ‘n MOD 2 == 0’ THEN DUP ‘n/2’ EVAL GET SWAP ‘(n+1)/2’
EVAL GET + 2 / ELSE ‘(n+1)/2’ EVAL GET END “Mediana” TAG » » »
Almacénese este programa bajo el nombre de MED. Un ejemplo del uso de
este programa se demuestra a continuación.
Ejemplo 2 – Para ejecutar el programa, primero usted necesita preparar su
matriz ΣDAT. Entonces, escriba el número de la columna en ΣDAT cuya
mediana usted desea encontrar, y presione @@MED@@. Para los datos actualmente

Página 18-4

en la variable ΣDAT (escrito en un ejemplo anterior), utilizar el programa MED
para demostrar que la Mediana: 2.15.
El modo de una muestra se determina mejor a partir de un histograma, por lo
tanto, dejamos su definición para una sección posterior.
Medidas de dispersión
La varianza (Var) de la muestra se define como

s x2 =

n
1
⋅ ∑ ( xi − x ) 2 .
n − 1 i =1

La desviación estándar (St Dev) de la muestra es justamente la raíz cuadrada
de la varianza, es decir, sx.
El rango de la muestra es la diferencia entre los valores máximos y mínimos de
la muestra. Dado que la calculadora, con las funciones estadísticas
preprogramadas proporciona el máximo y los valores mínimos de la muestra,
usted puede calcular fácilmente el rango.
Coeficiente de variación
El coeficiente de variación de una muestra combina la media, una medida de
tendencia central, con la desviación estándar, una medida de dispersión, y se
define, en forma de porcentaje, como: Vx = (sx/⎯x)100.
Muestra vs. población
Las funciones preprogramadas para la estadística de una sola variable usadas
anteriormente se pueden aplicar a una población finita seleccionando Type:
Population en la pantalla SINGLE-VARIABLE STATISTICS. La diferencia
principal es que los valores de la varianza y de la desviación estándar se
calculan usando n en el denominador de la varianza, en vez de (n-1).
Ejemplo 3 -- Si usted repitiera el ejercicio en el ejemplo 1 de esta sección,
usando población en vez de muestra en Type:, usted conseguirá los mismos
valores para la media, el total, el máximo, y el mínimo. La varianza y la

Página 18-5

desviación estándar, sin embargo, serán dadas por: Variance: 0.852, Std Dev:
0.923.

Obtención de distribuciones de frecuencia

La operación 2. Frequencies.. en el menú STAT puede utilizarse para obtener la
distribución de frecuencias de una colección de datos. Los datos deben existir
en la forma de un vector columna almacenado en la variable ΣDAT. Para
empezar la operación, presiónese ‚Ù˜ @@@OK@@@. La forma interactiva
que resulta contiene las siguientes opciones:
ΣDAT:
Col:
X-Min:
Bin Count:
Bin Width:

matriz que contiene los datos de interés
columna de ΣDAT bajo escrutinio
valor mínimo del límite de clase a utilizarse en la distribución
de frecuencias (valor básico = -6.5)
número de clases a utilizarse en la distribución de frecuencias
(valor básico = 13).
longitud uniforme de cada clase (valor básico = 1).

Definiciones
Para entender el significado de estos parámetros presentamos las definiciones
siguientes: Dado un sistema de valores de los datos de n: {x1, x2, …, xn}
enumerado sin ningún orden particular, se requiere a veces agrupar estos
datos en una serie de clases contando la frecuencia o el número de los valores
que corresponden a cada clase. (nota: las calculadoras se refiere a las clases
como los compartimientos (inglés, bins)).
Suponer que las clases, o los compartimientos, serán seleccionados dividiendo
el intervalo (xbot, xtop), en k = Bin Count clases seleccionando un número de
límites de la clase, es decir, {xB1, xB2, …, xBk+1}, de manera que la clase
número 1 tiene límites xB1-xB2, la clase número 2 tiene límites xB2- xB3, y así
sucesivamente. La última clase, cuyo número es k, será limitado por xBk - xB k
+1.

Página 18-6

El valor de x que corresponde al centro de cada clase se conoce como la
marca de la clase, y se define como xMi = (xBi + xB i+1)/2, para i = 1, 2, …,
k.
Si las clases se eligen tales que el tamaño de la clase es igual, entonces
podemos definir el tamaño de la clase como el valor
Bin Width = Δx = (xmax - xmin) / k,
y los límites de la clase se pueden calcular como xBi = xbot + (i - 1) * Δx.
Un dato, xj, j = 1, 2, …, n, pertenece a la clase i, si xBi ≤ xj < xB i+1
La operación 2. Frequencies.. en el menú STAT efectúa esta evaluación de
frecuencias, y lleva cuenta de aquellos valores menores que el límite mínimo y
mayores que el límite máximo de las clases. Estos últimos se refieren, en inglés,
con el término outliers.
Ejemplo 1 -- Para ilustrar mejor la obtención de distribuciones de frecuencia,
deseamos generar un conjunto de datos relativamente grande, digamos 200
puntos, usando el procedimiento siguiente:
• Primero, siembra el generador de números aleatorios: RDZ(25) en modo
ALG, o 25 ` RDZ en modo RPN (véase el capítulo 17).
• Escriba el programa siguiente en modo RPN:
«  n « 1 n FOR j RAND 100 * 2 RND NEXT n LIST » »
y excepto él bajo el nombre de RDLIST (RanDom number LIST generator).
• Genere una lista 200 números usando RDLIST(200) en modo ALG, ó 200
` @RDLIST@ en modo RPN.
• Use el programa LXC (presentado anteriormente) para convertir la lista
generada en un vector columna.
• Almacene el vector columna en la variable ΣDAT, usando STOΣ.
• Obtenga las estadísticas de los datos usando: ‚Ù @@@OK@@@. Use Sample
en la opción Type, y seleccione todas las opciones como resultados. Los
resultados para este ejemplo son:

Página 18-7

Mean: 51.0406, Std Dev: 29.5893…, Variance: 875.529…
Total: 10208.12, Maximum: 99.35, Minimum: 0.13
Esta información indica que nuestros datos se extienden de valores cerca de
cero a los valores cerca de 100. Trabajando con números enteros, podemos
seleccionar el rango de variación de los datos como (0,100). Para producir
una distribución de frecuencia utilizaremos el intervalo (10,90) dividido en 8
compartimientos cada uno de ancho 10.
•

•

Selecciónese la opción 2. Frequencies.. utilizando ‚Ù˜ @@@OK@@@. Los
datos se encuentran ya almacenados en la variable ΣDAT, y la opción Col
deberá tener el valor 1 asignado, dado que la matriz ΣDAT posee una
sola columna.
Cámbiense los valores de X-Min a 10, Bin Count a 8, y Bin Width a 10, y
después presiónese la tecla @@@OK@@@.

Cuando se utiliza el modo RPN, los resultados de la distribución de frecuencias
se muestran como un vector columna en el nivel 2 de la pantalla, y como un
vector fila de dos componentes en el nivel 1. El vector en el nivel 1 representa
el número de valores extremos (outliers) localizados fuera del intervalo usado
para definir las clases, es decir, fuera del intervalo (10,90). Para el presente
ejemplo, el autor obtuvo los valores [ 25. 22.], lo que indica la existencia de 25
valores menores que 10 y 22 valores mayores que 90. en el vector ΣDAT
vector.
•

Presiónese ƒ para remover el vector en el nivel 1. El resultado en el
nivel 1 es el conteo de frecuencias en los datos en ΣDAT.
Esta tabla fue preparada a partir de la información que proporcionamos para
generar la distribución de frecuencia, aunque la única columna producida por
la calculadora es la columna de la frecuencia (fi).

Página 18-8

Clase
No.
i
< XB1
1
2
3
4
5
6
7
k=8
>XBk

Limites
XBi
outlier
10
20
30
40
50
60
70
80
outliers

de clase
XB i+1
menores
20
30
40
50
60
70
80
90
mayores

Marca

Frecuencia

Frecuencia

de clase
Xmi

fi

cumulativa

25
18
14
17
17
22
22
24
19
22

18
32
49
66
88
110
134
153

15
25
35
45
55
65
75
85

Los números de la clase, y los límites de la clase son fáciles de calcular para las
clases (o los compartimientos) de tamaño uniforme, y las marcas de clase es
simplemente el promedio de los límites de clase para cada clase. Finalmente,
la frecuencia cumulativa se obtiene agregando cada valor en la última
columna, excepto la primera fila, a la frecuencia en la fila siguiente, y
sustituyendo el resultado en la última columna de la fila siguiente. Así, para la
segunda clase, la frecuencia cumulativa es 18+15 = 33, mientras que para la
clase número 3, la frecuencia cumulativa es 33 + 16 = 49, etcétera. La
frecuencia cumulativa representa la frecuencia de esos números que sean más
pequeños que o la iguala al límite superior de cualquier clase dada.
Dado el vector (columna) de las frecuencias generadas por la calculadora,
usted puede obtener un vector de la frecuencia acumulativa usando el
programa siguiente en modo RPN:
« DUP SIZE 1 GET  freq k « {k 1} 0 CON  cfreq « ‘freq(1,1)’ EVAL
‘cfreq(1,1)’ STO 2 k FOR j ‘cfreq(j-1,1) +freq(j,1)’ EVAL ‘cfreq (j,1)’ STO NEXT
cfreq » » »
Almacénelo bajo el nombre de CFREQ. Utilice este programa para generar la
lista de frecuencias cumulativas (presione @CFREQ teniendo el vector columna de

Página 18-9

frecuencias en la pantalla). El resultado, para este ejemplo, es un vector
columna que representa la última columna de la tabla anterior.
Histogramas
Un histograma es un diagrama de barras que muestra la distribución de la
frecuencia como la altura de las barras a la vez que los límites de la clase
muestran la base de las barras. Si usted tiene sus datos en bruto (es decir, los
datos originales antes de que se haga la cuenta de la frecuencia) en la
variable ΣDAT, usted puede seleccionar HISTOGRAM como su tipo (Type:) de
gráfico y proporcionar la información con respecto al valor inicial de x, del
número de compartimientos (clases), y de la anchura de los compartimientos,
para generar el histograma. Alternativamente, usted puede generar el vector
columna que contiene la distribución de frecuencia, como se mostró en el
ejemplo anterior, almacenar este vector en ΣDAT, y seleccionar Barplot como el
tipo de gráfico. En el ejemplo siguiente, le demostramos cómo utilizar el primer
método para generar un histograma.
Ejemplo 1 – Con los 200 datos generados en el ejemplo anterior
(almacenados como vector en ΣDAT), genérese un histograma usando X-Min =
10, Bin Count = 16, y Bin Width = 5.
•

•

•

Primero, presione „ô (simultáneamente, en modo RPN) para activar
la pantalla PLOT SETUP. Dentro de esta pantalla, cambie la opción Type: a
histogram, y compruebe que la opción Col: corresponde a1. Presione
L@@@OK@@@.
A continuación, presione „ò (simultáneamente, en modo RPN) para
activar la pantalla PLOT WINDOW – HISTOGRAM. Dentro de esa
pantalla modifique la información como sigue H-View: 10 90, V-View: 0
15, Bar Width: 5.
Presione @ERASE @DRAW@ para generar el histograma siguiente:

Página 18-10

•

Presione @CANCEL para volver a la pantalla anterior. Cambie las opciones Vview y Bar Width una vez más, usando los valores V-View: 0 30, Bar
Width: 10. El nuevo histograma, basado en el mismo grupo de datos,
ahora se muestra como:

El diagrama de la frecuencia, fi, vs. las marcas de la clase, xMi, se conoce
como polígono de frecuencias. El diagrama de la frecuencia cumulativa contra
los límites superiores de clase se conoce como la ojiva de la frecuencia
cumulativa. Usted puede producir los diagramas de puntos que simulan estos
dos diagramas incorporando los datos apropiados a las columnas 1 y 2 de
una nueva matriz de ΣDAT y cambiando el tipo: scatter en la pantalla PLOT
SETUP.

Ajustando datos a la función y = f(x)

El programa 3. Fit data.., disponible como opción número 3 en el menú STAT,
puede ser utilizado para ajustar funciones lineares, logarítmicas,
exponenciales, y de potencia a los datos (x,y), almacenados en las columnas
de la matriz ΣDAT. Para que este programa sea utilizable, usted necesita tener
por lo menos dos columnas en su variable de ΣDAT.
Ejemplo 1 – Ajustar una relación linear a los datos de la tabla siguiente:
x
y

0
0.5

1
2.3

2
3.6

3
6.7

4
7.2

5
11

Página 18-11

Almacénense los datos en las columnas de la matriz ΣDAT utilizando el escritor
de matrices, y la función STOΣ.
• Para activar la opción 3. Fit data.., utilícense las siguientes teclas:
‚Ù˜˜@@@OK@@@ La forma interactiva mostrará la matriz ΣDAT, ya
existente. De ser necesario, cámbiense los valores en la forma interactiva
de manera que luzca como se muestra a continuación:

•

Para efectuar el ajuste de datos a la función, presione @@OK@@. El resultado
de esta función, que se muestra a continuación para este ejemplo en
particular, consiste de las siguientes tres líneas en modo RPN:
3: '0.195238095238 + 2.00857142857*X'
2: Correlation: 0.983781424465
1: Covariance: 7.03

El nivel 3 demuestra la forma de la ecuación. En este caso, y = 0.06924 +
0.00383 x. El nivel 2 demuestra el coeficiente de correlación de la muestra, y
el nivel 1 muestra la covarianza de x-y.
Definiciones
Para una muestra de datos (x,y), definimos la covarianza de la muestra como

s xy =

1 n
∑ ( xi − x )( y i − y )
n − 1 i =1

El coeficiente de correlación de la muestra para x,y se define como

Página 18-12

rxy =

s xy
sx ⋅ s y

.

En la cual sx, sy son las desviaciones estándar de x y de y, respectivamente,

s x2 =

1 n
( xi − x ) 2
∑
n − 1 i=1

s y2 =

1 n
( yi − y ) 2
∑
n − 1 i=1

Los valores sxy y rxy son los valores llamados "Covariance" y "Correlation,"
respectivamente, obtenido al usar la opción “Fit data” de la calculadora.
Relaciones linearizadas
Muchas relaciones curvilíneas "se enderezan" a una forma linear. Por ejemplo,
los diversos modelos para el ajuste de los datos proporcionada por la
calculadora se pueden linearizar según se describe a continuación.
Variable Variable
Independ. Depend.
x
h

Tipo de
Ajuste

Modelo
Actual

Modelo
Linearizado

Lineal

y = a + bx

[el mismo]

x

y

sxy

Log.

y = a + b ln(x)

Exp.
Potencia

Covar.
sξη

[el mismo]

ln(x)

y

sln(x),y

y=a

ebx

ln(y) = ln(a) + bx

x

ln(y)

sx,ln(y)

y=a

xb

ln(y) = ln(a) + b ln(x)

ln(x)

ln(y)

sln(x),ln(y)

La covarianza de la muestra de ξ,η se escribe como

sξη =

1
∑ (ξ i − ξ )(ηi − η )
n −1

También se definen las varianzas de ξ y η, respectivamente, como

sξ2 =

1 n
(ξ i − ξ ) 2
∑
n − 1 i =1

sη2 =

1 n
(η i − η ) 2
∑
n − 1 i =1

Página 18-13

El coeficiente de correlación de la muestra rξη es

rξη =

sξη
sξ ⋅ sη

La forma general de la ecuación de la regresión es η = A + Bξ.
Ajuste óptimo de los datos
La calculadora puede determinarse qué relación linear o linearizada ofrece el
mejor ajuste para un sistema de datos (x,y). Ilustraremos el uso de esta
característica con un ejemplo. Suponer que usted desea encontrar cual de las
funciones proveídas proporciona el mejor ajuste para los datos siguientes:
x
y

0.2
3.16

0.5
2.73

1
2.12

1.5
1.65

2
1.29

4
0.47

5
0.29

10
0.01

Primero, escríbanse los datos como una matriz, usando el escritor de matrices,
o escribiendo dos listas de datos que corresponden a x y a y, y utilice el
programa CRMC presentado en el Capítulo 10. A continuación, almacene esta
matriz en la matriz estadística ΣDAT, usando la función STOΣ.
Finalmente, active la opción de ajuste de datos usando: ‚Ù˜˜@@@OK@@@
. La pantalla muestra la matriz ΣDAT actual. Cámbiense los parámetros a
como se muestra a continuación, de ser necesario:

Presione @@@OK@@@, para obtener:
3: '3.99504833324*EXP(-.579206831203*X)'
2: Correlation: -0.996624999526
1: Covariance: -6.23350666124
El ajuste óptimo para los datos es, por lo tanto, y = 3.995 e -0.58⋅x.

Página 18-14

Obtención de medidas estadísticas adicionales

La aplicación 4. Summary stats.. en el menú STAT puede ser útil en algunos
cálculos de las estadísticas de la muestra. Para comenzar, presione ‚Ù
una vez más, y seleccione la cuarta opción usando la tecla ˜, y presione
@@@OK@@@. La forma de la entrada que resulta contiene los campos siguientes:
ΣDAT:
X-Col, Y-Col:

_ΣX _

ΣY…:

la matriz que contiene los datos de interés.
estas opciones se aplican solamente cuando usted tiene más
de dos columnas en la matriz ΣDAT. Los valores pre-definidos
son tales que la columna de x es la columna 1, y la columna
de y es la columna 2.
medidas estadísticas que usted puede elegir como resultados
de este programa al escoger el campo apropiado usando
[CHK] cuando se selecciona ese campo.

Muchas de esta estadísticas se utilizan para calcular las estadísticas de dos
variables (x,y) que se puedan relacionar por una función y = f(x). Por lo tanto,
este programa puede considerarse como compañero para programar 3. Fit
data..
Ejemplo 1 – Para los datos x-y actualmente en ΣDAT, obténganse todas las
estadística sumaria.
• Para activar la opción summary stats…, utilícense las teclas:
‚Ù˜˜˜@@@OK@@@
• Selecciónense los números de las columnas en ΣDAT correspondiente a los
datos x-y. En el presente ejemplo selecciónese: X-Col: 1, y Y-Col: 2.
• Utilizando la tecla @CHK@ selecciónense todas las medidas estadísticas,
disponibles en la forma SUMMARY STATISTICS, es decir, _ΣX, _ΣY, etc.
• Presiónese @@@OK@@@ para obtener los siguientes resultados:
ΣX: 24.2, ΣY: 11.72, ΣX2: 148.54, ΣY2: 26.6246, ΣXY: 12.602, NΣ:8

Página 18-15

Nota: Existen dos más aplicaciones en el menú STAT, a saber, 5. Hypth.
tests.. y 6. Conf. Interval.. Estas dos opciones serán discutidas más
adelante en el capítulo.

Cálculo de percentiles

Los percentiles son medidas que dividen una colección de datos en 100
porciones. El procedimiento básico para calcular el percentil100⋅p (0 < p < 1)
en una muestra del tamaño n se muestra a continuación:
1. Ordenar las n observaciones de la más pequeño a la más grande.
2. Calcular el producto n⋅p
A. Si n⋅p no es un entero, redondearlo al entero siguiente y determinar el
valor ordenado correspondiente.
B. Si n⋅p es entero, digamos k, calcular la media de los datos k y (k-1) de
las observaciones.
Nota: Regla de redondeo del número entero, para un número entero
x.yz…, si y ≥ 5, redondear a x+1; si y < 5, redondear a x.
Este algoritmo se puede implementar en el programa siguiente escrito en modo
de RPN (véase el Capítulo 21 para información sobre programación):
« SORT DUP SIZE  p X n « n p *  k « IF k CEIL k FLOOR - NOT THEN X k
GET X k 1 + GET + 2 / ELSE k 0 RND X SWAP GET END»»»
el cuál almacenaremos en la variable %TILE (percent-tile).
Este programa
requiere como entrada un valor p en el intervalo 0 a 1, representando el
percentil 100p, y una lista de valores. El programa produce el percentil 100p
de la lista.
Ejemplo 1 - Determine el percentil 27% de la lista { 2 1 0 1 3 5 1 2 3 6 7 9}.
En modo RPN, escriba 0.27 ` { 2 1 0 1 3 5 1 2 3 6 7 9} ` @%TILE. En
modo ALG, escriba %TILE(0.27,{2,1,0,1,3,5,1,2,3,6,7,9}. El resultado es 1.

Página 18-16

El menú de teclado STAT

Las funciones estadísticas preprogramadas, descritas anteriormente, son
accesibles a través de un menú de teclado denominado STAT. El menú de
teclado STAT se puede activar usando, en modo RPN, la instrucción: 96
MENU
Usted puede crear su propio programa, llamado, por ejemplo, @STATm, para
activar el menú STAT directamente. El contenido de este programa es
simplemente: « 96 MENU ».
El menú de teclado STAT contiene los siguientes menús:

Presione la tecla que corresponde a cualesquiera de estos sub-menús para
acceder a las diversas funciones que se describen a continuación.

El sub-menú DATA

El sub-menú DATA contiene funciones para manipular la matriz estadística
ΣDATA:

La operación de estas funciones se describen a continuación:
Σ+ : agregar una fila en el nivel 1 al final de la matriz ΣDATA.
Σ- : remueve la última fila en la matriz ΣDATA coloca en el nivel de 1 de la
pantalla. La matriz ΣDATA así modificada permanece en la memoria.
CLΣ : borra la matriz ΣDATA actual.
ΣDAT: copia la matriz ΣDATA actual al nivel 1 de la pantalla.
„ΣDAT: almacena la matriz en el nivel 1 de la pantalla en la variable
ΣDATA.

Página 18-17

El sub-menú ΣPAR

El sub-menú ΣPAR contiene funciones usadas para modificar parámetros
estadísticos. Los parámetros mostrados a continuación corresponden al
ejemplo anterior del ajuste de datos a una función y = f(x).

Los parámetros mostrados en la pantalla son los siguientes:
Xcol: indica la columna de SDATA que representa x (Pre-definido: 1)
Ycol: indica la columna de SDATA que representa y (Pre-definido: 2)
Intercept: muestra intercepto del ajuste de datos más reciente (Pre-definido: 0)
Slope: muestra pendiente del ajuste de datos más reciente (Pre-definido: 0)
Model: muestra modelo de ajuste actual (Pre-definido: LINFIT)
Las funciones mostradas en las teclas de menú operan de la forma siguiente:
XCOL: escrita como n @XCOL, cambia Xcol a n.
YCOL: escrita como n @YCOL, cambia Ycol a n.
ΣPAR: muestra parámetros estadísticos.
RESET: reajustar los parámetros a los valores prefijados
INFO: muestra parámetros estadísticos
El sub-menú MODL dentro de ΣPAR
Este sub-menú contiene las funciones que permiten cambiar el modelo de ajuste
de datos a LINFIT, LOGFIT, EXPFIT, PWRFIT o BESTFIT al presionar la tecla
apropiada.

El sub-menú 1VAR

El sub-menú 1VAR contiene funciones que se utilizan para calcular las
estadísticas de columnas en la matriz de ΣDATA

Página 18-18

Las funciones disponibles son las siguientes:
TOT:
muestra la suma de cada columna en la matriz ΣDATA.
MEAN: muestra el promedio de cada columna en la matriz ΣDATA.
SDEV: muestra la desviación de estándar de cada columna en la matriz
ΣDATA.
MAXΣ: muestra valor máximo de cada columna en la matriz ΣDATA.
MINΣ: muestra valor mínimo de cada columna en la matriz ΣDATA.
BINS: usada como xs, Δx, n [BINS], provee la distribución de frecuencias en
los datos de la columna Xcol en la matriz ΣDATA con las clases
definidas por [xs,xs+Δx], [xs,xs+2Δx],…, [xs,xs+nΔx].
VAR:
muestra la varianza de cada columna de la matriz ΣDATA.
PSDEV: muestra la desviación estándar de la población (basada en n en vez
de (n-1)) de cada columna en la matriz de ΣDATA.
PVAR: muestra la varianza de la población de cada columna en la matriz
ΣDATA.

El sub-menú PLOT

El sub-menú PLOT contiene funciones que se utilizan para producir diagramas
con los datos en la matriz ΣDATA.

Las funciones incluidas son:
BARPL: produce un diagrama de barras con datos en la columna Xcol de la
matriz ΣDATA.
HISTP: produce el histograma de los datos en la columna Xcol en la matriz
ΣDATA, usando 13 clases (valor predefinido) a menos que se
modifique el tamaño de las clases usando la función BINS en el submenú 1VAR (véase sección anterior).
SCATR: produce un diagrama de los datos en la columna Ycol de la matriz de
SDATA vs. los datos en la columna Xcol de la matriz de ΣDATA. La

Página 18-19

ecuación que resulta del ajuste de estos datos será almacenada en la
variable EQ.

El sub-menú FIT

El sub-menú FIT contiene funciones usadas para ajustar ecuaciones a los datos
en las columnas Xcol y Ycol de la matriz ΣDATA.

Las funciones disponibles en este sub-menú son:
ΣLINE: provee la ecuación correspondiente al ajuste más reciente
LR: proporciona el intercepto y la pendiente del ajuste más reciente
PREDX: usada como y @PREDX, dado y calcular x para el ajuste y = f(x).
PREDY: usada como x @PREDY, dado x calcular y para el ajuste y = f(x).
CORR: provee el coeficiente de correlación para el ajuste más reciente.
COV: provee la covarianza de la muestra para el ajuste más reciente.
PCOV: muestra la covarianza de la población para el ajuste más reciente.
El sub-menú SUMS
El sub-menú SUMS contiene funciones usadas para obtener medidas
estadísticas adicionales para los datos en las columnas Xcol y Ycol de la matriz
ΣDATA.

ΣX : provee la suma de valores en la columna Xcol.
ΣY : provee la suma de valores en la columna Ycol .
ΣX^2 : provee la suma de cuadrados de valores en la columna de Xcol.
ΣY^2 : provee la suma de cuadrados de valores en la columna de Ycol.
ΣX*Y: provee la suma de x⋅y, es decir, los productos de datos en las columnas
Xcol y Ycol.
NΣ : provee el número de columnas en la matriz de ΣDATA.

Página 18-20

Ejemplo de las operaciones del menú STAT
Sea ΣDATA la matriz

⎡ 1.1
⎢ 3.7
⎢
⎢ 2.2
⎢
⎢ 5.5
⎢ 6.8
⎢
⎢ 9.2
⎢10.0
⎣
•
•
•

•

3.7
7.8 ⎤
8.9
101 ⎥⎥
5.9
25 ⎥
⎥
12.5 612 ⎥
15.1 2245 ⎥
⎥
19.9 24743⎥
21.5 55066⎥⎦

Escriba la matriz en el nivel 1 de la pantalla utilizando el escritor de
matrices.
Para almacenar la matriz en ΣDATA, use: @)DATA „ @£DAT
Calcular las estadísticas de cada columna: @)STAT @)1VAR:
@TOT
produce [38.5 87.5 82799.8]
@MEAN
produce [5.5. 12.5 11828.54…]
@SDEV
produce [3.39… 6.78… 21097.01…]
@MAX£
produce [10 21.5 55066]
@MIN£
produce [1.1 3.7 7.8]
L @VAR
produce [11.52 46.08 445084146.33]
@PSDEV
produce [3.142… 6.284… 19532.04…]
@PVAR
produce [9.87… 39.49… 381500696.85…]
Generar un diagrama de los datos en las columnas 1 y 2 y ajustar una
línea recta a los mismos:
@)STAT @)£PAR @RESET
reajusta parámetros estadísticos

Página 18-21

L @)STAT @PLOT @SCATR
@STATL

•

•

produce el diagrama
dibuja los datos ajustados como línea recta

@CANCL
regresa a la pantalla principal
Determine la ecuación apropiada y sus estadísticas:
@)STAT @)FIT@ @£LINE
produce '1.5+2*X'
@@@LR@@@
produce Intercept: 1.5, Slope: 2
3 @PREDX
produce 0.75
1 @PREDY
produce 3. 50
@CORR
produce 1.0
@@COV@@
produce 23.04
L@PCOV
produce 19.74…
Obtener estadísticas adicionales para columnas 1 y 2: @)STAT @)SUMS:
@@@£X@@
@@@£Y@@
@@£X2@
@@£Y2@
@@£XY@
@@@N£@@

produce
produce
produce
produce
produce
produce

38.5
87.5
280.87
1370.23
619.49
7

Página 18-22

•

Ajustar datos en 1 (x) y 3 (y) usando un ajuste logarítmico:
L @)STAT @)£PAR 3 @YCOL seleccionar Ycol = 3, y
@)MODL @LOGFI
seleccionar Model = Logfit

L @)STAT @PLOT @SCATR
@STATL

produce diagrama de y vs. x
muestra línea para ajuste logarítmico

Obviamente, el ajuste logarítmico no es la mejor opción
@CANCL
regresa a la pantalla normal.
•

Seleccione el ajuste óptimo usando:
@)STAT @£PAR @)MODL @BESTF muestra EXPFIT como el ajuste óptimo

L@)STAT @)FIT @£LINE

produce '2.6545*EXP(0.9927*X)'

Página 18-23

@CORR
2300 @PREDX
5.2 @PREDY
L @)STAT @PLOT @SCATR
@STATL

•
•

produce 0.99995… (buena correlación)
produce 6.8139
produce 463.33
produce diagrama y vs. x
muestra línea para ajuste actual

Regreso al menú STAT, use: L@)STAT
Para recobrar el menú de variables: J.

Intervalos de confianza

La inferencia estadística es el proceso de obtener conclusiones sobre una
población basadas en los resultados de una muestra. Para que los datos de la
muestra sean significativos, la muestra debe ser aleatoria, es decir, la selección
de una muestra particular debe tener la misma probabilidad que la de
cualquier otra muestra posible dentro de una población dada. Los siguientes
son algunos términos relevantes al concepto del muestreo aleatorio:
•
•
•
•

Población: colección de todas las observaciones concebibles de un
proceso o de una cualidad de un componente.
Muestra: subconjunto de una población
Muestra aleatoria: una muestra representativa de la población.
Variable aleatoria: función real definida en un espacio de muestra. Puede
ser discreta o continua.
Si la población sigue cierta distribución de la probabilidad que depende
de un parámetro θ, una muestra aleatoria de observaciones (X1,X2,X3,... ,
Xn), de tamaño n, puede usarse para estimar θ.

Página 18-24

•

Distribución de muestras: la distribución conjunta de la probabilidad de
X1,X2,X3,... , Xn.

•

Una estadística: cualquier función de las observaciones que sea
cuantificable y no contenga ningún parámetro desconocido. Una
estadística es una variable aleatoria que permite evaluar un parámetro.
Estimado puntual: cuando se obtiene un valor del parámetro θ.
Intervalo de confianza: un intervalo numérico que contiene el parámetro θ
con cierto nivel de probabilidad.
Estimador: regla o método de evaluación del parámetro θ.
Estimado: valorar que el estimador produce para un caso particular.

•
•
•
•

Ejemplo 1 -- Sea X el tiempo (horas) requerido para completar un proceso de
fabricación específico. Dada la muestra siguiente de valores de X: 2.2 2.5
2.1 2.3 2.2. La población de donde se toma esta muestra es la colección
de todos los valores posibles del tiempo de proceso, por lo tanto, es una
población infinita. Suponga que el parámetro de la población que estamos
intentando estimar es la media, μ. Utilizaremos como estimador la media de la
muestra, ⎯X, definido por (una regla):

X =

1 n
⋅ ∑ Xi.
n i =1

Para la muestra bajo consideración, el estimado de μ es la estadística de la
muestra ⎯x = (2.2+2.5+2.1+2.3+2.2)/5 = 2.26. Este valor de ⎯X, es decir ⎯x
= 2.26, constituye un estimado puntual del parámetro de la población μ.

Evaluación de los intervalos de confianza

El nivel siguiente de inferencia es la evaluación de un intervalo, es decir, en vez
de obtener un solo valor de un estimador se proveen dos estadísticas, a y b, las
cuales definen un intervalo que contiene el parámetro θ con cierto nivel de la
probabilidad. Los puntos extremos del intervalo se conocen como límites de
confianza, y el intervalo (a,b) se conoce como el intervalo de confianza.

Página 18-25

Definiciones

Sea (Cl,Cu) un intervalo de la confianza que contiene un parámetro
desconocido θ.
•

El nivel de la confianza o coeficiente de confianza es la cantidad (1-α), en
la cual 0 < α < 1, tal que P[Cl < θ < Cu] = 1 - α, donde P[ ] representa la

•

probabilidad (ver el Capítulo 17). La expresión anterior define los límites
de confianza bilaterales.
Un intervalo unilateral inferior se define por Pr[Cl < θ] = 1 - α.

•

Un intervalo unilateral superior se define por by Pr[θ < Cu] = 1 - α.

•

El parámetro α se conoce como el nivel de significado. Valores típicos de
α son 0.01, 0.05, 0.1, correspondiendo a niveles de confianza de 0.99,
0.95, y0.90, respectivamente.

Intervalos de confianza para la media de la población cuando se
conoce la varianza de la población

Sea⎯X la media de una muestra aleatoria de tamaño n, extraída de una
población infinita con una desviación de estándar conocida σ. El intervalo de
confianza centrado, bilateral, de nivel 100(1-α) % [i.e., 99%, 95%, 90%, etc.],
para la media de la población μ es (⎯X−zα/2⋅σ/√n , ⎯X+zα/2⋅σ/√n ), en el
cual zα/2 es una variable aleatoria normal estándar que se excede con una
probabilidad de α /2. El error estándar de la media de la muestra, ⎯X, es σ/
√n.
Los límites unilaterales de confianza superior e inferior a nivel 100(1-α) % para
la media de la población μ son, respectivamente, X+zα⋅σ/√n, y ⎯X−zα⋅σ/√n .
Así, se define un intervalo de confianza unilateral inferior como (-∞ , X+zα⋅σ/
√n), mientras que el intervalo de confianza unilateral superior es (X−zα⋅σ/
√n,+∞).

Nótese que en estos dos intervalos anteriores utilizamos el valor zα,

en vez de zα/2.

Página 18-26

En general, el valor zk en la distribución normal estándar se define como aquel
valor de z cuya probabilidad de excedencia sea k, es decir, Pr[Z>zk] = k, ó
Pr[Z30, la
distribución prácticamente la misma que la distribución normal estándar. Así,
para las muestras mayores de 30 elementos cuando la varianza de la
población es desconocida, usted puede utilizar el mismo intervalo de
confianza que cuando se conoce la varianza de la población, pero
substituyendo σ por S. Las muestras para las cuales n>30 se refieren
típicamente como muestras grandes, en caso contrario son muestras pequeñas.

Intervalo de confianza para una proporción

Una variable aleatoria discreta X sigue una distribución de Bernoulli si X puede
tomar solamente dos valores, X = 0 (falla), y X = 1 (éxito).
Sea X ~
Bernoulli(p), en la cual p es la probabilidad de éxito, entonces la media, o la
esperanza matemática, de X es E[X ] = p, y su varianza es Var[X ] = p(1-p).

Página 18-27

Si un experimento que involucra a X se repite n veces, y con k resultados
favorables, un estimado de p se calcula como p' = k/n, mientras que el error
estándar de p' es σp’ = √(p⋅(1-p)/n) . En la práctica, la estimación de la
muestra para p, es decir, p ' reemplaza p en la fórmula del error estándar.
Para muestra grande, n>30, y n⋅p> 5 y n⋅(1-p)>5, la distribución del muestreo
es casi completamente normal. Por lo tanto, a nivel 100(1-a)% el intervalo de
confianza centrado y bilateral para la media p de la población es (p’+zα/2⋅σp’,
p’+zα/2⋅σp’ ).

Para una muestra pequeña (n<30), el intervalo puede ser

estimado como (p’-tn-1,α/2⋅σp’,p’+tn-1,α/2⋅σp’).

Distribución del muestreo de diferencias y sumas de estadísticas

Sean S1 y S2 estadísticas independientes de dos poblaciones basadas en
muestras de los tamaños n1 y n2, respectivamente. También, sean las medias y
los errores estándares respectivos de las distribuciones del muestreo de esa
estadística μS1 y μS2, y σS1 y σS2, respectivamente. Las diferencias entre la
estadística de las dos poblaciones, S1-s2, tienen una distribución del muestreo
con media μ S1−S2 = μS1 - μS2, y error estándar σS1-S2 = (σS12 + σS22)1/2. Así
mismo, la suma de dos estadísticos S1+S2 tiene una media μ S1+S2 = μS1 +μS2,
y un error estándar σS1+S2 = (σS12 + σS22)1/2.
Estimadores para la media y desviación estándar de la diferencia y de la suma
de las estadísticas S1 y S2 se dan, respectivamente, por:

μˆ S ± S = X 1 ± X 2 ,
1

2

σˆ S ± S =
1

2

σ S21
n1

+

σ S22
n2

En estas expresiones, ⎯X1 y ⎯X2 son los valores de las estadísticas S1 y S2 de
las muestras tomadas de las dos poblaciones, y σS12 y σS22 son las varianzas
de las poblaciones las estadísticas S1 y S2 de cuál fueron tomadas las
muestras.

Página 18-28

Intervalos de confianza para sumas y diferencias de valores
medios

Si las varianzas de las poblaciones σ12 y σ22 son conocidas, los intervalos de
confianza para la diferencia y la suma de las medias de las poblaciones, es
decir, μ1±μ2, se escriben como:
2
2
2
2 ⎞
⎛
⎜(X ± X ) − z ⋅ σ1 + σ 2 , (X ± X ) + z ⋅ σ1 + σ 2 ⎟
2
1
2
α /2
α /2
⎜ 1
n1
n2
n1 n 2 ⎟⎠
⎝

Para muestras grandes, es decir, n1 > 30 y n2 > 30, y varianzas de las
poblaciones desconocidas, pero iguales, σ12 = σ22, los intervalos de confianza
para la diferencia y la suma de las medias de las poblaciones, es decir, μ1±μ2,
se escriben como:
2
2
2
2 ⎞
⎛
⎜ ( X ± X ) − z ⋅ S1 + S 2 , ( X ± X ) + z ⋅ S1 + S 2 ⎟.
2
1
2
α /2
α /2
⎜ 1
n1 n2
n1 n2 ⎟⎠
⎝

Si una de las muestras es pequeña, es decir, n1 < 30 ó n2 < 30, y varianzas de
las poblaciones desconocidas, pero iguales, σ12 = σ22, podemos obtener una
estimación "mixta" de la variación de μ1±μ2, definida por
sp2 = [(n1-1)⋅s12+(n2-1)⋅s22]/( n1+n2-2).
En este caso, los intervalos de confianza centrados para la suma y la diferencia
de las medias de las poblaciones, es decir, μ1±μ2, se calculan como:

(( X

1

± X 2 ) − tν ,α / 2 ⋅ s 2p , ( X 1 ± X 2 ) + tν ,α / 2 ⋅ s 2p

)

en la cual ν = n1+n2-2 es el número de grados de libertad en la distribución
Student’s t.
En las dos opciones anteriores especificamos que las variaciones de la
población, aunque desconocidas, deben ser iguales. Éste será el caso en el

Página 18-29

cual las dos muestras se toman de la misma población, o de dos poblaciones
sobre las cuales sospechemos que tienen la misma varianza. Sin embargo, si
sospechamos que las dos varianzas desconocidas de la población son
diferentes, podemos utilizar el siguiente intervalo de confianza

(( X

1

± X 2 ) − tν ,α / 2 ⋅ s X2 1 ± X 2 , ( X 1 ± X 2 ) + tν ,α / 2 ⋅ s X2 1 ± X 2

)

en la cual la desviación estándar estimada para la suma o diferencia es

s X1 ± X 2 =

s12 s 22
+
n1 n2

y ν, los grados de libertad de la variable t, se calculan usando el número
entero más cercano a

ν=

[( S12 / n1 ) + ( S 22 / n2 )]2
[( S12 / n1 ) /(n1 − 1)] + [( S 22 / n2 ) /(n2 − 1)]

Determinación de intervalos de confianza

La función 6. Conf Interval puede activarse al presionar las teclas
‚Ù—@@@OK@@@. Esta función ofrece las siguientes opciones:

Estas opciones se interpretan como se muestra a continuación:
1. Z-INT: 1 μ.: Intervalo de confianza para la media de la población, μ,
cuando se conoce la varianza de la población, o, si ésta es desconocida,
cuando la muestra es una muestra grande.

Página 18-30

2. Z-INT: μ1−μ2.: Intervalo de confianza para la diferencia de las medias de
dos poblaciones, μ1- μ2, ya sea que se conozcan las varianzas de las
poblaciones, o si éstas son desconocidas, cuando se utilizan muestras
grandes.
3. Z-INT: 1 p.: Intervalo de confianza para una proporción, p, para muestras
grandes cuando la varianza de la población es desconocida.
4. Z-INT: p1− p2.: Intervalo de confianza para la diferencia de dos
proporciones, p1-p2, para muestras grandes cuando las varianzas de las
poblaciones son desconocidas.
5. T-INT: 1 μ.: Intervalo de confianza para la media de la población, μ, para
una muestra pequeña cuando la varianza de la población es desconocida.
6. T-INT: μ1−μ2.: Intervalo de confianza para la diferencia de las medias de
dos poblaciones, μ1- μ2, para muestras pequeñas cuando la varianza de
las poblaciones son desconocidas.
Ejemplo 1 – Determínese el intervalo de confianza para la media de una
población si una muestra de 60 elementos tiene un valor medio de ⎯x = 23.3,
y la desviación estándar es s = 5.2. Utilícese un valor de α = 0.05. El nivel
de confianza es C = 1-α = 0.95.
Selecciónese la opción 1 del menú mostrado anteriormente al presionar la
tecla @@@OK@@@. Escriba los datos conocidos en la forma interactiva titulada CONF.
INT.: 1 μ, KNOWN s, como se muestra en la siguiente figura:

Presiónese la tecla @HELP para mostrar una pantalla que explica el significado
del intervalo de confianza en términos de números aleatorios generados por la
calculadora. Para ver el resto de la pantalla explicativa, utilícese la tecla

Página 18-31

direccional vertical ˜. Presiónese @@@OK@@@ para abandonar la pantalla
explicativa y regresar a la forma interactiva mostrada anteriormente.
Para calcular el intervalo de confianza, presiónese @@@OK@@@.
mostrados en la pantalla son los siguientes:

Los resultados

Presiónese la tecla @GRAPH para ver una gráfica mostrando el intervalo de
confianza calculado:

La gráfica muestra la fdp (función de densidad de probabilidades) de la
distribución normal estandarizada, la ubicación de los puntos críticos ±zα/2, la
media (23.3) y los límites del intervalo correspondiente (21.98424 y
24.61576).
Presiónese la tecla @TEXT para regresar a la pantalla de
resultados, y/o presiónese @@@OK@@@ para abandona la función de intervalos de
confianza. Los resultados de estos cálculos se mostrarán en la pantalla de la
calculadora.
Ejemplo 2 -- Los datos tomados de dos muestras (las muestras 1 y 2) indican
que ⎯x1 = 57.8 and ⎯x2 = 60.0. Los tamaños de muestra son n1 = 45 y n2 =
75. Si se sabe que son las desviaciones estándares de las poblaciones son σ1

Página 18-32

= 3.2, y σ2 = 4.5, determine el intervalo de confianza 90% para la diferencia
de las medias de la población, es decir, μ1- μ 2.
Presione ‚Ù—@@@OK@@@ para tener acceso al cálculo de intervalo de
confianza en la calculadora. Presione ˜@@@OK@@@ para seleccionar la opción 2.
Z-INT: μ 1 – μ2.. Escriba los valores siguientes:

Cuando termine, presione @@@OK@@@.
muestran a continuación:

Los resultados, como texto y gráfico, se

La variable Δμ representa μ 1 – μ2.
Ejemplo 3 – Una encuesta de opinión pública indica que en una muestra de
150 personas 60 favorecen el aumento de impuestos para financiar proyectos
públicos . Determine el intervalo de confianza 99% para la proporción de la
población que favorecería el aumento de impuestos.
Presione ‚Ù—@@@OK@@@ para tener acceso a la característica del intervalo
de la confianza en la calculadora. Presione ˜˜ @@@OK@@@ para seleccionar la
opción 3. Z-INT: μ 1 – μ2.. Escriba los valores siguientes:

Página 18-33

Al terminar, presione @@@OK@@@. Los resultados, como texto y gráfico, se muestran a
continuación:

Ejemplo 4 -- Determine el intervalo de confianza 90% para la diferencia entre
dos proporciones si la muestra 1 muestra 20 éxitos en 120 ensayos, y la
muestra 2 muestra 15 éxitos en 100 ensayos
Presione ‚Ù—@@@OK@@@ para tener acceso al cálculo de intervalo de
confianza en la calculadora. Presione ˜˜˜@@@OK@@@ para seleccionar la
opción 4. Z-INT: p1 – p2.. Escriba los valores siguientes:

Al terminar, presione @@@OK@@@. Los resultados, como texto y gráfico, se muestran a
continuación:

Página 18-34

Ejemplo 5 – Determine el intervalo de la confianza 95% para la media de la
población si una muestra de 50 elementos tiene una media de 15.5 y una
desviación estándar de 5. La desviación estándar de la población es
desconocida.
Presione ‚Ù—@@@OK@@@ para tener acceso al cálculo del intervalo de
confianza en la calculadora. Presione — — @@@OK@@@ para seleccionar la
opción 5. T-INT: μ. Escriba los valores siguientes:

Al terminar, presione @@@OK@@@. Los resultados, como texto y gráfico, se muestran a
continuación:

Página 18-35

La figura muestra la pdf de Student t pdf para ν = 50 – 1 = 49 grados de
libertad.
Ejemplo 6 -- Determine el intervalo de la confianza 99% para la diferencia en
medias de dos poblaciones dadas los datos de la muestra:⎯x1 = 157.8 ,⎯x2 =
160.0, n1 = 50, n2 = 55. Las desviaciones de estándar de las muestras son s1
= 13.2, s 2 = 24.5.
Presione ‚Ù—@@@OK@@@ para tener acceso al cálculo del intervalo de
confianza en la calculadora. Presione —@@@OK@@@ para seleccionar la opción
6. T-INT: μ1−μ2.. Escriba los valores siguientes:

Al terminar, presione @@@OK@@@. Los resultados, como texto y gráfico, se muestran a
continuación:

Estos resultados asumen que los valores s1 y s2 son las desviaciones estándares
de las poblaciones. Si estos valores representan realmente las desviaciones
estándares de las muestras, usted debe incorporar los mismos valores que
antes, pero con de la opción _pooled seleccionada. Los resultados ahora se
convierten en:

Página 18-36

Intervalos de confianza para la varianza

Para desarrollar un fórmula para el intervalo de confianza para la varianza,
primero introducimos la distribución del muestreo de la variación: Considerar
una muestra aleatoria X1, X2 ..., Xn de variables normales independientes con
media μ, varianza σ2, y media de la muestra ⎯X. La estadística
n
1
Sˆ 2 =
⋅ ∑ ( X i − X )2 ,
n − 1 i =1

es un estimador imparcial de la varianza σ2.
La cantidad

(n − 1) ⋅

Sˆ 2

σ2

n

= ∑ ( X i − X ) 2 , tiene una distribución χn-12 (chii =1

cuadrada) con ν = n-1 grados de libertad. El intervalo de confianza bilateral
(1-α)⋅100 % se calcula a partir de
Pr[χ2n-1,1-α/2 < (n-1)⋅S2/σ2 < χ2n-1,α/2] = 1- α.
El intervalo de la confianza para la varianza de la población σ2 es, por lo
tanto,
[(n-1)⋅S2/ χ2n-1,α/2 ; (n-1)⋅S2/ χ2n-1,1-α/2].
en el cual χ2n-1,α/2 , y χ2n-1,1-α/2 son los valores de una variable χ2 , con ν =
n-1 grados de libertad, excedidos con probabilidades α/2 y 1- α/2,
respectivamente.
El límite de confianza superior unilateral para σ2 se define como

Página 18-37

(n-1)⋅S2/ χ2n-1,1-α.
Ejemplo 1 – Determine el intervalo de confianza 95% para la varianza de la
población σ2 basado en una muestra del tamaño n = 25 la cual muestra una
varianza s2 = 12.5.
En el capítulo 17 utilizamos una solución numérica para resolver la ecuación α
= UTPC(γ,x). En este programa, γ representa los grados de libertad (n-1), y α
representa la probabilidad de exceder cierto valor de x (χ2), es decir,
Pr[χ2 > χα2] = α.
Por el ejemplo actual, α=0.05, γ=24 y α = 0.025. Resolviendo la ecuación
presentada anteriormente,χ2n-1,α/2=χ224,0.025= 39.3640770266.
Por otra parte, el valor χ2n-1,α/2 = χ224,0.975 es calculado usando los valores γ
= 24 y α = 0.975. El resultado es χ2n-1,1-α/2 = χ224,0.975 = 12.4011502175.
Los límites inferior y superior del intervalo serán (use modo ALG):
(n-1)⋅S2/ χ2n-1,α/2 = (25-1)⋅12.5/39.3640770266 = 7.62116179676
(n-1)⋅S2/ χ2n-1,1-α/2 = (25-1)⋅12.5/12.4011502175 = 24.1913044144
Así, el intervalo de la confianza del 95% para este ejemplo es:
7.62116179676 < σ2 < 24.1913044144.

Página 18-38

Prueba de hipótesis

Una hipótesis es un declaración hecho sobre una población (por ejemplo, con
respecto a la media). La aceptación de la hipótesis se basa en una prueba
estadística en una muestra tomada de la población. Se llaman la acción y la
toma de decisión consiguientes prueba de la hipótesis
El proceso de la prueba de la hipótesis consiste en tomar una muestra aleatoria
de la población y la enunciación de una hipótesis estadística sobre la
población. Si las observaciones no apoyan el modelo o la teoría postulada, se
rechaza la hipótesis. Sin embargo, si las observaciones están de acuerdo con
la hipótesis, ésta no se rechaza, pero no se acepta necesariamente. Se asocia
a la decisión un nivel de significado α.

Procedimiento para probar hipótesis

El procedimiento para la prueba de la hipótesis implica los seis pasos
siguientes:
1. Declarar una hipótesis nula, H0. Ésta es la hipótesis que se probará. Por
ejemplo, H0: μ1-μ2 = 0, i.e., presumimos que la media de la población 1 y
la media de la población 2 son iguales. Si H0 es verdadera, cualquier
diferencia observada en las medias se atribuye a los errores en el muestreo
aleatorio.
2. Declarar una hipótesis alterna, H1. Por el ejemplo bajo consideración,
podría ser H1: μ1-μ2 ≠ 0 [Nota: esto es lo que realmente deseamos
probar.]
3. Determinar o especificar una estadística de la prueba, T. En el ejemplo
bajo consideración, T será basado en la diferencia las medias observadas,
⎯X1-⎯X2.
4. Utilizar la distribución conocida (o asumida) de la estadística de la prueba,
T.
5. Definir una región de rechazo (la región crítica, R) para la estadística de la
prueba basada en un nivel de significado pre-asignado α.
6. Utilizar datos observados para determinar si el valor de la estadística de la
prueba está o no fuera de la región crítica. Si la estadística de la prueba

Página 18-39

está dentro de la región crítica, entonces decimos que la cantidad que
estamos probando es significativa al nivel 100α.
Notas:
1. Por el ejemplo bajo consideración, la hipótesis alterna H1: μ1-μ2 ≠ 0
produce qué se llama una prueba bilateral. Si es la hipótesis alterna es
H1: μ1-μ2 > 0 o H1: μ1-μ2 < 0, entonces tenemos una prueba unilateral.
2. La probabilidad de rechazar la hipótesis nula es igual al nivel de
significado, es decir, Pr[T∈R|H0]=α. La notación Pr[A|B] representa la
probabilidad condicional del evento A dado que ocurre el evento B.

Errores en la prueba de hipótesis

En la prueba de hipótesis utilizamos los términos errores del tipo I y del tipo II
para definir los casos en los cuales se rechaza una hipótesis verdadera o se
acepta (no se rechaza) una hipótesis falsa, respectivamente. Sea T = valor de
la estadística de la prueba, R = región de rechazo, A = región de aceptación,
por lo tanto, R∩A = ∅, y R∪A = Ω, donde Ω = el espacio del parámetro T, y
∅ = el conjunto vacío. Las probabilidades de cometer un error del tipo I o del
tipo II son las siguientes:
• Rechazar una hipótesis verdadera, Pr[error tipo I] = Pr[T∈R|H0] = α
•

No rechazar una hipótesis falsa, Pr[error tipo II] = Pr[T∈A|H1] = β

Ahora, consideremos los casos en los cuales tomamos la decisión correcta:
No rechazo hipótesis verdadera, Pr[No(error tipo I)] = Pr[T∈A|H0] = 1 - α
Rechazo hipótesis falsa,

Pr[No(error tipo II)] = Pr [T∈R|H1] = 1 - β

El complemento de β se conoce como la potencia de la prueba de la hipótesis
nula H0 vs. la hipótesis alterna H1. La potencia de una prueba se utiliza, por
ejemplo, para determinar un tamaño de muestra mínimo para restringir errores

Página 18-40

Seleccionando los valores de α y β
Un valor típico del nivel de la significado (o de la probabilidad del error tipo I)
es α = 0.05, (es decir, rechazo incorrecto una vez en cada 20 veces en
promedio). Si las consecuencias de un error de tipo I son más serias, escójase
un valor más pequeño de α, digamos 0.01 ó 0.001.
El valor de β, es decir, la probabilidad de hacer un error del tipo II, depende
de α, el tamaño de muestra n, y en el valor verdadero del parámetro probado.
Así, el valor de β se determina después de que se realice la prueba de la
hipótesis. Se acostumbra producir los gráficos de β, o la potencia de la prueba
(1- β), en función del valor verdadero del parámetro probado. Estos gráficos se
llaman las curvas características operativas o accionan curvas de la función,
respectivamente.

Inferencias referentes a una media
Hipótesis bilateral
El problema consiste en la prueba de la hipótesis nula Ho: μ = μo, contra la
hipótesis alternativa, H1: μ≠ μο a un nivel de la confianza de (1-α)100%, o a
un nivel de significado α, usando una muestra de tamaño n con una media ⎯x
y una desviación estándar s. Esta prueba se refiere como prueba bilateral (o de
dos colas). El procedimiento para la prueba es como sigue:
Primero, calculamos la estadística apropiada para la prueba (to ó zo) como
sigue:
•

Si n < 30 y la desviación de estándar de la población, σ, se conoce, utilice
la estadística z:

•

zo =

x − μo

σ/ n

Si n > 30, y σ es conocida, use zo definido anteriormente. Si σ no se
conoce, substituya s en lugar de σ in zo, es decir, use

zo =

x − μo
s/ n

Página 18-41

•

Si n < 30, y σ es desconocida, use la estadística t dada por

to =

x − μo
,
s/ n

con ν = n - 1 grados de libertad.
Entonces, calcule el valor P (una probabilidad) asociada a zο ó tο, y compárelo
con α para decidir si rechazar o no la hipótesis nula. El valor P para una
prueba bilateral se define ya sea como
Valor P = P(|z|>|zo|), ó, Valor P = P(|t|>|to|).
Los criterios a utilizar para la prueba de la hipótesis son:
•
•

Rechazar Ho si Valor P < α
No rechazar Ho si Valor P > α.

El Valor P para una prueba bilateral puede calculares usando las funciones de
la probabilidad en la calculadora como sigue:
•

Si se usa z,

Valor P = 2⋅UTPN(0,1,|zo|)

•

Si se usa t,

Valor P = 2⋅UTPT(ν,|to|)

Ejemplo 1 -- Probar la hipótesis nula Ho: μ = 22.5 ( = μo), contra la hipótesis
alternativa, H1: μ ≠22.5, a un nivel de confianza de 95% es decir, α = 0.05,
usando una muestra del tamaño n = 25 con una media ⎯x = 22.0 y una
desviación de estándar s = 3.5. Asumimos que no sabemos el valor de la
desviación de estándar de la población, por lo tanto, calculamos una
estadística de t como sigue:

to =

x − μ o 22.0 − 22.5
=
= −0.7142
s/ n
3.5 / 25

El correspondiente Valor P, para n = 25 - 1 = 24 grados de libertad es
Valor P = 2⋅UTPT(24,-0.7142) = 2⋅0.7590 = 1.518,

Página 18-42

dado que 1.518 > 0.05, es decir, Valor P > α, no podemos rechazar la
hipótesis nula Ho: μ = 22.0.
Hipótesis unilateral
El problema consiste en la prueba de la hipótesis nula Ho: μ = μo, contra la
hipótesis alternativa, H1: μ > μο ó H1: μ < μο a un nivel de confianza de (1α)100%, o a un nivel de significado α, usando una muestra de tamaño n con
una media ⎯x y una desviación estándar s. Esta prueba se refiere como prueba
unilateral (o de una cola). El procedimiento para realizar una prueba unilateral
comienza como en la prueba bilateral calculando la estadística apropiada
para la prueba (to o zo) como se indicó anteriormente.
A continuació, se usa el Valor P asociado con zο ó tο , y se compara con α
para decidir si o no rechazar la hipótesis nula. El Valor P para una prueba
bilateral se define como
Valor P = P(z > |zo|), ó, Valor P = P(t > |to|).
Los criterios a utilizar para la prueba de la hipótesis son:
•
•

Rechazar Ho si Valor P < α
No rechaza Ho si Valor P > α.

Notar que los criterios están exactamente iguales que en la prueba bilateral. La
diferencia principal es la manera como el Valor P se calcula. El Valor P para
una prueba unilateral puede ser calculado usando las funciones de la
probabilidad en la calculadora como sigue:
•

Si se usa z, Valor P = UTPN(0,1,zo)

•

Si se usa t, Valor P = UTPT(ν,to)

Ejemplo 2 -- Probar la hipótesis nula Ho: μ = 22.0 ( = μo), contra la hipótesis
alternativa, H1: μ >22.5 en un nivel de confianza de 95% es decir, α = 0.05,
usando una muestra de tamaño n = 25 con una media ⎯x = 22.0 y una
desviación estándar s = 3.5. Una vez más, asumimos que no sabemos el valor

Página 18-43

de la desviación estándar de la población, por lo tanto, el valor de la
estadística t es al caso de la prueba bilateral demostrado anteriormente, es
decir, to = -0.7142, y el Valor P, para ν = 25 - 1 = 24 grados de libertad es
Valor P = UTPT(24, |-0.7142|) = UTPT(24,0.7142) = 0.2409,
Dado que 0.2409 > 0.05, es decir, Valor P > α, no podemos rechazar la
hipótesis nula Ho: μ = 22.0.

Inferencias referentes a dos medias

La hipótesis nula que se probará es Ho: μ1-μ2 = δ, a un nivel de confianza (1α)100%, o nivel de significado α, usar dos muestras de tamaños, n1 y n2,
medias ⎯x1 y ⎯x2, y desviaciones estándares s1 y s2. Si las desviaciones
estándares de las poblaciones que corresponden a las muestras, σ1 y σ 2, se
conocen, o si n1 > 30 y n2 > 30 (muestras grandes), la estadística de la
prueba que se utilizará es

zo =

( x1 − x2 ) − δ

σ 12
n1

+

σ 22
n2

Si n1 < 30 o n2 < 30 (por lo menos una muestra pequeña), utilizar la
estadística siguiente de la prueba:

t=

( x1 − x2 ) − δ
(n1 − 1) s12 + (n2 − 1) s 22

n1n2 (n1 + n2 − 2)
n1 + n2

Hipótesis bilateral
Si la hipótesis alternativa es una hipótesis bilateral, es decir, H1: μ1-μ2 ≠ δ, el
Valor P para esta prueba se calcula como
•

Si se usa z,

Valor P = 2⋅UTPN(0,1, |zo|)

Página 18-44

•

Si se usa t,

Valor P = 2⋅UTPT(ν,|to|)

con los grados de libertad para la distribución t dados por ν = n1 + n2 - 2. Los
criterios de la prueba son
•

Rechazar Ho si Valor P < α

•

No rechazar Ho si Valor P > α.

Hipótesis unilateral
Si la hipótesis alternativa es una hipótesis con dos aspectos, es decir, H1: μ1-μ2
< δ, o, H1: μ1-μ2 < δ, el Valor P para esta prueba se calcula como:
•

Si se usa z,

Valor P = UTPN(0,1, |zo|)

•

Si se usa t,

Valor P = UTPT(ν,|to|)

Los criterios a utilizar para la prueba de la hipótesis son:
•
•

Rechazar Ho si Valor P < α
No rechazar Ho si Valor P > α.

Pruebas apareadas de la muestra
Cuando tratamos con dos muestras del tamaño n con datos apareados, en vez
de probar la hipótesis nula, Ho: μ1-μ2 = δ, usando los valores medios y las
desviaciones de estándar de las dos muestras, necesitamos tratar el problema
como sola muestra de las diferencias de los valores apareados. Es decir
generar una nueva variable aleatoria X = X1-X2, y probar Ho: μ = δ, en la cual
μ representa el medio de la población para X. Por lo tanto, usted necesitará
obtener ⎯x y s para la muestra de valores de x. La prueba debe entonces
proceder como una prueba de una sola muestra usando los métodos descritos
anteriormente.

Página 18-45

Inferencias referentes a una proporción
Suponer que deseamos probar la hipótesis nula, H0: p = p0, en la cual p
representa la probabilidad de obtener un resultado acertado en cualquier
repetición dada de un ensayo de Bernoulli. Para probar la hipótesis,
realizamos las n repeticiones del experimento, y encontramos que existen k
resultados acertados. Por lo tanto, un estimado de p es p ' = k/n.
La varianza de la muestra se estima como sp2 = p’(1-p’)/n = k⋅(n-k)/n3.
Asuma que la variable Z, Z = (p-p0)/sp, sigue la distribución normal estándar,
es decir, Z ~ N(0,1). El valor particular de la estadística de la prueba es z0 =
(p’-p0)/sp.
En vez de usar el Valor P como un criterio para aceptar o para no aceptar la
hipótesis, utilizaremos la comparación entre el valor crítico de z0 y el valor de
z correspondiente a α ó a α/2.
Prueba bilateral
Si se usa una prueba bilateral encontraremos el valor de z α/2, a partir de
Pr[Z> zα/2] = 1-Φ(zα/2) = α/2, o Φ(z α/2) = 1- α/2,
En la cual Φ(z) es la función de distribución cumulativa (CDF) de la distribución
normal estándar (véase el Capítulo 17).
Rechazar la hipótesis nula, H0, si z0 >zα/2, o si z0 < - zα/2.
Es decir la región de rechazo es R = { |z0| > zα/2 }, mientras que es la región
de aceptación es A = {|z0| < zα/2 }.
Prueba unilateral
Si usan una prueba unilateral encontraremos el valor de zα , a partir de
Pr[Z> zα] = 1-Φ(zα) = α, o Φ(z α) = 1- α,

Página 18-46

Rechazar la hipótesis nula, H0, si z0 >zα, y H1: p>p0, o si z0 < - zα, y H1:
p zα/2] = 1-Φ(zα/2) = α/2, o Φ(z α/2) = 1- α/2,
en la cual Φ(z) es la función de distribución cumulativa (CDF) de la distribución
normal estándar.
Rechazar la hipótesis nula, H0, si z0 >zα/2, o si z0 < - zα/2.

Página 18-47

Es decir, la región de rechazo es R = { |z0| > zα/2 }, mientras que es la región
de aceptación es A = {|z0| < zα/2 }.
Prueba unilateral
Si usan una prueba uno-atada encontraremos el valor de za, a partir de
Pr[Z> zα] = 1-Φ(zα) = α, o Φ(z α) = 1- α,
Rechazar la hipótesis nula, H0, si z0 >zα, y H1: p1-p2 > p0, o si z0 < - zα, y H1:
p1-p2  μ0. La desviación
de estándar de la población, σ, no se conoce.
Presione ‚Ù—— @@@OK@@@ para acceder a la función de prueba de
hipótesis en la calculadora.
Presione ——@@@OK@@@ para seleccionar la
opción 5. T-Test: 1 μ.:
Escriba los datos siguientes y presione @@@OK@@@:

Página 18-50

Seleccionar la hipótesis alternativa, H1: μ > 150, y presione @@@OK@@@.
resultado es:

El

Rechazamos la hipótesis nula, H0: μ0 = 150, contra la hipótesis alternativa,
H1: μ > 150. El valor de la prueba t es t0 = 5.656854, con un Valor P =
0.000000393525. El valor crítico de t es tα = 1.676551, correspondiente a
un valor crítico de ⎯x = 152.371.
Presione @GRAPH para ver los resultados gráficamente como sigue:

Página 18-51

Ejemplo 3 – Datos dos muestras producen los resultados siguientes ⎯x1 = 158,
⎯x1 = 160, s1 = 10, s2 = 4.5, n1 = 50, y n2 = 55. Para α = 0.05, y
varianza “mixta”, probar la hipótesis H0: μ1−μ2 = 0, contra la hipótesis
alternativa, H1: μ1−μ2 < 0.
Presione ‚Ù—— @@@OK@@@ para tener acceso a la función de prueba de
hipótesis en la calculadora. Presione —@@@OK@@@ para seleccionar la opción 6.
T-Test: μ1−μ2.: Escribir los datos siguientes y presione @@@OK@@@:

Seleccionar la hipótesis alternativa μ1< μ2, y presione @@@OK@@@. El resultado es

Así, aceptamos (o, más exactamente, no rechazamos) la hipótesis: H0: μ1−μ2
= 0, o H0: μ1=μ2, contra la hipótesis alternativa H1: μ1−μ2 < 0, o H1: μ1=μ2. El
valor de la prueba t es t0 = -1.341776, con Valor P = 0.09130961, y t crítico
es –tα = -1.659782. Los resultados gráficos son:

Página 18-52

Estos tres ejemplos deben ser bastantes para entender la operación de la
hipótesis que prueba la característica preprogramada en la calculadora.

Inferencias referentes a una varianza

La hipótesis nula que se probará es, Ho: σ2 = σo2, en un nivel de confianza (1α)100%, o nivel de significado α, usar una muestra del tamaño n, y varianza
s2. La estadística de la prueba que se utilizará es una estadística chi-cuadrada
definida como

χ o2 =

(n − 1) s 2

σ 02

Dependiendo de la hipótesis alternativa elegida, Valor P se calcula como
sigue:
•

H1: σ2 < σo2,

Valor P = P(χ2<χo2) = 1-UTPC(ν,χo2)

•

H1: σ2 > σo2,

Valor P = P(χ2>χo2) = UTPC(ν,χo2)

•

H1: σ2 ≠ σo2,

Valor P =2⋅min[P(χ2<χo2), P(χ2>χo2)] =
2⋅min[1-UTPC(ν,χo2), UTPC(ν,χo2)]

donde la función min[x,y] produce el valor mínimo de x o de y (de manera
similar, max[x,y] produce el valor máximo de x o de y). UTPC(ν,x) representa
las probabilidades de cola superior de la calculadora para ν = n - 1 grados de
libertad.

Página 18-53

Los criterios de la prueba están iguales que en la prueba de la hipótesis de
medios, a saber,
• Rechazar Ho si Valor P < α
•

No rechazar Ho si Valor P > α.

Notar por favor que este procedimiento es válido solamente si la población de
quien la muestra fue tomada es una población normal.
Ejemplo 1 -- Considerar el caso en el cual σo2 = 25, α=0.05, n = 25, y s2 =
20, y la muestra fue extraída de una población normal. Para probar la
hipótesis, Ho: σ2 = σo2, contra H1: σ2 < σo2, calculamos
2
o

χ =

(n − 1) s 2

σ

2
0

=

(25 − 1) ⋅ 20
= 19.2
25

Con ν = n - 1 = 25 - 1 = 24 los grados de libertad, calculamos el Valor P como,
Valor P = P(χ2<19.2) = 1-UTPC(24,19.2) = 0.2587…
Dado que, 0.2587… > 0.05, es decir, Valor P > α, no podemos rechazar la
hipótesis nula, Ho: σ2 =25(= σo2).

Inferencias referentes a dos varianzas

La hipótesis nula que se probará es, Ho: σ12 = σ22, en un nivel de confianza (1α)100%, o nivel de significado α, usar dos muestras de tamaños, n1 y n2, y
varianzas s12 y s22. La estadística de la prueba que se utilizará es una
estadística de la prueba de F definida como

Fo =

s N2
sD2

en la cual sN2 y sD2 representan el numerador y el denominador de la
estadística F, respectivamente. La selección del numerador y del denominador
depende de la hipótesis alternativa que se prueba, como se muestra en la tabla

Página 18-54

siguiente. La distribución correspondiente de F tiene grados de libertad, νN =
nN -1, y νD = nD-1, en los cuales nN y nD, son los tamaños de muestra que
corresponden a las varianzas sN2 y sD2, respectivamente.
La tabla siguiente muestra cómo seleccionar el numerador y el denominador
para Fo dependiendo de la hipótesis alternativa elegida:
Hipótesis alternativa

Estadística de
la prueba

Grados de libertad

H1: σ12 < σ22 (unilateral)

Fo = s22/s12

νN = n2-1, νD = n1-1

H1: σ12 > σ22 (unilateral)

Fo = s12/s22

νN = n1-1, νD = n2-1

H1: σ12 ≠σ22 (bilateral)

Fo = sM2/sm2

νN = nM-1,νD = nm-1

sM2=max(s12,s22), sm2=min(s12,s22)
(*) nM es el valor de n correspondiente a sM, y nm es el valor de n
correspondiente a sm.

El Valor P se calcula, en todos los casos, como: Valor P = P(F>Fo) = UTPF(νN,
νD,Fo)
Los criterios de la prueba son:
• Rechazar Ho si Valor P < α
•

No rechazar Ho si Valor P > α.

Ejemplo1 -- Considerar dos muestras extraídas de poblaciones normales tales
que n1 = 21, n2 = 31, s12 = 0.36, y s22 = 0.25. Probamos la hipótesis nula,
Ho: σ12 = σ22, a un nivel de significado α = 0.05, contra la hipótesis
alternativa, H1: σ12 ≠ σ22. Para una hipótesis bilateral, necesitamos identificar
sM y sm, de esta manera:
sM2=max(s12,s22) = max(0.36,0.25) = 0.36 = s12
sm2=min(s12,s22) = min(0.36,0.25) = 0.25 = s22

Página 18-55

Así mismo,
nM = n1 = 21,
nm = n2 = 31,
νN = nM - 1= 21-1=20,
νD = nm -1 = 31-1 =30.
Por lo tanto, la estadística F es Fo = sM2/sm2=0.36/0.25=1.44
Valor P = P(F>Fo) = P(F>1.44) = UTPF(νN, νD,Fo) =
UTPF(20,30,1.44) = 0.1788…
El Valor P es

Dado que 0.1788… > 0.05, es decir, Valor P > α, por lo tanto, no podemos
rechazar la hipótesis nula Ho: σ12 = σ22.

Notas adicionales sobre la regresión linear
En esta sección elaboramos las ideas de la regresión linear presentadas
anteriormente en este capítulo y presentamos un procedimiento para la prueba
de la hipótesis de los parámetros de la regresión.

El método de los mínimos cuadrados

Sean x = variable no aleatoria independiente, y Y = variable dependiente,
aleatoria. La curva de la regresión de Y en x se define como la relación entre x
y la media de la distribución correspondiente de las Y's. Asuma que la curva
de la regresión de Y en x es linear, es decir, la distribución mala de las y se
escribe como Α + Βx. Y se diferencia de la media (Α + Β⋅x) por un valor ε,
por lo tanto podemos escribir Y = Α + Β⋅x + ε, en la cual ε es una variable
aleatoria.
Para comprobar visualmente si los datos sigan una tendencia linear, dibujar un
diagrama de los datos.
Suponer que tenemos n observaciones apareadas (xi, yi); predecimos y por
medio de ∧y = a + b⋅x, en la cual a y b ser constantes.

Página 18-56

Definir el error de la predicción como ei = yi - ∧yi = yi - (a + b⋅xi).
El método de los mínimos cuadrados requiere seleccionar a, b para reducir al
mínimo la suma de los errores ajustados (SSE)
n

n

i =1

i =1

SSE = ∑ ei2 =∑ [ y i − (a + bxi )]2
A través de las condiciones

∂
( SSE ) = 0
∂a

∂
( SSE ) = 0
∂b

Conseguimos, las llamadas ecuaciones normales:
n

∑y
i =1

n

∑x
i =1

i

n

i

= a ⋅ n + b ⋅ ∑ xi
i =1

n

n

i =1

i =1

⋅ y i = a ⋅ ∑ xi + b ⋅ ∑ xi2

Éste es un sistema de ecuaciones lineares con a y b como las incógnitas, que
se pueden solucionar usando las soluciones de ecuaciones lineales de la
calculadora. No hay, sin embargo, necesidad de utilizar estos cálculos porque
usted puede utilizar la opción 3. Fit Data … en el menú STAT (‚Ù)
presentado anteriormente.
Nota:
• a,b son los estimados imparciales de A, B.
• El teorema de Gauss-Markov de la probabilidad indica que entre todos
los estimados imparciales para A y B, los estimados de mínimos
cuadrados (a,b) son los más eficientes.

Página 18-57

Ecuaciones adicionales para la regresión linear

La estadísticas Σx, Σx2, etc., puede ser utilizadas para definir las cantidades
siguientes:
n
n
1⎛ n ⎞
2
S xx = ∑ ( xi − x ) 2 = (n − 1) ⋅ s x2 = ∑ xi − ⎜ ∑ xi ⎟
n ⎝ i =1 ⎠
i =1
i =1

1⎛ n ⎞
S y = ∑ ( yi − y ) = (n − 1) ⋅ s = ∑ yi − ⎜ ∑ y i ⎟
n ⎝ i =1 ⎠
i =1
i =1
n

2

n

2
y

2

2

n
n
1 ⎛ n ⎞⎛ n
⎞
S xy = ∑ ( xi − x )( y i − y ) 2 = (n − 1) ⋅ s xy = ∑ xi y i − ⎜ ∑ xi ⎟⎜ ∑ y i ⎟
n ⎝ i =1 ⎠⎝ i =1 ⎠
i =1
i =1

De las cuales se obtiene que las desviaciones estándares de x y de y, y la
covarianza de x,y se obtienen, respectivamente, como

sx =

S xx
, sy =
n −1

S yy
n −1

El coeficiente de correlación de la muestra es

,y

sxy =

S yx
n −1

S xy

rxy =

S xx ⋅ S yy

.

En términos de ⎯x, ⎯y, Sxx, Syy, y Sxy, la solución a las ecuaciones normales es:

a = y − bx ,

b=

S xy
S xx

=

s xy
s x2

Error de la predicción

La curva de la regresión de Y en x se define como Y = Α + Β⋅x + ε. Si tenemos
un conjunto de n datos (xi, yi), podemos escribir Yi = Α + Β⋅xi + εI, (i =
1,2,…,n), en la cual Yi = variables aleatorias, independientes, normalmente
distribuidas con media (Α + Β⋅xi) y varianza común σ2; εi = variables

Página 18-58

independientes aleatorias normalmente distribuidas con media cero y varianza
común σ2.
Sea yi = valor real de los datos, ^yi = a + b⋅xi = predicción de mínimos
cuadrados de los datos. Entonces, el error de la predicción es: ei = yi - ^yi = yi
- (a + b⋅xi).
Un estimado de σ2 es el llamado error estándar del estimado,

S yy − (S xy ) 2 / S xx n − 1 2
1 n
2
s =
⋅ s y ⋅ (1 − rxy2 )
=
∑[ yi − (a + bxi )] =
n − 2 i =1
n−2
n−2
2
e

Intervalos de confianza y prueba de hipótesis en regresión linear
He aquí algunos conceptos y ecuaciones relacionados con la inferencia
estadística para la regresión linear:
•

Límites de confianza para los coeficientes de la regresión:
Para la pendiente (Β):
b − (t n-2,α/2)⋅se/√Sxx < Β < b + (t n-2,α/2)⋅se/√Sxx,
Para el intercepto (Α):
a − (t n-2,α/2)⋅se⋅[(1/n)+⎯x2/Sxx]1/2 < Α <
a + (t n-2,α/2)⋅se⋅[(1/n)+⎯x2/Sxx]1/2,
en la cual t sigue la distribución de Student t con ν = n – 2 grados de
libertad, y n representa el número de puntos en la muestra.

•

Prueba de hipótesis de la pendiente, Β:
Hipótesis nula, H0: Β = Β0, probada contra la hipótesis alternativa, H1: Β
≠ Β0. La estadística de la prueba es t0 = (b -Β0)/(se/√Sxx), en la cual t
sigue la distribución Student t con ν = n – 2 grados de libertad, y n
representa el número de puntos en la muestra. La prueba se realiza como
la de una hipótesis del valor medio que prueba, es decir, dado el nivel de
significado, α, determine el valor crítico de t, tα/2, entonces, rechace H0 si
t0 > tα/2 o si t0 < - tα/2.

Página 18-59

Si usted prueba para el valor Β0= 0, y resulta que la prueba sugiere que
usted no rechace la hipótesis nula, H0: Β = 0, entonces, la validez de una
regresión linear está en duda. Es decir los datos de la muestra no apoyan
la aserción de que Β ≠ 0. Por lo tanto, ésta es una prueba de la
significación del modelo de la regresión.
•

Prueba de hipótesis del intercepto, Α:
Hipótesis nula, H0: Α = Α0, probada contra la hipótesis alternativa, H1: Α
≠ Α0. La estadística de la prueba es t0 = (a-Α0)/[(1/n)+⎯x2/Sxx]1/2, en la
cual t sigue la distribución Student t con ν = n – 2 grados de libertad, y n
representa el número de puntos en la muestra. La prueba se realiza como
la de una prueba de la hipótesis del valor medio, es decir, dado el nivel de
significado, α, determine el valor crítico de t, tα/2, entonces, rechazar H0 si
t0 > tα/2 o si t0 < - tα/2.

•

Intervalo de confianza del valor medio de Y para x = x0, es decir, α+βx0:
a+b⋅x−(t n-2,α/2)⋅se⋅[(1/n)+(x0 -⎯x)2/Sxx]1/2 < α+βx0 <
a+b⋅x+(t n-2, α /2)⋅se⋅[(1/n)+(x0 -⎯x)2/Sxx]1/2.

•

límites de la predicción: intervalo de la confianza para el valor predicho
Y0=Y(x0):
a+b⋅x−(t n-2,α/2)⋅se⋅[1+(1/n)+(x0 -⎯x)2/Sxx]1/2 < Y0 <
a+b⋅x+(t n-2, α /2)⋅se⋅[1+(1/n)+(x0 -⎯x)2/Sxx]1/2.

Procedimiento para la inferencia estadística en la regresión linear
usando la calculadora

1. Escriba (x,y) como columnas de datos en la matriz estadística ΣDAT.
2. Produzca una gráfica para las columnas apropiadas de ΣDAT, y use
rangos apropiados de H- y V-VIEWS para comprobar tendencia linear.
3. Use ‚Ù˜˜@@@OK@@@, para ajustar una línea recta, y obtener a, b,
sxy (Covarianza), y rxy (Correlación).

Página 18-60

4. Use ‚Ù˜@@@OK@@@, para obtener ⎯x, ⎯y, sx, sy. La columna 1
mostrará las estadísticas para x mientras que la columna 2 mostrará las
estadísticas para y .
5. Calcule
2
S xx = (n − 1) ⋅ s x2 , se =

n −1 2
⋅ s y ⋅ (1 − rxy2 )
n−2

6. Para intervalos de confianza o pruebas bilaterales, obtenga tα/2, con nivel
de confianza (1- α)100%, a partir de la distribución t con ν = n -2.
Para pruebas unilaterales o bilaterales, obtenga el valor de t usando la
ecuación apropiada para Α o Β. Rechazar la hipótesis nula si Valor P <
α.
8. Para los intervalos de confianza utilice las fórmulas apropiadas como se
indicaron anteriormente.
7.

Ejemplo 1 -- Para los siguientes datos (x,y), determine el intervalo de confianza
de 95% para la pendiente B y el intercepto A
x
y

2.0
5.5

2.5
7.2

3.0
9.4

3.5
10.0

4.0
12.2

Escriba los datos (x,y) en las columnas 1 y 2 de ΣDAT, respectivamente. Un
diagrama de los datos demuestra una buena tendencia linear:

Use la opción Fit Data.. en el menú ‚Ù para obtener:
3: '-.86 + 3.24*X'
2: Correlation: 0.989720229749
1: Covariance: 2.025

Página 18-61

Se interpretan estos resultados como a = -0.86, b = 3.24, rxy =
0.989720229749, y sxy = 2.025. El coeficiente de correlación es muy cercano
a 1.0 confirmando la tendencia linear observada en el gráfico.
A partir de la opción Single-var… del menú ‚Ù se calcula: ⎯x = 3, sx =
0.790569415042,⎯y = 8.86, sy = 2.58804945857.
Después, con n = 5, calcule

S xx = (n − 1) ⋅ s x2 = (5 − 1) ⋅ 0.790569415042 2 = 2.5
s e2 =

n −1 2
⋅ s y ⋅ (1 − rxy2 ) =
n−2

5 −1
⋅ 2.5880...2 ⋅ (1 − 0.9897...2 ) = 0.1826...
5−2
Intervalos de confianza para la pendiente (Β) e intercepto (A):
•

Primero, obtenemos t n-2,α/2 = t3,0.025 = 3.18244630528 (Ver en el
capítulo 17 un programa para obtener tν,a):

•

Después, calculamos los términos
(t n-2,α/2)⋅se/√Sxx = 3.182…⋅(0.1826…/2.5)1/2 = 0.8602…
(t n-2,α/2)⋅se⋅[(1/n)+⎯x2/Sxx]1/2 =
3.1824…⋅√0.1826…⋅[(1/5)+32/2.5] 1/2 = 2.65

•

Finalmente, para la pendiente B, el intervalo de confianza de 95% es
(-0.86-0.860242, -0.86+0.860242) = (-1.72, -0.00024217)

Página 18-62

Para el intercepto A, el intervalo de confianza de 95% es (3.24-2.6514,
3.24+2.6514) = (0.58855,5.8914).
Ejemplo 2 -- Suponga que los datos y usados en el ejemplo 1 representan el
alargamiento (en centésimo de una pulgada) de un alambre de metal cuando
están sujetados a una fuerza x (en decenas de libras). El fenómeno físico es tal
que esperamos que el intercepto, A, sea cero. Para comprobar si ése es el
caso, probamos la hipótesis nula, H0: Α = 0, contra la hipótesis alternativa, H1:
Α ≠ 0, con nivel de significado α = 0.05.
La estadística de la prueba es t0 = (a-0)/[(1/n)+⎯x2/Sxx]1/2 = (-0.86)/ [(1/
5)+32/2.5] ½ = -0.44117. El valor crítico de t, para ν = n – 2 = 3, y α/2 =
0.025, puede ser calculado usando la solución numérica para la ecuación α =
UTPT(γ,t) convertido en el capítulo 17. En este programa, γ representa los
grados de libertad (n-2), y α representa la probabilidad de exceder cierto valor
de t, es decir, Pr[ t>tα] = 1 – α. Por el actual ejemplo, el valor del nivel de la
significación es α = 0.05, γ = 3, y tn-2,α/2 = t3,0.025. También, para γ = 3 y α
= 0.025, tn-2,α/2 = t3,0.025 = 3.18244630528. Dado que t0 > - tn-2,α/2, no
podemos rechazar la hipótesis nula, H0: Α = 0, contra la hipótesis alternativa,
H1: Α ≠ 0, , al nivel de significado α = 0.05.
Este resultado sugiere eso que tomar A = 0 para esta regresión linear debe ser
aceptable. Después de todo, el valor que encontramos para a, es –0.86, el
cuál es relativamente cerca de cero.
Ejemplo 3 – Prueba de significado para la regresión linear. Probar la hipótesis
nula para la pendiente H0: Β = 0, contra la hipótesis alternativa, H1: Β ≠ 0, al
nivel de significado α = 0.05, para ajuste lineal del ejemplo 1.
La estadística de la prueba es t0 = (b -Β0)/(se/√Sxx) = (3.24-0)/
(√0.18266666667/2.5) = 18.95. El valor crítico de t, para ν = n – 2 = 3, y
α/2 = 0.025, fue obtenido en el ejemplo 2, como tn-2,α/2 = t3,0.025 =

Página 18-63

3.18244630528. Dado que t0 > tα/2, debemos rechazar la hipótesis nula H1:
Β ≠ 0, al nivel de significado α = 0.05, para el ajuste lineal del ejemplo 1.

Regresión linear múltiple
Considérese un conjunto de datos de la forma
x1

x2

x3

…

xn

y

x11
x12
x13
.
.

x21
x22
x32
.
.

x31
x32
x33
.
.

…
…
…

xn1
xn2
xn3
.
.

x1,m-1
x1,m

x 2,m-1
x 2,m

x 3,m-1
x 3,m

y1
y2
y3
.
.
ym-1
ym

.
…
…

x n,m-1
x n,m

Suponga que buscamos un ajuste de los datos de la forma y = b0 + b1⋅x1 +
b2⋅x2 + b3⋅x3 + … + bn⋅xn. Usted puede obtener la aproximación de mínimos
cuadrados de los coeficientes b = [b0 b1 b2 b3 … bn], al crear la matriz X:
1
1
1
.
.
1

x11
x12
x13
.
.
x1,m

x21
x22
x32
.
.
x 2,m

x31
x32
x33
.
.
x 3,m

…
…
…
.
…

xn1
xn2
xn3
.
.
x n,m

Entonces, el vector de coeficientes se obtiene como b = (XT⋅X) -1⋅XT⋅y, en la
cual y es el vector y = [y1 y2 … ym]T.
Por ejemplo, utilizar los datos siguientes para obtener la regresión linear
múltiple

Página 18-64

y = b0 + b1⋅x1 + b2⋅x2 + b3⋅x3,
x1
1.20

x2
3.10

x3
2.00

y
5.70

2.50

3.10

2.50

8.20

3.50

4.50

2.50

5.00

4.00

4.50

3.00

8.20

6.00

5.00

3.50

9.50

Con la calculadora, en modo de RPN, usted puede seguir de la forma
siguiente:
Primero, dentro de su directorio HOME, cree un sub-directorio que se llamará
MPFIT (Multiple linear and Polynomial data FITting), e active este sub-directorio.
Dentro del sub-directorio, escriba este programa:
«  X y « X TRAN X * INV X TRAN * y * » »
y almacénelo en una variable llamada MTREG (MulTiple REGression).
Después, escriba las matrices X y b en la pantalla:
[[1,1.2,3.1,2][1,2.5,3.1,2.5 ][1,3.5,4.5,2.5][1,4,4.5,3][1,6,5,3.5]]
`` (guardar una copia adicional)
[5.7,8.2,5.0,8.2,9.5] `
Presione
J@MTREG.
1.7850…,7.0941…], i.e.,

El

resultado

es:

[-2.1649…,–0.7144…,-

y = -2.1649–0.7144⋅x1 -1.7850×10 -2⋅x2 + 7.0941⋅x3 .
Usted debe tener en la pantalla de su calculadora el valor de la matriz X y el
vector b, los valores ajustados de y se obtienen al calcular y = X⋅b, por lo

Página 18-65

tanto, simplemente presione * para obtener: [5.63.., 8.25.., 5.03.., 8.22..,
9.45..].
Comparar estos valores ajustados con los datos originales según lo demostrado
en la tabla siguiente:
x1
1.20
2.50
3.50
4.00
6.00

x2
3.10
3.10
4.50
4.50
5.00

x3
2.00
2.50
2.50
3.00
3.50

y
5.70
8.20
5.00
8.20
9.50

y-ajust.
5.63
8.25
5.03
8.22
9.45

Ajuste polinómico

Considere los datos x-y siguientes {(x1,y1), (x2,y2), …, (xn,yn)}. Suponer que
deseamos ajustar un polinomio de orden p a estos datos. Es decir buscamos
un ajuste de la forma y = b0 + b1⋅x + b2⋅x2 + b3⋅x3 + … + bp⋅xp.

Usted

puede obtener la aproximación de mínimos cuadrados de los valores de los
coeficientes b = [b0 b1 b2 b3 … bp], creando la matriz X
1

x1

x12

x13

…

x1p-1

y1 p

1

x2

x22

x23

…

x2 p-1

y2 p

1

x3

x32

x33

…

x3 p-1

y3 p

.

.

.

.

.

.

.

.

.

1

xn

.

xn

2

.

xn

3

…

.
xn

.
p-1

yn p

Entonces, el vector de coeficientes se obtiene de b = (XT⋅X) -1⋅XT⋅y, donde y
es el vector y = [y1 y2 … yn]T.
En el capítulo 10, definimos la matriz de Vandermonde que correspondía a un
vector x = [x1 x2 … xm] . La matriz de Vandermonde es similar a la matriz X
de interés para el ajuste polinómico, pero teniendo solamente n, en vez de
(p+1) columnas.

Página 18-66

Podemos aprovecharnos de la función de VANDERMONDE para crear la
matriz X si observamos las reglas siguientes:
Si p = n-1, X = Vn.
Si p < n-1, remover las columnas p+2, …, n-1, n de Vn para formar X.
Si p > n-1, agregar las columnas n+1, …, p-1, p+1, a Vn para formar X.
En el paso 3 de esta lista, tenemos que estar enterados que la columna i (i=
n+1, n+2, …, p+1) es el vector [x1i x2i … xni]. Si utilizáramos una lista de los
valores de los datos para x en vez de un vector, es decir, x = { x1 x2 … xn },
podemos calcular fácilmente la lista { x1i x2i … xni }. Entonces, podemos
transformar esta lista en un vector y utilizar el menú COL para agregar esas
columnas a la matriz Vn hasta formar X.
Cuando X está lista, y con el vector y disponible, el cálculo del vector de
coeficientes b es igual que la regresión linear múltiple. Así, podemos escribir
un programa para calcular la regresión polinómica que puede aprovecharse
del programa desarrollado ya para la regresión linear múltiple. Necesitamos
agregar a este programa los pasos 1 a 3 enumeramos arriba.
El algoritmo para el programa, por lo tanto, se puede escribir como sigue:
Escribir los vectores x y y, de la misma dimensión, como listas. (nota: puesto
que la función VANDERMONDE utiliza una lista como entrada, es más
conveniente escribir los datos (x,y) como listas.) También, escriba el valor de p.
• Determine n = tamaño del vector x.
• Use la función VANDERMONDE para generar la matriz de Vandermonde
Vn para la lista x escrita.
•

Si p = n-1, entonces
X = Vn,
Si no, si p < n-1
Remover columnas p+2, …, n de Vn para formar X
(Use repetición FOR y COL-)
Si no

Página 18-67

Agregar columnas n+1, …, p+1 a Vn para formar X
•
•

(repetición FOR , calcular xi, convertir a vector, use COL+)
Convertir y a vector
Calcular b usando el programa MTREG (ver el ejemplo anterior de la
regresión linear múltiple)

Aquí está la traducción del algoritmo a un programa en lenguaje UserRPL.
(véase el capítulo 21 para la información adicional sobre la programación):
«
Abrir el programa
xyp
Leer las listas x y y, y p (niveles 3.2.1)
«
Abrir el subprograma 1
x SIZE  n
Determinar el tamaño de la lista de x
«
Abrir el subprograma 2
x VANDERMONDE
Poner x en stack, obtener Vn
IF ‘pn-1’ THEN
n1+
p1+
FOR j

Este IF es el paso 3 del algoritmo
Poner n en stack
Calcular p+1
Repetir j = n-1, n-2, …, p+1, paso = -1
Quitar la columna y removerla
Cerrar FOR-STEP

Calcular n+1
Calcular p+1
Repetición con j = n, n+1, …, p+1.

xj ^
OBJ ARRY
j COL+
NEXT
END
END
y OBJ ARRY
MTREG
NUM

Calcular xj, como lista
Convertir lista a arreglo
Agregar la columna a la matriz
Cerrar FOR-NEXT
Finaliza segunda cláusula IF
Finaliza primer IF. El resultado es X
Convertir lista y a arreglo
X y y se usan en MTREG
Convertido al formato decimal

Página 18-68

»
»
»

Cerrar sub-programa 2
Cerrar sub-programa 1
Cerrar programa principal

Almacenar programa en variable POLY (POLYnomial fitting).
Como ejemplo, utilizar los datos siguientes para obtener una regresión
polinómica con p = 2, 3, 4, 5, 6.
x
2.30
3.20
4.50
1.65
9.32
1.18
6.24
3.45
9.89
1.22

y
179.72
562.30
1969.11
65.87
31220.89
32.81
6731.48
737.41
39248.46
33.45

Dado que utilizaremos los mismos datos x-y para los polinomios de diversas
órdenes, es recomendable almacenar las listas de los valores de los datos x y y
en variables xx y yy, respectivamente. Esta manera, no tendremos que
escribirlas de nuevo en cada uso del programa POLY. Por lo tanto, proseguir de
la forma siguiente:
{ 2.3 3.2 4.5 1.65 9.32 1.18 6.24 3.45 9.89 1.22 } ` ‘xx’ K
{179.72 562.30 1969.11 65.87 31220.89 32.81 6731.48 737.41 39248.46
33.45} ` ‘yy’ K
Para ajustar los datos a los polinomios utilizar lo siguiente:
@@xx@@ @@yy@@ 2 @POLY, Resultado: [4527.73 -3958.52 742.23]
es decir,
y = 4527.73-3958.52x+742.23x2
@@xx@@ @@yy@@ 3 @POLY, Resultado: [ –998.05 1303.21 -505.27 79.23]
es decir,

y = -998.05+1303.21x-505.27x2+79.23x3

Página 18-69

@@xx@@ @@yy@@ 4 @POLY, Resultado: [20.92 –2.61 –1.52 6.05 3.51 ]
es decir,
y= 20.92-2.61x-1.52x2+6.05x3+3.51x4.
@@xx@@ @@yy@@ 5 @POLY, Resultado: [19.08 0.18 –2.94 6.36 3.48 0.00 ]
es decir,
y = 19.08+0.18x-2.94x2+6.36x3+3.48x4+0.0011x5
@@xx@@ @@yy@@ 6 @POLY, Resultado: [-16.73 67.17 –48.69 21.11 1.07 0.19 0.00],
es decir, y=-16.72+67.17x-48.69x2+21.11x3+1.07x4+0.19x5–0.0058x6

Selección del ajuste óptimo

Como usted puede ver de los resultados arriba, usted puede ajustar cualquier
polinomio a un sistema de datos. La pregunta se presenta, ¿cuál es la mejor
regresión para los datos? Para ayudar la decisión sobre el ajuste óptimo de los
datos podemos utilizar varios criterios:
• El coeficiente de correlación, r. Este valor se restringe al rango –1 < r
< 1. Mientras más cerca está r a +1 ó –1, mejor es el ajuste de los
datos.
• La suma de errores ajustados, SSE. Ésta es la cantidad que debe ser
reducida al mínimo por el método de los mínimos cuadrados.
• Gráfica de residuos. Éste es un diagrama del error que corresponde
a cada uno de los puntos de referencias originales. Si estos errores son
totalmente aleatorios, el diagrama de los residuos no debe demostrar
ninguna tendencia particular.
Antes de procurar programar estos criterios, presentamos algunas definiciones:
Dado los vectores x y y de los datos que se ajustarán a la ecuación
polinómica, formamos la matriz X y la utilizamos para calcular un vector de los
coeficientes polinómicos b. Podemos calcular un vector de los datos ajustados,
y', usando y' = X⋅b.
Un vector de errores se calcula como e = y – y’.
La suma de errores cuadrados es igual al cuadrado de la magnitud del vector
de errores, es decir, SSE = |e|2 = e•e = Σ ei2 = Σ (yi-y’i)2.

Página 18-70

Para calcular el coeficiente de correlación necesitamos calcular primero lo que
se conoce como la suma de totales ajustados, SST, definida como SST = Σ (yi⎯y)2, en la cual ⎯y es el valor medio de los valores originales de y, es decir, ⎯y
= (Σyi)/n.
En términos de SSE y de SST, el coeficiente de correlación se define como
r = [1-(SSE/SST)] 1/2 .
Aquí está el nuevo programa incluyendo el cálculo de SSE y de r (una vez más,
consultar la página pasada de este capítulo para ver cómo producir los
nombres de la variable y del comando en el programa):
«
xyp
«
x SIZE  n
«
x VANDERMONDE
IF ‘pn-1’ THEN
n1+
p1+
FOR j
x j ^
OBJ ARRY
j COL+
NEXT

Página 18-71

END
END
y OBJ ARRY
 X yv
«
X yv MTREG
NUM
b
«
b yv
X b *Calcular X⋅b
-Calcular e = y - X⋅b
ABS SQ DUPCalcular SSE, copiar resultado
y ΣLIST n /Calcular ⎯y
n 1 LIST SWAP CONVector de n valores de ⎯y
yv − ABS SQCalcular SST
/Calcular SSE/SST
NEG 1 + √Calcular r = [1–SSE/SST ]1/2
“r” TAGRotular resultado como “r”
SWAP
“SSE” TAG
»
»
»
»
»
Almacene este programa bajo el nombre de POLYR, para acentuar el cálculo
del coeficiente de correlación r.
Uso del programa POLYR para los valores de p entre 2 y 6 produce la tabla
siguiente de valores del coeficiente de correlación, r, y de la suma de los
errores cuadrados, SSE:

Página 18-72

p

r

SSE

2
3
4
5
6

0.9971908
0.9999768
0.9999999
0.9999999
0.9999998

10731140.01
88619.36
7.48
8.92
432.60

Mientras que el coeficiente de correlación está muy cerca de 1.0 para todos
los valores de p en la tabla, los valores de SSE varían entre sí. El valor más
pequeño de SSE corresponde a p = 4. Así, usted podría seleccionar la
regresión polinómica para los datos x-y originales como:
y = 20.92-2.61x-1.52x2+6.05x3+3.51x4.

Página 18-73

Capítulo 19
Números en diversas bases

En este capítulo presentamos ejemplos de cálculos del número en bases
diferentes a la base decimal.

Definiciones

El sistema de numeración usado para la aritmética diaria se conoce como el
sistema decimal pues utiliza 10 (latín, deca) dígitos, a saber 0-9, para escribir
cualquier número. Las computadoras, por otra parte, utilizan un sistema que se
basa en dos estados posibles, o el sistema binario. Estos dos estados son
representados por 0/1, sí/no, o alto voltaje/bajo voltaje. Las computadoras
también utilizan los sistemas de numeración basados en ocho dígitos (0-7) o
sistema octal, y dieciséis dígitos (0-9, A-f) o hexadecimal. Como en la sistema
decimal, la posición relativa de los dígitos determina su valor. En general, un
número n en la base b se puede escribir como serie de dígitos n = (a1a2
…an.c1c2 …cm)b. El "punto" se separa n dígitos “enteros" de los m dígitos
"decimales". El valor del número, convertido a nuestro sistema decimal
acostumbrado, se calcula usando n = a1Þbn-1 + a2Þbn-2 + … + anb0 + c1Þb-1
+ c2Þb-2 + … +cmÞb-m. Por ejemplo, (15.234)10 = 1⋅101 + 5⋅100 + 2⋅10 -1 +
3⋅10 -2 + 4⋅10 -3, y (101.111)2 = 1⋅22 + 0⋅21 + 1⋅20 + 1⋅2-1 + 1⋅2-2 + 1⋅2-3

El menú BASE

El menú BASE se activa a través de las teclas ‚ã(la tecla 3).
Habiendo seleccionado la opción CHOOSE boxes para la señal de sistema
número 117 (véase el Capítulo 1), el menú BASE mostrará las siguientes
opciones:

Página 19-1

Por otro lado, si se selecciona la opción SOFT menus para la señal de sistema
número 117, el menú BASE muestra entonces las siguientes opciones:

Esta figura indica que las opciones LOGIC, BIT, y BYTE en el menú BASE
representan sub-menús y no simplemente funciones. Estos menús se presentan
en detalle a continuación.

Funciones HEX, DEC, OCT, y BIN
Los números en sistemas no decimales, a los que se les refiere como enteros
binarios (binary integers), se escriben en la calculadora precedidos del
símbolo # („â). Para seleccionar la base numérica para los enteros
binarios, úsese una de las siguientes funciones HEX(adecimal), DEC(imal),
OCT(al), o BIN(ario) en el menú BASE. Por ejemplo, si se selecciona @HEX!, los
enteros binarios serán números hexadecimales, por ejemplo, #53, #A5B, etc.
A medida que se seleccionan diferentes sistemas numéricos, los números se
convierten automáticamente a la nueva base.
Para escribir un número en un sistema particular, escríbase el número
comenzando con el símbolo # y terminando con la letra h (hexadecimal), d
(decimal), o (octal), ó b (binario).
Algunos ejemplos se muestran a
continuación. El sistema numérico activo se identifica encima de las figuras.

Página 19-2

HEX

DEC

OCT

BIN

El sistema decimal (DEC) tiene 10 dígitos (0.1.2.3.4.5.6.7.8.9), el sistema
hexadecimal (HEX) tiene 16 dígitos (0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E
,F), el sistema octal (OCT) tiene 8 dígitos (0.1.2.3.4.5.6.7), y el sistema
binario (BIN) tiene solamente 2 dígitos (0.1).

Conversión entre los sistemas de numeración
Cualquiera que sea el sistema de numeración seleccionado, este se denomina
sistema binario con el fin de usar las funciones RB y BR. Por ejemplo, si se
selecciona @HEX! , la función BR convertirá cualquier número hexadecimal
(precedido por #) en un número decimal, mientras que la función RB opera
en la dirección opuesta. Intentar los ejercicios siguientes, HEX es la base
actual:

Página 19-3

Los ejemplos siguientes demuestran conversiones cuando la base es el sistema
octal:

También presentamos transformaciones usando el sistema binario como la base
actual:

Nótese que cada vez que usted escribe un número comenzando con #, la
calculadora escribe el número que usted escribió precedido por # y seguido
por la letra h, o, ó b (hexadecimal, octal, o binario). El tipo de letra usado
como sufijo depende se ha seleccionado de qué sistema de numeración nodecimal, es decir, HEX, OCT, o BIN.
Para ver qué sucede si usted selecciona @DEC@, intentar las conversiones
siguientes:

El único efecto de seleccionar la sistema DECimal es que los números
decimales, cuando están comenzados con el símbolo #, están escritos con el
sufijo d.

Página 19-4

Wordsize (Tamaño de palabra)
Wordsize es el número de bits en un objeto binario. El valor predeterminado
del wordsize es 64 bytes. La función RCWS (ReCall WordSize) muestra el valor
actual del wordsize. La función STWS (SeT the WordSize) permite que el
usuario reajuste wordsize a cualquier número entre 0 y 64.
El cambiar wordsize afectará la manera que las operaciones del número entero
binario se realizan. Por ejemplo, si un número entero binario excede la
corriente wordsize, los bits iniciales serán removidos antes de que cualquier
operación se pueda realizar en tal número.

Operaciones con números enteros binarios
Las operaciones de la adición, de la substracción, del cambio de signo, de la
multiplicación, y de la división se definen para los números enteros binarios.
Algunos ejemplos, de la adición y de la substracción, se demuestran abajo,
para diversas bases:
#A02h + #12Ah = #B2Ch
#2562d + #298d = #2860d
#5002o + #452o = #5454o
#101000000010b + #100101010b = #101100101100b
#A02h - #12Ah = #8D8h
#2562d - #298d = #2264d
#5002o - #452o = #4330o
#101000000010b - #100101010b = #100011011000b

El menú LOGIC

El menú LOGIC, disponible en el menú BASE (‚ã) proporciona las
funciones siguientes:

Página 19-5

Las funciones AND, OR, XOR (OR exclusivo), y NOT son las funciones lógicas.
Estas funciones requieren dos valores o expresiones (una en el caso de NOT)
eso se puede expresarse como resultados lógicos binarios, es decir, 0 o 1.
Comparaciones de números a través de los operadores de comparación =, ≠,
>, <, ≤, ≥, son declaraciones lógicas que pueden ser o verdaderas (1) o falsas
(0). Algunos ejemplos de declaraciones lógicas se muestran a continuación:

Las funciones AND, OR, XOR, NOT puede ser aplicado a las expresiones
comparativas bajo las reglas siguientes:
1 AND 1 = 1
1 OR 1 = 1
1 XOR 1 = 0
NOT(1) = 0

1 AND 0 = 0
1 OR 0 = 1
1 XOR 0 = 1
NOT(0) = 1

0 AND 1 = 0
0 OR 1 = 1
0 XOR 1 = 1

0 AND 0 = 0
0 OR 0 = 0
0 XOR 0 = 0

Estas funciones se pueden utilizar para construir declaraciones lógicas con
propósitos de programación. En el contexto de este capítulo, estas operaciones
se utilizarán para cálculos bit-a-bit de acuerdo con las reglas indicadas
anteriormente. En los ejemplos siguientes, el sistema de numeración de base se
indica en paréntesis:
AND (BIN)
OR (BIN)

XOR (BIN)

NOT (HEX)

Página 19-6

El menú BIT

El menú BIT, disponible en el menú BASE (‚ã) proporciona las funciones
siguientes:

Las funciones RL, SL, ASR, SR, RR, contenidas en el menú BIT, se utilizan
manipular bits en un número entero binario. La definición de estas funciones se
demuestra abajo:
RL: Rotar a la izquierda un bit, Vg., #1100b  #11000b
SL: Cambiar de puesto a la izquierda un bit, Vg., #1101b  #11010b
ASR: Cambio de puesto aritmético a la derecha, un bit, Vg., #1100010b 
#110001b
SR: Cambio de puesto aritmético a la izquierda, un bit, Vg., #11011b
#1101b
RR: Rotar a la derecha un bit, Vg., #1101b 
#100000000000000000000000000000000000000000000000000000
00000001b

El menú BYTE

El menú BYTE disponible en el menú BASE (‚ã) provee las funciones
siguientes:

Página 19-7

Las funciones RLB, SLB, SRB, RRB, contenidas en el menú BIT, se utilizan para
manipular bits en un número entero binario. La definición de estas funciones se
demuestra a continuación:
RLB: Rotar a la izquierda un byte, Vg., #1100b  #110000000000b
SLB: Cambiar de puesto a la izquierda un byte, Vg.., #1101b
#110100000000b
SRB: Cambiar de puesto a la derecha un byte, Vg.., #11011b #0b
RRB: Rotar a la derecha un byte, Vg.., #1101b 
#110100000000000000000000000000000000000000000000000000
000000b

Números hexadecimales para las referencias del píxel

Muchas funciones gráficas utilizan referencias del píxel como argumento, Vg., {
#332h #A23h } #Ah 0. 360. ARC, para dibujar un arco de un círculo.
Utilizamos las funciones CPX y PXC para convertir rápidamente entre los
coordenadas del usuario y las referencias del píxel. Estas funciones se pueden
encontrar a través del catálogo de funciones (‚N).
Algunos ejemplos se demuestran a continuación:

Página 19-8

Capítulo 20
Menús y teclas de usuario

Con el uso de los varios menús de la calculadora usted se ha familiarizado con
la operación de los menús. También, usted ya conoce muy bien las diversas
funciones disponibles en las teclas de la calculadora, ya sea con su función
principal, o combinándolas con las teclas „, ‚ ó ALPHA (~). En este
capítulo se presentan ejemplos de menús y de teclados modificados para
requisitos particulares del usuario.

Menús de usuario

Un menú de usuario es un menú creado por el usuario. Las especificaciones
para el menú se almacenan en la variable CST reservada para este propósito.
Así, para crear un menú usted debe crear esta variable con las características
que usted desea exhibir en su menú y las acciones requeridas para las teclas
del menú. Para demostrar ejemplos de modificación de menús para requisitos
particulares necesitamos fijar la bandera 117 del sistema a la opción SOFT
menus. Cerciórese de hacer esto antes de continuar (véase el capítulo 2 para
las instrucciones para fijar banderas del sistema)

El menú PRG/MODES/MENU
Las instrucciones útiles en modificar menús para requisitos particulares son
proporcionadas por el menú MENU, accesible a través del menú PRG
(„°). Habiendo fijado la señal o bandera de sistema 117 a la opción
SOFT menus, al utilizar „°L @)MODES @)MENU se produce el siguiente menú:

Las funciones disponibles son:
MENU: Activa un menú dado su número
CST: Referencia de la variable CST. Por lo tanto, ‚@@CST@@ muestra el contenido
de la variable CST.
TMENU: Utilícese en vez de la función MENU para crear un menú temporal sin
modificar el contenido de CST

Página 20-1

RCLMENU: Obtiene el número de menú del menú actual

Números de menú (funciones RCLMENU y MENU)
Cada menú predefinido tiene un número asociado . Por ejemplo, suponga que
usted activa el menú MTH („´). A continuación, usando el catálogo de
funciones (‚N) localice la función RCLMENU y actívela. En modo ALG,
simplemente presione ` después que RCLMENU() aparezca en la
pantalla. El resultado es el número 3.01. Así, usted puede activar el menú de
MTH usando MENU(3.01), en modo ALG, ó 3.01 MENU, en modo RPN.
La mayoría de los menús pueden ser activados sin conocerse sus números
cuando se usa el teclado. Hay, sin embargo, algunos menús no accesibles a
través del teclado. Por ejemplo, el menú STATS (estadística) es accesible
solamente utilizando la función MENU. Su número es 96.01.
Use
MENU(96.01) en modo ALG, ó 96.01 MENU en modo RPN para activar
el menú STAT.
Nota: El número 96.01 en este ejemplo indica la activación del submenú (01) del menú 96.

Menús de usuario (las funciones MENU y TMENU)
Suponga que usted necesita activar cuatro funciones para un uso particular. Por
ejemplo, sea que usted necesita acceder rápidamente a las funciones EXP, LN,
GAMMA y ! (~‚2) las cuales usted colocará en un menú de usuario
que usted quiere mantener activo por un tiempo determinado. Usted podría
hacer esto creando un menú temporal con la función TMENU, o un menú más
permanente con la función MENU. La diferencia principal es que la función
MENU crea la variable CST, mientras que TMENU no crea esa variable. Con la
variable CST creada permanentemente en su sub-directorio, usted puede
reactivar el menú de usuario cuando así lo desee (el menú usa las
especificaciones en CST), al presionar „£. Con TMENU se pierden las
especificaciones del menú después de que usted substituya el menú temporal
por otro menú.

Página 20-2

Por ejemplo, en modo de RPN, un menú se crea usando:
{EXP LN GAMMA !} ` TMENU `
o
{EXP LN GAMMA !} ` MENU `
Esta acción produce el menú:

Para activar cualquiera de estas funciones, simplemente escríbase el argumento
de la función (un número), y presiónese a continuación la tecla de menú
correspondiente.
En modo de ALG, la lista que se escribe como argumento de las funciones
TMENU o MENU es más complicado:
{{“exp”,”EXP(“},{“ln”,”LN(“},{“Gamma”,”GAMMA(“},{“!”,”!(“}}
La razón para este argumento, en modo RPN, es que los nombres de las
instrucciones o funciones son tanto etiquetas como instrucciones de menú. En
modo ALG, los nombres de las instrucciones no producirán ninguna acción
puesto que las funciones en modo ALG deben escribirse con un par de
paréntesis que encierran los argumentos. En la lista mostrada anteriormente
(para el modo ALG), dentro de cada sub-lista usted tiene una etiqueta para la
tecla de menú, por ejemplo, "exp", seguida de la forma de escribir la función
en la pantalla de manera que el argumento de la función pueda escribirse
inmediatamente, por ejemplo, "EXP(". No necesitamos preocuparnos del
paréntesis de cierre, porque la calculadora agregará este paréntesis antes de
ejecutar la función. La activación de la función TMENU en modo ALG con la
lista de argumentos mostrada anteriormente se ilustra a continuación. Primero,
se escribe la lista, después producimos el menú temporal (véase las etiquetas
de teclas del menú) usando la función TMENU(ANS(1)). También
demostramos, en el lado izquierdo, el resultado de presionar la tecla @@exp!, es
decir, la línea EXP(. Después de escribir 8` el resultado de la
operación se demuestra en el lado derecho de la pantalla:

Página 20-3

Una versión más simple del menú puede ser definida usando
MENU({{”EXP(“,“LN(“,“GAMMA(“,”!(“}).
Menú aumentado en modo RPN
La lista presentada arriba para el modo ALG, se puede modificar levemente
para utilizarse en el modo de RPN. L a lista modificada es la siguiente:
{{“exp”,EXP},{“ln”,LN},{“Gamma”,GAMMA},{“!”,!}}
Usted puede intentar usar esta lista con TMENU o MENU en modo RPN para
verificar que se obtiene el mismo menú obtenido anteriormente en modo ALG.

Especificación del menú y la variable CST
De los dos ejercicios demostrados arriba notamos que la lista más general de
la especificación del menú incluye un número de sub-listas iguales al número
de los artículos que se exhibirán en el menú de usuario. Cada sub-lista contiene
una etiqueta para tecla de menú seguida por la función, la expresión, la
etiqueta, o el otro objeto que constituye el efecto de tecla del menú cuando esta
es presionada. Hay que tener cuidado al especificar la lista del menú en modo
ALG vs. modo RPN. En modo RPN, la acción de la tecla de menú puede ser
simplemente un comando de la calculadora (es decir, EXP, LN, etc., según se
demostró anteriormente), mientras que en modo ALG tiene que ser un texto
presentando la función cuyos argumentos deben proveerse antes de presionar
`. Los ejemplos anteriores ilustran la diferencia entre estas especificaciones
de menú.
La forma general de la lista de argumentos para los comandos TMENU o
MENU en modo ALG es
{“label1”,”función1(“,”ls1(“,”rs1(“}, {“label2”, “función2(“,”ls2(“,”rs2(“},…}

Página 20-4

Mientras que, en modo RPN, la lista de argumentos tiene el siguiente formato:
{“label1”, función1, ls1, rs1}, {“label2”, función2, ls2, rs2},…}
En estas especificaciones, función1, función 2, etc., representan la operación
principal de la tecla, mientras que ls1, ls2…, etc., representan la función de la
tecla combinada con „. De manera similar, rs1, rs2…, etc., representan la
operación de la tecla combinada con …. Esta lista será almacenada en la
variable CST si se utiliza la función MENU. Usted puede tener una variable
CST diferente en cada sub-directorio, y puede siempre sustituir el contenido
actual del CST por los de otras variables que almacenan la lista con el formato
apropiado para producir otro menú de usuario.
Nota: Se puede utilizar un GROB 21x8 (ver El Capítulo 22) para producir
un icono en las teclas del menú. Como ejemplo, pruébese, en modo RPN:
{{GROB 21 800000EF908FFF900FFF9B3FFF9A2FFF9A3FFF9A0FFF388FF
“hp”}} ` MENU

Esta acción colocará el logotipo de hp en la tecla A. Al presionar A
el texto ‘hp’ aparece en la línea de entrada de la pantalla.

Teclado de usuario

Cada tecla se puede identificar por dos números que representan su fila y
columna. Por ejemplo, la tecla VAR (J) está situada en la fila 3 de la
columna 1, y será referida como la tecla 31. Ahora, puesto que cada tecla
tiene hasta diez funciones asociadas a ella, cada función es especificada por
valores decimales entre 0 y 1, según las especificaciones siguientes:
.0 o 1, función principal
.2, tecla combinada con „
.3, tecla combinada con ‚
.4, tecla combinada con ~
.5, tecla combinada con ~„
.6, tecla combinada con ~‚

0.01 ó 0.11, no es aplicable
.21, simultáneamente con „
.31, simultáneamente con ‚
.41, simultáneamente con ~
.51, ~ simultáneamente con „
.61, ~ simultáneamente con ‚

Página 20-5

Así, la función del VAR será referida como tecla 31.0 o 31.1, mientras que la
función de UPDIR será la tecla 31.2, la función COPY será la tecla 31.3, la J
mayúscula es la tecla 31.4, y la j minúscula es la tecla 31.5. (la tecla 31.6 no
se define). En general, una tecla será descrita por el arreglo XY.Z, donde X =
número de la fila, Y = número de la columna, Z = combinación de acuerdo con
la lista anterior.
Podemos combinar una tecla dada con la tecla USER ( „Ì) para crear un
teclado de usuario. En principio, el teclado entero se puede redefinir para
realizar un número de operaciones modificadas para requisitos particulares.

El sub-menú PRG/MODES/KEYS
Las funciones útiles para modificar el teclado al gusto del usuario se proveen en
el menú KEYS accesible a través del menú („°). Fijando la bandera de
sistema 117 en la opción SOFT menus, la secuencia de teclas „ °L
@)MODES @)KEYS produce el siguiente menú (KEYS):

Las funciones disponibles son:
ASN: Asigna un objeto a una tecla especificada por XY.Z
STOKEYS: Almacena la lista de teclas definidas por el usuario
RCLKEYS: Recobra la lista actual de teclas definida por el usuario
DELKEYS: Remueve unas o más teclas en la lista actual de teclas definida por el
usuario, los argumentos son 0, para remover todas las teclas, o XY.Z, para
remover la tecla XY.Z.

Recobrando la lista actual de teclas de usuario
Use la instrucción RCLKEYS para ver la lista actual de teclas de usuario. Previo
a cualquier asignación de teclas de usuario, el resultado es una lista que
contiene la letra S, es decir, { S }.

Página 20-6

Asignación de un objeto a una tecla de usuario
Suponga que usted desea tener acceso al antiguo menú PLOT, introducido
inicialmente con la serie de calculadoras del HP 48G, pero no disponible
directamente del teclado. El número del menú para este menú es 81.01. Usted
puede activar este menú usando:
Modo ALG : MENU(81.01)
Modo RPN: 81.01 ` MENU `
Si usted desea tener una manera rápida de activar este menú desde el teclado,
asigne este menú a la tecla GRAPH (C) cuyo número de referencia es 13.0,
es decir, primera fila, tercera columna, para la función principal. Para asignar
un objeto a una tecla, use la función ASN, como se muestra a continuación:
Modo ALG: ASN(<>,13.0)
Modo RPN: << 18.01 MENU >> ` 13.0 ` ASN
Otro menú útil es el menú SOLVE original (descrito en el final del capítulo 6 en
esta guía), que puede ser activado usando ‚7, simultáneamente.

Operación de teclas de usuario

Para operar esta tecla de usuario presiónese „Ì antes de presionar la
tecla C. Nótese que después de presionar „Ì la pantalla muestra la
especificación 1USR en la segunda línea del encabezado.
Al presionar
„Ì C en este ejemplo, se obtiene el menú PLOT:

Si usted tiene más de una tecla de usuario definida y desea activarlas a la vez,
usted puede asegurar el teclado en modo USER al usar „Ì„Ì antes
de presionar cualquier tecla de usuario. Cuando se asegura el teclado en
modo USER, la especificación USR se mostrará en la segunda línea del
encabezado. Para desactivar el modo USER, presione „Ì una vez más.

Página 20-7

Remoción de una tecla de usuario
Para remover la asignación hecha anteriormente, use la función DELKEYS,
como se muestra a continuación:
Modo ALG:
DELKEYS(13.0)
Modo RPN:
13.0 ` DELKEYS `

Asignación de varias teclas de usuario
La manera más simple de asignar varias teclas de usuario es al proporcionar
una lista de comandos y de especificaciones para las teclas. Por ejemplo,
suponga que asignamos las tres funciones trigonométricas (SIN, COS, TAN) y
las tres funciones hiperbólicas (SINH, COSH, TANH) a las teclas A a F,
respectivamente, como teclas definidas por el usuario. En modo RPN use:
{SIN 11.0 COS 12.0 TAN 13.0 SINH 14.0 COSH 15.0
TANH 16.0} ` STOKEYS `
En modo ALG, use:
STOKEYS({"SIN(" , 11.0, "COS(", 12.0, "TAN(", 13.0,
"SINH(", 14.0, "COSH(", 15.0, "TANH(", 16.0}) `
Opérense estas teclas al usar, por ejemplo, en modo RPN:
5„ÌA 4„ÌB 6„ÌC
2„ÌD 1„ÌE 2„ÌF
Para remover todas las teclas de usuario asignadas, use:
Modo ALG : DELKEYS(0)
Modo RPN: 0 DELKEYS
Compruebe que las definiciones de las teclas de usuario han sido removidas
con la función RCLKEYS.

Página 20-8

Capítulo 21
Programación en lenguaje User RPL
El lenguaje User RPL es el lenguaje el de programación usado lo más
comúnmente posible para programar la calculadora. Los componentes del
programa se pueden incorporar en el editor de línea incluyéndolos entre los
símbolos de programas « » en la orden apropiada. Porque hay más
experiencia entre usuarios de la calculadora en la programación en el modo
de RPN, la mayoría de los ejemplos en este capítulo serán presentados en el
modo de RPN. También, para facilitar el incorporar instrucciones de
programación, sugerimos que usted fije la bandera 117 del sistema a SOFT
menus. Los programas trabajan igualmente bien en modo de ALG una vez que
se hayan eliminado errores y se hayan probado en modo de RPN. Si usted
prefiere trabajar en el modo de ALG, aprenda simplemente cómo hacer la
programación en RPN y después reajuste el modo de funcionamiento a ALG
para activar los programas. Para un ejemplo simple de programación en modo
de ALG, referirse a la última página en este capítulo.

Un ejemplo de programación
A través de los capítulos anteriores en esta guía hemos presentado un número
de programas que se pueden utilizar para una variedad de usos (por ejemplo,
los programas CRMC y CRMT, usados para crear una matriz fuera de un
número de listas, fueron presentados en el capítulo 10). En esta sección
presentamos un programa simple para introducir los conceptos relacionados
con la programación de la calculadora. El programa que escribiremos será
utilizado para definir la función f(x) = sinh(x)/(1+x2), la cuál acepta listas
como argumento (es decir, x puede ser una lista de números, según lo descrito
en el capítulo 8). En el capítulo 8 indicamos que el signo de adición actúa
como un operador de concatenación para las listas y no produce una suma
término-por-término. En su lugar, usted necesita utilizar al operador ADD para
conseguir una adición de listas término-por-término. Así, para definir la función
demostrada arriba utilizaremos el programa siguiente:
«'x' STO x SINH 1 x SQ ADD / 'x' PURGE »

Página 21-1

Para escribir el programa siga estas instrucciones:
Secuencia de teclas:
‚å
[']~„x™K
~„x
„´@)HYP @SINH

Produce:
«

SINH

Interpretado como:
Comenzar un programa RPL
Almacenar nivel 1 en x
Colocar x en nivel 1
Calcular sinh del nivel 1

1#~„x „º

1 x SQ

Escribir 1 y calcular x2

„´@LIST @ADD@
/
[']~„x™
„°@)@MEM@@ @)@DIR@@ @PURGE
`
_______________________

ADD

'x' STO
x

/

Calcular (1+x2),
después dividir

'x'
PURGE

__________

Eliminar variable x
Programa en nivel 1
____________________

Para almacenar el programa, use: [']~„gK
Presione J para recuperar su menú de variables, y evaluar g(3.5)
incorporando el valor del argumento en el nivel 1 (3.5`) y
entonces presionando @@@g@@@. El resultado es 1.2485…, i.e., g(3.5) = 1.2485.
Intente también obtener g({1 2 3}), incorporando la lista en el nivel 1 de la
exhibición: „ä1#2#3` y presionando @@@g@@@.
El
resultado ahora es {SINH(1)/2 SINH(2)/5 SINH(3)/10}, si su CAS se fija a
modo EXACT. Si su CAS se fija a modo APPROXIMATE, el resultado será
{0.5876.. 0.7253… 1.0017…}.

Variables globales y locales y subprogramas

El programa @@@g@@@, definido arriba, puede ser exhibido como
« 'x' STO x SINH 1 x SQ ADD / 'x' PURGE »
usando ‚@@@g@@@.
Note que el programa utiliza el nombre de la variable x para almacenar el
valor colocado en el nivel 1 de la pantalla con los pasos de programación 'x'
STO. La variable x, mientras que el programa se está ejecutando, se almacena
en su menú variable como cualquier otra variable que usted hubiera

Página 21-2

almacenado previamente. Después de calcular la función, el programa borra
la variable x así que no se mostrará en su menú de variables después de
finalizar el programa. Si purgáramos la variable x dentro del programa, su
valor estaría disponible para nosotros después de la ejecución del programa.
Por esa razón, la variable x, según lo utilizado en este programa, se conoce
como una variable global. Una implicación del uso de x como variable global
es que, si tuviéramos previamente definido una variable con el nombre x, su
valor sería substituido por el valor que el programa utiliza y después removida
totalmente de su menú de variables después de la ejecución del programa.
Desde el punto de vista de la programación, por lo tanto, una variable global
es una variable que es accesible al usuario después de la ejecución de
programa. Es posible utilizar una variable local dentro del programa que se
define solamente para ese programa y no estará disponible para usarse
después de la ejecución del programa. El programa anterior se podía
modificar para leer:
« → x « x SINH 1 x SQ ADD / » »
El símbolo de la flecha (→)es obtenido combinando ‚ con 0, i.e.,
‚é. También, note que hay un sistema adicional de símbolos de
programación (« ») que indica la existencia de un sub-programa, a saber,
« x SINH 1 x SQ ADD / », dentro del programa principal. El programa
principal comienza con la combinación → x, la cuál representa asignar el
valor en el nivel 1 de la pantalla a una variable local x. Entonces, el flujo de
programación continúa dentro del subprograma poniendo x en la pantalla,
evaluando SINH(x), colocando 1 en la pantalla, poniendo x en la pantalla,
ajustando x, agregando 1 a x, y dividir el nivel 2 de la pantalla (SINH(x)) por
el nivel 1 de la pantalla (1+x2). El control de programa entonces se pasa de
nuevo al programa principal, pero no hay comandos entre el primer sistema de
símbolos de programación de cierre (»)y segundo, por lo tanto, el programa
termina. El último valor en la pantalla, i.e., SINH(x)/ (1+x2), se vuelve como la
salida del programa.
La variable x en la versión anterior del programa nunca ocupa un lugar entre
las variables en su menú de variables. Esta variable se opera dentro de la

Página 21-3

memoria de la calculadora sin afectar ninguna variable con nombre similar en
su menú de variables. Por esa razón, la variable x en este caso se refiere como
una variable local.
Nota: Para modificar el programa @@@g@@@, ponga el nombre del
programa en la pantalla (³@@@g@@@ `), y use „˜. Use las teclas
(š™—˜) para moverse en el programa. Utilizar la tecla de
cancelación, ƒ, para suprimir cualquier conjunto de caracteres no
deseados. Para agregar los símbolos del programa (i.e., « »), use
‚å. Puesto que estos símbolos vienen en pares usted tendrá que
incorporarlos en el comienzo y el extremo del subprograma y suprimir
uno de sus componentes con la tecla de cancelación ƒ .
« → x « x SINH 1 x SQ ADD / » ».
Cuando haya terminado de corregir el programa, presione ` . El
programa modificado se almacena nuevamente dentro de variable @@g@@.

Alcance de Variable Global
Cualquier variable que usted define en el directorio HOME (o cualquier otro
directorio o sub-directorio) será considerada una variable global desde el
punto de vista del desarrollo de programa. Sin embargo, el alcance de tal
variable, es decir, la localización en el árbol del directorio donde está
accesible la variable, dependerá de la localización de la variable dentro del
árbol (véase el capítulo 2).
La regla para determinar el alcance de una variable es la siguiente: una
variable global es accesible al directorio donde se define y a cualquier subdirectorio unido a ese directorio, a menos que una variable con el mismo
nombre exista en el sub-director bajo consideración. Las consecuencias de esta
regla son las siguientes:

Página 21-4

•

•

•

•

Una variable global definida en el directorio HOME será accesible de
cualquier directorio dentro del HOME, a menos que esté redefinida
dentro de un directorio o un sub-directorio.
Si usted redefine la variable dentro de un directorio o de un subdirectorio esta definición toma precedencia sobre cualquier otra
definición en directorios sobre el actual.
Al activar un programa que se refiera a una variable global dada, el
programa utilizará el valor de la variable global en el directorio desde
el cual se invoca el programa. Si ninguna variable con ese nombre
existe en el directorio de invocación, el programa buscará los
directorios sobre el actual, hasta el directorio HOME, y utiliza el valor
que corresponde al nombre de la variable bajo consideración en el
directorio más cercano sobre el actual.
Un programa definido en un directorio dado puede ser alcanzado
desde ese directorio o de cualquiera de sus sub-directorios.

Todo estas reglas pueden confundir a
calculadora. Pero se pueden simplificar
Crear los directorios y los sub-directorios
para organizar sus datos, y se cerciora
variables globales que usted necesita
apropiado.

un nuevo usuario de la
a la sugerencia siguiente:
con nombres significativos
de usted tener todas las
dentro del sub-directorio

Alcance de Variable Local
Las variables locales son activas solamente dentro de un programa o de un
subprograma. Por lo tanto, su alcance se limita al programa o al subprograma
donde se definen. Un ejemplo de una variable local es el índice en el lazo
FOR (descrito más adelante en este capítulo), por ejemplo « → n x « 1 n FOR
j x NEXT n LIST » »

El menú PRG

En esta sección presentamos el contenido del menú de PRG (programación)
con el sistema de la bandera 117 del sistema de la calculadora fija a SOFT
menus. Con este ajuste de la bandera los sub-menus y los comandos en el

Página 21-5

menú de PRG se mostrarán como etiquetas de menú,. Esto facilita el
incorporar los comandos de programación en la línea del editor cuando usted
está escribiendo un programa.
Para tener acceso al menú PRG use la combinación „°. Dentro del menú
PRG identificamos los sub-menus siguientes (presione L para moverse a la
colección siguiente de sub-menus en el menú de PRG):

He aquí una breve descripción del contenido de estos sub-menus, y sus submenus:
SCREEN:
MEM:
DIR:
ARITH:
BRCH:
IF:
CASE:
START:
FOR:
DO:
WHILE:
TEST:
TYPE:
LIST:
ELEM:
PROC:
GROB:

Funciones para la manipulación de elementos en la pantalla
Funciones relacionadas con la manipulación de la memoria
Funciones relacionadas con la manipulación de directorios
Funciones para manipular índices almacenados en variables
Colección de sub-menus con ramificación y lazos de programas
IF-THEN-ELSE-END, instrucción para ramificar
CASE-THEN-END, instrucción para ramificar
START-NEXT-STEP, instrucción para ramificar
FOR-NEXT-STEP, instrucción para los lazos
DO-UNTIL-END, instrucción para los lazos
WHILE-REPEAT-END, instrucción para los lazos
Operadores de comparación, operadores lógicos, funciones de
prueba de banderas
Funciones para manipulación de objetos
Funciones relacionadas con la manipulación de listas
Funciones para manipular elementos de listas
Funciones para aplicar procedimientos a las listas
Funciones para la manipulación de objetos gráficos

Página 21-6

PICT:
CHARS:
MODES:
FMT:
ANGLE:
FLAG:
KEYS:
MENU:
MISC:
IN:
OUT:
TIME:
ALRM:
ERROR:
IFERR:
RUN:

Funciones para producir diagramas en la pantalla de los gráficos
Funciones para la manipulación de la cadena de caracteres
Funciones para modificar modos de la calculadora
Para cambiar formatos de número, formato de la coma
Para cambiar medida del ángulo y sistemas coordinados
Fijar y remover banderas y comprobar su estado
Para definir y activar teclas de usuario (Capítulo 20)
Para definir y activar menús de usuario (Capítulo 20)
Cambios de modo misceláneos (señal sonora, reloj, etc.)
Funciones para la entrada del programa
Funciones para la salida del programa
Funciones de tiempo
Manipulación de alarmas
Funciones para la gestión de error
IFERR-THEN-ELSE-END, construcción para la gestión de error
Funciones para los programas del funcionamiento y el eliminar
errores

Navegación en los sub-menús RPN

Comenzar con la combinación „°, entonces presionar la tecla
apropiada del menú (por ejemplo, @)@MEM@@ ). Si usted desea tener acceso a un
sub-menú dentro de este sub-menú (por ejemplo., @)@DIR@@ dentro del sub-menú
@)@MEM@@ ), presionar la tecla correspondiente. Para subir de un sub-menú, presione
la tecla L hasta que usted encuentra la referencia al sub-menú superior (por
ejemplo., @)@MEM@@ dentro del sub-menú @)@DIR@@ ) o al menú PRG (i.e., @)@PRG@@ ).

Funciones enumeradas por sub-menú
La tabla que comienza en la página siguiente es un listado de las funciones
dentro de los sub-menús de PRG enumerados por sub-menú.
SCREEN

MEM/DIR

BRCH/IF

BRCH/WHILE

TYPE

DUP

PURGE

IF

WHILE

OBJ

SWAP

RCL

THEN

REPEAT

ARRY

Página 21-7

DROP

STO

ELSE

OVER

PATH

END

ROT

CRDIR

UNROT

PGDIR

ROLL

END

LIST
STR

TEST

TAG

BRCH/CASE

==

UNIT

VARS

CASE

¼

CR

ROLLD

TVARS

THEN

<

RC

PICK

ORDER

END

>

NUM

£

CHR

UNPICK
PICK3

MEM/ARITH

BRCH/START

Š

DTAG

DEPTH

STO+

START

AND

EQ

DUP2

STO-

NEXT

OR

TYPE

DUPN

STOx

STEP

XOR

VTYPE

DROP2

STO/

DROPN

INCR

BRCH/FOR

SAME

LIST

DUPDU

DECR

FOR

TYPE

OBJ

NIP

SINV

NEXT

SF

LIST

NDUPN

SNEG

STEP

CF

SUB

FS?

REPL

NOT

SCONJ
MEM

BRCH/DO

FC?

PURGE

BRCH

DO

FS?C

MEM

IFT

UNTIL

FC?C

BYTES

IFTE

END

LININ

NEWOB
ARCHI
RESTO

Página 21-8

LIST/ELEM

GROB

CHARS

MODES/FLAG

MODES/MISC

GET

GROB

SUB

SF

BEEP

GETI

BLANK

REPL

CF

CLK

PUT

GOR

POS

FS?

SYM

PUTI

GXOR

SIZE

FC?

STK

SIZE

SUB

NUM

FS?C

ARG

POS

REPL

CHR

FS?C

CMD

HEAD

LCD

OBJ

FC?C

INFO

TAIL

LCD

STR

STOF

SIZE

HEAD

RCLF

IN

ANIMATE

TAIL

RESET

INFORM

LIST/PROC
DOLIST

SREPL

DOSUB

PICT

NSUB

PICT

ENDSUB

NOVAL
MODES/KEYS

CHOOSE

MODES/FMT

ASN

INPUT

PDIM

STD

STOKEYS

KEY

STREAM

LINE

FIX

RECLKEYS

WAIT

REVLIST

TLINE

SCI

DELKEYS

PROMPT

SORT

BOX

ENG

SEQ

ARC

FM,

MODES/MENU

OUT

PIXON

ML

MENU

PVIEW

CST

TEXT

PIXOF
PIX?

MODES/ANGLE

TMENU

CLLCD

PVIEW

DEG

RCLMENU

DISP

PXC

RAD

FREEZE

CPX

GRAD

MSGBOX

RECT

BEEP

CYLIN
SPHERE

Página 21-9

TIME

ERROR

RUN

DATE

DOERR

DBUG

DATE

ERRN

SST

TIME

ERRM

SST↓

TIME

ERR0

NEXT

TICKS

LASTARG

HALT
KILL

TIME/ALRM

ERROR/IFERR

ACK

IFERR

ACKALARM

THEN

STOALARM

ELSE

RCLALARM

END

OFF

DELALARM
FINDALARM

Atajos en el menú de PRG
Muchas de las funciones enumeradas arriba para el menú de PRG son directas
fácilmente disponible otros medios:
•
•
•
•
•
•

Los operadores de la comparación (≠, ≤, <, ≥, >) estar disponible en el
teclado.
Muchas funciones y ajustes en el sub-menú MODES puede ser activado
usando las funciones de entrada proporcionadas por la tecla H.
Las funciones del sub-menú TIME se pueden activar con ‚Ó.
Las funciones STO y RCL (en el sub-menú MEM/DIR) están disponible
en el teclado con las llaves K y „©.
Las funciones RCL y PURGE (en el sub-menú MEM/DIR sub-menú) estar
disponible con el menú TOOL (I).
Dentro del sub-menú BRCH, presionando („) o (‚)antes de
presionar cualesquiera de las llaves del sub-menú, creará las

Página 21-10

construcciones relacionadas con la llave del sub-menú elegida. Esto
trabaja solamente con la calculadora en modo de RPN.
Los ejemplos se demuestran abajo:
„@)@IF@@
„@)CASE@

‚@)@IF@@

‚@)CASE@

„@)START

„@)@FOR@@

‚@)START

‚@)@FOR@@

„@)@@DO@@

„@)WHILE

Note que el cursor () está disponible después de que la palabra clave para
cada construcción así que usted pueda comenzar a escribir en el lugar
apropiado.

Página 21-11

Secuencias de teclas para los comandos comúnmente usados
Los siguientes son secuencias de golpe de teclado para tener acceso a los
comandos comúnmente usados para la programación numérica dentro del
menú de PRG. Los comandos primero son enumerados por el menú:
@)STACK
DUP
SWAP
DROP

„°@)STACK BUP
„°@)STACK @SWAP@
„°@)STACK @DROP@

@)@MEM@@ @)@DIR@@
PURGE
ORDER

„°@)@MEM@@ @)@DIR@@ @PURGE
„°@)@MEM@@ @)@DIR@@ @ORDER

@)@BRCH@ @)@IF@@
IF
THEN
ELSE
END

„°@)@BRCH@
„°@)@BRCH@
„°@)@BRCH@
„°@)@BRCH@

@)@BRCH@ @)CASE@
CASE
THEN
END

„°@)@BRCH@ @)CASE@ @CASE@
„°@)@BRCH@ @)CASE@ @THEN@
„°@)@BRCH@ @)CASE@ @@END@

@)@BRCH@ @)START
START
NEXT
STEP

„°@)@BRCH@ @)START @START
„°@)@BRCH@ @)START @NEXT
„°@)@BRCH@ @)START @STEP

@)@BRCH@ @)@FOR@
FOR
NEXT
STEP

„°@)@BRCH@ @)@FOR@ @@FOR@@
„°@)@BRCH@ @)@FOR@ @@NEXT@
„°@)@BRCH@ @)@FOR@ @@STEP@

@)@IF@@
@)@IF@@
@)@IF@@
@)@IF@@

@@@IF@@@
@THEN@
@ELSE@
@@@END@@

Página 21-12

@)@BRCH@ @)@@DO@@
DO
UNTIL
END

„°@)@BRCH@ @)@@DO@@ @@@DO@@
„°@)@BRCH@ @)@@DO@@ @UNTIL
„°@)@BRCH@ @)@@DO@@ @@END@@

@)@BRCH@ @)WHILE@
WHILE
REPEAT
END

„°@)@BRCH@ @)WHILE@ @WHILE
„°)@BRCH@ @)WHILE@ @REPEA
„°)@BRCH@ @)WHILE@ @@END@

@)TEST@
==
AND
OR
XOR
NOT
SAME
SF
CF
FS?
FC?
FS?C
FC?C

„° @)TEST@ @@@¹@@@
„° @)TEST@ L @@AND@
„° @)TEST@ L @@@OR@@
„° @)TEST@ L @@XOR@
„° @)TEST@ L @@NOT@
„° @)TEST@ L @SAME
„° @)TEST@ L L @@@SF@@
„°@)TEST@ L L @@@CF@@
„° @)TEST@ L L @@FS?@
„° @)TEST@ L L @@FC?@
„° @)TEST@ L L @FS?C
„° @)TEST@ L L @FC?C

OBJ
ARRY
LIST
STR
TAG
NUM
CHR
TYPE

„°@)TYPE@ @OBJ @
„°@)TYPE@ @ ARRY
„°@)TYPE@ @ LIST
„°@)TYPE@ @ STR
„°@)TYPE@ @ TAG
„°@)TYPE@ L @NUM@
„°@)TYPE@ L @CHR@
„°@)TYPE@ L @TYPE@

@)TYPE@

Página 21-13

@)LIST@ @)ELEM@
GET
GETI
PUT
PUTI
SIZE
HEAD
TAIL

„°@)LIST@
„°@)LIST@
„°@)LIST@
„°@)LIST@
„°@)LIST@
„°@)LIST@
„°@)LIST@

@)LIST@ @)PROC@
REVLIST
SORT
SEQ

„°@)LIST@ @)PROC@ @REVLI@
„°@)LIST@ @)PROC@ L @SORT@
„°@)LIST@ @)PROC@ L @@SEQ@@

@)MODES @)ANGLE@
DEG
RAD

„°L@)MODES @)ANGLE@ @@DEG@@
„°L@)MODES @)ANGLE@ @@RAD@@

@)MODES @)MENU@
CST
MENU
BEEP

„°L@)MODES @)MENU@ @@CST@@
„°L@)MODES @)MENU@ @@MENU@
„°L@)MODES @)MISC@ @@BEEP@

@)ELEM@ @@GET@@
@)ELEM@ @GETI@
@)ELEM@ @@PUT@
@)ELEM@ @PUTI@
@)ELEM@ @SIZE@
@)ELEM@ L @HEAD@
@)ELEM@ L @TAIL@

@)@@IN@@
INFORM
INPUT
MSGBOX
PVIEW

„°L@)@@IN@@
„°L@)@@IN@@
„°L@)@OUT@
„°L@)@OUT@

@INFOR@
@INPUT@
@MSGBO@
@PVIEW@

DBUG
SST
SST↓
HALT

„°LL
„°LL
„°LL
„°LL

@)@RUN@
@)@RUN@
@)@RUN@
@)@RUN@

@)@RUN@
@@DBG@
@@SST@
@SST↓@
@HALT@

Página 21-14

KILL

„°LL @)@RUN@ @KILL

Programas para generar listas de números
Notar por favor que las funciones en el menú de PRG no son las únicas
funciones que pueden ser utilizadas en la programación. De hecho, casi todas
las funciones en la calculadora se pueden incluir en un programa. Así, usted
puede utilizar, por ejemplo, funciones del menú de MTH. Específicamente,
usted puede utilizar las funciones para las operaciones con listas, por ejemplo
SORT, ΣLIST, etc., disponible con el menú MTH/LIST.
Como ejercicios de programación adicionales, e para practicar las secuencias
de teclas listadas arriba, presentamos, adjuntos, tres programas para crear o
manipular listas. Los nombres y los listados del programa son como sigue:
LISC:
« → n x « 1 n FOR j x NEXT n LIST » »

CRLST:
« → st en df « st en FOR
→LIST » »

j j df STEP en st - df / FLOOR 1 +

CLIST:
« REVLIST DUP DUP SIZE 'n' STO ΣLIST SWAP TAIL DUP SIZE 1 - 1
SWAP FOR j DUP ΣLIST SWAP TAIL NEXT 1 GET n LIST REVLIST 'n'
PURGE »

La operación de estos programas es como sigue:
(1) LISC: crea una lista de n elementos todos iguales a una constante c.
Operación: escriba n, escriba c, presione @LISC
Ejemplo: 5 ` 6.5 ` @LISC crea la lista: {6.5 6.5 6.5 6.5 6.5}
(2) CRLST: crea una lista de números de n1 a n2 con el incremento Δn, i.e.,
{n1, n1+Δn, n1+2⋅Δn, … n1+N⋅Δn }, donde N=floor((n2-n1)/Δn)+1.

Página 21-15

Operación: escriba n1, escriba n2, escriba Δn, presione @CRLST
Ejemplo:.5 `3.5 `.5 ` @CRLST produce: {0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5}
(3) CLIST: crea una lista con las sumas acumulativas de los elementos, i.e., si la
lista original es {x1 x2 x3 … xN}, entonces CLIST crea la lista:
N

{x1 , x1 + x2 , x1 + x2 + x3 ,..., ∑ xi }
i =1

Operación: poner la lista original en el nivel 1, presionar @CLIST.
Ejemplo: {1 2 3 4 5} `@CLIST produces {1 3 6 10 15}.

Ejemplos de la programación secuencial
En general, un programa es cualquier secuencia de instrucciones de la
calculadora incluidas entre los símbolos del programa « ». Los subprogramas
pueden ser incluidos como parte de un programa. Los ejemplos presentados
previamente en esta guía (por ejemplo, en capítulos 3 y 8) 6 se pueden
clasificar básicamente en dos tipos: (a) programas generados definiendo una
función; y, (b) programas que simulan una secuencia de las operaciones del
apilado. Estos dos tipos de programas se describen después. La forma general
de estos programas es entradaprocesamientosalida, por lo tanto, les
referimos como programas secuenciales.

Programas generados definiendo una función
Éstos son programas generados usando la función DEFINE („à) con una
discusión de la forma:
‘nombre_de_función(x1, x2, …) = expresión que contiene variables x1, x2, …'
El programa se almacena en una variable llamada function_name.
Cuando el programa se recuerda a la pantalla, usando ‚function_name. El
programa demuestra anteriormente como sigue:
«  x1, x2, … ' expresión que contiene variables x1, x2, …'».

Página 21-16

Para evaluar la función para un sistema de variables de la entrada x1, x2, …, en
modo RPN, incorporar las variables en pantalla en el orden apropiado (i.e., x1
primero, seguido por x2, después x3, etc.), y presione la tecla funcion. La
calculadora volverá el valor de la función, es decir, función(x1, x2, …).
Ejemplo: Ecuación de Manning para un canal rectangular ancho .
Como ejemplo, considerar la ecuación siguiente que calcula la descarga
unitaria (descarga por unidad de ancho), q, en un canal rectangular usando la
ecuación de Manning:

q=

Cu 5 / 3
y0
S0
n

donde Cu es una constante que depende del sistema de las unidades usadas
[Cu = 1.0 para las unidades del sistema internacional (S.I.), y Cu = 1.486 para
las unidades del sistema inglés (E.S.)], n es el coeficiente de Manning (o
coeficiente de resistencia), que depende del tipo de superficie del canal y de
otros factores, y0 es la profundidad de flujo, y S0 es la pendiente del lecho del
canal dada como fracción sin dimensiones.
Nota: Valores del coeficiente de Manning, n, están disponible en tablas
como números adimensionales, típicamente entre 0.001 y 0.5. El valor de
Cu también se utiliza sin dimensiones. Sin embargo, asegúrese de que el
valor de y0 tiene las unidades apropiadas, es decir, m en S.I. y ft en E.S. El
resultado para q se provee en las unidades apropiadas del sistema
correspondiente en uso, es decir, m2/s en S.I. y ft2/s en E.S. Por lo tanto, la
ecuación de Manning no es dimensionalmente consistente.
Suponer que deseamos crear una función q(Cu, n, y0, S0) para calcular la
descarga unitaria q para este caso. Utilice la expresión
‘q(Cu,n,y0,S0)=Cu/n*y0^(5./3.)*√S0’,

Página 21-17

como argumento de la función DEFINE. Notar que el exponente 5./3., en la
ecuación, representa un cociente de números reales debido a los puntos
decimales incluidos. Presione J, si es necesario, para recuperar la lista de
variables. A este punto habrá un variable llamada @@@q@@@ en su menú de
variables. Para ver el contenido de q, use ‚@@@q@@@. El programa generado
definiendo la función q(Cu,n,y0,S0) se muestra como:
« → Cu n y0 S0 ‘Cu/n*y0^(5./3.)*√S0’ ».
Éste debe ser interpretado como “escriba Cu, n, y0, S0, en ese orden,
entonces calcular la expresión entre apóstrofes.” Por ejemplo, para calcular q
para Cu = 1.0, n = 0.012, y0 = 2 m, y S0 = 0.0001, use, en modo RPN:
1 ` 0.012 ` 2 ` 0.0001 ` @@@q@@@
El resultado es 2.6456684 (o, q = 2.6456684 m2/s).
Usted puede también separar los datos de entrada con espacios en una sola
línea en vez de usar diferentes niveles en la pantalla. Para terminar, presione
`.

Programas que simulan una secuencia de operaciones
En este caso, los términos que se implicarán en la secuencia de operaciones se
asumen que están presentes en la pantalla. El programa se escribe abriendo
primero los símbolos del programa con ‚å. Después, la secuencia de las
operaciones que se realizarán se incorpora. Cuando todas las operaciones se
hayan escrito, presione ` para terminar el programa. Si este programa se
usará solamente una vez, presione μ para ejecutar el programa usando los
datos de entrada disponibles. Si debe ser un programa permanente, necesita
ser almacenado en un nombre variable.
La mejor manera de describir este tipo de programas es con un ejemplo:

Página 21-18

Ejemplo: Altura de velocidad para un canal rectangular.
Suponer que deseamos calcular la altura de la velocidad, hv, en un canal
rectangular de ancho b, con una profundidad de flujo y, eso lleva una
descarga Q. Se calcula la energía específica como hv = Q2/(2g(by)2), donde
g es la aceleración de la gravedad (g = 9.806 m/s2 en unidades de S.I. o g =
32.2 ft/s2 en unidades de E.S.). Si calculáramos hv para Q = 23 cfs (pies
cúbicos por segundo = ft3/s), b = 3 ft, y = 2 ft, utilizaríamos: hv = 232/
(2⋅32.2⋅ (3⋅2)2). Usando el modo RPN en la calculadora, interactivamente,
podemos calcular esta cantidad como:
2`3*„º32.2*
2*23㼪/
Lo que resulta en 0.228174, o hv = 0.228174.
Para traducir este cálculo a un programa necesitamos tener los datos de
entrada (Q, g, b, y) en la pantalla en la orden en la cual serán utilizados en el
cálculo. En los términos de las variables Q, g, b, y, el cálculo apenas realizado
se escribe como (no escriba lo siguiente):
y ` b *㼠g *2* Q 㼪/
Como usted puede ver, y se utiliza primero, entonces utilizamos b, g, y Q, en
esa orden. Por lo tanto, con el fines de cálculo, necesitamos incorporar las
variables en la orden inversa, i.e., (no escriba lo siguiente):
Q ` g `b `y `
Para los valores específicos siguientes consideración utilizamos:
23 ` 32.2 ` 3 `2 `
El programa mismo contendrá solamente las teclas (o instrucciones) que
resultan al remover los valores de la entrada del cálculo interactivo mostrado
anteriormente, es decir, removiendo Q, g, b, y, de la operación siguiente (no
escriba lo siguiente):
y ` b *㼠g *2* Q 㼪/

Página 21-19

y guardando solamente las operaciones mostradas abajo (no escriba lo
siguiente):
` *„ *2* „º™/
Nota: Al incorporar el programa no utilice la tecla ™, en su lugar,
utilice: „°@)STACK @SWAP@.
A diferencia del uso interactivo de la calculadora que se realizó anteriormente,
necesitamos hacer un cierto intercambio de los niveles 1 y 2 de la pantalla
dentro del programa. Para escribir el programa, utilizamos, por lo tanto:
‚å
Abre símbolos del programa
*
Multiplicar y con b
„º
Elevar al cuadrado (b⋅y)
*

Multiplicar (b⋅y)2 con g

2*

Escribir un 2 y multiplicarlo con g⋅ (b⋅y)2

„°@)STACK @SWAP@
„º

Intercambiar Q con 2⋅g⋅ (b⋅y)2
Elevar al cuadrado Q

„°@)STACK @SWAP@

Intercambiar 2⋅g⋅ (b⋅y)2 con Q2

/
`

Dividir Q2 por 2⋅g⋅ (b⋅y)2
Pasar programa a la pantalla

El programa que resulta luce así:
« * SQ * 2 * SWAP SQ SWAP / »
Nota:

SQ es la función que resulta de la secuencia de teclas „º.

Almacene el programa en una variable llamada hv:
³~„h~„v K
Una nueva variable @@@hv@@@ estará disponible en su menú de variables.
(Presione J para ver su lista de variables.) El programa dejado en pantalla

Página 21-20

puede ser evaluado usando la función EVAL.
El resultado debe ser
0.228174…, como se mostró anteriormente. También, el programa está
disponible para el uso futuro en la variable @@@hv@@@. Por ejemplo, para Q = 0.5
m3/s, g = 9.806 m/s2, b = 1.5 m, y = 0.5 m, use:
0.5 # 9.806 #1.5 # 0.5 @@@hv@@@
Nota:
datos.

# se utiliza aquí como alternativa a ` para la entrada de

El resultado ahora es 2.26618623518E-2, es decir, hv = 2.26618623518×10 2

m.
Nota: Puesto que la ecuación programada en @@@hv@@@ somos
dimensionalmente consistente, podemos utilizar unidades en la entrada.

Según lo mencionado anteriormente, los dos tipos de programas presentados
en esta sección son programas secuenciales, en el sentido que el flujo de
programa sigue una sola trayectoria, es decir, INPUT OPERATION
OUTPUT. La ramificación del flujo de programa es posible usando los
comandos en el menú „°@)@BRCH@ . Más detalles en la ramificación de los
programas se presenta a continuación.

Entrada interactiva en programas
En los ejemplos de programas secuenciales mostrados en la sección anterior no
le queda claro al usuario el orden en el cual las variables se deben poner en
pantalla antes de la ejecución de programa. Para el caso del programa @@@q@@@,
escrito como:
« → Cu n y0 S0 ‘Cu/n*y0^(5/3)*√S0’ »,

Página 21-21

es siempre posible recordar la definición del programa en pantalla (‚@@@q@@@)
para ver la orden en la cual las variables deben ser incorporadas, a saber, →
Cu n y0 S0. Sin embargo, para el caso del programa @@hv@@, su definición
« * SQ * 2 * SWAP SQ SWAP / »
no proporciona una pista sobre el orden en el cual los datos deben ser
incorporados, a menos que, por supuesto, Ud. tenga una experiencia extensiva
con el modo RPN y el lenguaje User RPL.
Una forma de comprobar el resultado del programa como una fórmula es
incorporar variables simbólicas, en vez de resultados numéricos, en la
pantalla, y dejar el programa operar en esas variables. Para que este
procedimiento sea eficaz, el CAS de la calculadora debe utilizar los modos
symbolic y exact. Esto es logrado usando H@)CAS@, y asegurándose de que
las marcas de cheque en las opciones _Numeric y _Approx han sido
removidas. Presione @@OK@@ @@OK@ para volver a la pantalla normal de la
calculadora. Presione J para exhibir su menú de las variables.
Utilizaremos este último procedimiento para comprobar la fórmula que resulta
de usar el programa @@hv@@ como sigue: Sabemos que hay cuatro entradas al
programa, así, utilizamos las variables simbólicas S4, S3, S2, y S1 para
indicar los niveles de la pantalla como datos de entrada:
~s4` ~s3`

~s2`

~s1`

Después, presione @@hv@@. La fórmula que resulta puede lucir así:
‘SQ(S4)/(S3*SQ(S2*S1)*2)’,

si su pantalla no se fija a estilo “textbook”, o de esta manera,

SQ( S 4)
S 3 ⋅ SQ ( S 2 ⋅ S1) ⋅ 2

Página 21-22

si se selecciona el estilo “textbook”. Puesto que sabemos que la función SQ( )
representa x2, interpretamos el último resultado como

S 42
,
2 ⋅ S 3 ⋅ ( S 2 ⋅ S1) 2
lo que indica la posición de los diferentes niveles de entrada en la formula.
Comparando este resultado con la fórmula original que programamos, es
decir,

hv =

Q2
,
2 g (by ) 2

encontramos que debemos escribir y en el nivel 1 (S1), b en el nivel 2 (S2), g
en el nivel 3 (S3), y Q en el nivel 4 (S4).

Aviso con una secuencia de entrada

Estos dos procedimientos para identificar el orden de los datos de entrada no
son muy eficientes. Usted puede, sin embargo, ayudar al usuario a identificar
las variables que se utilizarán identificando el nombre de las variables. De los
varios métodos proporcionados por el lenguaje User RPL, el más simple es
utilizar una secuencia de entrada y la función INPUT („°L@)@@IN@@
@INPUT@) para cargar sus datos de entrada.
El programa siguiente solicita del usuario el valor de una variable a y coloca la
entrada en el nivel 1 de la pantalla:
« “Enter a: “ {“:a: “ {2 0} V } INPUT OBJ→ »
Este programa incluye el símbolo: (inglés, tag, o etiqueta y  (return),
disponible con las combinaciones de teclas „ê y ‚ë, ambas
asociadas con la tecla .. El símbolo de etiqueta (::) se utiliza para etiquetar
las secuencias para la entrada y la salida. El símbolo de entrada () es similar
a producir una nueva línea en una computadora. Las secuencias entre comillas
(“ “) se escriben directamente usando el teclado alfanumérico.

Página 21-23

Almacene el programa en un variable llamado INPTa (inglés, INPuT a, o entre
a). Intente operar el programa presionando la tecla @INPTa.

El resultado es una pantalla que requiere del usuario el valor de a y que pone
el cursor en frente del mensaje :a: Escriba un valor de a, digamos 35, y
presione `. El resultado es la secuencia de entrada :a:35 en el nivel 1 de
la pantalla.

Una función con una secuencia de entrada

Si usted utilizara este código para calcular la función, f(a) = 2*a^2+3, usted
podría modificar el programa para leer como sigue:
« “Enter a: “ {“:a: “ {2 0} V }
INPUT OBJ→ → a « ‘2*a^2+3‘ » »
Almacene este nuevo programa bajo el nombre de ‘FUNCa’ (FUNCtion of a):
Active el programa presionando @FUNCa. Cuando se le solicite escribir el valor
de a, escriba, por ejemplo, 2, y presione `. El resultado es simplemente el
algebraico 2a2+3, cuál es un resultado incorrecto. La calculadora proporciona
funciones para eliminar errores en los programas, e identificar errores lógicos
durante la ejecución de programa según lo demostrado abajo.
Eliminando errores del programa
Para determinar porqué el programa no trabajó como esperábamos,
utilizamos la función DBUG en la calculadora como sigue:
³@FUNCa `
Copia nombre de programa a nivel 1
„°LL @)@RUN@ @@DBG@
Activa programa DBUG

Página 21-24

@SST↓@
@SST↓@
@SST↓@
2`
@SST↓@
@SST↓@
@SST↓@
@SST↓@
@SST↓@
@SST↓@

Gradualmente eliminando errores, resultado:
“Enter a:”
Resulta: {“  a:” {2 0} V}
Resulta: se requiere el valor de a
Escribir valor de 2 para a. Resulta: “:a:2”
Resulta: a:2
Resulta: pantalla vacía, ejecutando →a
Resulta: pantalla vacía, entrando subprog. «
Resulta: ‘2*a^2+3’
Resulta: ‘2*a^2+3’, saliendo de subprog. »
Resulta: ‘2*a^2+3’, saliendo de progr. »

Continuar presionando @SST↓@ a este punto no produce más salida puesto que
hemos recorrido el programa entero, paso a paso. Esta ejecución de DBUG
no proporcionó ninguna información sobre porqué el programa no está
calculando el valor 2a2+3 para a = 2. Para ver cuál es el valor de a en el
subprograma, necesitamos operar DBUG otra vez y evaluar a dentro del
subprograma. Intente lo siguiente:
J
³@FUNCa `
„°LL @)@RUN@ @@DBG@
@SST↓@
@SST↓@
@SST↓@
2`
@SST↓@
@SST↓@
«@SST↓@

Recupera el menú de las variables
Copia nombre de programa a la pantalla
Activa DBUG
Resulta: “Enter a:”
Resulta: {“ a:” {2 0} V}
Resulta: se requiere valor de a
Escribir 2 para a. Resulta: “:a:2”
Resulta: a:2
Resulta: pantalla vacía, entere subprog.
Resulta: pantalla vacía, ejecutando →a

A este punto estamos dentro del subprograma « ‘2*a^2+3’ » el cuál utiliza la
variable local a. Para ver el valor de a, use:
~„aμ

Esto muestra que a = 2

Página 21-25

Detengamos DBUG a este punto puesto que sabemos ya el resultado que
conseguiremos. Para detener DBUG, use @KILL. Ud. recibe el mensaje: 
Interrupted reconociendo que se detuvo DEBUG. Presione $ para
recuperar la pantalla normal de la calculadora.
Nota: En modo de DBUG, cada vez que presionamos @SST↓@ la esquina
izquierda superior de la pantalla muestra el paso del programa que es
ejecutado. Una función de tecla llamada @@SST@ está también disponible en el
sub-menú @)RUN dentro del menú PRG. Esto se puede utilizar para ejecutar
inmediatamente cualquier subprograma llamado dentro de un programa
principal. Ejemplos del uso de @@SST@ serán mostrados más adelante.
Corrigiendo el programa
La única explicación posible para la falta del programa de producir un
resultado numérico se parece ser la carencia del comando NUM después de
la expresión algebraica ‘2*a^2+3’. Corrijamos el programa agregando la
función -->NUM. El programa, después de corregirse, se mostrará como sigue:
« “Enter a: “ {“:a: “ {2 0} V } INPUT
OBJ→ → a « ‘2*a^2+3‘ NUM » »
Almacénelo otra vez en la variable FUNCa, y opere el programa otra vez con
a = 2. Esta vez, el resultado es11, i.e., 2*22+3 = 11.

Secuencia de entrada para dos o tres valores

En esta sección crearemos un sub-directorio, dentro del directorio HOME, para
mostrar ejemplos de secuencias de entrada para uno, dos, y tres valores de los
datos de entrada. Éstas serán las secuencias genéricas de la entrada que se
pueden incorporar en cualquier programa futuro, tomando el cuidado de
cambiar los nombres variables según las necesidades de cada programa.
Comencemos creando un sub-directorio llamado PTRICKS (Programming
TRICKS, o trucos de programación) para guardar ideas de programación los
cuales podemos utilizar más adelante en ejercicios de programación más
complejos. Para crear el sub-directorio, primero cerciorarse de que usted se

Página 21-26

traslada al directorio HOME. Dentro del directorio HOME, utilizar las teclas
siguientes para crear el sub-directorio PTRICKS:
³~~ptricks`
Escriba ‘PTRICKS’
„°@)@MEM@@ @)@DIR@@ @CRDIR
Crear directorio
J
Recuperar el listado de variables
Un programa puede tener más de 3 valores de los datos de entrada. Al usar
secuencias de la entrada deseamos limitar el número de los valores de los
datos de entrada a 5 a la vez por la razón simple que, en general, tenemos
solamente 7 niveles visibles de la pantalla. Si utilizamos el nivel 7 de la
pantalla para dar un título a la secuencia de la entrada, y dejamos el nivel 6
de la pantalla vacío para facilitar el leer de la pantalla, tenemos solamente
niveles 1 a 5 de la pantalla para definir variables de la entrada.

Programa de secuencia de entrada para dos valores
El programa de la secuencia de la entrada para dos valores, digamos a y b,
luce así:
« “Enter a and b: “ {“:a::b: “ {2 0} V } INPUT OBJ→ »
Este programa puede ser creado fácilmente modificando el contenido de
INPTa. Almacenar este programa en la variable INPT2.
Uso: evaluación de una función de dos variables
Considere la ley de los gas ideales, pV = nRT, donde p = presión de gas (Pa),
V = volumen del gas (m3), n = número de moles (gmol), R = constante
universal de los gases = 8.31451_J/(gmol*K), y T = temperatura absoluta (K).

Podemos definir la presión p en función de dos variables, V y T, como p(V,T) =
nRT/V para una masa dada del gas puesto que n seguirá siendo constante.
Asuma que n = 0.2 gmol, entonces la función al programa es:

p (V , T ) = 8.31451 ⋅ 0.2 ⋅

T
J T
= (1.662902 _ ) ⋅
V
K V

Página 21-27

Podemos definir la función escribiendo el programa siguiente
« → V T ‘(1.662902_J/K)*(T/V)’ »
y almacenándolo en la variable @@@p@@@.
El paso siguiente es agregar la secuencia de la entrada de la cual requerirá del
usuario los valores V y T. Para crear este flujo de entradas, modificar el
programa en @@@p@@@ como se muestra a continuación:
« “Enter V and T: “ {“ :V: :T: “ {2 0} V }
INPUT OBJ→ → V T ‘(1.662902_J/K)*(T/V)’ »
Almacenar el nuevo programa nuevamente dentro de la variable @@@p@@@.
Presione @@@p@@@ para activar el programa. Escribir los valores de V = 0.01_m^3
y T = 300_K en la secuencia de la entrada, entonces presione `.
El
resultado es 49887.06_J/m^3. Las unidades de J/m^3 ser equivalente a
Pascals (Pa), la unidad preferida de la presión en el sistema de S.I..
Nota: porque incluimos unidades en la definición de la función, los
valores de la entrada deben unidades adjuntas para producir el resultado
apropiado.
Programa de la secuencia de la entrada para tres valores entrados
El programa de la secuencia de la entrada para tres valores, digamos a,b, y c,
luce así:
« “Enter a, b and c: “ {“ :a: :b: :c: “ {2 0} V } INPUT
OBJ→ »
Este programa puede ser creado fácilmente modificando el contenido de
INPT2 mostrado inmediatamente arriba. El programa que resulta se puede
entonces almacenar en una variable llamada INPT3. Con este programa
terminamos la colección de los programas de la secuencia de la entrada que
permitirán que incorporemos uno, dos, o tres valores de los datos. Almacene

Página 21-28

estos programas como una referencia que Ud. puede copiar y modificar para
satisfacer los requisitos de nuevos programas que Ud. escriba.
Uso: evaluación de una función de tres variables
Suponga que deseamos programar la ley de los gases ideales incluyendo el
número de moles, n, agregando una variable adicional, es decir, deseamos
definir la función:

p(V , T , n) = (8.31451 _

J n ⋅T
)
,
K V

y modificarlo para incluir la secuencia entrada para tres variables. El
procedimiento para escribir esta función es muy similar a ése usado anterior en
definir la función p(V, T). El programa que resulta lucirá así:
« “Enter V, T, and n:“ {“  :V: :T: :n:“ {2 0} V } INPUT
OBJ→ → V T n ‘(8.31451_J/(K*mol))*(n*T/V) ‘ »
Almacene este resultado nuevamente en la variable @@@p@@@.
programa, presione @@@p@@@.

Para activar el

Escriba los valores V = 0.01_m^3, T = 300_K, y n = 0.8_mol. Antes de
presionar `, la pantalla lucirá así:

Presione ` para obtener 199548.24_J/m^3, ó 199548.24_Pa = 199.55
kPa.

Página 21-29

Entrada a través de formas interactivas

La función INFORM („°L@)@@IN@@ @INFOR@.) puede ser utilizado para crear
las formas interactivas detalladas para un programa. La función INFORM
requiere cinco discusiones, en este orden:
1. Un título: una cadena de caracteres que describe la forma interactiva
2. Definiciones de campo: una lista con unas o más definiciones de
campo {s1 s2 … sn}, donde cada definición de campo, si, puede tener
uno de dos formatos:
a. Una etiqueta simple del campo: una cadena de caracteres
b. Una lista de las especificaciones de la forma {“etiqueta”
“Información” tipo0 tipo1 … tipon}. La “etiqueta” es una etiqueta
de campo. La “Información” es una cadena de caracteres que
describe la etiqueta de campo detalladamente, y las
especificaciones de tipo es una lista de tipos de variables
permitidas para el campo (véase el capítulo 24 para los tipos del
objeto).
3. Información del formato de campo: un solo número col o una lista {col
tabs}. En esta especificación, col es el número de columnas en la
forma interactiva, y tabs (opcional) especifica el número de las
posiciones de la tabulación entre las etiquetas y los campos en la
forma. La lista podía ser una lista vacía. Los valores prefijados son col
= 1 y tabs = 3.
4. Lista de los valores del reajuste: una lista que contiene los valores para
reajustar los diversos campos si la opción @RESET se selecciona mientras
que usa la forma interactiva.
5. Lista de valores iniciales: una lista que contiene los valores iniciales de
los campos.
Las listas en los artículos 4 y 5 pueden ser listas vacías. También, si no hay
valor seleccionado para estas opciones usted puede utilizar la instrucción
NOVAL („°L@)@@IN@@ @NOVAL@).
Después de activar la función INFORM usted conseguirá como resultado, ya
sea un cero, en caso de que la opción @CANCEL se seleccione, o una lista con los

Página 21-30

valores incorporados en los campos en el orden especificado y el número 1, es
decir, en la pantalla RPN:
2:
1:

{v1 v2 … vn}
1

Así, si el valor en el nivel 1 de la pantalla es cero, no se realizó ninguna
entrada, mientras que si este valor es 1, los valores de la entrada estarán
disponibles en el nivel 2 de la pantalla.
Ejemplo 1 - Como ejemplo, considerar el programa siguiente, INFP1
(Interactive form Program 1) para calcular la descarga Q en un canal abierto
con la fórmula de Chezy: Q = C⋅(R⋅S)1/2, donde el coeficiente C de Chezy, es
una función de la rugosidad de la superficie del canal (valores típicos 80-150),
R es el radio hidráulico del canal (una longitud), y S es la pendiente del lecho
del canal (números sin dimensiones, típicamente 0.01 a 0.000001). El
programa siguiente define una forma interactiva con la función INFORM:
« “ CHEZY’S EQN” { { “C:” “Chezy’s coefficient” 0} { “R:” “Hydraulic radius” 0
} { “S:” “Channel bed slope” 0} } { } { 120 1 .0001} { 110 1.5 .00001 }
INFORM »
En el programa podemos identificar los 5 componentes de la entrada como
sigue:
1. Título: “ CHEZY’S EQN”
2. Definiciones del campo: hay tres de ellas, con las etiquetas “C:”, “R:”,
“S:”, secuencias informativas “Chezy coefficient”, “Hydraulic radius”,
“Channel bed slope”, y aceptando solamente el tipo de datos 0
(números reales) para todos los tres campos:
{ { “C:” “Chezy’s coefficient” 0} { “R:” “Hydraulic radius” 0 } { “S:” “Channel
bed slope” 0} }
3. Información del formato del campo: { } (una lista vacía, así, se usan
valores prefijados)

Página 21-31

4. Lista de los valores de reajuste: { 120 1 .0001}
5. Lista de valores iniciales: { 110 1.5 .00001}
Almacene el programa en la variable INFP1. Presione @INFP1 para funcionar el
programa. La forma interactiva, con los valores iniciales cargados, es la
siguiente:

Para ver el efecto de reajustar estos valores, use L @RESET (seleccione Reset all
para reajustar valores de campo):

Ahora, incorpore diversos valores para los tres campos, por ejemplo, C = 95, R
= 2.5, y S = 0.003, presionando @@@OK@@@ después de incorporar cada uno de
estos nuevos valores. Después de estas substituciones la forma interactiva lucirá
así:

Ahora, para escribir estos valores en el programa presione @@@OK@@@ una vez más.
Esto activa la función INFORM produciendo los resultados siguientes en
pantalla:

Página 21-32

Así, demostramos el uso de la función INFORM. Para ver cómo utilizar estos
valores de la entrada en un cálculo modificar el programa como sigue:
« “ CHEZY’S EQN” { { “C:” “Chezy’s coefficient” 0} { “R:” “Hydraulic radius” 0
} { “S:” “Channel bed slope” 0} } { } { 120 1 .0001} { 110 1.5 .00001 }
INFORM IF THEN OBJ DROP  C R S ‘C*(R*S)’ NUM “Q” TAG ELSE
“Operation cancelled” MSGBOX END »
Los pasos del programa demostrados arriba después del comando INFORM
incluyen el uso de ramificación de la decisión con la instrucción IF-THEN-ELSEEND (descrito detalladamente en otra parte en este capítulo). El control de
programa se puede enviar a una de dos posibilidades dependiendo del valor
en el nivel 1 de la pantalla. Si este valor es 1 el control se pasa a los
comandos:
OBJ DROP  C R S ‘C*√(R*S)’ NUM “Q” TAG
Estos comandos calcularán el valor de Q y pondrán una etiqueta al resultado.
Por otra parte, si el valor en el nivel 1 de la pantalla es 0 (lo cuál sucede
cuando una instrucción @CANCEL se incluye al usar la forma interactiva) , el
control de programa se pasa a los comandos:
“Operation cancelled” MSGBOX
Estos comandos producirán una caja de mensaje (inglés, message box) que
indica que la operación fue cancelada.

Página 21-33

Nota: La función MSGBOX pertenece a la colección de funciones de
salida bajo el sub-menú PRG/OUT. Las instrucciones IF, THEN, ELSE, END
estar disponible bajo el sub-menu PRG/BRCH/IF. Funciones OBJ, TAG
estar disponible bajo el sub-menu PRG/TYPE. Función DROP está disponible
bajo el menú de PRG/SCREEN. Las funciones  y NUM están disponible
en el teclado.
Ejemplo 2 – Para ilustrar el uso del artículo 3 (información del formato del
campo) en las discusiones de la función INFORM, cambie la lista vacía usada
en el programa INFP1 a { 2 1 }, significando 2, más bien que el valor
predefinido 3, columnas, y solamente una localidad de tabulación entre las
etiquetas y los valores. Almacene este nuevo programa en la variable INFP2:
« “ CHEZY’S EQN” { { “C:” “Chezy’s coefficient” 0} { “R:”
“Hydraulic radius” 0 } { “S:” “Channel bed slope” 0} } {
2 1 } { 120 1 .0001} { 110 1.5 .00001 } INFORM IF THEN
OBJ DROP  C R S ‘C*(R*S)’ NUM “Q” TAG ELSE
“Operation cancelled” MSGBOX END »
La ejecución del programa @INFP2 produce la forma interactiva siguiente:

Ejemplo 3 - Cambie la lista de la información del formato del campo a { 3 0 }
y almacene el programa modificado en la variable INFP3. Active este
programa para ver la nueva forma interactiva:

Página 21-34

Crear una caja de selección

La función CHOOSE („°L@)@@IN@@ @CHOOS@) permite que el usuario cree
una caja de selección en un programa. Esta función requiere tres argumentos:
1. Un aviso (una cadena de caracteres que describe la caja del elegir)
2. Una lista de definiciones de selección {c1 c2 … cn}. Una definición ci
puede tener cualesquiera de dos formatos:
a. Un objeto, por ejemplo., un número, algebraico, etc., que será
presentado en la caja de selección y también será el resultado de
una opción.
b. Una lista {objeto_mostrado object_resultado} de modo que
objecto_mostrado esté enumerado en la caja de selección, y
objeto_resultado se seleccione como el resultado si se selecciona
esta opción.
3. Un número que indica la posición en la lista de las definiciones de la
opción predefinida. Si este número es 0, no se destaca ninguna
opción del defecto.
La activación de la función CHOOSE producirá ya sea un cero, si se usa
@CANCEL, o, si se hace una selección, la opción seleccionada (por ejemplo, v) y
el número 1, es decir, en la pantalla de RPN:
2:
1:

v
1

Ejemplo 1 – La ecuación de Manning para calcular la velocidad en un flujo de
canal abierto incluye un coeficiente, Cu, el cuál depende del sistema de las
unidades usadas. Si usa el S.I. (Sistema internacional), Cu = 1.0, mientras que
si usa el E.S. (English System), Cu = 1.486. El programa siguiente utiliza una
caja del elegir que permite al usuario seleccionar el valor de Cu seleccionando
el sistema de unidades. Guárdelo en la variable CHP1 (CHoose Program 1):
« “Units coefficient” { { “S.I. units” 1}
{ “E.S. units” 1.486} } 1 CHOOSE »
Activando este programa (presione @CHP1) demuestra que los siguientes eligen
la caja:

Página 21-35

Dependiendo de si usted selecto Unidades de S.I. o unidades de E.S., la función
CHOOSE pone un valor de 1 o un valor de 1.486 en nivel 2 y un 1 en nivel 1.
Si usted cancela la caja del elegir, la OPCIÓN produce un cero (0).
Los valores producidos por la función CHOOSE pueden funcionar sobre por
otros comandos del programa según lo demostrado en el programa
modificado CHP2:
« “Units coefficient” { { “S.I. units” 1} { “E.S. units” 1.486} } 1 CHOOSE IF
THEN “Cu” TAG ELSE “Operation cancelled” MSGBOX END »
Los comandos después de la función CHOOSE en este nuevo programa
indican una decisión basada en el valor del nivel 1 de la pantalla a través de
la construcción IF-THEN-ELSE-END. Si el valor en el nivel 1 de la pantalla es 1,
las instrucciones “Cu” TAG produce un resultado marcado con etiqueta en
la pantalla. Si el valor en el nivel 1 de la pantalla es cero, las instrucciones
“Operation cancelled” MSGBOX indican que la operación fue
cancelada.

Identificar salida en programas
La manera más simple de identificar una salida numérica del programa es
"marcar" los resultados del programa con etiqueta. Una etiqueta es
simplemente una secuencia unida a un número, o a cualquier objeto. La
secuencia será el nombre asociado al objeto. Por ejemplo, anteriormente, al
eliminar errores de los programas INPTa (o INPT1) y de INPT2, obtuvimos
resultados que marcaron una salida con etiqueta numérica tal como :a:35.

Marcar un resultado numérico con una etiqueta

Para marcar un resultado con etiqueta numérico usted necesita poner el número
en el nivel 2 de la pantalla y la secuencia que marca con etiqueta en el nivel 2
de la pantalla, entonces utilice la función →TAG („ ° @)TYPE@ @ TAG) Por
ejemplo, para producir el resultado marcado con etiqueta B:5., use:
5`‚Õ~b„ ° @)TYPE@ @ TAG

Página 21-36

Descomposición de un resultado numérico con etiqueta

Para descomponer un resultado marcado con etiqueta en su valor numérico y
su etiqueta, utilice simplemente la función OBJ („°@)TYPE@ @OBJ @). El
resultado de descomponer un número marcado con etiqueta con →OBJ es
poner el valor numérico en el nivel 2 y la etiqueta de la pantalla en el nivel 1
de la pantalla. Si usted está interesado en usar el valor numérico solamente,
remueva la etiqueta usando la tecla ƒ. Por ejemplo, descomponiendo la
cantidad marcada con etiqueta B:5 (ver arriba), producirá:

Removiendo la etiqueta de una cantidad etiquetada

Remover la etiqueta significa extraer el objeto fuera de una cantidad marcada
con etiqueta. Esta función se realiza con la combinación del teclas „ °
@)TYPE@ L @DTAG. Por ejemplo, dado la cantidad marcada con etiqueta a:2,
DTAG produce el valor numérico 2.
Nota: Para las operaciones matemáticas con cantidades marcadas con
etiqueta, la calculadora remueve la etiqueta automáticamente antes de la
operación. Por ejemplo, la figura lateral izquierda abajo muestra las
cantidades con etiqueta antes y después de presionar la tecla * en modo
RPN:

Ejemplos de salida marcada con etiqueta

Ejemplo 1 – Ejemplos de la salida marcada con etiqueta
Modifiquemos la función FUNCa, definida anteriormente, para producir una
salida marcada con etiqueta. Use ‚ @FUNCa para recuperar el contenido de
FUNCa a la pantalla. El programa original de la función es:

Página 21-37

« “Enter a: “ {“:a: “ {2 0} V } INPUT OBJ→ → a « ‘2*a^2+3‘
NUM » »
Modificarlo de esta manera:
« “Enter a: “ {“:a: “ {2 0} V } INPUT OBJ→ → a « ‘2*a^2+3‘
NUM ”F” →TAG » »
Almacenar el programa nuevamente dentro de FUNCa usando „ @FUNCa.
Después, activar el programa presionando @FUNCa. Escriba un valor de 2
cuando está incitado, y presione `. El resultado ahora es el resultado
marcado con etiqueta F:11.
Ejemplo 2 – marcar la entrada y la salida con etiqueta en la función FUNCa
En este ejemplo modificamos el programa FUNCa de modo que la salida
incluya no solamente la función evaluada, pero también una copia de la
entrada con una etiqueta. Use ‚ @FUNCa para recobrar el contenido de
FUNCa a la pantalla:
« “Enter a: “ {“:a: “ {2 0} V } INPUT OBJ→ → a « ‘2*a^2+3‘
NUM ”F” →TAG » »
Modificarlo de esta manera:
« “Enter a: “ {“:a: “ {2 0} V } INPUT OBJ→ → a « ‘2*a^2+3‘
EVAL ”F” →TAG a SWAP» »
(Recordar que la función SWAP está disponible usando „°@)STACK @SWAP@).
Almacenar el programa nuevamente dentro de FUNCa usando „ @FUNCa.
Después, activar el programa presionando @FUNCa . Escriba un valor de 2
cuando se solicite, y presione `. Los resultados ahora son dos números
marcados con etiqueta a:2. en el nivel 2 de la pantalla, y F:11. en el nivel
1 de la pantalla.

Página 21-38

Nota: Como utilizamos una secuencia de entrada para conseguir el valor
de los datos de entrada, la variable local almacena realmente un valor
marcado con etiqueta (:a:2, en el ejemplo arriba). Por lo tanto, no
necesitamos marcarla con etiqueta en la salida. Todo lo que necesitamos
hacer es colocar una a antes de la función SWAP en el subprograma arriba,
y la entrada marcada con etiqueta será colocada en la pantalla. Debe
precisarse que, en la ejecución del cálculo de la función, la etiqueta de la
entrada marcada con etiqueta se elimina automáticamente, y solamente su
valor numérico está utilizado en el cálculo.
Para ver la operación de la función FUNCa, gradualmente, usted podría
utilizar la función de DBUG como sigue:
³ @FUNCa `
Copia nombre del programa al nivel 1
„°LL @)@RUN@ @@DBG@
Comenzar DBUG
Resulta: “Enter a:”
@SST↓@
Resulta: {“ a:” {2 0} V}
@SST↓@
Resulta: se requiere valor de a
@SST↓@
2`
Escribir un 2 para a. Resulta: “:a:2”
Resulta: a:2
@SST↓@
Resulta: pantalla vacía, ejecutando →a
@SST↓@
Resulta: pantalla vacía, entrar subprog.«
@SST↓@
Resulta: ‘2*a^2+3’
@SST↓@
Resulta: pantalla vacía, calculando
@SST↓@
Resulta: 11.,
@SST↓@
Resulta: “F”
@SST↓@
Resulta: F: 11.
@SST↓@
Resulta: a:2.
@SST↓@
Resulta: intercambiar niveles 1 y 2
@SST↓@
saliendo del subprograma »
@SST↓@
saliendo del programa principal »
@SST↓@

Página 21-39

Ejemplo 3 – marcar la entrada y la salida con etiqueta de la función p(V,T)
En este ejemplo modificamos el programa @@@p@@@ de manera que haya entrada y
salida etiquetada. Use ‚@@@p@@@ para recordar el contenido del programa a la
pantalla:
« “Enter V, T, and n:“ {“  :V: :T: :n:“ {2 0} V } INPUT
OBJ→ → V T n ‘(8.31451_J/(K*mol))*(n*T/V)‘ »
Modifíquelo de esta manera:
« “Enter V, T and n: “ {“ :V: :T: :n:“ {2 0} V } INPUT
OBJ→ → V T n «V T n ‘(8.31451_J/(K*mol))*(n*T/V)‘ EVAL “p”
→TAG » »
Notar que hemos puesto el cálculo y el marcar con etiqueta la función
p(V,T,n), precedido el recobrar las variables de entrada V T n, en un subprograma [la secuencia de las instrucciones contenidas dentro del par interno
de símbolos de programa « » ]. Esto es necesario porque sin el símbolo del
programa que separa los dos listados de las variables de entrada (V T N «
V T n), el programa asumirá que el comando de entrada
→V T N V T n
requiere seises valores, mientras que solamente tres están disponibles. El
resultado habría sido la generación de un mensaje de error y de la
interrupción de la ejecución de programa.
Para incluir el subprograma mencionado arriba en la definición modificada
del programa @@@p@@@, le requerirá utilizar ‚å al principio y fin del
subprograma. Porque los símbolos del programa ocurren en pares, siempre
que ‚å se invoca, usted necesitará borrar el símbolo de cierre del
programa («) al principio, y el símbolo del programa en la abertura («) al
final del subprograma.

Página 21-40

Para borrar cualquier carácter mientras que corrige el programa, coloque el
cursor a la derecha del carácter que se borrará y utilice la tecla de retroceso
ƒ.
Almacene el programa nuevamente dentro de p variable usando „@@@p@@@.
Después, active el programa presionando @@@p@@@. Escriba los valores de V =
0.01_m^3, T = 300_K, and n = 0.8_mol, cuando así se requiera. Antes de
presionar ` para la entrada, la pantalla lucirá así:

Después de la ejecución del programa, la pantalla lucirá así:

En resumen: La idea común en los tres ejemplos demostrados aquí es el
uso de etiquetas para identificar variables de entrada y de salida. Si utilizamos una secuencia de entrada para conseguir nuestros valores de entrada,
esos valores ya están marcados con etiquetas y pueden ser fácilmente recobrados en la pantalla para usarlos en la salida. El uso de la función →TAG
permite que identifiquemos la salida de un programa.

Usar una caja de mensaje

Una caja de mensaje es una manera más lujosa de presentar la salida de un
programa. El comando de la caja de mensaje en la calculadora es obtenido
usando „°L@)@OUT@ @MSGBO@. El comando de la caja de mensaje requiere
que la secuencia que se colocará en la caja esté disponible en el nivel 1 de la

Página 21-41

pantalla. Para ver la operación del comando de MSGBOX intente el ejercicio
siguiente:
‚Õ~‚t~„ê1.2
‚Ý ~„r~„a~„d
„°L@)@OUT@ @MSGBO@
El resultado es la caja de mensaje siguiente:

Presione @@@OK@@@ para cancelar la caja de mensaje.
Usted podría utilizar una caja de mensaje para la salida de un programa
usando una salida marcada con etiqueta, convertida a una secuencia, como la
secuencia de la salida para MSGBOX. Para convertir cualquier resultado
marcado con etiqueta, o cualquier valor algebraico o no-marcado con
etiqueta, a una secuencia, use la función →STR disponible en „°@)TYPE@ @
STR.
Usar una caja de mensaje para la salida del programa
La función @@@p@@@ , del ejemplo pasado, puede ser modificado para leer:
« “Enter V, T and n: “ {“ :V: :T: :n: “ {2 0} V } INPUT
OBJ→ → V T n « V T n ‘(8.31451_J/(K*mol))*(n*T/V)‘ EVAL “p”
→TAG →STR MSGBOX » »
Almacene el programa nuevamente dentro de la variable p usando „@@@p@@@.
Active el programa presionando @@@p@@@. Escriba los valores V = 0.01_m^3, T =
300_K, y n = 0.8_mol, cuando se le solicite.
Como en la versión anterior de @@@p@@@, antes de presionar ` para la entrada,
la pantalla lucirá así:

Página 21-42

La primera salida del programa es una caja de mensaje que contiene la
secuencia:

Presione @@@OK@@@ para cancelar salida de la caja de mensaje. La pantalla lucirá
así:

Incluyendo entrada y salida en una caja de mensaje
Podríamos modificar el programa para no solamente incluir la salida, sino
también la entrada, en una caja de mensaje. Para el caso del programa @@@p@@@,
el programa modificado lucirá así:
« “Enter V, T and n: “ {“ :V: :T: :n: “ {2 0} V } INPUT
OBJ→ → V T n «V →STR “ ” + T →STR “ ” + n →STR “ ” +
‘(8.31451_J/(K*mol))*(n*T/V)‘ EVAL “p” →TAG →STR + + +
MSGBOX » »
Notar que usted necesita agregar el siguiente código después de cada uno de
los nombres de la variable V, T, y n, dentro del subprograma:
→STR “

”+

Página 21-43

Para escribir este código por primera vez, use:
„°@)TYPE@ @ STR ‚Õ ‚ë ™+
Dado que las funciones para el menú TYPE siguen estando disponible en las
teclas del menú, para las segundas y terceras ocurrencias del código anterior
(→STR “ ” + ) dentro del subprograma (i.e., después de las variables T y n,
respectivamente), todo lo que usted necesita utilizar es:
@ STR ‚Õ ‚ë ™+
Usted notará que después de usar las teclas ‚ë una nueva línea se
genera en la pantalla.
La última modificación que necesita ser incluida es escribir el signo de adición
tres veces después de la llamada a la función en el final del subprograma
Nota: El signo de más (+) en este programa se utiliza para
concatenar secuencias. La concatenación es simplemente la operación
de ensamblar cadenas de caracteres individuales.
Para ver el funcionamiento del programa:
• Almacene el programa nuevamente dentro de la variable p usando
„@@@p@@@.
• Active el programa presionando @@@p@@@.
• Escriba los valores V = 0.01_m^3, T = 300_K, y n = 0.8_mol, cuando se
le solicite.
Como en la versión anterior de [p], antes de presionar [ENTER] para entrada,
la pantalla lucirá así:

Página 21-44

La primera salida del programa es una caja de mensaje que contiene la
secuencia:

Presione @@@OK@@@ para cancelar salida de la caja de mensaje.
Incorporando unidades dentro de un programa
Como usted ha podido observar de todos los ejemplos para las diversas
versiones del programa @@@p@@@ presentado en este capítulo, el incluir unidades a
los valores de la entrada puede ser un proceso tedioso. Usted podría hacer
que el programa mismo adjunte esas unidades a los valores de la entrada y de
la salida. Ilustraremos estas opciones modificando una vez más el programa
@@@p@@@, como se muestra a continuación.
Recobre el contenido del programa @@@p@@@ a la pantalla usando ‚@@@p@@@, y
modifíquelo de esta manera:
Nota: Hemos separado el programa arbitrariamente en varias líneas
para la lectura fácil. Ésta no es necesariamente la manera que el
programa se muestra en la pantalla de la calculadora. La secuencia de
comandos es correcta, sin embargo. También, recuerde que el carácter
 no se muestra en la pantalla, sino que produce una nueva línea.
« “Enter V,T,n [S.I.]: “ {“ :V: :T: :n: “ {2 0} V }
INPUT OBJ→ → V T n
« V ‘1_m^3’ * T ‘1_K’ * n ‘1_mol’ * → V T n
« V “V” →TAG →STR “ ” + T “T” →TAG →STR “ ” + n “n” →TAG
→STR “ ” +
‘(8.31451_J/(K*mol))*(n*T/V)‘ EVAL “p” →TAG →STR + + +
MSGBOX » » »

Página 21-45

Esta nueva versión del programa incluye un nivel adicional de sub-programas
(es decir, un tercer nivel de los símbolos del programa « »), y algunos pasos
usando listas, i.e.,
V ‘1_m^3’ * { } + T ‘1_K’ * + n ‘1_mol’ * + EVAL → V T n
La interpretación de este código es como sigue (utilizamos valores de la
secuencia de la entrada de :V:0.01, :T:300, and :n:0.8):
1. V

: El valor de V, como entrada marcada con
etiqueta (por ejemplo., V:0.01) es colocado
en la pantalla.

2. ‘1_m^3’

: Las unidades de S.I. que corresponden a V
entonces se ponen en el nivel 1 de la
pantalla, la entrada marcada con etiqueta
para V se mueven al nivel 2 de la pantalla.

3. *

: Multiplicando el contenido de los niveles 1 y
2 de la pantalla, generamos un número con
las unidades (por ejemplo., 0.01_m^3), pero
se pierde la etiqueta.

4. T ‘1_K’ *

: Calculando valor de T incluyendo unidades
de S.I.

5. n ‘1_mol’ *

: Calculando valor de n incluyendo unidades

6. → V T n

: Los valores de V, T, y n, situados
respectivamente en los niveles 3, 2, y 1 de la
pantalla, se pasan encendido al nivel
siguiente de sub-programas

Página 21-46

Para ver esta versión del programa en la acción hacer el siguiente:
•
•
•

Almacene el programa nuevamente dentro de la variable p usando [][
p ].
Activar el programa presionando [ p ].
Escriba los valores V = 0.01, T = 300, y n = 0.8, cuando se le solicite (no
se requieren unidades en este caso).

Antes de presionar ` para la entrada, la pantalla lucirá así:

Presione ` para activar el programa. La salida es una caja de mensaje que
contiene la secuencia:

Presione @@@OK@@@ para cancelar salida de la caja de mensaje.
Caja de mensaje sin unidades
Modifiquemos el programa @@@p@@@ una vez más para eliminar el uso de unidades
a través de él. El programa sin unidades lucirá así:
« “Enter V,T,n [S.I.]: “ {“ :V: :T: :n: “ {2 0} V }
INPUT OBJ→ → V T n
« V DTAG T DTAG n DTAG → V T n
« “V=” V →STR + “ ”+ “T=” T →STR + “ ” + “n=” n →STR +
“ ” +

Página 21-47

‘8.31451*n*T/V‘ EVAL →STR “p=” SWAP + + + + MSGBOX » » »
Y cuando opera con los datos de entrada V = 0.01, T = 300, y n = 0.8,
produce la salida de la caja de mensaje:

Presione @@@OK@@@ para cancelar la salida de la caja de mensaje.

Operadores relacionales y lógicos
Hemos trabajado hasta ahora principalmente con programas secuenciales. El
lenguaje User RPL proporciona declaraciones que permiten el ramificaciones y
lazos en el flujo de programa. Muchas de estas decisiones se basan en si una
declaración lógica es verdad o no. En esta sección presentamos algunos de los
elementos usados para construir tales declaraciones usando operadores
relacionales y lógicos.

Operadores relacionales
Operadores relacionales son esos operadores usados para comparar la
posición relativa de dos objetos. Por ejemplo, utilizando números reales
solamente, los operadores relacionales se utilizan para hacer una declaración
con respecto a la posición relativa de dos números reales. Dependiendo de los
números reales usados, tal declaración puede ser verdadera (representado por
el valor numérico de 1. en la calculadora), o falsa (representado por el valor
numérico de 0. en la calculadora).
Los relacionales de los operadores disponibles para programar la calculadora
son:

Página 21-48

______________________________________________________
OperadorSignificadoEjemplo
______________________________________________________
==
“es igual a”‘x==2’
≠
“no es igual a”‘3 ≠ 2’
<
“es menor que”‘Minh’
>
“es mayor que”‘10>a’
≥
“es mayor o igual que”‘p ≥ q’
≤
“es menor o igual que”‘7≤12’
______________________________________________________
Todos los operadores, excepto == (el cuál puede ser creado escribiendo
‚Å ‚Å ), están disponible en el teclado. Estos operadores están
también disponibles en „° @)TEST@.
Dos números, variables, o algebraics conectados por una forma de operador
relacional constituyen una expresión lógica que puede tomar el valor de
verdad (1.), de falso (0.), o podría, simplemente, no ser evaluada. Para
determinarse si una declaración lógica es verdad o no, ponga la declaración
en el nivel 1 de la pantalla, y presione EVAL (μ). Ejemplos:
‘2<100’ μ, resulta: 1. (verdadero)
‘2>10’ μ, resulta: 0. (falso)
En el ejemplo siguiente se asume que el m variable no está inicializado (no se
ha dado un valor numérico):
‘2==m’ μ, resulta: ‘2==m’
El hecho de que el resultado de evaluar la declaración es la misma declaración
original indica que la declaración no se puede evaluar únicamente.

Página 21-49

Operadores lógicos
Los operadores lógicos son las partículas lógicas que se utilizan para
ensamblar o para modificar declaraciones lógicas simples. Los operadores
lógicos disponibles en la calculadora pueden ser obtenidos fácilmente con la
secuencia de teclas: „° @)TEST@ L.
Los operadores lógicos disponibles son: AND, OR, XOR, NOT, and SAME
(traducción: y, o, o exclusivo, no, y el mismo). Los operadores producirán los
resultados que son verdades o falsos, dependiendo del valor de verdad de las
declaraciones lógicas afectadas. El operador NOT (negación) aplica a
declaraciones lógicas únicas. Todos los otros se aplican a dos declaraciones
lógicas.
La tabulación de todas las combinaciones posibles de una o dos declaraciones
junto con el valor que resulta de aplicar un cierto operador lógico produce lo
qué se llama la tabla de verdad del operador. Las siguientes son tablas de
verdad de cada uno de los operadores lógicos estándares disponibles en la
calculadora:
p

NOT p

1

0

0

1

p

q

p AND q

1

1

1

1

0

0

0

1

0

0

0

0

Página 21-50

p

q

p OR q

1

1

1

1

0

1

0

1

1

0

0

0

p

q

p XOR q

1

1

0

1

0

1

0

1

1

0

0

0

La calculadora incluye también a operador lógico SAME. Esto es operador
lógico no estándar usado para determinar si dos objetos son idénticos. Si son
idénticos, un valor de 1 (verdad) se vuelve, si no, un valor de 0 (falso) se
vuelve. Por ejemplo, el ejercicio siguiente, en modo RPN, produce un valor de
0:
‘SQ(2)’ ` 4 ` SAME
Note por favor que el uso de SAME implica una interpretación muy estricta de
la palabra "idéntico." Por esa razón, SQ(2) no es idéntico a 4, aunque ambos
evalúan, numéricamente, a 4.

Ramificación del programa
La ramificación de un flujo de programa implica que el programa toma una
decisión entre dos o más posibles trayectorias del flujo. El lenguaje User RPL
proporciona un número de comandos que se puedan utilizar para la
ramificación del programa. Los menús que contienen estos comandos están
alcanzados con la secuencia teclas:
„°@)@BRCH@

Página 21-51

Este menú muestra los sub-menús para las instrucciones de programa

Las instrucciones de programa IF…THEN..ELSE…END, y CASE…THEN…END
será referido como construcciones de ramificación del programa. Las
instrucciones restantes, a saber, START, FOR, DO, y WHILE, son apropiadas
para controlar el proceso repetitivo dentro de un programa y será referido
como construcciones del lazo del programa. Los últimos tipos de construcciones
del programa se presentan más detalladamente en una sección posterior.

Ramificación con IF
En esta sección presentamos ejemplos
IF…THEN…END y IF…THEN…ELSE…END.

usando

las

instrucciones

La instrucción IF…THEN…END
La instrucción IF…THEN…END es el más simple de las instrucciones IF. El
formato general de esta instrucción es:
IF expresión_lógica THEN expresiones_del_programa END.
La operación de esta instrucción es como sigue:
1. Evaluar expresión_lógica.
2. Si expresión_lógica es verdad, se realizan expresiones_del_programa y
continuar el flujo de programa después de la instrucción END.
3. Si expresión_lógica es falso, ignore expresiones_del_programa y continuar
el flujo de programa después de la instrucción END.
Para escribir las partículas IF, THEN, ELSE, y END, use:
„°@)@BRCH@ @)@IF@@

Página 21-52

Las funciones @@@IF@@ @@THEN @@ELSE@ @@ END@@ están disponibles en ese menú para ser
escritas selectivamente por el usuario. Alternativamente, para producir la
instrucción IF…THEN…END directamente en la pantalla, use:
„°@)@BRCH@ „ @)@IF@@
Esto creará la entrada siguiente en la pantalla:

Con el cursor  delante de la instrucción IF solicitando del usuario la
declaración lógica que activará la instrucción IF cuando se ejecuta el
programa.
Ejemplo: Escriba el siguiente programa:
« → x « IF ‘x<3’ THEN ‘x^2‘ EVAL END ”Done” MSGBOX » »
y almacénelo bajo el nombre ‘f1’. Presione J y verifique que esa variable
@@@f1@@@ está de hecho disponible en su menú de variables. Verifique los
siguientes resultados:
0
@@@f1@@@ Resulta: 0
3.5 @@@f1@@@ Resulta: no acción
Estos

resultados

confirman

1.2 @@@f1@@@ Resulta: 1.44
10 @@@f1@@@ Resulta: no acción
la

operación

correcta

de

la

instrucción

IF…THEN…END. El programa, según lo escrito, calcula la función f1(x) = x2,
si x < 3 (y no salida de otra manera).

Página 21-53

La instrucción IF…THEN…ELSE…END
La instrucción IF…THEN…ELSE…END permite dos trayectorias alternativas del
flujo de programa basadas en el valor de verdad de la expresión_lógica. El
formato general de esta instrucción es:
IF expresión_lógica THEN
expresiones_del_programa_si_verdadera ELSE
expresiones_del_programa_si_falsa END.
La operación de esta instrucción es la siguiente:
1. Evalúe expresión_lógica.
2. Si expresión_lógica es verdad, se realizan
expresiones_del_programa_si_verdadera y continúe el flujo de
programa después de la instrucción END.
3. Si expresión_lógica es falsa, se realizan
expresiones_del_programa_si_falsa and continúe el flujo del programa
después de la instrucción END.
Para producir una instrucción IF…THEN…ELSE…END directamente si la
pantalla, use:
„°@)@BRCH@ ‚ @)@IF@@
Esto creará la entrada siguiente dentro la pantalla:

Ejemplo: Escriba el siguiente programa:
« → x « IF ‘x<3’ THEN ‘x^2‘ ELSE ‘1-x’ END EVAL ”Done” MSGBOX »
»
y almacénelo bajo el nombre ‘f2’. Presione J y verifique que esa variable
@@@f2@@@ está de hecho disponible en su menú de variables. Verifique los
siguientes resultados:
0 @@@f2@@@ Resulta: 01.2 @@@f2@@@ Resulta: 1.44

Página 21-54

3.5 @@@f2@@@ Resulta: -2.510 @@@f2@@@ Resulta: -9
Estos resultados confirman la operación correcta de la instrucción
IF…THEN…ELSE…END. El programa, según lo escrito, calcula la función

⎧ x 2 , if x < 3
f 2 ( x) = ⎨
⎩1 − x, otherwise
Nota: Para este caso particular, una alternativa válida habría sido
utilizar la función IFTE de la forma: ‘f2(x) = IFTE(x<3,x^2,1-x)’

Instrucciones IF…THEN…ELSE…END anidadas
En la mayoría de los lenguajes de programación de computadoras donde la
instrucción IF…THEN…ELSE…END está disponible, el formato general usado
para la presentación del programa es el siguiente:
IF expresión_lógica THEN
expresiones_del_programa_si_verdadera
ELSE
expresiones_del_programa_si_falsa
END
Al diseñar un programa de calculadora que incluye las instrucciones IF, usted
podría comenzar escribiendo a mano el pseudo-código para las instrucciones
IF según lo demostrado arriba. Por ejemplo, para el programa @@@f2@@@, usted
podría escribir
IF x<3 THEN
x2
ELSE
1-x
END

Página 21-55

Mientras que esta instrucción simple trabaja muy bien cuando la función tiene
solamente dos ramas, usted puede necesitar jerarquizar instrucciones
IF…THEN…ELSE…END para ocuparse de la función con tres o más ramas. Por
ejemplo, considere la función

⎧
x 2 , if x < 3
⎪
⎪⎪ 1 − x, if 3 ≤ x < 5
f 3 ( x) = ⎨ sin( x), if 5 ≤ x < 3π
⎪exp( x), if 3π ≤ x < 15
⎪
⎪⎩ − 2, elsewhere
He aquí una manera posible de evaluar este uso de la función con
instrucciones IF… THEN … ELSE … END:
IF x<3 THEN
x2
ELSE
IF x<5 THEN
1-x
ELSE
IF x<3π

THEN
sin(x)

ELSE
IF x<15 THEN
exp(x)
ELSE
-2
END
END
END
END
Una instrucción IF como esta se llama un sistema jerarquizado, o anidado, de
instrucciones IF … THEN … ELSE … END.

Página 21-56

Una manera posible de evaluar f3(x), de acuerdo con las instrucciones IF
anidadas como se demuestra arriba, es con el programa:
« → x « IF ‘x<3‘ THEN ‘x^2‘ ELSE IF ‘x<5‘ THEN ‘1-x‘ ELSE IF
‘x<3*π‘ THEN ‘SIN(x)‘ ELSE IF ‘x<15‘ THEN ‘EXP(x)‘ ELSE –2 END
END END END EVAL » »
Almacene el programa en la variable @@@f3@@@ e intente las evaluaciones
siguientes:
1.5

@@f3@@@

Resulta: 2.25 (i.e., x2)

2.5
4.2
5.6

@@@f3@@@
@@@f3@@@
@@@f3@@@

12
23

@@@f3@@@
@@@f3@@@

Resulta: 6.25 (i.e., x2)
Resulta: -3.2 (i.e., 1-x)
Resulta: -0.631266… (sin(x), con x en
radianes)
Resulta: 162754.791419 (exp(x))
Resulta: -2. ( -2)

La instrucción CASE

La instrucción CASE (traducción: caso) puede ser utilizado para cifrar varias
trayectorias posibles del flujo de programa, como en el caso de los IF
anidados, presentado anteriormente. El formato general de esta instrucción es
como sigue:
CASE
Expresión_lógica1 THEN expresiones_del_programa1 END
Expresión_lógica2 THEN expresiones_del_programa2 END
.
.
.
Expresión_lógica THEN expresiones_del_programa END
Default_expresiones_del_programa (opcional)
END

Página 21-57

Al evaluar esta instrucción, el programa prueba cada una de las
expresión_lógicas hasta que encuentra una que sea verdad. El programa
ejecuta las expresiones_del_programa correspondientes, y pasa el flujo de
programa al paso que sigue la instrucción END.
Las partículas CASE, THEN, y END están disponibles para escribirse
selectivamente usando „°@)@BRCH@ @)CASE@ .
Si usted está en el menú BRCH, i.e., („°@)@BRCH@ ) usted puede utilizar los
atajos siguientes para escribir la instrucción CASE (La localización del cursor
es indicada por el símbolo  ):
•

„@)CASE@: Comienza la instrucción del caso indicando: CASE  THEN
END END

•

‚@)CASE@: Termina una línea CASE agregando las partículas THEN 
END

Ejemplo – programa f3(x) usando la instrucción CASE
La función es definida por las 5 expresiones siguientes:

⎧
x 2 , if x < 3
⎪
⎪⎪ 1 − x, if 3 ≤ x < 5
f 3 ( x) = ⎨ sin( x), if 5 ≤ x < 3π
⎪exp( x), if 3π ≤ x < 15
⎪
⎪⎩ − 2, elsewhere
Usando la instrucción CASE en el lenguaje User RPL podemos cifrar esta
función como:
« → x « CASE ‘x<3‘ THEN ‘x^2‘ END ‘x<5‘ THEN ‘1-x‘ END ‘x<3*π‘
THEN ‘SIN(x)‘ END ‘x<15‘ THEN ‘EXP(x)‘ END –2 END EVAL » »

Página 21-58

Almacene el programa en una variable llamada @@f3c@. Entonces, intentamos
los ejercicios siguientes:
1.5

@@f3c@

Resulta: 2.25 (i.e., x2)

2.5
4.2
5.6

@@f3c@
@@f3c@
@@f3c@

12
23

@@f3c@
@@f3c@

Resulta: 6.25 (i.e., x2)
Resulta: -3.2 (i.e., 1-x)
Resulta: -0.631266… (i.e., sin(x), x en
radianes)
Resulta: 162754.791419 (i.e., exp(x))
Resulta: -2. (i.e., -2)

Como usted puede ver, f3c produce exactamente los mismos resultados que f3.
La única diferencia en los programas es las instrucciones de ramificación
usadas. Para el caso de la función f3(x), la cuál requiere cinco expresiones
para su definición, la instrucción CASE puede ser más fácil de cifrar que un
número de instrucciones IF … THEN … ELSE … END anidadas.

Lazos de programa
Los lazos de programa son instrucciones que permiten al programa la ejecución
de un número de declaraciones repetidamente. Por ejemplo, suponga que
usted desea calcular la adición del cuadrado de los números enteros de 0 a n,
i.e.,
n

S = ∑k2
k =0

Para calcular esta adición todo lo que usted tiene que hacer es utilizar las
teclas ‚½ dentro del editor de ecuaciones y cargar los límites y la
expresión para la adición (los ejemplos de adiciones se presentan en los
capítulos 2 y 13). Sin embargo, para ilustrar el uso de programar lazos,
calcularemos esta adición con nuestros propios códigos del User RPL. Hay
cuatro diversos comandos que se pueden utilizar para cifrar un lazo de
programa en lenguaje User RPL, éstos son START, FOR, DO, y WHILE. Las
instrucciones START y FOR utilizan un índice para determinar cuántas veces se

Página 21-59

ejecuta el lazo. Los comandos DO y WHILE usan una declaración lógica para
decidir cuando terminar la ejecución del lazo. La operación de los comandos
de lazo se describe detalladamente en las secciones siguientes.

La instrucción START

La instrucción START usa dos valores de un índice para ejecutar un número de
declaraciones en varias ocasiones. Hay dos versiones de la instrucción START:
START…NEXT y START … STEP. La versión START…NEXT se utiliza cuando el
incremento del índice es igual a 1, y la versión START…STEP se utiliza cuando
el incremento del índice es determinado por el usuario.
Los comandos implicados en la instrucción START están disponible a través de:
„°@)@BRCH@ @)START @START
Dentro del menú BRCH („°@)@BRCH@) las teclas siguientes están disponibles
para generar instrucciones START (el símbolo  indica la posición del cursor):
•

„ @START: Comienza la instrucción START…NEXT: START  NEXT

•

‚ @START: Comienza la instrucción START…STEP: START  STEP

La instrucción START…NEXT
La forma general de esta declaración es:
valor_inicial valor_final START expresiones_del_programa NEXT
Porque para este caso el incremento es 1, para que el lazo termine, se debe
asegurar que valor_inicial < valor_final. Si no usted producirá
qué se llama un lazo infinito (interminable).
Ejemplo - calcular de la adición S definida arriba
La instrucción START…NEXT contiene un índice cuyo valor es inaccesible al
usuario. Puesto que para el cálculo de la suma el índice mismo (k, en este caso)
es necesario, debemos crear nuestro propio índice, k, que incrementaremos

Página 21-60

dentro del lazo cada vez que el lazo se ejecuta. Una aplicación práctica
posible en el cálculo de S es el programa:
« 0. DUP → n S k « 0. n START k SQ S + 1. ‘k‘ STO+ ‘S‘ STO
NEXT S “S” →TAG » »
Escriba el programa, y almacénelo en una variable llamada @@@S1@@@.
He aquí una breve explicación de cómo el programa trabaja:
1. Este programa necesita un número entero como entrada. Así, antes de
la ejecución del programa, ese número (n) está en el nivel 1 de la
pantalla. El programa entonces se ejecuta.
2. Se introduce un cero, n se cambia al nivel 2 de la pantalla
3. La instrucción DUP, la cuál se puede escribir como
~~dup~, copia el contenido del nivel 1 de la pantalla,
mueve todos los niveles de la pantalla hacia arriba, y coloca la copia
en el nivel 1 de la pantalla. Así, después de ejecutar DUP, n está en el
nivel 3 y aparecen ceros en los otros niveles.
4. La parte del código → n S k almacena los valores de n, 0, y 0,
respectivamente en las variables locales n, S, k. Decimos que se han
inicializado las variables n, S, y k (S y k a cero, n a cualquier valor que
el usuario elige).
5. La parte del código 0. n START identifica un lazo START cuyo índice
tomará valores 0, 1, 2, …, n
6. La suma S se incrementa en k2 en la parte del código: k SQ S +
7. El índice k se incrementa en 1 en la parte del código: 1. k +
8. 8. A este punto, los valores actualizados de S y k están disponibles en
los niveles 2 y 1 de la pantalla, respectivamente. La parte del código
‘k‘ STO almacena el valor del nivel 1 de la pantalla en la variable
local k. El valor actualizado de S ahora ocupa el nivel 1 de la
pantalla.
9. La parte del código ‘S‘ STO almacena el valor del nivel 1 de la
pantalla en la variable local k. El pantalla del la es vacío ahora.

Página 21-61

10. La partícula NEXT aumenta el índice en uno y envía el control al
principio del lazo (paso 6).
11. Se repite el lazo hasta que el índice del lazo alcanza el valor máximo,
n.
12. La parte última del programa recuerda el valor último de S (la
adición), lo etiqueta, y lo coloca en el nivel 1 de la pantalla como la
salida del programa.
Para ver el programa en acción, paso a paso, usted puede utilizar el programa
DBUG como sigue (use n = 2). Sea SL1 el nivel 1 de la pantalla:
J2[‘] @@@S1@@ `

Coloque 2 en el nivel 2, y el nombre del
programa, ' S1 ', en el nivel 1
„°LL @)@RUN@ @@DBG@
Comenzar DBUG. SL1 = 2.
@SST↓@
SL1 = 0., SL2 = 2.
@SST↓@
SL1 = 0., SL2 = 0., SL3 = 2. (DUP)
@SST↓@
Pantalla vacía (-> n S k)
@SST↓@
Pantalla vacía (« - comienza subprograma)
@SST↓@
SL1 = 0., (comenzar índice del lazo)
@SST↓@
SL1 = 2.(n), SL2 = 0. (valor del final del
índice del lazo)
@SST↓@
Pantalla vacía (START – principio del lazo)
--- ejecución del lazo número 1 para k = 0
@SST↓@
SL1 = 0. (k)
@SST↓@

SL1 = 0. (SQ(k) = k2)

@SST↓@

SL1 = 0.(S), SL2 = 0. (k2)

@SST↓@

SL1 = 0. (S + k2)

@SST↓@

SL1 = 1., SL2 = 0. (S + k2)

@SST↓@

SL1 = 0.(k), SL2 = 1., SL3 = 0. (S + k2)

@SST↓@

SL1 = 1.(k+1), SL2 = 0. (S + k2)

@SST↓@

SL1 = ‘k’, SL2 = 1., SL3 = 0. (S + k2)

@SST↓@

SL1 = 0. (S + k2) [Almacena SL2 = 1, en SL1
= ‘k’]

Página 21-62

SL1 = ‘S’, SL2 = 0. (S + k2)
Pantalla vacía [Almacena SL2 = 0, en SL1 =
‘S’]
@SST↓@
Pantalla vacía (NEXT – final del lazo)
--- ejecución del lazo número 2 para k = 1
@SST↓@
SL1 = 1. (k)
@SST↓@
@SST↓@

@SST↓@

SL1 = 1. (SQ(k) = k2)

@SST↓@

SL1 = 0.(S), SL2 = 1. (k2)

@SST↓@

SL1 = 1. (S + k2)

@SST↓@

SL1 = 1., SL2 = 1. (S + k2)

@SST↓@

SL1 = 1.(k), SL2 = 1., SL3 = 1. (S + k2)

@SST↓@

SL1 = 2.(k+1), SL2 = 1. (S + k2)

@SST↓@

SL1 = ‘k’, SL2 = 2., SL3 = 1. (S + k2)

@SST↓@

SL1 = 1. (S + k2) [Almacena SL2 = 2, en SL1
= ‘k’]

SL1 = ‘S’, SL2 = 1. (S + k2)
Pantalla vacía [Almacena SL2 = 1, en SL1 =
‘S’]
@SST↓@
Pantalla vacía (NEXT – final del lazo)
--- ejecución del lazo número 3 para k = 2
@SST↓@
SL1 = 2. (k)
@SST↓@
@SST↓@

@SST↓@

SL1 = 4. (SQ(k) = k2)

@SST↓@

SL1 = 1.(S), SL2 = 4. (k2)

@SST↓@

SL1 = 5. (S + k2)

@SST↓@

SL1 = 1., SL2 = 5. (S + k2)

@SST↓@

SL1 = 2.(k), SL2 = 1., SL3 = 5. (S + k2)

@SST↓@

SL1 = 3.(k+1), SL2 = 5. (S + k2)

@SST↓@

SL1 = ‘k’, SL2 = 3., SL3 = 5. (S + k2)

@SST↓@

SL1 = 5. (S + k2) [Almacena SL2 = 3, en SL1
= ‘k’]

@SST↓@

SL1 = ‘S’, SL2 = 5. (S + k2)

Página 21-63

@SST↓@

Pantalla vacía [Almacena SL2 = 0, en SL1 =
‘S’]
@SST↓@
Pantalla vacía (NEXT – final del lazo)
--- para n = 2, se agota el índice del lazo y el control se pasa al paso siguiente
de la instrucción NEXT
@SST↓@
SL1 = 5 (S se pasa a la pantalla)
@SST↓@
SL1 = “S”, SL2 = 5 (“S” se pasa a la
pantalla)
@SST↓@
SL1 = S:5 (etiqueta para salida)
@SST↓@
SL1 = S:5 (dejar el subprograma »)
@SST↓@
SL1 = S:5 (dejar programa principal »)
El listado paso a paso se termina. El resultado de activar el programa @@@S1@@
con n = 2, es S:5.
Comprobar también los resultados siguientes: J
3 @@@S1@@
Resulta: S:14
4 @@@S1@@
5 @@@S1@@
Resulta: S:55
8 @@S1@@
10 @@@S1@@
Resulta: S:385
20 @@S1@@
30 @@@S1@@
Resulta: S:9455
100 @@@S1@@

Resulta:
Resulta:
Resulta:
Resulta:

S:30
S:204
S:2870
S:338350

La instrucción START…STEP
La forma general de esta declaración es:
valor_inicial valor_final START expresiones_del_programa incremento NEXT
Las partículas valor_inicial, valor_final, e incremento de lazo en el índice
puede ser cantidades positivas o negativas. Para increment > 0, la
ejecución ocurre mientras el índice es menos que o igual a valor_final.
Para increment < 0, la ejecución ocurre mientras el índice es mayor que o
igual a valor_final.
Ejemplo – generación de una lista de valores

Página 21-64

Suponer que usted desea generar una lista de valores de x de x = 0.5 a x =
6.5 en incrementos de 0.5. Usted puede escribir el programa siguiente:
« → xs xe dx « xs DUP xe START DUP dx + dx STEP DROP xe
xs – dx / ABS 1 + →LIST » »
y almacenarlo en la variable @GLIST.
En este programa, xs = valor inicial del lazo, xe = valor final del lazo, dx =
valor del incremento para el lazo. El programa coloca los valores de xs,
xs+dx, xs+2⋅dx, xs+3⋅dx, … en la pantalla. Entonces, calcula el número de los
elementos generados usando: xe xs – dx / ABS 1. +
Finalmente, el programa junta una lista con los elementos puestos en la
pantalla.
•
•

Verifique que al activar el programa con 0.5 ` 2.5 ` 0.5 ` @GLIST
se produce la lista {0.5 1. 1.5 2. 2.5}.
Para ver, paso a paso, la operación del programa, use DBUG con una lista
corta, Por ejemplo:

J1 # 1.5 # 0.5 `
[ ‘ ] @GLIST `
„°LL @)@RUN@ @@DBG@

Escriba 1 1.5 0.5
Escriba nombre en nivel 1
Comenzar el DBUG.

Use @SST↓@ para caminar en el programa y ver la operación detallada de cada
comando.

La instrucción FOR

Como en el caso de la instrucción START, la instrucción FOR tiene dos
variaciones: la instrucción FOR…NEXT, para los incrementos del índice del
lazo de 1, y la instrucción FOR…STEP, para los incrementos del índice del lazo
seleccionados por el usuario. A diferencia de la instrucción START, sin
embargo, la instrucción FOR requiere que proporcionemos un nombre para el

Página 21-65

índice del lazo (por ejemplo., j, k, n). No necesitamos preocuparnos de
incrementar el índice nosotros mismos, como se hizo con los ejemplos que usan
START. El valor que corresponde al índice está disponible para los cálculos.
Los comandos implicados en la instrucción FOR estar disponible a través de:
„°@)@BRCH@ @)@FOR
Dentro del menú BRCH („°@)@BRCH@)los golpes de teclado siguientes están
disponibles para generar instrucciones FOR (el símbolo  indica la posición
del cursor):
•

„ @)@FOR: Comienza la instrucción FOR…NEXT : FOR  NEXT

•

‚ @)@FOR: Comienza la instrucción FOR…STEP : FOR  STEP

La instrucción FOR…NEXT
La forma general de esta declaración es:
valor_inicial valor_final FOR loop_index expresiones_del_programa NEXT
Para evitar un bucle infinito, cerciorarse de que valor_inicial
valor_final.

<

Ejemplo – calcular la adición S usando una instrucción FOR…NEX. El
programa siguiente calcula la adición
n

S = ∑k2
k =0

Use una instrucción FOR…NEXT:
« 0 → n S « 0 n FOR k k SQ S + ‘S‘ STO NEXT S “S” →TAG » »

Página 21-66

Almacene este programa en una variable @@S2@@.
ejercicios: J
3
5
10
30

@@@S2@@
@@@S2@@
@@@S2@@
@@@S2@@

Resulta:
Resulta:
Resulta:
Resulta:

S:14
S:55
S:385
S:9455

4
8
20
100

@@@S2@@
@@@S2@@
@@@S2@@
@@@S2@@

Verifique los siguientes

Resulta:
Resulta:
Resulta:
Resulta:

S:30
S:204
S:2870
S:338350

Usted pudo haber notado que el programa es mucho más simple que el que
está almacenado en @@@S1@@. No hay necesidad de inicializar k, o de
incrementar k dentro del programa. El programa mismo produce tales
incrementos.
La instrucción FOR…STEP
La forma general de esta instrucción es:
valor_inicial valor_final FOR loop_index expresiones_del_programa incremento
STEP
Las cantidades valor_inicial, valor_final, e incremento del índice del lazo
puede ser cantidades positivas o negativas. Para incremento > 0, la
ejecución ocurre mientras el índice es menos que o igual a valor_final.
Para incremento < 0, la ejecución ocurre mientras el índice es mayor que o
igual a valor_final. Las declaraciones del programa se ejecutan por lo
menos una vez (por ejemplo, 1 0 START 1 1 STEP produce 1)
Ejemplo – generar una lista de números usando una instrucción FOR…STEP
Escriba el programa:
« → xs xe dx « xe xs – dx / ABS 1. + → n « xs xe FOR x x
dx STEP n →LIST » » »
y almacénelo en la variable @GLIS2.

Página 21-67

•
•

Verifique que 0.5 ` 2.5 ` 0.5 ` @GLIS2 produce la lista {0.5 1.
1.5 2. 2.5}.
Para ver, paso a paso, la operación del programa, use DBUG para una
lista corta, por ejemplo:

J1 # 1.5 # 0.5 `
[‘] @GLIS2 `
„°LL @)@RUN@ @@DBG@

Escriba 1 1.5 0.5
Nombre de programa en nivel 1
Comenzar DBUG.

Use @SST↓@ para recorrer el programa y ver la operación detallada de cada
comando.

La instrucción DO

La estructura general de este comando es:
DO expresiones_del_programa UNTIL expresión_lógica END
La instrucción DO comienza un lazo indefinido ejecutando las
expresiones_del_programa hasta que la expresión_lógica produce un falso
(FALSE (0)). La expresión_lógica debe contener el valor de un índice cuyo
valor se cambia en las expresiones_del_programa.
Ejemplo 1 - Este programa produce un contador en la esquina izquierda
superior de la pantalla que agrega 1 en un lazo indefinido hasta que una tecla
(presione cualquiera de ellas) para el contador:
« 0 DO DUP 1 DISP 1 + UNTIL KEY END DROP »
La instrucción KEY evalúa a TRUE (verdadero) cuando se presiona una tecla.
Ejemplo 2 – calcular la suma S usando una instrucción DO…UNTIL…END
El programa siguiente calcula la sumatoria:
n

S = ∑k2
k =0

Página 21-68

Usando una instrucción DO…UNTIL…END:
« 0. → n S « DO n SQ S + ‘S‘ STO n 1 – ‘n‘ STO UNTIL ‘n<0‘
END S “S” →TAG » »
Almacene este
ejercicios: J
3 @@@S3@@
5 @@@S3@@
10 @@@S3@@
30 @@@S3@@

programa en una variable @@S3@@.
Resulta:
Resulta:
Resulta:
Resulta:

S:14
S:55
S:385
S:9455

4
8
20
100

@@@S3@@
@@@S3@@
@@@S3@@
@@@S3@@

Verifique los siguientes
Resulta:
Resulta:
Resulta:
Resulta:

S:30
S:204
S:2870
S:338350

Ejemplo 3 - generar una lista usando una instrucción DO…UNTIL…END
Escriba el siguiente programa
« → xs xe dx « xe xs – dx / ABS 1. + xs → n x « xs DO
‘x+dx’ EVAL DUP ‘x’ STO UNTIL ‘x≥xe’ END n →LIST » » »
y almacenarlo en la variable @GLIS3.
•
•

Verifique que 0.5 ` 2.5 ` 0.5 ` @GLIS3 produce la lista {0.5 1.
1.5 2. 2.5}.
Para ver, paso a paso, la operación del programa, use DBUG para una
lista corta, por ejemplo:

J1 # 1.5 # 0.5 `
[‘] @GLIS3 `
„°LL @)@RUN@ @@DBG@

Escriba 1 1.5 0.5
Nombre de programa en nivel 1
Comenzar DBUG

Use @SST↓@ para recorred el programa y ver la operación detallada de cada
instrucción.

Página 21-69

La instrucción WHILE

La estructura general de este comando es:
WHILE expresión_lógica REPEAT expresiones_del_programa END
La instrucción WHILE repetirá las expresiones_del_programa mientras
expresión_lógica es verdadero (no cero). Si no, el control de programa
se pasa a la instrucción que sigue a la declaración END.
Las
expresiones_del_programa debe incluir un índice de lazo que se
modifica antes de que se verifique la expresión_lógica al principio de la
repetición siguiente. A diferencia de la instrucción DO, si la primera
evaluación la expresión_lógica es falsa, el lazo nunca se ejecuta.
Ejemplo 1 – calcular la sumatoria S usando una instrucción
WHILE…REPEAT…END
El programa siguiente calcula la sumatoria
n

S = ∑k2
k =0

Usando un lazo WHILE…REPEAT…END:
« 0. → n S « WHILE ‘n≥0‘ REPEAT n SQ S + ‘S‘ STO n 1 – ‘n‘ STO
END S “S” →TAG » »
Almacene este programa en una variable @@S4@@.
ejercicios: J
3
5
10
30

@@@S4@@
@@@S4@@
@@@S4@@
@@@S4@@

Resulta:
Resulta:
Resulta:
Resulta:

S:14
S:55
S:385
S:9455

4
8
20
100

@@@S4@@
@@@S4@@
@@@S4@@
@@@S4@@

Verifique los siguientes

Resulta:
Resulta:
Resulta:
Resulta:

S:30
S:204
S:2870
S:338350

Página 21-70

Ejemplo 2 – generar una lista usando la instrucción WHILE…REPEAT… END.
Escriba el siguiente programa
« → xs xe dx « xe xs – dx / ABS 1. + xs → n x « xs WHILE
‘x. Esta función está disponible a través
del catálogo de funciones. Como ejemplo, intente crear el programa siguiente
en modo algebraico, y almacénelo en la variable P2:
« → X ‘2.5-3*X^2’ »
Primero, active la función RPL> en el catálogo de funciones (‚N). Todas
las funciones activadas en modo ALG tienen un par de paréntesis unidos a su
nombre. La función RPL> no es una excepción, excepto que los paréntesis
deben removerse antes de escribir un programa en la pantalla. Utilice las teclas
(š™) y (ƒ) para eliminar paréntesis de la instrucción RPL>(). A este
punto usted estará listo a escribir el programa en User RPL. Las figuras
siguientes muestran la instrucción RPL> con el programa antes y después de
presionar la tecla `.

Para almacenar el programa use la función STO como sigue:
„îK~p2`

Página 21-74

Una evaluación del programa P2 para la discusión X = 5 se demuestra en la
pantalla siguiente:

Mientras que usted puede escribir programas en modo algebraico, sin usar la
función RPL>, algunas de las instrucciones de RPL producirán un mensaje de
error cuando usted presiona `, por ejemplo:

Mientras que, usando RPL, no hay problema al cargar este programa en modo
algebraico:

Página 21-75

Capítulo 22
Programas para la manipulación de los gráficos
Este capítulo incluye un número de ejemplos que demuestran cómo utilizar las
funciones de la calculadora para la manipulación de gráficos, interactivamente
o con el uso de programas. Como en el capítulo 21 recomendamos usar el
modo RPN y fijando la bandera del sistema 117 a SOFT menus.
Introducimos una variedad de usos gráficos de la calculadora en el capítulo
12. Los ejemplos del capítulo 12 representan la producción interactiva de
gráficos usando las formas preprogramadas de la entrada de la calculadora.
Es también posible utilizar gráficos en programas, por ejemplo, para
complementar resultados numéricos con los gráficos. Para lograr tales tareas,
primero introducimos la función en el menú PLOT.

El menú PLOT
Las funciones para ajustar y producir las gráficas están disponibles a través del
menú PLOT.
Usted puede tener acceso al menú PLOT usando:
81.01 „°L@)MODES @)MENU@ @@MENU@.

El menú producido así proporciona el acceso de usuario a una variedad de
funciones de los gráficos. Para el uso en ejemplos subsecuentes, definamos la
tecla C (GRAPH) para proporcionar el acceso a este menú según lo descrito
abajo.

Página 22-1

Tecla de usuario para el menú PLOT

Escriba lo siguiente para determinar si usted tiene teclas de usuario definidas
en su calculadora: „°L@)MODES @)@KEYS@ @@RCLKE@.
A menos que usted haya definido algunas teclas de usuario, usted debe
obtener una lista que contiene una S, es decir, {S}. Esto indica que el teclado
estándar es la única definición almacenada en su calculadora. Para definir una
tecla de usuario usted necesita agregar a esta lista una instrucción o un
programa seguido por la referencia de la tecla (véanse los detalles en el
capítulo 20). Escriba la lista { S << 81.01 MENU >> 13.0 } en la
pantalla y use la función STOKEYS („°L@)MODES @)@KEYS@ @@STOK@) para
definir la tecla C para acceder al menú PLOT. Verificar que tal lista fuera
almacenada en la calculadora usando „°L@)MODES @)@KEYS@ @@RCLK@.
Nota: No trabajaremos ningún ejercicio mientras que presentamos el
menú PLOT, sus funciones o sub-menus. Esta sección será más como una
exploración de los contenidos de PLOT Y como se relacionan con el diverso
tipo de gráficos disponibles en la calculadora.
Para activar una tecla de usuario usted necesita presionar „Ì (la tecla
~) antes de presionar la tecla o la combinación de teclas de interés. Para
activar el menú PLOT, con la definición de tecla usada anteriormente, presione:
„Ì C. Usted conseguirá el menú siguiente (presione L para
moverse al segundo menú)

Descripción del menú PLOT

El diagrama siguiente demuestra los menús en PLOT. El número que acompaña
los diversos menús y funciones en el diagrama se utiliza como referencia en la
descripción subsiguiente de esos objetos.

Página 22-2

Las teclas denominadas 3D, STAT, FLAG, PTYPE, y PPAR, producen los menús
adicionales, que serán presentados detalladamente más adelante. A este punto
describimos las teclas del menú 81.02. Éstas son:
LABEL (10)
La función LABEL se utiliza para etiquetar los ejes en un diagrama incluyendo
los nombres de variables y los valores mínimos y máximos de los ejes. Los
nombres de variables se seleccionan de la información contenida en la
variable PPAR.
AUTO (11)
La función AUTO (AUTO escala) calcula el rango de la gráfica para los ejes x y
y en gráficas bidimensionales según el tipo de diagrama definido en la
variable PPAR. Para cualesquiera de los gráficos tridimensionales la función
AUTO no produce ninguna acción. Para los diagramas de dos dimensiones,
las acciones siguientes se realizan por AUTO:
•
•
•

•
•

FUNCTION: de acuerdo con el rango de la gráfica en x, hace un muestreo
la función en EQ y determina los valores mínimo y máximo de y.
CONIC: fija la escala del eje e igual a la del eje x.
POLAR: de acuerdo con los valores de la variable independiente
(típicamente θ), hace un muestreo la función en EQ y determina valores
mínimos y máximos de x y de y.
PARAMETRIC: produce un resultado similar a POLAR de acuerdo con los
valores del parámetro que define las ecuaciones para x y y.
TRUTH: no produce ninguna acción.

Página 22-3

•

•
•

BAR: el rango del eje x se fija de 0 a n+1 donde n es el número de
elementos en ΣDAT. El rango de valores de y se basa en el contenido de
ΣDAT. Los valores mínimo y máximo de y se determinan de manera que el
eje x se incluye siempre en el gráfico.
HISTOGRAM: similar a BAR.
SCATTER: ajusta rangos en los ejes x y y de acuerdo con el contenido de
las variables independientes y dependientes en ΣDAT.

INFO (12)
La función INFO es interactiva solamente (es decir, no puede ser programada).
Cuando se presiona la tecla correspondiente del menú proporciona la
información sobre el actual traza parámetros.
EQ (3)
El nombre de la variable EQ es reservado por la calculadora para almacenar
la ecuación actual en diagramas o la solución a las ecuaciones (ver, por
ejemplo, el capítulo 6). La tecla de menú etiquetada EQ puede ser utilizada
como si usted tiene su menú de variables disponible, por ejemplo, si usted
presiona [ EQ ] listará el contenido actual de esa variable.
ERASE (4)
La función ERASE borra el contenido actual de la ventana de los gráficos. En
la programación, puede ser utilizado para asegurarse de que la ventana de los
gráficos se ha despejado antes de trazar un nuevo gráfico.
DRAX (5)
La función DRAX dibuja los ejes en el diagrama actual, si hay alguno visible.
DRAW (6)
La función DRAW dibuja el diagrama definido en PPAR.

Página 22-4

El menú PTYPE bajo PLOT (1)
El menú PTYPE enumera el nombre de todos los tipos de diagramas de dos
dimensiones preprogramados en la calculadora. El menú contiene las
siguientes teclas del menú:

Estas llaves corresponden a los tipos del diagrama Function, Conic, Polar,
Parametric, Truth, y Diff Eq, presentado anterior. Presionar una de estas teclas
del menú, mientras que se escribe un programa, pondrá la función
correspondiente en el programa. Presione L )@PLOT para conseguir de nuevo
el menú PLOT principal.
El menú PPAR (2)
El menú PPAR enumera las diversas opciones en la variable PPAR según lo
indicado por las teclas del menú. Presione L para moverse a los menús
siguientes:

Nota: las funciones SCALE demostrado aquí representan realmente
SCALE, SCALEW, SCALEH, en ese orden.
El diagrama siguiente ilustra las funciones disponibles en el menú PPAR. Las
letras unidas a cada función en el diagrama se utilizan para los propósitos de
la referencia en la descripción de las funciones demostradas abajo.

Página 22-5

INFO (n) y PPAR (m)
Si Ud. presiona @INFO, o escribe ‚ @PPAR, mientras que en este menú, usted
conseguirá un listado de los ajustes actuales de la variable PPAR, por ejemplo:

Esta información indica que X es la variable independiente (Indep), Y es la
variable dependiente (Depnd), el rango del eje x alcanza de –6.5 a 6.5
(Xrng), el rango del eje y alcanza de –3.1 a 3.2 (Yrng). Una pieza de
información en la pantalla, el valor de Res (resolución), determina el intervalo
de la variable independiente usada para generar la grafica.
Las etiquetas de las teclas incluidas en el menú PPAR(2) representar los
comandos que se pueden utilizar en programas. Estos comandos incluyen:
INDEP (a)
El comando INDEP especifica la variable independiente y rango en la gráfica.
Estas especificaciones se almacenan como el tercer parámetro en la variable
PPAR. El valor prefijado es ' X '. Los valores que se pueden asignar a la
especificación variable independiente son:
Un nombre de la variable, por ejemplo, 'Vel'
Un nombre de variable en una lista, por ejemplo, { Vel }

Página 22-6

Un nombre de variable y un rango en una lista, por ejemplo, { Vel 0 20 }
Un rango sin un nombre variable, por ejemplo., { 0 20 }
Dos valores que representan un rango, por ejemplo., 0 20
En un programa, cualesquiera de estas especificaciones serán seguidas por el
comando INDEP.
DEPND (b)
El comando DEPND especifica el nombre de la variable dependiente. Para el
caso de diagramas TRUTH también especifica el rango de la gráfica. El valor
prefijado es Y. El tipo de especificaciones para la variable de DEPND es igual
a los de la variable INDEP.
XRNG (c) y YRNG (d)
El comando XRNG especifica el rango de la gráfica para el eje x, mientras que
el comando YRNG especifica el rango de la gráfica para el eje y. La entrada
para cualesquiera de estos comandos consiste de dos números que representan
los valores mínimo y máximo de x o de y. Los valores de los rangos de los ejes
x y y se almacenan como los pares ordenados (xmin, ymin) y (xmax, ymax) en los
dos primeros elementos de la variable PPAR. Valores prefijados para xmin y
xmax son -6.5 y 6.5, respectivamente. Valores prefijados para xmin y xmax son
–3.1 y 3.2, respectivamente.
RES (e)
El comando RES (RESolution) especifica el intervalo entre los valores de la
variable independiente al producir un diagrama específico. La resolución se
puede expresar en términos de las unidades del usuario como número
verdadero, o en términos de píxeles como número entero binario (números
comenzando con #, por ejemplo., #10). La resolución se almacena como el
cuarto artículo en la variable PPAR.

Página 22-7

CENTR (g)
El comando CENTR toma como argumento el par ordenado (x,y) o un valor x,
y ajusta los primeros dos elementos en la variable PPAR, i.e., (xmin, ymin) y
(xmax, ymax), de modo que el centro del diagrama es (x,y) o (x,0),
respectivamente.
SCALE (h)
El comando SCALE El comando SCALE determina la escala de la gráfica
representada por el número de las unidades del usuario por marca del eje. La
escala pre-selecta es 1 unidad de usuario por marca. Cuando se usa el
comando SCALE, toma como argumentos dos números, xscale y yscale,
representando las escalas horizontal y vertical nuevas. El efecto del comando
SCALE es ajustar los parámetros (xmin, ymin) y (xmax, ymax) en PPAR para
acomodar la escala deseada. El centro del diagrama se preserva.
SCALEW (i)
Dado un factor xfactor, el comando SCALEW multiplica la escala horizontal por
ese factor. La W en SCALEW significa 'width' (ancho). La ejecución de
SCALEW cambia los valores de xmin y xmax en PPAR.
SCALEH (j)
Dado un factor yfactor, el comando SCALEH multiplica la escala vertical por ese
factor. La H en SCALEH significa 'height' (altura). La ejecución de SCALEW
cambia los valores de ymin y ymax en PPAR.
Nota: Cambios introducidos usando SCALE, SCALEW, o SCALEH, puede
ser utilizado para enfocar hacia adentro o enfocar hacia afuera en un
diagrama.
ATICK (l)
El comando ATICK (Axes TICK mark, o marca de ejes) se utiliza para fijar las
anotaciones de marcas en los ejes. El valor de entrada para el comando
ATICK puede ser uno del siguiente:
Un valor real x : fija las anotaciones para los ejes x y y a unidades x

Página 22-8

Una lista de dos valores reales { x y }: fija las anotaciones para los ejes x y y a
unidades x y y, respectivamente.
Un entero binario #n: ajusta las anotaciones de los ejes x y y a #n píxeles
Una lista de dos números enteros binarios {#n #m}: fija las anotaciones en los
ejes x y y a #n y #m píxeles, respectivamente.
AXES (k)
El valor de la entrada para el comando AXES consiste ya sea en par ordenado
(x,y) o una lista {(x,y) atick "etiqueta eje x " "etiquta eje y "}. El parámetro
atick representa la especificación de las anotaciones de las marcas según lo
descrito arriba para el comando ATICK. El par ordenado representa el centro
del diagrama. Si solamente un par ordenado se da como entrada a AXES,
solamente se altera el origen de los ejes. El argumento del comando AXES, ya
sea un par ordenado o una lista de valores, se almacena como el quinto
parámetro en PPAR.
Para volver al menú PLOT, presione @)PLOT.
Presione L para alcanzar el segundo menú de PLOT.
RESET (f)
Esta tecla reajustará los parámetros del diagrama a los valores prefijados.
El menú 3D dentro de PLOT (7)
El menú 3D contiene dos sub-menus, PTYPE y VPAR, y una variable, EQ.
Conocemos ya con el significado de EQ, por lo tanto, nos concentraremos en
el contenido de los menús PTYPE y VPAR. El diagrama abajo demuestra la
ramificación del menú 3D.

Página 22-9

El menú PTYPE dentro de 3D (IV)
El menú PTYPE dentro de 3D contiene las funciones siguientes:

Estas funciones corresponden a las opciones de los gráficos Slopefield,
Wireframe, Y-Slice, Ps-Contour, Gridmap
y Pr-Surface presentado
anteriormente en este capítulo. Presionar una de estas teclas de menú, mientras
que escribe un programa, pondrá la referencia a la función correspondiente en
el programa. Presione L@)@3D@@ para conseguir de nuevo el menú principal
3D.
El menú VPAR dentro de 3D (V)
El VPAR variable representa parámetros de volumen (Volume PARameters),
refiriendo a un paralelepípedo en el espacio dentro del cual el gráfico
tridimensional de interés se construye. Cuando uno presiona [VPAR] en el menú
3D, usted conseguirá las funciones siguientes. Presione L para moverse al
menú siguiente:

Página 22-10

Después, describimos el significado de estas funciones:
INFO (S) y VPAR (W)
Cuando Ud. presiona @INFO (S) usted consigue la información demostrada en la
pantalla lateral izquierda anterior. Los rangos en Xvol, Yvol, y Zvol describen el
tamaño del paralelepípedo en el espacio donde el gráfico será generado.
Xrng y Yrng describir el rango de valores de x y de y, respectivamente, como
variables independientes en el plano x-y que serán utilizadas para generar las
funciones de la forma z = f(x,y).
Presione L e @INFO (Y) para obtener la información en la pantalla lateral
derecha tirada arriba. Éstos son el valor de la localización del punto de vista
para el gráfico tridimensional (Xeye, Yeye, Zeye), y del número de pasos en x y y
para generar una rejilla para los diagramas de superficies en el espacio.
XVOL (N), YVOL (O), y ZVOL (P)
Estas funciones toman como entrada un valor mínimo y un valor máximo y se
utilizan para especificar el tamaño del paralelepípedo donde el gráfico será
generado (el paralelepípedo de la visión). Estos valores se almacenan en la
variable VPAR. Los valores prefijados para los rangos XVOL, YVOL, y ZVOL
son de –1 a 1.
XXRNG (Q) y YYRNG (R)
Estas funciones toman como entrada un valor mínimo y un valor máximo y se
utilizan para especificar los rangos de las variables x y y para generar
funciones z = f(x,y). El valor prefijado de los rangos XXRNG y YYRNG será
igual que los de XVOL y de YVOL.
EYEPT (T)
La función EYEPT toma como valores de entrada los números reales x, y, z que
representan la localización del punto de vista para un gráfico tridimensional. El
punto de vista es un punto en el espacio desde donde se observa el gráfico
tridimensional. Cambiando el punto de vista producirá diversas vistas del

Página 22-11

gráfico. La figura siguiente ilustra la idea del punto de vista con respecto al
espacio gráfico real y de su proyección en el plano de la pantalla.
NUMX(U) y NUMY (V)
Las funciones NUMX y NUMY se utilizan para especificar el número de puntos
o de pasos a lo largo de cada dirección que se utilizará en la generación de la
rejilla bajo la cual se obtendrán los valores de z = f(x,y).
VPAR (W)
Esto es solamente una referencia a la variable VPAR.
RESET (X)
Reajusta parámetros en pantalla a sus valores prefijados.
Presione L@)@3D@@ para volver al menú 3D.
Presione @)PLOT para volver al menú PLOT.

Página 22-12

El menú STAT dentro de PLOT
El menú STAT proporciona el acceso a los diagramas relacionados con el
análisis estadístico. Dentro de este menú encontramos los menús siguientes::

El diagrama abajo demuestra la ramificación del menú STAT dentro de PLOT.
Los números y las letras que acompañan cada función o menú se utilizan para
la referencia en las descripciones que siguen la figura.

El menú PTYPE dentro STAT (I)
El menú de PTYPE proporciona las funciones siguientes:

Estas llaves corresponden a los tipos del diagrama Bar (A), Histogram (B), y
Scatter(C), presentado en un capítulo anterior. Presionando una de estas teclas
de menú, mientras se escribe un programa, pondrá la referencia a la función
correspondiente en el programa. Presione @)STAT para conseguir de nuevo el
menú del STAT.
El menú DATA dentro de STAT (II)
El menú DATA proporciona las funciones siguientes:

Página 22-13

Las funciones enumeradas en este menú se utilizan para manipular la matriz
estadística ΣDAT. Las funciones Σ+ (D) y Σ- (E), agregan o quitan filas de datos
de la matriz ΣDAT. CLΣ (F) despeja la matriz ΣDAT (G), y la tecla denominada
ΣDAT se utiliza como referencia para los usos interactivos. Más detalles en el
uso de estas funciones fueron presentados en un capítulo anterior en usos
estadísticos. Presione @)STAT para volver al menú STAT.
El menú ΣPAR dentro de STAT (III)
El menú ΣPAR proporciona las funciones siguientes:

INFO (M) y ΣPAR (K)
La tecla INFO en ΣPAR proporciona la información mostrada en la pantalla
anterior. La información enumerada en la pantalla se contiene en la variable
ΣPAR. Los valores mostrados son los valores prefijados para las columnas x y
y, intercepto y pendiente de un modelo de ajuste de datos, y el tipo de modelo
que se ajustará a los datos contenidos en ΣDAT.
XCOL (H)
El comando XCOL se utiliza para indicar cuáles de las columnas ΣDAT, si hay
más de una, es la columna de la x o variable independiente.
YCOL (I)
El comando YCOL se utiliza para indicar cuáles de las columnas ΣDAT, si hay
más de una, es la columna de la y o variable dependiente.
MODL (J)
El comando MODL se refiere al modelo que se seleccionará para ajustar los
datos en ΣDAT, si se implementa un ajuste de datos. Para ver qué opciones
están disponibles, presione @!MODL. Usted conseguirá el menú siguiente:

Página 22-14

Estas funciones corresponden al ajuste lineal, ajuste logarítmico, ajuste
exponencial, ajuste de potencia, o el mejor ajuste posible. El ajuste de los
datos se describe más detalladamente en el capítulo sobre estadística.
Presione )£@PAR para volver al menú ΣPAR.
ΣPAR (K)
ΣPAR es solamente una referencia a la variable ΣPAR para uso interactivo.
RESET (L)
Esta función reajusta el contenido de ΣPAR a sus valores prefijados.
Presione L @)STAT para volver al menú del STAT. Presione [PLOT] para volver
al menú principal PLOT.
El menú FLAG dentro de PLOT
El menú FLAG es realmente interactivo, de modo que usted pueda seleccionar
cualesquiera de las opciones siguientes:
•
•
•

AXES: cuando está seleccionada, se muestran los ejes si son visibles
dentro del área o volumen del diagrama.
CNCT: cuando está seleccionada, se produce un diagrama con los puntos
individuales conectados por líneas.
SIMU: cuando está seleccionado, si se va a trazar más de una gráfica en
el mismo sistema de ejes, traza todos los gráficos simultáneamente

Presione @)PLOT para volver al menú PLOT.

Generación de diagramas con programas
Dependiendo de si se trata de un diagrama bidimensional definido por una
función, por datos en la matriz ΣDAT, o por una función tridimensional, usted
necesita crear las variables PPAR, ΣPAR, y/o VPAR antes de generar un

Página 22-15

diagrama en un programa. Los comandos demostrados en la sección anterior
le ayudarán a crear tales variables.
A continuación, describimos el formato general para las variables necesarias
para producir los diversos tipos de diagramas disponibles en la calculadora

Gráficos de dos dimensiones
Los gráficos de dos dimensiones generados por funciones, a saber, Function,
Conic, Parametric, Polar, Truth y Differential Equation, usan PPAR con el
formato:
{ (xmin, ymin) (xmax, ymax) indep res axes ptype depend }
Los gráficos de dos dimensiones generados de datos en la matriz estadística
ΣDAT, a saber, Bar, Histogram, y Scatter, usan la variable ΣPAR con el formato
siguiente:
{ x-column y-column slope intercept model }
mientras que al mismo tiempo usan PPAR con el formato demostrado
anteriormente.
El significado de los diversos parámetros en PPAR y ΣPAR fueron presentados
en la sección anterior.

Gráficos tridimensionales
Los gráficos tridimensionales disponibles, a saber, opciones Slopefield,
Wireframe, Y-Slice, Ps-Contour, Gridmap y Pr-Surface, usan la variable VPAR
con el formato siguiente:
{xleft, xright, ynear, yfar, zlow, zhigh, xmin, xmax, ymin, ymax,
xeye, yeye, zeye, xstep, ystep}
Estos pares de valores de x, y, z, representan lo siguiente:
• dimensiones del paralelepípedo de vista (xleft, xright, ynear, yfar,
zlow, zhigh)
•

Rango de las variables independientes x,y (xmin, xmax, ymin, ymax)

•

Localización del punto de vista (xeye, yeye, zeye)

Página 22-16

•

Número de pasos en las direcciones x,y (xstep, ystep)

Los gráficos tridimensionales también requieren la variable PPAR con los
parámetros demostrados arriba.

La variable EQ

Todos los diagramas, excepto aquellos basados en la matriz ΣDAT, también
requieren que usted defina la función o las funciones que se trazarán
almacenando las expresiones o las referencias a esas funciones en la variable
EQ.
En resumen, producir un diagrama en un programa que usted necesita cargar
EQ, si se requiere. Entonces carga PPAR, PPAR y ΣPAR, o PPAR y VPAR.
Finalmente, utilizar el nombre del tipo apropiado del diagrama: FUNCTION,
CONIC, POLAR, PARAMETRIC, TRUTH, DIFFEQ, BAR, HISTOGRAM, SCATTER,
SLOPE, WIREFRAME, YSLICE, PCONTOUR, GRIDMAP, o PARSURFACE, para
producir su diagrama.

Ejemplos de diagramas interactivos usando el menú PLOT
Entender mejor la manera que un programa trabaja con los comandos y
variables en PLOT, intente los ejemplos siguientes del uso interactivo de los
diagramas con el menú PLOT.
Ejemplo 1 – Un diagrama de función:
„ÌC
Activar menú PLOT (*)
@)PTYPE @FUNCT
Seleccionar FUNCTION como tipo
‘√r’ `„ @@EQ@@
Almancenar función ‘√r’ en EQ
@)PPAR
Mostrar parámetros del diagrama
~„r` @INDEP
Definir ‘r’ como la variable indep.
~„s` @DEPND
Definir ‘s’ como variable depend.
1 \# 10 @XRNG
Definir (-1, 10) como el rango x
1 \# 5 @YRNG L
Definir (-1, 5) como el rango y
{ (0,0) {.4 .2} “Rs” “Sr” } `
Lista de definición de ejes
@AXES
Definir centro, marcas, etiquetas
L @)PLOT
Regresar al menú PLOT

Página 22-17

@ERASE @DRAX L @LABEL
L @DRAW
@)EDIT L@MENU
LL@)PICT @CANCL

Borrar gráfica, crear ejes y etiquetas
Dibujar diagrama, mostrar figura
Remueve etiquetas del menú
Regresar a pantalla normal

(*) Menú PLOT disponible a través de la tecla de usuario C según lo
demostrado anteriormente en este capítulo.
Ejemplo 2 - Un diagrama paramétrico (use RAD para los ángulos):
„ÌC
Activar menú PLOT
@)PTYPE @PARAM
Seleccionar PARAMETRIC como tipo
{ ‘SIN(t)+i*SIN(2*t)’ } `
Definir función compleja X+iY
„ @@EQ@@
Almancenar función compleja en EQ
@)PPAR
Mostrar parámetros del diagrama
{t 0 6.29} ` @INDEP
Definir ‘t’ como indep. variable
~y` @DEPND
Definir ‘Y’ como variable depend.
2.2 \# 2.2 @XRNG
Definir (-2.2,2.2) como el rango x
1.1 \# 1.1 @YRNG L
Definir (-1.1,1.1) como el rango y
{ (0,0) {.4 .2} “X(t)” “Y(t)”} `
Lista de definición de ejes
@AXES
Definir centro, marcas, etiquetas L
@)PLOTRegresar al menú PLOT
@ERASE @DRAX L @LABEL
Borrar gráfica, crear ejes y etiquetas
L @DRAW
Dibujar diagrama, mostrar la figura
@)EDIT L@MENU LL@)PICT @CANCL Completar diagrama
Ejemplo 3 – Un diagrama polar
„ÌC
@)PTYPE @POLAR
‘1+SIN(θ)’ `„ @@EQ@@
@)PPAR
{ θ 0 6.29} ` @INDEP
~y` @DEPND
3 \# 3 @XRNG
0.5 \# 2.5 @YRNG L

Activar menú PLOT
Seleccionar POLAR como tipo
Función r = f(θ) en EQ
Mostrar parámetros del diagrama
Definir ‘θ’ como la variable indep.
Definir ‘Y’ como la variable depend.
Definir (-3,3) como el rango x
Definir (-0.5,2.5) como el rango y

Página 22-18

{ (0,0) {.5 .5} “x” “y”} `
@AXES
L @)PLOT
@ERASE @DRAX L @LABEL
L @DRAW
@)EDIT L@MENU
LL@)PICT @CANCL

Lista de definición de ejes
Definir centro, marcas, etiquetas
Regresar al menú PLOT
Borrar gráfica, crear ejes y etiquetas
Dibujar diagrama, mostrar la figura
Remover etiquetas de menú
Regresar a pantalla normal

De estos ejemplos observamos un patrón para la generación interactiva de un
gráfico de dos dimensiones a través el menú PLOT:
1 – Seleccione PTYPE.
2 – Almacenar la función para trazar en variable EQ (usar el formato
apropiado, i.e., ‘X(t)+iY(t)’ para PARAMETRIC).
3 – Incorporar el nombre (y rango, si es necesario) de variables independientes
y dependientes
4 – Incorporar las especificaciones de los ejes como una lista { center atick xlabel y-label }
5 – Use ERASE, DRAX, LABEL, DRAW para producir un gráfico con los ejes
completamente etiquetados.
Este mismo procedimiento se puede utilizar para producir diagramas con un
programa, excepto que, en este caso, usted necesita agregar la instrucción
PICTURE después de la función DRAW para recobrar el gráfico a la pantalla.

Ejemplos de diagramas generados con programas
En esta sección demostramos cómo programar la generación de gráficos en los
tres ejemplos pasados. Active el menú PLOT antes de que usted comience a
escribir el programa para facilitar la escritura de las instrucciones de gráficas
(„ÌC).
Ejemplo 1 - Un diagrama de función. Incorporar el programa siguiente:
«
Comenzar programa
{PPAR EQ} PURGE
Borrar PPAR y EQ actuales

Página 22-19

‘√r’ STEQ
‘r’ INDEP
‘s’ DEPND
FUNCTION
{ (0.,0.) {.4 .2}
“Rs” “Sr” } AXES
–1. 5. XRNG
–1. 5. YRNG
ERASE DRAW DRAX LABEL
PICTURE »

Almancenar ‘√r’ en EQ
Cambie indep. variable a ‘r’
Cambie depend. variable a ‘s’
Seleccionar FUNCTION como tipo
Información de ejes
Establecer rango de x
Establecer rango de y
Borrar y trazar diagrama, ejes, etc.
Mostrar gráficos en pantalla

Almacenar el programa en variable PLOT1. Para activarlo, presione J, si es
necesario, después presione @PLOT1.
Ejemplo 2 - Un diagrama paramétrico. Incorporar el programa siguiente:
«
Comenzar programa
RAD {PPAR EQ} PURGE
Cambiar a radianes, borrar
‘SIN(t)+i*SIN(2*t)’ STEQ
Almancenar ‘X(t)+iY(t)’ en EQ
{ t 0. 6.29} INDEP
Variable indep. es ‘r’
‘Y’ DEPND
Cambie depend. variable a ‘Y’
PARAMETRIC
Seleccionar PARAMETRIC como tipo
{ (0.,0.) {.5 .5} “X(t)”
“Y(t)” } AXES
Información de ejes
–2.2 2.2 XRNG
Establecer rango de x
–1.1 1.1 YRNG
Establecer rango de y
ERASE DRAW DRAX LABEL
Borrar y trazar diagrama, ejes, etc.
PICTURE
Mostrar gráficos en pantalla
»
Terminar programa
Almacene el programa en variable PLOT2. Para activarlo, presione J, si es
necesario, después presione @PLOT2.
Ejemplo 3 - Un diagrama polar. Incorporar el programa siguiente:
«
Comenzar programa
RAD {PPAR EQ} PURGE
Radianes, borrar variables.

Página 22-20

‘1+SIN(θ)’ STEQ
{ θ 0. 6.29} INDEP
‘Y’ DEPND
POLAR
“x” “y”} AXES
–3. 3. XRNG
–.5 2.5 YRNG
ERASE DRAW DRAX LABEL
PICTURE
»

Almancenar ‘f(θ)’ en EQ
Indep. var. es ‘θ’
Cambie depend. variable a ‘Y’
Seleccionar POLAR como tipo
{ (0.,0.) {.5 .5}
Información de ejes
Establecer rango de x
Establecer rango de y
Borrar y trazar diagrama, ejes, etc.
Mostrar gráficos en pantalla
Terminar programa

Almacene el programa en la variable PLOT3. Para activarlo, presione J, si
es necesario, después presione @PLOT3.
Estos ejercicios, que ilustran el uso de las instrucciones del menú PLOT en
programas, apenas rasguñan la superficie de la programación de diagramas.
Se invita al lector a intentar sus propios ejercicios en la programación de
diagramas.

Comandos de dibujo para el uso en la programación
Usted puede dibujar figuras directamente en la ventana de los gráficos con
programas que usan los comandos contenidos en el menú PICT, accesible con
„°L@PICT@. Las funciones disponibles en este menú son las siguientes.
Presione L para moverse al siguiente menú:

Obviamente, los comandos LINE, TLINE, y BOX, realizan las mismas
operaciones que sus contrapartes interactivas, dada la entrada apropiada.
Éstas y las otras funciones en el menú PICT se refieren a las ventanas de los
gráficos cuyos rangos en x y y se determinan en la variable PPAR, según lo
demostrado anteriormente para diversos tipos de gráficos. Las funciones en el
menú PICT se describen después:

Página 22-21

PICT
Esta tecla se refiere a una variable llamada PICT que almacena el contenido
actual de la ventana de los gráficos. Este nombre de variable, sin embargo, no
se puede colocar entre apóstrofes, y puede almacenar solamente objetos de
los gráficos. En ese sentido, PICT es diferente a las otras variables de la
calculadora.

PDIM
La función PDIM toma como entrada ya sean dos pares ordenados (xmin,ymin)
(xmax ymax) o dos números enteros binarios #w y #h. El efecto de PDIM es
sustituir el contenido actual de PICT por una pantalla vacía. Cuando el
argumento es (xmin,ymin) (xmax , ymax), estos valores se convierten en el rango
de las coordenadas de usuario en PPAR. Cuando los argumentos son #w y #h,
los rangos de las coordenadas de usuario en PPAR no se cambian, pero el
tamaño del gráfico cambia a #h × #v píxeles.
PICT y la pantalla de los gráficos
PICT, el área de almacenamiento para el gráfico actual, se puede describir
como un gráfico de dos dimensiones con un tamaño mínimo de 131 píxeles de
ancho y 64 píxeles de altura. La anchura máxima de PICT es 2048 píxeles, sin
restricción en la altura máxima. Un píxel es cada de los puntos en la pantalla
de la calculadora en la cual puede ser encendido (oscuro) o apagado (claro)
para producir texto o gráficos. La pantalla de la calculadora tiene 131 píxeles
de ancho y 64 píxeles de altura, es decir, el tamaño mínimo para PICT. Si su
PICT es más grande que la pantalla, el gráfico de PICT se puede describir
como un dominio de dos dimensiones que se pueda deslizar a través de la
pantalla de la calculadora, según se ilustra en el diagrama mostrado más
adelante.

LINE
Este comando toma como entrada dos pares ordenados (x1,y1) (x2, y2), o dos
pares de coordenadas de píxel {#n1 #m1} {#n2 #m2}. El comando traza la
línea entre esas coordenadas.

Página 22-22

TLINE
Este comando (inglés, Toggle LINE) toma como entrada dos pares ordenados
(x1,y1) (x2, y2), o dos pares de coordenadas de píxel {#n1 #m1} {#n2 #m2}. El
comando traza la línea entre esas coordenadas, cambiando el estado de los
píxeles en la trayectoria de la línea.

BOX
Este comando toma como entrada dos pares ordenados (x1,y1) (x2, y2), o dos
pares de coordenadas de píxel {#n1 #m1} {#n2 #m2}. El comando dibuja la
caja cuyas diagonales son representadas por los dos pares de coordenadas en
la entrada.

ARC
Este comando se utiliza dibujar un arco. ARC toma como entrada los objetos
siguientes:
• coordenadas del centro del arco como (x,y) en coordenadas de usuario o
{#n, #m} en píxeles.

Página 22-23

•
•

radio del arco como r (coordenadas de usuario) o #k (píxeles).
Ángulo inicial θ1 y ángulo final θ2.

PIX?, PIXON, y PIXOFF
Estas funciones toman como entrada las coordenadas del punto en
coordenadas de usuario, (x,y), o en píxeles {#n, #m}.
•
•
•

PIX? Comprueba si el píxel en la localización (x,y) o {#n, #m} está
encendido.
PIXOFF apaga el píxel en la localización (x,y) o {#n, #m}.
PIXON enciende el píxel en la localización (x,y) o {#n, #m}.

PVIEW
Este comando toma como entrada las coordenadas de un punto como
coordenadas de usuario (x,y) o píxeles {#n, #m}, y coloca el contenido de PICT
con la esquina izquierda superior en la localización del punto especificado.
Usted puede también utilizar una lista vacía como argumento, en cuyo caso el
cuadro se centra en la pantalla. PVIEW no activa el cursor de los gráficos o el
menú del cuadro. Para activar cualesquiera de esas características utilice la
función PICTURE.

PXC

La función PXC convierte coordenadas de píxel {#n #m} a coordenadas de
usuario (x,y).

CPX

La función CPX convierte coordenadas de usuario (x,y) a coordenadas de
píxel {#n #m}.

Ejemplos de programación usando funciones de dibujo
En esta sección utilizamos los comandos descritos arriba para producir gráficos
con programas. El listado del programa se proporciona en la ROM unida del
disquete o del CD.

Página 22-24

Ejemplo 1 - Un programa que utiliza comandos de dibujo
El programa siguiente produce un dibujo en la pantalla de los gráficos. (este
programa no tiene ningún otro propósito que demostrar cómo utilizar
comandos de la calculadora de producir dibujos en la exhibición.)
«
DEG
0. 100. XRNG
0. 50. YRNG
ERASE
(5., 2.5) (95., 47.5) BOX
(50., 50.) 10. 0. 360. ARC
(50., 50.) 12. –180. 180. ARC
1 8 FOR j
(50., 50.) DUP
‘12*COS(45*(j-1))’ NUM
‘12*SIN(45*(j-1))’ NUM
RC
+
LINE
NEXT
{ } PVIEW
»

Comenzar programa
Seleccionar grados para ángulos
Establecer rango de x
Establecer rango de y
Borrar figura
Trazar caja de (5,5) a (95,95)
Trazar círculo centro (50,50), r =10.
Trazar círculo centro (50,50), r= 12.
Trazar 8 líneas en círculo
Líneas centradas en (50,50)
Calcula x, otro extremo en 50 + x
Calcula y, otro extremo en 50 + y
Convertir x y a (x,y), núm. complejo
Sumar (50,50) a (x,y)
Dibujar la línea
Terminar lazo FOR
Mostrar figura

Ejemplo 2 - Un programa para trazar una sección transversal natural del río
Este uso puede ser útil para determinar área y perímetros mojados de las
secciones transversales naturales del río. Típicamente, se examina una sección
transversal del río natural y se genera una serie de puntos, representando
coordenadas x y con respecto a un sistema arbitrario de ejes coordenados.
Estos puntos pueden ser trazados para producir un bosquejo de la sección
transversal para una elevación dada de la superficie del agua. La figura abajo
ilustra los términos presentados en este párrafo.

Página 22-25

El programa, los disponibles en la ROM en el disquete o CD adjunto a su
calculadora, utiliza cuatro sub-programas FRAME, DXBED, GTIFS, y INTRP. El
programa principal, llamado XSECT, tomas como entrada una matriz de
valores de x y de y, y la elevación de la superficie del agua Y (ver la figura
abajo), en esa orden. El programa produce un gráfico de la sección
transversal que indica los datos de entrada con los puntos en el gráfico, y
demuestra la superficie libre en la sección representativa.

Se sugiere que usted crea un sub-directorio separado para almacenar los
programas. Usted podría llamar el sub-directorio RIVER, puesto que estamos
tratando con las secciones transversales irregulares de canales abiertos, típicas
de los ríos.
Para ver el programa XSECT en acción, utilice los datos siguientes. Escríbalos
como matrices de dos columnas, la primera columna con datos x y la segunda
con datos y. Almacene las matrices en variables con nombres tales como
XYD1 (datos x-y 1) y XYD2 (datos x-y 2). Para activar el programa coloque una
de las matrices de datos en la pantalla, e.g., J @XYD1!, después escriba una
elevación de la superficie del agua, digamos 4.0, y presione @XSECT. La
calculadora mostrará un bosquejo de la sección representativa con la superficie
correspondiente del agua. Para salir de la pantalla del gráfico, presione $.

Página 22-26

Intentar los ejemplos siguientes:
@XYD1!
@XYD1!
@XYD1!
@XYD1!

2
3
4
6

@XSECT
@XSECT
@XSECT
@XSECT

Sea paciente al activar el programa XSECT. Debido al número relativamente
alto de funciones gráficas usadas, no contando las iteraciones numéricas, el
programa puede tomar un cierto tiempo para producir el gráfico (cerca de 1
minuto).
Datos 1
x
0.4
1.0
2.0
3.4
4.0
5.8
7.2
7.8
9.0

y
6.3
4.9
4.3
3.0
1.2
2.0
3.8
5.3
7.2

Datos 2
x
0.7
1.0
1.5
2.2
3.5
4.5
5.0
6.0
7.1
8.0
9.0
10.0
10.5
11.0

y
4.8
3.0
2.0
0.9
0.4
1.0
2.0
2.5
2.0
0.7
0.0
1.5
3.4
5.0

Página 22-27

Nota: El programa FRAME, según se programó originalmente (ver
disquete o CD ROM), no mantiene la escala apropiada del gráfico. Si usted
desea mantener la escala apropiada, substituya FRAME con el programa
siguiente:
« STOΣ MINΣ MAXΣ 2 COL DUP COL DROP – AXL ABS AXL 20
/ DUP NEG SWAP 2 COL + ROW DROP SWAP  yR xR « 131
DUP RB SWAP yR OBJ DROP – xR OBJ DROP - / * FLOOR
RB PDIM yR OBJ DROP YRNG xR OBJ DROP XRNG ERASE » »
Este programa mantiene el ancho de la variable en 131 píxeles - el tamaño
mínimo de PICT en píxeles para el eje horizontal - y ajusta el número de píxeles en los ejes verticales para mantener una escala de 1:1 entre las hachas
verticales y horizontales.

Coordenadas del píxel
La figura abajo demuestra los coordenadas gráficos para la pantalla (mínima)
típica de 131×64 píxeles. Las coordenadas de los píxeles se miden de la
esquina izquierda superior de la pantalla {# 0h # 0h}, la cuál corresponde a
las coordenadas definidos por el usuario (xmin, ymax). Las coordenadas
máximas en términos de píxeles corresponden a la esquina derecha más baja
de la pantalla {# 82h #3Fh}, el cual en coordenadas de usuario es el punto
(xmax, ymin). Las coordenadas de las dos otras esquinas, ambos en píxel así
como en coordenadas de usuario, se demuestran en la figura.

Página 22-28

Animación de gráficas
Adjunto presentamos una manera de producir la animación de gráficas usando
el tipo de diagrama Y-Slice. Suponga que usted desea animar la onda viajera,
f(X,Y) = 2.5 sin(X-Y). Podemos tratar la X como el tiempo en la animación
produciendo diagramas de f(X, Y) vs. Y para diversos valores de X. Para
producir este gráfico, use lo siguiente:
•

„ô simultáneamente (en modo RPN). Seleccionar Y-Slice para
TYPE. ‘2.5*SIN(X-Y)’ para EQ. ‘X’ para INDEP. Presione L@@@OK@@@.

•

„ò, simultáneamente (en modo RPN). Utilizar los valores
siguientes:

Presione @ERASE @DRAW. Dar un plazo de tiempo para que la calculadora genere
todos los gráficos necesarios. Cuando estén listos, se mostrará una onda
sinusoidal viajera en su pantalla.

Animación de una colección de gráficos
La calculadora proporciona la función ANIMATE para animar un número de
gráficos que se han colocado en la pantalla. Usted puede generar un gráfico
en la pantalla de los gráficos usando los comandos en los menús PLOT y PICT.
Para colocar el gráfico generado en la pantalla, utilice PICT RCL. Cuando
usted tiene n gráficos en niveles n a 1 de la pantalla, usted puede utilizar
simplemente el comando n ANIMATE para producir una animación hecha de
los gráficos que usted puso en la pantalla.
Ejemplo 1 - Animación de una ondulación en una superficie del agua

Página 22-29

Como ejemplo, escriba el programa siguiente que genera 11 gráficos que
demuestran un círculo centrado en el centro de la pantalla de los gráficos y
que aumenta el radio por un valor constante en cada gráfico subsiguiente.
«
RAD
131 RB 64 RB PDIM
0 100 XRNG 0 100 YRNG
1 11 FOR j
ERASE
(50., 50.) ‘5*(j-1)’ NUM
0 ‘2*π’ NUM ARC
PICT RCL
NEXT
11 ANIMATE
»

Comenzar programa
Cambiar unidades de ángulos
radianes
Ajustar PICT 131×64 píxel
Rangos x,y a 0-100
Lazo con j = 1 .. 11
Borrar PICT actual
Centros de círculos (50,50)
Dibujar centros r = 5(j-1)
PICT a la pantalla
Finalizar lazo FOR-NEXT
Animar
Terminar programa

a

Almacenar este programa en un variable llamado PANIM (inglés, Plot
ANIMation). Para activar el programa presione J (si es necesario) @PANIM.
Le tomará a la calculadora más de un minuto para generar los gráficos y para
comenzar la animación. Por lo tanto, sea realmente paciente. Usted verá el
símbolo del reloj de arena en la parte superior de la pantalla antes de producir
la animación. La animación se asemeja a la ondulación producida por un
guijarro que cae en la superficie del agua quieta, aparece en la pantalla. Para
detener la animación, presionar $.
Los 11 gráficos generados por el programa todavía están disponibles en la
pantalla. Si usted desea recomenzar la animación, utilizar simplemente:
11 ANIMATE. (La función ANIMATE está disponible usando „°L
@)GROB L @ANIMA). La animación será recomenzada. Presione $ para
parar la animación una vez más. Note que el número 11 todavía será
enumerado en el nivel 1 de la pantalla. Presione ƒ para borrar el número
de la pantalla.

Página 22-30

Suponga que usted desea guardar las figuras que componen esta animación
en una variable. Usted puede crear una lista de estas figuras, llamémosle
WLIST, usando:
11 „°@)TYPE@ @ LIST ³ ~~wlist~ K
Presione J para recuperar su lista de variables. La variable @WLIST será
listada en el menú. Para animar esta lista de variables usted podría utilizar el
programa siguiente:
«
Comenzar programa
WLIST
Lista WLIST en pantalla
OBJ
Decomponer lista, nivel 1 = 11
ANIMATE
Comenzar la animación
»
Terminar programa
Almacene este programa en una variable llamada RANIM (Re-ANIMate).
Para activarlo, presione @RANIM.
El programa siguiente animará los gráficos en WLIST hacia delante y hacia
atrás:
«
WLIST DUP
REVLIST +
OBJ
ANIMATE
»

Comenzar programa
Lista WLIST en pantalla, copia adicional
Revertir orden, concatenar 2 listas
Decomponer lista, nivel 1 = 22
Comenzar la animación
Terminar programa

Almacene este programa en una variable llamada RANI2 (Re-ANImate versión
2). Para activarlo, presione @RANI2. La animación ahora simula una ondulación
en la superficie del agua quieta que se refleja en las paredes de un tanque
circular. Presione $ para detener la animación.

Página 22-31

Ejemplo 2 - Animando trazas de diversas funciones de potencias
Suponga que usted desea animar las trazas de la función f(x) = xn, n = 0, 1, 2,
3, 4, en el mismo sistema de ejes. Usted podría utilizar el programa siguiente:
«
Comenzar programa
RAD
Cambiar unidades de ángulos a
radianes
131 RB 64 RB PDIM
PICT ajustada a 131×64 píxel
0 2 XRNG 0 20 YRNG
Ajustar rangos x y
0 4 FOR j
Lazo con j = 0,1,…,4
‘X^j’ STEQ
Almancenar ‘X^j’ en variable EQ
ERASE
Borrar PICT actual
DRAX LABEL DRAW
Dibujar ejes, etiquetas, funciones
PICT RCL
PICT a la pantalla
NEXT
Finalizar lazo FOR-NEXT
5 ANIMATE
Animar
»
Almacene este programa en una variable llamada PWAN (inglés, PoWer
function ANimation). Para activar el programa use J (si es necesario) @PWAN.
Usted verá la calculadora dibujar cada función individual de la energía antes
de comenzar la animación en la cual las cinco funciones serán trazadas
rápidamente una después de la otra. Para parar la animación, presione $.

Más información sobre la función ANIMATE
La función ANIMATE según lo utilizado en los dos ejemplos anteriores utiliza
como entrada los gráficos que se animarán y su número. Usted puede utilizar
información adicional para producir la animación, tal como el intervalo del
tiempo entre los gráficos y el número de las repeticiones de los gráficos. El
formato general de la función ANIMATE en tales casos es el siguiente:
n-graphs { n {#X #Y} delay rep } ANIMATE
n representa el número de gráficos, {#X #Y} representa las coordenadas del
píxel de la esquina derecha más baja del área que se trazará, delay es el

Página 22-32

número de segundos indicando un plazo entre los gráficos consecutivos en la
animación, y rep es el número de las repeticiones de la animación.

Objetos gráficos (GROBs)
La palabra GROB representa, en inglés, GRaphics Objects, u objetos gráficos,
y se utiliza en el ambiente de la calculadora para representar una descripción
píxel por píxel de una imagen que se ha producido en la pantalla. Por lo tanto,
cuando una imagen se convierte en un GROB, se convierte en una secuencia
de dígitos binarios (bits), es decir, valores de 0 y 1. Para ilustrar los GROBs y
la conversión de imágenes a GROBs considere el ejercicio siguiente.
Cuando producimos un gráfico en la calculadora, el gráfico se convierte en el
contenido de una variable especial llamada PICT. Así, para ver el último
contenido de PICT, usted podría utilizar:
PICT RCL(„°L@)PICT @PICT „©).
El nivel 1 de la pantalla muestra la línea Graphic 131×80 (si usa el
tamaño de pantalla estándar) seguido por un bosquejo de la parte superior del
gráfico. Por ejemplo,

Si usted presiona ˜ entonces el gráfico contenido en el nivel 1 se demuestra
en la representación gráfica de la calculadora. Presione @CANCL para regresar a
pantalla normal.
El gráfico en el nivel 1 todavía no está en formato de GROB, aunque es, por
definición, un objeto gráficos. Para convertir un gráfico en la pantalla en un
Ahora tenemos la
GROB, use:
3` „°L@)GROB @GROB .
información siguiente en el nivel 1:

Página 22-33

La primera parte de la descripción es similar a lo que teníamos originalmente,
a saber, Graphic 131×64, pero ahora se expresa como Graphic 13128 ×
8. Sin embargo, la representación gráfica ahora es substituida por una
secuencia de ceros y unos que representan los píxeles del gráfico original. Así,
el gráfico original según lo ahora convertido a su representación equivalente
en bits.
Usted puede también convertir ecuaciones en GROBs. Por ejemplo, con el
escritor de ecuaciones escriba la ecuación ‘X^2+3’ en el nivel 1 de la pantalla,
y después presione 1` „°L@)GROB @GROB . Usted ahora tendrá
en el nivel 1 el GROB descrito como:

Como objeto gráfico, esta ecuación se puede ahora poner en la representación
gráfica. Para recobrar la pantalla de gráficas presione š. Entonces, mueva
el cursor a un sector vacío en el gráfico, y presione @)EDIT LL@REPL. La
ecuación ‘X^2-5’ se coloca en el gráfico, por ejemplo:

Así, los GROBs se puede utilizar para documentar gráficos poniendo
ecuaciones, o texto, en la representación gráfica.

El menú GROB

El menú GROB, accesible a través de „°L@)GROB @GROB, contiene las
funciones siguientes. Presione L para moverse al menú siguiente:

Página 22-34

GROB
De estas funciones hemos utilizado ya SUB, REPL, (del menú EDIT de gráficas),
ANIMATE [ANIMA], y GROB. ([ PRG ] es simplemente una manera de
volver al menú de programación.) Mientras usamos GROB en los dos
ejemplos anteriores usted pudo haber notado que utilizamos un 3 para
convertir el gráfico a un GROB, mientras que usamos un 1 cuando convertimos
la ecuación a un GROB. Este parámetro de la función GROB indica el
tamaño del objeto que se está convirtiendo a GROB como 0 ó 1 – para un
objeto pequeño, 2 – mediano, y 3 – grande. Las otras funciones en el menú
de GROB se describen a continuación.
BLANK
La función BLANK, con argumentos #n y #m, crea un objeto gráfico en blanco
de achura y altura especificadas por los valores #n y #m, respectivamente.
Esto es similar a la función PDIM en el menú GRAPH.
GOR
La función GOR (Graphics OR) tomas como entrada grob2 (una blanco
GROB), un conjunto de coordenadas, y grob1, y produce la superposición de
grob1 sobre grob2 (o PICT) comenzando en las coordenadas especificadas.
Las coordenadas se pueden especificar como coordenadas de usuario (x,y), o
píxeles {#n #m}. GOR utiliza la función OR para determinar el estado de cada
píxel (es decir, encendido o apagado) en la región traslapada entre grob1 y
grob2.
GXOR
La función GXOR (Graphics XOR) realiza la misma operación que GOR, pero
usar XOR para determinar el estado final de píxeles en el área traslapada entre
los objetos gráficos grob1 y grob2.

Página 22-35

Nota: En GOR y GXOR, cuando grob2 es substituido por PICT, no se
produce ninguna salida. Para ver la salida usted necesita recobrar PICT a la
pantalla usando ya sea PICT RCL o PICTURE.
LCD
Toma un GROB especificado y lo exhibe en la pantalla de la calculadora
comenzando en la esquina izquierda superior.
LCD
Copia el contenido de la de la pantalla y del menú en a un GROB de 131 x
64 píxeles.
SIZE
La función SIZE, cuando se aplica a un GROB, muestra el tamaño del GROB en
la forma de dos números. El primer número, mostrado en el nivel 2 de la
pantalla, representa la anchura del objeto de los gráficos, y segundo, en el
nivel 1 de la pantalla, muestra su altura.
Un ejemplo de un programa usando GROB
El programa siguiente produce el gráfico de la función del seno incluyendo un
marco – dibujado con la función BOX – y un GROB para etiquetar el gráfico.
Aquí está el listado del programa:
«
Comenzar programa
RAD
Cambiar unidades de ángulos a
radianes
131 RB 64 RB PDIM
Pantalla a 131×64 píxeles
-6.28 6.28 XRNG –2. 2. YRNG
Ajuste rangos x y
FUNCTION
Seleccionar FUNCTION como tipo
‘SIN(X)’ STEQ
Almancenar la funcion sin en EQ
ERASE DRAX LABEL DRAW
Despejar, ejes, etiquetas, gráfico
(-6.28,-2.) (6.28,2.) BOX
Dibujar un marco
PICT RCL
PICT se pasa a la pantalla
“SINE FUNCTION”
Colocar etiqueta en pantalla
1 GROB
Texto convertido a GROB
(-6., 1.5) SWAP
Coordenadas para el GROB

Página 22-36

GOR
PICT STO
{ } PVIEW
»

Combinar PICT con etiqueta GROB
Almacenar GROB con PICT
Poner PICT a la pantalla
Terminar programa

Almacenar programa bajo el nombre GRPR (GROB PRogram). Presione @GRPR
para activar el programa. La salida lucirá:

Un programa con funciones de trazado y dibujo
En esta sección desarrollamos un programa para producir, dibujar y etiquetar
el círculo de Mohr para una condición dada de la tensión de dos dimensiones.
La figura lateral izquierda abajo demuestra el estado dado de la tensión en
dos dimensiones, con σxx y σyy siendo tensiones normales, y τxy = τyx siendo
tensiones de corte. La figura lateral derecha demuestra el estado de tensiones
cuando el elemento es rotado por un ángulo φ. En este caso, las tensiones
normales son σ’xx y σ’yy, mientras que las tensiones de corte son τ’xy y τ’yx.

Página 22-37

La relación entre el estado original de tensiones (σxx, σyy, τxy, τyx) y el estado
de la tensión cuando los ejes se rotan a la izquierda cerca f (σ’xx, σ’yy, τ’xy,
τ’yx), puede ser representado gráficamente por la construcción demostrada en
la figura siguiente.
Para construir el círculo de Mohr utilizamos un sistema coordenado cartesiano
con eje x el corresponder a las tensiones normales (σ), y eje y el corresponder
a las tensiones de corte (τ). Localizar los puntos A(σxx,τxy) y B (σyy, τxy), y
dibujar el segmento AB. El punto C donde el segmento AB cruza el eje σn ser
el centro del círculo. Notar que las coordenadas del punto C son (½⋅(σyy +
σxy), 0).

Al construir el círculo a mano, usted puede utilizar un compás para

trazar el círculo puesto que usted conoce la localización del centro C y de dos
puntos, A y B.
El segmento AC representa el eje x en el estado original de la tensión. Si usted
desea determinar el estado de la tensión para un sistema de ejes x’-y’, rotado a
la izquierda por un ángulo φ con respecto al sistema original de ejes x-y, trace
el segmento A’B’, centrado en C y rotado a la derecha cerca y ángulo 2φ con
respecto al segmento AB. Las coordenadas del punto A’ darán los valores
(σ’xx,τ’xy), mientras que los de B’ dará los valores (σ’yy,τ’xy).

Página 22-38

La condición de la tensión para la cual la tensión de corte, τ’xy, es cero,
indicado por el segmento D’E’, produce las llamadas tensiones principales,
σPxx (en el punto D’) y σPyy (en el punto E’).

Para obtener las tensiones

principales usted necesita rotar el sistema coordenado x’-y’ por un ángulo φn, a
la izquierda, con respecto al sistema x-y. En el círculo de Mohr, el ángulo
entre los segmentos AC y D’C representa 2φn.
La condición de la tensión para la cual la tensión de corte, τ’xy, es un máximo,
es dado por el segmento F’G’. Bajo tales condiciones ambas tensiones
normales, σ’xx = σ’yy , son iguales. T él pesca corresponder con caña a esta
rotación es φs. El ángulo entre el segmento AC y el segmento F’C en la figura
representa 2φs.

Programación modular
Para desarrollar el programa que trazará el círculo de Mohr dado un estado de
la tensión, utilizaremos la programación modular. Básicamente, este

Página 22-39

acercamiento consiste en la descomposición del programa en un número de
subprogramas que se creen como variables separadas en la calculadora.
Estos subprogramas entonces son ligados por un programa principal, al que
llamaremos MOHRCIRCL.
Primero crearemos un sub-directorio llamado
MOHRC dentro del directorio HOME, y nos movemos en ese directorio para
escribir los programas.
El paso siguiente es crear el programa y los subprogramas principales dentro
del sub-directorio.
El programa principal MOHRCIRCL utiliza los subprogramas siguientes:
• INDAT: Solicita datos de entrada: σx, σy, τxy del usuario, produce
una lista σL = {σx, σy, τxy} como salida.
• CC&r: Usa σL como entrada, produce σc = ½(σx+σy), r = radio del
círculo de Mohr, φn = ángulo de las tensiones principales, como
salida.
• DAXES: Usa σc y r como entrada, determina rangos de los ejes y
dibuja los ejes para la construcción del círculo del Mohr
• PCIRC: Usa σc, r, y φn como entrada, dibuja Círculo de Mohr
produciendo un diagrama PARAMETRIC
• DDIAM: Usa σL como entrada, dibuja el segmento AB (ver la figura
del círculo de Mohr arriba), juntando los puntos de referencias de
entrada en el círculo del Mohr
• σLBL: Usa σL como entrada, coloca etiquetas para identificar puntos A
y B con las etiquetas “σx” y “σy”.
• σAXS: Coloca las etiquetas “σ” y “τ” en los ejes x y y,
respectivamente.
• PTTL: Coloca el título “Mohr’s circle” en la figura.

Funcionamiento del programa
Si usted mecanografió los programas en el orden demostrado arriba, usted
tendrá en su sub-directorio MOHRC las variables siguientes: PTTL, σAXS,
PLPNT, σLBL, PPTS, DDIAM. Presionando L se observan también: PCIRC,
DAXES, ATN2, CC&r, INDAT, MOHRC. Antes de reordenar las variables,
active el programa una vez presionando la tecla etiquetada @MOHRC. Use lo
siguiente:
@MOHRC

Activa el programa MOHRCIRCL

Página 22-40

25˜
75˜
50`

Escriba σx = 25
Escriba σy = 75
Escriba τxy = 50, finalice entrada de datos.

A este punto el programa MOHRCIRCL comienza a activar los subprogramas
para producir la figura. Sea paciente. El círculo del Mohr que resulta se
mostrará como en la figura de la izquierda.

Porque esta vista de PICT se invoca con la función PVIEW, no podemos
conseguir ninguna otra información del diagrama además de la figura misma.
Para obtener la información adicional fuera del círculo del Mohr, termine el
programa presionando $. Después, presione š para recuperar el
contenido de PICT en el ambiente de los gráficos. El círculo del Mohr ahora
parece el cuadro a la derecha (véase arriba).
Presione las teclas de menú @TRACE y @(x,y)@. En el fondo de la pantalla usted
encontrará el valor de φ que corresponde al punto A(σx, τxy), i.e., φ = 0,
(2.50E1, 5.00E1).

Presionar la tecla (™)para incrementar el valor de φ y ver el valor
correspondiente de (σ’xx, τ’xy). Por ejemplo, para φ = 45o, tenemos los valores
(σ’xx, τ’xy) = (1.00E2, 2.50E1) = (100, 25). El valor de σ’yy será encontrado
en ángulo 90o más adelante, i.e., donde φ = 45 + 90 = 135o. Presione la
tecla ™ hasta alcanzar ese valor de φ, encontramos (σ’yy, τ’xy) = (-1.00E-10,2.5E1) = (0, 25).

Página 22-41

Para encontrar los valores normales principales presione š hasta que el
cursor vuelve a la intersección del círculo con el lado positivo del eje σ. Los
valores encontrados en ese punto son φ = 59o, y (σ’xx, τ’xy) = (1.06E2,-1.40E0)
= (106, -1.40). Ahora, contábamos con el valor de τ’xy = 0 en la localización
de los ejes principales. Lo qué sucede es que, porque hemos limitado la
resolución en la variable independiente a ser Δφ = 1o, esquivamos el punto real
donde las tensiones de corte se convierten en cero. Si usted presiona š una
vez más, usted encuentra valores de φ = 58o, y (σ’xx, τ’xy) = (1.06E2,5.51E-1)
= (106, 0.551). Lo qué esta información nos dice es que en alguna parte entre
φ = 58o y φ = 59o, la tensión de corte, τ’xy, se hace cero.

Para encontrar el valor real de φn, presione $. Entonces escriba la lista que
corresponde a los valores {σx σy τxy}, para este caso, será { 25 75 50 }
[ENTER]

Entonces, presione @CC&r. El último resultado en la salida, 58.2825255885o, es
el valor real de φn.

Un programa para calcular tensiones principales

El procedimiento seguido arriba para calcular φn, puede ser programado
como sigue:
Programa PRNST:
«
INDAT
CC&r
“φn” TAG
3 ROLLD
RC DUP
CR + “σPx” TAG
SWAP CR - “σPy” TAG
»

Comenzar prog. PRNST (PRiNcipal STresses)
Escriba datos como para MOHRCIRC
Calcular σc, r, y φn, como en MOHRCIRC
Etiquetar ángulo para tensiones principales
Mover ángulo etiquetado del nivel 3
Convertir σc y r a (σc, r), duplicar
Calcular tensión principal σPx, etiquetarla
Intercambiar, calcular σPy, etiquetarla.
Terminar programa PRNST

Para activar el programa:

Página 22-42

J@PRNST
25˜
75˜
50`

Comenzar programa PRNST
Escriba σx = 25
Escriba σy = 75
Escriba τxy = 50, y terminar datos.

El resultado es:

Ordenar las variables en el sub-directorio
Activando el programa MOHRCIRCL por la primera vez produjo un par de
nuevas variables, PPAR y EQ. Éstas son las variables Plot PARameter y
EQuation necesario para trazar el círculo. Es sugiere que reordenamos las
variables en el sub-directorio, de modo que los programas @MOHRC y @PRNST son
las dos primeras variables en las etiquetas del menú. Esto puede ser logrado
creando la lista { MOHRCIRCL PRNST } usando:
J„ä@MOHRC @PRNST `
Y entonces, pidiendo la lista usando:
„°@)@MEM@@ @)@DIR@@ @ORDER.
Después que activamos la función ORDER, presione J. Usted ahora verá
que tenemos los programas MOHRCIRCL y PRNST siendo las primeras dos
variables en el menú, como esperamos.

Un segundo ejemplo de los cálculos del círculo de Mohr
Determinar las tensiones principales para el estado de la tensión definido por
σxx = 12.5 kPa, σyy = -6.25 kPa, y τxy = - 5.0 kPa. Dibujar el círculo de Mohr,
y determine de la figura los valores de σ’xx, σ’yy, y τ’xy si el ángulo φ = 35o.
Para determinar las tensiones principales utilice el programa @PRNST, como
sigue:
J@PRNST
Comenzar programa PRNST
12.5˜
Escriba σx = 12.5

Página 22-43

6.25\˜
5\`
El resultado es:

Escriba σy = -6.25
Escriba τxy = -5, y terminar datos.

Para dibujar el círculo de Mohr, utilizar el programa @MOHRC, como sigue:
J@MOHRC
12.5˜
6.25\˜
5\`

Comenzar programa PRNST
Escriba σx = 12.5
Escriba σy = -6.25
Escriba τxy = -5, terminar entrada.

El resultado es:

Para encontrar los valores de las tensiones que corresponden a una rotación de
35o en el ángulo de la partícula tensionada, utilizamos:
$š
@TRACE @(x,y)@.

Pantalla clara, mostrar PICT en pantalla gráfica
Mover cursor sobre el círculo mostrando φ y (x,y)

Después, presione ™ hasta leer φ = 35. Los coordenadas correspondientes
son (1.63E0, -1.05E1), i.e., para φ = 35o, σ’xx = 1.63 kPa, y σ’yy = -10.5kPa.

Una forma interactiva para el círculo de Mohr
Para una manera más lujosa de escribir los datos de entrada, podemos sustituir
el subprograma INDAT, con el programa siguiente que activa una forma
interactiva:

Página 22-44

« “MOHR’S CIRCLE” { { “σx:” “Normal stress in x” 0 } {
“σy:” “Normal stress in y” 0 } { “τxy:” “Shear stress” 0}
}
{ } { 1 1 1 } { 1 1 1 } INFORM DROP »
Con esta sustitución en el programa, al activarse @MOHRC se producirá una forma
interactiva como sigue:

Presione @@@OK@@@ para continuar la ejecución de programa. El resultado es la
figura siguiente:

Dado que el programa INDAT se utiliza también para el programa @PRNST
(PRiNcipal STresses), activando ese programa en particular ahora utilizará una
forma interactiva, por ejemplo,

El resultado, después de presionar @@@OK@@@, es lo que sigue:

Página 22-45

Capítulo 23
Cadenas de caracteres

Las cadenas de caracteres son objetos de la calculadora incluidos entre
comillas. Estas cadenas de caracteres se manipulan como texto por la
calculadora. Por ejemplo, la secuencia "FUNCION SENO", se puede
transformar en un GROB (objeto gráfico), para rotular un gráfico, o se puede
utilizar como salida en un programa. Los sistemas de caracteres escritos por el
usuario como entrada a un programa se tratan como cadenas de caracteres.
También, muchos objetos en la salida de los programas son también cadenas
de caracteres.

Funciones de caracteres en el sub-menú TYPE
El sub-menú TYPE es accesible a través del menú PROG (programación,
„°). Las funciones proveídas en este sub-menú son:

Entre las funciones del sub-menú TYPE que se utilizan para manipular texto se
encuentran:
OBJ:
STR:
TAG:
DTAG:

Convierte texto al objeto por él representado
Convierte un objeto a una cadena de caracteres
Rotula una cantidad
Remueve el rótulo de una cantidad rotulada

Página 23-1

CHR:
Produce un carácter correspondiente al argumento
NUM: Produce el código correspondiente al primer carácter en texto
Los ejemplos del uso de estas funciones se muestran a continuación:

Concatenación de texto
Las cadenas de caracteres pueden ser concatenadas al usar el signo de
adición +, por ejemplo:

La concatenación de textos es útil para crear salidas en los programas. Por
ejemplo, la operación "YOU ARE " AGE + " YEAR OLD" crea la cadena de
caracteres "YOU ARE 25 YEAR OLD", si el número 25 se almacena en la
variable AGE.

El sub-menú CHARS
El sub-menú CHARS se accede a través del menú PRG (programación,
„°).

Página 23-2

Las funciones proveídas en el sub-menú CHARS son las siguientes:

La operación de las funciones NUM, CHR, OBJ, y STR fue presentada
anteriormente en este capítulo. También hemos visto las funciones SUB y REPL
en lo referente a gráficos en un capítulo anterior. Las funciones SUB, REPL,
POS, SIZE, HEAD, y TAIL tienen un efecto similar al de listas:
SIZE: número de una sub-secuencia en una secuencia (espacios incluidos)
POS: posición de la primera ocurrencia de un carácter en una secuencia
HEAD: primer carácter extraído de una secuencia
TAIL: remueve el primer carácter en una secuencia
SUB: extrae una sub-secuencia indicando el comienzo y el final de la misma
REPL: substituye los caracteres en una secuencia por una sub-secuencia que
comienza en la posición dada
SREPL: substituye una sub-secuencia por otra sub-secuencia en una secuencia
Como ejemplos ejecútense los ejercicios siguientes: Almacenar la secuencia
“MY NAME IS CYRILLE” en la variable S1. Utilizaremos esta secuencia para
demostrar los ejemplos de las funciones en el menú CHARS

Página 23-3

La lista de caracteres
La colección completa de caracteres disponibles en la calculadora es accesible
con la secuencia ‚±. Cuando usted destaca cualquier carácter, por
ejemplo, el carácter de alimentación de línea  , usted verá en el lado
izquierdo de la última línea de la pantalla la secuencia de teclas para producir
tal carácter (. en este caso) y el código numérico que corresponde al
carácter (10 en este caso).
Los caracteres no definidos aparecen como un cuadrado oscuro en la lista de
caracteres () y para ellos se muestra la palabra (None) en la última línea de la
pantalla, aún y cuando un código numérico existe para todos los caracteres.
Los caracteres numéricos muestran el número correspondiente la pantalla.
Las letras muestran el código α (i.e., ~) seguido por la letra correspondiente,
por ejemplo, cuando usted destaca la letra M, se lee αM en la parte inferior
izquierda de la pantalla, lo que indica el uso de las teclas ~m. Por otro
lado, m muestra la combinación αM, o ~„m.
Los caracteres griegos, por ejemplo σ, mostrará el código αS, o ~‚s.
Algunos caracteres, como la letra ρ, no tienen teclas asociadas con ellos. Por
lo tanto, la única manera de obtener tales caracteres es a través de la selección
del carácter en la lista de caracteres presionando después @ECHO1@ o @ECHO@.
Use @ECHO1@ para copiar un carácter a la pantalla y volver inmediatamente a la
pantalla normal de la calculadora. Use @ECHO@ para copiar una serie de
caracteres a la pantalla. Para volver a la pantalla normal de la calculadora use
$.
Véase el apéndice D para más detalles en el uso de caracteres especiales.
También, el apéndice G demuestra los atajos para producir caracteres
especiales.

Página 23-4

Capítulo 24
Objetos y señales (banderas) de la calculadora

Los números, listas, vectores, matrices, algebraicos, etc., son objetos de la
calculadora. Se clasifican según su naturaleza en 30 tipos diversos, que se
describen posteriormente. Las señales o banderas son variables que se pueden
utilizar para controlar las características de la calculadora. Las banderas o
señales fueron introducidas en el capítulo 2.

Descripción de los objetos de la calculadora
La calculadora reconoce objetos de los tipos siguientes:
Número

Tipo

Ejemplo

0
1
2
3
4

Número Reail
Número complejo
Cadena de caracteres
Arreglo real
Arreglo complejo

5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18

Listas
Nombre global
Nombre local
Programas
Objetos algebraicos
Entero binario
Objeto gráfico
Objeto rotulado
Objeto de unidades
Nombre XLIB
Directorio
Biblioteca
Objeto de reserva
Función pre-definida

-1.23E-5
(-1.2,2.3)
"Hello, world "
[[1 2][3 4]]
[[(1 2) (3 4)]
[(5 6) (7 8)]
{3 1 'PI'}
X
y
<<  a 'a^2' >>
'a^2+b^2'
# A2F1E h
Graphic 131´64
R: 43.5
3_m^2/s
XLIB 342 8
DIR É END
Library 1230"...
Backup MYDIR
COS

Página 24-1

Número

Tipo

Ejemplo

19
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30

Instrucción pre-definida
Número real extendido
Número complejo extendido
Arreglo enlazado
Objeto carácter
Objeto código
Datos de biblioteca
Objeto externo
Entero
Objeto externo
Objeto externo

CLEAR
Long Real
Long Complex
Linked Array
Character
Code
Library Data
External
3423142
External
External

La función TYPE
Esta función, disponible en el sub-menú PRG/TYPE (), o a través del catálogo
de funciones, se usa para determinar el tipo de un objeto. El argumento de la
función es el objeto de interés. La función produce el tipo de objeto según se
indica en la tabla anterior.

La función VTYPE
Esta función funciona similar a la función TYPE, pero se aplica a una variable,
produciendo el tipo de objeto almacenado en la variable.

Banderas o señales de la calculadora
Una bandera o señal de la calculadora es una variable que puede estar
seleccionada o no seleccionada. El estado de una bandera afecta el
comportamiento de la calculadora, si la bandera es una bandera del sistema,

Página 24-2

o el comportamiento de un programa, si es una bandera del usuario. Las
banderas o señales se describen más detalladamente a continuación.

Banderas o señales del sistema
Las banderas del sistema se acceden usando H @)FLAGS!. Presiónese la tecla
direccional vertical para ver un listado de todas las banderas del sistema con
su número y una breve descripción. Las primeras dos pantallas con las
banderas del sistema se muestran a continuación:

Usted reconocerá muchas de estas banderas por que corresponden a opciones
en el menú MODES (por ejemplo, la bandera 95 para el modo Algebraico,
103 para el modo Complejo, etc.). A través de este manual de usuario hemos
acentuado las diferencias entre menú de listas (CHOOSE boxes) y menú de
teclas (SOFT menus), los cuáles son seleccionados fijando o removiendo la
bandera 117 del sistema. Otro ejemplo del ajuste de la bandera del sistema es
el de las banderas 60 y 61 que se relacionan con la biblioteca de constantes
(CONLIB, ver el capítulo 3). Estas banderas funcionan de la manera siguiente:
•
•

bandera 60: removida (valor pre-definido):unidades SI, fija: unidades
ENGL
bandera 61: removida (valor pre-definido):use unidades, fija:
solamente muestre el valor de la constante

Funciones para fijar y cambiar las banderas o señales
Estas funciones se pueden utilizar para fijar, remover, o verificar el estado de
las banderas del usuario o de las banderas del sistema. Cuando se usan las
funciones con las banderas del sistema, los argumentos son números enteros
negativos. Así, la bandera 117 del sistema será referida como bandera -117.

Página 24-3

Por otra parte, las banderas del usuario serán referidas como el número entero
positivo al aplicar estas funciones. Es importante entender que las banderas del
usuario tienen usos solamente en la programación para ayudar a controlar el
flujo de programa.
Las funciones para la manipulación de las banderas de la calculadora están
disponibles en el menú PRG/MODES/FLAG. El menú PRG se activa con
„°. Las pantallas siguientes (con bandera de sistema 117 fija a
CHOOSE boxes) muestran la secuencia de pantallas para conseguir el menú
FLAG:

Las funciones contenidas dentro del menú FLAG son las siguientes:

La operación de estas funciones se muestra a continuación:
SF
CF
FS?
FC?
FS?C
FC?C
STOF

Fijar una bandera
Remover una bandera
Produce 1 si la bandera ha sido fijada, 0 si no ha sido fijada
Produce 1 si la bandera está sin fijar, 0 si la bandera ha sido fijada
Prueba una bandera como lo hace FS, y la remueve
Prueba una bandera como lo hace FC, y la remueve
Almacena nuevos ajustes de las banderas del sistema

Página 24-4

RCLF
RESET

Recobra los ajustes existentes de las banderas del sistema
Reajusta los valores actuales de una opción (podría ser utilizado para
reajustar una bandera)

Banderas o señales del usuario
Para propósitos de programación, las banderas 1 a 256 están disponibles
para el usuario. Estas banderas o señales no tienen ningún significado a la
operación de la calculadora.

Página 24-5

Capítulo 25
Funciones de fecha y de hora

En este capítulo demostramos algunos de las funciones y de los cálculos
usando horas y fechas.

El menú TIME

El menú TIME, activado con la secuencia ‚Ó (la tecla 9) proporciona las
funciones siguientes, que se describen a continuación:

Programando una alarma
La opción 2. Set alarm.. provee una forma interactiva que permite al usuario
fijar un alarmar. La forma interactiva se muestra en la figura siguiente:

La localidad llamada Message: permite que usted escriba una cadena de
caracteres que identifica la alarma. La localidad llamada Time: le deja
incorporar la época para activar el alarmar. La localidad llamada Date: se
utiliza para fijar la fecha de una alarma (o para la primera activación, si se
requiere repetición de la alarma). Por ejemplo, usted podría fijar la alarma
siguiente. La figura de la izquierda muestra la alarma sin repetición. La figura
de la derecha muestra las opciones para la repetición después de presionar
@CHOOS. Después de presionar @@@OK@@@ la alarma será fijado.

Página 25-1

Revisando las alarmas
La opción 1. Browse alarms... en el menú TIME le deja revisar sus alarmas
actuales. Por ejemplo, después de programar la alarma presentada en el
ejemplo anterior, esta opción mostrará la pantalla siguiente:

Esta pantalla provee cuatro teclas del menú:
EDIT:
editar la alarma seleccionada, proveyendo una forma interactiva
NEW:
programar una nueva alarma
PURG:
eliminar una alarma
OK :
recobrar pantalla normal

Fijar hora y fecha
La opción 3. Set time, date… provee una forma interactiva que permite al
usuario fijar la hora actual y la fecha. Los detalles fueron proveídos en el
Capítulo 1.

Herramientas del menú TIME
La opción 4. Tools… proporciona un número de funciones útiles para la
operación de reloj, y cálculos con horas y fechas. La figura siguiente demuestra
a funciones las herramientas disponibles del menú TIME:

Página 25-2

El uso de estas funciones se muestra a continuación:
DATE:
DATE:
TIME:
TIME:
TICKS:

ALRM..:
DATE+:
DDAYS(x,y):
HMS:
HMS:
HMS+:
HMS-:
TSTR(hora, fecha):
CLKADJ(x):

Copia la fecha a la pantalla
Fija la fecha del sistema al valor especificado
Cambia formato a 24-hr HH.MMSS
Fija la hora al valor especificado en formato 24-hr
HH.MM.SS
Provees el tiempo del sistema como un entero binario en
unidades de 1 pulso del reloj, un pulso (tick) = 1/8192
sec
Sub-menú con funciones de manipulación de alarmas
(descritas más adelante)
Agrega o resta un número de días a una fecha
Calcula el número de días entre las fechas x,y
Convierte la hora de formato decimal a formato
HH.MMSS
Convierte la hora de formato HH.MMSS a decimal
Suma dos valores de horas en el formato HH.MMSS
Sustrae dos valores de horas en formato HH.MMSS
convierte la hora y fecha a una cadena de caracteres
Suma x pulsos al tiempo de sistema (1 pulso = 1/8192
sec )

Página 25-3

Las funciones DATE, TIME, CLKADJ se utilizan para ajustar la fecha y la
hora. No se proveen ejemplos para estas funciones.
He aquí ejemplos de las funciones DATE, TIME, y TSTR:

Cálculos con las fechas
Para los cálculos con las fechas, utilice las funciones DATE+, DDAYS. A
continuación se presenta un ejemplo del uso de estas funciones, junto con un
ejemplo de la función TICKS:

Cálculo con horas

Las funciones HMS, HMS, HMS+, y HMS- se utilizan para manipular
valores en formato HH.MMSS. Éste es el mismo formato usado para calcular
con medidas angulares en grados, minutos, y segundos. De esta manera,
estas operaciones son útiles no solamente para los cálculos con unidades de
tiempo, sino también para los cálculos angulares. A continuación se muestran
algunos ejemplos:

Página 25-4

Funciones de alarmas
El sub-menú TIME/Tools…/ALRM… proporciona las funciones siguientes:

La operación de estas funciones se muestran a continuación:
ACK:
Reconoce alarmas ya pasadas
ACKALL:
Reconoce todas las alarmas ya pasadas
STOALARM(x):
Almacena la alarma (x) en la lista de alarmas del sistema
RCLALARM(x):
Recobra la alarma (x) de la lista de alarmas del sistema
DELALARM(x):
Remueve la alarma x de la lista de alarmas del sistema
FINDALARM(x):
Muestra la primera alarma programada para una hora
específica
El argumento x en la función STOALARM es una lista que contiene una
referencia de la fecha (mm.ddyyy), hora del día en formato de 24 hr (hh.mm),
una cadena de caracteres que identifica la alarma, y el número de repeticiones
de la alarma. Por ejemplo,
STOALARM({6.092003,18.25,"Test",0}
El argumento x en el resto de funciones de alarmas es un número entero
positivo que indica el número de la alarmar que se debe recobrar, suprimir, o
encontrar.
Puesto que el manejo de las alarmas se puede hacer fácilmente con el menú
TIME (véase arriba), las funciones de alarmas en esta sección son más útiles
para escribir programas.

Página 25-5

Capítulo 26
Manejo de la memoria

En el Capítulo 2 se presentaron los conceptos básicos de y las operaciones
para crear y manipular variables y directorios. En este Capítulo se presenta el
manejo de la memoria de la calculadora incluyendo la partición de la memoria
y las técnicas para preservar datos en ciertas localidades de la misma (datos
back up).

Estructura de la memoria
La calculadora contiene un total de 2.5 MB de memoria, de los cuales 1 MB se
utilizan para almacenar el sistema operativo (memoria de sistema), y 1.5 MB
se utilizan para la operación de la calculadora y almacenamiento de datos
(memoria de usuario). El usuario no tiene acceso a la componente de memoria
de sistema. Para ver la forma en que se divide la memoria de usuario, utilícese
la función FILES („¡).
La siguiente figura muestra una posible
configuración:

Esta pantalla indica la existencia de tres puertos de memoria (memory ports),
además de la memoria correspondiente al directorio HOME (Capítulo 2 en
esta guía). Los puertos de memoria disponible son:
•
•
•

Puerto 0, denominado IRAM
Puerto 1, denominado ERAM
Puerto 2, denominado FLASH

Página 26-1

Puerto 0 y el directorio HOME comparten la misma área de la memoria, por lo
tanto, mientras más datos se almacene en el directorio HOME, menos memoria
hay disponible para almacenamiento en el Puerto 0.
El tamaño total de
memoria para el área Puerto 0/directorio HOME es de 241 KB.
El Puerto 1 (ERAM) puede almacenar hasta 128 KB de datos. El Puerto 1,
junto con el Puerto 0 y el directorio HOME constituyen el área de Memoria de
Acceso Aleatorio, en inglés, RAM (Random Access Memory). El segmento
RAM de la memoria requiere una alimentación continua de corriente eléctrica
proveída por las baterías de la calculadora.
Para evitar la pérdida de
contenidos de la memoria RAM, la calculadora incluye una batería de reserva
modelo CR2032. Véanse detalles adicionales sobre su operación hacia el
final de este Capítulo.
El Puerto 2 pertenece a la Memoria de Lectura solamente de la calculadora, en
inglés, Flash ROM (Read-Only Memory), que no requiere alimentación
eléctrica. Por lo tanto, al removerse las baterías de la calculadora no se
afectará el segmento ROM de la memoria. El Puerto 2 puede almacenar hasta
1085 KB de datos.
Hay un cuarto puerto, el Puerto 3, disponible para poderlo tilizar con una
tarjeta de memoria SD. Éste es un ejemplo.

El puerto únicamente aparece en el File Manager cuando se inserta una tarjeta
SD.

Página 26-2

El directorio HOME
Al utilizar la calculadora uno puede crear variables para almacenar resultados
intermedios y finales de las operaciones. Algunas operaciones, tales como
operaciones gráficas y estadísticas, pueden crear variables adicionales para
almacenar datos. Estas variables se guardarán en el directorio HOME o en
cualquiera de sus directorios. Para mayor información sobre la manipulación
de variables y directorios, refiérase al Capítulo 2.

Memoria de Puertos
A diferencia del directorio HOME, la memoria de los puertos 0, 1, y2 no
puede subdividirse en directorios, y solo puede contener objetos de reserva
(objetos de reserva) u objetos de biblioteca. Estos dos tipos de objetos se
describen posteriormente en este Capítulo.

Verificación de objetos en la memoria
Para ver los objetos actualmente almacenados en la memoria utilícese la
función FILES („¡). La pantalla siguiente muestra el directorio HOME
concinco directorios, a saber, TRIANG, MATRX, MPFIT, GRPHS, y CASDIR.

Cualquier directorio adicional puede verificarse al mover el cursor hacia abajo
en el diagrama de directorios que se muestra. El cursor puede también
moverse hacia arriba para seleccionar un Puerto de memoria. Cuando se
seleccione un directorio, sub-directorio, o Puerto de memoria, presiónese la
tecla @@@OK@@@ para ver los contenidos del objeto seleccionado.
Otra forma de acceder un Puerto de memoria es a través del menú LIB
(‚á, asociado con la tecla 2. LIB es la abreviatura de la palabra
inglesa “biblioteca” que significa “biblioteca.” ) Esta acción produce lo
siguiente:

Página 26-3

Si existe alguna biblioteca activa en la calculadora se mostrará en esta
pantalla. Una de esas bibliotecas es la biblioteca de demostración @)HP49D
mostrada en la pantalla anterior.
Al presionarse la tecla de menú
correspondiente (A) se activará esta biblioteca. Al presionarse la tecla
correspondiente a un Puerto de memoria se activará ese Puerto. Información
adicional sobre bibliotecas se presenta posteriormente en este Capítulo.

Objetos de reserva (backup objects)
Los objetos de reserva se utilizan para copiar datos del directorio HOME a un
Puerto de memoria. El propósito de copiar objetos de reserva en los Puertos
de memoria es el de preservar los contenidos de los el objetos para uso futuro.
Los objetos de reserva (backup objects) tienen las siguientes características:
•

•

•

Estos objetos pueden existir solamente en los Puertos de memoria (es
decir, no se pueden producir objetos de reserva en el directorio
HOME, aunque uno puede hacer cuantas copias del objeto original
como se quieran).
Los contenidos de un objeto de reserva no pueden modificarse (es
posible, sin embargo, copiar el objeto a un directorio en el directorio
HOME, modificarlo en esa localidad, y copiarlo a memoria de Puerto
una vez modificado )
Es posible almacenar un objeto simple o un directorio completo como
un objeto de reserva. No es posible, sin embargo, crear un objeto de
reserva a partir de un cierto número de objetos contenidos en un
directorio.

Cuando se crea un objeto de respaldo en la memoria de Puerto, la calculadora
obtiene un valor llamado verificación de redundancia cíclica, ó, en inglés,
cyclic redundancy check (CRC) , al cual se le conoce también como un valor
checksum . Este valor se basa en los datos binarios contenidos en el objeto de
interés. Este valor se almacena junto con el objeto de reserva, y se utiliza para

Página 26-4

verificar la integridad del objeto de reserva. Cuando se reinstala un objeto de
reserva en el directorio HOME, la calculadora recalcula el valor CRC y lo
compara con el valor original. Si se identifica una discrepancia en estos
valores, la calculadora le advierte al usuario que los datos reinstalados pueden
estar corruptos.

Copiando objetos de reserva en la memoria de Puerto
La operación de copia de un objeto de reserva de la memoria de usuario a la
memoria de Puerto es similar a la operación de copia de variables de un
subdirectorio a otro (véanse los detalles en el Capítulo 2). Uno puede, por
ejemplo, usar la función FILES („¡) para copiar y borrar objetos de
reserva como se hace con objetos normales en la calculadora.
Además,
existen funciones específicas para manipular objetos de reserva, tal como se
describe a continuación.

Copiando y reinstalando el directorio HOME
Es posible copiar los contenidos del actual directorio HOME a un solo objeto
de reserva. Este objeto contendrá todas las variables, asignación de teclas, y
alarmas definidas actualmente en el directorio HOME. Uno puede también
reinstalar los contenidos del directorio HOME al copiar un objeto de reserva ya
existente con los mismos. Las instrucciones para estas operaciones se muestran
a continuación:
Copiando el directorio HOME a un objeto de reserva
Para copiar los contenidos actuales del directorio HOME a un objeto de
reserva, en modo algebraico, utilícese la función:
ARCHIVE(:Número_de_Puerto: Objeto_de_Reserva)
En esta función, Número_de_Puerto puede ser 0, 1, 2 (ó 3, si existe una tarjeta
de memoria SD -- véase más información posteriormente en este Capítulo), y
Objeto_de_Reserva es el nombre del objeto donde se almacena el directorio
HOME. El símbolo : : se escribe utilizando „ê. Por ejemplo, para
copiar el directorio HOME en el objeto HOME1 en el Puerto 1 de la memoria,
utilícese:

Página 26-5

Para copiar el directorio HOME a un objeto de reserva en modo RPN, utilícese:
: Número_de_Puerto : Objeto_de_Reserva ` ARCHIVE
Reinstalando el directorio HOME
Para reinstalar el directorio HOME en modo algebraico utilícese:
RESTORE(: Número_de_Puerto : Objeto_de_Reserva)
Por ejemplo, para reinstalar HOME a partir del objeto de reserva HOME1,
utilícese:
RESTORE(:1:HOME1)
En modo RPN utilícese:
: Número_de_Puerto : Objeto_de_Reserva ` RESTORE
Nota: Cuando se reinstala el directorio a partir de un objeto de
reserva, sucede lo siguiente:
• El directorio en el objeto de reserva elimina el directorio HOME
actual. Por lo tanto, todos los datos en el directorio HOME que no
han sido copiados en reserva, serán eliminados.
• La calculadora se apaga y se enciende por sí misma. Los
contenidos de la pantalla antes de la reinstalación de HOME se
pierden.

Almacenando, borrando, y reinstalando objetos de reserva
Para crear un objeto de reserva utilícese una de las siguientes opciones:
• Utilícese la función FILES („¡) para copiar el objeto a un Puerto. Si
se sigue esta opción, el objeto de reserva tendrá el mismo nombre que el
objeto original.
• Utilícese la función STO para copiar el objeto a un Puerto. Por ejemplo, en
modo algebraico, para copiar la variable A a un objeto de reserva
llamado AA en Puerto 1, utilícese:

Página 26-6

•

@@@A@@@ K „ê1™~a~a`
Utilícese la función ARCHIVE para crear un objeto de reserva con los
contenidos del directorio HOME (véanse instrucciones anteriores).

Para borrar un objeto de reserva de un Puerto de memoria:
• Utilícese la función FILES („¡) para borrar el objeto como se hace
con cualquier variable del directorio HOME (véase el Capítulo 2).
• Utilícese la función PURGE como se indica a continuación:
En modo algebraico, utilícese:
PURGE(: Número_de_Puerto : Objeto_de_Reserva)
En modo RPN, utilícese:
: Número_de_Puerto : Objeto_de_Reserva PURGE
Para reinstalar un objeto de reserva:
• Utilícese la función FILES („¡) para copiar el objeto de reserva de la
memoria de Puerto al directorio HOME.
• Cuando se reinstala un objeto de reserva, la calculadora lleva a cabo una
verificación de integridad del objeto reinstalado al calcular el valor CRC.
Cualquier discrepancia entre los valores CRC calculado y almacenado
produce un mensaje indicando datos corruptos.

Utilizando datos en objetos de reserva
Aunque no se pueden modificar directamente los contenidos de los objetos de
reserva, sus contenidos se pueden utilizar en operaciones. Por ejemplo, se
pueden ejecutar programas almacenados como objetos de reserva o utilizar
datos de objetos de reserva para ejecutar programas.
Para ejecutar
programas en objetos de reservas o utilizar datos de objetos de reserva
utilícese la función FILES („¡) para copiar los contenidos del objeto de
reserva a la pantalla. Alternativamente, se puede utilizar la función EVAL para
ejecutar un programa almacenado en un objeto de reserva, o la función RCL
para recobrar datos contenidos en un objeto de reserva como se muestra a
continuación:
• En modo algebraico:
■ Para evaluar un objeto de reserva, escríbase:

Página 26-7

■

•

EVAL(argumento(s), : Número_de_Puerto : Objeto_de_Reserva )
Para copiar un objeto de reserva a la pantalla, escríbase:
RCL(: Número_de_Puerto : Objeto_de_Reserva)

En modo RPN:
■ Para evaluar a objeto de reserva, escríbase:
Argumento(s) ` : Número_de_Puerto : Objeto_de_Reserva EVAL
■ Para copiar un objeto de reserva a la pantalla, escríbase:
: Número_de_Puerto : Objeto_de_Reserva ` RCL

Utilizando tarjetas de memoria SD
La calculadora cuenta con un puerto para tarjeta de memoria en el cual se
puede insertar una tarjeta SD flash para copiar objetos de reserva, o para
transferir objetos de otros equipos a la calculadora.. La Tarjeta SD aparecerá
como Puerto número 3.
El acceso a un objeto en la tarjeta SD se ejecuta como si el objeto estuviese en
uno de los puertos 0, 1, ó 2. Sin embargo, el Puerto 3 no aparecerá en el
menú cuando se utiliza la función LIB (‚á). Los archivos en la tarjeta SD
pueden manipularse solamente con la función FILES („¡). El diagrama
de directorios se mostrará similar a la siguiente pantalla:
0: IRAM
1: ERAM
2: FLASH
3: SD
HOME
|-- sub-directorios
Cuando se accede la opción SD, todos los objetos aparecerán como objetos
de reserva. Por lo tanto, no es posible determinar el tipo de objeto
simplemente de la lista de archivos. Nombres con muchos caracteres no
pueden utilizarse en la lista de archivos. Los nombres deben tener el formato
8.3 caracteres, similar a los nombres de archivos en DOS, es decir, los
nombres tendrán una longitud máxima de 8 caracteres con 3 caracteres en el
sufijo.

Página 26-8

Como alternativa a utilizar la función FILES, uno puede utilizar las funciones
STO y RCL para almacenar y reinstalar los objetos de reserva de una tarjeta
SD, como se muestra a continuación. Uno puede también utilizar la función
PURGE para borrar los objetos de reserva en la tarjeta SD.

Almacenando objetos en la Tarjeta SD
Uno puede almacenar objetos solamente en la raíz de la tarjeta SD, es decir,
no se puede construir un sistema de directorios en el Puerto 3 (Esta opción
podría incluirse en una futura versión del sistema operativo ROM).
Para
almacenar un objeto, utilícese la función STO como se muestra a continuación:
• En modo algebraico:
Escríbase el objeto, presiónese K, escríbase el nombre del objeto
utilizando puerto 3 (por ejemplo, :3:VAR1), presiónese `.
• En modo RPN:
Escríbase el objeto, escríbase el nombre del objeto utilizando puerto 3 (por
ejemplo, :3:VAR1), presiónese K.

Copiando un objeto de la tarjeta SD
Para copiar un objeto de la tarjeta SD a la pantalla, utilícese la función RCL,
como se muestra a continuación:
• En modo algebraico:
Presiónese „©, escríbase el nombre del objeto utilizando el Puerto 3
(por ejemplo, :3:VAR1), presiónese `.
• En modo RPN:
Escríbase el nombre del objeto utilizando el Puerto 3 puerto 3 (por
ejemplo, :3:VAR1), presiónese „©.
Utilizando la función RCL es posible reinstalar variables indicando una
referencia con directorios, por ejemplo, en modo RPN: :3: {path} `
RCL. La referencia de directorios, similar a aquellas utilizadas en DOS, es una
serie de nombres de directorios que ubican las variables dentro del sistema de
directorios.
De be indicarse, sin embargo, que algunas variables
almacenadas en un objeto de reserva no pueden relacionarse con una
referencia de directorio. En este caso, el objeto de reserva completo (por

Página 26-9

ejemplo, un directorio) tiene que reinstalarse, y, posteriormente, acceder las
variables requeridas dentro de este directorio.

Eliminando objetos de la tarjeta SD
Para eliminar un objeto de la tarjeta SD en la pantalla, utilícese la función
PURGE, como se muestra a continuación:
• En modo algebraico:
Presiónese I @PURGE, escríbase el nombre del objeto utilizando el Puerto
3 (por ejemplo, :3:VAR1), presiónese `.
• En modo RPN:
Escríbase el nombre del objeto utilizando el Puerto 3 (por ejemplo,
:3:VAR1), presiónese I @PURGE.

Utilizando bibliotecas
Las bibliotecas son programas binarios creados por los usuarios que pueden
cargarse en la calculadora y pueden ejecutarse desde cualquier directorio en
el directorio HOME. Las bibliotecas pueden copiarse a la calculadora como
una variable regular, e instalarse y adjuntarse al directorio HOME.

Instalando y adjuntando una biblioteca
Para instalar una biblioteca, cópiense los contenidos de la biblioteca en la
pantalla(utilícese la tecla de menú ‚, o la función RCL) y almacénense en el
Puerto 0 ó 1. Por ejemplo, para instalara una variable de biblioteca en un
Puerto, utilícese:
•
•

En modo algebraico:
STO(Variable_Biblioteca, Número_de_Puerto)
En modo RPN:
Variable_Biblioteca ` Número_de_Puerto K

Después de instalar la biblioteca en un Puerto de memoria es necesario
adjuntar la biblioteca al directorio HOME. Esto se puede hacer al apagar y
encender la calculadora, o, al presionar, simultáneamente, $C. Después
de adjuntarse al directorio HOME, la biblioteca estará lista para utilizarse.

Página 26-10

Para acceder el menú de activación de bibliotecas utilícese (‚á). El
nombre de la biblioteca instalada deberá aparecer en las teclas del menú.

Número de bibliotecas
Cuando se utiliza el menú LIB (‚á) y se presiona la tecla correspondiente
a los puertos 0 ó 1, se mostrarán los números de las bibliotecas disponibles en
las teclas de menú. Cada biblioteca tiene un número asociado de cuatro
dígitos. Estos números los asigna la persona que produce la biblioteca, y se
utilizan para borrar la biblioteca si es necesario.

Borrando una biblioteca
Para borrar una biblioteca de un Puerto de memoria, utilícese:
•
•

En modo algebraico:
PURGE(:Número_de_Puerto: número_biblioteca)
En modo RPN:
: Número_de_Puerto : número_biblioteca PURGE

En los cuales, número_biblioteca es el número de la biblioteca descrito
anteriormente.

Creando bibliotecas
Las bibliotecas pueden escribirse en lenguaje Assembler, en lenguaje System
RPL, o utilizando una biblioteca para crear bibliotecas, por ejemplo, LBMKR.
Este programa, por ejemplo, puede encontrarse en la red Internet (véase por
ejemplo, http://www.hpcalc.org). Los detalles de la programación de la
calculadora en lenguaje Assembler o System RPL no se incluyen en este
documento. El usuario puede encontrar información relacionada en la red de
Internet.

Batería de respaldo
Una batería de respaldo CR2032 se incluye en la calculadora para proveer
energía eléctrica adicional a la memoria volátil cuando se reemplazan las
baterías principales. Se recomienda reemplazar la batería de respaldo cada
5 años. La pantalla indicará cuando sea necesario reemplazar la batería de

Página 26-11

respaldo. El diagrama siguiente muestra la localización de la batería de
respaldo en el compartimiento superior en la parte trasera de la calculadora.
Batería de respaldo

Baterías
principales

Página 26-12

Capítulo 27
La biblioteca de ecuaciones

La biblioteca es un conjunto de ecuaciones y comandos que le permitirá
resolver simples problemas científicos y de ingeniería. La biblioteca consiste de
más de 300 ecuaciones agrupadas en 15 temas técnicos en los que se cuentan
más de 100 títulos de problemas. Cada título de problema contiene una o más
ecuaciones que le ayudarán a resolver el tipo de problema al que se enfrenta.
El Apéndice M contiene una tabla con los grupos y títulos de problemas de los
que dispone en la Biblioteca de ecuaciones.
Nota: los ejemplos que encontrará en este capítulo asumen que el modo de
operación es el RPN y que se ha seleccionado la bandera. (Debería
seleccionarse la bandera –117 siempre que use el resolvedor numéricos para
resolver ecuaciones en la biblioteca de ecuaciones).
Adventencia: Puede borrar la Biblioteca de ecuaciones si necesita más
espacio en su calculadora. Las bibliotecas 226 y 227 de su puerto 2
constituyen la Biblioteca de ecuaciones y pueden borrarse al igual que
cualquier otra biblioteca creada por el usuario. No obstante, si está
considerando borrar estas biblioecas pero existe la posibilidad de que vaya a
necesitar la Biblioteca de ecuaciones en el futuro, debería copiarla a un PC,
usando el Kit de conectividad para calculadoras HP 48/49, antes de borrarlas
de la calculadora. A partir de ese momento podrá volver a instalar las
bibliotecas más tarde cuando necesite usar la Biblioteca de ecuaciones. (En el
Capítulo 26 se explica con más detalle cómo borrar una biblioteca).

Resolver un problema con la biblioteca de ecuaciones
Siga estos pasos para resolver una ecuación usando la Biblioteca de
ecuaciones.
Presiónese G—` EQLIB EQNLI para iniciar la biblioteca de ecuaciones.
Seleccione las opciones de la unidad que desee presionando las teclas de
menú ##SI##, #ENGL#, y UNITS.

Página 27-1

Seleccione el tema que desee iluminándolo (por ejemplo, Fluídos) y presiónese
`.
Seleccione el título que desee iluminándolo (por ejemplo, Presión en
profundidad) y presiónese `.
Aparecerá la primera ecuación. Presiónese #NXEQ# para visualizar las
ecuaciones subsiguientes.
Presiónese #SOLV# para iniciar el resolvedor.
Para cada variable conocida, teclee su valor y presiónese la tecla del menú
correspondiente. Si no aparece una variable, presiónese L para visualizar
más variables.
Opcional: proporcione una pista en el caso de una variable desconocida. Esto
puede acelerar la solución del proceso o ayudar a enfocarse en una de varias
soluciones. Entre una pista como si se tratase del valor de una variable
conocida.
Presiónese ! seguida de la tecla del menú de la variable que está
resolviendo. Si desea resolver todas las ecuaciones del título seleccionado,
presiónese ! ##ALL#. El resolvedor calculará entonces los valores de todas las
variables que no haya definido anteriormente.

Usar el resolvedor
Cuando seleccione un tema y un título de la Biblioteca de ecuaciones,
especificará un conjunto de una o más ecuaciones. Cuando presione #SOLV# ,
dejará los catálogos de la Biblioteca de ecuaciones y comenzará a resolver las
ecuaciones que haya seleccionado.
Cuando presione #SOLV# en la Biblioteca de ecuaciones, la aplicación realizará
el siguiente cálculo:
• Se guarda un conjunto de ecuaciones en el valor apropiado: EQ es para
una ecuación, EQ y Mpar para más de una ecuación. (Mpar es una

Página 27-2

•

•

•

variable reservada que utilizará el resolvedor de ecuaciones múltiples).
Nota: EQ y Mpar son variables, de modo que puede tener distintos EQ y
Mpar para cada directorio en memoria.
Se creará una variable, ajustándola a cero excepto si ya existe. (Si el
resolvedor ya ha usado anteriormente el nombre de la variable, entonces
se considerará una variable global y por lo tanto ya existirá: hasta que la
purgue).
Las unidades de cada variable se seleccionan según las condiciones que
haya especificado: Estándar Internacional o Inglés, y las unidades usadas
o no usadas—excepto si la variable ya existe y tiene unidades
dimensionalmente consistentes con lo que haya especificado. (Para
cambiar de Inglés a unidades de Estándar Internacional o viceversa,
deberá purgar en primer lugar las variables existentes o explícitamente
entre las unidades con los valores).
Se inicia el resolvedor apropiado: el SOLVR de una ecuación y el
resolvedor de ecuaciones múltiples en el caso de más de una ecuación

Usar las teclas del menú
Las acciones de las teclas del menú no desplazadas de ambos resolvedores son
idénticas. Obsérvese que el resolvedor de ecuaciones múltiples usa dos formas
de etiquetas del menú: blancas y negras. La L visualiza etiquetas
adicionales del menú en caso de necesidad. Además, cada resolvedor cuenta
con teclas especiales del menú que se describen en la tabla siguiente. Es fácil
saber qué resolvedor se ha iniciado mirando a las etiquetas especiales del
menú.
Acciones para las teclas del menú del resolvedor
Operación

Guardar valor

Aplicación SOLVE

Resolvedor de
ecuaciones
múltiples

!!!!!!!!!X!!!!!!!!!

!!!!!!!!!X!!!!!!!!!

Página 27-3

Resolver por valor

! !!!!!!!!!X!!!!!!!!!

! !!!!!!!!!X!!!!!!!!!
! #%X%#

Rellamar valor

… !!!!!!!!!X!!!!!!!!!

… !!!!!!!!!X!!!!!!!!!
… #%X%#

Evaluar ecuación

# EXPR=

Siguiente ecuación (si
aplicable)

#NXEQ#

Desdefinir todas

##ALL#

Resolver por todas

!##ALL#

Catálogo de
progreso

… ##ALL#

Ajustar estados

!MUSER! !MCALC!

Navegar por la biblioteca de ecuaciones
Cuando seleccione un tema y título en la Biblioteca de ecuaciones, especifique
un conjunto de una o más ecuaciones. Puede resolver la siguiente información
acerca del conjunto de los catálogos de la Biblioteca de ecuaciones:
• Las ecuaciones en sí y el número de ecuaciones.
•

Las variables usadas y sus unidades. (También puede cambiar las
unidades).

•

Una imagen del sistema físico (para la mayoría de los conjuntos de
ecuaciones).

Visualizar ecuaciones
Todas las ecuaciones cuentan con una formulario de visualización y algunas
aplicaciones también disponen de un formulario de cálculo. El formulario de
visualización ofrece la ecuación en su forma básica, el formulario que vería en
los libros. El formulario de cálculo incluye precisiones computacionales. Si una
ecuación tiene un formulario computacional, verá aparecer una * en la
esquina superior izquierda de la pantalla de la ecuación.

Página 27-4

Operaciones para visualizar ecuaciones e imágenes
Clave

Acción

Ejemplo

#EQN# #NXEQ# Muestra el formulario de
pantalla de la ecuación actual
o siguiente en el formato
escritor de ecuaciones.

B=

μ0 ⋅ μr ⋅ I
2 ⋅π ⋅ r

`

Muestra el formulario de
pantalla de la ecuación actual
o siguiente como objeto
algebraico. ` o ˜
muestran la ecuación
siguiente, —muestra la
anterior.

'B=(μ0*μr*I)/
(2*à*r)'

#·STK#

Muestra el formulario de
cálculo poniendo una lista que
contiene un conjunto de
ecuaciones en la pantalla.

{ 'B=IFTE(r> escribe los símbolos de programas.
La tecla í inscribe una flecha que representa un punto de entrada en un
programa.
La tecla 8 escribe un carácter de ENTER en los programas y texto
La tecla (,) escribe una coma.
Las teclas direccionales, cuando se combinan con …, mueven el cursor
al último carácter en la dirección de la tecla presionada.

•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•

x

y calcula el la raíz x de y.

Página B-9

Caracteres ALPHA

El bosquejo siguiente demuestra los caracteres asociados a las diversas teclas
de la calculadora cuando se activa la tecla ALPHA. Nótese que la función
ALPHA se utiliza principalmente para escribir las letras mayúsculas del alfabeto
(A a la Z). Los números, los símbolos matemáticos (-, +), coma (.), y los
espacios (SPC), cuando se combinan con ALPHA, resultan ser los mismos que
las funciones principales de estas teclas. La función ALPHA produce un
asterisco (*) cuando se combina con la tecla de multiplicar, es decir, ~*.

Funciones ~ del teclado de la calculadora

Página B-10

Caracteres con la combinación ~„

El bosquejo siguiente demuestra los caracteres asociados a las diversas teclas
de la calculadora cuando la función de la ALFA se combina con „. Nótese
que la combinación ~„ se utiliza principalmente para escribir las letras
minúsculas del alfabeto (a á la z). Los números, los símbolos matemáticos (-,
+), coma (.), los espacios (SPC), y las teclas ENTER y CONT, cuando se
combinan con ~„, resultan ser los mismos que las funciones principales
de estas teclas.

Funciones ~„ del teclado de la calculadora

Página B-11

Caracteres con la combinación ~…

El bosquejo siguiente demuestra los caracteres asociados a las diversas teclas
de la calculadora cuando la función de la ALFA se combina con ….

Funciones ~… del teclado de la calculadora

Página B-12

Nótese que la combinación ~… se utiliza principalmente para escribir un
número de caracteres especiales en la pantalla de la calculadora. Las
funciones CLEAR, OFF, í , 8 , coma (,), y OFF resultan ser las mismas que las
funciones principales de estas teclas cuando se usa la combinación ~….
Los caracteres especiales generados por la combinación ~… incluyen las
letras griegas (α, β, Δ, δ, ε, ρ, μ, λ, σ, θ, τ, ω, y Π). Otros caracteres generados
por la combinación ~… son |, ‘, ^, =, <, >, /, “, \, __, ~, !, ?, <<>>, y
@.

Página B-13

Apéndice C
Ajustes del CAS

CAS significa Computer Algebraic System (Sistema Algebraico de
Computadora). Ésta es la base matemática de la calculadora donde se
programan las operaciones y las funciones matemáticas simbólicas. El CAS
ofrece un número de ajustes a seleccionarse según el tipo de operación de
interés. Para ver los ajustes opcionales del CAS utilizar lo siguiente:
•

Presione la tecla H para activar la forma interactiva denominada
CALCULATOR MODES.

Al pié de la pantalla usted encontrará las teclas de menú siguientes:
)@FLAGS

Provee menú para manipular banderas de la calculadora (*)

@CHOOS

Para elegir opciones en las posiciones de la forma

)@@ CAS@@

Provee una forma interactiva para cambiar el CAS

)@@DISP@

Provee una forma interactiva para cambiar la pantalla

!!CANCL

Cierra esta forma interactiva y vuelve a la pantalla normal

@@@OK@@@@

Utilizar esta llave para aceptar ajustes

(*)Las banderas o señales son variables en la calculadora, referida por
números, que pueden "ser fijados" y "removidas" para cambiar ciertas
opciones en el funcionamiento de la calculadora.

Página C-1

Al presionarse la tecla L se muestran las funciones restantes en la forma
interactiva CALCULATOR MODES:
@RESET Para reajustar una opción destacada
!!CANCL Cierra esta forma interactiva y vuelve a la pantalla normal
@@@OK@@@@ Utilizar esta llave para aceptar ajustes
•

Para recobrar el menú original en la forma interactiva CALCULATOR
MODES, presione la tecla L. De interés a este punto es el cambiar los
ajustes del CAS. Esto se logra presionando la tecla @@ CAS@@. Los valores preseleccionados de los ajustes del CAS se muestran a continuación:

•

Para navegar las muchas opciones de la forma interactiva La forma
interactiva CAS MODES, use: š™˜—.

•

Para seleccionar o remover cualesquiera de los ajustes demostrados
anteriormente, seleccione la raya enfrente de la opción del interés, y
presione la tecla @@CHK@ hasta el ajuste correcto se alcance. Cuando se
selecciona una opción, una marca de aprobado será mostrada en la raya
(Vg., las opciones Rigorous y Simp Non-Rational en la pantalla anterior).
Las opciones no seleccionadas no mostrarán ninguna marca en la raya
que precede la opción de interés (Vg.., las opciones _Numeric, _Approx,
_Complex, _Verbose, _Step/Step, _Incr Pow en la pantalla anterior).

Después de seleccionar y no seleccionar todas las opciones que usted desea
en la forma interactiva CAS MODES, presione la tecla @@@OK@@@ . Esto le llevará
de nuevo a la forma interactiva CALCULATOR MODES.
Para volver a la

Página C-2

exhibición normal de la calculadora a este punto, presione la tecla @@@OK@@@ una
vez más.

Selección de la variable independiente
Muchas de las funciones proporcionadas por el CAS usan una variable
independiente predeterminada. Esta variable es pre-seleccionada como la
letra X (mayúscula) según se muestra en la forma interactiva CAS MODES. Sin
embargo, el usuario puede cambiar esta variable a cualquier otra letra o
combinación de letras y de números (el nombre de las variables debe
comenzar con una letra) editando el valor de Indep var en la forma interactiva
CAS MODES.
Una variable llamada VX existe el directorio {HOME CASDIR} de la
calculadora que tiene, pre-definido, el valor ‘X’. Éste es el nombre de la
variable independiente preferida para los usos algebraicos y del cálculo. Por
esa razón, la mayoría de los ejemplos en este capítulo utilizan X como la
variable desconocida.
Si usted utiliza otros nombres de variables
independientes, por ejemplo, con la función HORNER, el CAS no trabajará
correctamente.
La variable VX es un habitante permanente del directorio {HOME CASDIR}.
Hay otras variables del CAS en el directorio { HOME CASDIR}, por ejemplo,
REALASSUME (@REALA), MODULO (@MODUL), CASINFO (@CASIN), etc.
Usted puede cambiar el valor de VX almacenando un nuevo nombre
algebraico en él, Vg.., ' x ', ' y ', ' m ', etc. Preferiblemente, mantenga 'X'
como su variable VX para los ejemplos en esta guía.
También, evitar de usar el VX variable en sus programas o ecuaciones, para no
confundirse con el VX del CAS. Si usted necesita referir a la componente x de
la velocidad, por ejemplo, utilice vx o Vx

Página C-3

Selección del módulo
La opción Modulo de la forma interactiva CAS MODES representa un número
(valor pre-selecto = 13) utilizado en aritmética modular. Más detalles sobre
aritmética modular se presentan en otras secciones.

Modo CAS Numeric vs. Symbolic
Cuando se selecciona el modo Numeric en el CAS, ciertas constantes
predefinidas en la calculadora se exhiben en su valor de punto flotante
(floating-point value). Por preselección, la opción _Numeric se presenta
desactivada, significar que esas constantes predefinidas serán exhibidas como
su símbolo, más bien que su valor, en la exhibición de la calculadora.
La pantalla siguiente demuestra los valores de la constante π (el cociente de la
longitud de la circunferencia a su diámetro) in el formato simbólico seguido por
el numérico. Este ejemplo corresponde al modo operativo algebraico.

El mismo ejemplo, correspondiendo al modo de funcionamiento de RPN, se
demuestra a continuación:

Modo CAS Approximate vs. Exact
Cuando se selecciona el modo _Approx, operaciones simbólicas (Vg..,
integrales definidas, raíces cuadradas, etc.), serán calculadas numéricamente.
Cuando la opción _Approx no está seleccionada (el modo Exact está activo),
las operaciones simbólicas serán calculadas como expresiones algebraicas de
forma cerrada, siempre que sea posible.

Página C-4

La pantalla siguiente demuestra un par de expresiones simbólicas escritas con
el modo exacto activo con la calculadora en modo algebraico:

En modo algebraico, el objeto incorporado por el usuario se muestra en el
lado izquierdo de la pantalla, seguido inmediatamente por un resultado en el
lado derecho de la pantalla. Los resultados demostrados arriba muestran las
expresiones simbólicas para ln(2), i.e., el logaritmo natural de 2, y 5 , i.e., la
raíz cuadrada de 5. Si la opción _Numeric CAS se selecciona, los resultados
correspondientes para estas operaciones son como sigue:

Las teclas necesarios para incorporar estos valores en modo algebraico son los
siguientes:
…¹2` R5`
Los mismos cálculos se pueden producir en modo de RPN. Los niveles 3: y 4:
de la pantalla demuestran el caso del ajuste Exact del CAS (i.e., la opción
_Numeric de CAS está sin seleccionar), mientras que los niveles 1: y 2:
demostrar el caso en el cual se selecciona la opción numérica del CAS.

Las teclas requeridas son: 2…¹ 5R `
Un atajo del teclado para intercambiar los modos APPROX y EXACT consiste
en usar: ‚ (mantener) `. En este contexto, “mantener” significa mantener
presionada la tecla ‚ y apretar simultáneamente la tecla `.

Página C-5

Números reales vs. números enteros

Las operaciones del CAS utilizan números enteros para mantener la precisión
completa de los cálculos. Los números reales se almacenan en la forma de una
mantisa y de un exponente, y tienen precisión limitada. En el modo APPROX,
sin embargo, siempre que usted incorpore un número entero, este se transforma
automáticamente en un número real, según se ilustra a continuación:

Siempre que la calculadora liste un valor entero seguido por un punto decimal,
está indicando que el número entero se ha convertido a una representación de
numero real. Esto indicará que el número se escribió con el CAS fijado a modo
APPROX.
Se recomienda que usted seleccione el modo EXACT para las aplicaciones del
CAS, y cambie al modo APPROX si se lo pide la calculadora par completar
una operación.
Para la información adicional sobre números reales y del enteros, así como
otros objetos en la calculadora, referirse al capítulo 2.

Modo CAS Complex vs. Real
Un número complejo es un número de la forma a+bi, en la cual i, definida por

i 2 = −1 es la unidad imaginaria (los ingenieros eléctricos prefieren utilizar el
símbolo j), y a y b son números reales. Por ejemplo, el número 2 + 3i es un
número complejo. Información adicional sobre operaciones con números
complejos se presenta en el capítulo 4 de esta guía.
Cuando se selecciona la opción _Complex CAS, si una operación da lugar a
un número complejo, el resultado será mostrado en la forma a+bi o en la forma
de un par ordenado (a,b). Por otra parte, cuando no se selecciona la opción
_Complex CAS (i.e., la opción Real del CAS está activa), y una operación da

Página C-6

lugar a un número complejo, se le solicitará cambiar al modo complejo. Si
usted declina, la calculadora producirá un error.
Notar por favor que, en modo COMPLEJO el CAS puede realizar una gama
más amplia de operaciones que en modo REAL, pero también será
considerablemente más lento. Así, se recomienda que usted utiliza el modo
REAL en la mayoría de los casos y cambie a COMPLEJO la calculadora así lo
solicita en al completar una operación.
2

2

El ejemplo siguiente muestra el cálculo de la cantidad 5 − 8 usando el
modo algebraico, con la opción REAL del CAS seleccionada. En este caso, le
preguntan si usted desea cambiar el modo al complejo:

Si usted presiona la tecla @@OK@@, la opción compleja es activada, y el resultado
es el siguiente:

Las teclas usadas para producir el resultado anterior son las siguientes:
R„Ü5„Q2+ 8„Q2`
Cuando se le pida cambiar al modo COMPLEX, utilice: F. Si usted decide
no aceptar el cambio al modo COMPLEX, usted obtiene el mensaje de error
siguiente:

Página C-7

Modo CAS Verbose vs. no-verbose
Cuando se selecciona la opción _Verbose, en ciertas aplicaciones del cálculo
se proporcionan líneas de comentario en la exhibición principal. Si la opción
_Verbose CAS no está activa, entonces esas aplicaciones del cálculo no
mostrarán ninguna línea de comentario. Las líneas de comentario aparecerán
momentáneamente en las líneas superiores de la exhibición mientras que se
está calculando la operación.

Modo CAS Step-by-step (paso a paso)
Cuando se selecciona la opción _Step/step CAS, ciertas operaciones serán
demostradas paso a la vez en la exhibición. Cuando no se selecciona la
opción _Step/step CAS, entonces los pasos intermedios no serán demostrados.

Por ejemplo, seleccionando la opción Step/step, las pantallas siguientes
demuestran la división paso a paso de dos polinomios, a saber, (X3-5X2+3X2)/(X-2). Esto se logra usando la función DIV2 mostrada abajo. Presione `
para demostrar el primer paso:

La pantalla nos informa que la calculadora está funcionando una división de
polinomios A/B, tal que A = BQ + R, donde Q = cociente, y R = residuo. Para
el caso bajo consideración, A = X3-5X2+3X-2, y B = X-2. Estos polinomios son
representados en la pantalla por las listas de sus coeficientes. Por ejemplo, la
expresión A: {1,-5,3,-2} representa el polinomio A = X3-5X2+3X-2, B:{1,-2}
representa el polinomio B = X-2, Q: {1} representa el polinomio Q = X, y R:{3,3,-2} representa el polinomio R = -3X2+3X-2.

Página C-8

A este punto, presione, por ejemplo, la tecla `. Continué presionando `
para producir los pasos adicionales:

Así, los pasos intermedios demostrados representan los coeficientes del
cociente y del residuo de la división sintética paso a paso como habría sido
realizado a mano, es decir,

X 3 − 5X 2 + 3X − 2
− 3X 2 + 3X − 2
= X2 +
=
X −2
X −2
X 2 − 3X +

8
− 3X − 2
= X 2 − 3X − 3X −
X −2
X −2.

Modo CAS de potencia creciente
Cuando se selecciona la opción _Incr pow CAS, los polinomios serán
enumerados de modo que los términos tengan potencias crecientes de la
variable independiente. Cuando no se selecciona la opción _Incr pow (valor
pre-selecto) entonces los polinomios serán enumerados de modo que los
términos tengan potencias decrecientes de la variable independiente. Un
ejemplo se muestra a continuación en modo algebraico:

Página C-9

En el primer caso, el polinomio (X+3)5 se amplía con potencias crecientes de X,
mientras que en el segundo caso, el polinomio muestra potencias decrecientes
de X. Las teclas en ambos casos son las siguientes:
„Üx+3™Q5`
En el primer casa la opción _Incr pow se seleccionó, mientras que en el
segundo no fue seleccionada. El mismo ejemplo, en la notación de RPN, se
demuestra abajo:

La misma secuencia de teclas fue utilizada para producir cada uno de estos
resultados:
³„Üx+3™Q5`μ

Modo CAS Rigorous
Cuando se selecciona la opción _Rigorous CAS, la expresión algebraica |X|,
i.e., el valor absoluto, no se simplifica a X. Cuando no se selecciona la opción
_Rigorous CAS, la expresión algebraica |X| se simplifica a X.
El CAS puede solucionar una variedad más grande de problemas si el modo
riguroso no se fija. Sin embargo, el resultado, o el dominio en el cual el
resultado es aplicable, pueden ser muy limitado.

Simplificación de expresiones no racionales
Cuando se selecciona la opción _Simp Non-Rational CAS, las expresiones noracionales serán simplificadas automáticamente. Por otra parte, cuando no se
selecciona la opción _Simp Non-Rational CAS, las expresiones no-racionales
no serán simplificadas automáticamente.

Página C-10

Usando la función informativa del CAS
Encender la calculadora, y presione la tecla I para activar el menú TOOL.
Después, presione la tecla B, seguida de la tecla `, para activar la
función informativa del CAS. La pantalla mirará como sigue:

A este punto se le proporcionará una lista de todos las funciones del CAS en
orden alfabético. Usted puede utilizar la tecla ˜ para navegar a través de
la lista. Para moverse hacia arriba en la lista use — . Las teclas direccionales
están situadas en el lado derecho del teclado entre las primera y cuarta fila.
Suponer que usted desea encontrar la información sobre el comando ATAN2S
(función ArcTANgent-to-Sine). Presione la tecla ˜, hasta que la función
ATAN2S esté seleccionada:

Notar que, en este caso, las teclas del menú E y F son las únicas con
instrucciones asociadas a ellas, a saber:
!!CANCL
!!@@OK#@

E
F

CANCeLar la función informativa del CAS
Active la función informativa del CAS para la función
seleccionada

Página C-11

Si usted presiona la tecla !!CANCL E, la función informativa del CAS se
cancela, y la calculadora vuelve a la pantalla normal.
Para ver el efecto de usar !!@@OK#@ en la función informativa del CAS, repitamos
los pasos usados arriba para la selección de la función ATAN2S en la lista de
las funciones del CAS:
@HELP B` ˜ ˜ …(10 times)
Entonces, presione la tecla !!@@OK#@ F para obtener la información sobre la
función ATAN2S.
La función informativa del CAS indica que la función ATAN2S substituye el
valor de atan(x), la tangente inversa de un valor x, por su equivalente en
términos de la función asin (seno inverso), es decir:

Las cuarta y quinta líneas en la pantalla proporcionar un ejemplo del uso de la
función ATAN2S.
La línea cuatro, a saber, ATAN2S(ATAN(X)), es la
declaración de la operación que se realizará, mientras que la línea cinco, a
saber, ASIN(X/√(X^2+1)), es el resultado.
La última línea en la pantalla, comenzando con la partícula See:, es un enlace
de referencia que enumera otras funciones del CAS relacionadas con la función
ATAN2S.
Note que hay seis funciones asociadas a las llaves suaves del menú en este
caso (usted puede comprobar que haya solamente seis funciones porque al
presionar L no produce ninguna tecla de menú adicional). Las funciones de
las teclas del menú son las siguientes:
@EXIT
A
@ECHO B
@@ SEE1@@ C

Salir de la función informativa del CAS
Copiar la función del ejemplo a la pantalla y salir
Ver el primer enlace (si existe) en la lista de referencias

Página C-12

@@SEE2@ D
!@@SEE3@ E
@!MAIN F

Ver el segundo enlace (si existe) de la lista de referencias
Ver el tercer enlace (si existe) de la lista de referencias
Volver a la lista PRINCIPAL en la función informativa del CAS

En este caso deseamos copiar (ECHO) el ejemplo en la pantalla presionando
@ECHO B. La pantalla que resulta es la siguiente:

Ahora hay cuatro líneas de la pantalla ocupada con salida. Las primeras dos
líneas superiores corresponden al primer ejercicio con la función informativa
del CAS en cuál cancelamos el pedido de ayuda. La tercera línea de arriba a
abajo muestra la llamada más reciente a la función informativa del CAS,
mientras que la ultima línea muestra la copia (ingles, ECHO, o eco) de la
función del ejemplo. Para activar la función copiada presione `.
El
resultado es:

Notar que, a medida que se producen nuevas líneas de salida, la pantalla
empuja las líneas existentes hacia arriba y llena la parte inferior de la pantalla
con más líneas de salida.
La función informativa del CAS, descrita en esta sección, es muy útil para ver la
definición de las muchas funciones del CAS disponibles en la calculadora.
Cada entrada en la función informativa del CAS, siempre que sea apropiado,
tendrá un ejemplo del uso de la función, así como referencias según se mostró
en este ejemplo.
Para navegar rápidamente a una función particular en la lista de del CAS del
informativa del función sin tener que utilizar las llaves de flecha toda la hora,

Página C-13

podemos utilizar un atajo que consiste en mecanografiando la primera letra en
el nombre de la función. Suponga que deseamos encontrar la información
sobre la función IBP (inglés, Integration By Parts, o integración por partes), una
vez que la lista de la función informativa del CAS está disponible, use la tecla
~ (primera llave en la cuarta fila de abajo hacia arriba del teclado) seguido
por la tecla para la letra i (igual que la tecla I), i.e., ~i. Esto le llevará
automáticamente a la primera función que comienza con i, a saber, IBASIS.
Entonces, usted puede utilizar la tecla ˜, dos veces, para encontrar la
función IBP. Al presionar la tecla !!@@OK#@ F, activamos la función informativa
del CAS para IBP.
Presione @!MAIN F para recuperar la lista principal de
funciones, o @EXIT A para salir.

Referencias para los comandos que no pertenecen al CAS

La facilidad de la ayuda contiene las entradas para todos los comandos
desarrollados para el CAS (Computer Algebraic System). Hay una gran
cantidad de otras funciones y comandos que fueron desarrollados
originalmente para las calculadoras de la serie HP 48G que no se incluyen en
la facilidad de la ayuda. Las referencias para esos comandos son la HP 48G
Series User’s Guide (HP Part No. 00048-90126) y la HP 48G Series Advanced
User’s Reference Manual (HP Part No. 00048-90136) ambos publicadas por
Hewlett-Packard Company, Corvallis, Oregon, en 1993.

Términos y condiciones para el uso del CAS
El uso del software del CAS requiere que el usuario tenga el conocimiento
matemático apropiado. No se proveen garantías para el funcionamiento del
software del CAS, sino lo permitido por ley aplicable. A menos que se indique
lo contrario, el responsable de la licencia del software del CAS lo provee sin
garantía de ninguna clase, expresa o implícita, incluyendo, pero no limitada
a, las garantías implicadas de la comerciabilidad y la aplicabilidad a un
propósito particular. El riesgo completo en cuanto a la calidad y el
funcionamiento del software del CAS es responsabilidad del usuario. Si el
software del CAS resultara ser defectuoso, el usuario asume el costo total del
mantenimiento, reparación o corrección necesarias.

Página C-14

Bajo ninguna circunstancia, a menos que sea requerida por la ley, el proveedor
de la licencia será responsable por daños, incluyendo cualquier daño general,
especial, incidental, o consecuente, resultante del uso o incapacidad de usar el
software CAS (que incluye pero no está limitado a la pérdida de datos o los
datos convertidos a inexactos o las pérdidas sostenidas por usted o por
terceros o la inhabilidad del CAS de funcionar con cualquier otro programa),
incluyendo el caso en que el proveedor de la licencia o la contraparte hayan
sido advertidos de la posibilidad de tales daños. Si es requerido por la ley
aplicable, el importe a pagar máximo por los daños por el proveedor de la
licencia no excederá la cantidad de los derechos pagada por Hewlett-Packard
al proveedor de la licencia del software del CAS.
La parte principal del CAS fue desarrollada por el profesor Bernard Parisse. La
parte desarrollada por el profesor Parisse se provee bajo la licencia de LGPL
2.0 (Licencia Pública General Mínima) de la fundación del software gratuito
(www.gnu.org). Información adicional sobre esta licencia está disponible en el
sitio de Internet del profesor Parisse:
http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~parisse/english.html.

Página C-15

Apéndice D
Caracteres adicionales
Si bien se pueden utilizar cualquiera de las letras mayúsculas y minúsculas del
teclado, existen 255 caracteres usables en la calculadora, incluyendo
caracteres especiales como θ, λ, etc., que se pueden utilizar en expresiones
algebraicas. Para tener acceso a estos caracteres utilizamos la combinación
…± en el teclado (asociada a la llave de EVAL). El resultado se muestra en
la pantalla siguiente:

Utilizando las teclas direccionales, š™˜—, podemos navegar a través
de la colección de caracteres. Por ejemplo, al moverse el cursor hacia abajo
en la pantalla se muestran más caracteres:

Moviendo el cursor aún más abajo, produce los siguientes caracteres:

Página D-1

Habrá un carácter destacado siempre. La línea más baja en la pantalla
mostrará el “atajo” para escribir el carácter destacado, así como el código de
carácter de ASCII correspondiente. (por ejemplo, en la pantalla anterior, el
atajo es αDα9, es decir, ~„d~…9, y el código ASCII es
240). La pantalla también muestra tres funciones asociadas con las teclas del
menú, f4, f5, y f6. Estas funciones son:
@MODIF: Abre una pantalla de los gráficos donde el usuario puede modificar el
carácter destacado. Utilícese esta opción cuidadosamente, puesto que alterará
el carácter modificado hasta que se encienda nuevamente la calculadora.
(Imagínese el efecto de cambiar el gráfico del carácter 1 de manera que
parezca un 2!).
@ECHO1: Copia el carácter destacado a una línea en la pantalla o al escritor de
ecuaciones (EQW) y regresa el control a la pantalla normal (es decir, copia un
solo caracter la pantalla).
@ECHO: Copia el carácter destacado a una línea en la pantalla o al escritor de
ecuaciones (EQW), pero el cursor permanece en la pantalla de caracteres
permitiendo que el usuario seleccione caracteres adicionales (es decir, copia
una cadena de caracteres a la pantalla). Para salir de la pantalla de
caracteres presiónese `.
Por ejemplo, supóngase que se quiere escribir la expresión:

λ2 + 2μ + 5

Se recomienda lo siguiente, usando la pantalla ya sea en modo algebraico o
de RPN:
Use las teclas: ³…± para activar la pantalla de caracteres. Después,
utilícense las teclas direccionales para destacar el carácter λ. Presiónese @ECHO1
(es decir, la tecla E), y continúe con: + 2 *…±. A
continuación, utilícense las teclas direccionales para destacar el carácter μ.
Presiónese @ECHO1 (es decir, la tecla E), y conclúyase la expresión con:
+5`. Aquí está el resultado de este ejercicio en modos algebraicos y
de RPN, respectivamente:

Página D-2

A continuación se listan los caracteres más comúnmente utilizados con la
combinación ~‚:

Letras griegas
α

(alfa)

~‚a

β

(beta)

~‚b

δ

(delta)

~‚d

ε

(epsilón)

~‚e

θ

(theta)

~‚t

λ

(lambda)

~‚n

μ

(mu)

~‚m

ρ

(ro)

~‚f

σ

(sigma)

~‚s

τ

(tau)

~‚u

ω

(omega)

~‚v

Δ

(delta mayúscula)

~‚c

Π

(pi mayúscula)

~‚p

Otros caracteres
~

(tilde)

~‚1

!

(factorial)

~‚2

?

(interrogación)

~‚3

\

(pleca hacia adelante)

~‚5

(símbolo de ángulo)

~‚6

Página D-3

@

(‘arroba’)

~‚`

Algunos caracteres utilizados comúnmente y que no tienen atajos simples para
escribirse son: ⎯x (la media), γ (gamma), η (eta), Ω (omega mayúscula). Estos
caracteres pueden copiarse de la pantalla CHARS : …±.

Página D-4

Apéndice E
Diagrama de selección en el Escritor de
Ecuaciones
El diagrama de una expresión muestra cómo el Escritor de ecuaciones
interpreta una expresión. La forma del diagrama de la expresión se determina
por un número de reglas conocidas como la jerarquía de la operación. Las
reglas son las siguientes:
1. Las operaciones en paréntesis se ejecutan primero, del más interior a los
paréntesis exteriores, y de izquierda a derecha en la expresión.
2. Los argumentos de las funciones se ejecutan después, de izquierda a
derecha.
3. Las funciones se ejecutan después, de izquierda a derecha.
4. Las potencias de números se ejecutan después, de izquierda a derecha.
5. Las multiplicaciones y las divisiones se ejecutan después, de izquierda a
derecha.
6. Las adiciones y la substracción se ejecutan por último, de izquierda a
derecha.
La ejecución de izquierda a derecha significa que, si dos operaciones de la
misma jerarquía, por ejemplo, dos multiplicaciones, existen en una expresión,
la primera multiplicación a la izquierda será ejecutada antes de la segunda,
etcétera.
Considérese, por ejemplo, la expresión mostrada a continuación en el escritor
de ecuaciones:

Página E-1

El cursor de inserción () está localizado actualmente a la izquierda del 2 en
el argumento de la función SIN en el denominador. Presiónese la tecla
direccional ˜ para activar el cursor editor () alrededor del 2 en el
denominador. A continuación, presiónese la tecla direccional š,
continuamente, hasta que el cursor encierre el primer término en el numerador.
A continuación, presiónese la tecla direccional vertical hacia arriba — para
activar el cursor selector () alrededor de la y. Al presionar la tecla
direccional vertical hacia arriba —, continuamente, podemos seguir el
diagrama de la expresión que nos mostrará la evaluación de la expresión. He
aquí la secuencia de operaciones destacadas por la tecla —:
Paso A1

Paso A2

Paso A3

Paso A4

Paso A5

Paso A6

Página E-2

Notamos el uso de las reglas de la jerarquía de operaciones en esta selección.
Primero la y (Paso A1). Después, y-3 (Paso A2, paréntesis). Después, (y-3)x
(Paso A3, multiplicación). Después (y-3)x+5, (Paso A4, adición). Después, ((y3)x+5)(x2+4) (Paso A5, multiplicación), y, finalmente, ((y-3)x+5)(x2+4)/SIN(4x2) (Paso A6, división). Es importante precisar que la multiplicación en Paso A5
incluye el primer término, ((y-3)x+5) con un segundo término (x2+4), el cuál ya
ha sido calculado. Para ver los pasos para calcular este segundo término,
presiónese la tecla ˜, continuamente, hasta que el cursor editor aparezca
alrededor de la y, una vez más. Después, presiónese la llave direccional
hacia la derecha hasta que el cursor esté sobre la x en el segundo término en
el numerador. Después, presionar la tecla direccional hacia arriba para
seleccionar esta x. Los pasos en la evaluación de la expresión, empezando en
este punto, se demuestran a continuación:
Paso B1

Paso B2

Paso B3

Paso B4 = Paso A5

Paso B5 = Paso A6

Página E-3

Podemos también seguir la evaluación de la expresión que empieza con el 4
en la en el argumento de la función SIN en el denominador. Presiónese la
tecla ˜, continuamente, hasta que aparezca el cursor selector alrededor de
la y. Después, presiónese la tecla direccional hacia la derecha hasta que el
cursor esté sobre el 4 en el denominador. Después, presiónese la tecla
—para seleccionar este 4. Los pasos en la evaluación de la expresión,
empezando con este punto, se muestran a continuación.
Paso C1
Paso C2

Paso C3

Paso C4

Paso C5 = Paso B5 = Paso A6

El diagrama de la expresión presentada anteriormente se muestra a
continuación:

Página E-4

Los pasos en la evaluación de los tres términos (A1 a A6, B1 a B5, y C1 a C5)
se muestran al lado de los círculos que contienen números, variables, u
operadores.

Página E-5

Apéndice F
El menú de aplicaciones (APPS)
El menú de las aplicaciones (APPS) está disponible con la tecla G (primera
llave en la segunda fila del teclado). La llave de G muestra las siguientes
funciones:

Las diversas funciones se describen a continuación:

Funciones de diagramación (Plot functions..)
Al seleccionar la opción 1. Plot functions.. en el APPS producirá la lista
siguiente del menú de opciones gráficas:

Estas seis opciones son equivalentes a las secuencias de teclas enumeradas a
continuación:
Escritura de ecuación„ñVentana gráfica„ò
Mostrar gráficas„óPreparar gráfica„ô
Preparar tabla„õ Mostrar tabla„ö
Estas funciones se presentan detalladamente en el capítulo 12.

Página F-1

Funciones de entrada / salida (I/O functions..)
La selección de la opción 2. I/O functions.. en APPS el menú producirá la lista
siguiente del menú de las funciones de la entrada-salida:

Estas funciones se describen después:
Send to Calculadora

Enviar los datos a otra calculadora (o a un
ordenador con puerto infrarojo)
Get from Calculadora
Recibir los datos de otra calculadora (o a un
ordenador con puerto infrarojo)
Print display
Enviar la pantalla a la impresora
Print..
Objeto seleccionado se envía a la impresora
Transfer..
Transferencia de datos a otro equipo
Start Server..
Calculadora fijada como servidor para la
comunicación con las computadoras
Puede conectarse a otra calculadora o a un PC por infrarrojo o a través de un
cable. Se suministra un cable USB con la calculadora para poder usar la
conexión USB. También puede utilizar un cable de serie para conectarse al
puerto RS232 de la calculadora. (Este cable está disponible como accesorio de
venta por separado).

Biblioteca de constantes (Constants lib..)
La selección de la opción 3. Constants lib.. en APPS produce un menú de
biblioteca de constantes que proporciona valores de constantes físicas:

Página F-2

La biblioteca de las constantes se discute detalladamente en el capítulo 3.

Soluciones numéricas (Numeric solver..)
La selección de la opción 4. Num.Slv en el menú APPS produce el menú de
soluciones numéricas:

Esta operación es equivalente a la secuencia de teclas ‚Ï. El menú de
soluciones numéricas se presenta detalladamente en los capítulos 6 y 7.

Tiempo del día y fecha (Time & date..)
La selección de la opción 5.Time & date.. en el menú APPS produce el menú
del tiempo del día y de la fecha:

Esta operación es equivalente a la secuencia de teclas ‚Ó. el menú del
tiempo del día y de la fecha se presenta detalladamente en el capítulo 25.

Página F-3

Escritor de ecuaciones (Equation writer..)
La selección de la opción 6.Equation writer.. en el menú APPS abre el escritor
de ecuaciones:

Esta operación es equivalente a la secuencia de teclas ‚O. El escritor de
ecuaciones se presenta detalladamente en el capítulo 2. Los ejemplos que
utilizan el escritor de ecuaciones están disponibles a través de esta guía.

Manejo de archivos (File manager..)
La selección de la opción 7.File manager.. en el menú APPS activa la función
para el manejo de archivos:

Esta operación es equivalente a la secuencia de teclas „¡. La función de
manejo de archivos se presenta en el Capítulo 2.

Escritor de matrices (Matrix Writer..)
La selección de la opción 8.Matrix Writer.. en el menú APPS activa el escritor
de matrices:

Página F-4

Esta operación es equivalente a la secuencia de teclas „². El escritor de
matrices se presenta detalladamente en el Capítulo 10.

Editor de texto (Text editor..)
La selección de la opción 9.Text editor.. en el menú APPS activa el editor de
texto:

El editor de textos puede ser activado en muchos casos presionando la tecla
direccional ˜. Si el objeto en la pantalla es un objeto algebraico, al
presionar la tecla ˜ se activará el escritor de ecuaciones. El editor de texto
se introduce el capítulo 2, y se presenta en detalle en el Apéndice L.

Menú de matemáticas (Math menu ..)
La selección de la opción 10.Math menu.. en el menú APPS produce el menú
MTH (matemáticas):

Esta operación es equivalente a la secuencia de teclas „´. El menú MTH
se introduce en el capítulo 3 (números verdaderos). Otras funciones del menú
MTH se presentan en los capítulos 4 (números complejos), 8 (listas), 9
(vectores), 10 (matrices), 11 (operaciones con matrices), 16 (transformada
rápida de Fourier), 17 (funciones de la probabilidad), y 19 (números en
diversas bases).

Página F-5

El menú CAS (CAS menu..)
La selección de la opción 11.CAS menu.. en el menú APPS produce el menú
CAS o SIMBÓLICO.

Esta operación está también disponible al presionar la tecla P. El menú
CAS o SIMBÓLICO se introduce en el capítulo 5 (operaciones algebraicas y
aritméticas). Otras funciones del menú del CAS se presentan en los capítulos 4
(números complejos), 6 (soluciones de las ecuaciones), 10 (matrices), 11
(operaciones con matrices), 13 (cálculo), 14 (cálculo multivariado), y 15
(análisis vectorial).

Bibioteca de ecuaciones
Si selecciona la opción 12.Equation Library en el menú APPS, verá aparecer
EQ LIBRARY MENU. Desde aquí puede presionar !EQLIB! y !EQNLI! para abrir la
Biblioteca de ecuaciones:

Observe que la bandera –117 debería seleccionarse si va a utilizar la
Biblioteca de ecuaciones. Recuerde también que la Biblioteca de ecuaciones
sólo aparecerá en un menú APPS si los dos ficheros de la Biblioteca de
ecuaciones están guardadas en la calculadora.
En el Capítulo 27 encontrará una explicación detallada de cómo funciona la
Biblioteca de ecuaciones.

Página F-6

Apéndice G
Atajos útiles
Se presentan a continuación un número de atajos del teclado usados
comúnmente en la calculadora:
•

Ajuste del contraste de la pantalla: $ (manténgase) +, o $
(manténgase) -

•

Alternar los modos RPN y ALG: H\@@@OK@@ ó H\`.

•

Encender y apagar la señal de sistema 95 (modo operativo ALG vs.
RPN)
H @)FLAGS —„—„—„ — @@CHK@

•

En el modo de ALG, Cf(-95) selecciona modo de RPN

•

En el modo de RPN, 95 \`SF selecciona modo de ALG

•

Para alternar los modos EXACT y APROX, manténgase presionada la
tecla ‚ y presiónese la tecla ENTER simultáneamente, es decir, ‚
(manténgase) `.

•

Encender y apagar la señal de sistema 105 (modo EXACT vs. APROX
en el CAS):
H @)FLAGS —„—„— —— @@CHK@

•

En modo ALG,
Sf(-105) selecciona modo APROX en el CAS
Cf(-105) selecciona modo EXACT del CAS

Página G-1

•

En modo RPN,
105 \` SF selecciona modo APROX en el CAS
105 \` CF selecciona modo EXACT del CAS

•

Encender y apagar la señal de sistema 117 (CHOOSE boxes vs. SOFT
menus):
H @)FLAGS —„ —˜ @@CHK@

•

En modo ALG,
SF(-117) selecciona teclas de menú (SOFT menus)
CF(-117) selecciona listas de menú (CHOOSE BOXES)

•

En modo RPN,
117 \` SF selecciona teclas de menú (SOFT menus)
117 \` CF selecciona listas de menú (SOFT menus)

•

Para cambiar las medidas angulares:
o A grados:
~~deg`
o A radianes:
~~rad`

•

Caracteres especiales:
o Símbolo de ángulo (∠):
o Símbolo de factorial (!):
o

•

Símbolo de grado (o):

~‚6
~‚2
~‚(manténgase)6

Asegurando el teclado alfabético:
o Asegura el teclado alfabético (mayúsculas): ~~
o Libera el teclado alfabético (mayúsculas): ~
o Asegura el teclado alfabético (minúsculas): ~~„~
o Libera el teclado alfabético (minúsculas): „~~

Página G-2

•

•

•

Letras griegas:
Alfa (α):

~‚a

Beta (β):

~‚b

DELTA (Δ):

~‚c

Delta (d):

~‚d

Epsilón (ε):

~‚e

Rho (ρ):

~‚f

Mu (μ):

~‚m

Lambda (λ):

~‚n

PI (Π):

~‚p

Sigma (σ):

~‚s

Theta (θ):

~‚t

Tau (t):

~‚u

Omega (ω):

~‚v

Operaciones a nivel de sistema (manténgase presionada la tecla $,
remuévase después de escribir la segunda o tercera tecla):
o $ (manténgase) AF:Recomenzar "frío" – se borra
toda la memoria
o $ (manténgase) B:
Cancela tecla
o $ (manténgase) C:
Recomenzar "caliente" – se
preserva la memoria
o $ (manténgase) D:
Comienza auto prueba
interactiva
o $ (manténgase) E:
Comienza auto prueba continua
$ (manténgase) #:
Apagado profundo – se detiene
el contador de segundos
o $ (manténgase) A:
Realiza la descarga de la
pantalla
o $ (manténgase) D:
Cancela la siguiente alarma
repetida
Menús no accesibles desde el teclado: En modo RPN, escriba:
número_de_menú, escriba MENU. En modo ALG, escriba
MENU(número_de_menú). El número_de_menú puede ser:
o Menú START:
96
o Menú PLOT:
81
o Menú SOLVE:
74, o use ‚(manténgase) 7
o Menú UTILITY:
113

Página G-3

•

•

Otros menús:
o Menú MATHS:
o Menú MAIN:
Otros atajos en el teclado:
o ‚(manténgase) 7:
o „ (manténgase) H:
o
o

„ (manténgase) ˜:
„ (manténgase) §:

o
o

„ (manténgase) «:
‚ (manténgase) ˜:

o
o

‚(manténgase) ±:
~‚:

~~maths`
~~main`
Menú SOLVE (menú 74)
Menú PRG/MODES(Capítulo
21)
Activa editor de texto (App. L)
HOME(), activar directorio
HOME
Recobrar el último menú activo
Listar variables o funciones de
menú
Menú PRG/CHAR (Capítulo 21)
Cambia modo de inserción.

Página G-4

Apéndice H
La función informativa del CAS
La función informativa del CAS está disponible con la secuencia de teclas I
L@HELP `. La siguiente pantalla muestra la primera página del menú en
el listado de la función informativa del CAS.

Las funciones se listan en orden alfabético. Utilizando las teclas direccionales
—˜ se puede navegar a través de la lista de funciones. Algunas
sugerencias útiles en la navegación de la lista de funciones se muestran a
continuación:
•

•

•

Manténgase presionada la tecla ˜ y obsérvese la pantalla hasta
que la función deseada aparezca en la pantalla. A este punto, usted
puede soltar la tecla direccional ˜. Probablemente, la función de
interés no será seleccionado a este punto (el cursor estará más
adelante o más atrás de la función). Sin embargo, usted puede utilizar
las teclas verticales —˜, paso a paso, para localizar la función
que usted desea, y entonces presione la tecla @@OK@@.
Si, al mantener presionada la tecla vertical ˜se pasa uno de la
función deseada, presiónese la tecla — para regresar a esa función.
Refínese la selección con las teclas verticales —˜, paso a paso.
Uno puede escribir la primera tecla de una función, y después utilizar
la tecla vertical ˜ para localizar esa función particular. Por ejemplo,
si se trata de localizar la función DERIV, después de activar la función
informativa del CAS (I L@HELP `), escríbase ~d. Esta
acción seleccionará la primera función que empieza con D, es decir,

Página H-1

•

DEGREE. Para localizar la función DERIV, presiónese ˜, dos veces.
Para activar esa función, presione @@OK@@.
Usted puede escribir dos o más letras de la función de interés,
asegurando el teclado alfabético. Esto le llevará a la función de
interés, o a su vecindad. Luego, usted necesita liberar el teclado de
alfabético, y utilizar las teclas verticales —˜ para localizar la
función (si es necesario). Presiónese @@OK@@ para activar la función. Por
ejemplo, para localizar el comando PROPFRAC, usted puede utilizar
una de las secuencias de teclas siguientes:
I L@HELP ` ~~pr ~ ˜˜@@OK@@
I L@HELP ` ~~pro ~ ˜@@OK@@
I L@HELP ` ~~prop ~ @@OK@@

Véase el Apéndice C para más información sobre el CAS (sistema algebraico
de la computadora). El apéndice C incluye otros ejemplos del uso de la función
informativa del CAS.

Página H-2

Apéndice I
Catálogo de funciones
Ésta es una lista de las funciones en el catálogo de funciones (‚N).
Funciones que pertenecen al CAS (Computer Algebraic System) se mencionan
en el Apéndice H. Acceso a la función informativa del CAS estará disponible
para aquellas funciones que muestren la tecla de menú @HELP cuando se escoja
una función particular. Presiónese esta tecla de menú para conseguir acceso a
la función informativa del CAS para una función dada. Las primeras pantallas
del catálogo se demuestran a continuación:

Página I-1

Apéndice J
El menú MATHS
El menú MATHS, accesible a través de la función MATHS (disponible en el
catálogo de funciones N), contiene los sub-menús siguientes:

El sub-menú CMPLX
El sub-menú CMPLX contiene las funciones pertinentes a las operaciones con
números complejos:

Estas funciones se describen en el capítulo 4.

El sub-menú CONSTANTS
El sub-menú de las CONSTANTES proporciona el acceso a las constantes
matemáticas de la calculadora. Éstos se describen en el capítulo 3:

Página J-1

El sub-menú HYPERBOLIC
El sub-menú HYPERBOLIC contiene las funciones hiperbólicas y sus inversas.
Estas funciones se describen en el capítulo 3.

El sub-menú INTEGER
El sub-menú INTEGER provee funciones para los números de manipulación de
números enteros y algunos polinomios. Estas funciones se presentan en el
capítulo 5:

El sub-menú MODULAR
El sub-menú MODULAR provee funciones para la aritmética modular de
números y de polinomios. Estas funciones se presentan en el capítulo 5:

Página J-2

El sub-menú POLYNOMIAL
El sub-menú POLYNOMIAL incluye las funciones para generación y
manipulación de polinomios. Estas funciones se presentan en el capítulo 5:

El sub-menú TESTS
El sub-menú TESTS incluye operadores relacionales (por ejemplo, ==, <, etc.),
operadores lógicos (por ejemplo, AND, OR, etc.), la función IFTE, y las
instrucciones ASSUME y UNASSUME.

Los operadores relacionales y lógicos se presentan en el Capítulo 21 en el
contexto de programar la calculadora en lenguaje UserRPL. La función IFTE se
presenta en el Capítulo 3. Las funciones ASSUME y UNASSUME se presentan
a continuación, utilizando la función informativa del CAS (véase el apéndice
C).

ASSUME

UNASSUME

Página J-3

Apéndice K
El menú MAIN
El menú MAIN se activa a través del catálogo de funciones. Este menú incluye
los siguientes sub-menús:

La función CASCFG
Esta es la primera función en el menú MAIN. Esta función configura el CAS.
Para información sobre la configuración del CAS, véase el Apéndice C.

El sub-menú ALGB
El sub-menú ALGB incluye las siguientes funciones:

Estas funciones, exceptuando 0. MAIN MENU y 11.UNASSIGN, están
disponibles en el menú ALG (‚×). La explicación detallada de estas
funciones se puede encontrar en el capítulo 5. La función UNASSIGN se
describe a continuación:

Página K-1

El sub-menú DIFF
El sub-menu de DIFF contiene las funciones siguientes:

Estas funciones están también disponibles con el sub-menú CALC/DIFF
(comienze utilizando „Ö). Estas funciones se describen en los capítulos
13, 14, y 15, a excepción de la función TRUNC, que se describe a
continuación:

El sub-menú MATHS
El menú MATHS se describe detalladamente en Apéndice J.

El sub-menú TRIGO
El sub-menú TRIGO contiene las siguientes funciones:

Página K-2

Estas funciones están también disponibles en el menú TRIG (‚Ñ). La
descripción de estas funciones se incluye en el capítulo 5.

El sub-menú SOLVER
El menú SOLVER incluye las funciones siguientes:

Estas funciones están disponibles en el menú CALC/SOLVE (comenzar con
„Ö). Las funciones se describen en los capítulos 6, 11, y 16

El sub-menú de CMPLX
El menú de CMPLX incluye las funciones siguientes:

El menú de CMPLX está también disponible en el teclado (‚ß). Algunas
de las funciones en CMPLX están también disponibles en el menú de MTH/
COMPLEX (comenzar con „´). Las funciones de números complejos se
presentan en el capítulo 4.

El sub-menu de ARIT
El menú de ARIT incluye los sub-menus siguientes

Página K-3

Los sub-menus, INTEGER, MODULAR, y POLYNOMIAL se presentan
detalladamente en Apéndice J.

El sub-menú EXP&LN
El menú de EXP&LN contiene las funciones siguientes:

Este menú es también accesible a través del teclado usando „Ð. Las
funciones en este menú se presentan en el capítulo 5.

El sub-menu MATR
El menú MATR contiene las funciones siguientes:

Estas funciones están también disponibles a través del menú MATRICES en el
teclado („Ø). Las funciones se describen en los capítulos 10 y 11.

Página K-4

El sub-menú REWRITE
El menú REWRITE contiene las funciones siguientes:

Estas funciones están disponibles a través del menú CONVERT/REWRITE
(comenzar con „Ú). Las funciones se presentan en el capítulo 5, a
excepción de funciones XNUM y XQ, que se presentan a continuación
utilizando la función informativa del CAS (IL@HELP ):

XNUM

XQ

XNUM: convierte enteros a reales, ejemplo: XNUM(1/2) = 0.5
XQ: convierte reales aproximados a fórmulas exactas, ejemplo: XQ(0.5) = 1/2

Página K-5

Apéndice L
Funciones del editor de línea
Cuando se activa el editor de línea utilizando „˜, tanto en modo ALG
como en modo RPN, se muestran las siguientes funciones (presiónese la tecla
L para ver las funciones adicionales):

Las funciones son descritas, brevemente, a continuación:
SKIP:
SKIP:
DEL:
DEL:
DEL L:
INS:

Mueve el cursor al comienzo de una palabra.
Mueve el cursor al final de una palabra.
Borra o elimina caracteres hasta el comienzo de una palabra.
Borra o elimina caracteres hasta el final de una palabra.
Borra o elimina todos los caracteres en la línea.
Cuando está activa, esta función inserta caracteres en la posición del
cursor. Si no está activa, el cursor reemplaza los caracteres en vez de
insertarlos.
EDIT: Edita la selección.
BEG: Mueve el cursor al comienzo de una palabra.
END: Marca el final de una selección.
INFO: Provee información sobre el objeto a editarse, es decir,

Página L-1

Los items que se muestran en la pantalla son fáciles de interpretar. Por ejemplo,
“X and Y positions“ (posiciones X y Y) indican la posición (X) en una línea y el
número (Y) de la línea en el objeto a editarse. Stk Size (tamaño de la pantalla
– stack) indica el número de objetos en el historial (pantalla) en modo ALG o en
la pila (stack) en modo RPN. Mem(KB) indica la cantidad de memoria
disponible. Clip Size indica el número de caracteres en reserva para copiar
(clipboard). Sel Size indica el número de caracteres en la selección.
EXEC: Ejecutar función seleccionada.
HALT: Detener la ejecución de una función.
El editor de línea provee, así mismo, los siguientes sub-menús:
SEARCH: Búsqueda de caracteres o palabras en la línea de interés. Este submenú incluye las siguientes funciones:

GOTO: Mueve el cursor a una localidad predeterminada en la línea de
interés. Move to a desired location in the command line. Este sub-menú
incluye las siguientes funciones:

Página L-2

Style: Estilos de caracteres que pueden utilizarse, a saber:

El sub-menú SEARCH
Las funciones del sub-menú SEARCH son las siguientes:
Find : Se usa para localizar una cadena de caracteres en la línea. La forma
interactiva que acompaña a esta función se muestra a continuación:

Replace: Se usa para localizar y reemplazar una cadena de caracteres. La
forma interactiva que acompaña a esta función se muestra a continuación:

Find next..: Localiza caracteres definidos en Find.

Página L-3

Replace Selection: Reemplaza la selección con los caracteres definidos en
Replace.
Replace/Find Next: Reemplaza una serie de caracteres y localiza la siguiente
serie de los mismos. Los caracteres se definen con Replace.
Replace All: Reemplaza todas las instancias de una serie de caracteres. Esta
función require de confirmación antes de reemplazar todas las instancias.
Fast Replace All: Reemplaza todas las instancias de una serie de caracteres sin
requerir confirmación de parte del usuario.

El sub-menú GOTO
Las funciones del sub-menú GOTO son las siguientes:
Goto Line: to move to a specified line. La forma interactiva que acompaña a
esta función se muestra a continuación:

Goto Position: Mueve el cursor a una posición específica en la línea. La forma
interactiva que acompaña a esta función se muestra a continuación:

Labels: Mueve el cursor a un rótulo (label) específico en el objeto.

Página L-4

El sub-menú Style
El sub-menú Style incluye los siguientes estilos de caracteres:
BOL: Bold (letra de molde)
ITALI: Italics (itálicas)
UNDE: Underline (subrayado)
: Inverse (colores invertidos)
La función FONT permite la selección del tamaño de los caracteres (font).
Ejemplos de los diferentes estilos se muestran a continuación:

Página L-5

Apéndice M
Tabla de ecuaciones incorporadas
La biblioteca de ecuaciones consiste en 15 temas qe corresponden con las
secciones de la tabla siguiente) y más de 100 títulos. Los números que
aparecen entre paréntesis indican el número de ecuaciones en el conjunto y el
número de variables del conjunto. Hay 315 ecuaciones en total usando 396
variables.
Temas y títulos

1: Columnas y vigas (14, 20)
1: Pandeo elástico (4, 8)

6: Esfuerzo simple (1, 7)

2: Columnas excéntricas (2, 11)

7: Desvío de voladizos (1, 10)

3: Desvío simple (1, 9)

8: Inclinación del voladizo (1, 10)

4: Inclinación simple (1, 10)

9: Momento del voladizo (1, 8)

5: Momento simple (1, 8)

10: Esfuerzo en voladizos (1, 6)

2: Electricidad (42, 56)
1: Ley de Coulomb (1, 5)

13: Carga del condensador (1, 3)

2: Ley de Ohm y potencia (4, 4)

14: Tensión del inductor CC (3, 8)

3: Divisor de tensión (1, 4)

15: Transiente RC (1, 6)

4: Divisor de corriente (1, 4)

16: Transiente RL (1, 6)

5: Resistencia del cable (1, 4)

17: Frecuencia resonante (4, 7)

6: Serie y paralelo R (2, 4)

18: Condensador en placa (1, 4)

7: Serie y paralelo C (2, 4)

19: Condensador cilíndrico (1, 5)

8: Serie y paralelo L (2, 4)

20: Inductancia del solenoide (1, 5)

9: Energía del condensador (1, 3)

21: Inductancia del toroide (1, 6)

10: Energía inductiva (1, 3)

22: Tensión sinusoidal (2, 6)

11: Demora corriente RLC (5, 9)

23: Corriente sinusoidal (2, 6)

Página M-1

12: Corriente condensador CC (3, 8)
3: Fluidos (29, 29)
1: Presión en profundidad (1, 4)

3: Flujo con pérdidas (10, 17)

2: Ecuación de Bernoulli (10, 15)

4: Flujo en tuberías llenas (8, 19)

4: Fuerzas y energías (31, 36)
1: Mecánica lineal (8, 11)

5: Colisiones elásticas ID (2, 5)

2: Mecánica angular (12, 15)

6: Fuerza de resistencia al avance
(1, 5)

3: Fuerza Centrípeta (4, 7)

7: Ley de la gravitación (1, 4)

4: Ley de Hooke (2, 4)

8: Relación masa/energía (4, 9)

5: Gases (18, 26)
1: Ley del gas ideal (2, 6)

5: Flujo isentrópico (4, 10)

2: Cambio de estado del gas ideal 6: Ley del gas real (2, 8)
(1, 6)
3: Expansión isotérmica (2, 7)

7: Cambio de estado del gas real (1,
8)

4: Procesos politrópicos (2, 7)

8: Teoría kinética (4, 9)

6: Transferencia del calor (17, 31)
1: Capacidad calorífica (2, 6)

5: Conducción y convección (4, 14)

2: Expansión térmica (2, 6)

6: Radiación de los cuerpos negros
(5, 9)

3: Conducción (2, 7)
4: Convección (2, 6)
7: Magnetismo (4, 14)
1: Cable recto (1,5)

3: Campo B en solenoide (1, 4)

2: Fuerza entre cables (1, 6)

4: Campo en toroide (1, 6)

Página M--2

8: Movimiento (22, 24)
1: Movimiento lineal (4, 6)

5: Movimiento circular (3, 5)

2: Objeto en caída libre (4, 5)

6: Velocidad terminal (1, 5)

3: Movimiento de un proyectil (5,
10)

7: Velocidad de escape (1, 14)

4: Movimiento angular (4, 6)
9: Óptica (11, 14)
1: Ley de la refracción (1, 4)

4: Reflejo esférico (3, 5)

2: Ángulo crítico (1, 3)

5: Refracción esférica (1, 5)

3: Ley de Brewster(2, 4)

6: Lentes delgadas (3, 7)

10: Oscilaciones (17, 17)
1: Masa–Sistema de resortes (1, 4) 4: Péndulo torsional (3, 7)
2: Péndulo simple (3, 4)

5: Armónica simple (4, 8)

3: Péndulo cónico (4, 6)
11: Geometría plana (31, 21)
1: Círculo (5, 7)

4: Polígono regular (6, 8)

2: Elipse (5, 8)

5: Anillo circular (4,7)

3: Rectángulo (5, 8)

6: Triángulo (6, 107)

12: Geometría sólida (18, 12)
1: Cono (5, 9)

3: Paralelépipedo (4, 9)

2: Cilindro (5, 9)

4: Esfera (4, 7)

13: Dispositivos en estado sólido (33, 53)
1: Uniones en paso PN (8, 19)

3: Transistores bipolares (8, 14)

2: Transistores NMOS (10, 23)

4: JFETs (7, 15)

Página M-3

14: Análisis de esfuerzos (16, 28)
1: Esfuerzo normal (3, 7)

3: Esfuerzo en un elemento (3, 7)

2: Esfuerzo cortante o de
cizallamiento (3, 8)

4: Círculo de Mohr (7, 10)

15: Ondas (12, 15)
1: Ondas transversas (4, 9)

3: Ondas acústicas (4,8)

2: Ondas longitudinales (4, 9)

Página M--4

Apéndice N
Índice alfabético
A
ABCUV 5-12
ABS 3-5, 4-6, 11-8
ACK 25-5
ACKALL 25-5
ACOS 3-7
ACOSH 3-10
ADD 8-5, 8-10, 12-24
ADDTMOD 5-13
Ajuste de datos 18-11
Ajuste de la fecha 1-8
Ajuste de la pantalla 1-2
Ajuste del tiempo 1-8, 25-2
Ajuste linear múltiple 18-64
Ajuste óptimo de datos 18-14, 1870
Ajuste óptimo de polinomios 18-70
Ajuste polinómico 18-66
Ajustes del CAS 1-25, C-1
Alarmas 25-2
Alcance de variable 21-4
Alcance de variable global 21-4
Álgebra lineal 11-1
Almacenamiento 12-8
Almacenar una gráfica 12-8
ALOG 3-6
Ambiente PLOT 12-3
Ambiente PLOT SETUP 12-3
Ambiente PLOT WINDOW 12-4
AMORT 6-38

AMORTIZATION 6-12
Análisis vectorial 15-1
AND 19-6
Ángulo entre vectores 9-19
Anillo aritmética finita 5-14
Animación de gráficas 22-29
ANIMATE 22-29, 22-32
Antiderivadas 13-16
Apagado 1-2
Apagado profundo G-3
Aplicaciones de transformadas de
Laplace en EDOs 16-18
Aplicaciones lineares 11-63
ARC 22-23
Áreas en plotes 12-7
ARG 4-6
Aritmética modular 5-14
Asegurar/liberar el teclado alfabético G-2
ASN 20-6
ASR 19-7
ASSUME J-3
Atajos G-1
ATICK 22-8, 22-9
AUTO 22-3
Auto prueba continua G-3
Auto prueba interactiva G-3
Aviso de cadena de entrada de Programación 21-23
AXES 22-9, 22-15

Página N-1

AXL 9-29
AXM 11-18
AXQ 11-61

B
Bandera 117 del sistema
(CHOOSE/SOFT) 1-5
Banderas 24-1
Banderas del sistema 24-3
Banderas o señales 2-70
Baterías 1-1
BEG 6-38
BEGIN 2-31
Bibioteca de ecuaciones F-6
Biblioteca de constantes F-2
Biblioteca de ecuaciones 27-1, M-1
BIG 12-21
BIN 3-2, 19-2
BLANK 22-35
BOL L-5
BOX 12-54, 22-23
BOXZ 12-57

C
Cadenas 23-1
Cadenas de caracteres 23-1
Caja de mensaje de programación
21-41
Caja de selección 21-35
Caja de selección de programación
21-35
Cálculo 13-1
Cálculo multivariado 14-1
Cálculos con fechas 25-4

Cálculos con horas 25-4
Cálculos de horas 25-4
Cálculos financieros 6-11
Cambio de signo 4-5
Campos 15-1
Campos de pendientes 12-39
Campos escalares 15-1
Campos irrotacionales 15-6
Campos pendientes para ecuaciones diferenciales 16-3
Campos vectoriales 15-1
Campos vectoriales, divergencia
15-4
Campos vectoriales, rotacional 15-5
Cancelar la siguiente alarma repetida G-3
Captura de errores de programación 21-71
Captura de errores en programación 21-71
Caracteres adicionales D-1
Caracteres ALPHA B-10
Caracteres ALPHA del teclado B-10
Caracteres ALPHA-left-shift B-11
Caracteres ALPHA-left-shift del teclado B-11
Caracteres ALPHA-right-shift B-12
Caracteres ALPHA-right-shift del
teclado B-12
Caracteres de la pantalla 1-26
Caracteres especiales G-2
CASDIR 2-41
CASINFO 2-41, C-3
Cdf inverso 17-17

Página N-2

CEIL 3-15
CENTR 22-8
CHINREM 5-12, 5-21
CHOOSE 21-35
CHR 23-2
CIRCL 12-54
Clases 18-6
CLKADJ 25-3
CMD 2-69
CMDS 2-29
CNCT 22-15
CNTR 12-58
Coeficiente de correlación 18-12
Coeficiente de correlación de la
muestra 18-12
Coeficiente de variación 18-5
COL- 10-23
Colección de caracteres D-1
COLLECT 5-5
COL+ 10-22
COL 10-21
Coma decimal 1-22
Comandos de dibujos de programaciones 22-21
Comandos que no pertenecen al
CAS C-14
COMB 17-2
Combinaciones 17-1
Composición de listas 8-2
CON 10-10
Concatenación de cadenas 23-2
COND 11-11
CONJ 4-7
CONLIB 3-31

Constante de Euler 16-60
Constantes de la calculadora 3-17
Constantes físicas 3-31
Construcción de un vector 9-14
Construir un vector 9-14
CONVERT 3-29
Convolución 16-52
Coordenadas del píxel 22-28
Coordenadas polares 14-10
COPY 2-31
COS 3-7
Covarianza 18-13
Covarianza de la muestra 18-12
CRDIR 2-44
Crear subdirectorios 2-44
CROSS 9-13
CST 20-1
CSWP 10-23
CURS 2-23
Curvas cónicas 12-24
CUT 2-31
CYCLOTOMIC 5-12
CYLIN 4-3
CPX 19-8, 22-24
CR 4-6

D
DARCY 3-34
DATE 25-3
DATE+ 25-3
Datos agrupados 8-21
DBUG 21-39
DDAYS 25-3
DEC 19-2

Página N-3

DEFINE 3-36
DEFN 12-21
DEG 3-1
DEL 12-54
DEL L L-1
DELALARM 25-5
DELKEYS 20-6
Delta de Kronecker 10-2
DEL L-1
DEPND 22-7
DERIV 13-4
Derivadas 13-1, 13-3
derivadas con ∂ 13-5
Derivadas de ecuaciones 13-8
Derivadas de orden superior 13-16
Derivadas direccionales 15-1
Derivadas implícitas 13-8
Derivadas parciales 14-1
Derivadas parciales de orden superior 14-3
Derivadas parciales, orden superior
14-3
Derivadas parciales, regla de la
cadena 14-4
Derivadas paso a paso 13-19
Derivadas, direccionales 15-1
Derivadas, extremas 13-14
Derivadas, implícitas 13-8
Derivadas, orden superior 13-16
Derivadas, parciales 14-1
Derivadas, paso a paso 13-19
DERVX 13-4
Descarga de la pantalla G-3
Descomposición de ciclo de Jordan

de una matriz 11-54
Descomposición de listas 8-2
Descomposición de un vector 9-14
Descomposición de valores singulares 11-57
Descomposición LQ 11-57
Descomposición LU 11-57
Descomposición QR 11-57
DESOLVE 16-4
Desviación estándar 18-5
DET 11-14
Determinantes 11-16, 11-46
Diagonal principal 10-1
Diagrama de ecuaciones diferenciales 12-30
Diagrama de selección en el Escritor
de Ecuaciones E-1
Diagramas 12-27
Diagramas de barra 12-34, 12-35
Diagramas de contornos 12-45
Diagramas de corte vertical 12-47
Diagramas de dispersión 12-37
Diagramas de funciones hiperbólicas 12-19
Diagramas de funciones trigonométricas 12-19
Diagramas de grillas 12-43
Diagramas de programaciones 2215
Diagramas de redes 12-48
Diagramas de superficies
paramétricas 12-49
Diagramas de verdad 12-33
Diagramas en coordenadas polares

Página N-4

12-22
Diagramas FUNCTION 12-5
Diagramas generados con programas 22-19
Diagramas interactivos con menú
PLOT 22-17
Diagramas interactivos de menú
PLOT 22-17
Diagramas paramétricos 12-27
Diagramas paramétricos en el plano
12-27
Diagramas POLAR 12-23
DIAG 10-14
Dibujo interactivo 12-51
Diferencial total 14-5
Diferenciales 13-22
Diferencial, total 14-5
DISTRIB 5-33
Distribución beta 17-7
Distribución binomial 17-5
Distribución Chi cuadrada 17-12
Distribución de Poisson 17-5
Distribución de Student-t 17-11
Distribución de Weibull 17-8
Distribución exponencial 17-7
Distribución F 17-13
Distribución gamma 17-7
Distribución normal 17-11
Distribución normal estándar 17-19
Distribución normal, cdf 17-11
Distribución normal, estándar 17-19
Distribuciones continuas para la inferencia estadística 17-10
Distribuciones de frecuencia 18-6

Distribuciones de la probabilidad,
continuas 17-6
Distribuciones de la probabilidad,
discretas 17-4
Distribuciones de probabilidades de
inferencia estadística 17-10
DIV 15-4
DIV2 5-12
DIV2MOD 5-13
Divergencia 15-4
División sintética 5-29
DIVMOD 5-13
ΔLIST 8-10
DOERR 21-71
DOLIST 8-13
DOMAIN 13-10
DOSUBS 8-13
DOT 9-13
DOT+ 12-52
DOT- 12-52
DRAW 12-23, 12-26, 22-4
DRAW3DMATRIX 12-62
DRAX 22-4
DROITE 4-10
DROP 9-24
DTAG 23-1
DR 3-15

E
e 3-17
ECHO 23-4
Ecuación de Bessel 16-58
Ecuación de Cauchy 16-57
Ecuación de Euler 16-57

Página N-5

Ecuación de Laguerre 16-62
Ecuación de Laplace 15-5
Ecuación de Legendre 16-57
Ecuación de Manning 21-17
Ecuación de Weber 16-63
Ecuación diferencial ordinaria rígida 16-74
Ecuaciones diferenciales 16-1
Ecuaciones diferenciales lineales
16-4
Ecuaciones diferenciales no lineales
16-4
Ecuaciones diferenciales, lineales
16-4
Ecuaciones diferenciales, no lineales 16-4
Ecuaciones diferenciales, pendientes 16-4
Ecuaciones diferenciales, series de
Fourier 16-44
Ecuaciones diferenciales, soluciones
16-3
Ecuaciones diferenciales, soluciones
gráficas 16-64
Ecuaciones diferenciales, soluciones
numéricas 16-64
Ecuaciones diferenciales, transformadas de Laplace 16-18
Ecuaciones polinómicas 6-6
Ecuaciones, resolver 27-1
Ecuaciones, sistemas lineares 11-16
EDIT L-1
Editor de matrices 10-2
EDO rígida 16-73

EDO (ecuaciones diferenciales ordinarias) 16-1
EGCD 5-21
EGDC 5-12
EGV 11-53
EGVL 11-52
El menú SYMBOLIC y los gráficos
12-58
Elementos del vector 9-8
Eliminación de Gauss-Jordan 11-33,
11-38, 11-44, 11-46, 11-49
Eliminación gaussiana 11-16, 1133
Eliminanción de programas 21-24
Encendido 1-2
END 2-31
ENDSUB 8-13
Enfoques en la pantalla gráfica 1256
ENGL 3-32
Enteros 2-1
Entrada interactiva de Programación 21-21
EPS 2-41, 5-26
EPSX0 5-26
EQ 6-30, 22-4, 22-17
EQW 5-1
CMDS 2-13
CURSOR 2-12
Derivadas 2-35
EDITAR 2-12
EVALUAR 2-13
FACTOR 2-13
GRANDE 2-12

Página N-6

Información 2-13
Integrales 2-36
SIMPLIFICAR 2-13
Sumatorias 2-33
ERASE 12-23, 12-26, 12-55, 22-4
ERR0 21-72
ERRM 21-72
ERRN 21-72
Error de predicción de regresión linear 18-58
Error de predicción, regresión linear
18-58
Errores de pruebas de hipótesis 1840
Errores en programación 21-71
Errores en pruebas de hipótesis 1840
Escritor de ecuaciones (EQW) 2-12
Escritor de Ecuaciones, diagrama
de selección E-1
Escritor de matrices 9-3
Escritura de vectores 9-2
Estadística de datos agrupados 821
Estadísticas 18-1
Estadísticas adicionales 18-15
Estadísticas para una sola variable
18-2
Estándar de distribución normal 1719
EULER 5-12
EVAL 2-6
EXEC L-2
EXP 3-6

EXP2POW 5-33
EXPAND 5-5
EXPANDMOD 5-13
EXPLN 5-9, 5-33
EXPM 3-10
Extrema 13-14
EYEPT 22-11

F
F0λ 3-34
FACTOR 2-13, 5-6, 5-12
Factorial 3-16
Factorizando una expresión 2-28
FACTORMOD 5-13
FANNING 3-34
Fast 3D plots 12-40
Fast Replace All L-4
FCOEF 5-12, 5-28
FDISTRIB 5-33
FFT 16-52
Fijar fecha 25-2
Fijar hora 25-2
Fijar hora y fecha 25-2
Find next... L-3
DEL L-1
FLOOR 3-15
SKIP L-1
Forma interactiva CALCULATOR
MODES C-1
Formas de entrada de programación 21-23
Formas interactivas NUM.SLV A-1
Formas interactivas, uso de A-1
Formato científico 1-20

Página N-7

Formato de ingeniería 1-21
Formato de los números 1-18
Formato Estándar 1-18
Formato fijo 1-19
Fórmula de Euler 4-1
FOR...NEXT 21-66
Fourier 16-51
FP 3-15
Fracciones 5-27
Fracciones parciales, integración
13-23
Frecuencia cumulativa 18-9
FROOTS 5-12, 5-29
Función ALPHA del teclado 1-13
Función ALPHA-cambio derecho del
teclado 1-13
Función ALPHA-cambio izquierdo
del teclado 1-13
Función de densidad de la probabilidad 17-6
Función de distribución cumulativa
17-4
Función de mínimos cuadrados 1125, 11-28
Función delta de Dirac 16-16
Función delta (Dirac) 16-16
Función grada de Heaviside 16-16
Función grada (Heaviside) 16-16
Función informativa del CAS C-11
Función masa de probabilidad 17-4
Función potencial 15-3, 15-6
Función principal del teclado 1-13
Funciones alternas de las teclas B-4
Funciones cambio derecho B-8

Funciones cambio derecho del teclado B-8
Funciones cambio izquierdo B-5
Funciones cambio izquierdo del
teclado B-5
Funciones de alarmas 25-5
Funciones de Bessel 16-59
Funciones de dibujos de programaciones 22-24
Funciones de distribución cumulativas inversas 17-14
Funciones de fecha 25-1
Funciones de hora 25-1
Funciones del editor L-1
Funciones del editor de línea L-1
Funciones inversas y sus gráficos
12-14
Funciones principales en el teclado
B-2
Funciones, múltiple variables 14-1
Función, tabla de valores 12-20,
12-30

G
GAMMA 3-16
Gamma function 3-16
GAUSS 11-62
GCD 5-13, 5-22
GCDMOD 5-13
GET 10-6
GETI 8-12
GOR 22-35
Goto Line L-4
Goto Position L-4

Página N-8

Gradiente 15-1
Grados 1-22
Grados decimales 1-23
Gráfica de ecuación diferencial 1232
Gráfica de funciones 12-2
Gráficas 12-1
Gráficas, almacenamiento 12-8
Gráficas, campos de pendientes 1239
Gráficas, curvas cónicas 12-24
Gráficas, diagramas de barras 1235
Gráficas, diagramas de contornos
12-45
Gráficas, diagramas de corte vertical 12-47
Gráficas, diagramas de dispersión
12-37
Gráficas, diagramas de grillas 1243
Gráficas, diagramas de redes 1248
Gráficas, diagramas de superficies
paramétricas 12-49
Gráficas, diagramas de verdad 1233
Gráficas, ecuaciones diferenciales
12-30
Gráficas, el menú SYMBOLIC 12-58
Gráficas, enfoque 12-56
Gráficas, Fast 3D plots 12-40
Gráficas, histogramas 12-34
Gráficas, opciones 12-1

Gráficas, paramétricas 12-27
Gráficas, polares 12-22
Gráfico de ln(X) 12-9
Gráficos de programas 22-1
GRD 3-2
GROB 22-33
GROBADD 12-59
GXOR 22-35

H
HADAMARD 11-5
HALT L-2
HEAD 8-13
HELP 2-30
HERMITE 5-13, 5-22
Herramientas del menú TIME 25-2
HESS 15-3
HEX 3-1, 19-2
HILBERT 10-16
Histogramas 12-34
HMS- 25-3
HMS+ 25-3
HMS 25-3
HORNER 5-13, 5-23
H-VIEW 12-23
HZIN 12-57
HZOUT 12-57

I
i 3-17
IABCUV 5-12
IBERNOULLI 5-12
ICHINREM 5-12
IDIV2 5-12

Página N-9

IDN 10-10
IEGCD 5-12
IFTE 3-39
IF...THEN...ELSE...END 21-54
IF...THEN...ELSE...END anidadas
21-55
IF...THEN...END 21-52
ILAP 16-12
IM 4-6
IMAGE 11-63
INDEP 22-6
Inferencias de varianzas 18-53
INFO 22-4, 22-11, 22-14
INPUT 21-24
INS L-1
Instrucción CASE 21-57
Instrucción DO 21-68
Instrucción FOR 21-65
Instrucción START 21-60
Instrucción START...NEXT 21-60
Instrucción START…STEP 21-64
Instrucción WHILE 21-70
INT 13-16
Integración de fracciones parciales
13-23
Integración por partes 13-22
Integración, cambio de variable 1321
Integración, sustitución 13-21
Integración, técnicas 13-21
Integrales 13-16
Integrales definidas 13-17
Integrales dobles 14-8
integrales dobles 14-10

Integrales impropias 13-24
Integrales múltiples 14-8
Integrales paso a paso 13-19
Integrales, definidas 13-17
Integrales, dobles 14-8
Integrales, impropias 13-24
Integrales, múltiples 14-8
Integrales, paso a paso 13-19
Intervalos de confianza 18-24
Intervalos de confianza de regresión
linear 18-59
Intervalos de confianza en regresión
linear 18-59
Intervalos de confianza para la varianza 18-37
INTVX 13-16
INV 4-5, L-5
Inverso modular 5-19
INVMOD 5-13
IP 3-15
IQUOT 5-12
IREMAINDER 5-12
ISECT en diagramas 12-8
ISOL 6-1
ISOM 11-63
ISPRIME? 5-12
ITALI L-5
I%YR 6-11
IR 5-32

J
Jacobiano 14-9
JORDAN 11-54

Página N-10

K
KER 11-63

L
LABEL 12-54, 22-3
Labels L-4
LAGRANGE 5-13, 5-23
LAP 16-12
LAPL 15-5
Laplace, transformadas 16-12
Laplace, transformadas inversas de
16-12
Laplace, transformadas y EDOs 1618
Laplaciano 15-5
LASTARG 21-72
Lazos de programa 21-59
LCD 22-36
LCM 5-13, 5-24
LCXM 11-18
LDEC 16-4
LEGENDRE 5-13, 5-24
Lenguaje User RPL 21-1
Letras griegas G-3
Letras griegas D-3
LGCD 5-11
lim 13-2
Límites 13-1
Límites de clases 18-6
LIN 5-6, 5-33
LINE 12-53, 22-22
LINSOLVE 11-47
LISTA 2-40
Lista de caracteres 23-4

Listado de catálogo de funciones I-1
Listado de la función informativa del
CAS H-1
Listas 8-1
LN 3-6
LNCOLLECT 5-6, 5-33
LNP1 3-10
LOG 3-6
LOGIC menu 19-5
LQ 11-57, 11-59
LSQ 11-28, 11-47
LU 11-57
LVARI 7-15

M
MAD 11-55
MANT 3-15
MAP 8-14
Marca de clases 18-7
MARK 12-53
Matrices 10-1
Matriz aumentada 11-35
Matriz diagonal 10-14
Matriz Hessiana 15-3
Matriz identidad 10-1, 11-7
Matriz inversa 11-7
Matriz triangular inferior 11-57
Matriz triangular superior 11-33,
11-48
MAX 3-14
Máximo 13-14, 14-5
MAXR 3-17
Media 18-4
Media armónica 8-17

Página N-11

Media geométrica 8-19, 18-4
Mediana 18-3
Medida angular 1-23, G-2
Medidas de dispersión 18-3
Medidas de tendencia central 18-3
Memoria 26-1 a 26-11
MENU 12-55
Menú G-3
Menú ALG 5-3
Menú ALRM 25-3
Menú APPS F-1
Menú ARITHMETIC 5-10
Menú BIT 19-7
Menú BYTE 19-7
Menú CALC/DIFF 16-4
Menú CAS F-6
Menú CHARS 23-2
Menú CMPLX 4-6
Menú CONVERT 5-30
Menú de editor de texto F-5
Menú de funciones de diagramación F-1
Menú de funciones de entrada / salida F-2
Menú de funciones I/O F-2
Menú de herramientas 1-7
CASCMD 1-7
CLEAR 1-7
EDIT 1-7
HELP 1-8
PURGE 1-7
RCL 1-7
VIEW 1-7
Menú de listas 1-4

Menú de matemáticas F-5
Menú de soluciones numéricas F-3
Menú de teclas 1-4
Menú de tiempo del día y fecha F-3
Menú DERIV&INTEG 13-5
Menú DIFF 16-4
Menú GOTO L-2, L-4
Menú GROB 22-34
Menú LIST 8-10
Menú LOGIC 19-5
Menú MAIN G-4, K-1
Menú MAIN/ALGB K-1
Menú MAIN/ARIT K-3
Menú MAIN/CASCFG K-1
Menú MAIN/CMPLX K-3
Menú MAIN/DIFF K-2
Menú MAIN/EXP&LN K-4
Menú MAIN/MATHS (menú
MATHS) J-1
Menú MAIN/MATR K-4
Menú MAIN/REWRITE K-5
Menú MAIN/SOLVER K-3
Menú MAIN/TRIGO K-2
Menú manejo de archivos F-4
Menú MATHS G-4, J-1
Menú MATHS/CMPLX J-1
Menú MATHS/CONSTANTS J-1
Menú MATHS/HYPERBOLIC J-2
Menú MATHS/INTEGER J-2
Menú MATHS/MODULAR J-2
Menú MATHS/POLYNOMIAL J-3
Menú MATRICES 10-4
Menú MATRIX/MAKE 10-4
Menú MTH 3-8

Página N-12

Menú MTH/LIST 8-10
Menú MTH/PROBABILITY 17-1
Menú MTH/VECTOR 9-12
Menú PLOT 22-1
Menú PLOT (menú 81) G-3
Menú PLOT/FLAG 22-15
Menú PLOT/STAT 22-13
Menú PLOT/STAT/DATA 22-13
Menú PRG 21-5
Menú PRG/MODES/KEYS 20-6
Menú PRG/MODES/MENU 20-1
Menú REWRITE 5-31
Menú SEARCH L-2, L-3
Menú SOLVE 6-31
Menú SOLVE (menú 74) G-3
Menú SOLVE/DIFF 16-75
Menú START (menú 96) G-3
Menú STAT 18-17
Menú Style L-5
Menú SYMBOLIC 12-58
Menú SYMB/GRAPH 12-59
Menú TIME 25-1
Menú TRIG 5-31
Menú UTILITY (menú 113) G-3
Menú VECTOR 9-12
Menú ZOOM 12-56
Menús 1-3
Menús no accesibles desde el teclado G-3
MES 7-12
Método de los mínimos cuadrados
18-56
Método mínimo cuadrado 18-56
MIN 3-14

Mínimo 13-14, 14-5
MINIT 7-15
MINR 3-17
MITM 7-15
MKISOM 11-64
MOD 3-15, 5-13
MODL 22-14
Modo 18-5
Modo Algebraico 1-14
Modo CAS Approximate C-4
Modo CAS Approximate vs. Exact
C-4
Modo CAS Complex C-6
Modo CAS Complex vs. Real C-6
Modo CAS de potencia creciente C9
Modo CAS Exact C-4
Modo CAS no-verbose C-8
Modo CAS Numeric C-4
Modo CAS Numeric vs. Symbolic C4
Modo CAS Real C-6
Modo CAS Rigorous C-10
Modo CAS Step-by-step (paso a
paso) C-8
Modo CAS Symbolic C-4
Modo CAS Verbose C-8
Modo CAS Verbose vs. no-verbose
C-8
Modo COMPLEJO 4-1
Modo RPN 1-14
Modos de la calculadora 1-14
Modos de la pantalla 1-26
Modos de operación 1-13

Página N-13

MODSTO 5-13
Modular de programaciones 22-39
MODULO 2-41, C-3
Módulo CAS C-4
Momento de una fuerza 9-20
MSGBOX 21-34
MSLV 7-5
MSOLVR 7-15
MTRW 9-3
Muestra vs. población 18-5
MULTMOD 5-13

N
NDIST 17-11
NEG 4-7
NEW 2-39
NEXt eQuation 12-7
NEXTPRIME 5-12
Norma de columna 11-10
Norma de Frobenius 11-8
NOT 19-6
Notas adicionales sobre la regresión linear 18-56
NSUB 8-13
NUM 23-2
numerical solver 11-20
Número de condición 11-12
Números aleatorios 17-2
Números binarios 19-1
Números complejos 2-2, 4-1
Números de menú 20-2
Números decimales 19-4
Números en bases 19-1
Números enteros C-6

Números hexadecimales 19-8
Números octales 3-2
Números reales C-6
Números reales vs. números enteros
C-6
NUMX 22-12
NUMY 22-12

O
Objeto algebraico 5-1
Objetos 2-2, 24-1
Objetos gráficos 22-33
Objetos reales 2-1
OBJ 9-23, 23-1
OCT 19-2
ODETYPE 16-8
Ondas Cuadradas, series de Fourier
16-42
Ondas triangulares, series de Fourier 16-37
Operación del diagrama FUNCTION 12-15
Operaciones a nivel de sistema G-3
Operaciones con unidades 3-18
Operaciones de PLOT 12-5
Operador de concatenación 8-5
Operadores 3-8
Operadores lógicos 21-50
Operadores relacionales 21-48
OR 19-6
ORDER 2-39
Organizar los datos 2-38
Otros caracteres D-3

Página N-14

P
π 3-17
PA2B2 5-12
Pantalla de relojes 1-30
Parte imaginaria 4-1
Parte real 4-1
PARTFRAC 5-6, 5-13, 5-28
PASTE 2-31
PCAR 11-52
PCOEF 5-13, 5-25
PDIM 22-22
Percentiles 18-16
PERIOD 2-41, 16-38
PERM 17-2
Permutaciones 17-1
PEVAL 5-26
PGDIR 2-50
PICT 12-8, 22-22, 22-33
PICTURE 22-24
PICT 12-55
Pivoteo completo 11-39
PIXOFF 22-24
PIXON 22-24
PIX? 22-24
Plano en el espacio 9-21
ΠLIST 8-10
PLOT 12-4
Plot setup 12-59
Población 18-3
Población finita 18-3
Polinomios 5-20
Polinomios característicos 11-51
Polinomios de Chebyshev 16-61
Polinomios de Hermite 16-63

Polinomios de Taylor 13-26
Polinomios de Tchebycheff 16-61
POS 8-12
Potencial de un gradiente 15-3
POTENTIAL 15-3
POWEREXPAND 5-33
POWMOD 5-13
PREVPRIME 5-12
PRIMIT 2-41
Probabilidad 17-1
Producto CROSS 9-13
producto DOT 9-13
Programa DBUG 21-24
Programa de GROB 22-36
Programación 21-1
Programación de aviso de cadena
de entrada 21-23
Programación de caja de mensaje
21-41
Programación de entrada interactiva 21-21
Programación de forma de entrada
21-23
Programación de salida con etiqueta 21-36
Programación modular 22-39
Programación secuencial 21-16
Programación utilizando unidades
21-45
Programaciones con funciones de
dibujo 22-37
Programaciones con GROB 22-36
Programaciones de funciones de
dibujos 22-24

Página N-15

Programación, secuencial 21-21
Programas de diagramas bidimensionales 22-16
Programas de diagramas tridimensionales 22-16
Programas de gráficos 22-1
Promedio ponderado 8-19
PROOT 5-25
PROPFRAC 5-11, 5-27
Propiedades de la pantalla 1-28
Propiedades del editor de línea 127
Propiedades del escritor de ecuaciones 1-29
Prueba de hipótesis 18-39
Prueba de hipótesis de regresión linear 18-59
Prueba de hipótesis en la calculadora 18-50
Prueba de hipótesis en regresión linear 18-59
Prueba de sistema G-3
Prueba de sistema de calculadora
G-3
Pruebas apareadas de la muestra
18-45
PSI 3-16
PTAYL 5-13, 5-25
PTYPE 22-5
Punto de la montura 14-5
Punto decimal 1-22
Puntos extremos 13-14
PUT 8-12, 10-6
PUTI 10-6

PV 6-11
PVIEW 22-24
PXC 19-8, 22-24

Q
QR 11-59
QUADF 11-60
QUIT 3-32
QUOT 5-25
QXA 11-61

R
RAD 3-2
Radianes 1-22
Raíces cuadradas 3-5
Ramificación del programa 21-51
RAND 17-2
RANM 10-12
RCI 10-28
RCIJ 10-29
RCLKEYS 20-6
RCLMENU 20-2
RCWS 19-5
RDM 10-11
RDZ 17-3
RE 4-6
REALASSUME 2-41, C-3
Recomenzar de la calculadora G-3
Recomenzar la calculadora G-3
Recomenzar "caliente" de la calculadora G-3
Recomenzar "frío" la calculadora G3
RECT 4-3

Página N-16

Referencias del píxel 19-8
Regla de la cadena 13-7
Regla de la cadena para derivadas
parciales 14-4
Regresión linear de error de predicción 18-58
Regresión linear múltiple 18-64
Relaciones linearizadas 18-13
REMAINDER 5-13, 5-25
Remover la etiqueta 21-37
RENAM 2-39
REPL 10-13, 12-55
Replace L-3
Replace All L-4
Replace Selection L-4
Replace/Find Next L-4
Representación cartesiana 4-1
Representación polar 4-1, 4-3
RES 22-7
RESET 22-9, 22-15
Resolvedor de ecuaciones múltiples
27-6
RESULTANT 5-13
Resultante de fuerzas 9-19
REVLIST 8-10
RISCH 13-16
RKF 16-75
RKFERR 16-80
RKFSTEP 16-78
RL 19-7
RLB 19-8
RND 3-15
ROOT 6-31
ROOT en diagrama 12-6

Rotacional 15-5
ROW- 10-27
ROW+ 10-27
ROW 10-26
RR 19-7
RRB 19-8
RREF 11-49
RRK 16-77
RSBERR 16-80
RSWP 10-28
R∠Z 3-1
RB 19-3
RC 4-6
RD 3-15
RI 5-32

S
Σ 2-34
Salida con etiqueta 21-36
Salida de programación con etiqueta 21-36
Salida en programas 21-36
SAME 21-51
SCALE 22-8
SCALEH 22-8
SCALEW 22-8
SCHUR 11-58
ΣDAT 18-7
Señal de sistema (ALG/RPN) G-1
Señal de sistema (CHOOSE/SOFT)
G-2
Señal de sistema (EXACT/APROX)
G-1
Señal sonora 1-24

Página N-17

SEND 2-39
SEQ 8-13
Series de Fourier 16-31
Series de Fourier complejas 16-33
Series de Fourier en EDO 16-45
Series de Fourier para ondas cuadradas 16-42
Series de Fourier para ondas triangulares 16-37
Series de Fourier y EDO 16-45
Series de Fourier, complejas 16-33
Series de Maclaurin 13-26
Series de Taylor 13-26
Series infinitas 13-24, 13-26
Series, Fourier 16-31
SHADE en diagramas 12-7
SI 3-32
SIDENS 3-34
SIGMA 13-16
SIGMAVX 13-16
SIGN 3-15, 4-7
SIGNTAB 12-59, 13-11
Símbolo de ángulo (∠) G-2
SIMP2 5-12, 5-27
Simplificación de expresiones no
racionales C-10
Simplificación de una expresión 227
SIMPLIFY 5-33
SIMU 22-15
SIN 3-7, 8-9
SINH 3-10
Sistema binario 19-3
Sistema de coordenadas 1-23

Sistema de ecuaciones 11-20
SIZE 8-12, 10-8, 22-36
SKIP L-1
SL 19-7
SLB 19-8
ΣLIST 8-10
SLOPE en diagramas 12-7
SNRM 11-10
Solución de triángulos 7-12
Solución numérica 11-20
Soluciones gráficas de EDO 16-64
Soluciones numéricas 6-6
Soluciones numéricas de EDO 1664
Soluciones numéricas para EDO
rígidas 16-73
SOLVE 5-6, 6-3, 7-1, 27-3
Solve finance.. 6-11
Solve poly... 6-7
SOLVEVX 6-4
Sonido de tecla 1-24
SORT 2-40, 8-10, 8-11
ΣPAR 22-14
SPHERE 9-18
SQ 3-5
SR 19-7
SRAD 11-11
SRB 19-8
SREPL 23-3
SST 21-39
STEQ 6-17
STOALARM 25-5
STOKEYS 20-6
STREAM 8-13

Página N-18

STURM 5-13
STURMAB 5-13
STWS 19-5
SUB 10-13
Sub-menú IFERR 21-72
Sub-menú MATRIX/MAKE 10-4
Sub-menú POLY 6-36
Sub-menú ROOT 6-31
Sub-menú SOLVR 6-32, 6-35
Sub-menú TVM 6-37
SUBST 5-6
SUBTMOD 5-13
Suma de errores cuadrados (SSE)
18-72
Suma de totales cuadrados (SST)
18-71
Suprimir sub-directorios 2-49
SVD 11-58
SVL 11-58
SYLVESTER 11-62
SYST2MAT 11-50

T
Tabla 12-20, 12-30
Tabla de valores de funciones 12-30
TABVAL 12-60, 13-11
TABVAR 12-60, 13-12
TAIL 8-13
Tamaño de palabra 19-5
Tamaño del encabezado 1-30
TAN 3-7
TANH 3-10
Tarjetas de memoria SD 26-8 a 2610

TAYLR 13-27
TAYLR0 13-27
TCHEBYCHEFF 5-26
TDELTA 3-34
Teclado 1-11, B-1
Teclas de usuario 20-1
Teclas definidas por el usuario 20-6
Técnicas de integración 13-21
Teorema chino del residuo 5-21
Teorema fundamental de la álgebra
6-7
Teoremas de transformadas de
Laplace 16-13
TEXPAND 5-6
TICKS 25-3
TIME 25-3
TITLE 7-14
TLINE 12-53, 22-23
TMENU 20-1
TPAR 12-21
TRACE 11-16
TRAN 11-17
Transformación de coordenadas 149
Transformadas de Fourier 16-46
Transformadas de Fourier, convolución 16-52
Transformadas de Fourier, definiciones 16-49
Transformadas de Laplace 16-12
Transformadas de Laplace, inversas
16-12
Transformadas de Laplace, teoremas 16-13

Página N-19

Transformadas inversas de Laplace
16-12
Transformadas rápidas de Fourier
16-52
Transformadas, Laplace 16-12
Transpuesta 10-1
Transpuesta de la matriz 10-1
TRN 10-9
TRNC 3-15
TSTR 25-3
TVMROOT 6-37
TYPE 24-2

Unidades de temperatura 3-22
Unidades de tiempo 3-21
Unidades de velocidad 3-21
Unidades de volumen 3-21
Unidades en Programación 21-45
UNIT 3-32
Uso de formas interactivas A-1
UTPC 17-13
UTPF 17-14
UTPN 17-11
UTPT 17-12
UVAL 3-29

U

V

UBASE 3-24, 3-29
UFACT 3-29
Última escritura 1-24
UNASSIGN K-1
UNASSUME J-3
UNDE L-5
UNDO 2-69
Unidades 3-20
Unidades de ángulos 22-30, 22-32,
22-36
Unidades de área 3-21
Unidades de electricidad 3-22
Unidades de energía 3-22
Unidades de fuerza 3-21
Unidades de iluminación 3-22
Unidades de longitud 3-20
Unidades de masa 3-21
Unidades de potencia 3-22
Unidades de presión 3-22
Unidades de radiación 3-22

Valores propios 11-11, 11-52
VALUE 3-32
VANDERMONDE 10-15
Variable global de alcance 21-4
Variable independiente CAS C-3
Variable independiente en CAS C-3
Variables 26-1
Variables globales 21-2
Variables locales 21-2
Varianza 18-5
Varianza de datos agrupados 8-23
Vector bidimensional 9-14
Vector tridimensional 9-15
Vectores 9-1
Vectores columnas 9-22
Vectores filas 9-22
Vectores listas 9-22
Vectores propios 11-11, 11-53
Vector, potencial 15-7
VIEW en diagramas 12-7

Página N-20

Viscosidad 3-22
VPAR 12-51, 22-12
VPOTENTIAL 15-7
VTYPE 24-2
VX 2-41, 5-23, C-3
VZIN 12-57
VZOUT 12-57
V 9-14

WHILE...REPEAT...END 21-70

ZDECI 12-58
ZDFLT 12-57
ZEROS 6-5
ZFACT 12-56
ZFACTOR 3-34
ZIN 12-56
ZINTG 12-58
ZLAST 12-57
ZSQR 12-58
ZTRIG 12-58
ZVOL 22-11

X

Symbols

XCOL 22-14
XNUM K-5
XOR 19-6
XPON 3-15
XQ K-5
XRNG 22-7
XROOT 3-5
XSEND 2-40
XVOL 22-11
XXRNG 22-11
XYZ 3-2
X,Y 12-55

! 17-2
% 3-13
%CH 3-13
%T 3-13
+ROW 9-5
“división” de matrices 11-31
ARRY 9-7, 9-24
BEG L-1
COL 10-21
DATE 25-3
DIAG 10-14
END L-1
GROB 22-35
HMS 25-3
LCD 22-36
LIST 9-24
ROW 10-25
STK 3-32
STR 23-1
TAG 21-36, 23-1
TIME 25-3

W

Y
YCOL 22-14
YRNG 22-7
YVOL 22-11
YYRNG 22-11

Z
ZAUTO 12-57

Página N-21

UNIT 3-30
V2 9-14
V3 9-15

Página N-22

Garantía Limitada
Período de garantía de HP 50 calculadora gráfica: 12 meses.
1. HP le garantiza a usted, cliente usuario final, que el hardware HP,
accesorios y complementos están libres de defectos en los materiales y
mano de obra tras la fecha de compra, durante el período arriba
especificado. Si HP recibe notificación sobre algún defecto durante el
período de garantía, HP decidirá, a su propio juicio, si reparará o
cambiará los productos que prueben estar defectuosos. El cambio de
productos puede ser por otros nuevos o semi-nuevos.
2. HP le garantiza que el software HP no fallará en las instrucciones de
programación tras la fecha de compra y durante el período arriba
especificado, y estará libre de defectos en material y mano de obra al
instalarlo y usarlo. Si HP recibe notificación sobre algún defecto
durante el período de garantía, HP cambiará el software cuyas
instrucciones de programación no funcionan debido a dichos defectos.
3. HP no garantiza que el funcionamiento de los productos HP será de
manera ininterrumpida o estará libre de errores. Si HP no puede,
dentro de un período de tiempo razonable, reparar o cambiar
cualquier producto que esté en garantía, se le devolverá el importe del
precio de compra tras la devolución inmediata del producto
4. Los productos HP pueden contener partes fabricadas de nuevo
equivalentes a nuevas en su rendimiento o que puedan haber estado
sujetas a un uso incidental.
5. La garantía no se aplica a defectos que resulten de (a) un
mantenimiento o calibración inadecuados o inapropiados, (b)
software, interfaces, partes o complementos no suministrados por HP,
(c) modificación no autorizada o mal uso, (d) operación fuera de las
especificaciones ambientales publicadas para el producto, o (e)
preparación del lugar o mantenimiento inapropiados.

Página GL-1

6. HP NO OFRECE OTRAS GARANTÍAS EXPRESAS O CONDICIONES
YA SEAN POR ESCRITO U ORALES. SEGÚN LO ESTABLECIDO POR
LAS LEYES LOCALES, CUALQUIER GARANTÍA IMPLÍCITA O
CONDICIÓN DE MERCANTIBILIDAD, CALIDAD SATISFACTORIA O
ARREGLO PARA UN PROPÓSITO PARTICULAR, ESTÁ LIMITADA A LA
DURACIÓN DE LA GARANTÍA EXPRESA ESTABLECIDA MÁS ARRIBA.
Algunos países, estados o provincias no permiten limitaciones en la
duración de una garantía implícita, por lo que la limitación o exclusión
anterior podría no aplicarse a usted. Esta garantía podría también
tener otro derechos legales específicos que varían de país a país,
estado a estado o provincia a provincia.
7. SEGÚN LO ESTABLECIDO POR LAS LEYES LOCALES, LOS REMEDIOS
DE ESTE COMUNICADO DE GARANTÍA SON ÚNICOS Y
EXCLUSIVOS PRA USTED. EXCEPTO LO INDICADO ARRIBA, EN
NINGÚN CASO HP O SUS PROVEEDORES SERÁN RESPONSABLES
POR LA PÉRDIDA DE DATOS O POR DAÑOS DIRECTOS, ESPECIALES,
INCIDENTALES, CONSECUENTES (INCLUYENDO LA PÉRDIDA DE
BENEFICIOS O DATOS) U otros DAÑOS, BASADOS EN
CONTRATOS, AGRAVIO ETCÉTERA. Algunos países, estados o
provincias no permiten la exclusión o limitación de daños incidentales
o consecuentes, por lo que la limitación o exclusión anterior puede que
no se aplique a usted.
8. Las únicas garantías para los productos y servicios HP están expuestas
en los comunicados expresos de garantía que acompañan a dichos
productos y servicios. HP no se hará responsable por omisiones o por
errores técnicos o editoriales contenidos aquí.
PARA LAS TRANSACCIONES DEL CLIENTE EN AUSTRALIA Y NUEVA ZELANDA:
LOS TÉRMINOS DE GARANTÍA CONTENIDOS EN ESTE COMUNICADO,
EXCEPTO LO PERMITIDO POR LA LEY, NO EXCLUYEN, RESTRINGEN O MODIFICAN LOS DERECHOS DE ESTATUTOS DE MANDATORIA APLICABLES A LA
VENTA DE ESTE PRODUCTO PARA USTED Y SE AGREGAN A ELLOS.

Página GL-2

Servicio
Europa

País:

Números de teléfono

Austria
+43-1-3602771203
Bélgica
+32-2-7126219
Dinamarca
+45-8-2332844
Países del este de Europa +420-5-41422523
Finlandia
+35-89640009
Francia
+33-1-49939006
Alemania
+49-69-95307103
Grecia
+420-5-41422523
Holanda
+31-2-06545301
Italia
+39-02-75419782
Noruega
+47-63849309
Portugal
+351-229570200
España
+34-915-642095
Suecia
+46-851992065
Suiza
+41-1-4395358 (Grecia)
+41-22-8278780 (Francia)
+39-02-75419782 (Italia)
Turquía
+420-5-41422523
RU
+44-207-4580161
República Checa
+420-5-41422523
Sudáfrica
+27-11-2376200
Luxemburgo
+32-2-7126219
Otros países europeos
+420-5-41422523

Asia del Pacífico

América Latina

País :

Números de teléfono

Australia
Singapur

+61-3-9841-5211
+61-3-9841-5211

País :

Números de teléfono

Argentina
Brasil

0-810-555-5520
Sao Paulo3747-7799; RDP
0-800-1577751
Ciudad de Méjico 5258-9922;
RDP
01-800-472-6684
0800-4746-8368
800-360999

Méjico

Venezuela
Chile

Página GL-3

Norteamérica

Colombia
Perú
América central y el
Caribe
Guatemala
Puerto Rico
Costa Rica

9-800-114726
0-800-10111
1-800-711-2884
1-800-999-5105
1-877-232-0589
0-800-011-0524

País :

Números de teléfono

EE.UU.
Canadá

1800-HP INVENT
(905)206-4663 or
800-HP INVENT

RDP=Resto del país

Conéctese a http://www.hp.com para conocer la información más reciente
sobre servicio y soporte al cliente.

Información sobre normativas
Federal Communications Commission Notice
This equipment has been tested and found to comply with the limits for a Class
B digital device, pursuant to Part 15 of the FCC Rules. These limits are designed
to provide reasonable protection against harmful interference in a residential
installation. This equipment generates, uses, and can radiate radio frequency
energy and, if not installed and used in accordance with the instructions, may
cause harmful interference to radio communications. However, there is no guarantee that interference will not occur in a particular installation. If this equipment does cause harmful interference to radio or television reception, which can
be determined by turning the equipment off and on, the user is encouraged to
try to correct the interference by one or more of the following measures:
• Reorient or relocate the receiving antenna.
• Increase the separation between the equipment and the receiver.
• Connect the equipment into an outlet on a circuit different from that to
which the receiver is connected.
• Consult the dealer or an experienced radio or television technician for help.

Página GL-4

Modifications
The FCC requires the user to be notified that any changes or modifications
made to this device that are not expressly approved by Hewlett-Packard Company may void the user's authority to operate the equipment.

Cables
Connections to this device must be made with shielded cables with metallic RFI/
EMI connector hoods to maintain compliance with FCC rules and regulations.

Declaration of Conformity for Products Marked with FCC Logo,
United States Only
This device complies with Part 15 of the FCC Rules. Operation is subject to the
following two conditions: (1) this device may not cause harmful interference,
and (2) this device must accept any interference received, including interference
that may cause undesired operation.
For questions regarding your product, contact:
Hewlett-Packard Company
P. O. Box 692000, Mail Stop 530113
Houston, Texas 77269-2000
Or, call
1-800-474-6836
For questions regarding this FCC declaration, contact:
Hewlett-Packard Company
P. O. Box 692000, Mail Stop 510101
Houston, Texas 77269-2000
Or, call
1-281-514-3333
To identify this product, refer to the part, series, or model number found on the
product.

Canadian Notice
This Class B digital apparatus meets all requirements of the Canadian Interference-Causing Equipment Regulations.

Página GL-5

Avis Canadien
Cet appareil numérique de la classe B respecte toutes les exigences du Règlement sur le matériel brouilleur du Canada.

European Union Regulatory Notice
This product complies with the following EU Directives:
• Low Voltage Directive 73/23/EEC
• EMC Directive 89/336/EEC
Compliance with these directives implies conformity to applicable harmonized
European standards (European Norms) which are listed on the EU Declaration
of Conformity issued by Hewlett-Packard for this product or product family.
This compliance is indicated by the following conformity marking placed on
the product:

xxxx*
This marking is valid for non-Telecom prodcts
and EU harmonized Telecom products (e.g.
Bluetooth).

This marking is valid for EU non-harmonized Telecom products.
*Notified body number (used only if applicable - refer to the product
label)

Japanese Notice
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Korean Notice

Página GL-6

Eliminación de residuos de equipos eléctricos y
electrónicos por parte de usuarios particulares en la
Unión Europea
Este símbolo en el producto o en su envase indica que no debe
eliminarse junto con los desperdicios generales de la casa. Es
responsabilidad del usuario eliminar los residuos de este tipo
depositándolos en un "punto limpio" para el reciclado de residuos eléctricos y electrónicos. La recogida y el reciclado selectivos de los residuos de aparatos eléctricos en el momento de su
eliminación contribuirá a conservar los recursos naturales y a
garantizar el reciclado de estos residuos de forma que se proteja el medio
ambiente y la salud. Para obtener más información sobre los puntos de recogida de residuos eléctricos y electrónicos para reciclado, póngase en contacto con su ayuntamiento, con el servicio de eliminación de residuos
domésticos o con el establecimiento en el que adquirió el producto.

Página GL-7



---

Source Exif Data:

File Type                       : PDF
File Type Extension             : pdf
MIME Type                       : application/pdf
PDF Version                     : 1.6
Linearized                      : Yes
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XMP Toolkit                     : 3.1-702
Producer                        : Acrobat Distiller 7.0.5 (Windows)
Create Date                     : 2006:03:08 15:13:37Z
Creator Tool                    : FrameMaker 7.0
Modify Date                     : 2006:09:11 16:33:11+08:00
Metadata Date                   : 2006:09:11 16:33:11+08:00
Format                          : application/pdf
Creator                         : t8041482
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